Quadratische Form f(x 1, x 2,...,x n) von n Variablen ist eine Summe, deren Terme entweder das Quadrat einer der Variablen oder das Produkt zweier verschiedener Variablen mit einem bestimmten Koeffizienten sind: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Die aus diesen Koeffizienten zusammengesetzte Matrix A wird als Matrix quadratischer Form bezeichnet. Es ist immer symmetrisch Matrix (d. h. eine Matrix symmetrisch zur Hauptdiagonale, a ij =a ji).

In der Matrixschreibweise ist die quadratische Form f(X) = X T AX, wobei

Tatsächlich

Schreiben wir zum Beispiel die quadratische Form in Matrixform.

Dazu finden wir eine Matrix quadratischer Form. Seine Diagonalelemente sind gleich den Koeffizienten der quadrierten Variablen und die übrigen Elemente sind gleich den Hälften der entsprechenden Koeffizienten der quadratischen Form. Deshalb

Die Matrixspalte der Variablen X sei durch eine nicht entartete lineare Transformation der Matrixspalte Y erhalten, d.h. X = CY, wobei C eine nicht singuläre Matrix n-ter Ordnung ist. Dann ist die quadratische Form f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Bei einer nicht entarteten linearen Transformation C nimmt die Matrix quadratischer Form also die Form an: A * =C T AC.

Suchen wir zum Beispiel die quadratische Form f(y 1, y 2), die wir aus der quadratischen Form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 durch lineare Transformation erhalten.

Die quadratische Form heißt kanonisch(Es hat kanonische Sichtweise), wenn alle seine Koeffizientena ij = 0 für i≠j, d. h. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Seine Matrix ist diagonal.

Satz(Beweis hier nicht gegeben). Jede quadratische Form kann mithilfe einer nicht entarteten linearen Transformation auf die kanonische Form reduziert werden.

Bringen wir zum Beispiel die quadratische Form f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 in die kanonische Form.

Wählen Sie dazu zunächst ein vollständiges Quadrat mit der Variablen x 1 aus:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Nun wählen wir ein vollständiges Quadrat mit der Variablen x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Dann bringt die nicht entartete lineare Transformation y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 und y 3 = x 3 diese quadratische Form in die kanonische Formf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Beachten Sie, dass die kanonische Form einer quadratischen Form mehrdeutig bestimmt wird (die gleiche quadratische Form kann auf verschiedene Arten auf die kanonische Form reduziert werden 1). Mit verschiedenen Methoden erhaltene kanonische Formen weisen jedoch eine Reihe gemeinsamer Eigenschaften auf. Insbesondere hängt die Anzahl der Terme mit positiven (negativen) Koeffizienten einer quadratischen Form nicht von der Methode zur Reduzierung der Form auf diese Form ab (im betrachteten Beispiel gibt es beispielsweise immer zwei negative und einen positiven Koeffizienten). Diese Eigenschaft heißt Trägheitsgesetz quadratischer Formen.

Überprüfen wir dies, indem wir dieselbe quadratische Form auf andere Weise in die kanonische Form bringen. Beginnen wir die Transformation mit der Variablen x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , wobei y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 und y 3 = x 1 . Hier gibt es einen positiven Koeffizienten von 2 für y 3 und zwei negative Koeffizienten (-3) für y 1 und y 2 (und mit einer anderen Methode haben wir einen positiven Koeffizienten von 2 für y 1 und zwei negative Koeffizienten erhalten – (-5) für y 2 und (-1/20) für y 3 ).

Es ist auch zu beachten, dass der Rang einer Matrix quadratischer Form genannt wird Rang der quadratischen Form, ist gleich der Anzahl der Koeffizienten ungleich Null der kanonischen Form und ändert sich bei linearen Transformationen nicht.

Die quadratische Form f(X) heißt positiv(Negativ)bestimmt, wenn für alle Werte der Variablen, die nicht gleichzeitig Null sind, positiv ist, also f(X) > 0 (negativ, also f(X)< 0).

Beispielsweise ist die quadratische Form f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 positiv definit, weil ist eine Summe von Quadraten und die quadratische Form f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 ist negativ definit, weil stellt dar, dass es in der Formf 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2 dargestellt werden kann.

In den meisten praktischen Situationen ist es etwas schwieriger, das eindeutige Vorzeichen einer quadratischen Form zu bestimmen, daher verwenden wir hierfür einen der folgenden Sätze (wir werden sie ohne Beweis formulieren).

Satz. Eine quadratische Form ist genau dann positiv (negativ) definit, wenn alle Eigenwerte ihrer Matrix positiv (negativ) sind.

Satz (Sylvester-Kriterium). Eine quadratische Form ist genau dann positiv definit, wenn alle führenden Minorwerte der Matrix dieser Form positiv sind.

Haupt-(Eck-)Moll Die Matrizen k-ter Ordnung der An-ten Ordnung werden als Determinante der Matrix bezeichnet und bestehen aus den ersten k Zeilen und Spalten der Matrix A ().

Beachten Sie, dass sich bei negativ definiten quadratischen Formen die Vorzeichen der Hauptminorformen abwechseln und das Minor erster Ordnung negativ sein muss.

Untersuchen wir zum Beispiel die quadratische Form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 auf Vorzeichendefinitheit.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Daher ist die quadratische Form positiv definit.

Methode 2. Hauptminor erster Ordnung der Matrix A  1 =a 11 = 2 > 0. Hauptminor zweiter Ordnung  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Daher nach Sylvesters Kriterium das Quadratische Form ist positiv definit.

Wir untersuchen eine andere quadratische Form auf Vorzeichendefinitheit, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Methode 1. Lassen Sie uns eine Matrix der quadratischen Form A = konstruieren. Die charakteristische Gleichung wird die Form haben = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Daher ist die quadratische Form negativ definit.

Methode 2. Haupt-Minor erster Ordnung der Matrix A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Daher ist die quadratische Form nach Sylvesters Kriterium negativ definit (die Vorzeichen der großen Nebenzeichen wechseln sich ab, beginnend mit dem Minus).

Und als weiteres Beispiel untersuchen wir die vorzeichenbestimmte quadratische Form f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Methode 1. Lassen Sie uns eine Matrix der quadratischen Form A = konstruieren. Die charakteristische Gleichung wird die Form haben = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Eine dieser Zahlen ist negativ und die andere ist positiv. Die Vorzeichen der Eigenwerte sind unterschiedlich. Folglich kann die quadratische Form weder negativ noch positiv definit sein, d.h. Diese quadratische Form ist nicht vorzeichenbestimmt (sie kann Werte mit jedem Vorzeichen annehmen).

Methode 2. Hauptminor erster Ordnung der Matrix A  1 =a 11 = 2 > 0. Hauptminor zweiter Ordnung 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Die betrachtete Methode zur Reduzierung einer quadratischen Form auf eine kanonische Form ist praktisch anzuwenden, wenn bei den Quadraten von Variablen Koeffizienten ungleich Null angetroffen werden. Wenn sie nicht vorhanden sind, ist die Konvertierung immer noch möglich, Sie müssen jedoch andere Techniken anwenden. Sei zum Beispiel f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, wobei y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Ein homogenes Polynom vom Grad 2 in mehreren Variablen heißt quadratische Form.

Die quadratische Form von Variablen besteht aus Termen zweier Arten: Quadrate von Variablen und deren paarweise Produkte mit bestimmten Koeffizienten. Die quadratische Form wird üblicherweise als folgendes quadratisches Diagramm geschrieben:

Paare ähnlicher Terme werden mit gleichen Koeffizienten geschrieben, sodass jeder von ihnen den halben Koeffizienten des entsprechenden Produkts der Variablen darstellt. Somit ist jede quadratische Form natürlich mit ihrer Koeffizientenmatrix verknüpft, die symmetrisch ist.

Es ist zweckmäßig, die quadratische Form in der folgenden Matrixschreibweise darzustellen. Bezeichnen wir mit X eine Spalte von Variablen bis X – eine Zeile, also eine mit X transponierte Matrix. Dann

Quadratische Formen kommen in vielen Bereichen der Mathematik und ihren Anwendungen vor.

In der Zahlentheorie und Kristallographie werden quadratische Formen unter der Annahme betrachtet, dass die Variablen nur ganzzahlige Werte annehmen. In der analytischen Geometrie ist die quadratische Form Teil der Gleichung einer Ordnungskurve (oder -fläche). In der Mechanik und Physik scheint die quadratische Form die kinetische Energie eines Systems durch die Komponenten verallgemeinerter Geschwindigkeiten usw. auszudrücken. Darüber hinaus ist das Studium quadratischer Formen aber auch in der Analyse notwendig, wenn Funktionen vieler Variablen in Fragestellungen untersucht werden Dafür ist es wichtig herauszufinden, wie diese Funktion in der Umgebung eines bestimmten Punktes von der linearen Funktion abweicht, die ihn annähert. Ein Beispiel für ein Problem dieser Art ist die Untersuchung einer Funktion auf ihr Maximum und Minimum.

Betrachten wir zum Beispiel das Problem, das Maximum und das Minimum einer Funktion zweier Variablen zu untersuchen, die bis zur Ordnung stetige partielle Ableitungen aufweist. Eine notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt ein Maximum oder Minimum einer Funktion ergibt, ist, dass die partiellen Ableitungen der Ordnung am Punkt gleich Null sind. Nehmen wir an, dass diese Bedingung erfüllt ist. Geben wir den Variablen x und y kleine Inkremente und k und betrachten wir das entsprechende Inkrement der Funktion. Gemäß der Taylor-Formel ist dieses Inkrement bis zu kleinen höheren Ordnungen gleich der quadratischen Form, in der die Werte der zweiten Ableitungen stehen am Punkt berechnet. Wenn diese quadratische Form für alle Werte von und k (außer ) positiv ist, dann hat die Funktion am Punkt ein Minimum; ist sie negativ, dann hat sie ein Maximum. Wenn schließlich eine Form sowohl positive als auch negative Werte annimmt, gibt es kein Maximum oder Minimum. Auf ähnliche Weise werden auch Funktionen einer größeren Anzahl von Variablen untersucht.

Das Studium quadratischer Formen besteht hauptsächlich darin, das Problem der Äquivalenz von Formen in Bezug auf den einen oder anderen Satz linearer Variablentransformationen zu untersuchen. Zwei quadratische Formen heißen äquivalent, wenn eine von ihnen durch eine der Transformationen einer gegebenen Menge in die andere umgewandelt werden kann. Eng mit dem Äquivalenzproblem verbunden ist das Problem der Reduzierung der Form, d.h. es in eine möglicherweise einfachste Form umzuwandeln.

Bei verschiedenen Fragen zu quadratischen Formen werden auch verschiedene Sätze zulässiger Transformationen von Variablen berücksichtigt.

In Analysefragen werden alle nicht-speziellen Transformationen von Variablen verwendet; Für die Zwecke der analytischen Geometrie sind orthogonale Transformationen von größtem Interesse, d. h. solche, die dem Übergang von einem System variabler kartesischer Koordinaten in ein anderes entsprechen. Schließlich werden in der Zahlentheorie und Kristallographie lineare Transformationen mit ganzzahligen Koeffizienten und einer Determinante gleich Eins betrachtet.

Wir werden zwei dieser Probleme betrachten: die Frage, eine quadratische Form durch beliebige nicht singuläre Transformationen auf ihre einfachste Form zu reduzieren, und dieselbe Frage für orthogonale Transformationen. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wie eine Matrix quadratischer Form während einer linearen Transformation von Variablen transformiert wird.

Dabei sei A eine symmetrische Matrix von Formkoeffizienten und X eine Variablenspalte.

Lassen Sie uns eine lineare Transformation von Variablen durchführen und sie abgekürzt als schreiben. Hier bezeichnet C die Koeffizientenmatrix dieser Transformation, X ist eine Spalte neuer Variablen. Dann und deshalb ist die Matrix der transformierten quadratischen Form

Die Matrix erweist sich automatisch als symmetrisch, was leicht zu überprüfen ist. Somit ist das Problem, eine quadratische Form auf die einfachste Form zu reduzieren, äquivalent zu dem Problem, eine symmetrische Matrix auf die einfachste Form zu reduzieren, indem man sie links und rechts mit zueinander transponierten Matrizen multipliziert.

In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns auf eine spezielle, aber wichtige Klasse positiver quadratischer Formen.

Definition 3. Eine reelle quadratische Form heißt nicht negativ (nicht positiv), wenn für alle reellen Werte der Variablen gilt

. (35)

In diesem Fall wird die symmetrische Koeffizientenmatrix als positiv semidefinit (negativ semidefinit) bezeichnet.

Definition 4. Eine reelle quadratische Form heißt positiv definit (negativ definit), wenn für alle reellen Werte der Variablen, die nicht gleichzeitig Null sind,

. (36)

In diesem Fall wird die Matrix auch positiv definit (negativ definit) genannt.

Die Klasse der positiv definiten (negativ definiten) Formen ist Teil der Klasse der nichtnegativen (bzw. nichtpositiven) Formen.

Gegeben sei eine nichtnegative Form. Stellen wir es uns als Summe unabhängiger Quadrate vor:

. (37)

In dieser Darstellung müssen alle Quadrate positiv sein:

. (38)

Wenn es welche gäbe, wäre es tatsächlich möglich, solche Werte auszuwählen

Aber dann hätte die Form bei diesen Werten der Variablen einen negativen Wert, was per Bedingung unmöglich ist. Offensichtlich folgt aus (37) und (38) umgekehrt, dass die Form positiv ist.

Somit wird eine nichtnegative quadratische Form durch die Gleichungen charakterisiert.

Sei nun eine positiv bestimmte Form. Dann handelt es sich um eine nichtnegative Form. Daher kann es in der Form (37) dargestellt werden, in der alle positiv sind. Aus der positiven Bestimmtheit der Form folgt das. Tatsächlich ist es in diesem Fall möglich, Werte auszuwählen, die nicht gleichzeitig gleich Null sind, bei denen alle auf Null gehen würden. Aber dann, aufgrund von (37), bei , was der Bedingung (36) widerspricht.

Es ist leicht zu erkennen, dass umgekehrt, wenn in (37) und alle positiv sind, es sich um eine positiv definite Form handelt.

Mit anderen Worten: Eine nichtnegative Form ist genau dann positiv definit, wenn sie nicht singulär ist.

Der folgende Satz gibt ein Kriterium für die positive Bestimmtheit einer Form in Form von Ungleichungen an, die die Formkoeffizienten erfüllen müssen. In diesem Fall wird die bereits in den vorherigen Absätzen angetroffene Notation für aufeinanderfolgende Hauptminderjährige der Matrix verwendet:

.

Satz 3. Damit eine quadratische Form positiv definit ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Ungleichungen erfüllt sind

Nachweisen. Die Hinlänglichkeit der Bedingungen (39) folgt direkt aus der Jacobi-Formel (28). Die Notwendigkeit der Bedingungen (39) wird wie folgt festgestellt. Aus der positiven Bestimmtheit der Form folgt die positive Bestimmtheit „abgeschnittener“ Formen

.

Dann müssen aber alle diese Formen nicht singulär sein, d.h.

Jetzt haben wir die Möglichkeit, die Jacobi-Formel (28) (at) zu verwenden. Da auf der rechten Seite dieser Formel alle Quadrate positiv sein müssen

Dies impliziert Ungleichheiten (39). Der Satz ist bewiesen.

Da jedes Hauptminor einer Matrix mit der richtigen Neunummerierung der Variablen in der oberen linken Ecke platziert werden kann, gilt Folgendes:

Folge. In positiv definiter quadratischer Form sind alle großen Nebenwerte der Koeffizientenmatrix positiv:

Kommentar. Aus der Nichtnegativität aufeinanderfolgender Hauptminderjähriger

die Nichtnegativität der Form folgt nicht. Tatsächlich, die Form

,

worin , erfüllt die Bedingungen , ist aber nicht nicht negativ.

Es gilt jedoch Folgendes

Satz 4. Damit eine quadratische Form nicht negativ ist, ist es notwendig und ausreichend, dass alle großen Nebenwerte ihrer Koeffizientenmatrix nicht negativ sind:

Nachweisen. Lassen Sie uns die Hilfsform einführen, die nicht positiv ist. Sie ist notwendig und ausreichend, damit die Ungleichungen auftreten

Quadratische Formen.
Zeichenbestimmtheit von Formen. Sylvester-Kriterium

Das Adjektiv „quadratisch“ deutet sofort darauf hin, dass hier etwas mit einem Quadrat (dem zweiten Grad) verbunden ist, und sehr bald werden wir dieses „Etwas“ und die Form herausfinden. Es stellte sich heraus, dass es ein Zungenbrecher war :)

Willkommen zu meiner neuen Lektion. Zum unmittelbaren Aufwärmen schauen wir uns die gestreifte Form an linear. Lineare Form Variablen angerufen homogen Polynom 1. Grades:

- einige spezifische Zahlen * (Wir gehen davon aus, dass mindestens einer davon ungleich Null ist), a sind Variablen, die beliebige Werte annehmen können.

* Im Rahmen dieses Themas werden wir nur berücksichtigen reale Nummern .

Der Begriff „homogen“ ist uns bereits in der Lektion begegnet homogene lineare Gleichungssysteme, und in diesem Fall bedeutet dies, dass das Polynom keine Pluskonstante hat.

Zum Beispiel: – lineare Form zweier Variablen

Jetzt ist die Form quadratisch. Quadratische Form Variablen angerufen homogen Polynom 2. Grades, jeder Begriff davon enthält entweder das Quadrat der Variablen oder Doppel Produkt von Variablen. So hat beispielsweise die quadratische Form zweier Variablen die folgende Form:

Aufmerksamkeit! Dies ist ein Standardeintrag und es besteht keine Notwendigkeit, daran etwas zu ändern! Trotz des „beängstigenden“ Aussehens ist hier alles einfach – doppelte Indizes von Konstanten signalisieren, welche Variablen in welchem ​​Begriff enthalten sind:
– dieser Begriff enthält das Produkt und (Quadrat);
- hier ist die Arbeit;
- und hier ist die Arbeit.

– Ich erwarte sofort einen groben Fehler, wenn sie das „Minus“ eines Koeffizienten verlieren und nicht verstehen, dass es sich auf einen Begriff bezieht:

Manchmal gibt es im Geiste eine „schulische“ Gestaltungsmöglichkeit, aber nur manchmal. Beachten Sie übrigens, dass die Konstanten uns hier überhaupt nichts sagen und es daher schwieriger ist, sich an die „einfache Notation“ zu erinnern. Vor allem, wenn es mehr Variablen gibt.

Und die quadratische Form von drei Variablen enthält bereits sechs Terme:

...warum werden „zwei“ Faktoren „vermischt“ ausgedrückt? Das ist praktisch und der Grund dafür wird schnell klar.

Schreiben wir jedoch die allgemeine Formel auf; es ist praktisch, sie auf einem „Blatt“ aufzuschreiben:

– Wir studieren jede Zeile sorgfältig – daran ist nichts auszusetzen!

Die quadratische Form enthält Terme mit den Quadraten der Variablen und Terme mit ihren gepaarten Produkten (cm. kombinatorische Kombinationsformel) . Nichts weiter – kein „einsames X“ und keine hinzugefügte Konstante (dann erhält man keine quadratische Form, sondern heterogen Polynom 2. Grades).

Matrixschreibweise quadratischer Form

Abhängig von den Werten kann die betreffende Form sowohl positive als auch negative Werte annehmen, und das Gleiche gilt für jede lineare Form – wenn mindestens einer ihrer Koeffizienten von Null verschieden ist, kann sie entweder positiv oder negativ sein (je nachdem). Werte).

Dieses Formular heißt Wechselzeichen. Und wenn bei der linearen Form alles transparent ist, dann ist es bei der quadratischen Form viel interessanter:

Es ist völlig klar, dass diese Form somit die Bedeutung eines beliebigen Zeichens annehmen kann die quadratische Form kann auch alternierend sein.

Es darf nicht sein:

– immer, sofern nicht gleichzeitig gleich Null.

- für jeden Vektor außer Null.

Und überhaupt, wenn für irgendjemanden ungleich Null Vektor , , dann heißt die quadratische Form positiv definitiv; Wenn ja, dann negativ definitiv.

Und alles wäre gut, aber die Bestimmtheit der quadratischen Form ist nur in einfachen Beispielen sichtbar, und diese Sichtbarkeit geht selbst bei einer kleinen Komplikation verloren:
– ?

Man könnte annehmen, dass die Form positiv definiert ist, aber ist das wirklich so? Was ist, wenn es Werte gibt, bei denen es kleiner als Null ist?

Da ist ein Satz: Wenn jeder Eigenwerte Matrizen quadratischer Form sind positiv * , dann ist es positiv definit. Wenn alle negativ sind, dann negativ.

* Es wurde theoretisch bewiesen, dass alle Eigenwerte einer reellen symmetrischen Matrix sind gültig

Schreiben wir die Matrix der obigen Form:
und aus Gl. lass uns sie finden Eigenwerte:

Lassen Sie uns das gute Alte lösen quadratische Gleichung:

, was die Form bedeutet ist positiv definiert, d.h. für alle Werte ungleich Null ist es größer als Null.

Die betrachtete Methode scheint zu funktionieren, aber es gibt ein großes ABER. Schon für eine Drei-mal-Drei-Matrix ist die Suche nach den richtigen Zahlen eine lange und unangenehme Aufgabe; mit hoher Wahrscheinlichkeit erhält man ein Polynom 3. Grades mit irrationalen Wurzeln.

Was soll ich machen? Es gibt einen einfacheren Weg!

Sylvester-Kriterium

Nein, nicht Sylvester Stallone :) Lassen Sie mich zunächst daran erinnern, was es ist Eckminderjährige Matrizen. Das Qualifikanten die aus ihrer oberen linken Ecke „wachsen“:

und die letzte ist genau gleich der Determinante der Matrix.

Nun, eigentlich Kriterium:

1) Quadratische Form ist definiert positiv genau dann, wenn ALLE seine Winkelminorwerte größer als Null sind: .

2) Quadratische Form ist definiert Negativ genau dann, wenn sich die eckigen Nebenzeichen im Vorzeichen abwechseln, wobei das 1. Nebenzeichen kleiner als Null ist: , , wenn – gerade oder , wenn – ungerade.

Wenn mindestens ein Winkelmoll das entgegengesetzte Vorzeichen hat, dann ist die Form Wechselzeichen. Wenn die eckigen Nebenzeichen das „richtige“ Vorzeichen haben, aber Nullen darunter sind, dann ist dies ein Sonderfall, den ich etwas später untersuchen werde, nachdem wir uns häufigere Beispiele angesehen haben.

Lassen Sie uns die Winkelminorwerte der Matrix analysieren :

Und das zeigt uns sofort, dass die Form nicht negativ definiert ist.

Abschluss: Alle Eckminderjährigen sind größer als Null, was die Form bedeutet ist positiv definiert.

Gibt es einen Unterschied zur Eigenwertmethode? ;)

Schreiben wir die Formularmatrix aus Beispiel 1:

das erste ist sein eckiges Moll und das zweite , woraus folgt, dass die Form im Vorzeichen wechselt, d.h. Abhängig von den Werten kann es sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Dies ist jedoch bereits offensichtlich.

Nehmen wir die Form und ihre Matrix aus Beispiel 2:

Ohne Einsicht kann man das nicht herausfinden. Aber mit Sylvesters Kriterium ist uns das egal:
Daher ist die Form definitiv nicht negativ.

, und definitiv nicht positiv (da alle eckigen Minderjährigen positiv sein müssen).

Abschluss: Die Form ist abwechselnd.

Aufwärmbeispiele zum selbstständigen Lösen:

Beispiel 4

Untersuchen Sie quadratische Formen auf ihre Vorzeichendefinitivität

A)

In diesen Beispielen läuft alles glatt (siehe Ende der Lektion), aber tatsächlich ist es so, eine solche Aufgabe zu erledigen Sylvesters Kriterium ist möglicherweise nicht ausreichend.

Der Punkt ist, dass es „Randfälle“ gibt, nämlich: wenn überhaupt ungleich Null Vektor, dann wird die Form bestimmt nicht negativ, wenn, dann Negativ. Diese Formen haben ungleich Null Vektoren, für die .

Hier können Sie folgendes „Akkordeon“ zitieren:

Hervorhebung Perfektes Viereck, sehen wir sofort Nicht-Negativität Form: und ist für jeden Vektor mit gleichen Koordinaten gleich Null, zum Beispiel: .

Beispiel „Spiegel“. Negativ eine bestimmte Form:

und ein noch trivialeres Beispiel:
– hier ist die Form für jeden Vektor gleich Null, wobei es sich um eine beliebige Zahl handelt.

Wie erkennt man nicht-negative oder nicht-positive Formen?

Dafür brauchen wir das Konzept Haupt-Minderjährige Matrizen. Ein Dur-Moll ist ein Moll, das aus Elementen besteht, die am Schnittpunkt von Zeilen und Spalten mit den gleichen Nummern stehen. Somit hat die Matrix zwei Hauptminorwerte 1. Ordnung:
(das Element befindet sich am Schnittpunkt der 1. Zeile und der 1. Spalte);
(das Element befindet sich am Schnittpunkt der 2. Zeile und 2. Spalte),

und ein Dur-Moll 2. Ordnung:
– bestehend aus Elementen der 1., 2. Zeile und 1., 2. Spalte.

Die Matrix ist „drei mal drei“ Es gibt sieben Haupt-Nebenübungen, und hier müssen Sie Ihren Bizeps beugen:
– drei Minderjährige 1. Ordnung,
drei Minderjährige 2. Ordnung:
– bestehend aus Elementen der 1., 2. Zeile und 1., 2. Spalte;
– bestehend aus Elementen der 1., 3. Zeile und 1., 3. Spalte;
– bestehend aus Elementen der 2., 3. Zeile und 2., 3. Spalte,
und ein Moll 3. Ordnung:
– bestehend aus Elementen der 1., 2., 3. Reihe und 1., 2. und 3. Spalte.
Übung Zum Verständnis: Notieren Sie alle Dur-Minder der Matrix .
Wir überprüfen am Ende der Lektion und fahren fort.

Schwarzenegger-Kriterium:

1) Quadratische Form ungleich Null* definiert nicht negativ genau dann, wenn ALLE seine Haupt-Minderjährigen nicht negativ(größer oder gleich Null).

* Bei der nullten (entarteten) quadratischen Form sind alle Koeffizienten gleich Null.

2) Eine von Null verschiedene quadratische Form mit Matrix ist definiert Negativ dann und nur dann, wenn:
– Dur-Minder 1. Ordnung nicht positiv(kleiner oder gleich Null);
– Dur-Minder 2. Ordnung nicht negativ;
– Dur-Minder 3. Ordnung nicht positiv(Der Wechsel begann);
…
– Dur-Moll der . Ordnung nicht positiv, wenn – ungerade oder nicht negativ, wenn auch.

Wenn mindestens ein Nebenzeichen das entgegengesetzte Vorzeichen hat, handelt es sich um eine vorzeichenwechselnde Form.

Sehen wir uns an, wie das Kriterium in den obigen Beispielen funktioniert:

Lassen Sie uns eine Formmatrix erstellen und zuerst Berechnen wir die Winkelminorwerte – was ist, wenn sie positiv oder negativ definiert sind?

Die erhaltenen Werte erfüllen nicht das Sylvester-Kriterium, sondern das zweite Moll nicht negativ, und dies macht eine Überprüfung des 2. Kriteriums erforderlich (im Fall des 2. Kriteriums wird es nicht automatisch erfüllt, d. h. es wird sofort auf den Vorzeichenwechsel der Form geschlossen).

Hauptnebenfächer 1. Ordnung:
– positiv,
Dur-Moll 2. Ordnung:
– nicht negativ.

Somit sind nicht ALLE großen Nebentöne negativ, was die Form bedeutet nicht negativ.

Schreiben wir die Formmatrix , für die das Sylvester-Kriterium offensichtlich nicht erfüllt ist. Wir haben aber auch keine entgegengesetzten Vorzeichen erhalten (da beide Winkelminorwerte gleich Null sind). Daher prüfen wir die Erfüllung des Nicht-Negativitäts-/Nicht-Positivitätskriteriums. Hauptnebenfächer 1. Ordnung:
– nicht positiv,
Dur-Moll 2. Ordnung:
– nicht negativ.

Nach Schwarzeneggers Kriterium (Punkt 2) ist die Form also nichtpositiv definiert.

Schauen wir uns nun ein interessanteres Problem genauer an:

Beispiel 5

Untersuchen Sie die quadratische Form auf Vorzeichenbestimmtheit

Dieses Formular ist mit der Reihenfolge „Alpha“ versehen, die jeder reellen Zahl entsprechen kann. Aber es wird nur noch mehr Spaß machen wir entscheiden.

Schreiben wir zunächst die Formularmatrix auf; viele Menschen haben sich wahrscheinlich bereits daran gewöhnt, dies mündlich zu tun: on Hauptdiagonale Wir tragen die Koeffizienten für die Quadrate ein und an den symmetrischen Stellen tragen wir die Hälfte der Koeffizienten der entsprechenden „gemischten“ Produkte ein:

Berechnen wir die Winkelminorwerte:

Ich werde die dritte Determinante in der 3. Zeile erweitern: