Funktion: Definitionsbereich und Wertebereich von Funktionen. Unterrichtsthema: „Die Menge der Funktionswerte bei Unified State Examination-Problemen. So finden Sie die Menge der Funktionswerte durch die Ableitung.“

Heute wenden wir uns in der Lektion einem der Grundkonzepte der Mathematik zu – dem Funktionsbegriff; Schauen wir uns eine der Eigenschaften einer Funktion genauer an – die Menge ihrer Werte.

Während des Unterrichts

Lehrer. Beim Lösen von Problemen bemerken wir, dass es manchmal das Finden der Wertemenge einer Funktion ist, die uns in schwierige Situationen bringt. Warum? Es scheint, dass wir, nachdem wir eine Funktion seit der 7. Klasse studiert haben, ziemlich viel darüber wissen. Deshalb haben wir allen Grund, proaktiv zu handeln. Lasst uns heute selbst mit vielen Funktionswerten „spielen“, um in der kommenden Prüfung viele Fragen zu diesem Thema zu beantworten.

Wertemengen elementarer Funktionen

Lehrer. Zunächst müssen Sie die Graphen, Gleichungen und Wertemengen der grundlegenden Elementarfunktionen im gesamten Definitionsbereich wiederholen.

Auf den Bildschirm werden Funktionsgraphen projiziert: linear, quadratisch, gebrochen-rational, trigonometrisch, exponentiell und logarithmisch, für jeden von ihnen wird mündlich eine Reihe von Werten bestimmt. Machen Sie die Schüler darauf aufmerksam, dass die lineare Funktion E(f) = R oder eine Zahl für eine gebrochene lineare Zahl

Das ist unser Alphabet. Indem wir unser Wissen über Graphtransformationen hinzufügen: parallele Übersetzung, Dehnung, Komprimierung, Reflexion, werden wir in der Lage sein, die Probleme des ersten Teils zu lösen Das Einheitliche Staatsexamen ist sogar noch etwas schwieriger. Schauen wir es uns an.

Selbstständige Arbeit

U Problembegriffe und Koordinatensysteme werden für jeden Schüler ausgedruckt.

1. Finden Sie die Menge der Funktionswerte im gesamten Definitionsbereich:

A) j= 3 Sünde X ;
B) j = 7 – 2 X ;
V) j= –arccos ( X + 5):
G) j= | arctg X |;
D)

2. Finden Sie die Menge der Funktionswerte j = X 2 dazwischen J, Wenn:

A) J = ;
B) J = [–1; 5).

3. Definieren Sie die Funktion analytisch (durch eine Gleichung), wenn die Menge ihrer Werte ist:

1) E(F(X)) = (–∞ ; 2] und F(X) - Funktion

a) quadratisch,
b) logarithmisch,
c) demonstrativ;

2) E(F(X)) = R \{7}.

Bei der Besprechung einer Aufgabe 2Machen Sie die Studierenden beim selbstständigen Arbeiten darauf aufmerksam, dass bei Monotonie und Stetigkeit der Funktion y=F(X)in einem bestimmten Intervall[A;B],seine vielen Bedeutungen-Intervall,deren Enden die Werte von f sind(A)und f(B).

Antwortmöglichkeiten zur Aufgabe 3.

1.
A) j = –X 2 + 2 , j = –(X + 18) 2 + 2,
j= A(X – X c) 2 + 2 at A < 0.

B) j= –| Protokoll 8 X | + 2,

V) j = –| 3 X – 7 | + 2, j = –5 | X | + 3.

2.
a) b)

V) j = 12 – 5X, Wo X ≠ 1 .

Finden mehrerer Werte einer Funktion mithilfe der Ableitung

Lehrer. In der 10. Klasse lernten wir den Algorithmus kennen, um die Extrema einer auf einem Segment stetigen Funktion und deren Wertemenge zu ermitteln, ohne uns auf den Graphen der Funktion zu verlassen. Erinnern Sie sich, wie wir das gemacht haben? ( Ableitung verwenden.) Erinnern wir uns an diesen Algorithmus .

1. Stellen Sie die Funktion sicher j = F(X) ist auf dem Segment definiert und kontinuierlich J = [A; B]. 2. Finden Sie die Werte der Funktion an den Enden des Segments: f(a) und f(b). Kommentar. Wenn wir wissen, dass die Funktion stetig und monoton ist J, dann können Sie sofort antworten: E(F) = [F(A); F(B)] oder E(F) = [F(B); F(A)]. 3. Finden Sie die Ableitung und dann die kritischen Punkte x kJ. 4. Finden Sie die Werte der Funktion an kritischen Punkten F(x k). 5. Funktionswerte vergleichen F(A), F(B) Und F(x k), wählen Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion aus und geben Sie die Antwort: E(F)= [F Name; F naib].

Probleme bei der Verwendung dieses Algorithmus treten in Versionen des Unified State Exam auf. Beispielsweise wurde 2008 eine solche Aufgabe vorgeschlagen. Du musst es lösen Häuser .

Aufgabe C1. Finden Sie den größten Wert der Funktion

F(X) = (0,5X + 1) 4 – 50(0,5X + 1) 2

bei | X + 1| ≤ 3.

Die Hausaufgabenbedingungen werden für jeden Schüler ausgedruckt .

Finden der Wertemenge einer komplexen Funktion

Lehrer. Der Hauptteil unserer Lektion werden nicht standardmäßige Probleme sein, die komplexe Funktionen enthalten, deren Ableitungen sehr komplexe Ausdrücke sind. Und die Graphen dieser Funktionen sind uns unbekannt. Zur Lösung verwenden wir daher die Definition einer komplexen Funktion, also die Abhängigkeit zwischen Variablen in der Reihenfolge ihrer Verschachtelung in einer gegebenen Funktion, und eine Schätzung ihres Wertebereichs (das Änderungsintervall in ihrem). Werte). Probleme dieser Art finden sich im zweiten Teil des Einheitlichen Staatsexamens. Schauen wir uns einige Beispiele an.

Übung 1. Für Funktionen j = F(X) Und j = G(X) eine komplexe Funktion schreiben j = F(G(X)) und finde seine Wertemenge:

A) F(X) = –X 2 + 2X + 3, G(X) = Sünde X;
B) F(X) = –X 2 + 2X + 3, G(X) = log 7 X;
V) G(X) = X 2 + 1;
G)

Lösung. a) Die komplexe Funktion hat die Form: j= –Sünde 2 X+ 2 Sünde X + 3.

Einführung eines Zwischenarguments T, wir können diese Funktion wie folgt schreiben:

j= –T 2 + 2T+ 3, wo T= Sünde X.

Bei der internen Veranstaltung T= Sünde X das Argument nimmt beliebige Werte an und die Menge seiner Werte ist das Segment [–1; 1].

Also für die äußere Funktion j = –T 2 +2T+ 3 haben wir das Intervall für die Änderung der Werte seines Arguments herausgefunden T: T[-1; 1]. Schauen wir uns den Graphen der Funktion an j = –T 2 +2T + 3.

Wir stellen fest, dass die quadratische Funktion bei T[-1; 1] nimmt an seinen Enden den kleinsten und größten Wert an: j Name = j(–1) = 0 und j naib = j(1) = 4. Und da diese Funktion im Intervall [–1; 1], dann akzeptiert es alle Werte dazwischen.

Antwort: j .

b) Die Zusammensetzung dieser Funktionen führt uns zu einer komplexen Funktion, die nach Einführung eines Zwischenarguments wie folgt dargestellt werden kann:

j= –T 2 + 2T+ 3, wo T= Protokoll 7 X,

Funktion T= Protokoll 7 X

X (0; +∞ ), T (–∞ ; +∞ ).

Funktion j = –T 2 + 2T+ 3 (siehe Grafik) Argument T nimmt beliebige Werte an und die quadratische Funktion selbst nimmt alle Werte nicht mehr als 4 an.

Antwort: j (–∞ ; 4].

c) Die komplexe Funktion hat die folgende Form:

Wenn wir ein Zwischenargument einführen, erhalten wir:

Wo T = X 2 + 1.

Da für die innere Funktion X R , A T .

Antwort: j (0; 3].

d) Die Zusammensetzung dieser beiden Funktionen ergibt eine komplexe Funktion

was geschrieben werden kann als

beachte das

Also, wann

Wo k Z , T [–1; 0) (0; 1].

Durch Zeichnen eines Diagramms der Funktion Das sehen wir an diesen Werten T

j(–∞ ; –4] c ;

b) im gesamten Definitionsbereich.

Lösung. Zunächst untersuchen wir diese Funktion auf Monotonie. Funktion T= arcctg X- kontinuierlich und abnehmend um R und die Menge seiner Werte (0; π). Funktion j= Protokoll 5 T ist auf dem Intervall (0; π) definiert, ist stetig und wächst darin. Dies bedeutet, dass diese komplexe Funktion auf der Menge abnimmt R . Und als Zusammensetzung zweier kontinuierlicher Funktionen wird es kontinuierlich sein R .

Lösen wir das Problem „a“.

Da die Funktion auf der gesamten Zahlengeraden stetig ist, ist sie auch auf jedem Teil davon, insbesondere auf einem bestimmten Segment, stetig. Und dann hat es auf diesem Segment die kleinsten und größten Werte und nimmt alle Werte dazwischen an:

F(4) = log 5 arcctg 4.

Welcher der resultierenden Werte ist größer? Warum? Und wie werden die Werte aussehen?

Antwort:

Lösen wir das Problem „b“.

Antwort: bei(–∞ ; log 5 π) über den gesamten Definitionsbereich.

Problem mit einem Parameter

Versuchen wir nun, eine einfache Gleichung mit einem Parameter der Form zu erstellen und zu lösen F(X) = A, Wo F(X) - die gleiche Funktion wie in Aufgabe 4.

Aufgabe 5. Bestimmen Sie die Anzahl der Wurzeln der Gleichung log 5 (arcctg X) = A für jeden Parameterwert A.

Lösung. Wie wir bereits in Aufgabe 4 gezeigt haben, ist die Funktion bei= log 5(arcctg X) - nimmt ab und ist kontinuierlich eingeschaltet R und nimmt Werte kleiner als log 5 π an. Diese Informationen reichen aus, um eine Antwort zu geben.

Antwort: Wenn A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Wenn A≥ log 5 π, dann gibt es keine Wurzeln.

Lehrer. Heute haben wir uns mit Problemen im Zusammenhang mit der Ermittlung der Wertemenge einer Funktion befasst. Auf diesem Weg entdeckten wir eine neue Methode zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen – die Schätzmethode, sodass das Finden der Menge von Funktionswerten zu einem Mittel zur Lösung von Problemen auf höherer Ebene wurde. Dabei haben wir gesehen, wie solche Probleme aufgebaut sind und wie die Eigenschaften der Monotonie einer Funktion ihre Lösung erleichtern.

Und ich hoffe, dass die Logik, die die heute besprochenen Aufgaben miteinander verbindet, Sie verblüfft oder zumindest überrascht. Es kann nicht anders sein: Der Aufstieg zu einem neuen Gipfel lässt niemanden gleichgültig! Wir bemerken und schätzen schöne Gemälde, Skulpturen usw. Aber die Mathematik hat auch ihre eigene Schönheit, anziehend und betörend – die Schönheit der Logik. Mathematiker sagen, dass eine schöne Lösung normalerweise eine richtige Lösung ist, und das ist nicht nur eine Phrase. Jetzt müssen Sie selbst solche Lösungen finden, und wir haben Ihnen heute einen Weg dorthin aufgezeigt. Viel Erfolg! Und denken Sie daran: Wer geht, wird den Weg meistern!

Im Rahmen der Lösung von Problemen müssen wir häufig nach vielen Werten einer Funktion in einem Definitionsbereich oder einem Segment suchen. Dies muss beispielsweise beim Lösen verschiedener Arten von Ungleichungen, beim Auswerten von Ausdrücken usw. erfolgen.

In diesem Material erklären wir Ihnen den Wertebereich einer Funktion, geben die wichtigsten Methoden an, mit denen sie berechnet werden kann, und analysieren Probleme unterschiedlicher Komplexität. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind einzelne Bestimmungen mit Grafiken dargestellt. Nach der Lektüre dieses Artikels erhalten Sie ein umfassendes Verständnis für den Umfang einer Funktion.

Beginnen wir mit grundlegenden Definitionen.

Definition 1

Die Wertemenge einer Funktion y = f(x) auf einem bestimmten Intervall x ist die Menge aller Werte, die diese Funktion annimmt, wenn sie über alle Werte x ∈ X iteriert.

Definition 2

Der Wertebereich einer Funktion y = f (x) ist die Menge aller ihrer Werte, die sie annehmen kann, wenn sie die Werte von x aus dem Bereich x ∈ (f) durchsucht.

Der Wertebereich einer bestimmten Funktion wird üblicherweise mit E(f) bezeichnet.

Bitte beachten Sie, dass der Begriff der Wertemenge einer Funktion nicht immer mit ihrem Wertebereich identisch ist. Diese Konzepte sind nur dann äquivalent, wenn das Werteintervall von x beim Finden einer Wertemenge mit dem Definitionsbereich der Funktion übereinstimmt.

Es ist auch wichtig, zwischen dem Wertebereich und dem Bereich akzeptabler Werte der Variablen x für den Ausdruck auf der rechten Seite y = f (x) zu unterscheiden. Der Bereich der zulässigen Werte x für den Ausdruck f (x) ist der Definitionsbereich dieser Funktion.

Nachfolgend finden Sie eine Abbildung mit einigen Beispielen. Blaue Linien sind Funktionsgraphen, rote Linien sind Asymptoten, rote Punkte und Linien auf der Ordinatenachse sind Funktionsbereiche.

Offensichtlich kann der Wertebereich einer Funktion erhalten werden, indem der Graph der Funktion auf die O-y-Achse projiziert wird. Darüber hinaus kann es entweder eine einzelne Zahl oder eine Menge von Zahlen, ein Segment, ein Intervall, einen offenen Strahl, eine Vereinigung numerischer Intervalle usw. darstellen.

Schauen wir uns die wichtigsten Möglichkeiten an, den Wertebereich einer Funktion zu ermitteln.

Beginnen wir mit der Definition der Wertemenge der stetigen Funktion y = f (x) auf einem bestimmten Segment mit der Bezeichnung [ a ; B ] . Wir wissen, dass eine Funktion, die auf einem bestimmten Segment stetig ist, dort ihr Minimum und Maximum erreicht, also das größte m a x x ∈ a ; b f (x) und der kleinste Wert m i n x ∈ a ; b f (x) . Das bedeutet, dass wir ein Segment m i n x ∈ a erhalten; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , das die Wertemengen der ursprünglichen Funktion enthält. Dann müssen wir nur noch die angegebenen Mindest- und Höchstpunkte auf diesem Segment finden.

Nehmen wir ein Problem, bei dem wir den Bereich der Arkussinuswerte bestimmen müssen.

Beispiel 1

Zustand: Finden Sie den Wertebereich y = a r c sin x .

Lösung

Im allgemeinen Fall liegt der Definitionsbereich des Arkussinus auf der Strecke [ - 1 ; 1 ] . Wir müssen den größten und kleinsten Wert der angegebenen Funktion darauf bestimmen.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

Wir wissen, dass die Ableitung der Funktion für alle Werte von x im Intervall [ - 1 ; 1 ], das heißt, im gesamten Definitionsbereich nimmt die Arkussinusfunktion zu. Das bedeutet, dass es den kleinsten Wert annimmt, wenn x gleich -1 ist, und den größten Wert, wenn x gleich 1 ist.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Somit ist der Wertebereich der Arkussinusfunktion gleich E (a r c sin x) = - π 2; π 2.

Antwort: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2

Beispiel 2

Zustand: Berechnen Sie den Wertebereich y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 im angegebenen Intervall [ 1 ; 4 ] .

Lösung

Wir müssen lediglich den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem bestimmten Intervall berechnen.

Um Extrempunkte zu bestimmen, müssen folgende Berechnungen durchgeführt werden:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 und l und 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 , 59 ∈ 1 ; 4

Suchen wir nun die Werte der gegebenen Funktion an den Enden des Segments und an den Punkten x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 Jahre (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Dies bedeutet, dass die Menge der Funktionswerte durch das Segment 117 - 165 33 512 bestimmt wird; 32.

Antwort: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Fahren wir mit der Ermittlung der Wertemenge der stetigen Funktion y = f (x) in den Intervallen (a ; b) und a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .

Beginnen wir mit der Bestimmung der größten und kleinsten Punkte sowie der Anstiegs- und Abfallintervalle in einem bestimmten Intervall. Danach müssen wir einseitige Grenzen an den Enden des Intervalls und/oder Grenzen im Unendlichen berechnen. Mit anderen Worten: Wir müssen das Verhalten der Funktion unter bestimmten Bedingungen bestimmen. Dafür liegen uns alle notwendigen Daten vor.

Beispiel 3

Zustand: Berechnen Sie den Bereich der Funktion y = 1 x 2 - 4 auf dem Intervall (- 2 ; 2) .

Lösung

Bestimmen Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion auf einem bestimmten Segment

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Wir haben einen Maximalwert von 0 erhalten, da sich an diesem Punkt das Vorzeichen der Funktion ändert und der Graph abzunehmen beginnt. Siehe Abbildung:

Das heißt, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 ist der Maximalwert der Funktion.

Bestimmen wir nun das Verhalten der Funktion für ein x, das auf der rechten Seite zu -2 und auf der linken Seite zu +2 tendiert. Mit anderen Worten: Wir finden einseitige Grenzen:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Es stellt sich heraus, dass die Funktionswerte von minus Unendlich auf – 1 4 ansteigen, wenn sich das Argument von – 2 auf 0 ändert. Und wenn sich das Argument von 0 auf 2 ändert, nehmen die Funktionswerte in Richtung minus Unendlich ab. Folglich ist die Menge der Werte einer gegebenen Funktion in dem von uns benötigten Intervall (- ∞ ; - 1 4 ] .

Antwort: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Beispiel 4

Zustand: Geben Sie die Wertemenge y = t g x in einem bestimmten Intervall an - π 2; π 2.

Lösung

Wir wissen, dass im allgemeinen Fall die Ableitung der Tangente - π 2 ist; π 2 wird positiv sein, das heißt, die Funktion wird zunehmen. Lassen Sie uns nun bestimmen, wie sich die Funktion innerhalb der angegebenen Grenzen verhält:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Wir haben eine Zunahme der Werte der Funktion von minus Unendlich auf plus Unendlich erhalten, wenn sich das Argument von - π 2 auf π 2 ändert, und wir können sagen, dass die Menge der Lösungen dieser Funktion die Menge aller reellen Zahlen sein wird .

Antwort: - ∞ ; + ∞ .

Beispiel 5

Zustand: Bestimmen Sie den Bereich der natürlichen Logarithmusfunktion y = ln x.

Lösung

Wir wissen, dass diese Funktion für positive Werte des Arguments D (y) = 0 definiert ist; + ∞ . Die Ableitung in einem bestimmten Intervall ist positiv: y " = ln x " = 1 x . Dies bedeutet, dass die Funktion darauf zunimmt. Als nächstes müssen wir einen einseitigen Grenzwert für den Fall definieren, dass das Argument gegen 0 geht (auf der rechten Seite) und wenn x gegen Unendlich geht:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Wir haben festgestellt, dass die Werte der Funktion von minus Unendlich auf plus Unendlich ansteigen, wenn sich die Werte von x von Null auf plus Unendlich ändern. Das bedeutet, dass die Menge aller reellen Zahlen der Wertebereich der natürlichen Logarithmusfunktion ist.

Antwort: Die Menge aller reellen Zahlen ist der Wertebereich der natürlichen Logarithmusfunktion.

Beispiel 6

Zustand: Bestimmen Sie den Bereich der Funktion y = 9 x 2 + 1 .

Lösung

Diese Funktion ist definiert, vorausgesetzt, dass x eine reelle Zahl ist. Berechnen wir den größten und kleinsten Wert der Funktion sowie die Intervalle ihrer Zunahme und Abnahme:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Als Ergebnis haben wir festgestellt, dass diese Funktion abnimmt, wenn x ≥ 0; erhöhen, wenn x ≤ 0 ; Es hat einen Maximalpunkt y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 mit einer Variablen gleich 0.

Sehen wir uns an, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

Aus der Aufzeichnung geht klar hervor, dass sich die Funktionswerte in diesem Fall asymptotisch 0 nähern.

Zusammenfassend lässt sich sagen: Wenn sich das Argument von minus unendlich auf Null ändert, erhöhen sich die Funktionswerte von 0 auf 9. Wenn sich die Argumentwerte von 0 auf plus unendlich ändern, verringern sich die entsprechenden Funktionswerte von 9 auf 0. Wir haben dies in der Abbildung gezeigt:

Es zeigt, dass der Wertebereich der Funktion das Intervall E (y) = (0 ; 9 ] sein wird

Antwort: E (y) = (0 ; 9 ]

Wenn wir die Wertemenge der Funktion y = f (x) in den Intervallen [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , dann müssen wir genau die gleichen Studien durchführen. Wir werden diese Fälle vorerst nicht analysieren: Wir werden ihnen später in begegnen Probleme.

Was aber, wenn der Definitionsbereich einer bestimmten Funktion eine Vereinigung mehrerer Intervalle ist? Dann müssen wir die Wertesätze für jedes dieser Intervalle berechnen und sie kombinieren.

Beispiel 7

Zustand: Bestimmen Sie den Wertebereich y = x x - 2 .

Lösung

Da der Nenner der Funktion nicht auf 0 gedreht werden sollte, gilt D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Beginnen wir mit der Definition der Menge der Funktionswerte im ersten Segment – ​​∞; 2, das ist ein offener Balken. Wir wissen, dass die Funktion darauf abnimmt, das heißt, die Ableitung dieser Funktion wird negativ sein.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Dann nähern sich die Funktionswerte in Fällen, in denen sich das Argument in Richtung minus Unendlich ändert, asymptotisch 1. Wenn sich die Werte von x von minus Unendlich auf 2 ändern, dann sinken die Werte von 1 auf minus Unendlich, d.h. die Funktion in diesem Segment nimmt Werte aus dem Intervall - ∞; 1 . Wir schließen die Einheit aus unseren Betrachtungen aus, da die Werte der Funktion diese nicht erreichen, sondern sich ihr nur asymptotisch nähern.

Für offenen Balken 2; + ∞ führen wir genau die gleichen Aktionen aus. Die Funktion darauf nimmt ebenfalls ab:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Die Werte der Funktion in einem bestimmten Segment werden durch die Menge 1 bestimmt; + ∞ . Dies bedeutet, dass der Wertebereich, den wir für die in der Bedingung angegebene Funktion benötigen, die Vereinigung von Mengen ist - ∞ ; 1 und 1; + ∞ .

Antwort: E(y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Dies ist in der Grafik zu sehen:

Ein Sonderfall sind periodische Funktionen. Ihr Wertebereich stimmt mit der Wertemenge auf dem Intervall überein, das der Periode dieser Funktion entspricht.

Beispiel 8

Zustand: Bestimmen Sie den Wertebereich von Sinus y = sin x.

Lösung

Sinus ist eine periodische Funktion und ihre Periode beträgt 2 pi. Nehmen Sie das Segment 0; 2 π und sehen Sie, wie die Wertemenge darauf aussehen wird.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Innerhalb von 0; 2 π Die Funktion hat Extrempunkte π 2 und x = 3 π 2 . Berechnen wir, wie hoch die Funktionswerte in ihnen sowie an den Grenzen des Segments sein werden, und wählen dann den größten und kleinsten Wert aus.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1

Antwort: E (sin x) = - 1 ; 1 .

Wenn Sie die Bereiche von Funktionen wie Potenz, Exponential, Logarithmus, Trigonometrie, Umkehrtrigonometrie kennen müssen, empfehlen wir Ihnen, den Artikel über grundlegende Elementarfunktionen noch einmal zu lesen. Die hier vorgestellte Theorie ermöglicht es uns, die dort angegebenen Werte zu überprüfen. Es empfiehlt sich, sie zu erlernen, da sie häufig bei der Lösung von Problemen benötigt werden. Wenn Sie die Bereiche der Grundfunktionen kennen, können Sie mithilfe einer geometrischen Transformation leicht die Bereiche von Funktionen ermitteln, die aus Elementarfunktionen erhalten werden.

Beispiel 9

Zustand: Bestimmen Sie den Wertebereich y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Lösung

Wir wissen, dass das Segment von 0 bis Pi der Arcus-Cosinus-Bereich ist. Mit anderen Worten: E (a r c cos x) = 0; π oder 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Wir können die Funktion a r c cos x 3 + 5 π 7 aus dem Arkuskosinus erhalten, indem wir ihn entlang der O x-Achse verschieben und strecken, aber solche Transformationen werden uns nichts bringen. Dies bedeutet 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Die Funktion 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 kann aus dem Arcuskosinus a r c cos x 3 + 5 π 7 durch Streckung entlang der Ordinatenachse erhalten werden, d.h. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Die letzte Transformation ist eine Verschiebung entlang der Oy-Achse um 4 Werte. Als Ergebnis erhalten wir eine doppelte Ungleichung:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Wir haben festgestellt, dass der von uns benötigte Wertebereich gleich E (y) = - 4 ist; 3 π - 4 .

Antwort: E(y) = - 4 ; 3 π - 4 .

Wir werden ein weiteres Beispiel ohne Erklärung aufschreiben, weil es ist dem vorherigen völlig ähnlich.

Beispiel 10

Zustand: Berechnen Sie, wie groß der Bereich der Funktion y = 2 2 x - 1 + 3 sein wird.

Lösung

Schreiben wir die in der Bedingung angegebene Funktion als y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3 um. Für eine Potenzfunktion y = x - 1 2 wird der Wertebereich auf dem Intervall 0 definiert; + ∞, d.h. x - 1 2 > 0 . In diesem Fall:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Also E(y) = 3; + ∞ .

Antwort: E(y) = 3; + ∞ .

Schauen wir uns nun an, wie man den Wertebereich einer Funktion ermittelt, die nicht stetig ist. Dazu müssen wir den gesamten Bereich in Intervalle unterteilen und in jedem von ihnen Wertemengen finden und dann das Ergebnis kombinieren. Um dies besser zu verstehen, empfehlen wir Ihnen, sich die wichtigsten Arten von Funktionshaltepunkten anzusehen.

Beispiel 11

Zustand: gegeben die Funktion y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Berechnen Sie den Wertebereich.

Lösung

Diese Funktion ist für alle Werte von x definiert. Analysieren wir es auf Kontinuität mit den Werten des Arguments gleich - 3 und 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Wir haben eine unentfernbare Diskontinuität erster Art, wenn der Wert des Arguments -3 ist. Wenn wir uns dem nähern, tendieren die Werte der Funktion zu - 2 sin 3 2 - 4 , und wenn x auf der rechten Seite zu - 3 tendiert, tendieren die Werte zu - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Im Punkt 3 haben wir eine unauflösbare Diskontinuität zweiter Art. Wenn eine Funktion dazu tendiert, nähern sich ihre Werte - 1, wenn sie zum gleichen Punkt rechts tendiert - minus Unendlich.

Dies bedeutet, dass der gesamte Definitionsbereich dieser Funktion in 3 Intervalle (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞) unterteilt ist.

Im ersten von ihnen haben wir die Funktion y = 2 sin x 2 - 4 erhalten. Da - 1 ≤ sin x ≤ 1, erhalten wir:

1 ≤ Sünde x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Dies bedeutet, dass in einem gegebenen Intervall (- ∞ ; - 3 ] die Menge der Funktionswerte [ - 6 ; 2 ] ist.

Auf dem halben Intervall (- 3; 3 ] ist das Ergebnis eine konstante Funktion y = - 1. Folglich wird die gesamte Menge ihrer Werte in diesem Fall auf eine Zahl reduziert - 1.

Im zweiten Intervall 3 ; + ∞ haben wir die Funktion y = 1 x - 3 . Sie nimmt ab, weil y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Dies bedeutet, dass die Wertemenge der Originalfunktion für x > 3 die Menge 0 ist; + ∞ . Nun kombinieren wir die Ergebnisse: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Antwort: E(y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Die Lösung ist in der Grafik dargestellt:

Beispiel 12

Bedingung: Es gibt eine Funktion y = x 2 - 3 e x. Bestimmen Sie die Menge seiner Werte.

Lösung

Es ist für alle Argumentwerte definiert, die reelle Zahlen sind. Bestimmen wir, in welchen Intervallen diese Funktion zunimmt und in welchen sie abnimmt:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Wir wissen, dass die Ableitung 0 wird, wenn x = - 1 und x = 3. Platzieren wir diese beiden Punkte auf der Achse und finden wir heraus, welche Vorzeichen die Ableitung in den resultierenden Intervallen haben wird.

Die Funktion verringert sich um (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) und erhöht sich um [ - 1 ; 3]. Die Mindestpunktzahl beträgt -1, die Höchstpunktzahl -3.

Suchen wir nun die entsprechenden Funktionswerte:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Schauen wir uns das Verhalten der Funktion im Unendlichen an:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Zur Berechnung der zweiten Grenze wurde die Regel von L'Hopital verwendet. Lassen Sie uns den Fortschritt unserer Lösung in einem Diagramm darstellen.

Es zeigt, dass die Funktionswerte von plus Unendlich auf – 2 e sinken, wenn sich das Argument von minus Unendlich auf – 1 ändert. Ändert er sich von 3 auf plus unendlich, dann sinken die Werte von 6 e – 3 auf 0, 0 wird jedoch nicht erreicht.

Somit ist E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .

Antwort: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

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Funktion ist eines der wichtigsten mathematischen Konzepte.

Definition: Wenn jeder Zahl aus einer bestimmten Menge x eine einzelne Zahl y zugeordnet ist, dann sagt man, dass auf dieser Menge eine Funktion y(x) definiert ist. In diesem Fall wird x als unabhängige Variable oder Argument bezeichnet und y als abhängige Variable oder als Wert einer Funktion oder einfach als Funktion.

Die Variable y soll auch eine Funktion der Variablen x sein.

Nachdem eine Übereinstimmung mit einem Buchstaben, zum Beispiel f, gekennzeichnet wurde, ist es praktisch, zu schreiben: y=f (x), d. h. der Wert y wird aus dem Argument x unter Verwendung der Übereinstimmung f ermittelt. (Lesen Sie: y ist gleich f von x.) Das Symbol f (x) bezeichnet den Wert der Funktion, der dem Wert des Arguments gleich x entspricht.

Beispiel 1 Die Funktion sei durch die Formel y=2x 2 –6 gegeben. Dann können wir schreiben, dass f(x)=2x 2 –6. Finden wir die Werte der Funktion für Werte von x, die beispielsweise gleich 1 sind; 2,5;–3; d.h. wir finden f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Beachten Sie, dass in der Notation der Form y=f (x) andere Buchstaben anstelle von f verwendet werden: g usw.

Definition: Der Definitionsbereich einer Funktion sind alle Werte von x, für die die Funktion existiert.

Wenn eine Funktion durch eine Formel angegeben wird und ihr Definitionsbereich nicht angegeben ist, wird davon ausgegangen, dass der Definitionsbereich der Funktion aus allen Werten des Arguments besteht, für die die Formel sinnvoll ist.

Mit anderen Worten: Der Definitionsbereich einer durch eine Formel gegebenen Funktion umfasst alle Werte des Arguments mit Ausnahme derjenigen, die zu Aktionen führen, die wir nicht ausführen können. Im Moment sind uns nur zwei solcher Aktionen bekannt. Wir können nicht durch Null dividieren und aus einer negativen Zahl nicht die Quadratwurzel ziehen.

Definition: Alle Werte, die die abhängige Variable annimmt, bilden den Bereich der Funktion.

Der Definitionsbereich einer Funktion, die einen realen Prozess beschreibt, hängt von den spezifischen Bedingungen seines Auftretens ab. Beispielsweise wird die Abhängigkeit der Länge l eines Eisenstabs von der Heiztemperatur t durch die Formel ausgedrückt, wobei l 0 die Anfangslänge des Stabs und der lineare Ausdehnungskoeffizient ist. Diese Formel ist für alle Werte von t sinnvoll. Der Definitionsbereich der Funktion l=g(t) ist jedoch ein Intervall von mehreren zehn Grad, für das das Gesetz der linearen Expansion gilt.

Beispiel.

Geben Sie den Funktionsumfang an y = arcsinx.

Lösung.

Der Definitionsbereich des Arkussinus ist das Segment [-1; 1] . Suchen wir den größten und kleinsten Wert der Funktion in diesem Segment.

Die Ableitung ist für alle positiv X aus dem Intervall (-1; 1) , das heißt, die Arkussinusfunktion nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu. Daher nimmt es den kleinsten Wert an, wenn x = -1, und das Größte bei x = 1.

Wir haben den Bereich der Arkussinusfunktion erhalten .

Finden Sie die Menge der Funktionswerte auf dem Segment .

Lösung.

Lassen Sie uns den größten und kleinsten Wert der Funktion in einem bestimmten Segment ermitteln.

Bestimmen wir die zum Segment gehörenden Extrempunkte :