செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறிதல். செயல்பாட்டு வரம்பு (செயல்பாடு மதிப்புகளின் தொகுப்பு)

ஒரு மாறி மற்றொன்றைச் சார்ந்திருப்பது அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டு சார்பு.சார்பு மாறி ஒய்மாறி இருந்து எக்ஸ்அழைக்கப்பட்டது செயல்பாடு, ஒவ்வொரு மதிப்பு என்றால் எக்ஸ்ஒற்றை மதிப்புடன் பொருந்துகிறது ஒய்.

பதவி:

மாறி எக்ஸ்சுயாதீன மாறி அல்லது வாதம், மற்றும் மாறி ஒய்- சார்ந்தது. என்று சொல்கிறார்கள் ஒய்ஒரு செயல்பாடு ஆகும் எக்ஸ். பொருள் ஒய், குறிப்பிட்ட மதிப்புக்கு தொடர்புடையது எக்ஸ், அழைக்கப்பட்டது செயல்பாட்டு மதிப்பு.

அது ஏற்றுக்கொள்ளும் அனைத்து மதிப்புகளும் எக்ஸ், வடிவம் ஒரு செயல்பாட்டின் களம்; அது எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளும் ஒய், வடிவம் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பு.

பதவிகள்:

D(f)- வாத மதிப்புகள். E(f)- செயல்பாட்டு மதிப்புகள். ஒரு செயல்பாடு ஒரு சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்டால், வரையறையின் டொமைன் இந்த சூத்திரம் அர்த்தமுள்ள மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்டதாகக் கருதப்படுகிறது.

செயல்பாட்டு வரைபடம்ஆயத்தளத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அதன் அப்சிசாஸ்கள் வாதத்தின் மதிப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் அதன் ஆர்டினேட்டுகள் செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய மதிப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும். சில மதிப்பு என்றால் x=x 0பல மதிப்புகளுடன் பொருந்துகிறது (ஒன்று மட்டுமல்ல) ஒய், அப்படியான ஒரு கடிதப் பரிமாற்றம் ஒரு செயல்பாடு அல்ல. ஒரு ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் தொகுப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வரைபடமாக இருக்க, Oy அச்சுக்கு இணையான எந்த நேர்கோடும் வரைபடத்துடன் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட புள்ளியில் வெட்டுவது அவசியம் மற்றும் போதுமானது.

ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடுவதற்கான முறைகள்

1) செயல்பாட்டை அமைக்கலாம் பகுப்பாய்வு ரீதியாகஒரு சூத்திரத்தின் வடிவத்தில். உதாரணத்திற்கு,

2) செயல்பாட்டை பல ஜோடிகளின் அட்டவணை மூலம் குறிப்பிடலாம் (x; y).

3) செயல்பாட்டை வரைபடமாக குறிப்பிடலாம். மதிப்பு ஜோடிகள் (x; y)ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் சித்தரிக்கப்படுகின்றன.

செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி

செயல்பாடு f(x)அழைக்கப்பட்டது அதிகரித்து வருகிறதுகொடுக்கப்பட்ட எண் இடைவெளியில், வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் பெரிய மதிப்புடன் ஒத்திருந்தால். ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி வரைபடத்தில் இடமிருந்து வலமாக நகர்கிறது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். பின்னர் புள்ளி வரைபடத்தில் "ஏற" போல் தோன்றும்.

செயல்பாடு f(x)அழைக்கப்பட்டது குறைகிறதுகொடுக்கப்பட்ட எண் இடைவெளியில், வாதத்தின் பெரிய மதிப்பு செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்புடன் ஒத்திருந்தால். ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளி வரைபடத்தில் இடமிருந்து வலமாக நகர்கிறது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். பின்னர் புள்ளி வரைபடத்தின் கீழே "உருட்டுவது" போல் தோன்றும்.

கொடுக்கப்பட்ட எண் இடைவெளியில் மட்டுமே அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது சலிப்பானஇந்த இடைவெளியில்.

செயல்பாட்டின் பூஜ்ஜியங்கள் மற்றும் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகள்

மதிப்புகள் எக்ஸ், எதில் y=0, அழைக்கப்பட்டது செயல்பாடு பூஜ்ஜியங்கள். இவை ஆக்ஸ் அச்சுடன் செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளின் அப்சிசாஸ் ஆகும்.

மதிப்புகளின் அத்தகைய வரம்புகள் எக்ஸ், இதில் செயல்பாடு மதிப்புகள் ஒய்நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை மட்டுமே அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் நிலையான அடையாளத்தின் இடைவெளிகள்.

சம மற்றும் ஒற்றைப்படை செயல்பாடுகள்

செயல்பாடு கூட
1) வரையறையின் டொமைன் புள்ளியை (0; 0) பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும், அதாவது புள்ளி என்றால் அவரையறையின் களத்தைச் சேர்ந்தது, பின்னர் புள்ளி -அவரையறையின் களத்திற்கும் சொந்தமானது.
2) எந்த மதிப்புக்கும் எக்ஸ் f(-x)=f(x)
3) சமச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் Oy அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது.

ஒற்றைப்படை செயல்பாடுபின்வரும் பண்புகள் உள்ளன:
1) வரையறையின் களமானது புள்ளியைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது (0; 0).
2) எந்த மதிப்புக்கும் எக்ஸ், வரையறை, சமத்துவம் என்ற களத்தைச் சேர்ந்தது f(-x)=-f(x)
3) ஒற்றைப்படை செயல்பாட்டின் வரைபடம் தோற்றம் (0; 0) தொடர்பாக சமச்சீராக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு செயல்பாடும் இரட்டை அல்லது ஒற்றைப்படை அல்ல. செயல்பாடுகள் பொதுவான பார்வைஇரட்டைப்படையோ அல்லது ஒற்றைப்படையோ இல்லை.

காலச் செயல்பாடுகள்

செயல்பாடு fஏதேனும் ஒரு எண் இருந்தால் அது காலமுறை என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ்சமத்துவம் என்ற வரையறையின் களத்திலிருந்து f(x)=f(x-T)=f(x+T). டிசெயல்பாட்டின் காலம்.

ஒவ்வொரு காலச் செயல்பாடும் எண்ணற்ற காலங்களைக் கொண்டுள்ளது. நடைமுறையில், சிறிய நேர்மறை காலம் பொதுவாக கருதப்படுகிறது.

காலச் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் காலத்திற்குச் சமமான இடைவெளிக்குப் பிறகு மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன. வரைபடங்களை உருவாக்கும்போது இது பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இன்று பாடத்தில் நாம் கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துக்களில் ஒன்றிற்கு திரும்புவோம் - செயல்பாட்டின் கருத்து; ஒரு செயல்பாட்டின் பண்புகளில் ஒன்றை - அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

வகுப்புகளின் போது

ஆசிரியர். சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​​​சில நேரங்களில் அது ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பதைக் கவனிக்கிறோம், அது நம்மை கடினமான சூழ்நிலைகளில் வைக்கிறது. ஏன்? 7 ஆம் வகுப்பிலிருந்து ஒரு செயல்பாட்டைப் படித்த எங்களுக்கு அதைப் பற்றி நிறைய தெரியும் என்று தோன்றுகிறது. எனவே, ஒரு செயலூக்கமான நகர்வை மேற்கொள்ள எங்களுக்கு எல்லா காரணங்களும் உள்ளன. வரவிருக்கும் தேர்வில் இந்த தலைப்பில் பல கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்க இன்று பல செயல்பாட்டு மதிப்புகளுடன் "விளையாடுவோம்".

அடிப்படை செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு

ஆசிரியர். முதலில், வரையறையின் முழு களத்திலும் அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள், சமன்பாடுகள் மற்றும் மதிப்புகளின் தொகுப்புகளை நீங்கள் மீண்டும் செய்ய வேண்டும்.

செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் திரையில் காட்டப்படுகின்றன: நேரியல், இருபடி, பகுதியளவு-பகுத்தறிவு, முக்கோணவியல், அதிவேக மற்றும் மடக்கை, அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் மதிப்புகளின் தொகுப்பு வாய்வழியாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. நேரியல் செயல்பாடு E(f) = என்பதற்கு மாணவர்களின் கவனத்தை ஈர்க்கவும் ஆர்அல்லது ஒரு எண், ஒரு பகுதி நேரியல்

இது எங்கள் எழுத்துக்கள். வரைபட மாற்றங்களைப் பற்றிய நமது அறிவைச் சேர்ப்பதன் மூலம்: இணை மொழிபெயர்ப்பு, நீட்சி, சுருக்கம், பிரதிபலிப்பு, முதல் பகுதியின் சிக்கல்களைத் தீர்க்க முடியும். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வு இன்னும் கொஞ்சம் கடினமானது. சரி பார்க்கலாம்.

சுதந்திரமான வேலை

யு ஒவ்வொரு மாணவருக்கும் சிக்கல் விதிமுறைகள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள் அச்சிடப்படுகின்றன.

1. வரையறையின் முழு டொமைனிலும் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்:

A) ஒய்= 3 பாவம் எக்ஸ் ;
b) ஒய் = 7 – 2 எக்ஸ் ;
V) ஒய்= –ஆர்க்கோஸ் ( எக்ஸ் + 5):
ஜி) ஒய்= | arctg எக்ஸ் |;
ஈ)

2. செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும் ஒய் = எக்ஸ்இடையில் 2 ஜே, என்றால்:

A) ஜே = ;
b) ஜே = [–1; 5).

3. செயல்பாட்டை பகுப்பாய்வு ரீதியாக வரையறுக்கவும் (ஒரு சமன்பாடு மூலம்), அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு:

1) ஈ(f(எக்ஸ்)) = (–∞ ; 2] மற்றும் f(எக்ஸ்) - செயல்பாடு

அ) இருபடி,
ஆ) மடக்கை,
c) ஆர்ப்பாட்டம்;

2) ஈ(f(எக்ஸ்)) = ஆர் \{7}.

ஒரு பணியைப் பற்றி விவாதிக்கும் போது 2சுயாதீனமான வேலை, y செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டி மற்றும் தொடர்ச்சியின் விஷயத்தில் மாணவர்களின் கவனத்தை ஈர்க்கவும்.=f(எக்ஸ்)ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில்[அ;பி],அதன் பல அர்த்தங்கள்-இடைவெளி,அதன் முனைகள் f இன் மதிப்புகள்(அ)மற்றும் எஃப்(பி).

பணிக்கான பதில் விருப்பங்கள் 3.

1.
A) ஒய் = –எக்ஸ் 2 + 2 , ஒய் = –(எக்ஸ் + 18) 2 + 2,
ஒய்= அ(எக்ஸ் – எக்ஸ் c) 2 + 2 மணிக்கு ஏ < 0.

b) ஒய்=–| பதிவு 8 எக்ஸ் | + 2,

V) ஒய் = –| 3 எக்ஸ் – 7 | + 2, ஒய் = –5 | எக்ஸ் | + 3.

2.
a) b)

V) ஒய் = 12 – 5எக்ஸ், எங்கே எக்ஸ் ≠ 1 .

வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்தி ஒரு செயல்பாட்டின் பல மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்

ஆசிரியர். 10 ஆம் வகுப்பில், செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை நம்பாமல், ஒரு பிரிவில் தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறிவதற்கும் அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறிவதற்குமான அல்காரிதத்தை நாங்கள் நன்கு அறிந்தோம். நாங்கள் இதை எப்படி செய்தோம் என்பதை நினைவில் கொள்கிறீர்களா? ( வழித்தோன்றலைப் பயன்படுத்துதல்.) இந்த அல்காரிதத்தை நினைவில் கொள்வோம் .

1. செயல்பாட்டை உறுதிப்படுத்தவும் ஒய் = f(எக்ஸ்) பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்டு தொடர்கிறது ஜே = [அ; பி]. 2. பிரிவின் முனைகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்: f(a) மற்றும் f(b). கருத்து. செயல்பாடு தொடர்ச்சியானது மற்றும் ஒரே மாதிரியானது என்பதை நாம் அறிந்தால் ஜே, நீங்கள் உடனடியாக பதிலளிக்கலாம்: ஈ(f) = [f(அ); f(பி)] அல்லது ஈ(f) = [f(பி); f(ஏ)]. 3. வழித்தோன்றல் மற்றும் முக்கிய புள்ளிகளைக் கண்டறியவும் x கேஜே. 4. முக்கியமான புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் f(x கே). 5. செயல்பாட்டு மதிப்புகளை ஒப்பிடுக f(அ), f(பி) மற்றும் f(x கே), செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுத்து பதிலைக் கொடுங்கள்: ஈ(f)= [fபெயர்; fநைப்].

இந்த அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவதில் உள்ள சிக்கல்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பதிப்புகளில் காணப்படுகின்றன. உதாரணமாக, 2008 இல் அத்தகைய பணி முன்மொழியப்பட்டது. நீங்கள் அதை தீர்க்க வேண்டும் வீடுகள் .

பணி C1.செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பைக் கண்டறியவும்

f(எக்ஸ்) = (0,5எக்ஸ் + 1) 4 – 50(0,5எக்ஸ் + 1) 2

மணிக்கு | எக்ஸ் + 1| ≤ 3.

ஒவ்வொரு மாணவருக்கும் வீட்டுப்பாட நிபந்தனைகள் அச்சிடப்பட்டுள்ளன .

சிக்கலான செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறிதல்

ஆசிரியர். எங்கள் பாடத்தின் முக்கிய பகுதி சிக்கலான செயல்பாடுகளைக் கொண்ட தரமற்ற சிக்கல்களாக இருக்கும், அவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் மிகவும் சிக்கலான வெளிப்பாடுகள். இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் நமக்குத் தெரியாது. எனவே, தீர்க்க, ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வரையறையைப் பயன்படுத்துவோம், அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் அவற்றின் கூடு கட்டும் வரிசையில் மாறிகளுக்கு இடையிலான சார்பு மற்றும் அவற்றின் மதிப்புகளின் வரம்பின் மதிப்பீடு (அவற்றின் மாற்றத்தின் இடைவெளி. மதிப்புகள்). இந்த வகையான சிக்கல்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வின் இரண்டாம் பகுதியில் காணப்படுகின்றன. சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

உடற்பயிற்சி 1.செயல்பாடுகளுக்கு ஒய் = f(எக்ஸ்) மற்றும் ஒய் = g(எக்ஸ்) ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை எழுதுங்கள் ஒய் = f(g(எக்ஸ்)) மற்றும் அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்:

A) f(எக்ஸ்) = –எக்ஸ் 2 + 2எக்ஸ் + 3, g(எக்ஸ்) = பாவம் எக்ஸ்;
b) f(எக்ஸ்) = –எக்ஸ் 2 + 2எக்ஸ் + 3, g(எக்ஸ்) = பதிவு 7 எக்ஸ்;
V) g(எக்ஸ்) = எக்ஸ் 2 + 1;
ஜி)

தீர்வு. a) சிக்கலான செயல்பாடு வடிவம் கொண்டது: ஒய்= – பாவம் 2 எக்ஸ்+ 2 பாவம் எக்ஸ் + 3.

ஒரு இடைநிலை வாதத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறது டி, இந்த செயல்பாட்டை நாம் இப்படி எழுதலாம்:

ஒய்= –டி 2 + 2டி+ 3, எங்கே டி= பாவம் எக்ஸ்.

உள் செயல்பாட்டில் டி= பாவம் எக்ஸ்வாதம் எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்கும், அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு பிரிவு [–1; 1].

எனவே, வெளிப்புற செயல்பாட்டிற்கு ஒய் = –டி 2 +2டி+ 3 அதன் வாதத்தின் மதிப்புகளை மாற்றுவதற்கான இடைவெளியைக் கண்டுபிடித்தோம் டி: டி[-1; 1]. செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பார்ப்போம் ஒய் = –டி 2 +2டி + 3.

இல் இருபடி செயல்பாடு என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம் டி[-1; 1] அதன் முனைகளில் சிறிய மற்றும் பெரிய மதிப்புகளை எடுக்கும்: ஒய்பெயர் = ஒய்(–1) = 0 மற்றும் ஒய்நைப் = ஒய்(1) = 4. மேலும் இந்தச் செயல்பாடு இடைவெளியில் தொடர்ந்து இருப்பதால் [–1; 1], பின்னர் அது அவற்றுக்கிடையேயான அனைத்து மதிப்புகளையும் ஏற்றுக்கொள்கிறது.

பதில்: ஒய் .

b) இந்த செயல்பாடுகளின் கலவையானது ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டிற்கு நம்மை அழைத்துச் செல்கிறது, இது ஒரு இடைநிலை வாதத்தை அறிமுகப்படுத்திய பிறகு, பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

ஒய்= –டி 2 + 2டி+ 3, எங்கே டி= பதிவு 7 எக்ஸ்,

செயல்பாடு டி= பதிவு 7 எக்ஸ்

எக்ஸ் (0; +∞ ), டி (–∞ ; +∞ ).

செயல்பாடு ஒய் = –டி 2 + 2டி+ 3 (வரைபடத்தைப் பார்க்கவும்) வாதம் டிஎந்த மதிப்புகளையும் எடுக்கும், மேலும் இருபடிச் சார்பு அனைத்து மதிப்புகளையும் 4 க்கு மேல் எடுக்காது.

பதில்: ஒய் (–∞ ; 4].

c) சிக்கலான செயல்பாடு பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

ஒரு இடைநிலை வாதத்தை அறிமுகப்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

எங்கே டி = எக்ஸ் 2 + 1.

உள் செயல்பாடு என்பதால் எக்ஸ் ஆர் , ஏ டி .

பதில்: ஒய் (0; 3].

ஈ) இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளின் கலவை நமக்கு ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டை அளிக்கிறது

என எழுதலாம்

அதை கவனி

எனவே, எப்போது

எங்கே கே Z , டி [–1; 0) (0; 1].

செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை வரைவதன் மூலம் இந்த மதிப்புகளுடன் நாம் பார்க்கிறோம் டி

ஒய்(–∞ ; –4] c ;

b) முழு வரையறை பகுதி முழுவதும்.

தீர்வு.முதலில், மோனோடோனிசிட்டிக்காக இந்த செயல்பாட்டை ஆராய்வோம். செயல்பாடு டி= arcctg எக்ஸ்- தொடர்ந்து மற்றும் குறைகிறது ஆர் மற்றும் அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு (0; π). செயல்பாடு ஒய்= பதிவு 5 டிஇடைவெளியில் (0; π) வரையறுக்கப்படுகிறது, இது தொடர்ந்து மற்றும் அதன் மீது அதிகரிக்கிறது. இதன் பொருள் இந்த சிக்கலான செயல்பாடு தொகுப்பில் குறைகிறது ஆர் . மேலும் இது, இரண்டு தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் கலவையாக, தொடர்ச்சியாக இருக்கும் ஆர் .

"a" சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

முழு எண் கோட்டிலும் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், அதன் எந்தப் பகுதியிலும், குறிப்பாக, கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். பின்னர் இந்த பிரிவில் இது மிகச்சிறிய மற்றும் பெரிய மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான அனைத்து மதிப்புகளையும் எடுக்கும்:

f(4) = பதிவு 5 arcctg 4.

இதன் விளைவாக வரும் மதிப்புகளில் எது பெரியது? ஏன்? மற்றும் மதிப்புகளின் தொகுப்பு என்னவாக இருக்கும்?

பதில்:

"b" சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

பதில்: மணிக்கு(–∞ ; பதிவு 5 π) முழு வரையறை பகுதியிலும்.

அளவுருவில் சிக்கல்

இப்போது படிவத்தின் அளவுருவுடன் ஒரு எளிய சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்க்க முயற்சிப்போம் f(எக்ஸ்) = அ, எங்கே f(எக்ஸ்) - பணி 4 இல் உள்ள அதே செயல்பாடு.

பணி 5.சமன்பாடு பதிவு 5 இன் வேர்களின் எண்ணிக்கையைத் தீர்மானிக்கவும் (arcctg எக்ஸ்) = ஏஒவ்வொரு அளவுரு மதிப்புக்கும் ஏ.

தீர்வு.நாம் ஏற்கனவே பணி 4 இல் காட்டியபடி, செயல்பாடு மணிக்கு= பதிவு 5(arcctg எக்ஸ்) - குறைகிறது மற்றும் தொடர்ந்து இயங்குகிறது ஆர் மற்றும் பதிவு 5 π ஐ விட குறைவான மதிப்புகளை எடுக்கும். பதில் சொல்ல இந்த தகவல் போதும்.

பதில்:என்றால் ஏ < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

என்றால் ஏ≥ பதிவு 5 π, பின்னர் வேர்கள் இல்லை.

ஆசிரியர். இன்று நாம் ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறிவது தொடர்பான சிக்கல்களைப் பார்த்தோம். இந்த வழியில், சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு புதிய முறையை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம் - மதிப்பீட்டு முறை, எனவே செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்பது உயர் மட்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையாக மாறியது. அவ்வாறு செய்யும்போது, ​​அத்தகைய சிக்கல்கள் எவ்வாறு கட்டமைக்கப்படுகின்றன மற்றும் ஒரு செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியின் பண்புகள் அவற்றின் தீர்வை எவ்வாறு எளிதாக்குகின்றன என்பதைப் பார்த்தோம்.

இன்று விவாதிக்கப்பட்ட பணிகளை இணைத்த தர்க்கம் உங்களை ஆச்சரியப்படுத்தியது அல்லது குறைந்தபட்சம் ஆச்சரியப்படுத்தியது என்று நான் நம்புகிறேன். இது வேறுவிதமாக இருக்க முடியாது: ஒரு புதிய சிகரத்திற்கு ஏறுவது யாரையும் அலட்சியமாக விடாது! அழகிய ஓவியங்கள், சிற்பங்கள் போன்றவற்றைக் கவனித்துப் பாராட்டுகிறோம். ஆனால் கணிதம் அதன் சொந்த அழகு, கவர்ச்சிகரமான மற்றும் மயக்கும் - தர்க்கத்தின் அழகு. கணிதவியலாளர்கள் ஒரு அழகான தீர்வு பொதுவாக சரியான தீர்வு என்று கூறுகிறார்கள், இது ஒரு சொற்றொடர் மட்டுமல்ல. இப்போது நீங்கள் அத்தகைய தீர்வுகளை நீங்களே கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இன்று அவற்றுக்கான பாதைகளில் ஒன்றை நாங்கள் சுட்டிக்காட்டியுள்ளோம். அதிர்ஷ்டம் உங்களுக்கு உரித்தாகட்டும்! மேலும் நினைவில் கொள்ளுங்கள்: நடப்பவர் சாலையில் தேர்ச்சி பெறுவார்!

செயல்பாடு என்பது மிக முக்கியமான கணிதக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும்.

வரையறை: ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பின் ஒவ்வொரு எண்ணும் x ஒரு ஒற்றை எண்ணுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால், இந்த தொகுப்பில் y(x) சார்பு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூறுகிறார்கள். இந்த வழக்கில், x சார்பு மாறி அல்லது வாதம் என்றும், y சார்பு மாறி அல்லது ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்பு அல்லது வெறுமனே ஒரு செயல்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

மாறி y என்பது x மாறியின் செயல்பாடு என்றும் கூறப்படுகிறது.

ஒரு எழுத்துடன் ஒரு பொருத்தத்தைக் குறிப்பதன் மூலம், எடுத்துக்காட்டாக f, எழுதுவது வசதியானது: y=f (x), அதாவது, y மதிப்பு x என்ற வாதத்தைப் பயன்படுத்தி f ஐப் பயன்படுத்தி பெறப்படுகிறது. (படிக்க: y என்பது x இன் f க்கு சமம்.) f (x) குறியீட்டானது x க்கு சமமான வாதத்தின் மதிப்புடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் குறிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1 செயல்பாடு y=2x 2 –6 சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்படட்டும். பிறகு f(x)=2x 2 –6 என்று எழுதலாம். x இன் மதிப்புகளுக்கு சமமான செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம், எடுத்துக்காட்டாக, 1; 2.5;–3; அதாவது, f(1), f(2.5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2.5)=2 2.5 2 –6=6.5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

y=f (x) வடிவத்தின் குறியீட்டில் f: g போன்றவற்றுக்குப் பதிலாக மற்ற எழுத்துக்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

வரையறை: ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைன் என்பது செயல்பாடு இருக்கும் x இன் அனைத்து மதிப்புகளும் ஆகும்.

ஒரு செயல்பாடு ஒரு சூத்திரத்தால் குறிப்பிடப்பட்டு அதன் வரையறையின் களம் குறிப்பிடப்படவில்லை என்றால், செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமானது சூத்திரம் அர்த்தமுள்ள வாதத்தின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்டதாகக் கருதப்படுகிறது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் டொமைன் என்பது வாதத்தின் அனைத்து மதிப்புகளாகும், அவை நம்மால் செய்ய முடியாத செயல்களைத் தவிர. இந்த நேரத்தில், இதுபோன்ற இரண்டு செயல்கள் மட்டுமே நமக்குத் தெரியும். நாம் பூஜ்ஜியத்தால் வகுக்க முடியாது மற்றும் எதிர்மறை எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்க முடியாது.

வரையறை: சார்பு மாறியின் அனைத்து மதிப்புகளும் செயல்பாட்டின் வரம்பாக அமைகின்றன.

ஒரு உண்மையான செயல்முறையை விவரிக்கும் ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமானது அதன் நிகழ்வின் குறிப்பிட்ட நிலைமைகளைப் பொறுத்தது. எடுத்துக்காட்டாக, வெப்ப வெப்பநிலை t இல் இரும்பு கம்பியின் நீளம் l இன் சார்பு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு l 0 என்பது கம்பியின் ஆரம்ப நீளம் மற்றும் நேரியல் விரிவாக்க குணகம் ஆகும். இந்த சூத்திரம் t இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். இருப்பினும், செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் l=g(t) என்பது பல பத்து டிகிரிகளின் இடைவெளியாகும், இதற்கு நேரியல் விரிவாக்க விதி செல்லுபடியாகும்.

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டு வரம்பை குறிப்பிடவும் y = arcsinx.

தீர்வு.

ஆர்க்சைனின் வரையறையின் களம் பிரிவு ஆகும் [-1; 1] . இந்த பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வழித்தோன்றல் அனைவருக்கும் சாதகமானது எக்ஸ்இடைவெளியில் இருந்து (-1; 1) , அதாவது, ஆர்க்சின் செயல்பாடு வரையறையின் முழு களத்திலும் அதிகரிக்கிறது. எனவே, இது எப்போது சிறிய மதிப்பை எடுக்கும் x = -1, மற்றும் மிகப் பெரியது x = 1.

ஆர்க்சைன் செயல்பாட்டின் வரம்பை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம் .

செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும் பிரிவில் .

தீர்வு.

கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பிரிவைச் சேர்ந்த தீவிர புள்ளிகளைத் தீர்மானிப்போம் :

பெரும்பாலும், சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் ஒரு பகுதியாக, வரையறை அல்லது ஒரு பிரிவில் ஒரு செயல்பாட்டின் பல மதிப்புகளை நாம் தேட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பல்வேறு வகையான ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும்போது, ​​வெளிப்பாடுகளை மதிப்பீடு செய்யும்போது இது செய்யப்பட வேண்டும்.

இந்த பொருளில், ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு என்ன என்பதை நாங்கள் உங்களுக்குச் சொல்வோம், அதைக் கணக்கிடக்கூடிய முக்கிய முறைகளைக் கொடுப்போம், மேலும் பல்வேறு அளவிலான சிக்கலான சிக்கல்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம். தெளிவுக்காக, தனிப்பட்ட ஏற்பாடுகள் வரைபடங்களுடன் விளக்கப்பட்டுள்ளன. இந்தக் கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பைப் பற்றிய விரிவான புரிதலைப் பெறுவீர்கள்.

அடிப்படை வரையறைகளுடன் ஆரம்பிக்கலாம்.

வரையறை 1

ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் y = f (x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு x அனைத்து மதிப்புகள் x ∈ X மீது மீண்டும் செய்யும் போது இந்த செயல்பாடு எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும்.

வரையறை 2

y = f (x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு என்பது x ∈ (f) வரம்பிலிருந்து x இன் மதிப்புகளைத் தேடும் போது எடுக்கக்கூடிய அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு பொதுவாக E (f) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பின் கருத்து எப்போதும் அதன் மதிப்புகளின் வரம்பிற்கு ஒத்ததாக இருக்காது என்பதை நினைவில் கொள்க. மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியும் போது x இன் மதிப்புகளின் இடைவெளி செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்துடன் ஒத்துப்போனால் மட்டுமே இந்த கருத்துக்கள் சமமாக இருக்கும்.

வலது பக்க y = f (x) வெளிப்பாட்டிற்கான மதிப்புகளின் வரம்பு மற்றும் x மாறியின் ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய மதிப்புகளின் வரம்பு ஆகியவற்றை வேறுபடுத்துவதும் முக்கியம். f (x) வெளிப்பாட்டிற்கான அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பு x இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமாக இருக்கும்.

சில எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டும் ஒரு எடுத்துக்காட்டு கீழே உள்ளது. நீல கோடுகள் செயல்பாட்டு வரைபடங்கள், சிவப்பு கோடுகள் அறிகுறிகளாகும், சிவப்பு புள்ளிகள் மற்றும் ஆர்டினேட் அச்சில் உள்ள கோடுகள் செயல்பாட்டு வரம்புகள்.

வெளிப்படையாக, ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பை O y அச்சில் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை முன்வைப்பதன் மூலம் பெறலாம். மேலும், இது ஒரு ஒற்றை எண் அல்லது எண்களின் தொகுப்பு, ஒரு பிரிவு, ஒரு இடைவெளி, ஒரு திறந்த கதிர், எண் இடைவெளிகளின் ஒன்றியம் போன்றவற்றைக் குறிக்கலாம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பை கண்டுபிடிப்பதற்கான முக்கிய வழிகளைப் பார்ப்போம்.

y = f (x) என்ற தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பை வரையறுப்பதன் மூலம் தொடங்குவோம். b ] . ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் ஒரு செயல்பாடு அதன் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்சத்தை அடைகிறது, அதாவது மிகப்பெரிய m a x x ∈ a ; b f (x) மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்பு m i n x ∈ a ; b f (x) . இதன் பொருள் நாம் m i n x ∈ a என்ற பகுதியைப் பெறுகிறோம்; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x), இது அசல் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். இந்த பிரிவில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டறிவதே நாம் செய்ய வேண்டியது.

ஆர்க்சைன் மதிப்புகளின் வரம்பைத் தீர்மானிக்க வேண்டிய ஒரு சிக்கலை எடுத்துக் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

நிலை:மதிப்புகளின் வரம்பைக் கண்டறியவும் y = a r c sin x .

தீர்வு

பொது வழக்கில், ஆர்க்சைனின் வரையறையின் டொமைன் பிரிவில் அமைந்துள்ளது [ - 1 ; 1 ] . அதில் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இடைவெளியில் அமைந்துள்ள x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் நேர்மறையாக இருக்கும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம் [ - 1 ; 1 ], அதாவது, வரையறையின் முழு டொமைன் முழுவதும், ஆர்க்சின் செயல்பாடு அதிகரிக்கும். இதன் பொருள் x - 1 க்கு சமமாக இருக்கும் போது சிறிய மதிப்பையும், x 1 க்கு சமமாக இருக்கும்போது மிகப்பெரிய மதிப்பையும் எடுக்கும்.

m i n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

எனவே, ஆர்க்சைன் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு E (a r c sin x) = - π 2 க்கு சமமாக இருக்கும்; π 2.

பதில்: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2

எடுத்துக்காட்டு 2

நிலை:கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 மதிப்புகளின் வரம்பை கணக்கிடவும் [1 ; 4 ] .

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் கணக்கிடுவது மட்டுமே நாம் செய்ய வேண்டும்.

தீவிர புள்ளிகளை தீர்மானிக்க, பின்வரும் கணக்கீடுகள் செய்யப்பட வேண்டும்:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 மற்றும் l மற்றும் 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 . 59 ∈ 1 ; 4

இப்போது பிரிவின் முனைகளில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் மற்றும் புள்ளிகள் x 2 = 15 - 33 8 ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

இதன் பொருள் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பு 117 - 165 33 512 பிரிவால் தீர்மானிக்கப்படும்; 32.

பதில்: 117 - 165 33 512 ; 32 .

y = f (x) என்ற தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பை இடைவெளியில் (a ; b) மற்றும் a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; +∞

மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய புள்ளிகளை நிர்ணயிப்பதன் மூலம் தொடங்குவோம், அதே போல் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் அதிகரிக்கும் மற்றும் குறைக்கும் இடைவெளிகள். இதற்குப் பிறகு, இடைவெளியின் முனைகளில் ஒரு பக்க வரம்புகள் மற்றும்/அல்லது முடிவிலியின் வரம்புகளை நாம் கணக்கிட வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் செயல்பாட்டின் நடத்தையை நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும். இதற்கு தேவையான அனைத்து தரவுகளும் எங்களிடம் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு 3

நிலை: y = 1 x 2 - 4 செயல்பாட்டின் வரம்பை இடைவெளியில் (- 2 ; 2) கணக்கிடவும்.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைத் தீர்மானிக்கவும்

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

இந்த கட்டத்தில்தான் செயல்பாட்டின் அடையாளம் மாறுகிறது மற்றும் வரைபடம் குறையத் தொடங்குகிறது என்பதால், அதிகபட்ச மதிப்பு 0 க்கு சமமாக உள்ளது. விளக்கப்படத்தைப் பார்க்கவும்:

அதாவது, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மதிப்பாக இருக்கும்.

இப்போது வலது பக்கத்தில் 2 மற்றும் இடது பக்கத்தில் + 2 -க்கு ஒரு x க்கான செயல்பாட்டின் நடத்தையை தீர்மானிக்கலாம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு பக்க வரம்புகளைக் காண்கிறோம்:

லிம் x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = லிம் x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ லிம் x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = லிம் x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

வாதம் - 2 இலிருந்து 0 ஆக மாறும்போது செயல்பாட்டு மதிப்புகள் கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து - 1 4 க்கு அதிகரிக்கும் என்று மாறிவிடும். வாதம் 0 இலிருந்து 2 ஆக மாறும்போது, ​​​​செயல்பாடு மதிப்புகள் மைனஸ் முடிவிலியை நோக்கி குறையும். இதன் விளைவாக, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு நமக்குத் தேவையான இடைவெளியில் இருக்கும் (-∞ ; - 1 4 ] .

பதில்: (- ∞ ; - 1 4 ] .

எடுத்துக்காட்டு 4

நிலை: கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் y = t g x மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கவும் - π 2; π 2.

தீர்வு

பொதுவான வழக்கில் தொடுகோட்டின் வழித்தோன்றல் - π 2; π 2 நேர்மறையாக இருக்கும், அதாவது செயல்பாடு அதிகரிக்கும். கொடுக்கப்பட்ட எல்லைகளுக்குள் செயல்பாடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதை இப்போது தீர்மானிக்கலாம்:

லிம் x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ லிம் x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

வாதம் - π 2 இலிருந்து π 2 ஆக மாறும்போது மைனஸ் இன்ஃபினிட்டியிலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளில் அதிகரிப்பைப் பெற்றோம், மேலும் இந்தச் செயல்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பு அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாக இருக்கும் என்று நாம் கூறலாம். .

பதில்: - ∞ ; + ∞ .

உதாரணம் 5

நிலை:இயற்கை மடக்கை செயல்பாட்டின் வரம்பைத் தீர்மானிக்கவும் y = ln x.

தீர்வு

இந்த செயல்பாடு D (y) = 0 வாதத்தின் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் அறிவோம்; +∞ கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக இருக்கும்: y " = ln x " = 1 x . இதன் பொருள் அதன் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது. அடுத்து, வாதம் 0 (வலது பக்கத்தில்) மற்றும் x முடிவிலிக்கு செல்லும் போது, ​​வழக்குக்கான ஒரு பக்க வரம்பை வரையறுக்க வேண்டும்:

லிம் x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

x இன் மதிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கூட்டல் முடிவிலிக்கு மாறும்போது செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து பிளஸ் முடிவிலிக்கு அதிகரிக்கும் என்பதைக் கண்டறிந்தோம். இதன் பொருள் அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு என்பது இயற்கை மடக்கை செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பாகும்.

பதில்:அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பு என்பது இயற்கை மடக்கை செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 6

நிலை: y = 9 x 2 + 1 செயல்பாட்டின் வரம்பை தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

இந்த செயல்பாடு x ஒரு உண்மையான எண் என வரையறுக்கப்படுகிறது. செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளையும், அதன் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளையும் கணக்கிடுவோம்:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

இதன் விளைவாக, x ≥ 0 என்றால் இந்த செயல்பாடு குறையும் என்று நாங்கள் தீர்மானித்தோம்; x ≤ 0 என்றால் அதிகரிக்கும்; இது அதிகபட்ச புள்ளி y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 க்கு சமமான மாறியைக் கொண்டுள்ளது.

முடிவிலியில் செயல்பாடு எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

லிம் x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 லிம் x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = +

இந்த வழக்கில் செயல்பாட்டு மதிப்புகள் அறிகுறியற்ற முறையில் 0 ஐ அணுகும் என்பது பதிவிலிருந்து தெளிவாகிறது.

சுருக்கமாக: வாதம் கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து பூஜ்ஜியத்திற்கு மாறும்போது, ​​செயல்பாட்டு மதிப்புகள் 0 முதல் 9 வரை அதிகரிக்கும். வாத மதிப்புகள் 0 இலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு மாறும்போது, ​​தொடர்புடைய செயல்பாட்டு மதிப்புகள் 9 முதல் 0 வரை குறையும். இதை படத்தில் காட்டியுள்ளோம்:

செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு E (y) = (0 ; 9 ] இடைவெளியாக இருக்கும் என்பதை இது காட்டுகிறது

பதில்: E (y) = (0 ; 9 ]

y = f (x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பை இடைவெளியில் தீர்மானிக்க வேண்டும் என்றால் [a ; b) , (a பிரச்சனைகள்.

ஆனால் ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் பல இடைவெளிகளின் ஒன்றியமாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இந்த இடைவெளிகளில் ஒவ்வொன்றிலும் மதிப்புகளின் தொகுப்புகளைக் கணக்கிட்டு அவற்றை இணைக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 7

நிலை: y = x x - 2 மதிப்புகளின் வரம்பு என்னவாக இருக்கும் என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

செயல்பாட்டின் வகுப்பினை 0 ஆக மாற்றக்கூடாது என்பதால், D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; +∞

முதல் பிரிவில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பை வரையறுப்பதன் மூலம் தொடங்குவோம் - ∞; 2, இது ஒரு திறந்த கற்றை. அதன் மீதான செயல்பாடு குறையும், அதாவது இந்தச் சார்பின் வழித்தோன்றல் எதிர்மறையாக இருக்கும் என்பது நமக்குத் தெரியும்.

லிம் x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ லிம் x → - ∞ x x - 2 = லிம் x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = லிம் → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

பின்னர், வாதம் கழித்தல் முடிவிலியை நோக்கி மாறும் சந்தர்ப்பங்களில், செயல்பாட்டு மதிப்புகள் அறிகுறியற்ற முறையில் 1 ஐ அணுகும். x இன் மதிப்புகள் கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து 2 ஆக மாறினால், மதிப்புகள் 1 இலிருந்து கழித்தல் முடிவிலிக்கு குறையும், அதாவது. இந்த பிரிவில் உள்ள செயல்பாடு இடைவெளியில் இருந்து மதிப்புகளை எடுக்கும் - ∞; 1 . செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அதை அடையவில்லை, ஆனால் அறிகுறியற்ற முறையில் மட்டுமே அணுகுவதால், எங்கள் கருத்தில் இருந்து ஒற்றுமையை விலக்குகிறோம்.

திறந்த கற்றை 2 க்கு; + ∞ நாங்கள் அதே செயல்களைச் செய்கிறோம். அதன் செயல்பாடும் குறைகிறது:

லிம் x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ லிம் x → + ∞ x x - 2 = லிம் x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = லிம் → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் தொகுப்பு 1 ஆல் தீர்மானிக்கப்படுகிறது; +∞ இதன் பொருள் நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு நமக்குத் தேவையான மதிப்புகளின் வரம்பு தொகுப்புகளின் ஒன்றியமாக இருக்கும் - ∞ ; 1 மற்றும் 1; +∞

பதில்: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; +∞

இதை வரைபடத்தில் காணலாம்:

ஒரு சிறப்பு வழக்கு கால செயல்பாடுகள். அவற்றின் மதிப்புகளின் வரம்பு இந்த செயல்பாட்டின் காலத்திற்கு ஒத்த இடைவெளியில் மதிப்புகளின் தொகுப்புடன் ஒத்துப்போகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 8

நிலை:சைன் y = sin x இன் மதிப்புகளின் வரம்பை தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

சைன் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடு மற்றும் அதன் காலம் 2 பை ஆகும். பிரிவு 0 ஐ எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்; 2 π மற்றும் அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு என்னவாக இருக்கும் என்பதைப் பார்க்கவும்.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0 க்குள்; 2 π செயல்பாட்டில் தீவிர புள்ளிகள் π 2 மற்றும் x = 3 π 2 இருக்கும். செயல்பாட்டு மதிப்புகள் அவற்றிலும், பிரிவின் எல்லைகளிலும் சமமாக இருக்கும் என்பதைக் கணக்கிடுவோம், பின்னர் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைத் தேர்வுசெய்க.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ நிமிடம் x ∈ 0 ; 2 π பாவம் x = பாவம் 3 π 2 = - 1, அதிகபட்சம் x ∈ 0; 2 π பாவம் x = பாவம் π 2 = 1

பதில்: E (sin x) = - 1 ; 1 .

சக்தி, அதிவேக, மடக்கை, முக்கோணவியல், தலைகீழ் முக்கோணவியல் போன்ற செயல்பாடுகளின் வரம்புகளை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்றால், அடிப்படை அடிப்படை செயல்பாடுகள் குறித்த கட்டுரையை மீண்டும் படிக்குமாறு நாங்கள் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறோம். நாங்கள் இங்கு முன்வைக்கும் கோட்பாடு, அங்கு கூறப்பட்ட மதிப்புகளை சரிபார்க்க அனுமதிக்கிறது. சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது அவை பெரும்பாலும் தேவைப்படுவதால் அவற்றைக் கற்றுக்கொள்வது நல்லது. அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரம்புகள் உங்களுக்குத் தெரிந்தால், வடிவியல் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அடிப்படைவற்றிலிருந்து பெறப்படும் செயல்பாடுகளின் வரம்புகளை எளிதாகக் கண்டறியலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 9

நிலை: y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 மதிப்புகளின் வரம்பை தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

0 முதல் பை வரையிலான பிரிவு ஆர்க் கொசைன் வரம்பு என்பதை நாம் அறிவோம். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், E (a r c cos x) = 0; π அல்லது 0 ≤ a r c cos x ≤ π . ஆர்க் கோசைனில் இருந்து r c cos x 3 + 5 π 7 செயல்பாட்டை O x அச்சில் நகர்த்துவதன் மூலமும் நீட்டுவதன் மூலமும் பெறலாம், ஆனால் அத்தகைய மாற்றங்கள் நமக்கு எதையும் தராது. இதன் பொருள் 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

சார்பு 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ஆர்டினேட் அச்சில் நீட்டுவதன் மூலம் ஆர்க் கொசைன் a r c cos x 3 + 5 π 7 ஐப் பெறலாம், அதாவது. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . இறுதி மாற்றம் என்பது O y அச்சில் 4 மதிப்புகள் மூலம் மாற்றமாகும். இதன் விளைவாக, இரட்டை சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம்:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

நமக்குத் தேவையான மதிப்புகளின் வரம்பு E (y) = - 4 க்கு சமமாக இருக்கும் என்பதைக் கண்டறிந்தோம்; 3 π - 4 .

பதில்: E (y) = - 4 ; 3 π - 4 .

விளக்கம் இல்லாமல் மற்றொரு உதாரணத்தை எழுதுவோம், ஏனென்றால் இது முந்தையதைப் போலவே உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 10

நிலை: y = 2 2 x - 1 + 3 செயல்பாட்டின் வரம்பு என்னவாக இருக்கும் என்பதைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள செயல்பாட்டை y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3 என மீண்டும் எழுதுவோம். ஒரு சக்தி செயல்பாட்டிற்கு y = x - 1 2 மதிப்புகளின் வரம்பு இடைவெளி 0 இல் வரையறுக்கப்படும்; + ∞, அதாவது. x - 1 2 > 0 . இந்த வழக்கில்:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

எனவே E(y) = 3; +∞

பதில்: E(y) = 3; +∞

இப்போது தொடர்ச்சியாக இல்லாத செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்று பார்ப்போம். இதைச் செய்ய, முழுப் பகுதியையும் இடைவெளிகளாகப் பிரித்து, ஒவ்வொன்றிலும் மதிப்புகளின் தொகுப்புகளைக் கண்டறிய வேண்டும், பின்னர் நாம் பெறுவதை இணைக்க வேண்டும். இதை நன்றாகப் புரிந்து கொள்ள, செயல்பாடு முறிவுப் புள்ளிகளின் முக்கிய வகைகளை மதிப்பாய்வு செய்யுமாறு நாங்கள் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 11

நிலை: y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3 செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டது< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. அதன் மதிப்புகளின் வரம்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு

இந்த செயல்பாடு x இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்படுகிறது. 3 மற்றும் 3 க்கு சமமான வாதத்தின் மதிப்புகளுடன் தொடர்ச்சிக்காக அதை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = லிம் x → - 3 (1) = - 1 ⇒ லிம் x → - 3 - 0 f (x) ≠ லிம் x → - 3 + 0 f (x)

வாதத்தின் மதிப்பு - 3 ஆக இருக்கும் போது முதல் வகையின் நீக்க முடியாத இடைநிறுத்தம் உள்ளது. நாம் அதை அணுகும்போது, ​​செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் - 2 பாவம் 3 2 - 4 க்கும், x வலதுபுறத்தில் - 3 க்கும் முனைகிறது, மதிப்புகள் - 1 ஆக இருக்கும்.

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

புள்ளி 3 இல் எங்களிடம் இரண்டாவது வகையின் நீக்க முடியாத இடைநிறுத்தம் உள்ளது. ஒரு செயல்பாடு அதை நோக்கிச் செல்லும் போது, ​​அதன் மதிப்புகள் - 1, வலதுபுறத்தில் உள்ள அதே புள்ளியை - கழித்தல் முடிவிலிக்கு அணுகும்.

இதன் பொருள் இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழு களமும் 3 இடைவெளிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

அவற்றில் முதலில், y = 2 sin x 2 - 4 செயல்பாடு கிடைத்தது. முதல் - 1 ≤ பாவம் x ≤ 1, நாம் பெறுகிறோம்:

1 ≤ பாவம் x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

அதாவது கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் (-∞ ;-3 ] செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பு [-6 ; 2 ] .

அரை இடைவெளியில் (- 3; 3 ], இதன் விளைவாக ஒரு நிலையான செயல்பாடு y = - 1. இதன் விளைவாக, இந்த வழக்கில் அதன் மதிப்புகளின் முழு தொகுப்பும் ஒரு எண்ணாக குறைக்கப்படும் - 1.

இரண்டாவது இடைவெளியில் 3 ; + ∞ எங்களிடம் y = 1 x - 3 செயல்பாடு உள்ளது. y " = - 1 (x - 3) 2 என்பதால் இது குறைகிறது< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

லிம் x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ லிம் x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

இதன் பொருள் x > 3க்கான அசல் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு 0 ஆகும்; +∞ இப்போது முடிவுகளை இணைப்போம்: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞

பதில்: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; +∞

தீர்வு வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது:

எடுத்துக்காட்டு 12

நிபந்தனை: y = x 2 - 3 e x செயல்பாடு உள்ளது. அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு

உண்மையான எண்களான அனைத்து வாத மதிப்புகளுக்கும் இது வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த செயல்பாடு எந்த இடைவெளியில் அதிகரிக்கும் மற்றும் எந்த இடைவெளியில் குறையும் என்பதை தீர்மானிப்போம்:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

x = - 1 மற்றும் x = 3 எனில் வழித்தோன்றல் 0 ஆக மாறும் என்பதை நாம் அறிவோம். இந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் அச்சில் வைப்போம், அதன் விளைவாக வரும் இடைவெளிகளில் வழித்தோன்றல் என்ன அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

செயல்பாடு (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) குறையும் மற்றும் [ - 1 ; 3]. குறைந்தபட்ச புள்ளி - 1, அதிகபட்சம் - 3.

இப்போது தொடர்புடைய செயல்பாட்டு மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

முடிவிலியில் செயல்பாட்டின் நடத்தையைப் பார்ப்போம்:

லிம் x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ லிம் x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 ∞ = e + ∞ = = லிம் x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = லிம் x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = லிம் x → + ∞ 2 x " (e x) x ∞ 1 " = 2 லிம் e x = 2 1 + ∞ = + 0

இரண்டாவது வரம்பை கணக்கிடுவதற்கு L'Hopital's விதி பயன்படுத்தப்பட்டது. எங்கள் தீர்வின் முன்னேற்றத்தை வரைபடத்தில் சித்தரிக்கலாம்.

வாதம் கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து - 1க்கு மாறும்போது செயல்பாட்டு மதிப்புகள் பிளஸ் இன்ஃபினிட்டியில் இருந்து - 2 இக்கு குறையும் என்பதைக் காட்டுகிறது. இது 3 இலிருந்து கூட்டல் முடிவிலிக்கு மாறினால், மதிப்புகள் 6 e - 3 இலிருந்து 0 ஆகக் குறையும், ஆனால் 0 ஐ அடையாது.

இவ்வாறு, E(y) = [ - 2 e ; +∞) .

பதில்: E(y) = [ - 2 e ; +∞)

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

பல சிக்கல்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் அல்லது வரையறையின் முழு டொமைன் முழுவதும் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பைத் தேடுவதற்கு நம்மை இட்டுச் செல்கின்றன. இத்தகைய பணிகளில் வெளிப்பாடுகளின் பல்வேறு மதிப்பீடுகள் மற்றும் சமத்துவமின்மைகளைத் தீர்ப்பது ஆகியவை அடங்கும்.

இந்த கட்டுரையில், ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பை வரையறுப்போம், அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், மேலும் எளிமையானது முதல் சிக்கலானது வரை எடுத்துக்காட்டுகளின் தீர்வை விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்வோம். அனைத்து பொருட்களும் தெளிவுக்காக வரைகலை விளக்கப்படங்களுடன் வழங்கப்படும். எனவே இந்த கட்டுரை ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்ற கேள்விக்கு விரிவான பதில்.

வரையறை.

X இடைவெளியில் y = f(x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்புஒரு செயல்பாட்டின் அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும், இது அனைத்தையும் மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் போது எடுக்கும்.

வரையறை.

செயல்பாட்டு வரம்பு y = f(x)ஒரு செயல்பாட்டின் அனைத்து மதிப்புகளின் தொகுப்பாகும், இது வரையறையின் டொமைனில் இருந்து அனைத்து x மீது மீண்டும் மீண்டும் செய்யும் போது எடுக்கும்.

செயல்பாட்டின் வரம்பு E(f) எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பு மற்றும் ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு ஆகியவை ஒன்றல்ல. y = f(x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியும் போது X இடைவெளியானது செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனுடன் ஒத்துப்போகும் பட்சத்தில், இந்தக் கருத்துகளை சமமானதாகக் கருதுவோம்.

மேலும், y=f(x) சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாட்டிற்கான செயல்பாட்டின் வரம்பை மாறி x உடன் குழப்ப வேண்டாம். f(x) வெளிப்பாட்டிற்கான x மாறியின் அனுமதிக்கப்பட்ட மதிப்புகளின் வரம்பு y=f(x) செயல்பாட்டின் வரையறையின் களமாகும்.

படம் பல எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகிறது.

செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் தடித்த நீலக் கோடுகளுடன் காட்டப்படுகின்றன, மெல்லிய சிவப்பு கோடுகள் அறிகுறிகளாகும், சிவப்பு புள்ளிகள் மற்றும் Oy அச்சில் உள்ள கோடுகள் தொடர்புடைய செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பைக் காட்டுகின்றன.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை y- அச்சில் முன்வைப்பதன் மூலம் ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு பெறப்படுகிறது. இது ஒரு ஒற்றை எண் (முதல் வழக்கு), எண்களின் தொகுப்பு (இரண்டாவது வழக்கு), ஒரு பிரிவு (மூன்றாவது வழக்கு), ஒரு இடைவெளி (நான்காவது வழக்கு), ஒரு திறந்த கதிர் (ஐந்தாவது வழக்கு), ஒரு யூனியன் (ஆறாவது வழக்கு) போன்றவையாக இருக்கலாம். .

ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பைக் கண்டறிய நீங்கள் என்ன செய்ய வேண்டும்?

எளிமையான வழக்குடன் ஆரம்பிக்கலாம்: பிரிவில் y = f(x) என்ற தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

ஒரு இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடு அதன் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச மதிப்புகளை அடைகிறது என்பது அறியப்படுகிறது. எனவே, பிரிவின் அசல் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு பிரிவாக இருக்கும் . இதன் விளைவாக, பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிவதில் எங்கள் பணி வருகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, ஆர்க்சைன் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

உதாரணமாக.

y = arcsinx செயல்பாட்டின் வரம்பைக் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு.

ஆர்க்சைனின் வரையறையின் பகுதி பிரிவு [-1; 1] . இந்த பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வழித்தோன்றல் அனைத்து x க்கும் இடைவெளியில் இருந்து நேர்மறையாக இருக்கும் (-1; 1), அதாவது ஆர்க்சின் செயல்பாடு வரையறையின் முழு களத்திலும் அதிகரிக்கிறது. இதன் விளைவாக, இது x = -1 இல் சிறிய மதிப்பையும், x = 1 இல் மிகப்பெரிய மதிப்பையும் எடுக்கும்.

ஆர்க்சைன் செயல்பாட்டின் வரம்பை நாங்கள் பெற்றுள்ளோம் .

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும் பிரிவில்.

தீர்வு.

கொடுக்கப்பட்ட பிரிவில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பிரிவைச் சேர்ந்த தீவிர புள்ளிகளைத் தீர்மானிப்போம்:

பிரிவின் முனைகளிலும் புள்ளிகளிலும் அசல் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம் :

எனவே, ஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு இடைவெளி ஆகும் .

ஒரு தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பை y = f(x) இடைவெளிகளில் (a; b) , .

முதலில், கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் செயல்பாட்டின் உச்சநிலை புள்ளிகள், செயல்பாட்டின் தீவிரம், அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவு ஆகியவற்றின் இடைவெளிகளை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். அடுத்து, இடைவெளியின் முனைகளிலும் (அல்லது) முடிவிலியின் வரம்புகளிலும் கணக்கிடுகிறோம் (அதாவது, இடைவெளியின் எல்லைகளில் அல்லது முடிவிலியில் செயல்பாட்டின் நடத்தையைப் படிக்கிறோம்). அத்தகைய இடைவெளியில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டறிய இந்தத் தகவல் போதுமானது.

உதாரணமாக.

இடைவெளியில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பை வரையறுக்கவும் (-2; 2) .

தீர்வு.

இடைவெளியில் (-2; 2) விழும் செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

புள்ளி x = 0 என்பது அதிகபட்ச புள்ளியாகும், ஏனெனில் வழித்தோன்றல் அதன் வழியாக செல்லும் போது கூட்டல் முதல் கழித்தல் வரை மாறுகிறது, மேலும் செயல்பாட்டின் வரைபடம் அதிகரிப்பதில் இருந்து குறைகிறது.

தொடர்புடைய அதிகபட்ச செயல்பாடு உள்ளது.

வலதுபுறத்தில் x -2 ஆகவும், இடதுபுறத்தில் x 2 ஆகவும் இருப்பதால், செயல்பாட்டின் நடத்தையைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது, ஒரு பக்க வரம்புகளைக் காண்கிறோம்:

நமக்கு என்ன கிடைத்தது: வாதம் -2 இலிருந்து பூஜ்ஜியத்திற்கு மாறும்போது, ​​செயல்பாடு மதிப்புகள் மைனஸ் முடிவிலியிலிருந்து கழித்தல் நான்கில் ஒரு பங்கிற்கு (x = 0 இல் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம்), பூஜ்ஜியத்திலிருந்து 2 ஆக மாறும்போது, செயல்பாடு மதிப்புகள் கழித்தல் முடிவிலிக்கு குறைகிறது. எனவே, இடைவெளியில் (-2; 2) செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பு .

உதாரணமாக.

y = tgx என்ற டேன்ஜென்ட் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பை இடைவெளியில் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு.

இடைவெளியில் டேன்ஜென்ட் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக உள்ளது , இது செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் குறிக்கிறது. இடைவெளியின் எல்லையில் செயல்பாட்டின் நடத்தையைப் படிப்போம்:

இவ்வாறு, வாதம் மாறும்போது, ​​​​செயல்பாடு மதிப்புகள் கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து பிளஸ் முடிவிலிக்கு அதிகரிக்கும், அதாவது, இந்த இடைவெளியில் உள்ள தொடு மதிப்புகளின் தொகுப்பு அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும்.

உதாரணமாக.

இயற்கை மடக்கை செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறியவும் y = lnx.

தீர்வு.

வாதத்தின் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு இயற்கை மடக்கை செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது . இந்த இடைவெளியில் வழித்தோன்றல் நேர்மறையாக இருக்கும் , இது அதன் செயல்பாடு அதிகரிப்பதைக் குறிக்கிறது. வாதமானது வலப்பக்கத்தில் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால் செயல்பாட்டின் ஒருபக்க வரம்பைக் கண்டுபிடிப்போம், மேலும் x ஆக வரம்பு முடிவிலியைக் கூட்டுகிறது:

x ஆனது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கூட்டல் முடிவிலிக்கு மாறும்போது, ​​செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து கூட்டல் முடிவிலிக்கு அதிகரிப்பதைக் காண்கிறோம். எனவே, இயற்கை மடக்கை செயல்பாட்டின் வரம்பு உண்மையான எண்களின் முழு தொகுப்பாகும்.

உதாரணமாக.

தீர்வு.

x இன் அனைத்து உண்மையான மதிப்புகளுக்கும் இந்த செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது. தீவிர புள்ளிகளையும், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளையும் தீர்மானிப்போம்.

இதன் விளைவாக, செயல்பாடு குறைகிறது, இல் அதிகரிக்கிறது, x = 0 என்பது அதிகபட்ச புள்ளியாகும், செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகபட்சம்.

முடிவிலியில் செயல்பாட்டின் நடத்தையைப் பார்ப்போம்:

இவ்வாறு, முடிவிலியில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அறிகுறியில்லாமல் பூஜ்ஜியத்தை அணுகும்.

வாதம் கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து பூஜ்ஜியத்திற்கு (அதிகபட்ச புள்ளி) மாறும்போது, ​​​​செயல்பாடு மதிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒன்பதாக (செயல்பாட்டின் அதிகபட்சமாக) அதிகரிக்கிறது, மேலும் x பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கூட்டல் முடிவிலிக்கு மாறும்போது, ​​​​செயல்பாடு மதிப்புகள் ஒன்பதிலிருந்து பூஜ்ஜியமாகக் குறைகிறது.

திட்ட வரைபடத்தைப் பாருங்கள்.

செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு என்பது இப்போது தெளிவாகத் தெரியும்.

y = f(x) செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பை இடைவெளியில் கண்டறிவதற்கு இதே போன்ற ஆராய்ச்சி தேவைப்படுகிறது. இந்த வழக்குகளைப் பற்றி இப்போது விரிவாகப் பேச மாட்டோம். கீழே உள்ள உதாரணங்களில் அவர்களை மீண்டும் சந்திப்போம்.

y = f(x) செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் பல இடைவெளிகளின் ஒன்றியமாக இருக்கட்டும். அத்தகைய செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பைக் கண்டறியும் போது, ​​​​ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் மதிப்புகளின் தொகுப்புகள் தீர்மானிக்கப்பட்டு அவற்றின் ஒன்றியம் எடுக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

நமது செயல்பாட்டின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லக்கூடாது, அதாவது, .

முதலில், திறந்த கதிர்களில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் இந்த இடைவெளியில் எதிர்மறையானது, அதாவது, அதன் மீது செயல்பாடு குறைகிறது.

வாதம் கழித்தல் முடிவிலியை நோக்கிச் செல்வதால், செயல்பாட்டு மதிப்புகள் அறிகுறியில்லாமல் ஒற்றுமையை அணுகுவதைக் கண்டறிந்தோம். x மைனஸ் இன்ஃபினிட்டியில் இருந்து இரண்டாக மாறும்போது, ​​செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் ஒன்றிலிருந்து கழித்தல் முடிவிலிக்கு குறைகிறது, அதாவது, பரிசீலனையில் உள்ள இடைவெளியில், செயல்பாடு மதிப்புகளின் தொகுப்பைப் பெறுகிறது. செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அதை அடையாததால், நாங்கள் ஒற்றுமையை சேர்க்கவில்லை, ஆனால் முடிவிலி கழித்தலில் மட்டுமே அறிகுறியற்ற முறையில் முனைகிறது.

திறந்த கற்றைக்கு நாங்கள் இதேபோல் தொடர்கிறோம்.

இந்த இடைவெளியில் செயல்பாடும் குறைகிறது.

இந்த இடைவெளியில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளின் தொகுப்பு தொகுப்பு ஆகும்.

எனவே, செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் விரும்பிய வரம்பு தொகுப்புகளின் ஒன்றியம் மற்றும் .

கிராஃபிக் விளக்கம்.

குறிப்பிட்ட கால செயல்பாடுகளுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தப்பட வேண்டும். காலச் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளின் வரம்பு இந்தச் செயல்பாட்டின் காலகட்டத்துடன் தொடர்புடைய இடைவெளியில் உள்ள மதிப்புகளின் தொகுப்புடன் ஒத்துப்போகிறது.

உதாரணமாக.

சைன் செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறியவும் y = sinx.

தீர்வு.

இந்தச் செயல்பாடு இரண்டு pi காலத்துடன் அவ்வப்போது உள்ளது. ஒரு பிரிவை எடுத்து அதன் மதிப்புகளின் தொகுப்பை வரையறுப்போம்.

பிரிவில் இரண்டு தீவிர புள்ளிகள் மற்றும் .

இந்த புள்ளிகளிலும் பிரிவின் எல்லைகளிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுகிறோம், சிறிய மற்றும் பெரிய மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்:

எனவே, .

உதாரணமாக.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரம்பைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.

ஆர்க் கொசைன் வீச்சு என்பது பூஜ்ஜியத்திலிருந்து பை வரையிலான பிரிவு, அதாவது, அல்லது வேறு பதிவில். செயல்பாடு abscissa அச்சில் மாற்றுவதன் மூலம் மற்றும் நீட்டுவதன் மூலம் arccosx இலிருந்து பெறலாம். இத்தகைய மாற்றங்கள் மதிப்புகளின் வரம்பை பாதிக்காது, எனவே, . செயல்பாடு இருந்து பெறப்பட்டது ஓய் அச்சில் மூன்று முறை நீட்டி, அதாவது . மற்றும் உருமாற்றத்தின் கடைசி நிலை, நான்கு அலகுகளை ஆர்டினேட்டுடன் கீழே மாற்றுவதாகும். இது இரட்டை சமத்துவமின்மைக்கு நம்மை இட்டுச் செல்கிறது

எனவே, மதிப்புகளின் தேவையான வரம்பு .

மற்றொரு உதாரணத்திற்கு தீர்வைக் கொடுப்போம், ஆனால் விளக்கங்கள் இல்லாமல் (அவை முற்றிலும் ஒத்தவை என்பதால் அவை தேவையில்லை).

உதாரணமாக.

செயல்பாட்டு வரம்பை வரையறுக்கவும் .

தீர்வு.

அசல் செயல்பாட்டை படிவத்தில் எழுதுவோம் . சக்தி செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பு இடைவெளி. அது, . பிறகு

எனவே, .

படத்தை முடிக்க, வரையறையின் டொமைனில் தொடர்ச்சியாக இல்லாத செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பைக் கண்டறிவது பற்றி பேச வேண்டும். இந்த வழக்கில், வரையறையின் களத்தை இடைவெளிகளாக இடைவெளிகளாகப் பிரித்து, அவை ஒவ்வொன்றிலும் மதிப்புகளின் தொகுப்புகளைக் கண்டறியவும். பெறப்பட்ட மதிப்புகளின் தொகுப்புகளை இணைப்பதன் மூலம், அசல் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் வரம்பைப் பெறுகிறோம். இடதுபுறத்தில் 3 ஐ நினைவில் வைத்துக் கொள்ள பரிந்துரைக்கிறோம், செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் ஒன்று கழித்தல், மற்றும் x வலதுபுறத்தில் 3 ஆக இருப்பதால், செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் முடிவிலியுடன் இருக்கும்.

இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனை மூன்று இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கிறோம்.

இடைவெளியில் நாம் செயல்பாடு உள்ளது . அன்றிலிருந்து

எனவே, இடைவெளியில் அசல் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு [-6;2] .

அரை இடைவெளியில் நாம் ஒரு நிலையான செயல்பாடு y = -1. அதாவது, இடைவெளியில் அசல் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு ஒரு தனிமத்தைக் கொண்டுள்ளது.

அனைத்து சரியான வாத மதிப்புகளுக்கும் செயல்பாடு வரையறுக்கப்படுகிறது. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவின் இடைவெளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

வழித்தோன்றல் x=-1 மற்றும் x=3 இல் மறைந்துவிடும். இந்த புள்ளிகளை எண் கோட்டில் குறிப்போம் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் இடைவெளிகளில் வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை தீர்மானிப்போம்.

செயல்பாடு குறைகிறது , அதிகரிக்கிறது [-1; 3] , x=-1 குறைந்தபட்ச புள்ளி, x=3 அதிகபட்ச புள்ளி.

செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்சத்தை கணக்கிடுவோம்:

முடிவிலியில் செயல்பாட்டின் நடத்தையைச் சரிபார்ப்போம்:

இரண்டாவது வரம்பு பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்டது.

ஒரு திட்டவட்டமான வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்.

வாதமானது கழித்தல் முடிவிலியிலிருந்து -1க்கு மாறும்போது, ​​சார்பு மதிப்புகள் பிளஸ் இன்ஃபினிட்டியில் இருந்து -2e ஆகவும், வாதம் -1 இலிருந்து 3 ஆகவும் மாறும்போது, ​​சார்பு மதிப்புகள் -2e இலிருந்து, வாதம் மாறும்போது, ​​அதிகரிக்கும். 3 முதல் முடிவிலி வரை, செயல்பாட்டு மதிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து குறைகிறது, ஆனால் அவை பூஜ்ஜியத்தை எட்டாது.