Überprüfen Sie, ob die Linien in derselben Ebene liegen. Relative Position der Linien

17.10.2021

In dieser Lektion werden wir die Grundprinzipien der Theorie überprüfen und komplexere Probleme zum Thema „Parallelität von Linien und Ebenen“ lösen.
Erinnern wir uns zu Beginn der Lektion an die Definition einer geraden Linie parallel zu einer Ebene und an den Satz, der die Parallelität einer geraden Linie und einer Ebene angibt. Erinnern wir uns auch an die Definition paralleler Ebenen und den Satz für die Parallelität von Ebenen. Als nächstes erinnern wir uns an die Definition von Schräglinien und den Testsatz für Schräglinien sowie an den Satz, dass durch jede der Schräglinien eine Ebene parallel zu einer anderen Linie gezeichnet werden kann. Lassen Sie uns aus diesem Satz eine Schlussfolgerung ziehen – die Aussage, dass zwei schiefe Linien einem einzelnen Paar paralleler Ebenen entsprechen.
Als nächstes werden wir einige komplexere Probleme mithilfe der wiederholten Theorie lösen.

Thema: Parallelität von Linien und Ebenen

Lektion: Überprüfung der Theorie. Lösung komplexerer Probleme zum Thema „Parallelität von Linien und Ebenen“

In dieser Lektion werden wir die Grundprinzipien der Theorie überprüfen und komplexere Probleme zu diesem Thema lösen „Parallelität von Linien und Ebenen“.

Definition. Eine Linie und eine Ebene heißen parallel, wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben.

Wenn eine Linie, die nicht in einer bestimmten Ebene liegt, parallel zu einer Linie ist, die in dieser Ebene liegt, dann ist sie parallel zu dieser Ebene.

Gegeben sei eine Gerade A und Ebene (Abb. 1). In der Ebene liegt eine Gerade B, die parallel zur Linie ist A. Aus der Parallelität der Linien A Und B Daraus folgt, dass die Gerade parallel ist A und Flugzeuge.

1. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen (Grund- und Fachniveau) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. – 5. Auflage, korrigiert und erweitert – M.: Mnemosyne, 2008. – 288 Seiten: Abb.

Aufgaben 9, 10 S. 23

2. Drei Geraden schneiden sich paarweise. Kann jede Ebene parallel zu all diesen Linien sein?

3. Durch den Punkt M kann nur eine Gerade parallel zu den Ebenen α und β gezogen werden. Sind diese Ebenen parallel?

4. Zwei Trapeze haben eine gemeinsame Mittellinie. Die α-Ebene verläuft durch die kleineren Basen der Trapeze, und die β-Ebene verläuft durch die größeren Basen der Trapeze. Sind die Ebenen α und β parallel?

5. A B C D- Viereck. Punkt M liegt außerhalb seiner Ebene. Liegen die Mittelpunkte der Segmente in derselben Ebene? MA, MV, MS, MD?

Geraden liegen in derselben Ebene. wenn sie 1) sich schneiden; 2) parallel sind.

Damit die Geraden L 1: und L 2: zur gleichen Ebene gehören  so dass die Vektoren M 1 M 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), Q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) und Q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) waren koplanar. Das heißt, entsprechend der Bedingung der Koplanarität dreier Vektoren das gemischte Produkt M 1 M 2 ·S 1 ·S 2 =Δ==0 (8)

Weil Die Bedingung für die Parallelität zweier Geraden hat die Form: dann für den Schnittpunkt der Geraden L 1 und L 2 , so dass sie Bedingung (8) erfüllen und damit mindestens eines der Proportionen verletzt wird.

Beispiel. Erkunden Sie die relativen Positionen von Linien:

Richtungsvektor der Geraden L 1 – Q 1 =(1;3;-2). Die Linie L 2 ist als Schnittpunkt zweier Ebenen α 1 definiert: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. Weil Liegt die Linie L 2 in beiden Ebenen, dann steht sie und damit ihr Richtungsvektor senkrecht auf den Normalen N 1 Und N 2 . Daher der Richtungsvektor S 2 ist das Kreuzprodukt von Vektoren N 1 Und N 2 , d.h. Q 2 =N 1 X N 2 ==-ich-3J+2k.

Das. S 1 =-S 2 , Das bedeutet, dass die Linien entweder parallel sind oder zusammenfallen.

Um zu überprüfen, ob die Geraden übereinstimmen, setzen wir die Koordinaten des Punktes M 0 (1;2;-1)L 1 in die allgemeinen Gleichungen L 2 ein: 1-2+2+1=0 - falsche Gleichungen, d.h. Punkt M 0 L 2,

daher sind die Linien parallel.

Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Der Abstand vom Punkt M 1 (x 1;y 1;z 1) zur Geraden L, gegeben durch die kanonische Gleichung L:, kann mit dem Vektorprodukt berechnet werden.

Aus der kanonischen Geradengleichung folgt, dass der Punkt M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L und der Richtungsvektor der Geraden sind Q=(l;m;n)

Lassen Sie uns ein Parallelogramm aus Vektoren erstellen Q Und M 0 M 1 . Dann ist der Abstand vom Punkt M 1 zur Geraden L gleich der Höhe h dieses Parallelogramms. Weil S=| Q X M 0 M 1 |=h| Q|, dann

h= (9)

Der Abstand zwischen zwei Geraden im Raum.

L 1: und L 2:

1) L 1 L 2 .

2) L 1 und L 2 – Kreuzung

Die relative Lage einer Geraden und einer Ebene im Raum.

Für die Lage einer Geraden und einer Ebene im Raum sind 3 Fälle möglich:

eine gerade Linie und eine Ebene schneiden sich in einem Punkt;

die Gerade und die Ebene sind parallel;

die Gerade liegt in der Ebene.

Die Gerade sei durch ihre kanonische Gleichung und die Ebene durch die Allgemeine gegeben

α: Ах+Бу+Сz+D=0

Die Gleichungen der Geraden geben den Punkt M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L und den Richtungsvektor an Q=(l;m;n) und die Ebenengleichung ist ein Normalenvektor N=(A;B;C).

1. Der Schnittpunkt einer Linie und einer Ebene.

Wenn sich eine Gerade und eine Ebene schneiden, dann der Richtungsvektor der Geraden Q ist nicht parallel zur Ebene α und daher nicht orthogonal zum Normalenvektor der Ebene N. Diese. ihr Skalarprodukt NQ≠0 oder, durch ihre Koordinaten,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Bestimmen wir die Koordinaten des Punktes M - Schnittpunkte der Geraden L und der Ebene α.

Gehen wir von der kanonischen Gleichung der Geraden zur parametrischen über: , tR

Setzen wir diese Beziehungen in die Gleichung der Ebene ein

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – sind bekannt, suchen wir den Parameter t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

wenn Am+Bn+Cp≠0, dann hat die Gleichung eine eindeutige Lösung, die die Koordinaten des Punktes M bestimmt:

t M = -→ (11)

Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene. Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit.

Winkel φ zwischen der Geraden L :

mit Führungsvektor Q=(l;m;n) und Ebene

: Ах+Ву+Сz+D=0 mit Normalenvektor N=(A;B;C) reicht von 0˚ (im Fall einer parallelen Linie und Ebene) bis 90˚ (im Fall einer senkrechten Linie und Ebene). (Der Winkel zwischen dem Vektor Q und seine Projektion auf die Ebene α).

– Winkel zwischen Vektoren Q Und N.

Weil der Winkel  zwischen der Geraden L und der Ebene  ist komplementär zum Winkel , dann sin φ=sin(-)=cos =- (der Absolutwert wird berücksichtigt, da der Winkel φ spitz ist sin φ=sin( -) oder sin φ =sin(+) abhängig von der Richtung der Geraden L)

Kapitel IV. Geraden und Flächen im Raum. Polyeder

§ 46. Gegenseitige Anordnung von Linien im Raum

Im Raum können zwei verschiedene Linien in derselben Ebene liegen oder auch nicht. Schauen wir uns relevante Beispiele an.

Lassen Sie die Punkte A, B, C nicht auf derselben Geraden liegen. Zeichnen wir ein Flugzeug durch sie hindurch R und wähle einen Punkt S, der nicht zur Ebene gehört R(Abb. 130).

Dann liegen die Geraden AB und BC in derselben Ebene, nämlich in der Ebene R, Geraden AS und CB liegen nicht in derselben Ebene. Wenn sie tatsächlich in derselben Ebene lägen, würden die Punkte A, B, C, S auch in dieser Ebene liegen, was unmöglich ist, da S nicht in der Ebene liegt, die durch die Punkte A, B, C verläuft.

Zwei verschiedene Geraden, die in derselben Ebene liegen und sich nicht schneiden, werden als parallel bezeichnet. Zusammenfallende Linien werden auch als parallel bezeichnet. Wenn gerade 1 1 und 1 2 parallel, dann schreiben 1 1 || 1 2 .

Auf diese Weise, 1 1 || 1 2 wenn es erstens ein Flugzeug gibt R so dass
1 1 R Und 1 2 R und zweitens, oder 1 1 1 2 = oder 1 1 = 1 2 .

Zwei gerade Linien, die nicht in derselben Ebene liegen, werden Schräglinien genannt. Offensichtlich schneiden sich Schnittlinien nicht und sind nicht parallel.

Lassen Sie uns eine wichtige Eigenschaft paralleler Linien beweisen, die Transitivität der Parallelität genannt wird.

Satz. Wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten sind, dann sind sie parallel zueinander.

Lassen 1 1 || 1 2 und 1 2 || 1 3. Das muss bewiesen werden 1 1 || 1 3

Wenn gerade 1 1 , 1 2 , 1 3 in derselben Ebene liegen, dann ist diese Aussage in der Planimetrie bewiesen. Wir gehen von geraden Linien aus 1 1 , 1 2 , 1 3 liegen nicht in derselben Ebene.

Durch gerade Linien 1 1 und 1 2 Zeichne ein Flugzeug R 1 und durch 1 2 und 1 3 - Flugzeug R 2 (Abb. 131).

Beachten Sie, dass die gerade Linie 1 3 enthält mindestens einen Punkt M, der nicht zur Ebene gehört
R 1 .

Zeichnen Sie eine Ebene durch die Gerade und den Punkt M R 3, die die Ebene schneidet R 2 entlang einer geraden Linie l. Lasst uns das beweisen l fällt zusammen mit 1 3. Wir werden es „durch Widerspruch“ beweisen.

Nehmen wir an, dass die gerade Linie 1 nicht mit einer Geraden übereinstimmt 1 3. Dann 1 schneidet eine Linie 1 2 an einem Punkt A. Daraus folgt, dass das Flugzeug R 3 geht durch Punkt A R 1 und gerade 1 1 R 1 und fällt daher mit der Ebene zusammen R 1 . Diese Schlussfolgerung widerspricht der Tatsache, dass Punkt M R 3 gehört nicht zum Flugzeug R 1 .
Daher ist unsere Annahme falsch und daher 1 = 1 3 .

Somit wurde bewiesen, dass gerade Linien 1 1 und 1 3 liegen in der gleichen Ebene R 3. Beweisen wir, dass die geraden Linien 1 1 und 1 3 schneiden sich nicht.

In der Tat, wenn 1 1 und 1 3 schneidet sich beispielsweise im Punkt B, dann die Ebene R 2 würde durch eine gerade Linie gehen 1 2 und durch Punkt B 1 1 und würde daher mit zusammenfallen R 1, was unmöglich ist.

Aufgabe. Beweisen Sie, dass Winkel mit gleichgerichteten Seiten gleiche Abmessungen haben.

Die Winkel MAN und M 1 A 1 N 1 seien gleichgerichtete Seiten: Strahl AM ist mit Strahl A 1 M 1 gleichgerichtet, und Strahl AN ist mit Strahl A 1 N 1 gleichgerichtet (Abb. 132).

Auf den Strahlen AM und A 1 M 1 legen wir die Segmente AB und A 1 B 1 gleicher Länge an. Dann

|| und |BB 1 | = |AA 1 |

wie gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms.

In ähnlicher Weise zeichnen wir auf den Strahlen AN und A 1 N 1 die Segmente AC und A 1 C 1 gleicher Länge auf. Dann

|| und |CC 1 | = |AA 1 |

Aus der Transitivität der Parallelität folgt || . Und seit |BB 1 | = |CC 1 | , dann ist BB 1 C 1 C ein Parallelogramm und daher |BC| = |B 1 C 1 |.
Somit, /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 und .

Für zwei Linien im Raum sind vier Fälle möglich:

Die Geraden fallen zusammen;

Die Linien sind parallel (fallen aber nicht zusammen);

Linien schneiden sich;

Geraden kreuzen sich, d.h. haben keine gemeinsamen Punkte und sind nicht parallel.

Betrachten wir zwei Möglichkeiten, gerade Linien zu beschreiben: kanonische Gleichungen und allgemeine Gleichungen. Die Linien L 1 und L 2 seien durch kanonische Gleichungen gegeben:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

Für jede Gerade bestimmen wir aus ihren kanonischen Gleichungen sofort den Punkt darauf M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 und die Koordinaten der Richtungsvektoren s 1 = (l 1; m 1; n 1) für L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) für L 2.

Wenn die Geraden zusammenfallen oder parallel sind, dann sind ihre Richtungsvektoren s 1 und s 2 kollinear, was der Gleichheit der Verhältnisse der Koordinaten dieser Vektoren entspricht:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6.10)

Wenn die Linien zusammenfallen, ist der Vektor M 1 M 2 kollinear zu den Richtungsvektoren:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Diese doppelte Gleichheit bedeutet auch, dass der Punkt M 2 zur Geraden L 1 gehört. Folglich besteht die Bedingung für das Zusammenfallen der Geraden darin, dass die Gleichungen (6.10) und (6.11) gleichzeitig erfüllt sind.

Wenn sich die Linien schneiden oder kreuzen, dann sind ihre Richtungsvektoren nicht kollinear, d. h. Bedingung (6.10) ist verletzt. Schnittlinien liegen in derselben Ebene und daher Vektoren s 1 , s 2 und M 1 M 2 sind koplanarDeterminante dritter Ordnung, zusammengesetzt aus ihren Koordinaten (siehe 3.2):

Bedingung (6.12) ist in drei von vier Fällen erfüllt, da für Δ ≠ 0 die Geraden nicht zur gleichen Ebene gehören und sich daher schneiden.

Fassen wir alle Bedingungen zusammen:

Die relative Lage der Geraden wird durch die Anzahl der Lösungen des Systems (6.13) charakterisiert. Fallen die Geraden zusammen, dann hat das System unendlich viele Lösungen. Wenn sich die Linien schneiden, bietet dieses System eine einzigartige Lösung. Im Fall von Parallelität oder Kreuzung gibt es keine direkten Lösungen. Die letzten beiden Fälle können durch Ermitteln der Richtungsvektoren der Linien getrennt werden. Dazu reicht es aus, zwei zu berechnen Vektorgrafiken n 1 × n 2 und n 3 × n 4, wobei n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Wenn die resultierenden Vektoren kollinear sind, dann sind die gegebenen Geraden parallel. Ansonsten kreuzen sie sich.

Beispiel 6.4.

Der Richtungsvektor s 1 der Geraden L 1 wird mithilfe der kanonischen Gleichungen dieser Geraden ermittelt: s 1 = (1; 3; -2). Der Richtungsvektor s 2 der Geraden L 2 berechnet sich aus dem Vektorprodukt der Normalenvektoren der Ebenen, deren Schnittpunkt er ist:

Da s 1 = -s 2 ist, sind die Geraden parallel oder fallen zusammen. Lassen Sie uns herausfinden, welche dieser Situationen für diese Zeilen realisiert ist. Dazu setzen wir die Koordinaten des Punktes M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 in die allgemeinen Gleichungen der Geraden L 2 ein. Für die erste davon erhalten wir 1 = 0. Folglich gehört der Punkt M 0 nicht zur Geraden L 2 und die betrachteten Geraden sind parallel.

Winkel zwischen Geraden. Der Winkel zwischen zwei Geraden kann mit ermittelt werden Richtungsvektoren gerade Der spitze Winkel zwischen Geraden ist gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren (Abb. 6.5) oder addiert sich dazu, wenn der Winkel zwischen den Richtungsvektoren stumpf ist. Wenn also für die Linien L 1 und L 2 ihre Richtungsvektoren s x und s 2 bekannt sind, dann wird der spitze Winkel φ zwischen diesen Linien durch das Skalarprodukt bestimmt:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Sei zum Beispiel s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. Verwenden Sie zur Berechnung die Formeln (2.9) und (2.14). Vektorlänge und Skalarprodukt in Koordinaten erhalten wir

In diesem Artikel geht es um parallele Linien und parallele Linien. Zunächst wird die Definition paralleler Linien in einer Ebene und im Raum gegeben, Notationen werden eingeführt, Beispiele und grafische Darstellungen paralleler Linien werden gegeben. Als nächstes werden die Vorzeichen und Bedingungen für die Parallelität von Linien besprochen. Abschließend werden Lösungen für typische Probleme des Nachweises der Parallelität von Geraden aufgezeigt, die durch bestimmte Geradengleichungen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in einer Ebene und im dreidimensionalen Raum gegeben sind.

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Parallele Linien – grundlegende Informationen.

Definition.

Es werden zwei Geraden in einer Ebene aufgerufen parallel, wenn sie keine Gemeinsamkeiten haben.

Definition.

Zwei Linien im dreidimensionalen Raum werden aufgerufen parallel, wenn sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Bitte beachten Sie, dass die Klausel „wenn sie in derselben Ebene liegen“ in der Definition paralleler Linien im Raum sehr wichtig ist. Lassen Sie uns diesen Punkt klarstellen: Zwei Linien im dreidimensionalen Raum, die keine gemeinsamen Punkte haben und nicht in derselben Ebene liegen, sind nicht parallel, sondern schneiden sich.

Hier sind einige Beispiele für parallele Linien. Die gegenüberliegenden Kanten des Notizbuchblattes liegen auf parallelen Linien. Die Geraden, entlang derer die Ebene der Hauswand die Ebenen der Decke und des Bodens schneidet, sind parallel. Auch Eisenbahnschienen auf ebenem Gelände können als parallele Strecken betrachtet werden.

Um parallele Linien zu kennzeichnen, verwenden Sie das Symbol „“. Das heißt, wenn die Linien a und b parallel sind, können wir kurz a b schreiben.

Bitte beachten Sie: Wenn die Linien a und b parallel sind, können wir sagen, dass Linie a parallel zu Linie b ist, und auch, dass Linie b parallel zu Linie a ist.

Lassen Sie uns eine Aussage äußern, die bei der Untersuchung paralleler Linien auf einer Ebene eine wichtige Rolle spielt: Durch einen Punkt, der nicht auf einer bestimmten Linie liegt, verläuft die einzige gerade Linie, die parallel zu dieser ist. Diese Aussage wird als Tatsache akzeptiert (sie kann nicht auf der Grundlage der bekannten Axiome der Planimetrie bewiesen werden) und wird als Axiom paralleler Linien bezeichnet.

Für den Fall im Raum gilt der Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, verläuft eine einzige Gerade parallel zu dieser. Dieser Satz lässt sich leicht mit dem obigen Axiom der parallelen Linien beweisen (seinen Beweis finden Sie im Geometrie-Lehrbuch für die Klassen 10-11, das am Ende des Artikels im Literaturverzeichnis aufgeführt ist).

Für den Fall im Raum gilt der Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, verläuft eine einzige Gerade parallel zu dieser. Dieser Satz kann leicht mit dem obigen Axiom der parallelen Linien bewiesen werden.

Parallelität von Linien – Zeichen und Bedingungen der Parallelität.

Ein Zeichen der Parallelität der Linien ist eine hinreichende Bedingung für die Parallelität der Geraden, also eine Bedingung, deren Erfüllung die Parallelität der Geraden garantiert. Mit anderen Worten: Die Erfüllung dieser Bedingung reicht aus, um die Parallelität der Geraden festzustellen.

Es gibt auch notwendige und hinreichende Bedingungen für die Parallelität von Linien in einer Ebene und im dreidimensionalen Raum.

Lassen Sie uns die Bedeutung des Ausdrucks „notwendige und ausreichende Bedingung für parallele Linien“ erklären.

Mit der hinreichenden Bedingung für parallele Geraden haben wir uns bereits beschäftigt. Was ist eine „notwendige Bedingung für parallele Linien“? Aus der Bezeichnung „notwendig“ geht hervor, dass die Erfüllung dieser Bedingung für parallele Linien notwendig ist. Mit anderen Worten: Wenn die notwendige Bedingung für die Parallelität der Linien nicht erfüllt ist, sind die Linien nicht parallel. Auf diese Weise, notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien ist eine Bedingung, deren Erfüllung für parallele Linien sowohl notwendig als auch ausreichend ist. Das heißt, dies ist einerseits ein Zeichen für die Parallelität von Linien und andererseits eine Eigenschaft paralleler Linien.

Bevor eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Geraden formuliert wird, empfiehlt es sich, sich einige Hilfsdefinitionen ins Gedächtnis zu rufen.

Sekantenlinie ist eine Linie, die jede von zwei gegebenen, nicht zusammenfallenden Linien schneidet.

Wenn sich zwei Geraden mit einer Transversalen schneiden, entstehen acht unentwickelte Geraden. Die sogenannte querliegend, korrespondierend Und einseitige Winkel. Zeigen wir sie in der Zeichnung.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene durch eine Transversale geschnitten werden, dann ist es für ihre Parallelität notwendig und ausreichend, dass die Schnittwinkel gleich sind oder die entsprechenden Winkel gleich sind oder die Summe der einseitigen Winkel gleich 180 ist Grad.

Lassen Sie uns diese notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien in einer Ebene anschaulich veranschaulichen.

Beweise für diese Bedingungen für die Parallelität von Linien finden Sie in Geometrielehrbüchern für die Klassen 7-9.

Beachten Sie, dass diese Bedingungen auch im dreidimensionalen Raum anwendbar sind – Hauptsache, die beiden Geraden und die Sekante liegen in derselben Ebene.

Hier sind einige weitere Sätze, die häufig zum Beweis der Parallelität von Geraden verwendet werden.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene parallel zu einer dritten Geraden sind, dann sind sie parallel. Der Beweis dieses Kriteriums folgt aus dem Axiom der parallelen Geraden.

Eine ähnliche Bedingung gilt für parallele Linien im dreidimensionalen Raum.

Satz.

Wenn zwei Linien im Raum parallel zu einer dritten Linie sind, dann sind sie parallel. Der Nachweis dieses Kriteriums wird im Geometrieunterricht der 10. Klasse besprochen.

Lassen Sie uns die genannten Theoreme veranschaulichen.

Stellen wir einen weiteren Satz vor, der es uns ermöglicht, die Parallelität von Geraden in einer Ebene zu beweisen.

Satz.

Stehen zwei Geraden in einer Ebene senkrecht zu einer dritten Geraden, dann sind sie parallel.

Für Linien im Raum gibt es einen ähnlichen Satz.

Satz.

Stehen zwei Geraden im dreidimensionalen Raum senkrecht auf derselben Ebene, dann sind sie parallel.

Zeichnen wir Bilder, die diesen Theoremen entsprechen.

Alle oben formulierten Theoreme, Kriterien sowie notwendigen und hinreichenden Bedingungen eignen sich hervorragend zum Nachweis der Parallelität von Geraden mit den Methoden der Geometrie. Das heißt, um die Parallelität zweier gegebener Geraden zu beweisen, müssen Sie zeigen, dass sie parallel zu einer dritten Geraden sind, oder die Gleichheit kreuzweise liegender Winkel usw. zeigen. Viele ähnliche Probleme werden im Geometrieunterricht in der Oberstufe gelöst. Es ist jedoch zu beachten, dass es in vielen Fällen praktisch ist, die Koordinatenmethode zum Nachweis der Parallelität von Linien in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum zu verwenden. Formulieren wir die notwendigen und ausreichenden Bedingungen für die Parallelität von Geraden, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angegeben sind.

Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

In diesem Absatz des Artikels werden wir formulieren notwendige und ausreichende Bedingungen für parallele Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, abhängig von der Art der Gleichungen, die diese Linien definieren, und wir werden auch detaillierte Lösungen für charakteristische Probleme bereitstellen.

Beginnen wir mit der Bedingung der Parallelität zweier Geraden in einer Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy. Sein Beweis basiert auf der Definition des Richtungsvektors einer Geraden und der Definition des Normalenvektors einer Geraden auf einer Ebene.

Satz.

Damit zwei nicht zusammenfallende Linien in einer Ebene parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Linien kollinear sind oder die Normalenvektoren dieser Linien kollinear sind oder der Richtungsvektor einer Linie senkrecht zur Normalen steht Vektor der zweiten Zeile.

Offensichtlich reduziert sich die Bedingung der Parallelität zweier Geraden auf einer Ebene auf (Richtungsvektoren von Geraden oder Normalenvektoren von Geraden) oder auf (Richtungsvektor einer Geraden und Normalenvektor der zweiten Geraden). Wenn also und Richtungsvektoren der Linien a und b sind, und Und sind Normalenvektoren der Geraden a bzw. b, dann wird die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität der Geraden a und b wie folgt geschrieben , oder , oder , wobei t eine reelle Zahl ist. Die Koordinaten der Hilfslinien und (oder) Normalenvektoren der Linien a und b werden wiederum unter Verwendung der bekannten Liniengleichungen ermittelt.

Insbesondere wenn die Gerade a im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy auf der Ebene eine allgemeine Geradengleichung der Form definiert , und Gerade b - , dann haben die Normalenvektoren dieser Linien die Koordinaten bzw. und die Bedingung für die Parallelität der Linien a und b wird geschrieben als .

Wenn Linie a der Gleichung einer Linie mit einem Winkelkoeffizienten der Form entspricht und Linie b - , dann haben die Normalenvektoren dieser Linien Koordinaten und und die Bedingung für die Parallelität dieser Linien nimmt die Form an . Wenn also Linien auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem parallel sind und durch Liniengleichungen mit Winkelkoeffizienten angegeben werden können, sind die Winkelkoeffizienten der Linien gleich. Und umgekehrt: Wenn nicht zusammenfallende Linien auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch Gleichungen einer Linie mit gleichen Winkelkoeffizienten angegeben werden können, dann sind solche Linien parallel.

Wenn eine Linie a und eine Linie b in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch die kanonischen Gleichungen einer Linie auf einer Ebene der Form bestimmt werden Und oder parametrische Gleichungen einer geraden Linie auf einer Ebene der Form Und dementsprechend haben die Richtungsvektoren dieser Linien die Koordinaten und und die Bedingung für die Parallelität der Linien a und b wird als geschrieben.

Schauen wir uns Lösungen für mehrere Beispiele an.

Beispiel.

Sind die Linien parallel? Und ?

Lösung.

Schreiben wir die Geradengleichung in Segmenten in Form einer allgemeinen Geradengleichung um: . Jetzt können wir sehen, dass dies der Normalenvektor der Linie ist , a ist der Normalenvektor der Geraden. Diese Vektoren sind nicht kollinear, da es keine reelle Zahl t gibt, für die die Gleichheit ( ). Folglich ist die notwendige und ausreichende Bedingung für die Parallelität von Linien in einer Ebene nicht erfüllt, daher sind die gegebenen Linien nicht parallel.

Antwort:

Nein, die Linien sind nicht parallel.

Beispiel.

Sind Geraden und Parallelen?

Lösung.

Reduzieren wir die kanonische Gleichung einer Geraden auf die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten: . Offensichtlich sind die Gleichungen der Linien und nicht gleich (in diesem Fall wären die gegebenen Linien gleich) und die Winkelkoeffizienten der Linien sind gleich, daher sind die ursprünglichen Linien parallel.