So bestimmen Sie die Periode einer Funktion. Wie man eine Funktion untersucht und grafisch darstellt

19.04.2022

Aus dem Mathematikunterricht in der Schule erinnert sich jeder an einen Sinusgraphen, der sich in gleichmäßigen Wellen in die Ferne erstreckt. Viele andere Funktionen haben eine ähnliche Eigenschaft – sie wiederholen sich nach einem bestimmten Intervall. Sie werden periodisch genannt. Periodizität ist eine sehr wichtige Eigenschaft einer Funktion, die häufig bei verschiedenen Aufgaben auftritt. Daher ist es nützlich, bestimmen zu können, ob eine Funktion periodisch ist.

Anweisungen

Wenn F(x) eine Funktion des Arguments x ist, dann heißt es periodisch, wenn es eine Zahl T gibt, so dass für jedes x F(x + T) = F(x). Diese Zahl T nennt man die Periode der Funktion. Es kann mehrere Perioden geben. Beispielsweise nimmt die Funktion F = const für jeden Wert des Arguments denselben Wert an, und daher kann jede Zahl als ihre Periode betrachtet werden. Mathematiker sind normalerweise an der kleinsten Periode einer Funktion ungleich Null interessiert. Der Kürze halber wird es einfach als Periode bezeichnet.
Ein klassisches Beispiel für periodische Funktionen sind trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens. Ihre Periode ist gleich und gleich 2π, das heißt, sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) und so weiter. Allerdings sind trigonometrische Funktionen natürlich nicht die einzigen periodischen.
Bei einfachen Grundfunktionen lässt sich nur durch Berechnung feststellen, ob sie periodisch oder nichtperiodisch sind. Aber für komplexe Funktionen gibt es bereits einige einfache Regeln.
Wenn F(x) eine periodische Funktion mit der Periode T ist und für sie eine Ableitung definiert ist, dann ist diese Ableitung f(x) = F′(x) auch eine periodische Funktion mit der Periode T. Schließlich ist der Wert der Die Ableitung am Punkt x ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkelgraphen, seine Stammfunktion an diesem Punkt an die x-Achse, und da die Stammfunktion periodisch wiederholt wird, muss auch die Ableitung wiederholt werden. Beispielsweise ist die Ableitung der Funktion sin(x) gleich cos(x) und periodisch. Die Ableitung von cos(x) ergibt –sin(x). Die Häufigkeit bleibt unverändert. Das Gegenteil ist jedoch nicht immer der Fall. Somit ist die Funktion f(x) = const periodisch, ihre Stammfunktion F(x) = const*x + C jedoch nicht.
Wenn F(x) eine periodische Funktion mit der Periode T ist, dann ist G(x) = a*F(kx + b), wobei a, b und k Konstanten sind und k ungleich Null ist, ebenfalls eine periodische Funktion , und seine Periode ist T/k. Beispielsweise ist sin(2x) eine periodische Funktion und ihre Periode ist π. Dies lässt sich visuell wie folgt darstellen: Durch Multiplizieren von x mit einer Zahl scheint es, als würde man den Graphen der Funktion genau so oft horizontal komprimieren
Wenn F1(x) und F2(x) periodische Funktionen sind und ihre Perioden gleich T1 bzw. T2 sind, dann kann die Summe dieser Funktionen auch periodisch sein. Allerdings ist seine Periode keine einfache Summe der Perioden T1 und T2. Wenn das Ergebnis der Division T1/T2 eine rationale Zahl ist, dann ist die Summe der Funktionen periodisch und ihre Periode ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) der Perioden T1 und T2. Wenn beispielsweise die Periode der ersten Funktion 12 und die Periode der zweiten 15 beträgt, dann ist die Periode ihrer Summe gleich LCM (12, 15) = 60. Dies kann visuell wie folgt dargestellt werden: die Funktionen haben unterschiedliche „Schrittweiten“, aber wenn das Verhältnis ihrer Breiten rational ist, werden sie früher oder später (oder vielmehr genau durch das LCM der Schritte) wieder gleich und ihre Summe beginnt eine neue Periode.
Wenn das Verhältnis der Perioden jedoch irrational ist, ist die Gesamtfunktion überhaupt nicht periodisch. Sei beispielsweise F1(x) = x mod 2 (der Rest, wenn x durch 2 geteilt wird) und F2(x) = sin(x). T1 ist hier gleich 2 und T2 ist gleich 2π. Das Periodenverhältnis ist gleich π – eine irrationale Zahl. Daher ist die Funktion sin(x) + x mod 2 nicht periodisch.

Aus dem Mathematikunterricht in der Schule erinnert sich jeder an einen Sinusgraphen, der sich in gleichmäßigen Wellen in die Ferne erstreckt. Viele andere Funktionen haben eine ähnliche Eigenschaft – sie wiederholen sich in einem bestimmten Intervall. Sie werden periodisch genannt. Periodizität ist eine sehr wichtige Eigenschaft einer Funktion, die häufig bei verschiedenen Aufgaben auftritt. Daher ist es von Vorteil, bestimmen zu können, ob eine Funktion periodisch ist.

Anweisungen

1. Wenn F(x) eine Funktion des Arguments x ist, dann heißt es periodisch, wenn es eine Zahl T gibt, so dass für jedes x F(x + T) = F(x). Diese Zahl T nennt man die Periode der Funktion. Es kann mehrere Perioden geben. Nehmen wir an, dass die Funktion F = const für alle Werte des Arguments denselben Wert annimmt und daher jede Zahl als ihre Periode betrachtet werden kann. Traditionell befasst sich die Mathematik mit der minimalen Periode ungleich Null einer Funktion. Der Kürze halber wird sie als Urzeit bezeichnet.

2. Ein typisches Beispiel für periodische Funktionen sind trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens. Ihre Periode ist identisch und gleich 2?, also sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) und so weiter. Allerdings sind trigonometrische Funktionen natürlich nicht ausschließlich periodisch.

3. Was primitive Grundfunktionen betrifft, sind Berechnungen die einzige Methode, um ihre Periodizität oder Nichtperiodizität festzustellen. Für schwierige Funktionen gibt es jedoch bereits mehrere Grundregeln.

4. Wenn F(x) eine periodische Funktion mit der Periode T ist und für sie eine Ableitung definiert ist, dann ist diese Ableitung f(x) = F?(x) auch eine periodische Funktion mit der Periode T. Der Wert der Ableitung am Punkt x ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkels des Graphen seiner Stammfunktion an diesem Punkt zur x-Achse, und da die Stammfunktion periodisch wiederholt wird, muss auch die Ableitung wiederholt werden. Nehmen wir an, die Ableitung der Funktion sin(x) ist gleich cos(x) und sie ist periodisch. Die Ableitung von cos(x) ergibt –sin(x). Die Periodizität bleibt konstant. Das Gegenteil ist jedoch nicht immer der Fall. Somit ist die Funktion f(x) = const periodisch, ihre Stammfunktion F(x) = const*x + C jedoch nicht.

5. Wenn F(x) eine periodische Funktion mit der Periode T ist, dann ist G(x) = a*F(kx + b), wobei a, b und k Konstanten sind und k ungleich Null ist, ebenfalls eine periodische Funktion , und seine Periode ist T/k. Nehmen wir an, sin(2x) ist eine periodische Funktion und ihre Periode ist gleich?. Dies lässt sich visuell wie folgt darstellen: Durch die Multiplikation von x mit einer beliebigen Zahl scheint es, als würde man den Graphen der Funktion genau so oft horizontal komprimieren

6. Wenn F1(x) und F2(x) periodische Funktionen sind und ihre Perioden gleich T1 bzw. T2 sind, dann kann die Summe dieser Funktionen auch periodisch sein. Allerdings wird seine Periode keine einfache Summe der Perioden T1 und T2 sein. Wenn das Ergebnis der Division T1/T2 eine vernünftige Zahl ist, dann ist die Summe der Funktionen periodisch und ihre Periode ist gleich dem kleinsten universellen Vielfachen (LCM) der Perioden T1 und T2. Nehmen wir an, wenn die Periode der ersten Funktion 12 und die Periode der zweiten Funktion 15 beträgt, dann ist die Periode ihrer Summe gleich LCM (12, 15) = 60. Dies kann visuell wie folgt dargestellt werden: Funktionen Es gibt unterschiedliche „Schrittweiten“, aber wenn das Verhältnis ihrer Breiten sinnvoll ist, werden sie früher oder später (oder vielmehr genau durch das LCM der Schritte) wieder gleich und ihre Summe beginnt eine neue Periode.

7. Wenn das Verhältnis der Perioden jedoch irrational ist, ist die Gesamtfunktion überhaupt nicht periodisch. Nehmen wir an, F1(x) = x mod 2 (der Rest der Division von x durch 2) und F2(x) = sin(x). T1 ist hier gleich 2 und T2 ist gleich 2?. Ist das Periodenverhältnis gleich? - eine irrationale Zahl. Folglich ist die Funktion sin(x) + x mod 2 nicht periodisch.

Viele mathematische Funktionen haben eine bestimmte Eigenschaft, die ihre Konstruktion erleichtert: diese Periodizität, also die Wiederholbarkeit des Graphen auf einem Koordinatengitter in gleichen Abständen.

Anweisungen

1. Die bekanntesten periodischen Funktionen in der Mathematik sind Sinus und Cosinus. Diese Funktionen sind wellenförmig und haben eine Pivotperiode von 2P. Ein Sonderfall einer periodischen Funktion ist auch f(x)=const. An die Stelle x passt jede Zahl; diese Funktion hat keine Hauptperiode, da es sich um eine Gerade handelt.

2. Im Allgemeinen ist eine Funktion periodisch, wenn es eine ganze Zahl N gibt, die ungleich Null ist und die Regel f(x)=f(x+N) erfüllt, wodurch Wiederholbarkeit gewährleistet ist. Die Periode einer Funktion ist die kleinste Zahl N, aber nicht Null. Das heißt, die Funktion sin x ist beispielsweise gleich der Funktion sin (x+2ПN), wobei N=±1, ±2 usw.

3. Gelegentlich kann eine Funktion einen Multiplikator haben (z. B. sin 2x), der die Periode der Funktion verlängert oder verkürzt. Um den Zeitraum von zu erkennen Grafik, müssen Sie die Extrema der Funktion bestimmen – die höchsten und niedrigsten Punkte des Funktionsgraphen. Da Sinus- und Cosinuswellen wellenartig sind, ist dies recht einfach. Konstruieren Sie von diesen Punkten aus senkrechte gerade Linien, bis sie die X-Achse schneiden.

4. Der Abstand vom oberen zum unteren Extremum beträgt die halbe Periode der Funktion. Für jeden ist es bequemer, den Zeitraum aus dem Schnittpunkt des Diagramms mit der Y-Achse und dementsprechend der Nullmarke auf der X-Achse zu berechnen. Danach müssen Sie den resultierenden Wert mit zwei multiplizieren und erhalten die Pivot-Periode der Funktion.

5. Um das Zeichnen von Sinus- und Kosinuskurven zu erleichtern, müssen Sie beachten, dass sich die Periode einer Funktion mit einem ganzzahligen Wert verlängert (d. h. 2P muss mit diesem Indikator multipliziert werden) und die Grafik weicher und glatter aussieht ; und wenn die Zahl im Gegenteil gebrochen ist, nimmt sie ab und der Graph wird „schärfer“ und sieht sprunghafter aus.

Video zum Thema

Anweisungen

Am wenigsten positiv Zeitraum Kosinus ist auch gleich 2?. Betrachten Sie den Beweis hierfür anhand eines Beispiels Funktionen y=cos(x). Wenn T beliebig ist Zeitraum om Cosinus, dann cos(a+T)=cos(a). Für den Fall, dass a=0, gilt cos(T)=cos(0)=1. Vor diesem Hintergrund ist der kleinste positive Wert von T, bei dem cos(x) = 1 ist, 2?.

In Anbetracht der Tatsache, dass 2? – Zeitraum Sinus und Cosinus wird es auch sein Zeitraum Ohm-Kotangens sowie Tangens, aber nicht minimal, da wie , das kleinste Positive Zeitraum Tangens und Kotangens sind gleich?. Sie können dies überprüfen, indem Sie Folgendes berücksichtigen: Die Punkte, die (x) und (x+?) auf dem trigonometrischen Kreis entsprechen, haben diametral entgegengesetzte Positionen. Der Abstand von Punkt (x) zu Punkt (x+2?) entspricht einem halben Kreis. Per Definition von Tangens und Kotangens ist tg(x+?)=tgx und ctg(x+?)=ctgx, was das kleinste Positive bedeutet Zeitraum Kotangens und ?.

beachten Sie

Verwechseln Sie nicht die Funktionen y=cos(x) und y=sin(x) – da diese Funktionen die gleiche Periode haben, werden sie unterschiedlich dargestellt.

Hilfreicher Rat

Zeichnen Sie zur besseren Übersicht eine trigonometrische Funktion, für die die kleinste positive Periode berechnet wird.

Quellen:

Handbuch der Mathematik, Schulmathematik, Höhere Mathematik

Trigonometrisch Funktionen periodisch, das heißt, sie werden nach einer bestimmten Zeit wiederholt. Dadurch reicht es aus, die Funktion in diesem Intervall zu untersuchen und die gefundenen Eigenschaften auf alle anderen Perioden auszudehnen.

Anweisungen

Um die Periode einer trigonometrischen Funktion zu ermitteln, bewerten Sie die Parität der Potenz. Reduzierung der Regelfrist um die Hälfte. Wenn Sie beispielsweise die Funktion y=3 cos^2x erhalten, verringert sich die Standardperiode 2P um das Zweifache, sodass die Periode gleich P ist. Bitte beachten Sie, dass die Funktionen tg, ctg periodisch zu P zu jedem sind Grad.

Anweisungen

Wenn F(x) eine Funktion des Arguments x ist, dann heißt es periodisch, wenn es eine Zahl T gibt, so dass für jedes x F(x + T) = F(x). Diese Zahl T wird als Periode der Funktion bezeichnet.

Es kann mehrere Perioden geben. Beispielsweise nimmt die Funktion F = const für jeden Wert des Arguments denselben Wert an, und daher kann jede Zahl als ihre Periode betrachtet werden.

Mathematiker interessieren sich normalerweise für die kleinste von Null verschiedene Periode einer Funktion. Der Kürze halber wird es einfach als Periode bezeichnet.

Ein klassisches Beispiel für periodische Funktionen sind trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens. Ihre Periode ist gleich und gleich 2?, das heißt, sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) und so weiter. Allerdings sind trigonometrische Funktionen natürlich nicht die einzigen periodischen.

Bei einfachen Grundfunktionen lässt sich nur durch Berechnung feststellen, ob sie periodisch oder nichtperiodisch sind. Aber für komplexe Funktionen gibt es bereits einige einfache Regeln.

Wenn F(x) eine periodische Funktion mit der Periode T ist und für sie eine Ableitung definiert ist, dann ist diese Ableitung f(x) = F?(x) auch eine periodische Funktion mit der Periode T. Schließlich ist der Wert der Die Ableitung am Punkt x ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkelgraphen, seine Stammfunktion an diesem Punkt an die x-Achse, und da die Stammfunktion periodisch wiederholt wird, muss auch die Ableitung wiederholt werden. Beispielsweise ist die Ableitung der Funktion sin(x) gleich cos(x) und periodisch. Die Ableitung von cos(x) ergibt –sin(x). Die Frequenz bleibt unverändert.

Das Gegenteil ist jedoch nicht immer der Fall. Somit ist die Funktion f(x) = const periodisch, ihre Stammfunktion F(x) = const*x + C jedoch nicht.

Wenn F(x) eine periodische Funktion mit der Periode T ist, dann ist G(x) = a*F(kx + b), wobei a, b und k Konstanten sind und k ungleich Null ist, ebenfalls eine periodische Funktion , und seine Periode ist T/k. Beispielsweise ist sin(2x) eine periodische Funktion und ihre Periode ist gleich?. Dies lässt sich visuell wie folgt darstellen: Durch Multiplizieren von x mit einer Zahl scheint es, als würde man den Graphen der Funktion genau so oft horizontal komprimieren

Wenn F1(x) und F2(x) periodische Funktionen sind und ihre Perioden gleich T1 bzw. T2 sind, dann kann die Summe dieser Funktionen auch periodisch sein. Allerdings ist seine Periode keine einfache Summe der Perioden T1 und T2. Wenn das Ergebnis der Division T1/T2 eine rationale Zahl ist, dann ist die Summe der Funktionen periodisch und ihre Periode ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) der Perioden T1 und T2. Wenn beispielsweise die Periode der ersten Funktion 12 und die Periode der zweiten 15 beträgt, ist die Periode ihrer Summe gleich LCM (12, 15) = 60.

Dies lässt sich visuell wie folgt darstellen: Funktionen haben unterschiedliche „Schrittweiten“, aber wenn das Verhältnis ihrer Breiten rational ist, werden sie früher oder später (oder vielmehr genau durch das LCM der Schritte) wieder gleich, und Ihre Summe wird eine neue Periode beginnen.

Wenn das Verhältnis der Perioden jedoch irrational ist, ist die Gesamtfunktion überhaupt nicht periodisch. Sei beispielsweise F1(x) = x mod 2 (der Rest, wenn x durch 2 geteilt wird) und F2(x) = sin(x). T1 ist hier gleich 2 und T2 ist gleich 2?. Ist das Periodenverhältnis gleich? - eine irrationale Zahl. Daher ist die Funktion sin(x) + x mod 2 nicht periodisch.

Viele mathematische Funktionen haben eine Funktion, die ihre Konstruktion erleichtert: Periodizität, also die Wiederholbarkeit des Graphen auf einem Koordinatengitter in regelmäßigen Abständen.

Anweisungen

Die bekanntesten periodischen Funktionen in der Mathematik sind die Sinus- und Kosinusfunktionen. Diese Funktionen haben wellenförmigen Charakter und eine Hauptperiode von 2P. Ein Sonderfall einer periodischen Funktion ist auch f(x)=const. Für die Position x ist jede Zahl geeignet; diese Funktion hat keinen Hauptzeitraum, da es sich um eine Gerade handelt.

Im Allgemeinen ist eine Funktion periodisch, wenn es eine ganze Zahl N gibt, die ungleich Null ist und die Regel f(x)=f(x+N) erfüllt, wodurch Wiederholbarkeit gewährleistet ist. Die Periode einer Funktion ist die kleinste Zahl N, aber nicht Null. Das heißt, zum Beispiel ist die Funktion sin x gleich der Funktion sin (x+2ПN), wobei N=±1, ±2 usw.

Manchmal kann eine Funktion einen Multiplikator haben (z. B. sin 2x), der die Periode der Funktion erhöht oder verringert. Um den Zeitraum von zu finden Grafik, ist es notwendig, die Extrema der Funktion zu bestimmen – die höchsten und niedrigsten Punkte des Funktionsgraphen. Da Sinus- und Cosinuswellen einen wellenartigen Charakter haben, ist dies recht einfach zu bewerkstelligen. Konstruieren Sie von diesen Punkten aus senkrechte gerade Linien, bis sie die X-Achse schneiden.

Der Abstand vom oberen zum unteren Extremum beträgt die halbe Periode der Funktion. Am bequemsten berechnet man die Periode aus dem Schnittpunkt des Diagramms mit der Y-Achse und dementsprechend der Nullmarke auf der x-Achse. Danach müssen Sie den resultierenden Wert mit zwei multiplizieren und erhalten die Hauptperiode der Funktion.

Um die Konstruktion von Sinus- und Cosinus-Graphen zu vereinfachen, ist zu beachten, dass sich die Periode einer Funktion verlängert (d. h. 2P muss mit diesem Koeffizienten multipliziert werden) und der Graph weicher und glatter aussieht, wenn er einen ganzzahligen Wert hat Wenn die Zahl dagegen gebrochen ist, nimmt sie ab und das Diagramm wird „schärfer“ und sieht unruhiger aus.

Wie studiert man eine Funktion und erstellt ihren Graphen?

Es scheint, dass ich anfange, das spirituell aufschlussreiche Gesicht des Führers des Weltproletariats, des Autors gesammelter Werke in 55 Bänden, zu verstehen ... Die lange Reise begann mit grundlegenden Informationen über Funktionen und Graphen, und nun endet die Arbeit an einem arbeitsintensiven Thema mit einem logischen Ergebnis – einem Artikel über eine vollständige Untersuchung der Funktion. Die lang erwartete Aufgabe lautet wie folgt:

Untersuchen Sie eine Funktion mit Methoden der Differentialrechnung und erstellen Sie ihren Graphen basierend auf den Ergebnissen der Studie

Oder kurz gesagt: Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

Warum erkunden? In einfachen Fällen wird es für uns nicht schwierig sein, die Elementarfunktionen zu verstehen und einen mit erhaltenen Graphen zu zeichnen elementare geometrische Transformationen usw. Allerdings sind die Eigenschaften und grafischen Darstellungen komplexerer Funktionen alles andere als offensichtlich, weshalb eine umfassende Studie erforderlich ist.

Die Hauptschritte der Lösung sind im Referenzmaterial zusammengefasst Funktionsstudienplan, dies ist Ihr Leitfaden für diesen Abschnitt. Dummies brauchen eine Schritt-für-Schritt-Erklärung zu einem Thema, manche Leser wissen nicht, wo sie anfangen sollen oder wie sie ihre Recherche organisieren sollen und fortgeschrittene Studierende interessieren sich vielleicht nur für wenige Punkte. Aber wer auch immer Sie sind, lieber Besucher, die vorgeschlagene Zusammenfassung mit Hinweisen auf verschiedene Lektionen wird Ihnen schnell Orientierung geben und Sie in die Richtung führen, die Sie interessiert. Die Roboter vergossen Tränen =) Das Handbuch wurde als PDF-Datei angelegt und nahm seinen rechtmäßigen Platz auf der Seite ein Mathematische Formeln und Tabellen.

Ich bin es gewohnt, die Recherche einer Funktion in 5-6 Punkte zu unterteilen:

6) Zusätzliche Punkte und Grafik basierend auf den Forschungsergebnissen.

Was die letzte Aktion angeht, denke ich, dass jedem klar ist – es wird sehr enttäuschend sein, wenn sie innerhalb von Sekunden durchgestrichen wird und die Aufgabe zur Überarbeitung zurückgeschickt wird. Eine RICHTIGE UND GENAUE ZEICHNUNG ist das Hauptergebnis der Lösung! Es ist wahrscheinlich, dass dadurch analytische Fehler „vertuscht“ werden, während ein falscher und/oder nachlässiger Zeitplan selbst bei einer perfekt durchgeführten Studie zu Problemen führen wird.

Es ist zu beachten, dass in anderen Quellen die Anzahl der Forschungspunkte, die Reihenfolge ihrer Umsetzung und der Designstil erheblich von dem von mir vorgeschlagenen Schema abweichen können, in den meisten Fällen jedoch völlig ausreichend sind. Die einfachste Version des Problems besteht aus nur 2-3 Stufen und ist etwa so formuliert: „Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen“ oder „Untersuchen Sie die Funktion mit der 1. und 2. Ableitung, erstellen Sie einen Graphen.“

Wenn Ihr Handbuch einen anderen Algorithmus detailliert beschreibt oder Ihr Lehrer Sie strikt dazu auffordert, sich an seine Vorlesungen zu halten, müssen Sie natürlich einige Anpassungen an der Lösung vornehmen. Nicht schwieriger, als eine Kettensägengabel durch einen Löffel zu ersetzen.

Lassen Sie uns die Funktion auf gerade/ungerade prüfen:

Darauf folgt eine Musterantwort:
, was bedeutet, dass diese Funktion weder gerade noch ungerade ist.

Da die Funktion auf stetig ist, gibt es keine vertikalen Asymptoten.

Es gibt auch keine schrägen Asymptoten.

Notiz : Ich erinnere Sie daran, dass je höher Wachstumsordnung, als , daher ist die endgültige Grenze genau „ Plus Unendlichkeit."

Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält:

Mit anderen Worten: Gehen wir nach rechts, dann geht der Graph unendlich weit nach oben, gehen wir nach links, geht er unendlich weit nach unten. Ja, es gibt auch zwei Limits unter einem einzigen Eintrag. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, die Zeichen zu entziffern, besuchen Sie bitte die Lektion darüber Infinitesimalfunktionen.

Also die Funktion nicht von oben begrenzt Und nicht von unten begrenzt. Wenn man bedenkt, dass wir keine Haltepunkte haben, wird es klar Funktionsumfang: – auch jede reelle Zahl.

NÜTZLICHE TECHNISCHE TECHNIK

Jede Phase der Aufgabe bringt neue Informationen über den Graphen der Funktion Daher ist es praktisch, während der Lösung eine Art LAYOUT zu verwenden. Zeichnen wir ein kartesisches Koordinatensystem auf einem Entwurf. Was ist schon sicher bekannt? Erstens hat der Graph keine Asymptoten, daher besteht keine Notwendigkeit, gerade Linien zu zeichnen. Zweitens wissen wir, wie sich die Funktion im Unendlichen verhält. Basierend auf der Analyse ziehen wir eine erste Näherung:

Bitte beachten Sie, dass aufgrund Kontinuität Funktion ein und die Tatsache, dass der Graph die Achse mindestens einmal kreuzen muss. Oder gibt es vielleicht mehrere Schnittpunkte?

3) Nullstellen der Funktion und Intervalle mit konstantem Vorzeichen.

Suchen wir zunächst den Schnittpunkt des Diagramms mit der Ordinatenachse. Das ist einfach. Es ist notwendig, den Wert der Funktion zu berechnen:

Eineinhalb über dem Meeresspiegel.

Um die Schnittpunkte mit der Achse (Nullstellen der Funktion) zu finden, müssen wir die Gleichung lösen, und hier erwartet uns eine unangenehme Überraschung:

Am Ende lauert ein freies Mitglied, was die Aufgabe deutlich erschwert.

Eine solche Gleichung hat mindestens eine reelle Wurzel, und meistens ist diese Wurzel irrational. Im schlimmsten Märchen warten die drei kleinen Schweinchen auf uns. Die Gleichung ist mit der sogenannten lösbar Cardano-Formeln, aber der Papierschaden ist mit fast der gesamten Studie vergleichbar. In diesem Zusammenhang ist es klüger, zu versuchen, mindestens einen auszuwählen, entweder mündlich oder in einem Entwurf. ganz Wurzel. Lassen Sie uns prüfen, ob diese Zahlen sind:
- ungeeignet;
- Es gibt!

Glück gehabt hier. Im Falle eines Misserfolgs können Sie auch testen, und wenn diese Zahlen nicht passen, dann befürchte ich, dass die Chance auf eine gewinnbringende Lösung der Gleichung sehr gering ist. Dann ist es besser, den Recherchepunkt ganz zu überspringen – vielleicht wird im letzten Schritt etwas klarer, wenn weitere Punkte durchbrochen werden. Und wenn die Wurzel(en) eindeutig „schlecht“ sind, dann ist es besser, über die Intervalle der Zeichenkonstanz bescheiden zu schweigen und sorgfältiger zu zeichnen.

Allerdings haben wir eine schöne Wurzel, also dividieren wir das Polynom ohne Rest:

Der Algorithmus zum Teilen eines Polynoms durch ein Polynom wird im ersten Beispiel der Lektion ausführlich besprochen Komplexe Grenzen.

Als Ergebnis die linke Seite der ursprünglichen Gleichung zerfällt in das Produkt:

Und jetzt ein wenig über einen gesunden Lebensstil. Das verstehe ich natürlich quadratische Gleichungen muss jeden Tag gelöst werden, aber heute machen wir eine Ausnahme: die Gleichung hat zwei echte Wurzeln.

Tragen wir die gefundenen Werte auf dem Zahlenstrahl ein Und Intervallmethode Definieren wir die Vorzeichen der Funktion:

Also in Abständen Der Zeitplan befindet sich
unterhalb der x-Achse und in den Abständen – oberhalb dieser Achse.

Die Ergebnisse ermöglichen es uns, unser Layout zu verfeinern, und die zweite Näherung des Diagramms sieht folgendermaßen aus:

Bitte beachten Sie, dass eine Funktion in einem Intervall mindestens ein Maximum und in einem Intervall mindestens ein Minimum haben muss. Wir wissen jedoch noch nicht, wie oft, wo und wann der Zeitplan wiederholt wird. Eine Funktion kann übrigens unendlich viele haben Extreme.

4) Zunehmende, abnehmende und Extrema der Funktion.

Lassen Sie uns kritische Punkte finden:

Diese Gleichung hat zwei echte Wurzeln. Setzen wir sie auf den Zahlenstrahl und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung:

Daher erhöht sich die Funktion um und verringert sich um .
An dem Punkt erreicht die Funktion ihr Maximum: .
An dem Punkt erreicht die Funktion ein Minimum: .

Festgelegte Fakten treiben unsere Vorlage in einen ziemlich starren Rahmen:

Es erübrigt sich zu erwähnen, dass die Differentialrechnung eine mächtige Sache ist. Lassen Sie uns endlich die Form des Diagramms verstehen:

5) Konvexität, Konkavität und Wendepunkte.

Finden wir die kritischen Punkte der zweiten Ableitung:

Definieren wir die Zeichen:

Der Graph der Funktion ist auf konvex und auf konkav. Berechnen wir die Ordinate des Wendepunkts: .

Fast alles ist klar geworden.

6) Es müssen noch zusätzliche Punkte gefunden werden, die Ihnen helfen, ein Diagramm genauer zu erstellen und einen Selbsttest durchzuführen. In diesem Fall gibt es nur wenige davon, aber wir werden sie nicht vernachlässigen:

Machen wir die Zeichnung:

Der Wendepunkt ist grün markiert, weitere Punkte sind mit Kreuzen markiert. Der Graph einer kubischen Funktion ist symmetrisch um seinen Wendepunkt, der immer genau in der Mitte zwischen Maximum und Minimum liegt.

Im Verlauf des Auftrags habe ich drei hypothetische Zwischenzeichnungen bereitgestellt. In der Praxis reicht es aus, ein Koordinatensystem zu zeichnen, die gefundenen Punkte zu markieren und nach jedem Forschungspunkt im Kopf abzuschätzen, wie der Graph der Funktion aussehen könnte. Für gut vorbereitete Studierende wird es nicht schwierig sein, eine solche Analyse allein im Kopf durchzuführen, ohne einen Entwurf einzubinden.

Um es selbst zu lösen:

Beispiel 2

Erkunden Sie die Funktion und erstellen Sie ein Diagramm.

Hier geht alles schneller und macht mehr Spaß, ein ungefähres Beispiel für den endgültigen Entwurf am Ende der Lektion.

Das Studium gebrochener rationaler Funktionen enthüllt viele Geheimnisse:

Beispiel 3

Verwenden Sie Methoden der Differentialrechnung, um eine Funktion zu untersuchen und basierend auf den Ergebnissen der Studie ihren Graphen zu erstellen.

Lösung: Die erste Stufe der Studie zeichnet sich durch nichts Auffälliges aus, mit Ausnahme einer Lücke im Definitionsbereich:

1) Die Funktion ist auf der gesamten Zahlengeraden außer dem Punkt definiert und stetig, Domain: .

, was bedeutet, dass diese Funktion weder gerade noch ungerade ist.

Es ist offensichtlich, dass die Funktion nicht periodisch ist.

Der Funktionsgraph stellt zwei kontinuierliche Zweige dar, die sich in der linken und rechten Halbebene befinden – dies ist vielleicht die wichtigste Schlussfolgerung aus Punkt 1.

2) Asymptoten, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen.

a) Unter Verwendung einseitiger Grenzwerte untersuchen wir das Verhalten der Funktion in der Nähe eines verdächtigen Punktes, an dem eindeutig eine vertikale Asymptote vorhanden sein sollte:

Tatsächlich bleiben die Funktionen bestehen endlose Lücke am Punkt
und die Gerade (Achse) ist vertikale Asymptote Grafik.

b) Prüfen wir, ob schräge Asymptoten existieren:

Ja, es ist gerade schräge Asymptote Grafiken, wenn.

Es macht keinen Sinn, die Grenzen zu analysieren, da bereits klar ist, dass die Funktion ihre schiefe Asymptote umfasst nicht von oben begrenzt Und nicht von unten begrenzt.

Der zweite Forschungspunkt lieferte viele wichtige Informationen über die Funktion. Machen wir eine grobe Skizze:

Schlussfolgerung Nr. 1 betrifft Intervalle mit konstantem Vorzeichen. Bei „minus unendlich“ liegt der Graph der Funktion deutlich unterhalb der x-Achse, bei „plus unendlich“ liegt er oberhalb dieser Achse. Darüber hinaus sagten uns die einseitigen Grenzen, dass sowohl links als auch rechts vom Punkt die Funktion ebenfalls größer als Null ist. Bitte beachten Sie, dass der Graph in der linken Halbebene die x-Achse mindestens einmal kreuzen muss. In der rechten Halbebene dürfen keine Nullstellen der Funktion vorhanden sein.

Schlussfolgerung Nr. 2 ist, dass die Funktion auf und links vom Punkt zunimmt (von unten nach oben geht). Rechts von diesem Punkt nimmt die Funktion ab (geht „von oben nach unten“). Der rechte Zweig des Graphen muss auf jeden Fall mindestens ein Minimum haben. Auf der linken Seite sind Extreme nicht garantiert.

Schlussfolgerung Nr. 3 liefert zuverlässige Informationen über die Konkavität des Graphen in der Nähe des Punktes. Zur Konvexität/Konkavität im Unendlichen können wir noch nichts sagen, da eine Linie sowohl von oben als auch von unten auf ihre Asymptote gedrückt werden kann. Im Allgemeinen gibt es derzeit eine analytische Möglichkeit, dies herauszufinden, aber die Form des Diagramms wird zu einem späteren Zeitpunkt klarer.

Warum so viele Wörter? Um nachfolgende Forschungspunkte zu kontrollieren und Fehler zu vermeiden! Weitere Berechnungen sollten den gezogenen Schlussfolgerungen nicht widersprechen.

3) Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion.

Der Graph der Funktion schneidet die Achse nicht.

Mit der Intervallmethode ermitteln wir die Vorzeichen:

, Wenn ;
, Wenn .

Die Ergebnisse dieses Punktes stimmen voll und ganz mit Schlussfolgerung Nr. 1 überein. Schauen Sie sich nach jeder Phase den Entwurf an, überprüfen Sie die Recherche gedanklich und vervollständigen Sie den Funktionsgraphen.

Im betrachteten Beispiel wird der Zähler Term für Term durch den Nenner dividiert, was der Differenzierung sehr zuträglich ist:

Tatsächlich wurde dies bereits beim Finden von Asymptoten getan.

- kritischer Punkt.

Definieren wir die Zeichen:

erhöht sich um und verringert sich um

An dem Punkt erreicht die Funktion ein Minimum: .

Auch zu Schlussfolgerung Nr. 2 gab es keine Unstimmigkeiten und höchstwahrscheinlich sind wir auf dem richtigen Weg.

Dies bedeutet, dass der Graph der Funktion über den gesamten Definitionsbereich konkav ist.

Großartig – und Sie müssen nichts zeichnen.

Es gibt keine Wendepunkte.

Die Konkavität steht im Einklang mit Schlussfolgerung Nr. 3 und weist außerdem darauf hin, dass sich der Graph der Funktion im Unendlichen (sowohl dort als auch dort) befindet höher seine schräge Asymptote.

6) Wir werden die Aufgabe gewissenhaft mit Zusatzpunkten versehen. Hier müssen wir hart arbeiten, da wir aus der Recherche nur zwei Punkte kennen.

Und ein Bild, das sich viele Menschen wahrscheinlich schon vor langer Zeit vorgestellt haben:

Bei der Ausführung der Aufgabe müssen Sie sorgfältig darauf achten, dass es keine Widersprüche zwischen den Phasen der Recherche gibt, aber manchmal ist die Situation dringend oder endet sogar verzweifelt in einer Sackgasse. Die Analysen „stimmen nicht überein“ – das ist alles. In diesem Fall empfehle ich eine Notfalltechnik: Wir finden so viele Punkte wie möglich, die zum Diagramm gehören (so viel Geduld wir haben), und markieren sie auf der Koordinatenebene. Eine grafische Analyse der gefundenen Werte verrät Ihnen in den meisten Fällen, wo wahr und wo falsch ist. Darüber hinaus kann das Diagramm mit einem Programm, beispielsweise in Excel, vorab erstellt werden (dies erfordert natürlich Kenntnisse).

Beispiel 4

Verwenden Sie Methoden der Differentialrechnung, um eine Funktion zu untersuchen und ihren Graphen zu erstellen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Darin wird die Selbstkontrolle durch die Parität der Funktion verbessert – der Graph ist symmetrisch um die Achse, und wenn in Ihrer Forschung etwas dieser Tatsache widerspricht, suchen Sie nach einem Fehler.

Eine gerade oder ungerade Funktion kann nur untersucht werden, indem die Symmetrie des Diagramms verwendet wird. Diese Lösung ist optimal, sieht aber meiner Meinung nach sehr ungewöhnlich aus. Persönlich schaue ich mir den gesamten Zahlenstrahl an, finde aber trotzdem nur auf der rechten Seite zusätzliche Punkte:

Beispiel 5

Führen Sie eine vollständige Untersuchung der Funktion durch und erstellen Sie ihren Graphen.

Lösung: Es wurde schwierig:

1) Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert und stetig: .

Dies bedeutet, dass diese Funktion ungerade ist, ihr Graph ist symmetrisch zum Ursprung.

Es ist offensichtlich, dass die Funktion nicht periodisch ist.

2) Asymptoten, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen.

Da die Funktion auf stetig ist, gibt es keine vertikalen Asymptoten

Für eine Funktion, die einen Exponenten enthält, ist dies typisch separate Beim Studium von „Plus“ und „Minus der Unendlichkeit“ wird unser Leben jedoch durch die Symmetrie des Graphen erleichtert – entweder gibt es sowohl links als auch rechts eine Asymptote, oder es gibt keine. Daher können beide unendlichen Grenzwerte unter einem einzigen Eintrag geschrieben werden. Während der Lösung verwenden wir Die Herrschaft von L'Hopital:

Die gerade Linie (Achse) ist die horizontale Asymptote des Diagramms bei .

Bitte beachten Sie, wie ich geschickt den vollständigen Algorithmus zum Finden der schrägen Asymptote vermieden habe: Der Grenzwert ist völlig zulässig und verdeutlicht das Verhalten der Funktion im Unendlichen, und die horizontale Asymptote wurde „als ob zur gleichen Zeit“ entdeckt.

Aus der Stetigkeit und der Existenz einer horizontalen Asymptote folgt, dass die Funktion Oben beschränkt Und nach unten begrenzt.

3) Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen, Intervalle mit konstantem Vorzeichen.

Auch hier kürzen wir die Lösung:
Der Graph verläuft durch den Ursprung.

Es gibt keine weiteren Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Darüber hinaus sind die Intervalle der Vorzeichenkonstanz offensichtlich und die Achse muss nicht gezeichnet werden: , was bedeutet, dass das Vorzeichen der Funktion nur von „x“ abhängt:
, Wenn ;
, Wenn .

4) Zunehmende, abnehmende Extrema der Funktion.

- kritische Punkte.

Die Punkte sind symmetrisch um Null, wie es sein sollte.

Bestimmen wir die Vorzeichen der Ableitung:

Die Funktion nimmt in jedem Intervall zu und in jedem Intervall ab

An dem Punkt erreicht die Funktion ihr Maximum: .

Aufgrund der Immobilie (die Kuriosität der Funktion) Das Minimum muss nicht berechnet werden:

Da die Funktion über das Intervall abnimmt, liegt der Graph offensichtlich bei „minus unendlich“. unter seine Asymptote. Über das Intervall nimmt auch die Funktion ab, hier ist jedoch das Gegenteil der Fall – nach Durchlaufen des Maximalpunktes nähert sich die Gerade der Achse von oben.

Aus dem oben Gesagten folgt auch, dass der Graph der Funktion bei „minus unendlich“ konvex und bei „plus unendlich“ konkav ist.

Nach diesem Studienpunkt wurde der Bereich der Funktionswerte gezeichnet:

Wenn Sie irgendwelche Punkte missverstehen, empfehle ich Ihnen noch einmal, Koordinatenachsen in Ihr Notizbuch zu zeichnen und mit einem Bleistift in der Hand jede Schlussfolgerung der Aufgabe noch einmal zu analysieren.

5) Konvexität, Konkavität, Knicke des Graphen.

- kritische Punkte.

Die Symmetrie der Punkte bleibt erhalten, und wir irren uns höchstwahrscheinlich nicht.

Definieren wir die Zeichen:

Der Graph der Funktion ist konvex und konkav auf .

Die Konvexität/Konkavität in den extremen Intervallen wurde bestätigt.

An allen kritischen Punkten gibt es Knicke im Diagramm. Lassen Sie uns die Ordinaten der Wendepunkte ermitteln und die Anzahl der Berechnungen erneut reduzieren, indem wir die Ungeradheit der Funktion verwenden: