In diesem Artikel betrachten wir eine Methode zur Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen.

Homogene trigonometrische Gleichungen haben die gleiche Struktur wie homogene Gleichungen anderer Art. Ich möchte Sie an die Methode zur Lösung homogener Gleichungen zweiten Grades erinnern:

Betrachten wir homogene Gleichungen der Form

Besonderheiten homogener Gleichungen:

a) alle Monome haben den gleichen Grad,

b) der freie Term ist Null,

c) die Gleichung enthält Potenzen mit zwei verschiedenen Basen.

Homogene Gleichungen werden mit einem ähnlichen Algorithmus gelöst.

Um diese Art von Gleichung zu lösen, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch (kann durch oder durch geteilt werden)

Aufmerksamkeit! Wenn Sie die rechte und linke Seite einer Gleichung durch einen Ausdruck dividieren, der eine Unbekannte enthält, können Sie Wurzeln verlieren. Daher ist es notwendig zu prüfen, ob die Wurzeln des Ausdrucks, durch den wir beide Seiten der Gleichung dividieren, die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Wenn ja, schreiben wir diese Wurzel auf, damit wir sie später nicht vergessen, und dividieren dann den Ausdruck durch diese.

Im Allgemeinen besteht das erste, was Sie beim Lösen einer Gleichung, die auf der rechten Seite eine Nullstelle hat, tun müssen, darin, die linke Seite der Gleichung auf eine beliebige verfügbare Weise zu faktorisieren. Und dann setzen Sie jeden Faktor mit Null gleich. In diesem Fall werden wir die Wurzeln definitiv nicht verlieren.

Teilen Sie also sorgfältig die linke Seite der Gleichung Term für Term in den Ausdruck auf. Wir bekommen:

Reduzieren wir Zähler und Nenner des zweiten und dritten Bruchs:

Stellen wir den Ersatz vor:

Wir erhalten eine quadratische Gleichung:

Lösen wir die quadratische Gleichung, ermitteln die Werte von und kehren dann zur ursprünglichen Unbekannten zurück.

Beim Lösen homogener trigonometrischer Gleichungen sind einige wichtige Dinge zu beachten:

1. Der Dummy-Term kann mithilfe der grundlegenden trigonometrischen Identität in das Quadrat von Sinus und Cosinus umgewandelt werden:

2. Sinus und Cosinus eines Doppelarguments sind Monome zweiten Grades – der Sinus eines Doppelarguments lässt sich leicht in das Produkt aus Sinus und Cosinus umwandeln und der Cosinus eines Doppelarguments in das Quadrat von Sinus oder Cosinus:

Schauen wir uns einige Beispiele für die Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen an.

1 . Lösen wir die Gleichung:

Dies ist ein klassisches Beispiel einer homogenen trigonometrischen Gleichung ersten Grades: Der Grad jedes Monoms ist gleich eins, der Achsenabschnittsterm ist gleich Null.

Bevor Sie beide Seiten der Gleichung durch dividieren, müssen Sie überprüfen, dass die Wurzeln der Gleichung nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind. Wir prüfen: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch.

Wir bekommen:

, Wo

, Wo

Antwort: , Wo

2. Lösen wir die Gleichung:

Dies ist ein Beispiel für eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades. Wir erinnern uns daran, dass es ratsam ist, dies zu tun, wenn wir die linke Seite der Gleichung faktorisieren können. In diese Gleichung können wir setzen. Lass es uns tun:

Lösung der ersten Gleichung: , wo

Die zweite Gleichung ist eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades. Um es zu lösen, teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch. Wir bekommen:

Antwort: , wo ,

3. Lösen wir die Gleichung:

Um diese Gleichung homogen zu machen, transformieren wir sie in ein Produkt und stellen die Zahl 3 als Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus dar:

Lassen Sie uns alle Begriffe nach links verschieben, die Klammern öffnen und ähnliche Begriffe präsentieren. Wir bekommen:

Lassen Sie uns die linke Seite faktorisieren und jeden Faktor gleich Null setzen:

Antwort: , wo ,

4 . Lösen wir die Gleichung:

Wir schauen, was wir aus den Klammern herausholen können. Lass es uns tun:

Setzen wir jeden Faktor mit Null gleich:

Lösung der ersten Gleichung:

Die zweite Populationsgleichung ist eine klassische homogene Gleichung zweiten Grades. Die Wurzeln der Gleichung sind nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, daher dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch:

Lösung der ersten Gleichung:

Lösung der zweiten Gleichung.

Ich denke, wir sollten mit der Geschichte eines so großartigen mathematischen Werkzeugs wie der Differentialgleichungen beginnen. Wie alle Differential- und Integralrechnungen wurden diese Gleichungen Ende des 17. Jahrhunderts von Newton erfunden. Er hielt diese besondere Entdeckung für so wichtig, dass er sogar eine Botschaft verschlüsselte, die heute etwa so übersetzt werden kann: „Alle Naturgesetze werden durch Differentialgleichungen beschrieben.“ Das mag wie eine Übertreibung erscheinen, aber es ist wahr. Jedes Gesetz der Physik, Chemie und Biologie kann durch diese Gleichungen beschrieben werden.

Die Mathematiker Euler und Lagrange leisteten einen großen Beitrag zur Entwicklung und Schaffung der Theorie der Differentialgleichungen. Bereits im 18. Jahrhundert entdeckten und entwickelten sie das, was sie heute in höheren Universitätskursen studieren.

Dank Henri Poincaré begann ein neuer Meilenstein in der Erforschung von Differentialgleichungen. Er schuf die „qualitative Theorie der Differentialgleichungen“, die in Kombination mit der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen einen wesentlichen Beitrag zur Grundlage der Topologie – der Wissenschaft vom Raum und seinen Eigenschaften – leistete.

Was sind Differentialgleichungen?

Viele Menschen haben Angst vor einer einzigen Phrase. In diesem Artikel werden wir jedoch im Detail die ganze Essenz dieses sehr nützlichen mathematischen Apparats skizzieren, der eigentlich gar nicht so kompliziert ist, wie der Name vermuten lässt. Um über Differentialgleichungen erster Ordnung zu sprechen, sollten Sie sich zunächst mit den grundlegenden Konzepten vertraut machen, die mit dieser Definition verbunden sind. Und wir beginnen mit dem Differential.

Differential

Viele Menschen kennen dieses Konzept seit der Schule. Schauen wir es uns jedoch genauer an. Stellen Sie sich den Graphen einer Funktion vor. Wir können es so weit vergrößern, dass jedes Segment davon die Form einer geraden Linie annimmt. Nehmen wir zwei Punkte darauf, die unendlich nahe beieinander liegen. Der Unterschied zwischen ihren Koordinaten (x oder y) wird verschwindend gering sein. Es wird Differential genannt und mit den Zeichen dy (Differential von y) und dx (Differential von x) bezeichnet. Es ist sehr wichtig zu verstehen, dass das Differential keine endliche Größe ist und dass dies seine Bedeutung und Hauptfunktion ist.

Jetzt müssen wir das nächste Element betrachten, das uns bei der Erklärung des Konzepts einer Differentialgleichung nützlich sein wird. Dies ist eine Ableitung.

Derivat

Dieses Konzept haben wir wahrscheinlich alle in der Schule gehört. Als Ableitung bezeichnet man die Geschwindigkeit, mit der eine Funktion zunimmt oder abnimmt. Allerdings wird aus dieser Definition vieles unklar. Versuchen wir, die Ableitung durch Differentiale zu erklären. Kehren wir zu einem infinitesimalen Segment einer Funktion mit zwei Punkten zurück, die einen minimalen Abstand voneinander haben. Aber selbst über diese Distanz hinweg gelingt es der Funktion, sich um einen gewissen Betrag zu ändern. Und um diese Veränderung zu beschreiben, haben sie eine Ableitung entwickelt, die man ansonsten als Verhältnis von Differentialen schreiben kann: f(x)“=df/dx.

Nun lohnt es sich, die grundlegenden Eigenschaften des Derivats zu betrachten. Es gibt nur drei davon:

1. Die Ableitung einer Summe oder Differenz kann als Summe oder Differenz von Ableitungen dargestellt werden: (a+b)“=a“+b“ und (a-b)“=a“-b“.
2. Die zweite Eigenschaft bezieht sich auf die Multiplikation. Die Ableitung eines Produkts ist die Summe der Produkte einer Funktion und der Ableitung einer anderen: (a*b)“=a“*b+a*b“.
3. Die Ableitung der Differenz kann als folgende Gleichung geschrieben werden: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Alle diese Eigenschaften werden uns nützlich sein, um Lösungen für Differentialgleichungen erster Ordnung zu finden.

Es gibt auch partielle Ableitungen. Nehmen wir an, wir haben eine Funktion z, die von den Variablen x und y abhängt. Um die partielle Ableitung dieser Funktion beispielsweise nach x zu berechnen, müssen wir die Variable y als Konstante nehmen und einfach differenzieren.

Integral

Ein weiteres wichtiges Konzept ist integral. Tatsächlich ist dies das genaue Gegenteil einer Ableitung. Es gibt verschiedene Arten von Integralen, aber um die einfachsten Differentialgleichungen zu lösen, benötigen wir die trivialsten

Nehmen wir also an, wir haben eine gewisse Abhängigkeit von f von x. Wir nehmen daraus das Integral und erhalten die Funktion F(x) (oft Stammfunktion genannt), deren Ableitung gleich der ursprünglichen Funktion ist. Somit ist F(x)"=f(x). Daraus folgt auch, dass das Integral der Ableitung gleich der ursprünglichen Funktion ist.

Beim Lösen von Differentialgleichungen ist es sehr wichtig, die Bedeutung und Funktion des Integrals zu verstehen, da Sie diese sehr oft verwenden müssen, um die Lösung zu finden.

Gleichungen variieren je nach Art. Im nächsten Abschnitt werden wir uns die Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung ansehen und dann lernen, wie man sie löst.

Klassen von Differentialgleichungen

„Diffurs“ werden nach der Reihenfolge der an ihnen beteiligten Derivate unterteilt. Es gibt also erste, zweite, dritte und weitere Ordnungen. Sie können auch in mehrere Klassen unterteilt werden: gewöhnliche und partielle Derivate.

In diesem Artikel werden wir uns mit gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung befassen. In den folgenden Abschnitten werden wir auch Beispiele und Lösungsmöglichkeiten besprechen. Wir werden nur ODEs berücksichtigen, da dies die häufigsten Gleichungstypen sind. Gewöhnliche werden in Unterarten unterteilt: mit trennbaren Variablen, homogen und heterogen. Als nächstes erfahren Sie, wie sie sich voneinander unterscheiden und wie Sie sie lösen können.

Darüber hinaus können diese Gleichungen kombiniert werden, sodass wir am Ende ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung erhalten. Wir werden auch solche Systeme betrachten und lernen, sie zu lösen.

Warum ziehen wir nur die erste Bestellung in Betracht? Denn man muss mit etwas Einfachem beginnen und es ist einfach unmöglich, alles, was mit Differentialgleichungen zu tun hat, in einem Artikel zu beschreiben.

Trennbare Gleichungen

Dies sind vielleicht die einfachsten Differentialgleichungen erster Ordnung. Dazu gehören Beispiele, die wie folgt geschrieben werden können: y"=f(x)*f(y). Um diese Gleichung zu lösen, benötigen wir eine Formel zur Darstellung der Ableitung als Verhältnis von Differentialen: y"=dy/dx. Damit erhalten wir die folgende Gleichung: dy/dx=f(x)*f(y). Jetzt können wir uns der Methode zum Lösen von Standardbeispielen zuwenden: Wir werden die Variablen in Teile aufteilen, das heißt, wir verschieben alles mit der Variablen y in den Teil, in dem sich dy befindet, und machen dasselbe mit der Variablen x. Wir erhalten eine Gleichung der Form: dy/f(y)=f(x)dx, die durch Integralbildung von beiden Seiten gelöst wird. Vergessen Sie nicht die Konstante, die nach der Integralbildung eingestellt werden muss.

Die Lösung für jede „Differenz“ ist eine Funktion der Abhängigkeit von x von y (in unserem Fall) oder, wenn eine numerische Bedingung vorliegt, die Antwort in Form einer Zahl. Schauen wir uns den gesamten Lösungsprozess anhand eines konkreten Beispiels an:

Lassen Sie uns die Variablen in verschiedene Richtungen verschieben:

Nehmen wir nun die Integrale. Alle sind in einer speziellen Integraltabelle zu finden. Und wir bekommen:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Bei Bedarf können wir „y“ als Funktion von „x“ ausdrücken. Nun können wir sagen, dass unsere Differentialgleichung gelöst ist, wenn die Bedingung nicht angegeben ist. Es kann eine Bedingung angegeben werden, zum Beispiel y(n/2)=e. Dann setzen wir einfach die Werte dieser Variablen in die Lösung ein und ermitteln den Wert der Konstante. In unserem Beispiel ist es 1.

Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung

Kommen wir nun zum schwierigeren Teil. Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung können in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden: y"=z(x,y). Es ist zu beachten, dass die rechte Funktion zweier Variablen homogen ist und nicht in zwei Abhängigkeiten unterteilt werden kann : z auf x und z auf y. Überprüfen, ob die Gleichung homogen ist oder nicht, ist ganz einfach: Wir ersetzen x=k*x und y=k*y. Jetzt streichen wir alle k. Wenn alle diese Buchstaben gestrichen sind , dann ist die Gleichung homogen und Sie können sicher mit der Lösung beginnen. Mit Blick auf die Zukunft sagen wir mal: Das Lösungsprinzip dieser Beispiele ist ebenfalls sehr einfach.

Wir müssen eine Ersetzung vornehmen: y=t(x)*x, wobei t eine bestimmte Funktion ist, die auch von x abhängt. Dann können wir die Ableitung ausdrücken: y"=t"(x)*x+t. Wenn wir das alles in unsere ursprüngliche Gleichung einsetzen und vereinfachen, erhalten wir ein Beispiel mit trennbaren Variablen t und x. Wir lösen es und erhalten die Abhängigkeit t(x). Sobald wir es erhalten haben, setzen wir einfach y=t(x)*x in unsere vorherige Ersetzung ein. Dann erhalten wir die Abhängigkeit von y von x.

Schauen wir uns zur Verdeutlichung ein Beispiel an: x*y"=y-x*e y/x .

Bei der Überprüfung mit Ersatz wird alles reduziert. Dies bedeutet, dass die Gleichung wirklich homogen ist. Jetzt nehmen wir eine weitere Ersetzung vor, über die wir gesprochen haben: y=t(x)*x und y"=t"(x)*x+t(x). Nach der Vereinfachung erhalten wir die folgende Gleichung: t"(x)*x=-e t. Wir lösen das resultierende Beispiel mit getrennten Variablen und erhalten: e -t =ln(C*x). Alles, was wir tun müssen, ist zu ersetzen t mit y/x (wenn y =t*x, dann t=y/x), und wir erhalten die Antwort: e -y/x =ln(x*C).

Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

Es ist Zeit, sich mit einem weiteren breiten Thema zu befassen. Wir werden inhomogene Differentialgleichungen erster Ordnung analysieren. Wie unterscheiden sie sich von den beiden vorherigen? Lass es uns herausfinden. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung können in allgemeiner Form wie folgt geschrieben werden: y" + g(x)*y=z(x). Es lohnt sich klarzustellen, dass z(x) und g(x) konstante Größen sein können.

Und nun ein Beispiel: y" - y*x=x 2 .

Es gibt zwei Lösungen, und wir werden beide der Reihe nach betrachten. Die erste ist die Methode der Variation beliebiger Konstanten.

Um die Gleichung auf diese Weise zu lösen, müssen Sie zunächst die rechte Seite mit Null gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen, die nach der Übertragung der Teile die Form annimmt:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Jetzt müssen wir die Konstante C 1 durch die Funktion v(x) ersetzen, die wir finden müssen.

Ersetzen wir die Ableitung:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Und setzen Sie diese Ausdrücke in die ursprüngliche Gleichung ein:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Sie können sehen, dass auf der linken Seite zwei Begriffe aufgehoben werden. Wenn dies in einem Beispiel nicht der Fall ist, haben Sie etwas falsch gemacht. Lass uns weitermachen:

v"*e x2/2 = x 2 .

Jetzt lösen wir die übliche Gleichung, in der wir die Variablen trennen müssen:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Um das Integral zu extrahieren, müssen wir hier die partielle Integration anwenden. Dies ist jedoch nicht das Thema unseres Artikels. Bei Interesse können Sie lernen, wie Sie solche Aktionen selbst durchführen können. Es ist nicht schwierig und mit ausreichend Geschick und Sorgfalt dauert es nicht lange.

Wenden wir uns der zweiten Methode zur Lösung inhomogener Gleichungen zu: der Bernoulli-Methode. Welcher Ansatz schneller und einfacher ist, liegt bei Ihnen.

Wenn wir also eine Gleichung mit dieser Methode lösen, müssen wir eine Substitution vornehmen: y=k*n. Hier sind k und n einige x-abhängige Funktionen. Dann sieht die Ableitung so aus: y"=k"*n+k*n". Wir setzen beide Ersetzungen in die Gleichung ein:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Gruppierung:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Jetzt müssen wir das, was in Klammern steht, mit Null gleichsetzen. Wenn wir nun die beiden resultierenden Gleichungen kombinieren, erhalten wir ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung, das gelöst werden muss:

Wir lösen die erste Gleichung als gewöhnliche Gleichung. Dazu müssen Sie die Variablen trennen:

Wir nehmen das Integral und erhalten: ln(n)=x 2 /2. Wenn wir dann n ausdrücken:

Nun setzen wir die resultierende Gleichheit in die zweite Gleichung des Systems ein:

k"*e x2/2 =x 2 .

Und durch die Transformation erhalten wir die gleiche Gleichheit wie bei der ersten Methode:

dk=x 2 /e x2/2 .

Auch über das weitere Vorgehen werden wir nicht sprechen. Es ist erwähnenswert, dass die Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung zunächst erhebliche Schwierigkeiten bereitet. Je tiefer man jedoch in das Thema eintaucht, desto besser klappt es.

Wo werden Differentialgleichungen verwendet?

Differentialgleichungen werden in der Physik sehr aktiv verwendet, da fast alle Grundgesetze in Differentialform geschrieben sind und die Formeln, die wir sehen, Lösungen dieser Gleichungen sind. In der Chemie werden sie aus demselben Grund verwendet: Mit ihrer Hilfe werden grundlegende Gesetze abgeleitet. In der Biologie werden Differentialgleichungen verwendet, um das Verhalten von Systemen wie Raubtieren und Beutetieren zu modellieren. Sie können auch verwendet werden, um Reproduktionsmodelle beispielsweise einer Kolonie von Mikroorganismen zu erstellen.

Wie können Differentialgleichungen Ihnen im Leben helfen?

Die Antwort auf diese Frage ist einfach: überhaupt nicht. Wenn Sie kein Wissenschaftler oder Ingenieur sind, werden sie Ihnen wahrscheinlich keinen Nutzen bringen. Für die allgemeine Entwicklung wird es jedoch nicht schaden, zu wissen, was eine Differentialgleichung ist und wie sie gelöst wird. Und dann lautet die Frage des Sohnes oder der Tochter: „Was ist eine Differentialgleichung?“ wird dich nicht verwirren. Nun, wenn Sie Wissenschaftler oder Ingenieur sind, dann verstehen Sie selbst die Bedeutung dieses Themas in jeder Wissenschaft. Aber das Wichtigste ist, dass sich nun die Frage stellt: „Wie löst man eine Differentialgleichung erster Ordnung?“ Du kannst immer eine Antwort geben. Stimmen Sie zu, es ist immer schön, wenn man etwas versteht, vor dem die Leute überhaupt Angst haben, es zu verstehen.

Hauptprobleme beim Lernen

Das Hauptproblem beim Verständnis dieses Themas ist die mangelnde Fähigkeit, Funktionen zu integrieren und zu differenzieren. Wenn Sie sich nicht gut mit Ableitungen und Integralen auskennen, lohnt es sich wahrscheinlich, mehr zu studieren, verschiedene Integrations- und Differenzierungsmethoden zu beherrschen und erst dann mit dem Studium des im Artikel beschriebenen Materials zu beginnen.

Manche Leute wundern sich, wenn sie erfahren, dass dx übertragen werden kann, denn früher (in der Schule) hieß es, der Bruch dy/dx sei unteilbar. Hier müssen Sie die Literatur zur Ableitung lesen und verstehen, dass es sich um ein Verhältnis von infinitesimalen Größen handelt, das beim Lösen von Gleichungen manipuliert werden kann.

Viele Menschen erkennen nicht sofort, dass das Lösen von Differentialgleichungen erster Ordnung oft eine Funktion oder ein Integral ist, die nicht genommen werden können, und diese falsche Vorstellung bereitet ihnen große Probleme.

Was können Sie zum besseren Verständnis noch studieren?

Das weitere Eintauchen in die Welt der Differentialrechnung beginnt man am besten mit speziellen Lehrbüchern, zum Beispiel zur mathematischen Analyse für Studierende nichtmathematischer Fachrichtungen. Anschließend können Sie sich der Fachliteratur zuwenden.

Es ist erwähnenswert, dass es neben Differentialgleichungen auch Integralgleichungen gibt, sodass Sie immer etwas anstreben und studieren können.

Abschluss

Wir hoffen, dass Sie nach der Lektüre dieses Artikels eine Vorstellung davon haben, was Differentialgleichungen sind und wie man sie richtig löst.

Auf jeden Fall wird uns die Mathematik im Leben in irgendeiner Weise nützlich sein. Es entwickelt Logik und Aufmerksamkeit, ohne die jeder Mensch keine Hände hat.

Stoppen! Versuchen wir, diese umständliche Formel zu verstehen.

Die erste Variable in der Potenz mit einem Koeffizienten sollte an erster Stelle stehen. In unserem Fall ist es so

In unserem Fall ist es so. Wie wir herausgefunden haben, bedeutet dies, dass der Grad bei der ersten Variablen konvergiert. Und die zweite Variable ersten Grades ist vorhanden. Koeffizient.

Wir haben es.

Die erste Variable ist eine Potenz und die zweite Variable ist ein Quadrat mit einem Koeffizienten. Dies ist der letzte Term in der Gleichung.

Wie Sie sehen, entspricht unsere Gleichung der Definition in Form einer Formel.

Schauen wir uns den zweiten (verbalen) Teil der Definition an.

Wir haben zwei Unbekannte und. Hier konvergiert es.

Betrachten wir alle Begriffe. In ihnen sollte die Summe der Grade der Unbekannten gleich sein.

Die Summe der Grade ist gleich.

Die Summe der Potenzen ist gleich (bei und bei).

Die Summe der Grade ist gleich.

Wie man sieht, passt alles!!!

Lassen Sie uns nun üben, homogene Gleichungen zu definieren.

Bestimmen Sie, welche der Gleichungen homogen sind:

Homogene Gleichungen – Gleichungen mit Zahlen:

Betrachten wir die Gleichung separat.

Wenn wir jeden Term dividieren, indem wir jeden Term faktorisieren, erhalten wir

Und diese Gleichung fällt vollständig unter die Definition homogener Gleichungen.

Wie löst man homogene Gleichungen?

Beispiel 2.

Teilen wir die Gleichung durch.

Gemäß unserer Bedingung kann y nicht gleich sein. Deshalb können wir getrost durch dividieren

Durch die Substitution erhalten wir eine einfache quadratische Gleichung:

Da es sich um eine reduzierte quadratische Gleichung handelt, verwenden wir den Satz von Vieta:

Nach der umgekehrten Substitution erhalten wir die Antwort

Antwort:

Beispiel 3.

Teilen wir die Gleichung durch (nach Bedingung).

Antwort:

Beispiel 4.

Finden Sie, ob.

Hier müssen Sie nicht dividieren, sondern multiplizieren. Lassen Sie uns die gesamte Gleichung multiplizieren mit:

Machen wir eine Ersetzung und lösen die quadratische Gleichung:

Nachdem wir die umgekehrte Substitution durchgeführt haben, erhalten wir die Antwort:

Antwort:

Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen.

Die Lösung homogener trigonometrischer Gleichungen unterscheidet sich nicht von den oben beschriebenen Lösungsmethoden. Nur hier müssen Sie unter anderem ein wenig Trigonometrie beherrschen. Und in der Lage sein, trigonometrische Gleichungen zu lösen (dazu können Sie den Abschnitt lesen).

Schauen wir uns solche Gleichungen anhand von Beispielen an.

Beispiel 5.

Löse die Gleichung.

Wir sehen eine typische homogene Gleichung: und sind Unbekannte, und die Summe ihrer Potenzen in jedem Term ist gleich.

Solche homogenen Gleichungen sind nicht schwer zu lösen, aber bevor Sie die Gleichungen aufteilen, betrachten Sie den Fall, wenn

In diesem Fall hat die Gleichung die Form: , also. Aber Sinus und Cosinus können nicht gleichzeitig gleich sein, da sie der grundlegenden trigonometrischen Identität entsprechen. Daher können wir es sicher unterteilen in:

Da die Gleichung gegeben ist, gilt nach dem Satz von Vieta:

Antwort:

Beispiel 6.

Löse die Gleichung.

Wie im Beispiel müssen Sie die Gleichung durch dividieren. Betrachten wir den Fall, wenn:

Aber Sinus und Cosinus können nicht gleichzeitig gleich sein, da sie der grundlegenden trigonometrischen Identität entsprechen. Deshalb.

Machen wir eine Ersetzung und lösen die quadratische Gleichung:

Machen wir die umgekehrte Substitution und finden und:

Antwort:

Lösung homogener Exponentialgleichungen.

Homogene Gleichungen werden auf die gleiche Weise wie oben besprochen gelöst. Wenn Sie vergessen haben, wie man Exponentialgleichungen löst, schauen Sie sich den entsprechenden Abschnitt () an!

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 7.

Löse die Gleichung

Stellen wir uns das so vor:

Wir sehen eine typische homogene Gleichung mit zwei Variablen und einer Potenzsumme. Teilen wir die Gleichung auf in:

Wie Sie sehen können, erhalten wir durch die Substitution die folgende quadratische Gleichung (Sie müssen keine Angst vor der Division durch Null haben – sie ist immer streng größer als Null):

Nach dem Satz von Vieta:

Antwort: .

Beispiel 8.

Löse die Gleichung

Stellen wir uns das so vor:

Teilen wir die Gleichung auf in:

Machen wir eine Ersetzung und lösen die quadratische Gleichung:

Die Wurzel erfüllt die Bedingung nicht. Machen wir die umgekehrte Substitution und finden:

Antwort:

HOMOGENE GLEICHUNGEN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Lassen Sie mich zunächst am Beispiel eines Problems daran erinnern Was sind homogene Gleichungen und was ist die Lösung homogener Gleichungen?

Das Problem lösen:

Finden Sie, ob.

Hier fällt Ihnen etwas Merkwürdiges auf: Wenn wir jeden Term durch dividieren, erhalten wir:

Das heißt, jetzt gibt es kein separates UND, jetzt ist die Variable in der Gleichung der gewünschte Wert. Und dies ist eine gewöhnliche quadratische Gleichung, die mit dem Satz von Vieta leicht gelöst werden kann: Das Produkt der Wurzeln ist gleich und die Summe sind die Zahlen und.

Antwort:

Gleichungen der Form

heißt homogen. Das heißt, es handelt sich um eine Gleichung mit zwei Unbekannten, von denen jeder Term die gleiche Summe der Potenzen dieser Unbekannten hat. Im obigen Beispiel ist dieser Betrag beispielsweise gleich. Homogene Gleichungen werden durch Division durch eine der Unbekannten bis zu diesem Grad gelöst:

Und das anschließende Ersetzen von Variablen: . Somit erhalten wir eine Potenzgleichung mit einer Unbekannten:

Am häufigsten stoßen wir auf Gleichungen zweiten Grades (also quadratisch) und wissen, wie man sie löst:

Beachten Sie, dass wir die gesamte Gleichung nur dann durch eine Variable dividieren (und multiplizieren) können, wenn wir überzeugt sind, dass diese Variable nicht gleich Null sein kann! Wenn wir zum Beispiel gefragt werden, ob wir finden sollen, verstehen wir das sofort, da es unmöglich ist, zu teilen. In Fällen, in denen dies nicht so offensichtlich ist, muss separat geprüft werden, ob diese Variable gleich Null ist. Zum Beispiel:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Wir sehen hier eine typische homogene Gleichung: und sind Unbekannte, und die Summe ihrer Potenzen in jedem Term ist gleich.

Aber bevor wir dividieren und eine quadratische Gleichung relativ erhalten, müssen wir den Fall betrachten, wenn. In diesem Fall hat die Gleichung die Form: , was bedeutet. Aber Sinus und Cosinus können nicht gleichzeitig gleich Null sein, denn gemäß der grundlegenden trigonometrischen Identität gilt: . Daher können wir es sicher unterteilen in:

Ich hoffe, diese Lösung ist völlig klar? Wenn nicht, lesen Sie den Abschnitt. Wenn nicht klar ist, woher es stammt, müssen Sie noch früher zurückkehren – zum Abschnitt.

Entscheide dich selbst:

1. Finden Sie, ob.
2. Finden Sie, ob.
3. Löse die Gleichung.

Hier schreibe ich kurz direkt die Lösung homogener Gleichungen:

Lösungen:

Antwort: .

Aber hier müssen wir multiplizieren statt dividieren:

Antwort:

Wenn Sie es noch nicht genommen haben, können Sie dieses Beispiel überspringen.

Da wir hier durch dividieren müssen, stellen wir zunächst sicher, dass einhundert nicht gleich Null ist:

Und das ist unmöglich.

Antwort: .

HOMOGENE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Die Lösung aller homogenen Gleichungen wird auf die Division durch eine der Unbekannten zur Potenz und weitere Änderung der Variablen reduziert.

Algorithmus:

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

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Derzeit sind entsprechend der Grundstufe des Mathematikstudiums nur 4 Stunden für das Mathematikstudium im Gymnasium vorgesehen (2 Stunden Algebra, 2 Stunden Geometrie). In ländlichen Kleinschulen wird versucht, die Stundenzahl aufgrund des Schulanteils zu erhöhen. Wenn es sich jedoch um eine humanitäre Klasse handelt, kommt eine schulische Komponente für das Studium geisteswissenschaftlicher Fächer hinzu. In einem kleinen Dorf hat ein Schulkind oft keine Wahl; er lernt in dieser Klasse; welches in der Schule erhältlich ist. Er hat nicht vor, Anwalt, Historiker oder Journalist zu werden (es gibt solche Fälle), sondern Ingenieur oder Wirtschaftswissenschaftler zu werden, also muss er das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik mit guten Noten bestehen. Unter solchen Umständen muss der Mathematiklehrer seinen eigenen Ausweg aus der aktuellen Situation finden; außerdem ist laut Kolmogorovs Lehrbuch das Studium des Themas „homogene Gleichungen“ nicht vorgesehen. In den vergangenen Jahren habe ich zwei Doppelstunden gebraucht, um dieses Thema einzuführen und zu vertiefen. Leider verbot unsere Schulaufsicht Doppelunterricht in der Schule, sodass die Anzahl der Übungen auf 45 Minuten reduziert werden musste und dementsprechend der Schwierigkeitsgrad der Übungen auf mittel gesenkt wurde. Ich mache Sie auf einen Unterrichtsplan zu diesem Thema in der 10. Klasse mit einem Grundniveau des Mathematikunterrichts in einer ländlichen Kleinschule aufmerksam.

Unterrichtsart: traditionell.

Ziel: Lernen Sie, typische homogene Gleichungen zu lösen.

Aufgaben:

Kognitiv:

Entwicklung:

Lehrreich:

• Förderung harter Arbeit durch geduldiges Erledigen von Aufgaben, Kameradschaftsgefühl durch die Arbeit in Paaren und Gruppen.

Während des Unterrichts

ICH. Organisatorisch Bühne(3 Minuten.)

II. Testen des Wissens, das zur Beherrschung neuer Materialien erforderlich ist (10 Min.)

Identifizieren Sie die Hauptschwierigkeiten bei der weiteren Analyse der erledigten Aufgaben. Die Jungs wählen 3 Optionen. Aufgaben differenziert nach Schwierigkeitsgrad und Vorbereitungsgrad der Kinder, anschließend Erklärung an der Tafel.

Level 1. Lösen Sie die Gleichungen:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Antworten: 7;3

Level 2. Lösen Sie einfache trigonometrische Gleichungen und biquadratische Gleichungen:

Antworten:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Antworten: -2; 2; -3; 3

Stufe 3. Gleichungen durch Ändern von Variablen lösen:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Antworten:

III. Das Thema kommunizieren, Ziele und Zielsetzungen festlegen.

Thema: Homogene Gleichungen

Ziel: Lernen Sie, typische homogene Gleichungen zu lösen

Aufgaben:

Kognitiv:

• Machen Sie sich mit homogenen Gleichungen vertraut und lernen Sie, die häufigsten Arten solcher Gleichungen zu lösen.

Entwicklung:

• Entwicklung des analytischen Denkens.
• Entwicklung mathematischer Fähigkeiten: Lernen Sie, die Hauptmerkmale zu identifizieren, durch die sich homogene Gleichungen von anderen Gleichungen unterscheiden, und können Sie die Ähnlichkeit homogener Gleichungen in ihren verschiedenen Erscheinungsformen feststellen.

IV. Neues Wissen erlernen (15 Min.)

1. Vortragsmoment.

Definition 1(Schreiben Sie es in ein Notizbuch). Eine Gleichung der Form P(x;y)=0 heißt homogen, wenn P(x;y) ein homogenes Polynom ist.

Ein Polynom in zwei Variablen x und y heißt homogen, wenn der Grad jedes seiner Terme gleich der gleichen Zahl k ist.

Definition 2(Nur eine Einführung). Gleichungen der Form

heißt eine homogene Gleichung vom Grad n bezüglich u(x) und v(x). Indem wir beide Seiten der Gleichung durch (v(x))n dividieren, können wir eine Substitution verwenden, um die Gleichung zu erhalten

Dadurch können wir die ursprüngliche Gleichung vereinfachen. Der Fall v(x)=0 muss gesondert betrachtet werden, da eine Division durch 0 nicht möglich ist.

2. Beispiele für homogene Gleichungen:

Erklären Sie: Warum sie homogen sind, nennen Sie Beispiele für solche Gleichungen.

3. Aufgabe zur Bestimmung homogener Gleichungen:

Identifizieren Sie unter den gegebenen Gleichungen homogene Gleichungen und begründen Sie Ihre Wahl:

Nachdem Sie Ihre Wahl erläutert haben, zeigen Sie anhand eines der Beispiele, wie Sie eine homogene Gleichung lösen:

4. Entscheiden Sie selbst:

Antwort:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch cos x, wir erhalten 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Zeigen Sie die Lösung anhand eines Beispiels aus der Broschüre„P.V. Tschulkow. Gleichungen und Ungleichungen in einem Schulmathematikkurs. Moskauer Pädagogische Universität „Erster September“ 2006, S. 22.“ Als eines der möglichen Beispiele für das Einheitliche Staatsexamen der Stufe C.

V. Lösen Sie die Konsolidierung mithilfe von Bashmakovs Lehrbuch

Seite 183 Nr. 59 (1.5) oder nach dem von Kolmogorov herausgegebenen Lehrbuch: Seite 81 Nr. 169 (a, c)

Antworten:

VI. Test, selbstständiges Arbeiten (7 Min.)

1 Option	Option 2
Gleichungen lösen:
a) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 =0	B)

Antworten auf Aufgaben:

Option 1 a) Antwort: arctan2+πn,n € Z; b) Antwort: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Option 2 a) Antwort: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Antwort: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)

VII. Hausaufgaben

Nr. 169 nach Kolmogorov, Nr. 59 nach Bashmakov.

Lösen Sie außerdem das Gleichungssystem:

Antwort: arctan(-1±√3) +πn,

Verweise:

1. P.V. Tschulkow. Gleichungen und Ungleichungen in einem Schulmathematikkurs. – M.: Pädagogische Universität „Erster September“, 2006. S. 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometrie. – M.: „AST-PRESS“, 1998, S. 389
3. Algebra für die 8. Klasse, herausgegeben von N.Ya. Vilenkina. – M.: „Aufklärung“, 1997.
4. Algebra für die 9. Klasse, herausgegeben von N.Ya. Vilenkina. Moskau „Aufklärung“, 2001.
5. M.I. Baschmakow. Algebra und die Anfänge der Analysis. Für die Klassen 10-11 - M.: „Aufklärung“ 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Algebra und die Anfänge der Analysis. Für die Klassen 10-11. – M.: „Aufklärung“, 1990.
7. A.G. Mordkowitsch. Algebra und die Anfänge der Analysis. Teil 1 Lehrbuch für die Klassen 10-11. – M.: „Mnemosyne“, 2004.

Homogen

In dieser Lektion werden wir uns mit dem sogenannten befassen Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung. Zusammen mit trennbare Gleichungen Und lineare inhomogene Gleichungen Diese Art der Fernbedienung findet sich in fast allen Testarbeiten zum Thema Diffusoren. Wenn Sie über eine Suchmaschine auf die Seite gelangt sind oder sich im Verständnis von Differentialgleichungen nicht so sicher sind, empfehle ich Ihnen dringend, zunächst eine Einführungslektion zum Thema durchzuarbeiten – Differentialgleichungen erster Ordnung. Tatsache ist, dass viele der Prinzipien zur Lösung homogener Gleichungen und die verwendeten Techniken genau die gleichen sind wie für die einfachsten Gleichungen mit trennbaren Variablen.

Was ist der Unterschied zwischen homogenen Differentialgleichungen und anderen Arten von Differentialgleichungen? Am einfachsten lässt sich dies sofort anhand eines konkreten Beispiels erklären.

Beispiel 1

Lösung:
Was zuerst sollten bei der Entscheidung analysiert werden beliebig Differentialgleichung erste Bestellung? Zunächst muss geprüft werden, ob eine sofortige Trennung der Variablen durch „schulische“ Aktionen möglich ist? Normalerweise erfolgt diese Analyse im Kopf oder durch den Versuch, die Variablen in einem Entwurf zu trennen.

In diesem Beispiel Variablen können nicht getrennt werden(Sie können versuchen, Begriffe von Teil zu Teil zu werfen, Faktoren aus Klammern zu erhöhen usw.). Dass die Variablen in diesem Beispiel nicht dividiert werden können, ist übrigens aufgrund des Vorhandenseins des Multiplikators ganz offensichtlich.

Es stellt sich die Frage: Wie lässt sich dieses diffuse Problem lösen?

Muss überprüft werden und Ist diese Gleichung nicht homogen?? Die Überprüfung ist einfach und der Überprüfungsalgorithmus selbst kann wie folgt formuliert werden:

Zur ursprünglichen Gleichung:

anstatt wir ersetzen, anstatt wir ersetzen, Wir berühren die Ableitung nicht:

Der Buchstabe Lambda ist ein bedingter Parameter und spielt hier folgende Rolle: Wenn es durch Transformationen möglich ist, ALLE Lambdas zu „zerstören“ und die ursprüngliche Gleichung zu erhalten, dann diese Differentialgleichung ist homogen.

Es ist offensichtlich, dass Lambdas sofort um den Exponenten reduziert werden:

Nun nehmen wir auf der rechten Seite das Lambda aus Klammern:

und dividiere beide Teile durch dasselbe Lambda:

Ergebend Alle Die Lambdas verschwanden wie ein Traum, wie ein Morgennebel, und wir bekamen die ursprüngliche Gleichung.

Abschluss: Diese Gleichung ist homogen

Wie löst man eine homogene Differentialgleichung?

Ich habe sehr gute Neuigkeiten. Absolut alle homogenen Gleichungen können mit einer einzigen (!) Standardsubstitution gelöst werden.

Die „Spiel“-Funktion sollte vorhanden sein ersetzen arbeiten eine gewisse Funktion (auch abhängig von „x“) und „x“:

Sie schreiben fast immer kurz:

Wir finden heraus, was aus dem Derivat bei einem solchen Ersatz wird, wir verwenden die Differenzierungsregel des Produkts. Wenn, dann:

Wir setzen in die ursprüngliche Gleichung ein:

Was bringt ein solcher Ersatz? Nach dieser Ersetzung und Vereinfachung haben wir garantiert wir erhalten eine Gleichung mit separierbaren Variablen. ERINNERN wie die erste Liebe :) und dementsprechend .

Nach der Substitution führen wir maximale Vereinfachungen durch:

Da es sich um eine von „x“ abhängige Funktion handelt, kann ihre Ableitung als Standardbruch geschrieben werden: .
Auf diese Weise:

Wir trennen die Variablen, während Sie auf der linken Seite nur „te“ und auf der rechten Seite nur „x“ sammeln müssen:

Die Variablen werden getrennt, integrieren wir:


Laut meinem ersten technischen Tipp aus dem Artikel Differentialgleichungen erster Ordnung In vielen Fällen empfiehlt es sich, eine Konstante in Form eines Logarithmus zu „formulieren“.

Nachdem die Gleichung integriert wurde, müssen wir sie ausführen umgekehrter Ersatz, es ist auch Standard und einzigartig:
Wenn, dann
In diesem Fall:

In 18–19 von 20 Fällen wird die Lösung einer homogenen Gleichung als allgemeines Integral geschrieben.

Antwort: allgemeines Integral:

Warum wird die Antwort auf eine homogene Gleichung fast immer in Form eines allgemeinen Integrals gegeben?
In den meisten Fällen ist es unmöglich, das „Spiel“ explizit auszudrücken (um eine allgemeine Lösung zu erhalten), und wenn es möglich ist, erweist sich die allgemeine Lösung meistens als umständlich und ungeschickt.

So kann beispielsweise im betrachteten Beispiel eine allgemeine Lösung durch Abwägen der Logarithmen auf beiden Seiten des allgemeinen Integrals erhalten werden:

- Nun, das ist in Ordnung. Obwohl Sie zugeben müssen, dass es immer noch etwas schief ist.

Übrigens habe ich in diesem Beispiel das allgemeine Integral nicht ganz „anständig“ niedergeschrieben. Es ist kein Fehler, aber in einem „guten“ Stil möchte ich Sie daran erinnern, dass das allgemeine Integral normalerweise in der Form geschrieben wird. Dazu sollte unmittelbar nach der Integration der Gleichung die Konstante ohne Logarithmus geschrieben werden (Hier ist die Ausnahme von der Regel!):

Und nach der umgekehrten Substitution erhalten Sie das allgemeine Integral in der „klassischen“ Form:

Die erhaltene Antwort kann überprüft werden. Dazu müssen Sie das allgemeine Integral differenzieren, also finden Ableitung einer implizit angegebenen Funktion:

Wir entfernen Brüche, indem wir jede Seite der Gleichung multiplizieren mit:

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde erhalten, was bedeutet, dass die Lösung korrekt gefunden wurde.

Es ist ratsam, dies immer zu überprüfen. Homogene Gleichungen sind jedoch insofern unangenehm, als es normalerweise schwierig ist, ihre allgemeinen Integrale zu überprüfen – dies erfordert eine sehr, sehr gute Differenzierungstechnik. Im betrachteten Beispiel war es bei der Verifizierung bereits notwendig, nicht die einfachsten Ableitungen zu finden (obwohl das Beispiel selbst recht einfach ist). Wenn Sie es überprüfen können, überprüfen Sie es!

Das folgende Beispiel können Sie selbst lösen – damit Sie sich mit dem Aktionsalgorithmus vertraut machen:

Beispiel 2

Überprüfen Sie die Gleichung auf Homogenität und ermitteln Sie ihr allgemeines Integral.

Schreiben Sie die Antwort in das Formular und führen Sie die Prüfung durch.

Auch hier stellte sich heraus, dass es sich um eine eher einfache Überprüfung handelte.

Und nun der versprochene wichtige Punkt, der ganz am Anfang des Themas erwähnt wurde:
Ich werde in fetten schwarzen Buchstaben hervorheben:

Wenn wir während der Transformationen den Multiplikator „zurücksetzen“. (keine Konstante)in den Nenner, dann besteht die Gefahr, dass wir Lösungen verlieren!

Und tatsächlich ist uns dies im ersten Beispiel begegnet Einführungslektion über Differentialgleichungen. Bei der Lösung der Gleichung stellte sich heraus, dass das „y“ im Nenner stand: , aber offensichtlich ist es eine Lösung für DE und aufgrund einer ungleichen Transformation (Division) besteht jede Chance, es zu verlieren! Eine andere Sache ist, dass es bei einem Nullwert der Konstante in die allgemeine Lösung einbezogen wurde. Das Zurücksetzen des „X“ im Nenner kann auch ignoriert werden, weil entspricht nicht dem Originaldiffusor.

Eine ähnliche Geschichte mit der dritten Gleichung derselben Lektion, bei deren Lösung wir in den Nenner „gefallen“ sind. Streng genommen galt es hier zu prüfen, ob dieser Diffusor die Lösung ist? Immerhin ist es so! Aber auch hier „lief alles gut“, da diese Funktion im allgemeinen Integral enthalten war bei .

Und wenn dies oft mit „trennbaren“ Gleichungen funktioniert, funktioniert es bei homogenen und einigen anderen Diffusoren möglicherweise nicht. Sehr wahrscheinlich.

Lassen Sie uns die in dieser Lektion bereits gelösten Probleme analysieren: in Beispiele 1-2 Auch das „Zurücksetzen“ von Außerdem in Beispiel 2 Es stellte sich heraus, dass sie im Nenner lag, und hier riskierten wir, die Funktion zu verlieren, die offensichtlich die Gleichung erfüllt . Aber auch hier ist es „vorübergegangen“, denn... Es trat in das allgemeine Integral beim Nullwert der Konstante ein.

Aber natürlich habe ich absichtlich „glückliche Anlässe“ geschaffen, und es ist keine Tatsache, dass es in der Praxis solche sind, auf die ich stoßen werde:

Beispiel 3

Differentialgleichung lösen

Ist das nicht ein einfaches Beispiel? ;-)

Lösung: Die Homogenität dieser Gleichung ist offensichtlich, aber dennoch - auf dem ersten Schritt Wir prüfen IMMER, ob eine Trennung der Variablen möglich ist. Denn auch die Gleichung ist homogen, aber die darin enthaltenen Variablen lassen sich leicht trennen. Ja da sind welche!

Nachdem wir die „Trennbarkeit“ geprüft haben, nehmen wir eine Ersetzung vor und vereinfachen die Gleichung so weit wie möglich:

Wir trennen die Variablen, sammeln links „te“ und rechts „x“:

Und hier STOP. Bei der Division durch riskieren wir, zwei Funktionen gleichzeitig zu verlieren. Da sind dies die Funktionen:

Die erste Funktion ist offensichtlich eine Lösung der Gleichung . Wir überprüfen das zweite - wir ersetzen auch seine Ableitung in unserem Diffusor:

– Es ergibt sich die richtige Gleichheit, was bedeutet, dass die Funktion auch eine Lösung ist.

UND Wir riskieren, diese Entscheidungen zu verlieren.

Außerdem stellte sich heraus, dass der Nenner „X“ war und daher Überprüfen Sie dies unbedingt ist keine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung. Nein ist nicht.

Nehmen wir das alles zur Kenntnis und fahren wir fort:

Ich muss sagen, ich hatte Glück mit dem Integral der linken Seite; es kann viel schlimmer sein.

Wir sammeln einen einzelnen Logarithmus auf der rechten Seite und werfen die Fesseln ab:

Und jetzt nur noch die umgekehrte Ersetzung:

Multiplizieren wir alle Terme mit:

Jetzt sollten Sie prüfen - ob „gefährliche“ Lösungen im allgemeinen Integral enthalten waren. Ja, beide Lösungen wurden beim Nullwert der Konstante in das allgemeine Integral einbezogen, sodass sie nicht zusätzlich angegeben werden müssen Antwort:

allgemeines Integral:

Untersuchung. Nicht einmal ein Test, sondern pures Vergnügen :)

Die ursprüngliche Differentialgleichung wurde erhalten, was bedeutet, dass die Lösung korrekt gefunden wurde.

Um es selbst zu lösen:

Beispiel 4

Homogenitätstest durchführen und Differentialgleichung lösen

Überprüfen Sie das allgemeine Integral durch Differentiation.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Schauen wir uns noch ein paar typische Beispiele an:

Beispiel 5

Differentialgleichung lösen

Lösung Wir werden uns daran gewöhnen, es kompakter zu gestalten. Zunächst stellen wir gedanklich oder an einem Entwurf sicher, dass sich die Variablen hier nicht trennen lassen, anschließend führen wir einen Test auf Homogenität durch – dieser wird bei einem finalen Entwurf in der Regel nicht durchgeführt. (sofern nicht ausdrücklich erforderlich). Daher beginnt die Lösung fast immer mit dem Eintrag: „ Diese Gleichung ist homogen, machen wir die Ersetzung: ...».

Ersatz, und wir gehen den ausgetretenen Weg:

Das „X“ ist hier in Ordnung, aber was ist mit dem quadratischen Trinom? Da es nicht in Faktoren zerlegbar ist: , verlieren wir definitiv keine Lösungen. Es würde immer so sein! Wählen Sie das vollständige Quadrat auf der linken Seite aus und integrieren Sie:

Hier gibt es nichts zu vereinfachen und daher die umgekehrte Ersetzung:

Antwort: allgemeines Integral:

Das folgende Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 6

Differentialgleichung lösen

Es scheinen ähnliche Gleichungen zu sein, aber nein - großer Unterschied;)

Und jetzt beginnt der Spaß! Lassen Sie uns zunächst herausfinden, was zu tun ist, wenn eine homogene Gleichung mit vorgefertigten Differentialen gegeben ist:

Beispiel 7

Differentialgleichung lösen

Das ist ein sehr interessantes Beispiel, ein ganzer Thriller!

Lösung: Wenn eine homogene Gleichung vorgefertigte Differentiale enthält, kann sie durch eine modifizierte Substitution gelöst werden:

Ich empfehle jedoch nicht, einen solchen Ersatz zu verwenden, da es sich um eine Chinesische Mauer aus chinesischen Differenzialen handelt, bei der man ein Auge und ein Auge braucht. Aus technischer Sicht ist es vorteilhafter, auf die „gestrichelte“ Bezeichnung der Ableitung umzusteigen; dazu dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch:

Und hier haben wir bereits eine „gefährliche“ Transformation vollzogen! Das Nulldifferential entspricht einer Schar von Geraden parallel zur Achse. Sind sie die Wurzeln unseres DU? Setzen wir in die ursprüngliche Gleichung ein:

Diese Gleichheit gilt, wenn wir bei der Division durch Gefahr laufen, die Lösung zu verlieren, und wir haben ihn verloren- seit es befriedigt nicht mehr die resultierende Gleichung .

Es sollte beachtet werden, dass, wenn wir anfänglich die Gleichung war gegeben , dann würde von der Wurzel keine Rede sein. Aber wir haben es, und wir haben es rechtzeitig erkannt.

Wir führen die Lösung mit einem Standardersatz fort:
:

Nach der Substitution vereinfachen wir die Gleichung so weit wie möglich:

Wir trennen die Variablen:

Und hier noch einmal STOP: Bei der Division durch riskieren wir den Verlust zweier Funktionen. Da sind dies die Funktionen:

Offensichtlich ist die erste Funktion eine Lösung der Gleichung . Wir überprüfen die zweite – wir ersetzen auch ihre Ableitung:

- erhalten wahre Gleichheit, was bedeutet, dass die Funktion auch eine Lösung der Differentialgleichung ist.

Und wenn wir durch dividieren, riskieren wir, diese Lösungen zu verlieren. Sie können jedoch in das allgemeine Integral eingehen. Aber sie dürfen nicht eintreten

Nehmen wir dies zur Kenntnis und integrieren wir beide Teile:

Das Integral der linken Seite wird standardmäßig mit gelöst Hervorheben eines vollständigen Quadrats, aber die Verwendung in Diffusoren ist viel bequemer Methode der unsicheren Koeffizienten:

Mit der Methode der unbestimmten Koeffizienten entwickeln wir den Integranden in eine Summe elementarer Brüche:


Auf diese Weise:

Finden der Integrale:

– Da wir nur Logarithmen gezeichnet haben, schieben wir auch die Konstante unter den Logarithmus.

Vor dem Austausch wieder alles vereinfachen, was vereinfacht werden kann:

Zurücksetzen der Ketten:

Und die umgekehrte Ersetzung:

Erinnern wir uns nun an die „verlorenen Dinge“: Die Lösung war im allgemeinen Integral bei enthalten, aber sie „flog an der Kasse vorbei“, weil stellte sich als der Nenner heraus. Daher wird ihm in der Antwort ein gesonderter Satz zugewiesen, und ja – vergessen Sie nicht die verlorene Lösung, die sich übrigens auch unten befindet.

Antwort: allgemeines Integral: . Weitere Lösungen:

Es ist nicht so schwer, die allgemeine Lösung hier auszudrücken:
, aber das ist schon ein Angeber.

Zur Kontrolle jedoch praktisch. Finden wir die Ableitung:

und ersetzen auf der linken Seite der Gleichung:

– Als Ergebnis wurde die rechte Seite der Gleichung erhalten, was überprüft werden musste.

Nun zur Quest mit Wurzeln, das ist auch ein häufiger und sehr heimtückischer Fall:

Beispiel 8

Differentialgleichung lösen

Lösung: Stellen Sie mündlich sicher, dass die Gleichung homogen ist und setzen Sie die erste Liebe in die ursprüngliche Gleichung ein:

Und hier erwartet uns bereits Gefahr. Der Punkt ist, und diese Tatsache kann man sehr leicht aus den Augen verlieren:

Viel Spaß bei der Promotion!

Lösungen und Antworten:

Beispiel 2: Lösung:Überprüfen wir die Gleichung auf Homogenität, dazu in der Originalgleichung anstatt ersetzen wir , und anstatt ersetzen wir:

Als Ergebnis erhält man die ursprüngliche Gleichung, was bedeutet, dass dieses DE homogen ist.