Zahlen mit unterschiedlichen Potenzen und Basen dividieren. Regel zur Multiplikation von Potenzen mit unterschiedlichen Basen
Abschlussformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke sowie beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.
Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wann:
Operationen mit Abschlüssen.
1. Durch Multiplikation der Grade mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:
Bin·a n = a m + n .
2. Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert:
3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:
(a/b) n = a n /b n .
5. Bei der Potenzierung werden die Exponenten multipliziert:
(am) n = am n .
Jede obige Formel gilt in der Richtung von links nach rechts und umgekehrt.
Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operationen mit Wurzeln.
1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:
2. Die Wurzel eines Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Teilers der Wurzeln:
3. Bei der Potenzierung einer Wurzel reicht es aus, die Wurzelzahl auf diese Potenz zu erhöhen:
4. Wenn Sie den Wurzelgrad erhöhen N einmal und gleichzeitig einbauen N Die Potenz ist eine Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
5. Wenn Sie den Wurzelgrad reduzieren N Extrahieren Sie gleichzeitig die Wurzel N-te Potenz einer Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem nicht positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des nicht positiven Exponenten entspricht:
Formel Bin:a n =a m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, aber auch mit M< N.
Zum Beispiel. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Zur Formel Bin:a n =a m - n wurde fair, wann m=n, das Vorhandensein von Nullgrad ist erforderlich.
Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.
Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Grad mit gebrochenem Exponenten. Eine reelle Zahl erhöhen A bis zum Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad der M-te Potenz dieser Zahl A.
Im vorherigen Artikel haben wir erklärt, was Monome sind. In diesem Material werden wir uns mit der Lösung von Beispielen und Problemen befassen, in denen sie verwendet werden. Hier betrachten wir Aktionen wie Subtraktion, Addition, Multiplikation, Division von Monomen und deren Potenzierung mit einem natürlichen Exponenten. Wir zeigen, wie solche Operationen definiert sind, skizzieren die Grundregeln für ihre Umsetzung und was dabei herauskommen soll. Alle theoretischen Konzepte werden wie üblich anhand von Problembeispielen mit Lösungsbeschreibungen veranschaulicht.
Am bequemsten ist es, mit der Standardschreibweise von Monomen zu arbeiten, daher präsentieren wir alle Ausdrücke, die im Artikel verwendet werden, in Standardform. Sofern sie ursprünglich anders spezifiziert waren, empfiehlt es sich, sie zunächst in eine allgemeingültige Form zu bringen.
Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Monomen
Die einfachsten Operationen, die mit Monomen durchgeführt werden können, sind Subtraktion und Addition. Im Allgemeinen ist das Ergebnis dieser Aktionen ein Polynom (in einigen Sonderfällen ist auch ein Monom möglich).
Wenn wir Monome addieren oder subtrahieren, schreiben wir zunächst die entsprechende Summe und Differenz in der allgemein akzeptierten Form auf und vereinfachen dann den resultierenden Ausdruck. Wenn es ähnliche Begriffe gibt, müssen diese zitiert und die Klammern geöffnet werden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären.
Beispiel 1
Zustand: Führe die Addition der Monome − 3 x und 2, 72 x 3 y 5 z durch.
Lösung
Schreiben wir die Summe der Originalausdrücke auf. Fügen wir Klammern hinzu und setzen Sie ein Pluszeichen dazwischen. Wir erhalten Folgendes:
(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)
Wenn wir die Klammererweiterung durchführen, erhalten wir - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. Dies ist ein in Standardform geschriebenes Polynom, das das Ergebnis der Addition dieser Monome ist.
Antwort:(− 3 x) + (2,72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2,72 x 3 y 5 z.
Wenn wir drei, vier oder mehr Begriffe haben, führen wir diese Aktion genauso durch.
Beispiel 2
Zustand: Führen Sie die angegebenen Operationen mit Polynomen in der richtigen Reihenfolge durch
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Lösung
Beginnen wir mit dem Öffnen der Klammern.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Wir sehen, dass der resultierende Ausdruck vereinfacht werden kann, indem ähnliche Begriffe hinzugefügt werden:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Wir haben ein Polynom, das das Ergebnis dieser Aktion sein wird.
Antwort: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Im Prinzip können wir mit einigen Einschränkungen zwei Monome addieren und subtrahieren, sodass wir am Ende ein Monom erhalten. Dazu müssen Sie einige Bedingungen bezüglich Summanden und Subtraktionen von Monomen erfüllen. Wie das geht, verraten wir Ihnen in einem separaten Artikel.
Regeln für die Multiplikation von Monomen
Die Multiplikationsaktion erlegt den Faktoren keine Beschränkungen auf. Die zu multiplizierenden Monome müssen keine zusätzlichen Bedingungen erfüllen, damit das Ergebnis ein Monom ist.
Um eine Multiplikation von Monomen durchzuführen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:
- Schreiben Sie das Stück richtig auf.
- Erweitern Sie die Klammern im resultierenden Ausdruck.
- Wenn möglich, gruppieren Sie Faktoren mit denselben Variablen und numerischen Faktoren separat.
- Führen Sie die notwendigen Operationen mit Zahlen durch und wenden Sie die Eigenschaft der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen auf die verbleibenden Faktoren an.
Mal sehen, wie das in der Praxis umgesetzt wird.
Beispiel 3
Zustand: Multiplizieren Sie die Monome 2 x 4 y z und - 7 16 t 2 x 2 z 11.
Lösung
Beginnen wir mit der Komposition des Werkes.
Wir öffnen die Klammern darin und erhalten Folgendes:
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Alles, was wir tun müssen, ist, die Zahlen in der ersten Klammer zu multiplizieren und für die zweite die Potenzeigenschaft anzuwenden. Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
Antwort: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Wenn unsere Bedingung drei oder mehr Polynome enthält, multiplizieren wir sie mit genau demselben Algorithmus. Wir werden die Frage der Multiplikation von Monomen in einem separaten Material ausführlicher betrachten.
Regeln für die Potenzierung eines Monoms
Wir wissen, dass eine Potenz mit einem natürlichen Exponenten das Produkt einer bestimmten Anzahl identischer Faktoren ist. Ihre Anzahl wird durch die Zahl im Indikator angezeigt. Nach dieser Definition ist die Potenzierung eines Monoms gleichbedeutend mit der Multiplikation der angegebenen Anzahl identischer Monome. Mal sehen, wie es gemacht wird.
Beispiel 4
Zustand: Erhöhe das Monom − 2 · a · b 4 mit der Potenz 3 .
Lösung
Wir können die Potenzierung durch die Multiplikation von 3 Monomen − 2 · a · b 4 ersetzen. Schreiben wir es auf und erhalten die gewünschte Antwort:
(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12
Antwort:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
Was aber, wenn der Abschluss einen großen Indikator hat? Es ist unpraktisch, eine große Anzahl von Faktoren zu erfassen. Um ein solches Problem zu lösen, müssen wir dann die Eigenschaften eines Grades anwenden, nämlich die Eigenschaften eines Produktgrades und die Eigenschaften eines Grades in einem Grad.
Lösen wir das oben dargestellte Problem mit der angegebenen Methode.
Beispiel 5
Zustand: erhöhe − 2 · a · b 4 in die dritte Potenz.
Lösung
Wenn wir die Power-to-Degree-Eigenschaft kennen, können wir zu einem Ausdruck der folgenden Form übergehen:
(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .
Danach potenzieren wir - 2 und wenden die Eigenschaft von Potenzen auf Potenzen an:
(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
Antwort:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Der Potenzierung eines Monoms haben wir auch einen eigenen Artikel gewidmet.
Regeln für die Division von Monomen
Die letzte Operation mit Monomen, die wir in diesem Material untersuchen werden, ist die Division eines Monoms durch ein Monom. Als Ergebnis sollten wir einen rationalen (algebraischen) Bruch erhalten (in manchen Fällen ist es möglich, ein Monom zu erhalten). Lassen Sie uns gleich klarstellen, dass die Division durch Null-Monomin nicht definiert ist, da Division durch 0 nicht definiert ist.
Um eine Division durchzuführen, müssen wir die angegebenen Monome in Form eines Bruchs aufschreiben und diesen, wenn möglich, kürzen.
Beispiel 6
Zustand: Teile das Monom − 9 · x 4 · y 3 · z 7 durch − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .
Lösung
Beginnen wir damit, Monome in Bruchform zu schreiben.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Dieser Anteil kann reduziert werden. Nachdem wir diese Aktion ausgeführt haben, erhalten wir:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
Antwort:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
Die Bedingungen, unter denen wir durch Division von Monomen ein Monom erhalten, werden in einem separaten Artikel angegeben.
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In der letzten Videolektion haben wir gelernt, dass der Grad einer bestimmten Basis ein Ausdruck ist, der das Produkt der Basis selbst darstellt, gemessen in einem Betrag, der dem Exponenten entspricht. Lassen Sie uns nun einige der wichtigsten Eigenschaften und Wirkungsweisen von Kräften untersuchen.
Lassen Sie uns zum Beispiel zwei verschiedene Potenzen mit derselben Basis multiplizieren:
Lassen Sie uns dieses Werk in seiner Gesamtheit vorstellen:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Nachdem wir den Wert dieses Ausdrucks berechnet haben, erhalten wir die Zahl 32. Andererseits kann 32, wie aus demselben Beispiel hervorgeht, als das Produkt derselben Basis (zwei) dargestellt werden, das fünfmal genommen wird. Und tatsächlich, wenn man es mitzählt, dann:
Somit können wir zuversichtlich schlussfolgern, dass:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Diese Regel funktioniert aus allen Indikatoren und Gründen erfolgreich. Diese Eigenschaft der Potenzmultiplikation ergibt sich aus der Regel, dass die Bedeutung von Ausdrücken bei Transformationen in einem Produkt erhalten bleibt. Für jede Basis a ist das Produkt zweier Ausdrücke (a)x und (a)y gleich a(x + y). Mit anderen Worten: Wenn Ausdrücke mit derselben Basis erzeugt werden, hat das resultierende Monom einen Gesamtgrad, der durch Addition der Grade des ersten und des zweiten Ausdrucks gebildet wird.
Auch bei der Multiplikation mehrerer Ausdrücke funktioniert die vorgestellte Regel hervorragend. Die Hauptbedingung ist, dass alle die gleichen Grundlagen haben. Zum Beispiel:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Es ist unmöglich, mit zwei Elementen eines Ausdrucks Abstufungen zu addieren und überhaupt keine machtbasierten gemeinsamen Aktionen durchzuführen, wenn ihre Grundlagen unterschiedlich sind.
Wie unser Video zeigt, lassen sich die Regeln für die Addition von Potenzen in einem Produkt aufgrund der Ähnlichkeit der Prozesse Multiplikation und Division perfekt auf das Divisionsverfahren übertragen. Betrachten Sie dieses Beispiel:
Lassen Sie uns den Ausdruck Term für Term in seine vollständige Form umwandeln und die gleichen Elemente im Dividenden und Divisor reduzieren:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Das Endergebnis dieses Beispiels ist nicht so interessant, da bereits beim Lösen klar wird, dass der Wert des Ausdrucks gleich dem Quadrat von zwei ist. Und es sind zwei, die man erhält, indem man den Grad des zweiten Ausdrucks vom Grad des ersten abzieht.
Um den Grad des Quotienten zu bestimmen, ist es notwendig, den Grad des Divisors vom Grad des Dividenden abzuziehen. Die Regel funktioniert auf derselben Grundlage für alle ihre Werte und für alle Naturkräfte. In Form der Abstraktion haben wir:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Aus der Regel, identische Basen durch Grade zu dividieren, folgt die Definition für den Nullgrad. Offensichtlich sieht der folgende Ausdruck so aus:
(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0
Wenn wir die Division hingegen visueller durchführen, erhalten wir:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Beim Reduzieren aller sichtbaren Elemente eines Bruchs erhält man immer den Ausdruck 1/1, also eins. Daher wird allgemein angenommen, dass jede zur Nullpotenz erhobene Basis gleich eins ist:
Unabhängig vom Wert von a.
Es wäre jedoch absurd, wenn 0 (was bei jeder Multiplikation immer noch 0 ergibt) irgendwie gleich eins wäre, sodass ein Ausdruck der Form (0) 0 (null hoch null) einfach keinen Sinn ergibt und die Formel ( a) 0 = 1 füge eine Bedingung hinzu: „wenn a ungleich 0 ist.“
Lasst uns die Übung lösen. Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks ermitteln:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Da die Basis überall gleich ist und 34 beträgt, hat der Endwert die gleiche Basis mit einem Grad (gemäß den oben genannten Regeln):
Mit anderen Worten:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Antwort: Der Ausdruck ist gleich eins.
UnterrichtsinhalteWas ist ein Abschluss?
Grad ein Produkt mehrerer identischer Faktoren genannt. Zum Beispiel:
2 × 2 × 2
Der Wert dieses Ausdrucks ist 8
2 × 2 × 2 = 8
Die linke Seite dieser Gleichung kann verkürzt werden: Notieren Sie zunächst den Wiederholungsfaktor und geben Sie darüber an, wie oft er wiederholt wird. Der Wiederholungsmultiplikator beträgt in diesem Fall 2. Er wird dreimal wiederholt. Deshalb schreiben wir eine Drei über die beiden:
2 3 = 8
Dieser Ausdruck lautet wie folgt: „ zwei hoch dritte Potenz gleich acht“ oder " Die dritte Potenz von 2 ist 8.“
Häufiger wird die Kurzschreibweise zur Multiplikation identischer Faktoren verwendet. Daher müssen wir bedenken, dass es sich um eine Multiplikation mehrerer identischer Faktoren handelt, wenn über einer Zahl eine andere Zahl geschrieben wird.
Wenn beispielsweise der Ausdruck 5 3 gegeben ist, ist zu bedenken, dass dieser Ausdruck dem Schreiben von 5 × 5 × 5 entspricht.
Die Nummer, die sich wiederholt, wird angerufen Abschlussbasis. Im Ausdruck 5 3 ist die Basis der Potenz die Zahl 5.
Und die Zahl, die über der Zahl 5 steht, wird aufgerufen Exponent. Im Ausdruck 5 3 ist der Exponent die Zahl 3. Der Exponent gibt an, wie oft die Basis des Exponenten wiederholt wird. In unserem Fall wird Basis 5 dreimal wiederholt
Die Operation der Multiplikation identischer Faktoren wird aufgerufen durch Potenzierung.
Wenn Sie beispielsweise das Produkt von vier identischen Faktoren ermitteln müssen, von denen jeder gleich 2 ist, dann sagt man, dass die Zahl 2 ist zur vierten Potenz erhoben:
Wir sehen, dass die Zahl 2 hoch vier die Zahl 16 ist.
Beachten Sie, dass wir uns in dieser Lektion damit befassen Grad mit natürlichem Exponenten. Dies ist eine Art Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist. Denken Sie daran, dass natürliche Zahlen ganze Zahlen sind, die größer als Null sind. Zum Beispiel 1, 2, 3 und so weiter.
Im Allgemeinen sieht die Definition eines Grades mit natürlichem Exponenten wie folgt aus:
Grad von A mit natürlichem Indikator N ist ein Ausdruck der Form ein, was gleich dem Produkt ist N Faktoren, von denen jeder gleich ist A
Beispiele:
Sie sollten vorsichtig sein, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Oft multipliziert eine Person aus Unaufmerksamkeit die Basis des Exponenten mit dem Exponenten.
Beispielsweise ist die Zahl 5 hoch 2 das Produkt zweier Faktoren, von denen jeder gleich 5 ist. Dieses Produkt ist gleich 25
Stellen Sie sich nun vor, wir hätten versehentlich die Basis 5 mit dem Exponenten 2 multipliziert
Es ist ein Fehler aufgetreten, da die Zahl 5 hoch 10 nicht gleich 10 ist.
Zusätzlich sollte erwähnt werden, dass die Potenz einer Zahl mit Exponent 1 die Zahl selbst ist:
Beispielsweise ist die Zahl 5 hoch 1 die Zahl 5 selbst
Wenn also eine Zahl keinen Indikator hat, müssen wir davon ausgehen, dass der Indikator gleich eins ist.
Beispielsweise werden die Zahlen 1, 2, 3 ohne Exponenten angegeben, sodass ihre Exponenten gleich eins sind. Jede dieser Zahlen kann mit dem Exponenten 1 geschrieben werden
Und wenn Sie 0 potenzieren, erhalten Sie 0. Tatsächlich erhalten Sie nichts, egal wie oft Sie etwas mit sich selbst multiplizieren. Beispiele:
Und der Ausdruck 0 0 macht keinen Sinn. Aber in einigen Bereichen der Mathematik, insbesondere in der Analysis und der Mengenlehre, kann der Ausdruck 0 0 sinnvoll sein.
Lassen Sie uns zur Übung einige Beispiele für die Potenzierung von Zahlen lösen.
Beispiel 1. Erhöhen Sie die Zahl 3 in die zweite Potenz.
Die Zahl 3 hoch 2 ist das Produkt zweier Faktoren, die jeweils gleich 3 sind
3 2 = 3 × 3 = 9
Beispiel 2. Erhöhen Sie die Zahl 2 auf die vierte Potenz.
Die Zahl 2 hoch vier ist das Produkt von vier Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist
2 4 =2 × 2 × 2 × 2 = 16
Beispiel 3. Erhöhen Sie die Zahl 2 auf die dritte Potenz.
Die Zahl 2 hoch 3 ist das Produkt von drei Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist
2 3 =2 × 2 × 2 = 8
Erhöhen Sie die Zahl 10 auf die Potenz
Um die Zahl 10 zu potenzieren, genügt es, nach eins eine Anzahl Nullen hinzuzufügen, die dem Exponenten entspricht.
Erhöhen wir zum Beispiel die Zahl 10 auf die zweite Potenz. Zuerst notieren wir die Zahl 10 selbst und geben als Indikator die Zahl 2 an
10 2
Nun setzen wir ein Gleichheitszeichen, schreiben eine Eins und nach dieser Eins schreiben wir zwei Nullen, da die Anzahl der Nullen gleich dem Exponenten sein muss
10 2 = 100
Das bedeutet, dass die Zahl 10 hoch der zweiten Potenz die Zahl 100 ist. Dies liegt daran, dass die Zahl 10 hoch der zweiten Potenz das Produkt zweier Faktoren ist, die jeweils gleich 10 sind
10 2 = 10 × 10 = 100
Beispiel 2. Erhöhen wir die Zahl 10 auf die dritte Potenz.
In diesem Fall stehen nach der Eins drei Nullen:
10 3 = 1000
Beispiel 3. Erhöhen wir die Zahl 10 auf die vierte Potenz.
In diesem Fall stehen nach der Eins vier Nullen:
10 4 = 10000
Beispiel 4. Erhöhen wir die Zahl 10 auf die erste Potenz.
In diesem Fall steht nach der Eins eine Null:
10 1 = 10
Darstellung der Zahlen 10, 100, 1000 als Potenzen zur Basis 10
Um die Zahlen 10, 100, 1000 und 10000 als Potenz mit der Basis 10 darzustellen, müssen Sie die Basis 10 aufschreiben und als Exponent eine Zahl angeben, die der Anzahl der Nullen der ursprünglichen Zahl entspricht.
Stellen wir uns die Zahl 10 als Potenz mit der Basis 10 vor. Wir sehen, dass sie eine Null hat. Das bedeutet, dass die Zahl 10 als Potenz mit der Basis 10 als 10 1 dargestellt wird
10 = 10 1
Beispiel 2. Stellen wir uns die Zahl 100 als Potenz mit der Basis 10 vor. Wir sehen, dass die Zahl 100 zwei Nullen enthält. Das bedeutet, dass die Zahl 100 als Potenz mit der Basis 10 als 10 2 dargestellt wird
100 = 10 2
Beispiel 3. Stellen wir uns die Zahl 1.000 als Potenz mit der Basis 10 vor.
1 000 = 10 3
Beispiel 4. Stellen wir uns die Zahl 10.000 als Potenz mit der Basis 10 vor.
10 000 = 10 4
Eine negative Zahl potenzieren
Wenn eine negative Zahl potenziert wird, muss sie in Klammern gesetzt werden.
Erhöhen wir zum Beispiel die negative Zahl −2 auf die zweite Potenz. Die Zahl −2 hoch zweiter Potenz ist das Produkt zweier Faktoren, die jeweils gleich (−2) sind.
(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4
Wenn wir die Zahl −2 nicht in Klammern setzen würden, würde sich herausstellen, dass wir den Ausdruck −2 2 berechnen, der nicht gleich 4 . Der Ausdruck −2² ist gleich −4. Um zu verstehen, warum, lassen Sie uns einige Punkte ansprechen.
Wenn wir einer positiven Zahl ein Minus voranstellen, leisten wir damit eine Leistung Vorgang, bei dem der entgegengesetzte Wert angenommen wird.
Nehmen wir an, Sie erhalten die Zahl 2 und müssen die Gegenzahl finden. Wir wissen, dass das Gegenteil von 2 −2 ist. Mit anderen Worten: Um die Gegenzahl für 2 zu finden, setzen Sie einfach ein Minus vor diese Zahl. Das Einfügen eines Minus vor einer Zahl gilt in der Mathematik bereits als vollwertige Operation. Diese Operation wird, wie oben erwähnt, als Operation der Annahme des entgegengesetzten Wertes bezeichnet.
Im Fall des Ausdrucks −2 2 finden zwei Operationen statt: die Operation, den entgegengesetzten Wert zu nehmen und ihn zu potenzieren. Das Erhöhen auf eine Potenz hat eine höhere Priorität als das Nehmen des entgegengesetzten Wertes.
Daher wird der Ausdruck −2 2 in zwei Schritten berechnet. Zunächst wird die Potenzierungsoperation durchgeführt. In diesem Fall wurde die positive Zahl 2 in die zweite Potenz erhoben
Dann wurde der entgegengesetzte Wert angenommen. Dieser Gegenwert wurde für den Wert 4 gefunden. Und der Gegenwert für 4 ist −4
−2 2 = −4
Klammern haben die höchste Ausführungspriorität. Daher wird bei der Berechnung des Ausdrucks (−2) 2 zunächst der entgegengesetzte Wert genommen und dann die negative Zahl −2 in die zweite Potenz erhöht. Das Ergebnis ist eine positive Antwort von 4, da das Produkt negativer Zahlen eine positive Zahl ist.
Beispiel 2. Erhöhen Sie die Zahl −2 auf die dritte Potenz.
Die Zahl −2 hoch dritter Potenz ist das Produkt von drei Faktoren, von denen jeder gleich (−2) ist.
(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
Beispiel 3. Erhöhen Sie die Zahl −2 auf die vierte Potenz.
Die Zahl −2 hoch vier ist das Produkt von vier Faktoren, von denen jeder gleich (−2) ist.
(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
Es ist leicht zu erkennen, dass man beim Potenzieren einer negativen Zahl entweder eine positive oder eine negative Antwort erhalten kann. Das Vorzeichen der Antwort hängt vom Index des ursprünglichen Abschlusses ab.
Wenn der Exponent gerade ist, ist die Antwort positiv. Wenn der Exponent ungerade ist, ist die Antwort negativ. Zeigen wir dies am Beispiel der Zahl −3
Im ersten und dritten Fall war der Indikator seltsam Nummer, so lautete die Antwort Negativ.
Im zweiten und vierten Fall war der Indikator sogar Nummer, so lautete die Antwort positiv.
Beispiel 7. Erhöhen Sie −5 in die dritte Potenz.
Die Zahl −5 hoch dritter Potenz ist das Produkt von drei Faktoren, von denen jeder gleich −5 ist. Exponent 3 ist eine ungerade Zahl, daher können wir im Voraus sagen, dass die Antwort negativ sein wird:
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
Beispiel 8. Erhöhen Sie −4 in die vierte Potenz.
Die Zahl −4 hoch vier ist das Produkt von vier Faktoren, von denen jeder gleich −4 ist. Darüber hinaus ist Exponent 4 gerade, sodass wir im Voraus sagen können, dass die Antwort positiv sein wird:
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
Ausdruckswerte finden
Beim Ermitteln der Werte von Ausdrücken, die keine Klammern enthalten, wird zuerst die Potenzierung durchgeführt, gefolgt von Multiplikation und Division in der Reihenfolge, in der sie erscheinen, und dann von Addition und Subtraktion in der Reihenfolge, in der sie erscheinen.
Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2 + 5 2
Zunächst wird eine Potenzierung durchgeführt. In diesem Fall wird die Zahl 5 in die zweite Potenz erhöht – wir erhalten 25. Dann wird dieses Ergebnis zur Zahl 2 addiert
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
Beispiel 10. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −6 2 × (−12)
Zunächst wird eine Potenzierung durchgeführt. Beachten Sie, dass die Zahl −6 nicht in Klammern steht. Daher wird die Zahl 6 auf die zweite Potenz erhöht und dem Ergebnis ein Minus vorangestellt:
−6 2 × (−12) = −36 × (−12)
Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir −36 mit (−12) multiplizieren.
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
Beispiel 11. Finden Sie den Wert des Ausdrucks −3 × 2 2
Zunächst wird eine Potenzierung durchgeführt. Dann wird das resultierende Ergebnis mit der Zahl −3 multipliziert
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Wenn der Ausdruck Klammern enthält, müssen Sie zuerst die Operationen in diesen Klammern ausführen, dann die Potenzierung, dann die Multiplikation und Division und dann die Addition und Subtraktion.
Beispiel 12. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5
Zuerst führen wir die Aktionen in Klammern aus. Innerhalb der Klammern wenden wir die zuvor erlernten Regeln an, nämlich zuerst die Zahl 3 in die zweite Potenz zu erhöhen, dann 1 × 3 zu multiplizieren und dann die Ergebnisse der Potenzierung der Zahl 3 in die zweite Potenz und der Multiplikation mit 1 × 3 zu addieren . Als nächstes werden Subtraktion und Addition in der Reihenfolge durchgeführt, in der sie erscheinen. Lassen Sie uns die folgende Reihenfolge für die Ausführung der Aktion für den ursprünglichen Ausdruck festlegen:
(3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2
Beispiel 13. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2 × 5 3 + 5 × 2 3
Lassen Sie uns zunächst die Zahlen potenzieren, dann multiplizieren und die Ergebnisse addieren:
2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290
Identische Machttransformationen
An Potenzen können verschiedene Identitätstransformationen durchgeführt und dadurch vereinfacht werden.
Nehmen wir an, wir müssten den Ausdruck (2 3) 2 berechnen. In diesem Beispiel wird zwei hoch in die zweite Potenz erhöht. Mit anderen Worten, ein Grad wird auf einen anderen Grad angehoben.
(2 3) 2 ist das Produkt zweier Potenzen, von denen jede gleich 2 3 ist
Darüber hinaus ist jede dieser Potenzen das Produkt von drei Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist
Wir haben das Produkt 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 erhalten, was gleich 64 ist. Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks (2 3) 2 oder gleich 64 ist
Dieses Beispiel kann stark vereinfacht werden. Dazu kann man die Exponenten des Ausdrucks (2 3) 2 multiplizieren und dieses Produkt über die Basis 2 schreiben
Wir haben 2 6 erhalten. Zwei hoch sechs ist das Produkt von sechs Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist. Dieses Produkt ist gleich 64
Diese Eigenschaft funktioniert, weil 2 3 das Produkt von 2 × 2 × 2 ist, das wiederum zweimal wiederholt wird. Dann stellt sich heraus, dass Basis 2 sechsmal wiederholt wird. Von hier aus können wir schreiben, dass 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6 ist
Im Allgemeinen aus irgendeinem Grund A mit Indikatoren M Und N gilt folgende Gleichheit:
(ein)m = a n × m
Diese identische Transformation heißt eine Macht zu einer Macht erheben. Es kann so gelesen werden: „Bei der Potenzierung einer Potenz bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden multipliziert“ .
Nach der Multiplikation der Indikatoren erhält man einen weiteren Grad, dessen Wert ermittelt werden kann.
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (3 2) 2
In diesem Beispiel ist die Basis 3 und die Zahlen 2 und 2 sind Exponenten. Lassen Sie uns die Regel anwenden, eine Potenz zu einer Potenz zu erheben. Wir lassen die Basis unverändert und multiplizieren die Indikatoren:
Wir haben 3 4. Und die Zahl 3 hoch vier ist 81
Betrachten wir die verbleibenden Transformationen.
Potenzen multiplizieren
Um Potenzen zu multiplizieren, müssen Sie jede Potenz separat berechnen und die Ergebnisse multiplizieren.
Lassen Sie uns zum Beispiel 2 2 mit 3 3 multiplizieren.
2 2 ist die Zahl 4 und 3 3 ist die Zahl 27. Multiplizieren Sie die Zahlen 4 und 27, wir erhalten 108
2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108
In diesem Beispiel waren die Abschlussgrundlagen unterschiedlich. Wenn die Basen gleich sind, können Sie eine Basis notieren und die Summe der Indikatoren der ursprünglichen Grade als Indikator notieren.
Multiplizieren Sie beispielsweise 2 2 mit 2 3
In diesem Beispiel sind die Grundlagen für die Grade gleich. In diesem Fall können Sie eine Basis 2 aufschreiben und die Summe der Exponenten der Potenzen 2 2 und 2 3 als Exponenten aufschreiben. Mit anderen Worten: Lassen Sie die Basis unverändert und addieren Sie die Indikatoren der ursprünglichen Grade. Es wird so aussehen:
Wir haben 2 5 erhalten. Die Zahl 2 hoch fünf ist 32
Diese Eigenschaft funktioniert, weil 2 2 das Produkt von 2 × 2 und 2 3 das Produkt von 2 × 2 × 2 ist. Dann erhalten wir ein Produkt aus fünf identischen Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist. Dieses Produkt kann als 2 5 dargestellt werden
Im Allgemeinen für jeden A und Indikatoren M Und N es gilt folgende Gleichheit:
Diese identische Transformation heißt Grundeigenschaft des Grades. Es kann so gelesen werden: „ PBei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert.“ .
Beachten Sie, dass diese Transformation auf jede beliebige Gradzahl angewendet werden kann. Hauptsache, die Basis ist dieselbe.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks 2 1 × 2 2 × 2 3 ermitteln. Basis 2
Bei manchen Problemen kann es ausreichend sein, die entsprechende Transformation durchzuführen, ohne den endgültigen Grad zu berechnen. Das ist natürlich sehr praktisch, da die Berechnung großer Potenzen nicht so einfach ist.
Beispiel 1. Drücken Sie den Ausdruck 5 8 × 25 als Potenz aus
Bei diesem Problem müssen Sie sicherstellen, dass Sie anstelle des Ausdrucks 5 8 × 25 eine Potenz erhalten.
Die Zahl 25 kann als 5 2 dargestellt werden. Dann erhalten wir den folgenden Ausdruck:
In diesem Ausdruck können Sie die Grundeigenschaft des Grades anwenden – die Basis 5 unverändert lassen und die Exponenten 8 und 2 hinzufügen:
Schreiben wir die Lösung kurz auf:
Beispiel 2. Drücken Sie den Ausdruck 2 9 × 32 als Potenz aus
Die Zahl 32 kann als 2 5 dargestellt werden. Dann erhalten wir den Ausdruck 2 9 × 2 5. Als nächstes können Sie die Basiseigenschaft des Grades anwenden – Basis 2 unverändert lassen und die Exponenten 9 und 5 hinzufügen. Das Ergebnis wird die folgende Lösung sein:
Beispiel 3. Berechnen Sie das 3 × 3-Produkt mithilfe der Grundeigenschaft der Potenzen.
Jeder weiß genau, dass drei mal drei neun ergibt, aber das Problem erfordert die Verwendung der Grundeigenschaft der Grade bei der Lösung. Wie kann man das machen?
Wir erinnern daran, dass, wenn eine Zahl ohne Indikator angegeben wird, der Indikator als gleich eins betrachtet werden muss. Daher können die Faktoren 3 und 3 als 3 1 und 3 1 geschrieben werden
3 1 × 3 1
Lassen Sie uns nun die Grundeigenschaft des Grades verwenden. Wir lassen Basis 3 unverändert und addieren die Indikatoren 1 und 1:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
Beispiel 4. Berechnen Sie das Produkt 2 × 2 × 3 2 × 3 3 mithilfe der Grundeigenschaft der Potenzen.
Wir ersetzen das Produkt 2 × 2 durch 2 1 × 2 1, dann durch 2 1 + 1 und dann durch 2 2. Ersetzen Sie das Produkt 3 2 × 3 3 durch 3 2 + 3 und dann durch 3 5
Beispiel 5. Führen Sie eine Multiplikation durch x × x
Dies sind zwei identische Buchstabenfaktoren mit Exponenten 1. Der Klarheit halber schreiben wir diese Exponenten auf. Als nächstes kommt die Basis X Lassen wir es unverändert und addieren die Indikatoren:
An der Tafel sollten Sie die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen nicht so detailliert aufschreiben wie hier. Solche Berechnungen müssen im Kopf durchgeführt werden. Eine detaillierte Notiz wird den Lehrer höchstwahrscheinlich irritieren und er wird die Note dafür herabsetzen. Hier erfolgt eine ausführliche Aufzeichnung, um den Stoff so leicht verständlich wie möglich zu machen.
Es empfiehlt sich, die Lösung zu diesem Beispiel wie folgt zu schreiben:
Beispiel 6. Führen Sie eine Multiplikation durch X 2 × x
Der Exponent des zweiten Faktors ist gleich eins. Der Klarheit halber schreiben wir es auf. Als nächstes lassen wir die Basis unverändert und addieren die Indikatoren:
Beispiel 7. Führen Sie eine Multiplikation durch j 3 j 2 j
Der Exponent des dritten Faktors ist gleich eins. Der Klarheit halber schreiben wir es auf. Als nächstes lassen wir die Basis unverändert und addieren die Indikatoren:
Beispiel 8. Führen Sie eine Multiplikation durch aa 3 a 2 a 5
Der Exponent des ersten Faktors ist gleich eins. Der Klarheit halber schreiben wir es auf. Als nächstes lassen wir die Basis unverändert und addieren die Indikatoren:
Beispiel 9. Stellen Sie die Potenz 3 8 als Produkt von Potenzen mit gleichen Basen dar.
Bei diesem Problem müssen Sie ein Produkt von Potenzen erstellen, dessen Basen gleich 3 sind und deren Exponentensumme gleich 8 ist. Es können beliebige Indikatoren verwendet werden. Stellen wir uns die Potenz 3 8 als Produkt der Potenzen 3 5 und 3 3 dar
In diesem Beispiel haben wir uns erneut auf die Grundeigenschaft des Grades verlassen. Schließlich kann der Ausdruck 3 5 × 3 3 als 3 5 + 3 geschrieben werden, woraus 3 8 resultiert.
Natürlich war es möglich, die Potenz 3 · 8 als Produkt anderer Potenzen darzustellen. Zum Beispiel in der Form 3 7 × 3 1, da dieses Produkt auch gleich 3 8 ist
Einen Abschluss als Produkt von Kräften gleicher Grundlagen darzustellen, ist meist eine schöpferische Arbeit. Daher besteht kein Grund, Angst vor Experimenten zu haben.
Beispiel 10. Abschluss einreichen X 12 in Form verschiedener Potenzprodukte mit Basen X .
Lassen Sie uns die Grundeigenschaft der Grade nutzen. Stellen wir uns vor X 12 in Form von Produkten mit Basen X und die Summe der Indikatoren beträgt 12
Aus Gründen der Übersichtlichkeit wurden Konstrukte mit Summen von Indikatoren aufgezeichnet. Meistens können Sie sie überspringen. Dann erhalten Sie eine kompakte Lösung:
Steigerung zur Leistungsfähigkeit eines Produkts
Um ein Produkt zu potenzieren, müssen Sie jeden Faktor dieses Produkts auf die angegebene Potenz erhöhen und die Ergebnisse multiplizieren.
Erhöhen wir zum Beispiel das Produkt 2 × 3 in die zweite Potenz. Nehmen wir dieses Produkt in Klammern und geben 2 als Indikator an
Erhöhen wir nun jeden Faktor des 2 × 3-Produkts auf die zweite Potenz und multiplizieren wir die Ergebnisse:
Das Funktionsprinzip dieser Regel basiert auf der Definition des Grades, die ganz am Anfang gegeben wurde.
Das Erhöhen des Produkts 2 × 3 in die zweite Potenz bedeutet, dass das Produkt zweimal wiederholt wird. Und wenn Sie es zweimal wiederholen, können Sie Folgendes erhalten:
2 × 3 × 2 × 3
Durch eine Neuanordnung der Faktoren ändert sich das Produkt nicht. Dadurch können Sie ähnliche Faktoren gruppieren:
2 × 2 × 3 × 3
Wiederkehrende Faktoren können durch kurze Einträge ersetzt werden – Basen durch Indikatoren. Das Produkt 2 × 2 kann durch 2 2 ersetzt werden, und das Produkt 3 × 3 kann durch 3 2 ersetzt werden. Dann wird der Ausdruck 2 × 2 × 3 × 3 zum Ausdruck 2 2 × 3 2.
Lassen ab Originalarbeit. Ein bestimmtes Produkt auf eine Potenz bringen N, müssen Sie die Faktoren separat multiplizieren A Und B bis zum angegebenen Grad N
Diese Eigenschaft gilt für eine beliebige Anzahl von Faktoren. Es gelten auch folgende Ausdrücke:
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (2 × 3 × 4) 2
In diesem Beispiel müssen Sie das Produkt 2 × 3 × 4 auf die zweite Potenz erhöhen. Dazu müssen Sie jeden Faktor dieses Produkts auf die zweite Potenz erhöhen und die Ergebnisse multiplizieren:
Beispiel 3. Erhöhen Sie das Produkt auf die dritte Potenz a×b×c
Setzen wir dieses Produkt in Klammern und geben als Indikator die Zahl 3 an
Beispiel 4. Erhöhen Sie das Produkt 3 auf die dritte Potenz xyz
Setzen wir dieses Produkt in Klammern und geben als Indikator 3 an
(3xyz) 3
Erhöhen wir jeden Faktor dieses Produkts auf die dritte Potenz:
(3xyz) 3 = 3 3 X 3 j 3 z 3
Die Zahl 3 hoch drei entspricht der Zahl 27. Den Rest lassen wir unverändert:
(3xyz) 3 = 3 3 X 3 j 3 z 3 = 27X 3 j 3 z 3
In einigen Beispielen kann die Multiplikation von Potenzen mit demselben Exponenten durch das Produkt von Basen mit demselben Exponenten ersetzt werden.
Berechnen wir zum Beispiel den Wert des Ausdrucks 5 2 × 3 2. Erhöhen wir jede Zahl auf die zweite Potenz und multiplizieren wir die Ergebnisse:
5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225
Sie müssen aber nicht jeden Grad einzeln berechnen. Stattdessen kann dieses Potenzprodukt durch ein Produkt mit einem Exponenten (5 × 3) 2 ersetzt werden. Berechnen Sie als nächstes den Wert in Klammern und erhöhen Sie das Ergebnis auf die zweite Potenz:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
In diesem Fall wurde erneut die Potenzierungsregel eines Produkts angewendet. Immerhin, wenn (a×b)N = a n × b n , Das a n × b n = (a × b)n. Das heißt, die linke und rechte Seite der Gleichheit haben die Plätze getauscht.
Einen Grad zu einer Potenz erheben
Wir haben diese Transformation als Beispiel betrachtet, als wir versuchten, das Wesen identischer Gradtransformationen zu verstehen.
Bei der Potenzierung bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden multipliziert:
(ein)m = a n × m
Zum Beispiel ist der Ausdruck (2 3) 2 eine Potenz auf eine Potenz – zwei auf die dritte Potenz wird auf die zweite Potenz erhöht. Um den Wert dieses Ausdrucks zu ermitteln, kann die Basis unverändert bleiben und die Exponenten multipliziert werden:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Diese Regel basiert auf den vorherigen Regeln: Potenzierung des Produkts und der Grundeigenschaft des Grades.
Kehren wir zum Ausdruck (2 3) 2 zurück. Der Ausdruck in den Klammern 2 3 ist ein Produkt aus drei identischen Faktoren, von denen jeder gleich 2 ist. Dann kann im Ausdruck (2 3) die 2er-Potenz in den Klammern durch das Produkt 2 × 2 × 2 ersetzt werden.
(2 × 2 × 2) 2
Und das ist die Potenzierung des Produkts, das wir zuvor untersucht haben. Erinnern wir uns daran, dass Sie, um ein Produkt zu potenzieren, jeden Faktor eines bestimmten Produkts auf die angegebene Potenz erhöhen und die erhaltenen Ergebnisse multiplizieren müssen:
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2
Jetzt befassen wir uns mit der Grundeigenschaft des Grades. Wir lassen die Basis unverändert und addieren die Indikatoren:
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Nach wie vor erhielten wir 2 6. Der Wert dieses Abschlusses beträgt 64
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Ein Produkt, dessen Faktoren auch Potenzen sind, kann ebenfalls zu einer Potenz erhoben werden.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks (2 2 × 3 2) 3 ermitteln. Hierbei müssen die Indikatoren jedes Multiplikators mit dem Gesamtindikator 3 multipliziert werden. Ermitteln Sie als Nächstes den Wert jedes Grades und berechnen Sie das Produkt:
(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656
Ungefähr das Gleiche passiert, wenn ein Produkt auf eine Potenz gebracht wird. Wir sagten, dass bei der Potenzierung eines Produkts jeder Faktor dieses Produkts auf die angegebene Potenz erhöht wird.
Um beispielsweise das Produkt 2 × 4 in die dritte Potenz zu erhöhen, würden Sie den folgenden Ausdruck schreiben:
Früher wurde jedoch gesagt, dass, wenn eine Zahl ohne Indikator angegeben wird, der Indikator als gleich eins betrachtet werden muss. Es stellt sich heraus, dass die Faktoren des Produkts 2 × 4 zunächst Exponenten gleich 1 haben. Dies bedeutet, dass der Ausdruck 2 1 × 4 1 in die dritte Potenz erhoben wurde. Und das erhöht einen Grad um einen Grad.
Schreiben wir die Lösung unter Verwendung der Regel zur Potenzsteigerung um. Wir sollten das gleiche Ergebnis erhalten:
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks (3 3) 2
Wir lassen die Basis unverändert und multiplizieren die Indikatoren:
Wir haben 3 6. Die Zahl 3 hoch sechs ist die Zahl 729
Beispiel 3xy)³
Beispiel 4. Potenzierung im Ausdruck durchführen ( ABC)⁵
Erhöhen wir jeden Faktor des Produkts auf die fünfte Potenz:
Beispiel 5Axt) 3
Erhöhen wir jeden Faktor des Produkts auf die dritte Potenz:
Da die negative Zahl −2 in die dritte Potenz erhoben wurde, wurde sie in Klammern gesetzt.
Beispiel 6. Führen Sie eine Potenzierung im Ausdruck (10) durch xy) 2
Beispiel 7. Führen Sie eine Potenzierung im Ausdruck durch (−5 X) 3
Beispiel 8. Führen Sie eine Potenzierung im Ausdruck durch (−3 j) 4
Beispiel 9. Führen Sie eine Potenzierung im Ausdruck durch (−2 abx)⁴
Beispiel 10. Den Ausdruck vereinfachen X 5×( X 2) 3
Grad X Lassen wir 5 vorerst unverändert und im Ausdruck ( X 2) 3 Wir führen die Potenzerhöhung durch:
X 5 × (X 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6
Jetzt machen wir die Multiplikation X 5 × x 6. Dazu nutzen wir die Grundeigenschaft eines Grades – die Basis X Lassen wir es unverändert und addieren die Indikatoren:
X 5 × (X 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = X 5 + 6 = X 11
Beispiel 9. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 4 3 × 2 2 mithilfe der Grundeigenschaft der Potenz.
Die Grundeigenschaft eines Grades kann verwendet werden, wenn die Grundlagen der ursprünglichen Grade gleich sind. In diesem Beispiel sind die Basen unterschiedlich, daher müssen Sie zunächst den ursprünglichen Ausdruck ein wenig modifizieren, nämlich sicherstellen, dass die Basen der Potenzen gleich werden.
Schauen wir uns den Grad 4 3 genauer an. Die Basis dieses Grades ist die Zahl 4, die als 2 2 dargestellt werden kann. Dann nimmt der ursprüngliche Ausdruck die Form (2 2) 3 × 2 2 an. Indem wir die Potenz im Ausdruck (2 2) 3 potenzieren, erhalten wir 2 6. Dann nimmt der ursprüngliche Ausdruck die Form 2 6 × 2 2 an, die mithilfe der Grundeigenschaft der Potenz berechnet werden kann.
Schreiben wir die Lösung zu diesem Beispiel auf:
Aufteilung der Abschlüsse
Um eine Potenzteilung durchzuführen, müssen Sie den Wert jeder Potenz ermitteln und dann gewöhnliche Zahlen dividieren.
Teilen wir zum Beispiel 4 3 durch 2 2.
Berechnen wir 4 3, wir erhalten 64. Berechnen Sie 2 2, erhalten Sie 4. Teilen Sie nun 64 durch 4, erhalten Sie 16
Wenn sich bei der Division der Potenzen herausstellt, dass die Basen gleich sind, kann die Basis unverändert gelassen und der Exponent des Divisors vom Exponenten des Dividenden subtrahiert werden.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks 2 3: 2 2 ermitteln
Wir lassen die Basis 2 unverändert und subtrahieren den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden:
Dies bedeutet, dass der Wert des Ausdrucks 2 3: 2 2 gleich 2 ist.
Diese Eigenschaft basiert auf der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen oder, wie wir früher sagten, der Grundeigenschaft einer Potenz.
Kehren wir zum vorherigen Beispiel 2 3: 2 2 zurück. Hier beträgt der Dividend 2 3 und der Divisor 2 2.
Eine Zahl durch eine andere zu dividieren bedeutet, eine Zahl zu finden, deren Multiplikation mit dem Divisor den Dividenden ergibt.
In unserem Fall bedeutet die Division von 2 3 durch 2 2, eine Potenz zu finden, die, wenn sie mit dem Divisor 2 2 multipliziert wird, 2 3 ergibt. Welche Potenz kann mit 2 2 multipliziert werden, um 2 3 zu erhalten? Offensichtlich ist nur der Grad 2 1. Aus der Grundeigenschaft des Grades ergibt sich:
Sie können überprüfen, ob der Wert des Ausdrucks 2 3: 2 2 gleich 2 1 ist, indem Sie den Ausdruck 2 3: 2 2 selbst direkt berechnen. Dazu ermitteln wir zunächst den Wert der Potenz 2 3, wir erhalten 8. Dann finden wir den Wert der Potenz 2 2, wir erhalten 4. Teilen Sie 8 durch 4, wir erhalten 2 oder 2 1, da 2 = 2 1.
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
Bei der Potenzteilung mit gleichen Basen gilt also folgende Gleichheit:
Es kann auch vorkommen, dass nicht nur die Gründe, sondern auch die Indikatoren gleich sind. In diesem Fall wird die Antwort eins sein.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks 2 2: 2 2 ermitteln. Berechnen wir den Wert jedes Grades und dividieren die resultierenden Zahlen:
Bei der Lösung von Beispiel 2 2: 2 2 können Sie auch die Regel der Potenzteilung mit gleichen Basen anwenden. Das Ergebnis ist eine Zahl hoch null, da die Differenz der Exponenten der Potenzen 2 2 und 2 2 gleich Null ist:
Wir haben oben herausgefunden, warum die Zahl 2 hoch null gleich eins ist. Wenn Sie 2 2: 2 2 mit der üblichen Methode berechnen, ohne die Potenzteilungsregel anzuwenden, erhalten Sie eins.
Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 4 12: 4 10
Lassen wir 4 unverändert und subtrahieren wir den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Beispiel 3. Präsentieren Sie den Quotienten X 3: X in Form einer Macht mit einer Basis X
Lassen Sie uns die Potenzteilungsregel anwenden. Base X Lassen wir es unverändert und subtrahieren wir den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden. Der Divisorexponent ist gleich eins. Der Klarheit halber schreiben wir es auf:
Beispiel 4. Präsentieren Sie den Quotienten X 3: X 2 als Macht mit einer Basis X
Lassen Sie uns die Potenzteilungsregel anwenden. Base X
Die Gewaltenteilung kann als Bruch geschrieben werden. Das vorherige Beispiel kann also wie folgt geschrieben werden:
Zähler und Nenner eines Bruchs können in erweiterter Form geschrieben werden, nämlich in Form von Produkten identischer Faktoren. Grad X 3 kann geschrieben werden als x × x × x, und der Abschluss X 2 wie x × x. Dann das Design X 3 − 2 kann übersprungen und der Bruch gekürzt werden. Es wird möglich sein, zwei Faktoren im Zähler und Nenner zu reduzieren X. Dadurch bleibt ein Multiplikator übrig X
Oder noch kürzer:
Es ist auch nützlich, Brüche, die aus Potenzen bestehen, schnell reduzieren zu können. Beispielsweise kann ein Bruch um reduziert werden X 2. Einen Bruch um reduzieren X 2 Sie müssen den Zähler und den Nenner des Bruchs durch dividieren X 2
Die Einteilung der Abschlüsse muss nicht im Detail beschrieben werden. Die obige Abkürzung kann auch kürzer gemacht werden:
Oder noch kürzer:
Beispiel 5. Division durchführen X 12 : X 3
Lassen Sie uns die Potenzteilungsregel anwenden. Base X Lassen Sie es unverändert und subtrahieren Sie den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden:
Schreiben wir die Lösung mithilfe der Bruchreduktion. Aufteilung der Abschlüsse X 12 : X Schreiben wir 3 in das Formular. Als nächstes reduzieren wir diesen Bruch um X 3 .
Beispiel 6. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks
Im Zähler führen wir eine Potenzmultiplikation mit gleichen Basen durch:
Nun wenden wir die Regel zur Gewaltenteilung mit gleichen Basen an. Wir lassen die Basis 7 unverändert und subtrahieren den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Dividenden:
Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir die Potenz 7 2 berechnen
Beispiel 7. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks
Erhöhen wir die Potenz im Zähler. Sie müssen dies mit dem Ausdruck (2 3) 4 tun
Nun multiplizieren wir Potenzen mit den gleichen Basen im Zähler.
