Ein Prisma ist eine geometrische dreidimensionale Figur, deren Eigenschaften und Eigenschaften in Gymnasien untersucht werden. Bei der Untersuchung werden in der Regel Größen wie Volumen und Oberfläche berücksichtigt. In diesem Artikel gehen wir einer etwas anderen Frage nach: Wir stellen eine Methode zur Bestimmung der Länge der Diagonalen eines Prismas am Beispiel einer viereckigen Figur vor.

Welche Form nennt man Prisma?

In der Geometrie wird ein Prisma wie folgt definiert: Es ist eine dreidimensionale Figur, die durch zwei zueinander parallele, identische Polygonseiten und eine bestimmte Anzahl von Parallelogrammen begrenzt wird. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für ein Prisma, das dieser Definition entspricht.

Wir sehen, dass die beiden roten Fünfecke einander gleich sind und in zwei parallelen Ebenen liegen. Fünf rosa Parallelogramme verbinden diese Fünfecke zu einem festen Objekt – einem Prisma. Die beiden Fünfecke werden als Grundflächen der Figur bezeichnet, ihre Parallelogramme als Seitenflächen.

Prismen können gerade oder schräg sein, auch rechteckig oder schräg genannt. Der Unterschied zwischen ihnen liegt in den Winkeln zwischen der Basis und den Seitenkanten. Bei einem rechteckigen Prisma betragen alle diese Winkel 90 °.

Basierend auf der Anzahl der Seiten oder Eckpunkte des Polygons an der Basis spricht man von dreieckigen, fünfeckigen, viereckigen Prismen usw. Wenn dieses Polygon außerdem regelmäßig ist und das Prisma selbst gerade ist, wird eine solche Figur als regelmäßig bezeichnet.

Das in der vorherigen Abbildung gezeigte Prisma ist fünfeckig geneigt. Unten ist ein fünfeckiges rechtwinkliges Prisma zu sehen, das regelmäßig ist.

Es ist praktisch, alle Berechnungen, einschließlich der Methode zur Bestimmung der Diagonalen eines Prismas, speziell für die richtigen Zahlen durchzuführen.

Welche Elemente charakterisieren ein Prisma?

Die Elemente einer Figur sind die Bestandteile, aus denen sie besteht. Speziell für ein Prisma lassen sich drei Haupttypen von Elementen unterscheiden:

• Oberteile;
• Kanten oder Seiten;
• Rippen

Als Flächen gelten die Grund- und Seitenflächen, die im allgemeinen Fall Parallelogramme darstellen. In einem Prisma ist jede Seite immer einer von zwei Typen: entweder ein Polygon oder ein Parallelogramm.

Die Kanten eines Prismas sind die Segmente, die jede Seite der Figur begrenzen. Wie Flächen gibt es auch Kanten in zwei Arten: solche, die zur Basis und Seitenfläche gehören, oder solche, die nur zur Seitenfläche gehören. Von ersteren gibt es immer doppelt so viele wie von letzteren, unabhängig von der Art des Prismas.

Die Eckpunkte sind die Schnittpunkte von drei Kanten des Prismas, von denen zwei in der Ebene der Grundfläche liegen und die dritte zu den beiden Seitenflächen gehört. Alle Eckpunkte des Prismas liegen in den Ebenen der Grundflächen der Figur.

Die Zahlen der beschriebenen Elemente werden zu einer einzigen Gleichheit verbunden, die folgende Form hat:

P = B + C – 2.

Hier ist P die Anzahl der Kanten, B – Eckpunkte, C – Seiten. Diese Gleichheit wird Eulers Theorem für das Polyeder genannt.

Die Abbildung zeigt ein dreieckiges regelmäßiges Prisma. Jeder kann zählen, dass es 6 Eckpunkte, 5 Seiten und 9 Kanten hat. Diese Zahlen stimmen mit dem Satz von Euler überein.

Prismendiagonalen

Nach Eigenschaften wie Volumen und Oberfläche stoßen wir bei Geometrieproblemen häufig auf Informationen über die Länge einer bestimmten Diagonale der betreffenden Figur, die entweder gegeben ist oder mithilfe anderer bekannter Parameter ermittelt werden muss. Betrachten wir, welche Diagonalen ein Prisma hat.

Alle Diagonalen können in zwei Typen unterteilt werden:

1. Liegt in der Ebene der Gesichter. Sie verbinden nicht benachbarte Eckpunkte entweder eines Polygons an der Basis eines Prismas oder eines Parallelogramms an der Seitenfläche. Der Wert der Längen solcher Diagonalen wird anhand der Kenntnis der Längen der entsprechenden Kanten und der Winkel zwischen ihnen bestimmt. Zur Bestimmung der Diagonalen von Parallelogrammen werden stets die Eigenschaften von Dreiecken herangezogen.
2. Im Volumen liegende Prismen. Diese Diagonalen verbinden die unterschiedlichen Eckpunkte zweier Basen. Diese Diagonalen liegen vollständig innerhalb der Figur. Ihre Längen sind etwas schwieriger zu berechnen als beim Vorgängertyp. Bei der Berechnungsmethode werden die Längen der Rippen und der Basis sowie Parallelogramme berücksichtigt. Für gerade und regelmäßige Prismen ist die Berechnung relativ einfach, da sie mit dem Satz des Pythagoras und den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen durchgeführt wird.

Diagonalen der Seiten eines viereckigen rechten Prismas

Die obige Abbildung zeigt vier identische gerade Prismen und die Parameter ihrer Kanten sind angegeben. Auf den Prismen Diagonal A, Diagonal B und Diagonal C zeigt die gestrichelte rote Linie die Diagonalen von drei verschiedenen Flächen. Da das Prisma eine gerade Linie mit einer Höhe von 5 cm ist und seine Basis durch ein Rechteck mit Seitenlängen von 3 cm und 2 cm dargestellt wird, ist es nicht schwierig, die markierten Diagonalen zu finden. Dazu müssen Sie den Satz des Pythagoras verwenden.

Die Länge der Diagonale der Prismenbasis (Diagonale A) ist gleich:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.

Für die Seitenfläche des Prismas ist die Diagonale gleich (siehe Diagonale B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.

Schließlich beträgt die Länge einer weiteren Seitendiagonale (siehe Diagonale C):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.

Länge der inneren Diagonale

Berechnen wir nun die Länge der Diagonale des viereckigen Prismas, die in der vorherigen Abbildung dargestellt ist (Diagonale D). Dies ist nicht so schwierig, wenn Sie bemerken, dass es sich um die Hypotenuse eines Dreiecks handelt, dessen Schenkel die Höhe des Prismas (5 cm) und die Diagonale D A haben, wie in der Abbildung oben links gezeigt (Diagonale A). Dann erhalten wir:

D D = √(D A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.

Regelmäßiges viereckiges Prisma

Die Diagonale eines regelmäßigen Prismas, dessen Grundfläche ein Quadrat ist, wird auf die gleiche Weise wie im obigen Beispiel berechnet. Die entsprechende Formel lautet:

D = √(2*a 2 +c 2).

Dabei sind a und c die Längen der Basisseite bzw. der Seitenkante.

Beachten Sie, dass wir in den Berechnungen nur den Satz des Pythagoras verwendet haben. Um die Länge der Diagonalen regelmäßiger Prismen mit vielen Eckpunkten (fünfeckig, sechseckig usw.) zu bestimmen, ist es bereits notwendig, trigonometrische Funktionen zu verwenden.

Definition.

Dies ist ein Sechseck, dessen Grundflächen zwei gleiche Quadrate und dessen Seitenflächen gleiche Rechtecke sind

Seitliche Rippe- ist die gemeinsame Seite zweier benachbarter Seitenflächen

Prismenhöhe- Dies ist ein Segment senkrecht zur Basis des Prismas

Prismendiagonale- ein Segment, das zwei Eckpunkte der Basen verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören

Diagonale Ebene- eine Ebene, die durch die Diagonale des Prismas und seine Seitenkanten verläuft

Diagonaler Abschnitt- die Grenzen des Schnittpunkts des Prismas und der Diagonalebene. Der diagonale Querschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck

Senkrechter Schnitt (orthogonaler Schnitt)- Dies ist der Schnittpunkt eines Prismas und einer Ebene, die senkrecht zu seinen Seitenkanten verläuft

Elemente eines regelmäßigen viereckigen Prismas

Die Abbildung zeigt zwei regelmäßige viereckige Prismen, die durch die entsprechenden Buchstaben gekennzeichnet sind:

• Die Basen ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 sind gleich und parallel zueinander
• Seitenflächen AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C und CC 1 D 1 D, die jeweils ein Rechteck sind
• Seitenfläche – die Summe der Flächen aller Seitenflächen des Prismas
• Gesamtfläche – die Summe der Flächen aller Grundflächen und Seitenflächen (Summe der Fläche der Seitenfläche und Grundflächen)
• Seitenrippen AA 1, BB 1, CC 1 und DD 1.
• Diagonale B 1 D
• Basisdiagonale BD
• Diagonalschnitt BB 1 D 1 D
• Senkrechter Abschnitt A 2 B 2 C 2 D 2.

Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas

• Die Grundflächen sind zwei gleiche Quadrate
• Die Basen sind parallel zueinander
• Die Seitenflächen sind Rechtecke
• Die Seitenkanten sind einander gleich
• Seitenflächen stehen senkrecht zu den Basen
• Die seitlichen Rippen sind parallel zueinander und gleich
• Senkrechter Schnitt senkrecht zu allen Seitenrippen und parallel zu den Basen
• Winkel des senkrechten Abschnitts - gerade
• Der diagonale Querschnitt eines regelmäßigen viereckigen Prismas ist ein Rechteck
• Senkrecht (orthogonaler Schnitt) parallel zu den Basen

Formeln für ein regelmäßiges viereckiges Prisma

Anleitung zur Problemlösung

Bei der Lösung von Problemen zum Thema „ regelmäßiges viereckiges Prisma" bedeutet, dass:

Richtiges Prisma- ein Prisma, an dessen Basis ein regelmäßiges Vieleck liegt und dessen Seitenkanten senkrecht zu den Ebenen der Basis stehen. Das heißt, ein regelmäßiges viereckiges Prisma enthält an seiner Basis Quadrat. (siehe Eigenschaften eines regelmäßigen viereckigen Prismas oben) Notiz. Dies ist Teil einer Lektion mit Geometrieproblemen (Abschnitt Stereometrie – Prisma). Hier gibt es Probleme, die schwer zu lösen sind. Wenn Sie ein Geometrieproblem lösen müssen, das hier nicht aufgeführt ist, schreiben Sie im Forum darüber. Um den Vorgang des Ziehens der Quadratwurzel bei der Lösung von Problemen zu kennzeichnen, wird das Symbol verwendet√ .

Aufgabe.

Bei einem regelmäßigen viereckigen Prisma beträgt die Grundfläche 144 cm 2 und die Höhe 14 cm. Ermitteln Sie die Diagonale des Prismas und die Gesamtoberfläche.

Lösung.
Ein regelmäßiges Viereck ist ein Quadrat.
Dementsprechend ist die Seite der Basis gleich

√144 = 12 cm.
Von dort aus ist die Diagonale der Basis eines regelmäßigen rechteckigen Prismas gleich
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Die Diagonale eines regelmäßigen Prismas bildet mit der Diagonale der Grundfläche und der Höhe des Prismas ein rechtwinkliges Dreieck. Dementsprechend ist nach dem Satz des Pythagoras die Diagonale eines gegebenen regelmäßigen viereckigen Prismas gleich:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Antwort: 22 cm

Aufgabe

Bestimmen Sie die Gesamtoberfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas, wenn seine Diagonale 5 cm und die Diagonale seiner Seitenfläche 4 cm beträgt.

Lösung.
Da die Grundfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas ein Quadrat ist, ermitteln wir die Seite der Grundfläche (bezeichnet als a) mithilfe des Satzes des Pythagoras:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Die Höhe der Seitenfläche (bezeichnet als h) ist dann gleich:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Die Gesamtoberfläche entspricht der Summe aus der Seitenoberfläche und dem Doppelten der Grundfläche

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Antwort: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Beschreibung der Präsentation anhand einzelner Folien:

1 Folie

Folienbeschreibung:

2 Folie

Folienbeschreibung:

Definition 1. Ein Polyeder, dessen zwei Flächen gleichnamige Polygone sind, die in parallelen Ebenen liegen, und zwei beliebige Kanten, die nicht in diesen Ebenen liegen, parallel sind, wird Prisma genannt. Der Begriff „Prisma“ ist griechischen Ursprungs und bedeutet wörtlich „abgesägt“ (Körper). Polygone, die in parallelen Ebenen liegen, werden Prismenbasen genannt, und die übrigen Flächen werden Seitenflächen genannt. Die Oberfläche des Prismas besteht somit aus zwei gleichen Polygonen (Grundflächen) und Parallelogrammen (Seitenflächen). Es gibt dreieckige, viereckige, fünfeckige usw. Prismen. abhängig von der Anzahl der Eckpunkte der Basis.

3 Folie

Folienbeschreibung:

Alle Prismen sind in gerade und geneigt unterteilt. (Abb. 2) Wenn die Seitenkante eines Prismas senkrecht zur Ebene seiner Grundfläche steht, wird ein solches Prisma als gerades Prisma bezeichnet; Wenn die Seitenkante eines Prismas senkrecht zur Ebene seiner Grundfläche steht, nennt man ein solches Prisma geneigt. Ein gerades Prisma hat rechteckige Seitenflächen. Eine Senkrechte zu den Ebenen der Grundflächen, deren Enden zu diesen Ebenen gehören, wird als Höhe des Prismas bezeichnet.

4 Folie

Folienbeschreibung:

Eigenschaften eines Prismas. 1. Die Grundflächen des Prismas sind gleiche Vielecke. 2. Die Seitenflächen des Prismas sind Parallelogramme. 3. Die Seitenkanten des Prismas sind gleich.

5 Folie

Folienbeschreibung:

Die Oberfläche des Prismas und die Mantelfläche des Prismas. Die Oberfläche eines Polyeders besteht aus einer endlichen Anzahl von Polygonen (Flächen). Die Oberfläche eines Polyeders ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen. Die Oberfläche des Prismas (Spr) ist gleich der Summe der Flächen seiner Seitenflächen (Seitenfläche Sside) und der Flächen zweier Basen (2Sbas) – gleiche Polygone: Spop = Sside + 2Sbas. Satz. Die Fläche der Seitenfläche des Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang seines senkrechten Abschnitts und der Länge der Seitenkante.

6 Folie

Folienbeschreibung:

Nachweisen. Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke, deren Grundflächen die Seiten der Grundfläche des Prismas sind und deren Höhen gleich der Höhe h des Prismas sind. SSeite der Prismenoberfläche ist gleich der Summe S der angegebenen Dreiecke, d.h. gleich der Summe der Produkte der Seiten der Basis und der Höhe h. Nimmt man den Faktor h aus der Klammer heraus, erhält man in Klammern die Summe der Seiten der Prismenbasis, d.h. Umfang P. Also, Sside = Ph. Der Satz ist bewiesen. Folge. Die Mantelfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang seiner Grundfläche und seiner Höhe. Tatsächlich kann bei einem geraden Prisma die Basis als senkrechter Abschnitt betrachtet werden, und die Seitenkante ist die Höhe.

7 Folie

Folienbeschreibung:

Abschnitt eines Prismas 1. Abschnitt eines Prismas durch eine Ebene parallel zur Basis. Der Schnitt bildet ein Polygon, das dem an der Basis liegenden Polygon entspricht. 2. Schnitt eines Prismas durch eine Ebene, die durch zwei nicht benachbarte Seitenkanten verläuft. Im Querschnitt entsteht ein Parallelogramm. Dieser Abschnitt wird Diagonalabschnitt des Prismas genannt. In manchen Fällen kann das Ergebnis eine Raute, ein Rechteck oder ein Quadrat sein.

8 Folie

Folienbeschreibung:

Folie 9

Folienbeschreibung:

Definition 2. Ein gerades Prisma, dessen Basis ein regelmäßiges Vieleck ist, wird als regelmäßiges Prisma bezeichnet. Eigenschaften eines regelmäßigen Prismas 1. Die Grundflächen eines regelmäßigen Prismas sind regelmäßige Vielecke. 2. Die Seitenflächen eines regelmäßigen Prismas sind gleiche Rechtecke. 3. Die Seitenkanten eines regelmäßigen Prismas sind gleich.

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Folienbeschreibung:

Abschnitt eines regelmäßigen Prismas. 1. Schnitt durch ein regelmäßiges Prisma mit einer Ebene parallel zur Basis. Der Schnitt bildet ein regelmäßiges Polygon, das dem an der Basis liegenden Polygon entspricht. 2. Schnitt eines regelmäßigen Prismas durch eine Ebene, die durch zwei nicht benachbarte Seitenkanten verläuft. Im Querschnitt entsteht ein Rechteck. In manchen Fällen kann sich ein Quadrat bilden.

11 Folie

Folienbeschreibung:

Symmetrie eines regelmäßigen Prismas 1. Das Symmetriezentrum bei gerader Seitenzahl der Grundfläche ist der Schnittpunkt der Diagonalen eines regelmäßigen Prismas (Abb. 6)

Ein dreieckiges Prisma ist ein dreidimensionaler Körper, der durch die Kombination von Rechtecken und Dreiecken entsteht. In dieser Lektion erfahren Sie, wie Sie die Größe der Innenseite (Volumen) und Außenseite (Oberfläche) eines dreieckigen Prismas ermitteln.

Dreieckiges Prisma ist ein Pentaeder, der aus zwei parallelen Ebenen besteht, in denen sich zwei Dreiecke befinden, die zwei Flächen eines Prismas bilden, und die restlichen drei Flächen sind Parallelogramme, die aus den Seiten der Dreiecke gebildet werden.

Elemente eines dreieckigen Prismas

Dreiecke ABC und A 1 B 1 C 1 sind Prismenbasen .

Die Vierecke A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 und A 1 C 1 CA sind Seitenflächen des Prismas .

Die Seiten der Gesichter sind Prismenrippen(A 1 B 1, A 1 C 1, C 1 B 1, AA 1, CC 1, BB 1, AB, BC, AC) hat ein dreieckiges Prisma insgesamt 9 Flächen.

Die Höhe eines Prismas ist das senkrechte Segment, das die beiden Flächen des Prismas verbindet (in der Abbildung ist es h).

Die Diagonale eines Prismas ist ein Segment, dessen Enden an zwei Eckpunkten des Prismas liegen, die nicht zur gleichen Fläche gehören. Für ein dreieckiges Prisma kann eine solche Diagonale nicht gezeichnet werden.

Grundfläche ist die Fläche der dreieckigen Fläche des Prismas.

ist die Summe der Flächen der viereckigen Flächen des Prismas.

Arten von dreieckigen Prismen

Es gibt zwei Arten von dreieckigen Prismen: gerade und geneigt.

Ein gerades Prisma hat rechteckige Seitenflächen und ein geneigtes Prisma hat parallelogrammförmige Seitenflächen (siehe Abbildung).

Ein Prisma, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächenebenen stehen, wird Gerade genannt.

Ein Prisma, dessen Seitenkanten zu den Grundflächenebenen geneigt sind, wird als geneigt bezeichnet.

Grundformeln zur Berechnung eines dreieckigen Prismas

Volumen eines dreieckigen Prismas

Um das Volumen eines dreieckigen Prismas zu ermitteln, müssen Sie die Fläche seiner Grundfläche mit der Höhe des Prismas multiplizieren.

Prismenvolumen = Grundfläche x Höhe

V=S einfach H

Seitenfläche des Prismas

Um die Seitenfläche eines dreieckigen Prismas zu ermitteln, müssen Sie den Umfang seiner Basis mit seiner Höhe multiplizieren.

Seitenfläche eines dreieckigen Prismas = Basisumfang x Höhe

S-Seite = P-Hauptseite H

Gesamtoberfläche des Prismas

Um die Gesamtoberfläche eines Prismas zu ermitteln, müssen Sie dessen Grundfläche und Seitenfläche addieren.

da S-Seite = P-Hauptseite. h, dann erhalten wir:

S volle Umdrehung =P basisch h+2S basisch

Richtiges Prisma - ein gerades Prisma, dessen Basis ein regelmäßiges Vieleck ist.

Prismeneigenschaften:

Die obere und untere Basis des Prismas sind gleiche Polygone.
Die Seitenflächen des Prismas haben die Form eines Parallelogramms.
Die Seitenkanten des Prismas sind parallel und gleich.

Tipp: Bei der Berechnung eines Dreiecksprismas müssen Sie unbedingt auf die verwendeten Einheiten achten. Wenn beispielsweise die Grundfläche in cm 2 angegeben wird, sollte die Höhe in Zentimetern und das Volumen in cm 3 angegeben werden. Wenn die Grundfläche in mm 2 angegeben wird, sollte die Höhe in mm und das Volumen in mm 3 usw. angegeben werden.

Prisma-Beispiel

In diesem Beispiel:
— ABC und DEF bilden die dreieckigen Grundflächen des Prismas
- ABED, BCFE und ACFD sind rechteckige Seitenflächen
— Die Seitenkanten DA, EB und FC entsprechen der Höhe des Prismas.
— Die Punkte A, B, C, D, E, F sind die Eckpunkte des Prismas.

Probleme zur Berechnung eines dreieckigen Prismas

Problem 1. Die Basis eines rechtwinkligen dreieckigen Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Schenkeln 6 und 8, die Seitenkante ist 5. Ermitteln Sie das Volumen des Prismas.
Lösung: Das Volumen eines geraden Prismas ist gleich V = Sh, wobei S die Grundfläche und h die Seitenkante ist. Die Grundfläche ist in diesem Fall die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks (seine Fläche entspricht der halben Fläche eines Rechtecks ​​mit den Seiten 6 und 8). Somit ist das Volumen gleich:

V = 1/2 6 8 5 = 120.

Aufgabe 2.

Durch die Mittellinie der Grundfläche des dreieckigen Prismas wird eine Ebene parallel zur Seitenkante gezogen. Das Volumen des abgeschnittenen dreieckigen Prismas beträgt 5. Finden Sie das Volumen des ursprünglichen Prismas.

Lösung:

Das Volumen des Prismas ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe: V = S Grundfläche h.

Das an der Basis des Originalprismas liegende Dreieck ähnelt dem an der Basis des abgeschnittenen Prismas liegenden Dreieck. Der Ähnlichkeitskoeffizient beträgt 2, da der Schnitt durch die Mittellinie verläuft (die Längenmaße des größeren Dreiecks sind doppelt so groß wie die Längenmaße des kleineren). Es ist bekannt, dass die Flächen ähnlicher Figuren als Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten zusammenhängen, d. h. S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .

Die Grundfläche des gesamten Prismas ist viermal größer als die Grundfläche des abgeschnittenen Prismas. Da die Höhen beider Prismen gleich sind, beträgt das Volumen des gesamten Prismas das Vierfache des Volumens des abgeschnittenen Prismas.

Somit beträgt das erforderliche Volumen 20.

Diagonalschnitte Der Schnitt eines Prismas durch eine Ebene, die durch die Diagonale der Basis und die beiden daran angrenzenden Seitenkanten verläuft, wird als Diagonalschnitt des Prismas bezeichnet. Ein Abschnitt einer Pyramide mit einer Ebene, die durch die Diagonale der Basis und der Spitze verläuft, wird als Diagonalabschnitt der Pyramide bezeichnet. Lassen Sie die Ebene die Pyramide schneiden und parallel zu ihrer Basis sein. Der zwischen dieser Ebene und der Basis eingeschlossene Teil der Pyramide wird Pyramidenstumpf genannt. Der Querschnitt einer Pyramide wird auch Basis eines Pyramidenstumpfes genannt.

Konstruktion von Abschnitten Bei der Konstruktion von Abschnitten von Polyedern sind die Grundlagen die Konstruktion des Schnittpunkts einer Geraden und einer Ebene sowie der Schnittlinie zweier Ebenen. Wenn zwei Punkte A und B einer Geraden gegeben sind und ihre Projektionen A' und B' auf die Ebene bekannt sind, dann ist der Schnittpunkt der Daten der Geraden und der Ebene der Punkt C der Schnittpunkt der Geraden AB und A'B' Wenn drei Punkte A, B, C der Ebene gegeben sind und ihre Projektionen A', B', C' auf eine andere Ebene bekannt sind, dann benötigt man die Punkte P, um die Schnittlinie dieser Ebenen zu finden und Q des Schnittpunkts der Geraden AB und AC mit der zweiten Ebene werden ermittelt. Die Gerade PQ ist die gewünschte Schnittlinie der Ebenen.

Übung 1 Konstruieren Sie einen Abschnitt eines Würfels mit einer Ebene, die durch die auf den Kanten des Würfels liegenden Punkte E, F und Scheitelpunkt B verläuft. Lösung. Um einen Abschnitt eines Würfels zu konstruieren, der durch die Punkte E, F und den Scheitelpunkt B verläuft, verbinden wir die Punkte E und B, F und B mit Segmenten. Durch die Punkte E und F zeichnen wir Linien parallel zu BF bzw. BE. Das resultierende Parallelogramm BFGE wird der gewünschte Abschnitt sein.

Übung 2 Konstruieren Sie einen Abschnitt eines Würfels mit einer Ebene, die durch die Punkte E, F, G verläuft, die auf den Kanten des Würfels liegen. Lösung. Um einen Abschnitt eines Würfels zu konstruieren, der durch die Punkte E, F, G verläuft, zeichnen Sie eine gerade Linie EF und bezeichnen P als ihren Schnittpunkt mit AD. Q bezeichne den Schnittpunkt der Geraden PG und AB. Verbinden wir die Punkte E und Q, F und G. Das resultierende Trapez EFGQ ist der gewünschte Abschnitt.

Aufgabe 3 Konstruieren Sie einen Abschnitt des Würfels mit einer Ebene, die durch die Punkte E, F, G verläuft, die auf den Kanten des Würfels liegen. Lösung. Um einen Abschnitt eines Würfels zu konstruieren, der durch die Punkte E, F, G verläuft, zeichnen Sie eine gerade Linie EF und bezeichnen P als ihren Schnittpunkt mit AD. Bezeichnen wir mit Q, R die Schnittpunkte der Geraden PG mit AB und DC. Bezeichnen wir mit S den Schnittpunkt von FR mit CC 1. Verbinden wir die Punkte E und Q, G und S. Das resultierende Fünfeck EFSGQ ist der gewünschte Abschnitt.

Aufgabe 4 Konstruieren Sie einen Abschnitt des Würfels mit einer Ebene, die durch die Punkte E, F, G verläuft, die auf den Kanten des Würfels liegen. Lösung. Um einen Abschnitt eines Würfels zu konstruieren, der durch die Punkte E, F, G verläuft, ermitteln wir den Schnittpunkt P der Geraden EF und der Gesichtsebene ABCD. Bezeichnen wir mit Q, R die Schnittpunkte der Geraden PG mit AB und CD. Zeichnen Sie eine Linie RF und bezeichnen Sie S, T als ihre Schnittpunkte mit CC 1 und DD 1. Zeichnen Sie eine Linie TE und bezeichnen Sie U als ihren Schnittpunkt mit A 1 D 1. Verbinden Sie die Punkte E und Q, G und S, U und F . Das resultierende Sechseck EUFSGQ ist der gewünschte Abschnitt.

Übung 5 Konstruieren Sie einen Abschnitt des Würfels durch eine Ebene, die durch die Punkte E, F, G verläuft, die zu den Flächen BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D bzw. AA 1 B 1 B gehören. Lösung. Von diesen Punkten aus senken wir die Senkrechten EE’, FF’, GG’ auf die Ebene der Fläche ABCD und finden die Punkte I und H des Schnittpunkts der Linien FE und FG mit dieser Ebene. IH ist die Schnittlinie der gewünschten Ebene und der Gesichtsebene ABCD. Bezeichnen wir mit Q, R die Schnittpunkte der Geraden IH mit AB und BC. Zeichnen wir die Linien PG und QE und bezeichnen R, S ihre Schnittpunkte mit AA 1 und CC 1. Zeichnen wir die Linien SU, UV und RV parallel zu PR, PQ und QS. Das resultierende Sechseck RPQSUV ist der gewünschte Abschnitt.

Aufgabe 6 Konstruieren Sie einen Abschnitt des Würfels mit einer Ebene, die durch die Punkte E, F verläuft, die auf den Kanten des Würfels liegen, parallel zur Diagonale BD. Lösung. Zeichnen wir die Linien FG und EH parallel zu BD. Zeichnen wir eine gerade Linie FP parallel zu EG und verbinden wir die Punkte P und G. Verbinden wir die Punkte E und G, F und H. Das resultierende Fünfeck EGPFH wird der gewünschte Abschnitt sein.

Konstruieren Sie einen Abschnitt des Prismas ABCA 1 B 1 C 1 mit einer Ebene, die durch die Punkte E, F, G verläuft. Übung 8 Lösung. Verbinden wir die Punkte E und F. Zeichnen wir eine Linie FG und ihren Schnittpunkt mit CC 1, bezeichnen wir H. Zeichnen wir eine Linie EH und ihren Schnittpunkt mit A 1 C 1, bezeichnen wir I. Verbinden wir die Punkte I und G. Der resultierende viereckige EFGI ist der gewünschte Abschnitt.

Konstruieren Sie einen Abschnitt des Prismas ABCA 1 B 1 C 1 mit einer Ebene, die durch die Punkte E, F, G verläuft. Übung 9 Lösung. Zeichnen wir eine Gerade EG und bezeichnen H und I als Schnittpunkte mit CC 1 und AC. Zeichnen wir eine gerade Linie IF und deren Schnittpunkt mit AB bezeichnen wir mit K. Wir zeichnen eine Gerade FH und deren Schnittpunkt mit B 1 C 1 bezeichnen wir mit L. Verbinden wir die Punkte E und K, G und L. Das resultierende Fünfeck EKFLG wird der gewünschte Abschnitt sein.

Konstruieren Sie einen Abschnitt des Prismas ABCA 1 B 1 C 1 mit einer Ebene parallel zu AC 1, die durch die Punkte D 1 verläuft. Lösung für Aufgabe 10. Durch Punkt D zeichnen wir eine Linie parallel zu AC 1 und bezeichnen E als Schnittpunkt mit der Linie BC 1. Dieser Punkt gehört zur Gesichtsebene ADD 1 A 1. Zeichnen Sie eine Linie DE und bezeichnen Sie F als Schnittpunkt mit Kante BC. Verbinden wir die Punkte F und D mit einer Strecke. Durch Punkt D zeichnen wir eine Gerade parallel zur Geraden FD und bezeichnen mit G den Schnittpunkt mit der Kante A 1 C 1, H – den Schnittpunkt mit der Geraden A 1 B 1. Zeichnen wir eine Gerade DH und bezeichnen mit P ihren Schnittpunkt mit der Kante AA 1. Verbinden Sie die Punkte P und G mit einem Segment. Das resultierende Viereck EFIK ist der erforderliche Abschnitt.

Konstruieren Sie einen Abschnitt des Prismas ABCA 1 B 1 C 1 durch eine Ebene, die durch die Punkte E auf der Kante BC, F auf der Fläche ABB 1 A 1 und G auf der Fläche ACC 1 A 1 verläuft. Übung 11 Lösung. Zeichnen wir eine Linie GF und suchen wir den Punkt H ihres Schnittpunkts mit der Ebene ABC. Zeichnen wir eine Gerade EH und bezeichnen wir ihre Schnittpunkte mit AC und AB mit P und I. Zeichnen wir gerade Linien PG und IF und bezeichnen S, R und Q ihre Schnittpunkte mit A 1 C 1, A 1 B 1 und BB 1. Verbinden wir die Punkte E und Q, S und R. Das resultierende Fünfeck EQRSP wird sein den gewünschten Abschnitt.

Konstruieren Sie einen Abschnitt eines regelmäßigen sechseckigen Prismas mit einer Ebene, die durch die Punkte A, B, D 1 verläuft. Übung 12 Lösung. Beachten Sie, dass der Abschnitt durch Punkt E 1 verläuft. Zeichnen wir eine Linie AB und suchen wir ihre Schnittpunkte K und L mit den Linien CD und FE. Zeichnen wir die Linien KD 1, LE 1 und finden ihre Schnittpunkte P, Q mit den Linien CC 1 und FF 1. Das Sechseck ABPD 1 E 1 Q wird der gewünschte Abschnitt sein.

Konstruieren Sie einen Abschnitt eines regelmäßigen sechseckigen Prismas mit einer Ebene, die durch die Punkte A, B’, F’ verläuft. Übung 13 Lösung. Zeichnen wir die Segmente AB’ und AF’. Durch den Punkt B' ziehen wir eine Linie parallel zu AF', und deren Schnittpunkt mit EE 1 bezeichnen wir mit E'. Durch den Punkt F' ziehen wir eine Linie parallel zu AB', und ihren Schnittpunkt mit CC 1 bezeichnen wir als C'. Durch die Punkte E‘ und C‘ ziehen wir Geraden parallel zu AB‘ und AF‘, und ihre Schnittpunkte mit D 1 E 1 und C 1 D 1 bezeichnen wir als D‘, D“. Verbinden wir die Punkte B’, C’; D', D"; F', E'. Das resultierende Siebeneck AB’C’D’D’E’F’ wird der gewünschte Abschnitt sein.

Konstruieren Sie einen Abschnitt eines regelmäßigen sechseckigen Prismas mit einer Ebene, die durch die Punkte F’, B’, D’ verläuft. Übung 14 Lösung. Zeichnen wir die Geraden F’B’ und F’D’ und ermitteln wir ihre Schnittpunkte P und Q mit der Ebene ABC. Machen wir einen direkten PQ. R bezeichne den Schnittpunkt von PQ und FC. Bezeichnen wir den Schnittpunkt von F’R und CC 1 als C’. Verbinden wir die Punkte B’, C’ und C’, D’. Durch den Punkt F' ziehen wir Linien parallel zu C'D' und B'C', und ihre Schnittpunkte mit AA 1 und EE 1 bezeichnen wir als A' und E'. Verbinden wir die Punkte A’, B’ und E’, D’. Das resultierende Sechseck A’B’C’D’E’F’ wird der gewünschte Abschnitt sein.