Sprawdź, czy linie leżą w tej samej płaszczyźnie. Względne położenie linii

17.10.2021

Na tej lekcji dokonamy przeglądu podstawowych zasad teorii i rozwiążemy bardziej złożone problemy na temat „Równoległość linii i płaszczyzn”.
Na początku lekcji przypomnijmy sobie definicję prostej równoległej do płaszczyzny oraz twierdzenie wskazujące na równoległość prostej i płaszczyzny. Przypomnijmy jeszcze definicję płaszczyzn równoległych i twierdzenie o równoległości płaszczyzn. Następnie przypomnijmy sobie definicję linii ukośnych i test twierdzenia o liniach ukośnych, a także twierdzenie, że przez dowolną linię ukośną można poprowadzić płaszczyznę równoległą do innej prostej. Wyciągnijmy wniosek z tego twierdzenia - stwierdzenie, że dwie linie skośne odpowiadają jednej parze równoległych płaszczyzn.
Następnie rozwiążemy bardziej złożone problemy, korzystając z powtarzanej teorii.

Temat: Równoległość linii i płaszczyzn

Lekcja: Przegląd teorii. Rozwiązywanie bardziej złożonych problemów na temat „Równoległość linii i płaszczyzn”

W tej lekcji dokonamy przeglądu podstawowych zasad teorii i rozwiążemy bardziej złożone problemy na ten temat „Równoległość linii i płaszczyzn”.

Definicja. Linię i płaszczyznę nazywamy równoległymi, jeśli nie mają wspólnych punktów.

Jeżeli prosta nie leżąca w danej płaszczyźnie jest równoległa do jakiejś prostej leżącej w tej płaszczyźnie, to jest ona równoległa do danej płaszczyzny.

Niech zostanie podana linia prosta A i płaszczyzna (ryc. 1). Na płaszczyźnie leży linia prosta B, która jest równoległa do linii A. Z równoległości linii A I B wynika z tego, że prosta jest równoległa A i samoloty.

1. Geometria. Klasy 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i specjalistyczny) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i rozszerzone - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: il.

Zadania 9, 10 s. 23

2. Trzy linie przecinają się parami. Czy jakakolwiek płaszczyzna może być równoległa do wszystkich tych prostych?

3. Przez punkt M można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do płaszczyzn α i β. Czy te płaszczyzny są równoległe?

4. Dwa trapezy mają wspólną linię środkową. Płaszczyzna α przechodzi przez mniejsze podstawy trapezów, a płaszczyzna β przechodzi przez większe podstawy trapezów. Czy płaszczyzny α i β są równoległe?

5. ABCD- czworokąt. Punkt M leży poza jego płaszczyzną. Czy środki odcinków leżą w tej samej płaszczyźnie? MA, MV, MS, MD?

Linie proste leżą w tej samej płaszczyźnie. jeśli 1) przecinają się, 2) są równoległe.

Aby proste L 1: i L 2: należały do tej samej płaszczyzny , tak aby wektory M 1 M 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), Q 1 =(l 1 ; m 1 ; n 1 ) i Q 2 =(l 2 ; m 2 ; n 2 ) były współpłaszczyznowe. Oznacza to, że zgodnie z warunkiem współpłaszczyznowości trzech wektorów jest to iloczyn mieszany M 1 M 2 ·S 1 ·S 2 =Δ==0 (8)

Ponieważ warunek równoległości dwóch prostych ma postać: następnie dla przecięcia prostych L 1 i L 2  tak, aby spełniały warunek (8) i aby co najmniej jedna z proporcji została naruszona.

Przykład. Poznaj względne położenie linii:

Wektor kierunkowy prostej L 1 – Q 1 =(1;3;-2). Linię L 2 definiuje się jako przecięcie 2 płaszczyzn α 1: x-y-z+1=0; α2: x+y+2z-2=0. Ponieważ linia L 2 leży w obu płaszczyznach, wówczas ona, a zatem jej wektor kierunkowy, jest prostopadła do normalnych N 1 I N 2 . Dlatego wektor kierunkowy S 2 jest iloczynem krzyżowym wektorów N 1 I N 2 , tj. Q 2 =N 1 X N 2 ==-I-3J+2k.

To. S 1 =-S 2 , Oznacza to, że linie są równoległe lub pokrywają się.

Aby sprawdzić, czy proste się pokrywają, podstawiamy współrzędne punktu M 0 (1;2;-1)L 1 do ogólnych równań L 2: 1-2+2+1=0 - równości nieprawidłowe, tj. punkt M 0 L 2,

zatem linie są równoległe.

Odległość punktu od linii.

Odległość punktu M 1 (x 1;y 1;z 1) od prostej L, określona równaniem kanonicznym L:, można obliczyć za pomocą iloczynu wektorowego.

Z równania kanonicznego prostej wynika, że punkt M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L oraz wektor kierunkowy prostej Q=(l;m;n)

Zbudujmy równoległobok za pomocą wektorów Q I M 0 M 1 . Następnie odległość od punktu M 1 do prostej L jest równa wysokości h tego równoległoboku. Ponieważ S=| Q X M 0 M 1 |=h| Q|, zatem

h= (9)

Odległość między dwiema liniami prostymi w przestrzeni.

L 1: i L 2:

1) L 1  L 2 .

2) L 1 i L 2 – skrzyżowanie

Względne położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni.

Dla położenia prostej i płaszczyzny w przestrzeni możliwe są 3 przypadki:

linia prosta i płaszczyzna przecinają się w jednym punkcie;

linia prosta i płaszczyzna są równoległe;

linia prosta leży w płaszczyźnie.

Prostą niech będzie dane jej równanie kanoniczne, a płaszczyznę – ogólne

α: Ах+Бу+Сz+D=0

Równania prostej podają punkt M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L i wektor kierunkowy Q=(l;m;n), a równanie płaszczyzny jest wektorem normalnym N=(A;B;C).

1. Przecięcie prostej i płaszczyzny.

Jeśli linia i płaszczyzna przecinają się, to wektor kierunku linii Q nie jest równoległa do płaszczyzny α, a zatem nie jest ortogonalna do wektora normalnego płaszczyzny N. Te. ich iloczyn skalarny NQ≠0 lub poprzez ich współrzędne

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Wyznaczmy współrzędne punktu M - punkty przecięcia prostej L i płaszczyzny α.

Przejdźmy od równania kanonicznego prostej do równania parametrycznego: , tR

Podstawmy te zależności do równania płaszczyzny

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – są znane, znajdźmy parametr t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

jeśli Am+Bn+Cp≠0, to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie wyznaczające współrzędne punktu M:

t M = - → (11)

Kąt między linią prostą a płaszczyzną. Warunki równoległości i prostopadłości.

Kąt φ pomiędzy prostą L :

z wektorem prowadzącym Q=(l;m;n) i płaszczyzna

: Ах+Ву+Сz+D=0 z wektorem normalnym N=(A;B;C) waha się od 0˚ (w przypadku prostej i płaszczyzny równoległej) do 90˚ (w przypadku prostej i płaszczyzny prostopadłej). (Kąt między wektorem Q i jego rzut na płaszczyznę α).

– kąt między wektorami Q I N.

Ponieważ kąt  pomiędzy prostą L a płaszczyzną  jest komplementarny do kąta , wówczas sin φ=sin(-)=cos =- (uwzględniana jest wartość bezwzględna, ponieważ kąt φ jest ostry sin φ=sin( -) lub sin φ =sin(+) w zależności od kierunku prostej L)

Rozdział IV. Linie proste i płaszczyzny w przestrzeni. Wielościany

§ 46. Wzajemne rozmieszczenie linii w przestrzeni

W przestrzeni dwie różne linie mogą, ale nie muszą, leżeć w tej samej płaszczyźnie. Spójrzmy na odpowiednie przykłady.

Niech punkty A, B, C nie leżą na tej samej prostej. Narysujmy przez nie samolot R i wybierz punkt S, który nie należy do płaszczyzny R(ryc. 130).

Wtedy proste AB i BC leżą w tej samej płaszczyźnie, czyli w płaszczyźnie R, proste AS i CB nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Rzeczywiście, gdyby leżały w tej samej płaszczyźnie, to punkty A, B, C, S również leżałyby w tej płaszczyźnie, co jest niemożliwe, ponieważ S nie leży w płaszczyźnie przechodzącej przez punkty A, B, C.

Dwie różne linie leżące w tej samej płaszczyźnie i nie przecinające się nazywane są równoległymi. Linie zbiegające się nazywane są również równoległymi. Jeśli prosto 1 1 i 1 2 równolegle, a następnie napisz 1 1 || 1 2 .

Zatem, 1 1 || 1 2, jeśli po pierwsze jest samolot R takie, że
1 1 R I 1 2 R i po drugie, lub 1 1 1 2 = lub 1 1 = 1 2 .

Dwie linie proste, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie, nazywane są liniami skośnymi. Oczywiście przecinające się linie nie przecinają się i nie są równoległe.

Udowodnijmy jedną ważną właściwość linii równoległych, która nazywa się przechodniością równoległości.

Twierdzenie. Jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej, to są do siebie równoległe.

Pozwalać 1 1 || 1 2 i 1 2 || 1 3. Trzeba to udowodnić 1 1 || 1 3

Jeśli prosto 1 1 , 1 2 , 1 3 leżą w tej samej płaszczyźnie, to stwierdzenie to zostanie udowodnione w planimetrii. Zakładamy, że linie proste 1 1 , 1 2 , 1 3 nie leżą w tej samej płaszczyźnie.

Przez linie proste 1 1 i 1 2 narysuj samolot R 1 i przez 1 2 i 1 3 - samolot R 2 (ryc. 131).

Należy pamiętać, że linia prosta 1 3 zawiera co najmniej jeden punkt M, który nie należy do płaszczyzny
R 1 .

Narysuj płaszczyznę przechodzącą przez linię prostą i wskaż M R 3, który przecina płaszczyznę R 2 wzdłuż pewnej linii prostej l. Udowodnijmy to l zbiega się z 1 3. Udowodnimy to „przez zaprzeczenie”.

Załóżmy, że linia prosta 1 nie pokrywa się z linią prostą 1 3. Następnie 1 przecina linię 1 2 w pewnym punkcie A. Wynika z tego, że samolot R 3 przechodzi przez punkt A R 1 i prosto 1 1 R 1 i dlatego pokrywa się z płaszczyzną R 1. Wniosek ten stoi w sprzeczności z faktem, że punkt M R 3 nie należy do samolotu R 1 .
Dlatego nasze założenie jest błędne, a zatem 1 = 1 3 .

W ten sposób udowodniono, że linie proste 1 1 i 1 3 leżą w tej samej płaszczyźnie R 3. Udowodnimy, że linie proste 1 1 i 1 3 nie przecinają się.

Rzeczywiście, jeśli 1 1 i 1 3 przecięło np. w punkcie B, następnie płaszczyznę R 2 przejdzie przez linię prostą 1 2 i przez punkt B 1 1, a zatem pokrywałoby się z R 1, co jest niemożliwe.

Zadanie. Udowodnij, że kąty o bokach współkierunkowych mają równe wymiary.

Niech kąty MAN i M 1 A 1 N 1 mają boki współkierunkowe: promień AM jest kierowany wspólnie z promieniem A 1 M 1, a promień AN jest kierowany wspólnie z promieniem A 1 N 1 (rys. 132).

Na promieniach AM i A 1 M 1 ułożymy odcinki AB i A 1 B 1 o równej długości. Następnie

|| i |BB 1 | = |AA 1 |

jak przeciwne strony równoległoboku.

Podobnie na promieniach AN i A 1 N 1 narysujemy odcinki AC i A 1 C 1 o równej długości. Następnie

|| i |CC 1 | = |AA 1 |

Z przechodniości równoległości wynika, że || . A ponieważ |BB 1 | = |CC 1 | , to BB 1 C 1 C jest równoległobokiem, a zatem |BC| = |B 1 do 1 |.
Stąd, /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 i .

Dla dwóch linii w przestrzeni możliwe są cztery przypadki:

Linie proste pokrywają się;

Linie są równoległe (ale nie pokrywają się);

Linie przecinają się;

Linie proste przecinają się, tj. nie mają punktów wspólnych i nie są równoległe.

Rozważmy dwa sposoby opisu linii prostych: równania kanoniczne i równania ogólne. Niech linie L 1 i L 2 zostaną podane za pomocą równań kanonicznych:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6,9)

Dla każdej linii z jej równań kanonicznych natychmiast wyznaczamy na niej punkt M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 i współrzędne wektorów kierunkowych s 1 = (l 1; m 1; n 1) dla L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) dla L 2.

Jeżeli linie pokrywają się lub są równoległe, to ich wektory kierunkowe s 1 i s 2 są współliniowe, co jest równoważne równości stosunków współrzędnych tych wektorów:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6.10)

Jeżeli linie się pokrywają, to wektor M 1 M 2 jest współliniowy z wektorami kierunkowymi:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Ta podwójna równość oznacza również, że punkt M 2 należy do prostej L 1. Zatem warunkiem zbieżności prostych jest jednoczesne spełnienie równości (6.10) i (6.11).

Jeśli linie przecinają się lub krzyżują, wówczas ich wektory kierunkowe są niewspółliniowe, tj. warunek (6.10) jest naruszony. Linie przecinające się leżą w tej samej płaszczyźnie, dlatego wektory s 1 , s 2 i M 1 M 2 są współpłaszczyznowywyznacznik trzeciego rzędu, złożony z ich współrzędnych (patrz 3.2):

Warunek (6.12) jest spełniony w trzech z czterech przypadków, ponieważ dla Δ ≠ 0 proste nie należą do tej samej płaszczyzny i dlatego się przecinają.

Zbierzmy wszystkie warunki razem:

Względne położenie linii charakteryzuje się liczbą rozwiązań układu (6.13). Jeżeli linie się pokrywają, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli linie się przecinają, wówczas ten system ma unikalne rozwiązanie. W przypadku równoległości lub skrzyżowania nie ma bezpośrednich rozwiązań. Dwa ostatnie przypadki można rozdzielić, znajdując wektory kierunkowe linii. Aby to zrobić, wystarczy obliczyć dwa grafika wektorowa n 1 × n 2 i n 3 × n 4, gdzie n ja = (A ja; B ja; C i), i = 1, 2, 3,4. Jeśli powstałe wektory są współliniowe, wówczas dane proste są równoległe. W przeciwnym razie krzyżują się.

Przykład 6.4.

Wektor kierunkowy s 1 linii prostej L 1 wyznacza się za pomocą równań kanonicznych tej prostej: s 1 = (1; 3; -2). Wektor kierunkowy s 2 linii prostej L 2 oblicza się za pomocą iloczynu wektorowego wektorów normalnych płaszczyzn, których przecięcie wynosi:

Ponieważ s 1 = -s 2, to linie są równoległe lub pokrywają się. Przekonajmy się, która z tych sytuacji jest realizowana dla tych linii. W tym celu podstawiamy współrzędne punktu M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 do ogólnych równań prostej L 2 . Dla pierwszego z nich otrzymujemy 1 = 0. W związku z tym punkt M 0 nie należy do prostej L 2 i rozpatrywane proste są równoległe.

Kąt pomiędzy liniami prostymi. Kąt między dwiema prostymi można znaleźć za pomocą wektory kierunkowe prosty Kąt ostry między prostymi jest równy kątowi między ich wektorami kierunkowymi (ryc. 6.5) lub jest do niego dodatkowy, jeśli kąt między wektorami kierunkowymi jest rozwarty. Zatem, jeśli dla linii L 1 i L 2 znane są ich wektory kierunkowe s xi s 2, wówczas kąt ostry φ między tymi liniami jest wyznaczany poprzez iloczyn skalarny:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Na przykład niech s i = (l i ; m i ; n ja ), i = 1, 2. Korzystając ze wzorów (2.9) i (2.14) obliczyć długość wektora i iloczyn skalarny we współrzędnych, otrzymujemy

Ten artykuł dotyczy linii równoległych i linii równoległych. Najpierw podano definicję prostych równoległych na płaszczyźnie i w przestrzeni, wprowadzono oznaczenia, podano przykłady i ilustracje graficzne prostych równoległych. Następnie omówiono znaki i warunki równoległości prostych. W podsumowaniu pokazano rozwiązania typowych problemów udowadniania równoległości prostych, które dane są poprzez pewne równania prostej w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej.

Nawigacja strony.

Linie równoległe - podstawowe informacje.

Definicja.

Nazywa się dwie linie w płaszczyźnie równoległy, jeśli nie mają punktów wspólnych.

Definicja.

Nazywa się dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej równoległy, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

Należy pamiętać, że klauzula „jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie” w definicji linii równoległych w przestrzeni jest bardzo ważna. Wyjaśnijmy tę kwestię: dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej, które nie mają wspólnych punktów i nie leżą w tej samej płaszczyźnie, nie są równoległe, ale przecinają się.

Oto kilka przykładów linii równoległych. Przeciwległe krawędzie kartki notesu leżą na równoległych liniach. Linie proste, wzdłuż których płaszczyzna ściany domu przecina płaszczyzny sufitu i podłogi, są równoległe. Szyny kolejowe na równym podłożu można również uznać za linie równoległe.

Aby oznaczyć linie równoległe, użyj symbolu „”. Oznacza to, że jeśli linie a i b są równoległe, to możemy krótko napisać a b.

Uwaga: jeśli linie aib są równoległe, to możemy powiedzieć, że linia a jest równoległa do linii b, a także, że linia b jest równoległa do linii a.

Wyraźmy stwierdzenie, które odgrywa ważną rolę w badaniu prostych równoległych na płaszczyźnie: przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzi jedyna prosta równoległa do danej. Twierdzenie to przyjmuje się za fakt (nie da się go udowodnić na podstawie znanych aksjomatów planimetrii) i nazywa się aksjomatem prostych równoległych.

Dla przypadku w przestrzeni obowiązuje twierdzenie: przez dowolny punkt przestrzeni, który nie leży na danej prostej, przechodzi pojedyncza prosta równoległa do danej. Twierdzenie to można łatwo udowodnić za pomocą powyższego aksjomatu prostych równoległych (jego dowód można znaleźć w podręczniku geometrii dla klas 10-11, który znajduje się na końcu artykułu w spisie literatury).

Równoległość linii - znaki i warunki równoległości.

Znak równoległości linii jest warunkiem wystarczającym, aby proste były równoległe, czyli warunkiem, którego spełnienie gwarantuje, że proste są równoległe. Innymi słowy, spełnienie tego warunku wystarczy, aby stwierdzić, że proste są równoległe.

Istnieją także warunki konieczne i wystarczające równoległości prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej.

Wyjaśnijmy znaczenie wyrażenia „warunek konieczny i wystarczający dla prostych równoległych”.

Zajmowaliśmy się już warunkiem wystarczającym dla prostych równoległych. Jaki jest „warunek konieczny dla linii równoległych”? Z nazwy „konieczne” wynika, że spełnienie tego warunku jest konieczne w przypadku linii równoległych. Innymi słowy, jeśli nie jest spełniony warunek konieczny, aby linie były równoległe, to linie nie są równoległe. Zatem, warunek konieczny i wystarczający dla prostych równoległych jest warunkiem, którego spełnienie jest zarówno konieczne, jak i wystarczające dla linii równoległych. Oznacza to, że z jednej strony jest to znak równoległości linii, z drugiej strony jest to właściwość, którą mają linie równoległe.

Przed sformułowaniem warunku koniecznego i wystarczającego równoległości linii warto przypomnieć kilka definicji pomocniczych.

Sieczna linia to linia przecinająca każdą z dwóch podanych, nie pokrywających się linii.

Kiedy dwie linie proste przecinają się z poprzeczną, powstaje osiem niezabudowanych. Przy formułowaniu warunku koniecznego i wystarczającego równoległości linii stosuje się tzw leżące w poprzek, odpowiadające I kąty jednostronne. Pokażmy je na rysunku.

Twierdzenie.

Jeżeli dwie proste w płaszczyźnie przecinają się przez poprzeczkę, to aby były równoległe, konieczne i wystarczające jest, aby kąty przecinające się były równe, albo kąty odpowiadające były równe, albo suma kątów jednostronnych była równa 180 stopni.

Pokażmy graficzną ilustrację tego warunku koniecznego i wystarczającego równoległości prostych na płaszczyźnie.

Dowody tych warunków równoległości prostych można znaleźć w podręcznikach do geometrii dla klas 7-9.

Należy pamiętać, że warunki te można zastosować również w przestrzeni trójwymiarowej - najważniejsze jest to, że dwie linie proste i sieczna leżą w tej samej płaszczyźnie.

Oto kilka innych twierdzeń często używanych do udowodnienia równoległości linii.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie na płaszczyźnie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe. Dowód tego kryterium wynika z aksjomatu prostych równoległych.

Podobny warunek obowiązuje dla linii równoległych w przestrzeni trójwymiarowej.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie w przestrzeni są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe. Dowód tego kryterium omawiany jest na lekcjach geometrii w 10. klasie.

Zilustrujmy podane twierdzenia.

Przedstawmy jeszcze jedno twierdzenie, które pozwala udowodnić równoległość prostych na płaszczyźnie.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie na płaszczyźnie są prostopadłe do trzeciej linii, to są one równoległe.

Podobne twierdzenie dotyczy linii w przestrzeni.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej są prostopadłe do tej samej płaszczyzny, to są równoległe.

Narysujmy rysunki odpowiadające tym twierdzeniom.

Wszystkie sformułowane powyżej twierdzenia, kryteria oraz warunki konieczne i wystarczające doskonale nadają się do udowodnienia równoległości prostych metodami geometrii. Oznacza to, że aby udowodnić równoległość dwóch danych linii, musisz wykazać, że są one równoległe do trzeciej linii lub wykazać równość kątów leżących poprzecznie itp. Wiele podobnych problemów rozwiązuje się na lekcjach geometrii w szkole średniej. Należy jednak zauważyć, że w wielu przypadkach wygodnie jest zastosować metodę współrzędnych, aby udowodnić równoległość prostych na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej. Sformułujmy warunki konieczne i wystarczające na równoległość linii określonych w prostokątnym układzie współrzędnych.

Równoległość linii w prostokątnym układzie współrzędnych.

W tym akapicie artykułu sformułowamy warunki konieczne i wystarczające dla prostych równoległych w prostokątnym układzie współrzędnych, w zależności od rodzaju równań definiujących te proste, a także podamy szczegółowe rozwiązania charakterystycznych problemów.

Zacznijmy od warunku równoległości dwóch prostych na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy. Jego dowód opiera się na definicji wektora kierunku linii i definicji wektora normalnego linii na płaszczyźnie.

Twierdzenie.

Aby dwie nie pokrywające się linie były równoległe w płaszczyźnie, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe tych prostych były współliniowe lub wektory normalne tych prostych były współliniowe lub wektor kierunkowy jednej prostej był prostopadły do normalnej wektor drugiej linii.

Oczywiście warunek równoległości dwóch linii na płaszczyźnie sprowadza się do (wektorów kierunkowych linii lub wektorów normalnych linii) lub do (wektora kierunku jednej linii i wektora normalnego drugiej linii). Zatem, jeśli i są wektorami kierunkowymi linii a i b oraz I są wektorami normalnymi odpowiednio prostych a i b, to warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych a i b zostanie zapisany jako , Lub lub , gdzie t jest liczbą rzeczywistą. Z kolei współrzędne prowadnic i (lub) wektorów normalnych linii a i b wyznacza się za pomocą znanych równań linii.

W szczególności, jeśli prosta a w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy na płaszczyźnie definiuje ogólne równanie prostej postaci i linia prosta b - , wówczas wektory normalne tych linii mają odpowiednio współrzędne i, a warunek równoległości linii a i b zostanie zapisany jako .

Jeżeli prosta a odpowiada równaniu prostej ze współczynnikiem kątowym postaci , a prosta b - to wektory normalne tych prostych mają współrzędne i , a warunek równoległości tych prostych przyjmuje postać . W konsekwencji, jeśli proste na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych są równoległe i można je określić za pomocą równań prostych ze współczynnikami kątowymi, to współczynniki kątowe prostych będą równe. I odwrotnie: jeśli nie pokrywające się linie na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych można określić za pomocą równań prostej o równych współczynnikach kątowych, to takie proste są równoległe.

Jeżeli prostą a i prostą b w prostokątnym układzie współrzędnych wyznaczają równania kanoniczne prostej na płaszczyźnie postaci I lub równania parametryczne linii prostej na płaszczyźnie formy I odpowiednio wektory kierunkowe tych linii mają współrzędne i , a warunek równoległości linii aib jest zapisany jako .

Spójrzmy na rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Czy linie są równoległe? I ?

Rozwiązanie.

Przepiszmy równanie prostej w odcinkach w postaci ogólnego równania prostej: . Teraz widzimy, że jest to wektor normalny linii , a jest wektorem normalnym linii. Wektory te nie są współliniowe, ponieważ nie ma liczby rzeczywistej t, dla której równość ( ). W konsekwencji warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych na płaszczyźnie nie jest spełniony, dlatego podane proste nie są równoległe.

Odpowiedź:

Nie, linie nie są równoległe.

Przykład.

Czy linie są proste i równoległe?

Rozwiązanie.

Sprowadźmy równanie kanoniczne prostej do równania prostej ze współczynnikiem kątowym: . Oczywiście równania prostych i nie są takie same (w tym przypadku podane proste byłyby takie same), a współczynniki kątowe prostych są równe, dlatego pierwotne proste są równoległe.