Gleichungen ebener und sphärischer Wellen. Gleichung für ebene Wanderwellen

23.12.2021

Wellengleichung ist eine Gleichung, die die Abhängigkeit der Verschiebung eines an einem Wellenprozess beteiligten oszillierenden Teilchens von der Koordinate seiner Gleichgewichtsposition und -zeit ausdrückt:

Diese Funktion muss sowohl in Bezug auf die Zeit als auch in Bezug auf die Koordinaten periodisch sein. Darüber hinaus liegen Punkte in einiger Entfernung l voneinander entfernt, schwingen auf die gleiche Weise.

Lassen Sie uns den Typ der Funktion finden X im Fall einer ebenen Welle.

Betrachten wir eine ebene harmonische Welle, die sich in einem Medium, das keine Energie absorbiert, entlang der positiven Achsenrichtung ausbreitet. In diesem Fall stehen die Wellenoberflächen senkrecht zur Achse. Alle Größen, die die Schwingungsbewegung von Partikeln des Mediums charakterisieren, hängen nur von Zeit und Koordinaten ab. Der Offset hängt nur von und ab: . Die Schwingung eines Punktes mit einer Koordinate (der Schwingungsquelle) sei durch die Funktion gegeben. Aufgabe: Finden Sie die Art der Schwingung von Punkten in der Ebene, die einem beliebigen Wert entspricht. Um von einer Ebene zur nächsten zu gelangen, benötigt eine Welle Zeit. Folglich sind die Schwingungen der in der Ebene liegenden Teilchen in ihrer Phase gegenüber den Schwingungen der Teilchen in der Ebene um eine Zeitverzögerung verzögert. Dann hat die Gleichung der Teilchenschwingungen in der Ebene die Form:

Als Ergebnis erhielten wir die Gleichung einer ebenen Welle, die sich in zunehmender Richtung ausbreitet:

. (3)

In dieser Gleichung ist die Amplitude der Welle; – zyklische Häufigkeit; – Anfangsphase, die durch die Wahl des Bezugspunkts bestimmt wird und ; – ebene Wellenphase.

Die Wellenphase sei ein konstanter Wert (wir legen den Phasenwert in der Wellengleichung fest):

Reduzieren wir diesen Ausdruck um und differenzieren wir ihn. Als Ergebnis erhalten wir:

oder .

Somit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle in der Gleichung der ebenen Welle nichts anderes als die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer festen Phase der Welle. Diese Geschwindigkeit heißt Phasengeschwindigkeit .

Bei einer Sinuswelle ist die Geschwindigkeit der Energieübertragung gleich der Phasengeschwindigkeit. Aber eine Sinuswelle trägt keine Informationen und jedes Signal ist eine modulierte Welle, d.h. nicht sinusförmig (nicht harmonisch). Bei der Lösung einiger Probleme stellt sich heraus, dass die Phasengeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit ist. Hier liegt kein Paradoxon vor, denn... Die Geschwindigkeit der Phasenbewegung ist nicht die Geschwindigkeit der Übertragung (Ausbreitung) von Energie. Energie und Masse können sich nicht mit einer Geschwindigkeit bewegen, die größer als die Lichtgeschwindigkeit ist C .

Normalerweise erhält die ebene Wellengleichung eine relativ symmetrische Form. Geben Sie dazu den Wert ein , Was heisst Wellenzahl . Lassen Sie uns den Ausdruck für die Wellenzahl umwandeln. Schreiben wir es in das Formular (). Setzen wir diesen Ausdruck in die ebene Wellengleichung ein:

Endlich bekommen wir

Dies ist die Gleichung einer ebenen Welle, die sich in zunehmender Richtung ausbreitet. Die entgegengesetzte Richtung der Wellenausbreitung wird durch eine Gleichung charakterisiert, in der sich das Vorzeichen vor dem Term ändert.

Es ist zweckmäßig, die ebene Wellengleichung in der folgenden Form zu schreiben.

Normalerweise ein Zeichen Re werden weggelassen, was bedeutet, dass nur der Realteil des entsprechenden Ausdrucks verwendet wird. Zusätzlich wird eine komplexe Zahl eingeführt.

Diese Zahl wird als komplexe Amplitude bezeichnet. Der Modul dieser Zahl gibt die Amplitude an und das Argument gibt die Anfangsphase der Welle an.

Somit kann die Gleichung einer ebenen kontinuierlichen Welle in der folgenden Form dargestellt werden.

Alles, was oben besprochen wurde, bezog sich auf ein Medium, in dem es keine Wellendämpfung gab. Bei der Wellendämpfung nimmt gemäß dem Bouguer-Gesetz (Pierre Bouguer, französischer Wissenschaftler (1698 - 1758)) die Amplitude der Welle bei ihrer Ausbreitung ab. Dann hat die ebene Wellengleichung die folgende Form.

A– Wellendämpfungskoeffizient. Eine 0 – Amplitude der Schwingungen an einem Punkt mit Koordinaten . Dies ist der Kehrwert der Entfernung, um die die Wellenamplitude abnimmt e einmal.

Finden wir die Gleichung einer Kugelwelle. Wir betrachten die Schwingungsquelle als punktförmig. Dies ist möglich, wenn wir uns darauf beschränken, die Welle in einer Entfernung zu betrachten, die viel größer ist als die Größe der Quelle. Eine Welle von einer solchen Quelle in einem isotropen und homogenen Medium wird sein sphärisch . Punkte, die auf der Wellenoberfläche mit Radius liegen, schwingen mit der Phase

Die Schwingungsamplitude bleibt in diesem Fall nicht konstant, auch wenn die Wellenenergie nicht vom Medium absorbiert wird. Sie nimmt laut Gesetz mit der Entfernung von der Quelle ab. Daher hat die Kugelwellengleichung die Form:

oder

Aufgrund der getroffenen Annahmen gilt die Gleichung nur für , die die Größe der Wellenquelle deutlich überschreitet. Gleichung (6) gilt nicht für kleine Werte, weil die Amplitude würde gegen Unendlich tendieren, und das ist absurd.

Bei Vorhandensein einer Dämpfung im Medium wird die Gleichung einer Kugelwelle wie folgt geschrieben.

Gruppengeschwindigkeit

Eine streng monochromatische Welle ist eine zeitlich und räumlich unendliche Abfolge von „Buckeln“ und „Tälern“.

Die Phasengeschwindigkeit dieser Welle bzw (2)

Es ist unmöglich, mit einer solchen Welle ein Signal zu übertragen, weil An jedem Punkt der Welle sind alle „Höcker“ gleich. Das Signal muss unterschiedlich sein. Ein Zeichen (Markierung) auf der Welle sein. Dann ist die Welle aber nicht mehr harmonisch und kann nicht durch Gleichung (1) beschrieben werden. Ein Signal (Impuls) kann nach dem Fourier-Theorem als Überlagerung harmonischer Wellen mit Frequenzen dargestellt werden, die in einem bestimmten Intervall liegen Dw . Überlagerung von Wellen, die sich in der Frequenz kaum voneinander unterscheiden,

angerufen Wellenpaket oder Gruppe von Wellen .

Der Ausdruck für eine Wellengruppe kann wie folgt geschrieben werden.

(3)

Symbol w betont, dass diese Größen von der Frequenz abhängen.

Dieses Wellenpaket kann eine Summe von Wellen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen sein. Wo die Phasen der Wellen übereinstimmen, ist eine Zunahme der Amplitude zu beobachten, und wo die Phasen entgegengesetzt sind, ist eine Dämpfung der Amplitude zu beobachten (das Ergebnis von Interferenz). Dieses Bild ist in der Abbildung dargestellt. Damit eine Überlagerung von Wellen als Wellengruppe betrachtet werden kann, muss die folgende Bedingung erfüllt sein: Dw<< w 0 .

In einem nichtdispersiven Medium breiten sich alle ebenen Wellen, die ein Wellenpaket bilden, mit der gleichen Phasengeschwindigkeit aus v . Dispersion ist die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit einer Sinuswelle in einem Medium von der Frequenz. Wir werden das Phänomen der Dispersion später im Abschnitt „Wellenoptik“ betrachten. Ohne Dispersion stimmt die Bewegungsgeschwindigkeit des Wellenpakets mit der Phasengeschwindigkeit überein v . In einem dispersiven Medium breitet sich jede Welle mit ihrer eigenen Geschwindigkeit aus. Daher breitet sich das Wellenpaket mit der Zeit aus und seine Breite nimmt zu.

Ist die Streuung gering, breitet sich das Wellenpaket nicht zu schnell aus. Daher kann der Bewegung des gesamten Pakets eine gewisse Geschwindigkeit zugeschrieben werden U .

Die Geschwindigkeit, mit der sich das Zentrum des Wellenpakets (der Punkt mit der maximalen Amplitude) bewegt, wird Gruppengeschwindigkeit genannt.

In einer dispersiven Umgebung v¹U . Zusammen mit der Bewegung des Wellenpakets selbst bewegen sich auch die „Höcker“ im Paket selbst. „Buckel“ bewegen sich mit hoher Geschwindigkeit im Raum v und das Paket als Ganzes mit Geschwindigkeit U .

Betrachten wir die Bewegung eines Wellenpakets genauer am Beispiel einer Überlagerung zweier Wellen mit gleicher Amplitude und unterschiedlichen Frequenzen w (verschiedene Wellenlängen l ).

Schreiben wir die Gleichungen zweier Wellen auf. Nehmen wir der Einfachheit halber die Anfangsphasen an j 0 = 0.

Hier

Lassen Dw<< w , jeweils Dk<< k .

Addieren wir die Schwingungen und führen Transformationen mit der trigonometrischen Formel für die Kosinussumme durch:

Den ersten Kosinus vernachlässigen wir Dwt Und Dkx , die viel kleiner sind als andere Größen. Berücksichtigen wir das cos(–a) = cosa . Wir werden es endlich aufschreiben.

(4)

Der Multiplikator in eckigen Klammern ändert sich mit der Zeit und koordiniert viel langsamer als der zweite Multiplikator. Folglich kann Ausdruck (4) als Gleichung einer ebenen Welle mit einer durch den ersten Faktor beschriebenen Amplitude betrachtet werden. Grafisch wird die durch Ausdruck (4) beschriebene Welle in der oben gezeigten Abbildung dargestellt.

Die resultierende Amplitude ergibt sich aus der Addition von Wellen, daher werden Maxima und Minima der Amplitude beobachtet.

Die maximale Amplitude wird durch die folgende Bedingung bestimmt.

(5)

M = 0, 1, 2…

xmax– Koordinate der maximalen Amplitude.

Der Kosinus nimmt seinen maximalen Modulowert durch P .

Jedes dieser Maxima kann als Zentrum der entsprechenden Wellengruppe betrachtet werden.

(5) relativ auflösen xmax wir kriegen es hin.

Da die Phasengeschwindigkeit ist Gruppengeschwindigkeit genannt. Mit dieser Geschwindigkeit bewegt sich die maximale Amplitude des Wellenpakets. Im Grenzfall hat der Ausdruck für die Gruppengeschwindigkeit die folgende Form.

(6)

Dieser Ausdruck gilt für das Zentrum einer Gruppe beliebig vieler Wellen.

Es ist zu beachten, dass bei genauer Berücksichtigung aller Terme der Entwicklung (für eine beliebige Anzahl von Wellen) der Ausdruck für die Amplitude so erhalten wird, dass sich das Wellenpaket über die Zeit ausbreitet.
Der Ausdruck für die Gruppengeschwindigkeit kann eine andere Form haben.

In Abwesenheit von Varianz

Die maximale Intensität tritt in der Mitte der Wellengruppe auf. Daher ist die Geschwindigkeit der Energieübertragung gleich der Gruppengeschwindigkeit.

Das Konzept der Gruppengeschwindigkeit ist nur unter der Voraussetzung anwendbar, dass die Wellenabsorption im Medium gering ist. Bei erheblicher Wellendämpfung verliert der Begriff der Gruppengeschwindigkeit seine Bedeutung. Dieser Fall wird im Bereich der anomalen Streuung beobachtet. Wir werden dies im Abschnitt „Wellenoptik“ betrachten.

Mechanische Wellen- der Prozess der Ausbreitung mechanischer Schwingungen in einem Medium (flüssig, fest, gasförmig). Es sollte beachtet werden, dass mechanische Wellen Energie und Form übertragen, aber keine Masse. Das wichtigste Merkmal einer Welle ist die Geschwindigkeit ihrer Ausbreitung. Wellen jeglicher Art breiten sich nicht augenblicklich durch den Raum aus; ihre Geschwindigkeit ist endlich.

Nach der Geometrie unterscheiden sie sich: sphärische (räumliche), eindimensionale (ebene), spiralförmige Wellen.

Die Welle heißt Ebene, wenn seine Wellenoberflächen zueinander parallele Ebenen sind, senkrecht zur Phasengeschwindigkeit der Welle (Abb. 1.3). Folglich sind die Strahlen einer ebenen Welle parallele Linien.

Ebene-Wellen-Gleichung::

Optionen :

Schwingungsperiode T ist die Zeitspanne, nach der der Zustand des Systems die gleichen Werte annimmt: u(t + T) = u(t).

Schwingungsfrequenz n ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, der Kehrwert der Periode: n = 1/T. Sie wird in Hertz (Hz) gemessen und hat die Einheit s–1. Ein Pendel, das einmal pro Sekunde schwingt, schwingt mit einer Frequenz von 1 Hz.

Schwingungsphase j– ein Wert, der angibt, wie viel von der Schwingung seit Beginn des Prozesses vergangen ist. Sie wird in Winkeleinheiten gemessen – Grad oder Bogenmaß.

Schwingungsamplitude A– der maximale Wert, den das Schwingsystem annimmt, die „Schwingungsspanne“.

4.Doppler-Effekt- eine vom Beobachter (Wellenempfänger) wahrgenommene Änderung der Frequenz und Länge der Wellen aufgrund der Relativbewegung der Wellenquelle und des Beobachters. Stellen wir uns vor dass sich der Beobachter mit einer bestimmten Geschwindigkeit einer stationären Wellenquelle nähert. Gleichzeitig trifft er im gleichen Zeitintervall auf mehr Wellen als ohne Bewegung. Das bedeutet, dass die wahrgenommene Frequenz größer ist als die Frequenz der von der Quelle ausgesendeten Welle. Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle stehen also in einem Zusammenhang zueinander durch die Beziehung V = /, - Wellenlänge.

Beugung- das Phänomen der Biegung um Hindernisse herum, deren Größe mit der Wellenlänge vergleichbar ist.

Interferenz- ein Phänomen, bei dem es infolge der Überlagerung kohärenter Wellen entweder zu einer Zunahme oder Abnahme von Schwingungen kommt.

Jungs Erfahrung Das erste Interferenzexperiment, das auf der Grundlage der Wellentheorie des Lichts erklärt wurde, war Youngs Experiment (1802). In Youngs Experiment fiel Licht von einer Quelle, die als schmaler Spalt S diente, auf einen Schirm mit zwei eng beieinander liegenden Schlitzen S1 und S2. Beim Durchgang durch jeden der Schlitze verbreiterte sich der Lichtstrahl aufgrund der Beugung, sodass sich auf dem weißen Bildschirm E die Lichtstrahlen, die durch die Schlitze S1 und S2 gingen, überlappten. Im Überlappungsbereich der Lichtstrahlen war ein Interferenzmuster in Form abwechselnd heller und dunkler Streifen zu beobachten.

2.Klang - mechanische Longitudinalwelle, die sich in elastischen Medien ausbreitet, hat eine Frequenz von 16 Hz bis 20 kHz. Es gibt verschiedene Arten von Geräuschen:

1. einfacher Ton – eine rein harmonische Schwingung, die von einer Stimmgabel (einem Metallinstrument, das beim Anschlagen einen Ton erzeugt) abgegeben wird:

2. komplexer Ton – keine sinusförmige, sondern periodische Schwingung (ausgestrahlt von verschiedenen Musikinstrumenten).

Nach dem Fourier-Theorem kann eine solche komplexe Schwingung durch eine Reihe harmonischer Komponenten mit unterschiedlichen Frequenzen dargestellt werden. Die tiefste Frequenz wird als Grundton bezeichnet, mehrere Frequenzen werden als Obertöne bezeichnet. Eine Reihe von Frequenzen, die ihre relative Intensität (Wellenenergieflussdichte) angeben, wird als akustisches Spektrum bezeichnet. Das Spektrum eines komplexen Tons ist linear.

3. Lärm – Schall, der durch die Hinzufügung vieler inkonsistenter Quellen entsteht. Spektrum - kontinuierlich (fest):

4. Überschallknall – kurzfristige Schalleinwirkung. Beispiel: Klatschen, Explosion.

Wellenimpedanz- das Verhältnis des Schalldrucks in einer ebenen Welle zur Schwingungsgeschwindigkeit der Partikel des Mediums. Charakterisiert den Grad der Steifigkeit des Mediums (d. h. die Fähigkeit des Mediums, der Bildung von Verformungen zu widerstehen) in einer Wanderwelle. Ausgedrückt durch die Formel:

P/V=p/c, P-Schalldruck, p-Dichte, c-Schallgeschwindigkeit, V-Volumen.

3 - Eigenschaften unabhängig von den Eigenschaften des Empfängers:

Intensität (Schallstärke) ist die Energie, die eine Schallwelle pro Zeiteinheit durch eine Flächeneinheit transportiert, die senkrecht zur Schallwelle installiert ist.

Fundamentale Frequenz.

Klangspektrum – die Anzahl der Obertöne.

Bei Frequenzen unter 17 und über 20.000 Hz werden Druckschwankungen vom menschlichen Ohr nicht mehr wahrgenommen. Als Infraschall werden longitudinale mechanische Wellen mit einer Frequenz von weniger als 17 Hz bezeichnet. Als Ultraschall werden longitudinale mechanische Wellen mit einer Frequenz über 20.000 Hz bezeichnet.

5. UZ- mechanisch Welle mit einer Frequenz von mehr als 20 kHz. Ultraschall ist ein Wechsel von Kondensation und Verdünnung des Mediums. In jeder Umgebung ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Ultraschalls gleich . Besonderheit- Schmalheit des Strahls, wodurch Sie Objekte lokal beeinflussen können. In inhomogenen Medien mit kleinen Partikeleinschlüssen kommt es zum Phänomen der Beugung (Biegung um Hindernisse herum). Das Eindringen von Ultraschall in ein anderes Medium wird durch den Penetrationskoeffizienten() =L/L charakterisiert, wobei die Längen des Ultraschalls nach und vor dem Eindringen in das Medium angegeben sind.

Die Wirkung von Ultraschall auf Körpergewebe ist mechanisch, thermisch und chemisch. Anwendung in der Medizin ist in zwei Bereiche unterteilt: die Forschungs- und Diagnosemethode und die Wirkungsweise. 1) Echoenzephalographie- Erkennung von Tumoren und Hirnödemen ; Kardiographie- Messung des Herzens in der Dynamik. 2) Ultraschall-Physiotherapie- mechanische und thermische Einwirkungen auf das Gewebe; bei Operationen wie „Ultraschallskalpell“

6. Ideale Flüssigkeit - eine imaginäre inkompressible Flüssigkeit ohne Viskosität und Wärmeleitfähigkeit. Eine ideale Flüssigkeit hat keine innere Reibung, ist kontinuierlich und hat keine Struktur.

Kontinuitätsgleichung -V 1 A 1 = V 2 A 2 Der Volumenstrom in jedem Strömungsrohr, das durch benachbarte Strömungslinien begrenzt wird, muss in allen seinen Querschnitten jederzeit gleich sein

Bernoulli-Gleichung - R v 2 / 2 + Rst + Rgh= const, bei stationärer Strömung ist der Gesamtdruck in allen Querschnitten des Stromrohres gleich. R v 2 / 2 + Rst= const – für horizontal Grundstücke.

7Stationärer Fluss- eine Strömung, deren Geschwindigkeit sich an keiner Stelle in der Flüssigkeit ändert.

Laminare Strömung- eine geordnete Strömung einer Flüssigkeit oder eines Gases, bei der sich die Flüssigkeit (das Gas) in Schichten parallel zur Strömungsrichtung bewegt.

Turbulente Strömung- eine Form der Flüssigkeits- oder Gasströmung, bei der ihre Elemente ungeordnete, instationäre Bewegungen entlang komplexer Flugbahnen ausführen, was zu einer intensiven Vermischung zwischen Schichten bewegter Flüssigkeit oder Gas führt.

Linien– Linien, deren Tangenten in allen Punkten mit der Geschwindigkeitsrichtung in diesen Punkten zusammenfallen. Bei einem stetigen Fluss ändern sich die Stromlinien nicht mit der Zeit.

Viskosität - innere Reibung, die Eigenschaft flüssiger Körper (Flüssigkeiten und Gase), der Bewegung eines Teils relativ zu einem anderen zu widerstehen

Newtons Gleichung: F = (dv/dx)Sη.

Viskositätskoeffizient- Proportionalitätskoeffizient abhängig von der Art der Flüssigkeit oder des Gases. Eine Zahl zur quantitativen Charakterisierung der Viskositätseigenschaft. Koeffizient der inneren Reibung.

Nicht-Newtonsche Flüssigkeit bezeichnet eine Flüssigkeit, deren Viskosität vom Geschwindigkeitsgradienten abhängt und deren Strömung der Newtonschen Gleichung folgt. (Polymere, Stärke, flüssiges Seifenblut)

Newtonsch - In einer bewegten Flüssigkeit hängt ihre Viskosität nur von ihrer Art und Temperatur und nicht vom Geschwindigkeitsgradienten ab. (Wasser und Dieselkraftstoff)

.Reynolds Nummer- Charakterisierung der Beziehung zwischen Trägheitskräften und viskosen Kräften: Re = rdv/m, wobei r die Dichte, m der dynamische Viskositätskoeffizient einer Flüssigkeit oder eines Gases und v die Strömungsgeschwindigkeit ist. Bei R< Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re >Die Rekð-Strömung kann turbulent werden.

Kinematischer Viskositätskoeffizient- das Verhältnis der dynamischen Viskosität einer Flüssigkeit oder eines Gases zu seiner Dichte.

9. Stokes-Methode,Basierend auf der Methode A Stokes enthält die von Stokes erhaltene Formel für die Widerstandskraft, die entsteht, wenn sich ein Ball in einer viskosen Flüssigkeit bewegt: Fc = 6 π η V r. Um den Viskositätskoeffizienten η indirekt zu messen, sollte man die gleichmäßige Bewegung einer Kugel in einer viskosen Flüssigkeit betrachten und die Bedingung der gleichmäßigen Bewegung anwenden: Die Vektorsumme aller auf die Kugel wirkenden Kräfte ist Null.

Mg + F A + F mit =0 (alles in Vektorform!!!)

Jetzt sollten wir die Schwerkraft (mg) und die Archimedes-Kraft (Fa) in bekannten Größen ausdrücken. Durch Gleichsetzen der Werte mg = Fa+Fc erhalten wir den Ausdruck für die Viskosität:

η = (2/9)*g*(ρ t - ρ l)* r 2 / v = (2/9) * g *(ρ t - ρ l)* r 2 * t / L. Der Radius ist direkt gemessen mit einer Mikrometerkugel r (nach Durchmesser), L ist der Weg der Kugel in der Flüssigkeit, t ist die Laufzeit des Weges L. Um die Viskosität mit der Stokes-Methode zu messen, wird der Weg L nicht von der Oberfläche der Flüssigkeit genommen , aber zwischen den Noten 1 und 2. Dies ist auf folgenden Umstand zurückzuführen. Bei der Ableitung der Arbeitsformel für den Viskositätskoeffizienten nach der Stokes-Methode wurde die Bedingung einer gleichmäßigen Bewegung verwendet. Ganz am Anfang der Bewegung (die Anfangsgeschwindigkeit des Balls ist Null) ist auch die Widerstandskraft Null und der Ball hat eine gewisse Beschleunigung. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt die Widerstandskraft zu und die Resultierende der drei Kräfte nimmt ab! Erst ab einer bestimmten Marke kann die Bewegung als gleichmäßig (und dann auch nur annähernd) angesehen werden.

11.Poiseuilles Formel: Während der stetigen laminaren Bewegung einer viskosen inkompressiblen Flüssigkeit durch ein zylindrisches Rohr mit kreisförmigem Querschnitt ist der zweite Volumenstrom direkt proportional zum Druckabfall pro Längeneinheit des Rohrs und der vierten Potenz des Radius und umgekehrt proportional zum Viskositätskoeffizient der Flüssigkeit.

Diese Funktion muss sowohl zeitlich als auch koordinatenmäßig periodisch sein (eine Welle ist eine sich ausbreitende Schwingung, also eine sich periodisch wiederholende Bewegung). Darüber hinaus schwingen Punkte im Abstand l voneinander in gleicher Weise.

Ebene Wellengleichung

Finden wir die Form der Funktion x im Fall einer ebenen Welle unter der Annahme, dass die Schwingungen harmonischer Natur sind.

Richten wir die Koordinatenachsen so aus, dass die Achse X fiel mit der Richtung der Wellenausbreitung zusammen. Dann steht die Wellenoberfläche senkrecht zur Achse X. Da alle Punkte der Wellenoberfläche gleich schwingen, hängt die Verschiebung x nur von ab X Und T: . Die Schwingung der in der Ebene liegenden Punkte habe die Form (in der Anfangsphase)

(5.2.2)

Finden wir die Art der Schwingung von Teilchen in einer Ebene, die einem beliebigen Wert entspricht X. Den Weg gehen X, es braucht Zeit.

Somit, Schwingungen von Teilchen in einer EbeneXwird rechtzeitig zurückliegenTaus Schwingungen von Teilchen in der Ebene, d.h.

(5.2.3)

- Das ebene Wellengleichung.

Also x Es gibt Voreingenommenheit einer der Punkte mit KoordinatenXzu einem bestimmten ZeitpunktT. Bei der Herleitung haben wir angenommen, dass die Amplitude der Schwingung beträgt. Dies geschieht, wenn die Wellenenergie nicht vom Medium absorbiert wird.

Gleichung (5.2.3) hat die gleiche Form, wenn sich die Schwingungen entlang der Achse ausbreiten j oder z.

Allgemein ebene Wellengleichung ist so geschrieben:

Die Ausdrücke (5.2.3) und (5.2.4) lauten Wanderwellengleichungen .

Gleichung (5.2.3) beschreibt eine Welle, die sich in zunehmender Richtung ausbreitet X. Eine Welle, die sich in die entgegengesetzte Richtung ausbreitet, hat die Form:

Die Wellengleichung kann in einer anderen Form geschrieben werden.

Stellen wir uns vor Wellenzahl , oder in Vektorform:

(5.2.5)

Wo ist der Wellenvektor und ist die Normale zur Wellenoberfläche?

Seit damals . Von hier. Dann ebene Wellengleichung wird so geschrieben:

(5.2.6)

Kugelwellengleichung

Für die meisten Probleme mit Wellen ist es wichtig, den Schwingungszustand verschiedener Punkte im Medium zu einem bestimmten Zeitpunkt zu kennen. Die Zustände von Punkten im Medium lassen sich bestimmen, wenn die Amplituden und Phasen ihrer Schwingungen bekannt sind. Für Transversalwellen ist es außerdem notwendig, die Art der Polarisation zu kennen. Für eine ebene linear polarisierte Welle reicht es aus, einen Ausdruck zu haben, mit dem Sie die Verschiebung c(x, T) von der Gleichgewichtsposition eines beliebigen Punktes im Medium mit Koordinaten X, jederzeit T. Dieser Ausdruck heißt Wellengleichung.

Reis. 2.21.

Betrachten wir das sogenannte laufende Welle, diese. eine Welle mit einer ebenen Wellenfront, die sich in eine bestimmte Richtung ausbreitet (z. B. entlang der x-Achse). Lassen Sie die Teilchen des Mediums unmittelbar neben der Quelle ebener Wellen nach dem harmonischen Gesetz schwingen; %(0, /) = = LsobsoG (Abb. 2.21). In Abbildung 2.21, A bis ^(0, T) gibt die Verschiebung von Partikeln des Mediums an, die in einer Ebene senkrecht zur Zeichnung liegen und eine Koordinate im ausgewählten Koordinatensystem haben X= 0 zur Zeit T. Der Ursprung der Zeit wird so gewählt, dass die durch die Kosinusfunktion definierte Anfangsphase der Schwingungen gleich Null ist. Achse X kompatibel mit dem Balken, d.h. mit der Richtung der Schwingungsausbreitung. In diesem Fall steht die Wellenfront senkrecht zur Achse X, so dass in dieser Ebene liegende Teilchen in einer Phase schwingen. Die Wellenfront selbst bewegt sich in einem bestimmten Medium entlang der Achse X mit Geschwindigkeit Und Wellenausbreitung in einem bestimmten Medium.

Finden wir einen Ausdruck? (x, T) Verschiebung von Partikeln des Mediums entfernt von der Quelle im Abstand x. Dies ist die Distanz, die die Wellenfront zurücklegt

in der Zeit folglich die Schwingungen von Teilchen, die in einer Ebene liegen, die von der Quelle in einiger Entfernung entfernt ist X, wird zeitlich um einen Betrag m von den Schwingungen der Teilchen direkt neben der Quelle verzögert. Diese Teilchen (mit der Koordinate x) führen ebenfalls harmonische Schwingungen aus. Bei fehlender Dämpfung ist die Amplitude A Schwingungen (im Fall einer ebenen Welle) hängen nicht von der x-Koordinate ab, d.h.

Dies ist die erforderliche Gleichung die Melancholie einer laufenden Welle(Nicht zu verwechseln mit der unten diskutierten Wellengleichung!). Die Gleichung ermöglicht, wie bereits erwähnt, die Bestimmung der Verschiebung % Teilchen des Mediums mit der Koordinate x zum jeweiligen Zeitpunkt T. Die Phase der Schwingung hängt davon ab

auf zwei Variablen: auf der x-Koordinate des Teilchens und der Zeit T. Zu einem bestimmten festen Zeitpunkt sind die Schwingungsphasen verschiedener Teilchen im Allgemeinen unterschiedlich, es ist jedoch möglich, Teilchen zu identifizieren, deren Schwingungen in derselben Phase (in Phase) auftreten. Wir können auch davon ausgehen, dass die Phasendifferenz zwischen den Schwingungen dieser Teilchen gleich ist 2pt(Wo t = 1, 2, 3,...). Der kürzeste Abstand zwischen zwei gleichphasig schwingenden Teilchen einer Wanderwelle nennt man Wellenlänge X.

Lassen Sie uns die Wellenlängenbeziehung finden X mit anderen Größen, die die Ausbreitung von Schwingungen im Medium charakterisieren. Gemäß der eingeführten Definition der Wellenlänge können wir schreiben

oder nach Abkürzungen Seit, dann

Dieser Ausdruck ermöglicht uns eine andere Definition der Wellenlänge: Die Wellenlänge ist die Entfernung, über die sich die Schwingungen der Teilchen des Mediums in einer Zeit ausbreiten können, die der Schwingungsperiode entspricht.

Die Wellengleichung offenbart eine doppelte Periodizität: in Koordinaten und Zeit: ^(x, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = Tx + pX, ml), Wo pete - beliebige ganze Zahlen. Sie können beispielsweise die Koordinaten von Partikeln festlegen (put x = const) und betrachten Sie ihre Verschiebung als Funktion der Zeit. Oder umgekehrt, legen Sie einen Zeitpunkt fest (akzeptieren t = const) und betrachten Sie die Verschiebung von Partikeln als Funktion von Koordinaten (der momentane Zustand der Verschiebungen ist eine momentane Fotografie einer Welle). So können Sie vom Pier aus jederzeit eine Kamera benutzen T Fotografieren Sie die Meeresoberfläche, aber Sie können auch einen Chip ins Meer werfen (d. h. die Koordinaten festlegen). X),Überwachen Sie seine Schwankungen im Laufe der Zeit. Beide Fälle sind in Abb. 1 grafisch dargestellt. 2.21, Wechselstrom.

Die Wellengleichung (2.125) kann anders umgeschrieben werden

Die Beziehung wird bezeichnet Zu und heißt Wellenzahl

Als , Das

Die Wellenzahl gibt also an, wie viele Wellenlängen in ein Segment von 2l Längeneinheiten passen. Indem wir die Wellenzahl in die Wellengleichung einführen, erhalten wir die Gleichung einer Welle, die sich in positiver Richtung ausbreitet Oh Wellen in der am häufigsten verwendeten Form

Lassen Sie uns einen Ausdruck finden, der sich auf die Phasendifferenz Der von Schwingungen zweier Teilchen bezieht, die zu unterschiedlichen Wellenoberflächen gehören X und x 2. Mit der Wellengleichung (2.131) schreiben wir:

Bezeichnen wir oder nach (2.130)

Eine ebene Wanderwelle, die sich in beliebiger Richtung ausbreitet, wird im allgemeinen Fall durch die Gleichung beschrieben

Wo G-Radiusvektor, der vom Ursprung zum auf der Wellenoberfläche liegenden Teilchen gezogen wird; Zu - ein Wellenvektor, dessen Betrag der Wellenzahl (2.130) entspricht und dessen Richtung mit der Normalen zur Wellenoberfläche in Richtung der Wellenausbreitung zusammenfällt.

Auch eine komplexe Schreibweise der Wellengleichung ist möglich. Dies gilt beispielsweise für eine ebene Welle, die sich entlang der Achse ausbreitet X

und im allgemeinen Fall einer ebenen Welle beliebiger Richtung

Die Wellengleichung in jeder der aufgeführten Formen kann als Lösung einer Differentialgleichung namens erhalten werden Wellengleichung. Wenn wir die Lösung dieser Gleichung in der Form (2.128) oder (2.135) kennen – die Wanderwellengleichung, dann ist es nicht schwierig, die Wellengleichung selbst zu finden. Differenzieren wir 4(x, t) = % aus (2.135) zweimal in Koordinaten und zweimal in der Zeit und wir erhalten

ausdrücken? Durch die erhaltenen Ableitungen und den Vergleich der Ergebnisse erhalten wir

Unter Berücksichtigung der Beziehung (2.129) schreiben wir

Das ist die Wellengleichung für den eindimensionalen Fall.

Im Allgemeinen für?, = c(x, y, z,/) Die Wellengleichung in kartesischen Koordinaten sieht so aus

oder in kompakterer Form:

wobei D der Laplace-Differentialoperator ist

Phasengeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellenpunkten, die in derselben Phase schwingen. Mit anderen Worten ist dies die Bewegungsgeschwindigkeit des „Gipfels“, des „Tals“ oder eines anderen Punktes der Welle, dessen Phase fest ist. Wie bereits erwähnt, bewegt sich die Wellenfront (und damit jede Wellenoberfläche) entlang der Achse Oh mit Geschwindigkeit Und. Folglich stimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schwingungen im Medium mit der Bewegungsgeschwindigkeit einer bestimmten Schwingungsphase überein. Daher die Geschwindigkeit Und, bestimmt durch die Beziehung (2.129), d.h.

normalerweise aufgerufen Phasengeschwindigkeit.

Das gleiche Ergebnis kann erzielt werden, indem man die Geschwindigkeit von Punkten im Medium ermittelt, die die Bedingung einer konstanten Phase co/ - fee = const erfüllen. Von hier aus finden wir die Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit (co/ - const) und der Bewegungsgeschwindigkeit dieser Phase

was mit (2.142) übereinstimmt.

Ebene Wanderwelle, die sich in Richtung der negativen Achse ausbreitet Oh, durch die Gleichung beschrieben

Tatsächlich ist in diesem Fall die Phasengeschwindigkeit negativ

Die Phasengeschwindigkeit in einem bestimmten Medium kann von der Schwingungsfrequenz der Quelle abhängen. Die Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Frequenz heißt Streuung, und die Umgebungen, in denen diese Abhängigkeit auftritt, werden aufgerufen Dispergiermedien. Man sollte jedoch nicht denken, dass der Ausdruck (2.142) die angegebene Abhängigkeit ist. Der Punkt ist, dass bei fehlender Dispersion die Wellenzahl Zu im direkten Verhältnis

mit und daher . Dispersion tritt nur auf, wenn ω davon abhängt Zu nichtlinear).

Eine wandernde ebene Welle wird genannt monochromatisch (mit einer Frequenz), wenn die Schwingungen in der Quelle harmonisch sind. Monochromatische Wellen entsprechen einer Gleichung der Form (2.131).

Für eine monochromatische Welle sind die Kreisfrequenz co und die Amplitude A hängen Sie nicht von der Zeit ab. Das bedeutet, dass eine monochromatische Welle räumlich grenzenlos und zeitlich unendlich ist, d.h. ist ein idealisiertes Modell. Jede echte Welle ist nicht monochromatisch, egal wie sorgfältig die Konstanz von Frequenz und Amplitude eingehalten wird. Eine echte Welle dauert nicht unbegrenzt, sondern beginnt und endet zu bestimmten Zeiten an einem bestimmten Ort, und daher ist die Amplitude einer solchen Welle eine Funktion der Zeit und der Koordinaten dieses Ortes. Je länger jedoch das Zeitintervall ist, in dem Amplitude und Frequenz der Schwingungen konstant gehalten werden, desto näher ist diese Welle monochromatisch. In der Praxis wird eine monochromatische Welle oft als ein ausreichend großes Segment der Welle bezeichnet, innerhalb dessen sich Frequenz und Amplitude nicht ändern, so wie in der Abbildung ein Segment einer Sinuswelle dargestellt ist, und es wird als Sinuswelle bezeichnet.

Bei der Beschreibung des Wellenprozesses ist es notwendig, die Amplituden und Phasen der Schwingungsbewegung an verschiedenen Punkten im Medium sowie die zeitliche Änderung dieser Größen zu ermitteln. Dieses Problem kann gelöst werden, wenn bekannt ist, nach welchem Gesetz der Körper, der den Wellenprozess verursacht hat, schwingt und wie er mit der Umgebung interagiert. In vielen Fällen ist es jedoch nicht wichtig, welcher Körper eine bestimmte Welle anregt, sondern es wird ein einfacheres Problem gelöst. Satz Zustand der oszillierenden Bewegung an bestimmten Punkten des Mediums zu einem bestimmten Zeitpunkt und muss ermittelt werden Zustand der Schwingungsbewegung an anderen Punkten des Mediums.

Betrachten wir als Beispiel die Lösung eines solchen Problems in einem einfachen, aber gleichzeitig wichtigen Fall der Ausbreitung einer ebenen oder sphärischen harmonischen Welle in einem Medium. Bezeichnen wir die oszillierende Größe mit u. Dieser Wert kann sein: die Verschiebung von Partikeln des Mediums relativ zu ihrer Gleichgewichtslage, die Abweichung des Drucks an einer bestimmten Stelle des Mediums vom Gleichgewichtswert usw. Dann besteht die Aufgabe darin, das sogenannte zu finden Wellengleichungen – ein Ausdruck, der eine schwankende Größe angibt u als Funktion der Koordinaten der Punkte der Umgebung X, j, z und Zeit T:

u = u(X, j, z, T). (2.1)

Der Einfachheit halber sei u die Verschiebung von Punkten in einem elastischen Medium, wenn sich darin eine ebene Welle ausbreitet, und die Schwingungen der Punkte seien harmonischer Natur. Außerdem richten wir die Koordinatenachsen so aus, dass die Achse 0x fiel mit der Richtung der Wellenausbreitung zusammen. Dann stehen die Wellenflächen (Ebenenschar) senkrecht zur Achse 0x(Abb. 7), und da alle Punkte der Wellenoberfläche gleich schwingen, ist die Verschiebung u wird nur davon abhängen X Und T: u = u(X, T). Für harmonische Schwingungen in der Ebene liegender Punkte X= 0 (Abb. 9), gilt die Gleichung:

u(0, T) = A weil( ωt + α ) (2.2)

Finden wir die Art der Schwingungen von Punkten auf der Ebene, die einem beliebigen Wert entsprechen X. Um den Weg vom Flugzeug aus zurückzulegen X= 0 zu dieser Ebene, die Welle braucht Zeit τ = x/s (Mit– Geschwindigkeit der Wellenausbreitung). Folglich sind die Schwingungen der in der Ebene liegenden Teilchen X, wird aussehen wie:

Die Gleichung einer ebenen Welle (sowohl longitudinal als auch transversal), die sich in Richtung der 0x-Achse ausbreitet, lautet also wie folgt:

(2.3)

Größe A stellt die Amplitude der Welle dar. Erste Wellenphase α durch die Wahl der Bezugspunkte bestimmt X Und T.

Lassen Sie uns einen beliebigen Wert der Phase in den eckigen Klammern der Gleichung (2.3) festlegen und setzen

(2.4)

Lassen Sie uns diese Gleichheit nach der Zeit differenzieren und dabei die Tatsache berücksichtigen, dass die zyklische Frequenz ω und Anfangsphase α sind konstant:

Somit ist die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung Mit in Gleichung (2.3) gibt es die Bewegungsgeschwindigkeit der Phase, und deshalb heißt sie Phasengeschwindigkeit . Gemäß (2.5) dx/dt> 0. Folglich beschreibt Gleichung (2.3) eine Welle, die sich in zunehmender Richtung ausbreitet X, die sogenannte laufende progressive Welle . Eine Welle, die sich in die entgegengesetzte Richtung ausbreitet, wird durch die Gleichung beschrieben

und heißt laufende regressive Welle . Indem wir die Wellenphase (2.6) mit einer Konstanten gleichsetzen und die resultierende Gleichheit differenzieren, gelangen wir tatsächlich zu der Beziehung:

woraus folgt, dass sich Welle (2.6) in abnehmender Richtung ausbreitet X.

Geben wir den Wert ein

Was heisst Wellenzahl und ist gleich der Anzahl der Wellenlängen, die in ein Intervall von 2π Metern passen. Verwendung von Formeln λ = s/ν Und ω = 2π ν Die Wellenzahl kann dargestellt werden als:

(2.8)

Wenn wir die Klammern in den Formeln (2.3) und (2.6) öffnen und (2.8) berücksichtigen, erhalten wir die folgende Gleichung für ebene Wellen, die sich entlang (das „-“-Zeichen) und gegen (das „+“-Zeichen) der Achse 0 ausbreiten X:

Bei der Ableitung der Formeln (2.3) und (2.6) wurde davon ausgegangen, dass die Amplitude der Schwingungen nicht davon abhängt X. Bei einer ebenen Welle wird dies dann beobachtet, wenn die Wellenenergie nicht vom Medium absorbiert wird. Die Erfahrung zeigt, dass in einem absorbierenden Medium die Intensität der Welle mit zunehmender Entfernung von der Schwingungsquelle allmählich abnimmt – eine Wellendämpfung wird nach einem Exponentialgesetz beobachtet:

Dementsprechend hat die Gleichung einer ebenen gedämpften Welle die Form:

Wo A 0 – Amplitude an Punkten der Ebene X= 0, a γ – Dämpfungskoeffizient.

Lassen Sie uns nun die Gleichung finden Kugelwelle . Jede echte Wellenquelle hat eine gewisse Ausdehnung. Wenn wir uns jedoch darauf beschränken, die Welle in einer Entfernung von der Quelle zu betrachten, die viel größer ist als ihre Größe, dann kann die Quelle berücksichtigt werden Punkt . In einem isotropen und homogenen Medium ist die von einer Punktquelle erzeugte Welle kugelförmig. Nehmen wir an, dass die Phase der Quelle schwingt ωt+α. Dann haben die auf der Wellenoberfläche liegenden Punkte einen Radius R, wird mit der Phase schwingen

Die Schwingungsamplitude bleibt in diesem Fall nicht konstant, auch wenn die Wellenenergie nicht vom Medium absorbiert wird – sie nimmt je nach Entfernung von der Quelle gemäß dem Gesetz 1/ ab. R. Daher hat die Kugelwellengleichung die Form:

(2.11)

Wo A– ein konstanter Wert, der numerisch der Amplitude der Schwingungen in einem Abstand von der Quelle gleich eins entspricht.

Für ein absorbierendes Medium in (2.11) müssen Sie den Faktor hinzufügen e - γr. Erinnern wir uns daran, dass Gleichung (2.11) aufgrund der getroffenen Annahmen nur für gilt R, die die Größe der Vibrationsquelle deutlich übersteigt. Beim Streben R Gegen Null geht die Amplitude gegen Unendlich. Dieses absurde Ergebnis erklärt sich aus der Unanwendbarkeit der Gleichung (2.11) für kleine R.