In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Vektorprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren (sofortiger Link für diejenigen, die ihn brauchen). Es ist in Ordnung, manchmal kommt es vor, dass das vollkommene Glück zusätzlich dazu führt Skalarprodukt von Vektoren, es werden immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Es mag den Anschein haben, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Das ist nicht so. In diesem Abschnitt der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Holz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr gewöhnlich und einfach – kaum komplizierter als dasselbe Skalarprodukt, es wird sogar weniger typische Aufgaben geben. Das Wichtigste in der analytischen Geometrie ist, wie viele überzeugt sein werden oder bereits überzeugt sind, KEINE FEHLER BEI BERECHNUNGEN ZU MACHEN. Wiederholen Sie es wie einen Zauberspruch und Sie werden glücklich sein =)

Wenn Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, ist das egal, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Besser vorbereitete Leser können sich gezielt mit den Informationen vertraut machen; ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zusammenzustellen, die in der praktischen Arbeit häufig zu finden sind

Was macht dich sofort glücklich? Als ich klein war, konnte ich zwei oder sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt müssen Sie überhaupt nicht mehr jonglieren, da wir darüber nachdenken nur räumliche Vektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Warum? So entstanden diese Aktionen – der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Es ist schon einfacher!

Diese Operation beinhaltet, genau wie das Skalarprodukt zwei Vektoren. Das sollen unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet durch auf die folgende Weise: . Es gibt auch andere Optionen, aber ich bin es gewohnt, das Vektorprodukt von Vektoren auf diese Weise in eckigen Klammern mit einem Kreuz zu bezeichnen.

Und zwar sofort Frage: wenn in Skalarprodukt von Vektoren Es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Der offensichtliche Unterschied liegt zunächst einmal im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist NUMBER:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Club. Daher stammt eigentlich auch der Name der Operation. In unterschiedlicher pädagogischer Literatur können die Bezeichnungen auch variieren; ich verwende den Buchstaben.

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst erfolgt eine Definition mit Bild, dann Kommentare.

Definition: Vektorprodukt nichtkollinear Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, genannt VECTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, auf diesen Vektoren aufgebaut; Vektor orthogonal zu Vektoren und ist so gerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Lassen Sie uns die Definition aufschlüsseln, hier gibt es eine Menge interessanter Dinge!

Daher können die folgenden wichtigen Punkte hervorgehoben werden:

1) Die ursprünglichen Vektoren, angezeigt durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Es ist angebracht, den Fall kollinearer Vektoren etwas später zu betrachten.

2) Es werden Vektoren genommen in einer streng definierten Reihenfolge: – „a“ wird mit „be“ multipliziert, nicht „sein“ mit „a“. Das Ergebnis der Vektormultiplikation ist VECTOR, was blau angezeigt wird. Wenn die Vektoren in umgekehrter Reihenfolge multipliziert werden, erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (Himbeerfarbe). Das heißt, die Gleichheit ist wahr .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Das ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und damit des purpurroten Vektors) ist numerisch gleich der FLÄCHE des aus den Vektoren aufgebauten Parallelogramms. In der Abbildung ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Vektorprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Erinnern wir uns an eine der geometrischen Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Basierend auf dem oben Gesagten gilt daher die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass es in der Formel um die LÄNGE des Vektors geht und nicht um den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms oft durch das Konzept eines Vektorprodukts ermittelt wird:

Erhalten wir die zweite wichtige Formel. Die Diagonale eines Parallelogramms (rote gestrichelte Linie) teilt es in zwei gleiche Dreiecke. Daher kann die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) mit der Formel ermittelt werden:

4) Eine ebenso wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (Himbeerpfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren.

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In der Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich genug darüber gesprochen Ebenenausrichtung, und jetzt werden wir herausfinden, was Raumorientierung ist. Ich werde es dir an den Fingern erklären rechte Hand. Geistig kombinieren Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger Drücken Sie es in Ihre Handfläche. Ergebend Daumen– Das Vektorprodukt wird nachgeschlagen. Dies ist eine rechtsorientierte Basis (in der Abbildung ist es diese). Ändern Sie nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an manchen Stellen dreht sich der Daumen um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Sie haben vielleicht eine Frage: Welche Basis hat die linke Orientierung? Den gleichen Fingern „zuweisen“. linke Hand Vektoren und erhalten die linke Basis und die linke Ausrichtung des Raums (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Im übertragenen Sinne „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt betrachtet werden – zum Beispiel ändert sich die Ausrichtung des Raums durch den gewöhnlichsten Spiegel, und wenn man „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel herauszieht“, dann im Allgemeinen Es wird nicht möglich sein, es mit dem „Original“ zu kombinieren. Halten Sie übrigens drei Finger an den Spiegel und analysieren Sie das Spiegelbild ;-)

...wie gut es ist, dass Sie es jetzt wissen rechts- und linksorientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zu einer Orientierungsänderung sind beängstigend =)

Kreuzprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde ausführlich besprochen, es bleibt noch herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich davon, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist gleich Null. Dasselbe folgt aus der Formel: Der Sinus von Null oder 180 Grad ist gleich Null, was bedeutet, dass die Fläche Null ist

Also, wenn, dann Und . Bitte beachten Sie, dass das Vektorprodukt selbst gleich dem Nullvektor ist, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und es wird geschrieben, dass es auch gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst:

Mit dem Vektorprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Um praktische Beispiele zu lösen, benötigen Sie möglicherweise trigonometrische Tabelle um daraus die Werte der Sinuswerte zu ermitteln.

Nun, lasst uns das Feuer anzünden:

Beispiel 1

a) Bestimmen Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Ausgangsdaten in den Klauseln bewusst gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Länge Vektor (Kreuzprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Wenn Sie nach der Länge gefragt wurden, geben wir in der Antwort die Maßeinheiten an.

b) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Quadrat auf Vektoren aufgebautes Parallelogramm. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Vektorprodukts:

Antwort:

Bitte beachten Sie, dass sich die Antwort überhaupt nicht auf das Vektorprodukt bezieht; wir wurden danach gefragt Bereich der Figur, dementsprechend ist die Dimension quadratische Einheiten.

Wir schauen uns immer an, WAS wir je nach Erkrankung finden müssen, und formulieren darauf basierend klar Antwort. Es mag wie Literalismus erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es viele Literalisten, und die Aufgabe hat gute Chancen, zur Überarbeitung zurückgegeben zu werden. Das ist zwar keine besonders weit hergeholte Spitzfindigkeit – wenn die Antwort falsch ist, entsteht der Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder den Kern der Aufgabe nicht verstanden hat. Dieser Punkt muss bei der Lösung von Problemen in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern stets unter Kontrolle gehalten werden.

Wo ist der große Buchstabe „en“ geblieben? Im Prinzip hätte es der Lösung zusätzlich beigefügt werden können, aber um den Eintrag zu verkürzen, habe ich darauf verzichtet. Ich hoffe, jeder versteht das und ist eine Bezeichnung für dasselbe.

Ein beliebtes Beispiel für eine DIY-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt finden Sie in den Kommentaren zur Definition. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr häufig; Dreiecke können einen im Allgemeinen quälen.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren

Einige Eigenschaften des Vektorprodukts haben wir bereits betrachtet, ich werde sie jedoch in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht hervorgehoben, ist aber aus praktischer Sicht sehr wichtig. So lass es sein.

2) – Die Eigenschaft wird oben auch besprochen, manchmal wird sie auch genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten: Die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) – assoziativ oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Konstanten können leicht außerhalb des Vektorprodukts verschoben werden. Was sollen sie dort wirklich tun?

4) – Verteilung oder verteilend Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen der Klammern gibt es keine Probleme.

Schauen wir uns zur Veranschaulichung ein kurzes Beispiel an:

Beispiel 3

Finden Sie, ob

Lösung: Die Bedingung erfordert wiederum das Ermitteln der Länge des Vektorprodukts. Lass uns unsere Miniatur bemalen:

(1) Gemäß den Assoziationsgesetzen nehmen wir die Konstanten außerhalb des Bereichs des Vektorprodukts.

(2) Wir nehmen die Konstante außerhalb des Moduls und das Modul „frisst“ das Minuszeichen. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Der Rest ist klar.

Antwort:

Es ist Zeit, mehr Holz ins Feuer zu legen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Lösung: Ermitteln Sie die Fläche des Dreiecks mithilfe der Formel . Der Haken daran ist, dass die Vektoren „tse“ und „de“ selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert ein wenig an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion Skalarprodukt von Vektoren. Der Übersichtlichkeit halber unterteilen wir die Lösung in drei Phasen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt tatsächlich durch das Vektorprodukt aus Lassen Sie uns einen Vektor als Vektor ausdrücken. Zur Länge noch kein Wort!

(1) Ersetzen Sie die Ausdrücke der Vektoren.

(2) Mithilfe der Verteilungsgesetze öffnen wir die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Mithilfe assoziativer Gesetze verschieben wir alle Konstanten über die Vektorprodukte hinaus. Mit etwas Erfahrung können die Schritte 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der netten Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Eigenschaft der Antikommutativität eines Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Begriffe.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt ermitteln wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Stufen 2-3 der Lösung hätten in einer Zeile geschrieben werden können.

Antwort:

Das betrachtete Problem kommt in Tests recht häufig vor. Hier ein Beispiel, wie Sie es selbst lösen können:

Beispiel 5

Finden Sie, ob

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:

Die Formel ist wirklich einfach: In die oberste Zeile der Determinante schreiben wir die Koordinatenvektoren, in die zweite und dritte Zeile „tragen“ wir die Koordinaten der Vektoren und wir setzen in strenger Reihenfolge– zuerst die Koordinaten des „ve“-Vektors, dann die Koordinaten des „double-ve“-Vektors. Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten die Zeilen vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
A)
B)

Lösung: Die Prüfung basiert auf einer der Aussagen dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Vektorprodukt gleich Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Somit sind die Vektoren nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antwort: a) nicht kollinear, b)

Hier finden Sie vielleicht alle grundlegenden Informationen zum Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es nur wenige Probleme gibt, wenn das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich hängt alles von der Definition, der geometrischen Bedeutung und einigen Arbeitsformeln ab.

Ein gemischtes Produkt von Vektoren ist das Produkt von drei Vektoren:

Sie reihten sich also wie ein Zug auf und können es kaum erwarten, identifiziert zu werden.

Zunächst noch einmal eine Definition und ein Bild:

Definition: Gemischte Arbeit nicht koplanar Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, angerufen quaderförmiges Volumen, aufgebaut auf diesen Vektoren, ausgestattet mit einem „+“-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem „–“-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind mit gestrichelten Linien gezeichnet:

Lassen Sie uns in die Definition eintauchen:

2) Es werden Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Neuordnung der Vektoren im Produkt erfolgt, wie Sie sich vorstellen können, nicht ohne Konsequenzen.

3) Bevor ich auf die geometrische Bedeutung eingehe, möchte ich auf eine offensichtliche Tatsache hinweisen: Das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der Lehrliteratur kann das Design etwas anders sein; ich bin es gewohnt, ein gemischtes Produkt mit zu bezeichnen und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben „pe“.

A-Priorat Das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Abbildung ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl entspricht dem Volumen eines bestimmten Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Machen wir uns keine Gedanken mehr über das Konzept der Orientierung von Basis und Raum. Der letzte Teil bedeutet, dass dem Volumen ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. Vereinfacht ausgedrückt kann ein gemischtes Produkt negativ sein: .

Direkt aus der Definition folgt die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds.

Test Nr. 1

Vektoren. Elemente der höheren Algebra

1-20. Die Längen der Vektoren und und sind bekannt; – der Winkel zwischen diesen Vektoren.

Berechnen Sie: 1) und, 2).3) Finden Sie die Fläche des Dreiecks, das aus den Vektoren und aufgebaut ist.

Fertige eine Zeichnung an.

Lösung. Verwendung der Definition des Skalarprodukts von Vektoren:

Und die Eigenschaften des Skalarprodukts: ,

1) Finden Sie das Skalarquadrat des Vektors:

das heißt, Dann .

Wenn wir ähnlich argumentieren, erhalten wir

das heißt, Dann .

Per Definition eines Vektorprodukts: ,

unter Berücksichtigung dessen

Die Fläche eines aus Vektoren konstruierten Dreiecks ist gleich

21-40. Bekannte Koordinaten von drei Eckpunkten A, B, D Parallelogramm A B C D. Für die Verwendung der Vektoralgebra benötigen Sie:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Lösung.

Es ist bekannt, dass die Diagonalen eines Parallelogramms im Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt werden. Daher die Koordinaten des Punktes E- Schnittpunkt der Diagonalen - Finden Sie als Koordinaten die Mitte des Segments BD. Bezeichnet sie mit X E ,j E , z E Das verstehen wir

Wir bekommen.

Die Koordinaten des Punktes kennen E- Mittelpunkt der Diagonale BD und die Koordinaten eines seiner Enden A(3;0;-7), Mithilfe von Formeln ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Scheitelpunkts MIT Parallelogramm:

Also oben.

2) Um die Projektion eines Vektors auf einen Vektor zu finden, ermitteln wir die Koordinaten dieser Vektoren: ,

ähnlich. Die Projektion eines Vektors auf einen Vektor wird mit der Formel ermittelt:

3) Der Winkel zwischen den Diagonalen eines Parallelogramms ergibt sich als Winkel zwischen den Vektoren

Und durch die Eigenschaft des Skalarprodukts:

Dann

4) Finden Sie die Fläche des Parallelogramms als Modul des Vektorprodukts:

5) Das Volumen der Pyramide ergibt sich dann aus einem Sechstel des Moduls des gemischten Vektorprodukts, wobei O(0;0;0).

Dann das erforderliche Volumen (Kubikeinheiten)

41-60. Gegebene Matrizen:

V C -1 +3A T

Bezeichnungen:

Zuerst finden wir die inverse Matrix der Matrix C.

Dazu ermitteln wir seine Determinante:

Die Determinante ist von Null verschieden, daher ist die Matrix nicht singulär und dafür kann man die inverse Matrix C -1 finden

Lassen Sie uns die algebraischen Komplemente mithilfe der Formel finden, wobei das Nebenelement des Elements ist:

Dann , .

61–80. Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:

Cramers Methode; 2. Matrixmethode.

Lösung.

a) Cramers Methode

Finden wir die Determinante des Systems

Seitdem verfügt das System über eine einzigartige Lösung.

Finden wir die Determinanten und ersetzen wir die erste, zweite und dritte Spalte in der Koeffizientenmatrix jeweils durch eine Spalte mit freien Termen.

Nach Cramers Formeln:

B)Matrixmethode (unter Verwendung einer inversen Matrix).

Wir schreiben dieses System in Matrixform und lösen es mithilfe der inversen Matrix.

Lassen A– Koeffizientenmatrix für Unbekannte; X– Matrix-Spalte der Unbekannten X, j, z Und N– Matrixspalte freier Mitglieder:

Die linke Seite des Systems (1) kann als Produkt von Matrizen geschrieben werden, die rechte Seite als Matrix N. Daher haben wir die Matrixgleichung

Da die Determinante der Matrix A von Null verschieden ist (Punkt „a“), dann ist die Matrix A hat eine inverse Matrix. Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichheit (2) auf der linken Seite mit der Matrix, erhalten wir

Seit wo E ist die Identitätsmatrix und dann

Lassen Sie uns eine nicht singuläre Matrix A haben:

Dann finden wir die inverse Matrix mit der Formel:

Wo A ij- algebraisches Komplement eines Elements A ij in der Determinante der Matrix A, das ist das Produkt von (-1) i+j und der Minor (Determinante) n-1 Bestellung durch Löschen erhalten i-th Linien und jth Spalte in der Determinante der Matrix A:

Von hier aus erhalten wir die inverse Matrix:

Spalte X: X=A -1 H

81–100. Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem mit der Gauß-Methode

Lösung. Schreiben wir das System in Form einer erweiterten Matrix:

Wir führen elementare Transformationen mit Strings durch.

Von der 2. Zeile subtrahieren wir die erste Zeile multipliziert mit 2. Von Zeile 3 subtrahieren wir die erste Zeile multipliziert mit 4. Von Zeile 4 subtrahieren wir die erste Zeile, wir erhalten die Matrix:

Als nächstes erhalten wir Null in der ersten Spalte der nachfolgenden Zeilen; dazu subtrahieren wir die dritte Zeile von der zweiten Zeile. Subtrahieren Sie von der dritten Zeile die zweite Zeile, multipliziert mit 2. Subtrahieren Sie von der vierten Zeile die zweite Zeile, multipliziert mit 3. Als Ergebnis erhalten wir eine Matrix der Form:

Von der vierten Zeile subtrahieren wir die dritte.

Vertauschen wir die vorletzte und letzte Zeile:

Die letzte Matrix entspricht dem Gleichungssystem:

Aus der letzten Gleichung des Systems finden wir .

Durch Einsetzen in die vorletzte Gleichung erhalten wir .

Aus der zweiten Gleichung des Systems folgt das

Aus der ersten Gleichung finden wir x:

Antwort:

Test Nr. 2

Analytische Geometrie

1-20. Gegeben sind die Koordinaten der Eckpunkte des Dreiecks ABC. Finden:

1) Seitenlänge AIN;

2) Gleichungen der Seiten AB Und Sonne und ihre Winkelkoeffizienten;

3) Winkel IN im Bogenmaß mit einer Genauigkeit von zwei Ziffern;

4) Höhengleichung CD und seine Länge;

5) Mediangleichung AE

Höhe CD;

ZU parallel zur Seite AB,

7) Machen Sie eine Zeichnung.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Lösung.

Unter Anwendung von (1) ermitteln wir die Länge der Seite AB:

2) Gleichungen der Seiten AB Und Sonne und ihre Winkelkoeffizienten:

Die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte geht, hat die Form

Einsetzen der Koordinaten der Punkte in (2) A Und IN, erhalten wir die Seitengleichung AB:

(AB).

(B.C.).

3) Winkel IN im Bogenmaß mit einer Genauigkeit von zwei Ziffern.

Es ist bekannt, dass der Tangens des Winkels zwischen zwei Geraden, deren Winkelkoeffizienten jeweils gleich sind, nach der Formel berechnet wird

Erforderlicher Winkel IN durch gerade Linien gebildet AB Und Sonne, deren Winkelkoeffizienten gefunden werden: ; . Wenn wir (3) anwenden, erhalten wir

; , oder

4) Höhengleichung CD und seine Länge.

Abstand vom Punkt C zur Geraden AB:

5) Mediangleichung AE und die Koordinaten des Punktes K des Schnittpunkts dieses Medians mit

Höhe CD.

Mitte der Sonnenseite:

Dann ist die Gleichung AE:

Wir lösen das Gleichungssystem:

6) Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft ZU parallel zur Seite AB:

Da die gewünschte Linie parallel zur Seite verläuft AB, dann ist sein Winkelkoeffizient gleich dem Winkelkoeffizienten der Geraden AB. Einsetzen der Koordinaten des gefundenen Punktes in (4) ZU und die Steigung erhalten wir

; (KF).

Die Fläche des Parallelogramms beträgt 12 Quadratmeter. Einheiten, seine beiden Eckpunkte sind Punkte A(-1;3) Und B(-2;4). Finden Sie die beiden anderen Eckpunkte dieses Parallelogramms, wenn bekannt ist, dass der Schnittpunkt seiner Diagonalen auf der x-Achse liegt. Fertige eine Zeichnung an.

Lösung. Der Schnittpunkt der Diagonalen soll Koordinaten haben.

Dann ist es offensichtlich

daher sind die Koordinaten der Vektoren.

Wir ermitteln die Fläche eines Parallelogramms mit der Formel

Dann sind die Koordinaten der anderen beiden Eckpunkte.

In den Aufgaben 51-60 werden die Koordinaten der Punkte angegeben A und B. Erforderlich:

Schreiben Sie eine kanonische Gleichung für eine Hyperbel, die durch diese Punkte verläuft A und B, wenn die Brennpunkte der Hyperbel auf der x-Achse liegen;

Finden Sie die Halbachsen, Brennpunkte, Exzentrizität und Asymptotengleichungen dieser Hyperbel;

Finden Sie alle Schnittpunkte der Hyperbel mit einem Kreis, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt, wenn dieser Kreis durch die Brennpunkte der Hyperbel verläuft;

Konstruieren Sie eine Hyperbel, ihre Asymptoten und ihren Kreis.

A(6;-2), B(-8;12).

Lösung. Die Gleichung der gewünschten Hyperbel wird in kanonischer Form geschrieben

Wo A- reelle Halbachse der Hyperbel, B- imaginäre Halbachse. Ersetzen der Koordinaten der Punkte A Und IN In dieser Gleichung finden wir diese Halbachsen:

– Hyperbelgleichung: .

Halbachsen a=4,

Brennweite Fokussiert (-8,0) und (8,0)

Exzentrizität

Asyptoten:

Wenn ein Kreis durch den Ursprung verläuft, lautet seine Gleichung

Wenn wir einen der Brennpunkte ersetzen, finden wir die Kreisgleichung

Finden Sie die Schnittpunkte der Hyperbel und des Kreises:

Wir erstellen eine Zeichnung:

Konstruieren Sie in den Aufgaben 61–80 Punkt für Punkt einen Graphen einer Funktion in einem Polarkoordinatensystem und geben Sie dabei -Werte durch das Intervall  an /8 (0   2). Finden Sie die Geradengleichung in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem (die positive Halbachse der Abszisse fällt mit der Polarachse und der Pol mit dem Ursprung zusammen).

Lösung. Lassen Sie uns eine Linie nach Punkten erstellen, nachdem wir zuerst die Wertetabelle und φ ausgefüllt haben.

Nummer	φ ,	φ, Grad			Nummer	φ , froh	Grad
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 Wir schließen daraus, dass diese Gleichung eine Ellipse definiert: Es werden Punkte vergeben A, IN , CD . Ich muss finden: 1. Ebenengleichung (Q), durch Punkte gehen A, B, C D im Flugzeug (Q); 2. Liniengleichung (ICH), durch Punkte gehen IN und D; 3. Winkel zwischen Ebene (Q) und gerade (ICH); 4. Ebenengleichung (R), durch einen Punkt gehen A senkrecht zu einer Geraden (ICH); 5. Winkel zwischen Ebenen (R) Und (Q) ; 6. Gleichung einer Geraden (T), durch einen Punkt gehen A in Richtung seines Radiusvektors; 7. Winkel zwischen geraden Linien (ICH) Und (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Ebenengleichung (Q), durch Punkte gehen A, B, C und prüfen Sie, ob der Punkt liegt D in der Ebene wird durch die Formel Finden bestimmt: 1) . 2) Quadrat Parallelogramm, gebaut An Und. 3) Volumen des Parallelepipeds, gebaut An Vektoren, Und. Kontrolle Arbeit Zu diesem Thema " Elemente Theorie linearer Räume... Methodische Empfehlungen zum Absolvieren von Prüfungen für ein berufsbegleitendes Grundstudium in der Qualifikation 080100. 62 in Richtung Richtlinien Parallelepiped und Volumen der Pyramide, gebaut An Vektoren, Und. Lösung: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. AUFGABEN FÜR KONTROLLE FUNKTIONIERT Abschnitt I. Linear Algebra. 1 – 10. Gegeben...

In diesem Artikel werden wir uns das Konzept des Kreuzprodukts zweier Vektoren genauer ansehen. Wir geben die notwendigen Definitionen, schreiben eine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Vektorprodukts, listen seine Eigenschaften auf und begründen sie. Anschließend beschäftigen wir uns mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts zweier Vektoren und betrachten Lösungen für verschiedene typische Beispiele.

Seitennavigation.

Definition von Kreuzprodukt.

Bevor wir ein Vektorprodukt definieren, wollen wir die Orientierung eines geordneten Vektortripels im dreidimensionalen Raum verstehen.

Zeichnen wir die Vektoren von einem Punkt aus. Abhängig von der Richtung des Vektors können die drei rechts oder links sein. Schauen wir uns vom Ende des Vektors an, wie die kürzeste Abzweigung vom Vektor nach erfolgt. Erfolgt die kürzeste Drehung gegen den Uhrzeigersinn, wird das Vektortripel aufgerufen Rechts, sonst - links.

Nehmen wir nun zwei nichtkollineare Vektoren und . Zeichnen wir die Vektoren und von Punkt A aus. Konstruieren wir einen Vektor senkrecht zu beiden und und . Offensichtlich können wir beim Konstruieren eines Vektors zwei Dinge tun, indem wir ihm entweder eine Richtung oder die entgegengesetzte Richtung geben (siehe Abbildung).

Abhängig von der Richtung des Vektors kann das geordnete Vektortriplett rechtshändig oder linkshändig sein.

Damit kommen wir der Definition eines Vektorprodukts nahe. Sie gilt für zwei Vektoren, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums definiert sind.

Definition.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren und , angegeben in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums, wird ein Vektor genannt, so dass

Das Kreuzprodukt von Vektoren wird als bezeichnet.

Koordinaten des Vektorprodukts.

Jetzt geben wir die zweite Definition eines Vektorprodukts, die es Ihnen ermöglicht, seine Koordinaten aus den Koordinaten gegebener Vektoren und zu ermitteln.

Definition.

In einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums Vektorprodukt zweier Vektoren Und ist ein Vektor, wobei die Koordinatenvektoren sind.

Diese Definition gibt uns das Kreuzprodukt in Koordinatenform.

Es ist zweckmäßig, das Vektorprodukt als Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung darzustellen, deren erste Zeile die Vektoren, die zweite Zeile die Koordinaten des Vektors und die dritte Zeile die Koordinaten des Vektors in einer gegebenen Zeile enthält rechteckiges Koordinatensystem:

Wenn wir diese Determinante auf die Elemente der ersten Zeile erweitern, erhalten wir die Gleichheit aus der Definition des Vektorprodukts in Koordinaten (siehe ggf. den Artikel):

Es ist zu beachten, dass die Koordinatenform des Vektorprodukts vollständig mit der Definition im ersten Absatz dieses Artikels übereinstimmt. Darüber hinaus sind diese beiden Definitionen eines Kreuzprodukts äquivalent. Den Beweis dieser Tatsache finden Sie in dem Buch, das am Ende des Artikels aufgeführt ist.

Eigenschaften eines Vektorprodukts.

Da das Vektorprodukt in Koordinaten als Determinante der Matrix dargestellt werden kann, lässt sich das Folgende auf dieser Grundlage leicht begründen Eigenschaften des Kreuzprodukts:

Lassen Sie uns als Beispiel die antikommutative Eigenschaft eines Vektorprodukts beweisen.

A-Priorat Und . Wir wissen, dass sich der Wert der Determinante einer Matrix umkehrt, wenn zwei Zeilen vertauscht werden. Daher gilt: , was die antikommutative Eigenschaft eines Vektorprodukts beweist.

Vektorprodukt - Beispiele und Lösungen.

Es gibt hauptsächlich drei Arten von Problemen.

Bei Problemen des ersten Typs sind die Längen zweier Vektoren und der Winkel zwischen ihnen angegeben, und Sie müssen die Länge des Vektorprodukts ermitteln. In diesem Fall wird die Formel verwendet .

Beispiel.

Finden Sie die Länge des Vektorprodukts der Vektoren und, falls bekannt .

Lösung.

Aus der Definition wissen wir, dass die Länge des Vektorprodukts von Vektoren gleich dem Produkt der Längen von Vektoren und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist, daher gilt: .

Antwort:

.

Probleme der zweiten Art beziehen sich auf die Koordinaten von Vektoren, bei denen das Vektorprodukt, seine Länge oder irgendetwas anderes anhand der Koordinaten gegebener Vektoren gesucht wird Und .

Hier sind viele verschiedene Optionen möglich. Beispielsweise können nicht die Koordinaten der Vektoren und angegeben werden, sondern deren Erweiterungen in Koordinatenvektoren der Form und , oder Vektoren und können durch die Koordinaten ihrer Start- und Endpunkte angegeben werden.

Schauen wir uns typische Beispiele an.

Beispiel.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind zwei Vektoren angegeben . Finden Sie ihr Kreuzprodukt.

Lösung.

Nach der zweiten Definition wird das Vektorprodukt zweier Vektoren in Koordinaten wie folgt geschrieben:

Zum gleichen Ergebnis wären wir gekommen, wenn das Vektorprodukt in Form der Determinante geschrieben worden wäre

Antwort:

.

Beispiel.

Ermitteln Sie die Länge des Vektorprodukts der Vektoren und , wobei die Einheitsvektoren des rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems sind.

Lösung.

Zuerst ermitteln wir die Koordinaten des Vektorprodukts in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem.

Da Vektoren und Koordinaten bzw. haben (siehe ggf. die Artikelkoordinaten eines Vektors in einem rechtwinkligen Koordinatensystem), dann haben wir nach der zweiten Definition eines Vektorprodukts

Das heißt, das Vektorprodukt hat Koordinaten in einem gegebenen Koordinatensystem.

Wir ermitteln die Länge eines Vektorprodukts als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten (diese Formel für die Länge eines Vektors haben wir im Abschnitt über die Ermittlung der Länge eines Vektors erhalten):

Antwort:

.

Beispiel.

In einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem sind die Koordinaten von drei Punkten angegeben. Finden Sie einen Vektor, der senkrecht und gleichzeitig senkrecht ist.

Lösung.

Vektoren und haben jeweils Koordinaten und (siehe den Artikel Ermitteln der Koordinaten eines Vektors anhand der Koordinaten von Punkten). Wenn wir das Vektorprodukt der Vektoren und finden, dann ist es per Definition ein Vektor senkrecht zu sowohl zu als auch zu , das heißt, es ist eine Lösung für unser Problem. Lasst uns ihn finden

Antwort:

- einer der senkrechten Vektoren.

Bei Problemen der dritten Art wird die Fähigkeit getestet, die Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren zu nutzen. Nach dem Anwenden der Eigenschaften werden die entsprechenden Formeln angewendet.

Beispiel.

Die Vektoren und stehen senkrecht zueinander und ihre Längen betragen 3 bzw. 4. Finden Sie die Länge des Kreuzprodukts .

Lösung.

Durch die Verteilungseigenschaft eines Vektorprodukts können wir schreiben

Aufgrund der Kombinationseigenschaft entnehmen wir im letzten Ausdruck die numerischen Koeffizienten aus dem Vorzeichen der Vektorprodukte:

Die Vektorprodukte und sind seitdem gleich Null Und , Dann .

Da das Vektorprodukt antikommutativ ist, gilt .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts kamen wir also zur Gleichheit .

Gemäß der Bedingung stehen die Vektoren und senkrecht zueinander, d. h. der Winkel zwischen ihnen ist gleich . Das heißt, wir haben alle Daten, um die erforderliche Länge zu ermitteln

Antwort:

.

Geometrische Bedeutung eines Vektorprodukts.

Per Definition beträgt die Länge des Vektorprodukts von Vektoren . Und aus einem Geometriekurs an der High School wissen wir, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts aus den Längen der beiden Seiten des Dreiecks und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist. Folglich ist die Länge des Vektorprodukts gleich der doppelten Fläche eines Dreiecks, dessen Seiten die Vektoren und sind, wenn sie von einem Punkt aus aufgetragen werden. Mit anderen Worten, die Länge des Vektorprodukts der Vektoren und ist gleich der Fläche eines Parallelogramms mit den Seiten und und dem Winkel zwischen ihnen gleich. Dies ist die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts.