10 grundlegende trigonometrische Identitäten. Grundformeln der Trigonometrie

13.03.2022

Befolgen Sie bei der Durchführung trigonometrischer Konvertierungen die folgenden Tipps:

Versuchen Sie nicht, sofort eine Lösung für das Beispiel von Anfang bis Ende zu finden.
Versuchen Sie nicht, das gesamte Beispiel auf einmal zu konvertieren. Machen Sie kleine Schritte vorwärts.
Denken Sie daran, dass Sie in der Trigonometrie neben trigonometrischen Formeln auch alle fairen algebraischen Transformationen verwenden können (Klammern, Brüche abkürzen, abgekürzte Multiplikationsformeln usw.).
Glaube daran, dass alles gut wird.

Grundlegende trigonometrische Formeln

Die meisten Formeln in der Trigonometrie werden häufig sowohl von rechts nach links als auch von links nach rechts verwendet. Daher müssen Sie diese Formeln so gut lernen, dass Sie einige Formeln problemlos in beide Richtungen anwenden können. Schreiben wir zunächst die Definitionen trigonometrischer Funktionen auf. Es sei ein rechtwinkliges Dreieck:

Dann die Definition von Sinus:

Definition von Kosinus:

Tangentendefinition:

Definition des Kotangens:

Grundlegende trigonometrische Identität:

Die einfachsten Folgerungen aus der grundlegenden trigonometrischen Identität:

Doppelwinkelformeln. Sinus des Doppelwinkels:

Kosinus des doppelten Winkels:

Tangente des Doppelwinkels:

Kotangens des Doppelwinkels:

Zusätzliche trigonometrische Formeln

Trigonometrische Additionsformeln. Sinus der Summe:

Sinus der Differenz:

Kosinus der Summe:

Kosinus der Differenz:

Tangens der Summe:

Tangens der Differenz:

Kotangens des Betrags:

Kotangens der Differenz:

Trigonometrische Formeln zur Umrechnung einer Summe in ein Produkt. Summe der Sinuswerte:

Sinusdifferenz:

Summe der Kosinuswerte:

Differenz der Kosinuswerte:

Summe der Tangenten:

Tangentendifferenz:

Summe der Kotangenten:

Kotangensdifferenz:

Trigonometrische Formeln zur Umrechnung eines Produkts in eine Summe. Produkt von Sinus:

Produkt aus Sinus und Cosinus:

Produkt von Kosinus:

Formeln zur Gradreduzierung.

Halbwinkelformeln.

Trigonometrische Reduktionsformeln

Die Kosinusfunktion wird aufgerufen Kofunktion Sinusfunktionen und umgekehrt. Ebenso sind die Tangens- und Kotangensfunktionen Kofunktionen. Reduktionsformeln können wie folgt formuliert werden:

Wenn in der Reduktionsformel ein Winkel von 90 Grad oder 270 Grad subtrahiert (addiert) wird, dann geht die reduzierte Funktion in eine Kofunktion über;
Wenn in der Reduktionsformel der Winkel von 180 Grad oder 360 Grad subtrahiert (addiert) wird, bleibt der Name der reduzierten Funktion erhalten;
In diesem Fall wird das Vorzeichen, das die reduzierte (d. h. ursprüngliche) Funktion im entsprechenden Quadranten hat, vor die reduzierte Funktion gestellt, wenn wir den subtrahierten (addierten) Winkel als spitz betrachten.

Reduktionsformeln werden in Tabellenform angegeben:

Von trigonometrischer Kreis leicht zu ermittelnde Tabellenwerte trigonometrischer Funktionen:

Trigonometrische Gleichungen

Um eine bestimmte trigonometrische Gleichung zu lösen, muss sie auf eine der einfachsten trigonometrischen Gleichungen reduziert werden, auf die weiter unten eingegangen wird. Dafür:

Sie können die oben angegebenen trigonometrischen Formeln verwenden. Gleichzeitig müssen Sie nicht versuchen, das gesamte Beispiel auf einmal zu transformieren, sondern müssen in kleinen Schritten vorankommen.
Wir dürfen die Möglichkeit nicht vergessen, einen Ausdruck mit algebraischen Methoden umzuwandeln, d.h. Nehmen Sie beispielsweise etwas aus Klammern heraus oder öffnen Sie umgekehrt Klammern, reduzieren Sie einen Bruch, wenden Sie eine abgekürzte Multiplikationsformel an, bringen Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und so weiter.
Beim Lösen trigonometrischer Gleichungen können Sie verwenden Gruppierungsmethode. Es muss daran erinnert werden, dass es ausreicht, dass einer von ihnen gleich Null ist, damit das Produkt mehrerer Faktoren gleich Null ist, und der Rest existierte.
Bewirbt sich Variablenersetzungsmethode Wie üblich sollte die Gleichung nach Einführung der Ersetzung einfacher werden und nicht die ursprüngliche Variable enthalten. Sie müssen auch daran denken, einen umgekehrten Austausch durchzuführen.
Denken Sie daran, dass in der Trigonometrie häufig homogene Gleichungen vorkommen.
Wenn Sie Module öffnen oder irrationale Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen lösen, müssen Sie sich alle Feinheiten der Lösung der entsprechenden Gleichungen mit gewöhnlichen Funktionen merken und berücksichtigen.
Denken Sie an die ODZ (in trigonometrischen Gleichungen beschränken sich die Einschränkungen der ODZ hauptsächlich auf die Tatsache, dass Sie nicht durch Null dividieren können, aber vergessen Sie nicht andere Einschränkungen, insbesondere die Positivität von Ausdrücken in rationalen Potenzen und unter den Wurzeln gerader Potenzen). Denken Sie auch daran, dass die Werte von Sinus und Cosinus nur im Bereich von minus eins bis einschließlich plus eins liegen können.

Die Hauptsache ist, wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie zumindest etwas, und die Hauptsache ist, trigonometrische Formeln richtig zu verwenden. Wenn das, was Sie erhalten, immer besser wird, fahren Sie mit der Lösung fort. Wenn es schlechter wird, kehren Sie zum Anfang zurück und versuchen Sie, andere Formeln anzuwenden. Tun Sie dies, bis Sie auf die richtige Lösung stoßen.

Formeln für Lösungen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Für Sinus gibt es zwei äquivalente Schreibweisen der Lösung:

Für andere trigonometrische Funktionen ist die Notation eindeutig. Für Kosinus:

Für Tangente:

Für Kotangens:

Lösung trigonometrischer Gleichungen in einigen Sonderfällen:

Lernen Sie alle Formeln und Gesetze der Physik sowie Formeln und Methoden der Mathematik. Tatsächlich ist dies auch sehr einfach: In der Physik gibt es nur etwa 200 notwendige Formeln, in der Mathematik sogar noch etwas weniger. In jedem dieser Fächer gibt es etwa ein Dutzend Standardmethoden zur Lösung von Problemen grundlegender Komplexität, die auch erlernt werden können und so die meisten CT-Probleme zum richtigen Zeitpunkt völlig automatisch und problemlos lösen können. Danach müssen Sie nur noch an die schwierigsten Aufgaben denken.

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Durch die erfolgreiche, sorgfältige und verantwortungsvolle Umsetzung dieser drei Punkte sowie das verantwortungsvolle Studium der Abschlussprüfungen können Sie beim CT ein hervorragendes Ergebnis zeigen, das Maximum Ihrer Leistungsfähigkeit.

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Auf dieser Seite finden Sie alle grundlegenden trigonometrischen Formeln, die Ihnen bei der Lösung vieler Übungen helfen und den Ausdruck selbst erheblich vereinfachen.

Trigonometrische Formeln sind mathematische Gleichungen für trigonometrische Funktionen, die für alle gültigen Werte des Arguments erfüllt sind.

Formeln geben die Beziehungen zwischen den grundlegenden trigonometrischen Funktionen an – Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens.

Der Sinus eines Winkels ist die y-Koordinate eines Punktes (Ordinate) auf dem Einheitskreis. Der Kosinus eines Winkels ist die x-Koordinate eines Punktes (Abszisse).

Tangens und Kotangens sind jeweils die Verhältnisse von Sinus zu Cosinus und umgekehrt.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

Und zwei, die seltener verwendet werden – Sekante, Kosekans. Sie stellen die Verhältnisse von 1 zu Kosinus und Sinus dar.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Aus den Definitionen trigonometrischer Funktionen geht klar hervor, welche Vorzeichen sie in jedem Quadranten haben. Das Vorzeichen der Funktion hängt nur davon ab, in welchem Quadranten sich das Argument befindet.

Wenn Sie das Vorzeichen des Arguments von „+“ auf „-“ ändern, ändert nur die Kosinusfunktion ihren Wert nicht. Es heißt gerade. Sein Diagramm ist symmetrisch zur Ordinatenachse.

Die übrigen Funktionen (Sinus, Tangens, Kotangens) sind ungerade. Wenn das Vorzeichen des Arguments von „+“ auf „-“ geändert wird, ändert sich auch ihr Wert ins Negative. Ihre Diagramme sind symmetrisch zum Ursprung.

`sin(-\alpha)=-sin \\alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Grundlegende trigonometrische Identitäten

Grundlegende trigonometrische Identitäten sind Formeln, die eine Verbindung zwischen trigonometrischen Funktionen eines Winkels („sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha“) herstellen und es Ihnen ermöglichen, den Wert von zu ermitteln Jede dieser Funktionen erfolgt über jede bekannte andere.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Formeln für Summe und Differenz der Winkel trigonometrischer Funktionen

Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Argumenten drücken trigonometrische Funktionen der Summe oder Differenz zweier Winkel als trigonometrische Funktionen dieser Winkel aus.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Doppelwinkelformeln

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Dreiwinkelformeln

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Halbwinkelformeln

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Formeln für Halb-, Doppel- und Dreifachargumente drücken die Funktionen „sin, \cos, \tg, \ctg“ dieser Argumente („\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` aus ) durch dieses Funktionsargument „\alpha“.

Ihre Schlussfolgerung kann aus der vorherigen Gruppe (Addition und Subtraktion von Argumenten) abgeleitet werden. Beispielsweise erhält man Doppelwinkelidentitäten leicht, indem man „\beta“ durch „\alpha“ ersetzt.

Formeln zur Gradreduzierung

Formeln von Quadraten (Würfeln usw.) trigonometrischer Funktionen ermöglichen den Übergang von 2,3,... Grad zu trigonometrischen Funktionen ersten Grades, aber mehreren Winkeln (`\alpha, \3\alpha, \... ` oder `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Formeln für Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

Die Formeln sind Transformationen der Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen verschiedener Argumente in ein Produkt.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Hier erfolgt die Umwandlung von Addition und Subtraktion von Funktionen eines Arguments in ein Produkt.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Die folgenden Formeln wandeln die Summe und Differenz von Eins und einer trigonometrischen Funktion in ein Produkt um.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2\cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2\sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Formeln zur Umrechnung von Funktionsprodukten

Formeln zur Umrechnung des Produkts trigonometrischer Funktionen mit den Argumenten „\alpha“ und „\beta“ in die Summe (Differenz) dieser Argumente.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`

Universelle trigonometrische Substitution

Diese Formeln drücken trigonometrische Funktionen als Tangens eines halben Winkels aus.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Reduktionsformeln

Reduktionsformeln können mithilfe von Eigenschaften trigonometrischer Funktionen wie Periodizität, Symmetrie und der Eigenschaft der Verschiebung um einen bestimmten Winkel erhalten werden. Sie ermöglichen die Umwandlung von Funktionen eines beliebigen Winkels in Funktionen, deren Winkel zwischen 0 und 90 Grad liegt.

Für Winkel (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) oder (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Für Winkel (`\pi \pm \alpha`) oder (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Für Winkel (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) oder (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \\alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \\alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Für Winkel (`2\pi \pm \alpha`) oder (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \\alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \\alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \\alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Einige trigonometrische Funktionen durch andere ausdrücken

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Trigonometrie bedeutet wörtlich übersetzt „Dreiecke messen“. Das Studium beginnt in der Schule und wird an Universitäten vertieft. Daher werden Grundformeln der Trigonometrie ab der 10. Klasse sowie für das Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens benötigt. Sie bezeichnen Verbindungen zwischen Funktionen, und da es viele dieser Verbindungen gibt, gibt es selbst viele Formeln. Es ist nicht einfach, sich alle zu merken, und es ist auch nicht notwendig – bei Bedarf können sie alle angezeigt werden.

Trigonometrische Formeln werden in der Integralrechnung sowie in trigonometrischen Vereinfachungen, Berechnungen und Transformationen verwendet.

Die Beziehungen zwischen den grundlegenden trigonometrischen Funktionen – Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens – werden angegeben trigonometrische Formeln. Und da zwischen trigonometrischen Funktionen viele Zusammenhänge bestehen, erklärt dies die Fülle trigonometrischer Formeln. Einige Formeln verbinden trigonometrische Funktionen desselben Winkels, andere - Funktionen mehrerer Winkel, andere - ermöglichen es Ihnen, den Grad zu reduzieren, vierte - drücken Sie alle Funktionen durch den Tangens eines halben Winkels aus usw.

In diesem Artikel werden wir alle grundlegenden trigonometrischen Formeln der Reihe nach auflisten, die ausreichen, um die überwiegende Mehrheit der trigonometrischen Probleme zu lösen. Um das Auswendiglernen und Verwenden zu erleichtern, werden wir sie nach Zweck gruppieren und in Tabellen eintragen.

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Grundlegende trigonometrische Identitäten

Grundlegende trigonometrische Identitäten Definieren Sie die Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels. Sie ergeben sich aus der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens sowie dem Konzept des Einheitskreises. Sie ermöglichen es Ihnen, eine trigonometrische Funktion durch eine beliebige andere auszudrücken.

Eine detaillierte Beschreibung dieser Trigonometrieformeln, ihrer Ableitung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Reduktionsformeln

Reduktionsformeln ergeben sich aus den Eigenschaften von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, d. h. sie spiegeln die Eigenschaft der Periodizität trigonometrischer Funktionen, die Eigenschaft der Symmetrie sowie die Eigenschaft der Verschiebung um einen gegebenen Winkel wider. Mit diesen trigonometrischen Formeln können Sie von der Arbeit mit beliebigen Winkeln zur Arbeit mit Winkeln im Bereich von 0 bis 90 Grad übergehen.

Die Begründung dieser Formeln, eine Gedächtnisregel zum Auswendiglernen und Beispiele für ihre Anwendung können im Artikel untersucht werden.

Additionsformeln

Trigonometrische Additionsformeln Zeigen Sie, wie trigonometrische Funktionen der Summe oder Differenz zweier Winkel als trigonometrische Funktionen dieser Winkel ausgedrückt werden. Diese Formeln dienen als Grundlage für die Ableitung der folgenden trigonometrischen Formeln.

Formeln für Doppel-, Dreifach- usw. Winkel

Formeln für Doppel-, Dreifach- usw. Winkel (sie werden auch Mehrfachwinkelformeln genannt) zeigen, wie trigonometrische Funktionen von Doppel, Dreifach usw. Winkel () werden als trigonometrische Funktionen eines einzelnen Winkels ausgedrückt. Ihre Ableitung basiert auf Additionsformeln.

Genauere Informationen finden Sie im Artikel Formeln für Doppel, Dreifach usw. Winkel

Halbwinkelformeln

Halbwinkelformeln Zeigen Sie, wie trigonometrische Funktionen eines halben Winkels durch den Kosinus eines ganzen Winkels ausgedrückt werden. Diese trigonometrischen Formeln ergeben sich aus den Doppelwinkelformeln.

Ihr Fazit und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel.

Formeln zur Gradreduzierung

Trigonometrische Formeln zur Reduzierung von Graden sollen den Übergang von natürlichen Potenzen trigonometrischer Funktionen zu Sinus und Cosinus im ersten Grad, aber mehreren Winkeln, erleichtern. Mit anderen Worten: Sie ermöglichen es Ihnen, die Potenzen trigonometrischer Funktionen auf die erste Potenz zu reduzieren.

Formeln für Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

Der Hauptzweck Formeln für die Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen besteht darin, zum Produkt von Funktionen zu gelangen, was bei der Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke sehr nützlich ist. Diese Formeln werden auch häufig zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet, da Sie damit die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus faktorisieren können.

Formeln für das Produkt aus Sinus, Cosinus und Sinus mal Cosinus

Der Übergang vom Produkt trigonometrischer Funktionen zu einer Summe oder Differenz erfolgt mit den Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus.

Universelle trigonometrische Substitution

Wir schließen unseren Überblick über die Grundformeln der Trigonometrie mit Formeln ab, die trigonometrische Funktionen als Tangens eines halben Winkels ausdrücken. Dieser Ersatz wurde aufgerufen universelle trigonometrische Substitution. Seine Zweckmäßigkeit liegt in der Tatsache, dass alle trigonometrischen Funktionen durch den Tangens eines halben Winkels rational ohne Wurzeln ausgedrückt werden.

Referenzliste.

Algebra: Lehrbuch für die 9. Klasse. Durchschn. Schule/Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 S.: Abb. - ISBN 5-09-002727-7
Baschmakow M. I. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch. für 10-11 Klassen. Durchschn. Schule - 3. Aufl. - M.: Bildung, 1993. - 351 S.: Abb. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra und der Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Klassen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorov. – 14. Auflage – M.: Education, 2004. – 384 Seiten: Abb. – ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

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Trigonometrie, trigonometrische Formeln

Eine ausführliche Beschreibung dieser Trigonometrieformeln, ihrer Ableitung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel Grundlegende trigonometrische Identitäten.

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Reduktionsformeln

Die Begründung dieser Formeln, eine mnemonische Regel zum Auswendiglernen und Beispiele ihrer Anwendung können im Artikel Reduktionsformeln untersucht werden.

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Additionsformeln

Weitere Informationen finden Sie im Artikel Additionsformeln.

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Formeln für Doppel-, Dreifach- usw. Winkel

Genauere Informationen finden Sie im Artikel Formeln für Doppel, Dreifach usw. Ecke.

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Halbwinkelformeln

Ihre Schlussfolgerung und Anwendungsbeispiele finden Sie im Artikel über Halbwinkelformeln.

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Formeln zur Gradreduzierung

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Formeln für Summe und Differenz trigonometrischer Funktionen

Zur Herleitung von Formeln sowie Beispielen für deren Anwendung siehe den Artikel Formeln für Summe und Differenz von Sinus und Cosinus.

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Formeln für das Produkt aus Sinus, Cosinus und Sinus mal Cosinus

Der Übergang vom Produkt trigonometrischer Funktionen zu einer Summe oder Differenz erfolgt mit den Formeln für das Produkt von Sinus, Cosinus und Sinus zu Cosinus.

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Universelle trigonometrische Substitution

Ausführlichere Informationen finden Sie im Artikel Universelle trigonometrische Substitution.

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Algebra: Lehrbuch für die 9. Klasse. Durchschn. Schule/Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 S.: Abb. - ISBN 5-09-002727-7
Baschmakow M. I. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch. für 10-11 Klassen. Durchschn. Schule – 3. Aufl. - M.: Bildung, 1993. - 351 S.: Abb. — ISBN 5-09-004617-4.
Algebra und der Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Klassen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorov. – 14. Auflage – M.: Education, 2004. – 384 Seiten: Abb. – ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für diejenigen, die technische Schulen besuchen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Trigonometrische Formeln- Dies sind die wichtigsten Formeln in der Trigonometrie, die zum Ausdrücken trigonometrischer Funktionen erforderlich sind, die für jeden Wert des Arguments ausgeführt werden.

Additionsformeln.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Doppelwinkelformeln.

weil 2α = cos²α -sin²α

weil 2α = 2cos²α — 1

weil 2α = 1 - 2sin²α

Sünde 2α = 2sinα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

Dreiwinkelformeln.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

weil 3α = 4cos³α - 3cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 — 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Halbwinkelformeln.

Reduktionsformeln.

Funktion/Winkel in rad.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




Funktion/Winkel in °	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

Detaillierte Beschreibung der Reduktionsformeln.

Grundlegende trigonometrische Formeln.

Grundlegende trigonometrische Identität:

sin 2 α+cos 2 α=1

Diese Identität ist das Ergebnis der Anwendung des Satzes des Pythagoras auf ein Dreieck im trigonometrischen Einheitskreis.

Die Beziehung zwischen Kosinus und Tangens ist:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 oder sec 2 α−tan 2 α=1.

Diese Formel ist eine Folge der grundlegenden trigonometrischen Identität und wird daraus durch Division der linken und rechten Seite durch cos2α erhalten. Es wird angenommen dass α≠π/2+πn,n∈Z.

Zusammenhang zwischen Sinus und Kotangens:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 oder csc 2 α−cot 2 α=1.

Diese Formel ergibt sich auch aus der grundlegenden trigonometrischen Identität (die man daraus erhält, indem man die linke und rechte Seite durch dividiert). sin2α. Hier wird davon ausgegangen α≠πn,n∈Z.

Tangentendefinition:

tanα=sinα/cosα,

Wo α≠π/2+πn,n∈Z.

Definition des Kotangens:

cotα=cosα/sinα,

Wo α≠πn,n∈Z.

Folgerung aus den Definitionen von Tangens und Kotangens:

tanα⋅ cotα=1,

Wo α≠πn/2,n∈Z.

Definition von Sekante:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

Definition von Kosekans:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

Trigonometrische Ungleichungen.

Die einfachsten trigonometrischen Ungleichungen:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Quadrate trigonometrischer Funktionen.

Formeln für Würfel trigonometrischer Funktionen.

TrigonometrieMathematik. Trigonometrie. Formeln. Geometrie. Theorie

Wir haben uns die grundlegendsten trigonometrischen Funktionen angesehen (lassen Sie sich nicht täuschen, neben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens gibt es noch viele andere Funktionen, aber dazu später mehr), aber schauen wir uns zunächst einige grundlegende Eigenschaften an Funktionen bereits untersucht.

Trigonometrische Funktionen numerischer Argumente

Welche reelle Zahl t auch immer genommen wird, sie kann einer eindeutig definierten Zahl sin(t) zugeordnet werden.

Die Matching-Regel ist zwar recht komplex und besteht aus Folgendem.

Um den Wert von sin(t) aus der Zahl t zu ermitteln, benötigen Sie:

Positionieren Sie den Zahlenkreis so auf der Koordinatenebene, dass der Mittelpunkt des Kreises mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt und der Startpunkt A des Kreises auf Punkt (1; 0) fällt.
Finden Sie einen Punkt auf dem Kreis, der der Zahl t entspricht.
Finden Sie die Ordinate dieses Punktes.
diese Ordinate ist der gewünschte sin(t).

Tatsächlich sprechen wir von der Funktion s = sin(t), wobei t eine beliebige reelle Zahl ist. Wir wissen, wie man einige Werte dieser Funktion berechnet (zum Beispiel sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) usw.) , wir kennen einige seiner Eigenschaften.

Beziehung zwischen trigonometrischen Funktionen

Wie Sie hoffentlich erraten können, sind alle trigonometrischen Funktionen miteinander verbunden und auch ohne die Bedeutung einer Funktion zu kennen, kann sie durch eine andere ermittelt werden.

Die wichtigste Formel in der gesamten Trigonometrie lautet beispielsweise grundlegende trigonometrische Identität:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Wie Sie sehen, können Sie, wenn Sie den Wert des Sinus kennen, den Wert des Kosinus ermitteln und umgekehrt.

Trigonometrieformeln

Auch sehr gebräuchliche Formeln, die Sinus und Cosinus mit Tangens und Kotangens verbinden:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Aus den letzten beiden Formeln kann man eine weitere trigometrische Identität ableiten, die diesmal Tangens und Kotangens verbindet:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Sehen wir uns nun an, wie diese Formeln in der Praxis funktionieren.

BEISPIEL 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Schreiben wir zunächst den Tangens unter Beibehaltung des Quadrats:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Bringen wir nun alles auf einen gemeinsamen Nenner und wir erhalten:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

Und schließlich kann, wie wir sehen, der Zähler durch die trigonometrische Hauptidentität auf eins reduziert werden, als Ergebnis erhalten wir: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Mit dem Kotangens führen wir die gleichen Aktionen aus, nur dass der Nenner kein Kosinus mehr ist, sondern ein Sinus, und die Antwort lautet wie folgt:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Nach Abschluss dieser Aufgabe haben wir zwei weitere sehr wichtige Formeln abgeleitet, die unsere Funktionen verbinden und die wir ebenfalls wie unsere Westentasche kennen müssen:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Sie müssen alle vorgestellten Formeln auswendig kennen, sonst ist ein weiteres Studium der Trigonometrie ohne sie einfach unmöglich. In Zukunft wird es noch mehr Formeln geben, und davon wird es viele geben, und ich versichere Ihnen, dass Sie sich bestimmt noch lange an alle erinnern werden, oder vielleicht auch nicht, aber JEDER sollte diese sechs Dinge wissen!

Eine vollständige Tabelle aller grundlegenden und seltenen trigonometrischen Reduktionsformeln.

Hier finden Sie trigonometrische Formeln in praktischer Form. Und trigonometrische Reduktionsformeln finden Sie auf einer anderen Seite.

Grundlegende trigonometrische Identitäten

— mathematische Ausdrücke für trigonometrische Funktionen, die für jeden Wert des Arguments ausgeführt werden.

sin² α + cos² α = 1
tg α cot α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
cot α = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

Additionsformeln

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α – β) = sin α cos β – sin β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometrischeheskie-formuly - uchim.org

Doppelwinkelformeln

cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sin 2α = 2sin α cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Dreiwinkelformeln

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Formeln zur Gradreduzierung

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sin α – sin 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sin 2α – sin 6α) ÷ 32

Übergang vom Produkt zur Summe

sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
sin α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Wir haben eine ganze Reihe trigonometrischer Formeln aufgelistet, aber wenn etwas fehlt, schreiben Sie es bitte.

Alles zum Lernen » Mathematik in der Schule » Trigonometrische Formeln – Spickzettel

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Die Transformation von Gruppen allgemeiner Lösungen trigonometrischer Gleichungen wird ausführlich betrachtet. Im dritten Abschnitt werden nicht standardmäßige trigonometrische Gleichungen untersucht, deren Lösungen auf dem funktionalen Ansatz basieren.

Alle Formeln (Gleichungen) der Trigonometrie: sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

Im vierten Abschnitt werden trigonometrische Ungleichungen erörtert. Methoden zur Lösung elementarer trigonometrischer Ungleichungen, sowohl auf dem Einheitskreis als auch...

... Winkel 1800-α= entlang der Hypotenuse und spitzer Winkel: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Daher wird im Schulgeometriekurs das Konzept einer trigonometrischen Funktion aufgrund ihrer besseren Zugänglichkeit mit geometrischen Mitteln eingeführt. Das traditionelle methodische Schema zur Untersuchung trigonometrischer Funktionen lautet wie folgt: 1) Zunächst werden trigonometrische Funktionen für einen spitzen Winkel eines Rechtecks bestimmt ...

... Hausaufgaben 19(3.6), 20(2.4) Zielsetzung Aktualisierung des Grundwissens Eigenschaften trigonometrischer Funktionen Reduktionsformeln Neues Material Werte trigonometrischer Funktionen Lösen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen Konsolidierung Problemlösung Zweck der Lektion: Heute berechnen wir die Werte trigonometrischer Funktionen und lösen ...

... die formulierte Hypothese, die zur Lösung der folgenden Probleme erforderlich ist: 1. Identifizieren Sie die Rolle trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen im Mathematikunterricht; 2. Entwicklung einer Methodik zur Entwicklung der Fähigkeit zur Lösung trigonometrischer Gleichungen und Ungleichungen mit dem Ziel, trigonometrische Konzepte zu entwickeln; 3. Testen Sie experimentell die Wirksamkeit der entwickelten Methode. Für Lösungen …

Trigonometrische Formeln

Wir stellen Ihnen verschiedene Formeln im Zusammenhang mit der Trigonometrie vor.

(8) Kotangens des Doppelwinkels

cotg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg(α)

(9) Sinus eines Dreifachwinkels sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Kosinus des dreifachen Winkels cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Kosinus der Summe/Differenz cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Sinus der Summe/Differenz sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Tangens der Summe/Differenz (14) Kotangens der Summe/Differenz (15) Produkt von Sinus sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Produkt von Kosinus cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Produkt aus Sinus und Cosinus sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Summe/Differenz der Sinuswerte sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Summe der Kosinuswerte cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) Differenz der Kosinuswerte cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Summe/Differenz von Tangenten (22) Formel zur Reduzierung des Sinusgrades sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Formel zur Reduzierung des Kosinusgrades cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Summe/Differenz von Sinus und Cosinus (25) Summe/Differenz von Sinus und Cosinus mit Koeffizienten (26) Grundlegende Beziehung zwischen Arkussinus und Arkuskosinus arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Grundlegende Beziehung zwischen Arkustangens und Arkuskotangens arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Allgemeine Formeln

- Druckversion

Definitionen Sinus des Winkels α (Bezeichnung Sünde(α)) ist das Verhältnis des Schenkels gegenüber dem Winkel α zur Hypotenuse. Kosinus des Winkels α (Bezeichnung cos(α)) ist das Verhältnis des an den Winkel α angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse. Winkeltangens α (Bezeichnung tan(α)) ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zum Winkel α zur benachbarten Seite. Eine äquivalente Definition ist das Verhältnis des Sinus eines Winkels α zum Kosinus desselben Winkels – sin(α)/cos(α). Kotangens des Winkels α (Bezeichnung cotg(α)) ist das Verhältnis des an den Winkel α angrenzenden Schenkels zum gegenüberliegenden. Eine äquivalente Definition ist das Verhältnis des Kosinus eines Winkels α zum Sinus desselben Winkels – cos(α)/sin(α). Andere trigonometrische Funktionen: Sekante — sec(α) = 1/cos(α); Kosekans - cosec(α) = 1/sin(α). Notiz Wir schreiben das Zeichen * (multiplizieren) nicht ausdrücklich – wenn zwei Funktionen hintereinander ohne Leerzeichen geschrieben werden, ist dies impliziert. Hinweis Um Formeln für Kosinus, Sinus, Tangens oder Kotangens mehrerer (4+) Winkel abzuleiten, reicht es aus, sie entsprechend den jeweiligen Formeln zu schreiben. Kosinus, Sinus, Tangens oder Kotangens der Summe, oder auf die vorherigen Fälle reduzieren und auf die Formeln der Dreifach- und Doppelwinkel reduzieren. Zusatz Derivatetabelle