1 Berechnen Sie die Determinante der Matrix. Matrixdeterminante
Übung. Berechnen Sie die Determinante, indem Sie sie in Elemente einer Zeile oder Spalte zerlegen.
Lösung. Führen wir zunächst elementare Transformationen an den Zeilen der Determinante durch und erzeugen so viele Nullen wie möglich entweder in der Zeile oder in der Spalte. Dazu subtrahieren wir zunächst neun Drittel von der ersten Zeile, fünf Drittel von der zweiten und drei Drittel von der vierten, wir erhalten:
Zerlegen wir die resultierende Determinante in die Elemente der ersten Spalte:
Wir werden die resultierende Determinante dritter Ordnung auch in die Elemente der Zeile und Spalte erweitern, nachdem wir zuvor beispielsweise in der ersten Spalte Nullen erhalten haben. Subtrahieren Sie dazu die zweiten beiden Zeilen von der ersten Zeile und die zweite Zeile von der dritten:
Antwort. 
12. Slough 3. Ordnung
1. Dreiecksregel
Schematisch lässt sich diese Regel wie folgt darstellen:
Das Produkt der Elemente in der ersten Determinante, die durch Geraden verbunden sind, wird mit einem Pluszeichen versehen; Ebenso werden für die zweite Determinante die entsprechenden Produkte mit einem Minuszeichen genommen, d.h.
2. Sarrus-Regel
Addieren Sie rechts von der Determinante die ersten beiden Spalten und bilden Sie die Produkte der Elemente auf der Hauptdiagonale und den dazu parallelen Diagonalen mit einem Pluszeichen; und die Produkte der Elemente der Nebendiagonale und der dazu parallelen Diagonalen, mit Minuszeichen:
3. Erweiterung der Determinante in einer Zeile oder Spalte
Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente der Reihe der Determinante und ihrer algebraischen Komplemente. Normalerweise wird die Zeile/Spalte ausgewählt, die Nullen enthält. Die Zeile oder Spalte, entlang derer die Zerlegung durchgeführt wird, wird durch einen Pfeil angezeigt.
Übung. Berechnen Sie die Determinante, indem Sie die erste Zeile erweitern
Lösung.
Antwort. 
4. Reduzieren der Determinante auf Dreiecksform
Durch elementare Transformationen über Zeilen oder Spalten wird die Determinante auf eine Dreiecksform reduziert und dann ist ihr Wert entsprechend den Eigenschaften der Determinante gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale.
Beispiel
Übung. Determinante berechnen 
es in eine dreieckige Form bringen.
Lösung. Zuerst machen wir Nullen in der ersten Spalte unter der Hauptdiagonale. Alle Transformationen sind einfacher durchzuführen, wenn das Element gleich 1 ist. Dazu vertauschen wir die erste und zweite Spalte der Determinante, was je nach den Eigenschaften der Determinante dazu führt, dass sie ihr Vorzeichen in das ändert Gegenteil:
Das Konzept einer Determinante N-te Ordnung
Mithilfe dieses Artikels über Determinanten erfahren Sie auf jeden Fall, wie Sie Probleme wie die folgenden lösen können:
Löse die Gleichung:
und viele andere, die sich Lehrer gerne einfallen lassen.
Die Determinante einer Matrix, oder einfach die Determinante, spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Im Allgemeinen wurden zu diesem Zweck Determinanten erfunden. Da man oft auch „Determinante einer Matrix“ sagt, erwähnen wir hier auch Matrizen. Matrix ist eine rechteckige Tabelle mit Zahlen, die nicht vertauscht werden können. Eine quadratische Matrix ist eine Tabelle, in der die Anzahl der Zeilen und Spalten gleich ist. Nur eine quadratische Matrix kann eine Determinante haben.
Die Logik der Schreibweise von Determinanten lässt sich anhand des folgenden Schemas leicht verstehen. Nehmen wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, das Ihnen aus der Schule bekannt ist:
In der Determinante werden die Koeffizienten für die Unbekannten der Reihe nach geschrieben: in der ersten Zeile – aus der ersten Gleichung, in der zweiten Zeile – aus der zweiten Gleichung:
Zum Beispiel, wenn ein Gleichungssystem gegeben ist
dann wird aus den Koeffizienten der Unbekannten folgende Determinante gebildet:
Wir erhalten also eine quadratische Tabelle, die aus Zahlen besteht, die in angeordnet sind N Linien (horizontale Reihen) und in N Spalten (vertikale Zeilen). Anhand dieser Zahlen ermitteln wir nach einigen Regeln, die wir weiter unten untersuchen werden, die Zahl, die aufgerufen wird bestimmend N-ter Ordnung und wird wie folgt bezeichnet:
(1)
Die Nummern werden aufgerufen Elemente Determinante (1) (der erste Index bedeutet die Zeilennummer, der zweite – die Spaltennummer, an deren Schnittpunkt das Element steht; ich = 1, 2, ..., N; J= 1, 2, ..., n). Die Ordnung einer Determinante ist die Anzahl ihrer Zeilen und Spalten.
Eine imaginäre Gerade, die Elemente der Determinante verbindet, für die beide Indizes gleich sind, d. h. Elemente
angerufen Hauptdiagonale, eine weitere Diagonale – Seite.
Berechnung von Determinanten zweiter und dritter Ordnung
Lassen Sie uns zeigen, wie die Determinanten der ersten drei Ordnungen berechnet werden.
Die Determinante erster Ordnung ist das Element selbst, d.h.
Die Determinante zweiter Ordnung ist die Zahl, die man wie folgt erhält:
, (2)
Das Produkt der Elemente, die sich jeweils auf der Haupt- und Nebendiagonalen befinden.
Gleichung (2) zeigt, dass das Produkt der Elemente der Hauptdiagonale mit eigenem Vorzeichen und das Produkt der Elemente der Nebendiagonale mit entgegengesetztem Vorzeichen genommen wird .
Beispiel 1. Berechnen Sie Determinanten zweiter Ordnung:
Lösung. Mit Formel (2) finden wir:
Eine Determinante dritter Ordnung ist eine Zahl, die man wie folgt erhält:
(3)
Es ist schwierig, sich diese Formel zu merken. Es gibt jedoch eine einfache Regel namens Dreiecksregel , was es einfach macht, Ausdruck (3) zu reproduzieren. Indem wir die Elemente der Determinante mit Punkten bezeichnen, verbinden wir mit Geradensegmenten diejenigen davon, die das Produkt der Elemente der Determinante ergeben (Abb. 1).
Formel (3) zeigt, dass die Produkte der Elemente der Hauptdiagonale sowie der Elemente, die sich an den Eckpunkten zweier Dreiecke befinden, deren Grundflächen parallel dazu sind, mit ihren Vorzeichen genommen werden; mit entgegengesetzten - das Produkt der Elemente der Seitendiagonale sowie der Elemente, die sich an den Eckpunkten zweier dazu paralleler Dreiecke befinden .
In Abb. 1 sind die Hauptdiagonale und die entsprechenden Grundflächen der Dreiecke sowie die Nebendiagonale und die entsprechenden Grundflächen der Dreiecke rot hervorgehoben.
Bei der Berechnung von Determinanten ist es wie in der Oberschule sehr wichtig, sich daran zu erinnern, dass eine Zahl mit einem Minuszeichen multipliziert mit einer Zahl mit einem Minuszeichen eine Zahl mit einem Pluszeichen ergibt und eine Zahl mit einem Pluszeichen multipliziert mit a Zahl mit Minuszeichen ergibt eine Zahl mit Minuszeichen.
Beispiel 2. Berechnen Sie die Determinante dritter Ordnung:
Lösung. Mit der Dreiecksregel erhalten wir
Berechnung von Determinanten N-te Ordnung
Erweitern der Determinante um Zeile oder Spalte
Um die Determinante zu berechnen N-ten Ordnung müssen Sie den folgenden Satz kennen und anwenden.
Satz von Laplace. Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente einer beliebigen Zeile und ihrer algebraischen Komplemente, d.h.
Definition. Wenn in der Determinante N Reihenfolge - willkürlich auswählen P Linien und P Säulen ( P < N), dann bilden die Elemente, die sich am Schnittpunkt dieser Zeilen und Spalten befinden, eine Ordnungsmatrix.
Die Determinante dieser Matrix heißt unerheblich die ursprüngliche Determinante. Betrachten Sie zum Beispiel die Determinante:
Erstellen wir eine Matrix aus Zeilen und Spalten mit geraden Zahlen:
Bestimmend
angerufen unerheblich bestimmend Wir haben ein Nebenfach zweiter Ordnung bekommen. Es ist klar, dass wir daraus verschiedene Nebenfächer erster, zweiter und dritter Ordnung konstruieren können.
Wenn wir ein Element nehmen und die Zeile und Spalte in der Determinante, an deren Schnittpunkt es steht, streichen, erhalten wir ein Nebenelement namens Nebenelement, das wir wie folgt bezeichnen:
.
Wenn das Minor mit multipliziert wird, wobei 3 + 2 die Summe der Zeilen- und Spaltennummern ist, an deren Schnittpunkt sich ein Element befindet, wird das resultierende Produkt aufgerufen algebraisches Komplement Element und wird mit bezeichnet
Im Allgemeinen bezeichnen wir das Nebenelement eines Elements und das algebraische Komplement als
(4)
Berechnen wir zum Beispiel die algebraischen Komplemente der Elemente und der Determinante dritter Ordnung:
Mit Formel (4) erhalten wir 
Bei der Zerlegung einer Determinante wird häufig die folgende Eigenschaft der Determinante verwendet N-te Reihenfolge:
Wenn Sie zu den Elementen einer Zeile oder Spalte das Produkt der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile oder Spalte um einen konstanten Faktor addieren, ändert sich der Wert der Determinante nicht.
Beispiel 4.
Subtrahieren Sie zunächst die Elemente der vierten Reihe von der ersten und dritten Reihe, dann haben wir
Die vierte Spalte der resultierenden Determinante enthält drei Elemente – Nullen. Daher ist es rentabler, diese Determinante auf die Elemente der vierten Spalte zu erweitern, da die ersten drei Produkte Nullen sind. Deshalb
Sie können die Lösung mit überprüfen Online-Determinantenrechner .
Und das folgende Beispiel zeigt, wie die Berechnung einer Determinante beliebiger (in diesem Fall vierter) Ordnung auf die Berechnung einer Determinante zweiter Ordnung reduziert werden kann.
Beispiel 5. Berechnen Sie die Determinante:
Subtrahieren wir die Elemente der ersten Zeile von der dritten Zeile und addieren wir die Elemente der ersten Zeile zu den Elementen der vierten Zeile, dann haben wir
In der ersten Spalte sind alle Elemente außer dem ersten Nullen. Das heißt, die Determinante kann bereits über die erste Spalte erweitert werden. Aber wir wollen die Determinante dritter Ordnung wirklich nicht berechnen. Daher werden wir noch einige weitere Transformationen vornehmen: Zu den Elementen der dritten Zeile addieren wir die Elemente der zweiten Zeile, multipliziert mit 2, und von den Elementen der vierten Zeile subtrahieren wir die Elemente der zweiten Zeile. Dadurch kann die Determinante, die ein algebraisches Komplement ist, selbst entlang der ersten Spalte erweitert werden und wir müssen nur die Determinante zweiter Ordnung berechnen und dürfen uns nicht in den Vorzeichen verwirren:
Reduzieren der Determinante auf Dreiecksform
Eine Determinante, bei der alle auf einer Seite einer Diagonalen liegenden Elemente gleich Null sind, heißt dreieckig. Durch Umkehren der Reihenfolge der Zeilen oder Spalten wird der Fall einer Nebendiagonale auf den Fall der Hauptdiagonale reduziert. Diese Determinante ist gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonale.
Zur Reduktion auf die Dreiecksform wird die gleiche Eigenschaft der Determinante genutzt N-te Ordnung, die wir im vorherigen Absatz angewendet haben: Wenn das Produkt der entsprechenden Elemente einer anderen Zeile oder Spalte mit einem konstanten Faktor zu den Elementen einer Zeile oder Spalte addiert wird, ändert sich der Wert der Determinante nicht.
Sie können die Lösung mit überprüfen Online-Determinantenrechner .
Eigenschaften der Determinante N-te Ordnung
In den beiden vorherigen Absätzen haben wir bereits eine der Eigenschaften der Determinante verwendet N-te Ordnung. In einigen Fällen können Sie zur Vereinfachung der Berechnung der Determinante andere wichtige Eigenschaften der Determinante verwenden. Beispielsweise kann man eine Determinante auf die Summe zweier Determinanten reduzieren, von denen eine oder beide bequem in einer Zeile oder Spalte erweitert werden können. Es gibt viele Fälle einer solchen Vereinfachung, und die Frage der Verwendung dieser oder jener Eigenschaft der Determinante sollte individuell entschieden werden.
Matrixdeterminante
Das Finden der Determinante einer Matrix ist ein sehr häufiges Problem in der höheren Mathematik und Algebra. Bei der Lösung komplexer Gleichungssysteme kann man in der Regel nicht auf den Wert der Matrixdeterminante verzichten. Die Cramer-Methode zur Lösung von Gleichungssystemen basiert auf der Berechnung der Determinante einer Matrix. Mithilfe der Definition einer Determinante wird das Vorhandensein und die Eindeutigkeit einer Lösung eines Gleichungssystems bestimmt. Daher ist es schwierig, die Bedeutung der Fähigkeit, die Determinante einer Matrix in der Mathematik richtig und genau zu finden, zu überschätzen. Methoden zur Lösung von Determinanten sind theoretisch recht einfach, aber mit zunehmender Größe der Matrix werden die Berechnungen sehr umständlich und erfordern große Sorgfalt und viel Zeit. Es ist sehr leicht, bei solch komplexen mathematischen Berechnungen einen kleinen Fehler oder Tippfehler zu machen, der zu einem Fehler in der endgültigen Antwort führt. Also selbst wenn Sie finden Matrixdeterminante Für sich selbst ist es wichtig, das Ergebnis zu überprüfen. Dies kann mit unserem Service „Determinante einer Matrix online ermitteln“ erfolgen. Unser Service liefert stets absolut genaue Ergebnisse, die keine Fehler oder Schreibfehler enthalten. Sie können unabhängige Berechnungen ablehnen, da sie aus angewandter Sicht keine Ergebnisse liefern Determinante der Matrix Es hat keinen pädagogischen Charakter, sondern erfordert einfach viel Zeit und numerische Berechnungen. Daher, wenn in Ihrer Aufgabe Definition der Matrixdeterminante Sind Hilfs-, Nebenberechnungen, nutzen Sie unseren Service und Finden Sie die Determinante einer Matrix online!
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