Explore soluções de exemplo de função. Função de pesquisa on-line

Se o problema requer um estudo completo da função f (x) = x 2 4 x 2 - 1 com a construção de seu gráfico, então consideraremos este princípio em detalhes.

Para resolver um problema deste tipo, você deve usar as propriedades e gráficos de funções elementares básicas. O algoritmo de pesquisa inclui as seguintes etapas:

Yandex.RTB RA-339285-1

Encontrando o domínio de definição

Como a pesquisa é realizada no domínio de definição da função, é necessário iniciar por esta etapa.

Exemplo 1

O exemplo dado envolve encontrar os zeros do denominador para excluí-los da ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Como resultado, você pode obter raízes, logaritmos e assim por diante. Então o ODZ pode ser pesquisado para uma raiz de grau par do tipo g (x) 4 pela desigualdade g (x) ≥ 0, para o logaritmo log a g (x) pela desigualdade g (x) > 0.

Estudando os limites da ODZ e encontrando assíntotas verticais

Existem assíntotas verticais nos limites da função, quando os limites unilaterais em tais pontos são infinitos.

Exemplo 2

Por exemplo, considere os pontos de fronteira iguais a x = ± 1 2.

Então é necessário estudar a função para encontrar o limite unilateral. Então obtemos isso: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (+ 0 ) 2 = + ∞

Isso mostra que os limites unilaterais são infinitos, o que significa que as retas x = ± 1 2 são as assíntotas verticais do gráfico.

Estudo de uma função e se ela é par ou ímpar

Quando a condição y (- x) = y (x) é satisfeita, a função é considerada par. Isto sugere que o gráfico está localizado simetricamente em relação a Oy. Quando a condição y (- x) = - y (x) é satisfeita, a função é considerada ímpar. Isso significa que a simetria é relativa à origem das coordenadas. Se pelo menos uma desigualdade não for satisfeita, obtemos uma função de forma geral.

A igualdade y (- x) = y (x) indica que a função é par. Na hora de construir é preciso levar em consideração que haverá simetria em relação a Oy.

Para resolver a desigualdade, são utilizados intervalos de aumento e diminuição com as condições f " (x) ≥ 0 e f " (x) ≤ 0, respectivamente.

Definição 1

Pontos estacionários- estes são os pontos que tornam a derivada zero.

Pontos críticos- são pontos internos do domínio de definição onde a derivada da função é igual a zero ou não existe.

Ao tomar uma decisão, as seguintes notas devem ser levadas em consideração:

• para intervalos existentes de desigualdades crescentes e decrescentes da forma f " (x) > 0, os pontos críticos não são incluídos na solução;
• os pontos nos quais a função é definida sem uma derivada finita devem ser incluídos nos intervalos de aumento e diminuição (por exemplo, y = x 3, onde o ponto x = 0 torna a função definida, a derivada tem o valor do infinito neste ponto, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 está incluído no intervalo crescente);
• Para evitar divergências, recomenda-se a utilização da literatura matemática recomendada pelo Ministério da Educação.

Inclusão de pontos críticos em intervalos crescentes e decrescentes se satisfizerem o domínio de definição da função.

Definição 2

Para determinando os intervalos de aumento e diminuição de uma função, é necessário encontrar:

• derivado;
• Pontos críticos;
• dividir o domínio de definição em intervalos usando pontos críticos;
• determine o sinal da derivada em cada um dos intervalos, onde + é um aumento e - é uma diminuição.

Exemplo 3

Encontre a derivada no domínio de definição f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Solução

Para resolver você precisa de:

• encontre pontos estacionários, este exemplo tem x = 0;
• encontre os zeros do denominador, o exemplo assume o valor zero em x = ± 1 2.

Colocamos pontos na reta numérica para determinar a derivada em cada intervalo. Para isso, basta pegar qualquer ponto do intervalo e fazer um cálculo. Se o resultado for positivo, representamos + no gráfico, o que significa que a função está aumentando, e - significa que está diminuindo.

Por exemplo, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, o que significa que o primeiro intervalo à esquerda tem um sinal +. Considere na reta numérica.

Responder:

• a função aumenta no intervalo - ∞; - 1 2 e (- 1 2 ; 0 ] ;
• há uma diminuição no intervalo [ 0 ; 12) e 12; + ∞ .

No diagrama, usando + e -, são representadas a positividade e a negatividade da função, e as setas indicam diminuição e aumento.

Os pontos extremos de uma função são pontos onde a função é definida e através dos quais a derivada muda de sinal.

Exemplo 4

Se considerarmos um exemplo onde x = 0, então o valor da função nele é igual a f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Quando o sinal da derivada muda de + para - e passa pelo ponto x = 0, então o ponto com coordenadas (0; 0) é considerado o ponto máximo. Quando o sinal muda de - para +, obtemos um ponto mínimo.

A convexidade e a concavidade são determinadas resolvendo desigualdades da forma f "" (x) ≥ 0 e f "" (x) ≤ 0. Menos comumente usado é o nome convexidade para baixo em vez de concavidade, e convexidade para cima em vez de convexidade.

Definição 3

Para determinação dos intervalos de concavidade e convexidade necessário:

• encontre a segunda derivada;
• encontre os zeros da segunda função derivada;
• divida a área de definição em intervalos com os pontos que aparecem;
• determine o sinal do intervalo.

Exemplo 5

Encontre a segunda derivada do domínio de definição.

Solução

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Encontramos os zeros do numerador e do denominador, onde no nosso exemplo temos que os zeros do denominador x = ± 1 2

Agora você precisa traçar os pontos na reta numérica e determinar o sinal da segunda derivada de cada intervalo. Nós entendemos isso

Responder:

• a função é convexa no intervalo - 1 2 ; 12;
• a função é côncava nos intervalos - ∞ ; - 1 2 e 1 2; + ∞ .

Definição 4

Ponto de inflexão– este é um ponto da forma x 0 ; f(x0) . Quando tem uma tangente ao gráfico da função, então ao passar por x 0 a função muda de sinal para o oposto.

Em outras palavras, este é um ponto por onde passa a segunda derivada e muda de sinal, e nos próprios pontos é igual a zero ou não existe. Todos os pontos são considerados domínio da função.

No exemplo ficou claro que não existem pontos de inflexão, pois a segunda derivada muda de sinal ao passar pelos pontos x = ± 1 2. Eles, por sua vez, não estão incluídos no escopo da definição.

Encontrando assíntotas horizontais e oblíquas

Ao definir uma função no infinito, você precisa procurar assíntotas horizontais e oblíquas.

Definição 5

Assíntotas oblíquas são representados usando linhas retas dadas pela equação y = k x + b, onde k = lim x → ∞ f (x) x e b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Para k = 0 e b diferente do infinito, descobrimos que a assíntota oblíqua se torna horizontal.

Em outras palavras, as assíntotas são consideradas retas para as quais o gráfico de uma função se aproxima do infinito. Isso facilita a construção rápida de um gráfico de função.

Se não houver assíntotas, mas a função estiver definida em ambos os infinitos, é necessário calcular o limite da função nesses infinitos para entender como se comportará o gráfico da função.

Exemplo 6

Vamos considerar como exemplo que

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

é uma assíntota horizontal. Depois de examinar a função, você pode começar a construí-la.

Calculando o valor de uma função em pontos intermediários

Para tornar o gráfico mais preciso, é recomendado encontrar vários valores de função em pontos intermediários.

Exemplo 7

A partir do exemplo que consideramos, é necessário encontrar os valores da função nos pontos x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Como a função é par, obtemos que os valores coincidem com os valores nesses pontos, ou seja, obtemos x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Vamos escrever e resolver:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Para determinar os máximos e mínimos da função, pontos de inflexão e pontos intermediários, é necessário construir assíntotas. Para uma designação conveniente, são registrados intervalos de aumento, diminuição, convexidade e concavidade. Vejamos a imagem abaixo.

É necessário traçar linhas gráficas através dos pontos marcados, o que permitirá aproximar-se das assíntotas seguindo as setas.

Isso conclui a exploração completa da função. Há casos de construção de algumas funções elementares para as quais são utilizadas transformações geométricas.

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O estudo de uma função é realizado de acordo com um esquema claro e exige que o aluno tenha um conhecimento sólido de conceitos matemáticos básicos como domínio de definição e valores, continuidade da função, assíntota, pontos extremos, paridade, periodicidade, etc. . O aluno deverá ser capaz de diferenciar funções livremente e resolver equações, que por vezes podem ser muito complexas.

Ou seja, esta tarefa testa uma camada significativa de conhecimento, qualquer lacuna na qual se tornará um obstáculo para a obtenção da solução correta. Particularmente frequentemente surgem dificuldades na construção de gráficos de funções. Esse erro é imediatamente perceptível para o professor e pode prejudicar muito a sua nota, mesmo que todo o resto tenha sido feito corretamente. Aqui você pode encontrar problemas de pesquisa de função online: exemplos de estudo, download de soluções, pedidos de tarefas.

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Faremos um estudo completo da função para você: encontraremos o domínio de definição e o domínio de valores, examinaremos a continuidade e a descontinuidade, estabeleceremos a paridade, verificaremos a periodicidade da sua função e encontraremos os pontos de intersecção com os eixos coordenados . E, claro, usando ainda mais o cálculo diferencial: encontraremos assíntotas, calcularemos extremos, pontos de inflexão e construiremos o próprio gráfico.

Os pontos de referência no estudo de funções e na construção de seus gráficos são pontos característicos - pontos de descontinuidade, extremo, inflexão, intersecção com eixos coordenados. Utilizando o cálculo diferencial, é possível estabelecer os traços característicos das mudanças nas funções: aumento e diminuição, máximos e mínimos, direção de convexidade e concavidade do gráfico, presença de assíntotas.

Um esboço do gráfico da função pode (e deve) ser traçado após encontrar as assíntotas e os pontos extremos, sendo conveniente preencher o quadro resumo do estudo da função à medida que o estudo avança.

O seguinte esquema de estudo de função é geralmente usado.

1.Encontre o domínio de definição, intervalos de continuidade e pontos de interrupção da função.

2.Examine a função quanto à paridade ou estranheza (simetria axial ou central do gráfico.

3.Encontre assíntotas (vertical, horizontal ou oblíqua).

4.Encontre e estude os intervalos de aumento e diminuição da função, seus pontos extremos.

5.Encontre os intervalos de convexidade e concavidade da curva, seus pontos de inflexão.

6.Encontre os pontos de intersecção da curva com os eixos coordenados, se existirem.

7.Compile uma tabela de resumo do estudo.

8.É construído um gráfico levando em consideração o estudo da função realizado de acordo com os pontos descritos acima.

Exemplo. Explorar função

e construa seu gráfico.

7. Vamos compilar uma tabela resumo para o estudo da função, onde inseriremos todos os pontos característicos e os intervalos entre eles. Levando em consideração a paridade da função, obtemos a seguinte tabela:

				Recursos do gráfico
[-1, 0[			Aumentando	Convexo
				(0; 1) – ponto máximo
]0, 1[			descendente	Convexo
				O ponto de inflexão se forma com o eixo Boiângulo obtuso

Faça um estudo completo e represente graficamente a função

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) O escopo da função. Como a função é uma fração, precisamos encontrar os zeros do denominador.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Excluímos o único ponto x=1x=1 do domínio de definição da função e obtemos:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Estudemos o comportamento da função nas proximidades do ponto de descontinuidade. Vamos encontrar limites unilaterais:

Como os limites são iguais ao infinito, o ponto x=1x=1 é uma descontinuidade de segundo tipo, a reta x=1x=1 é uma assíntota vertical.

3) Vamos determinar os pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos coordenados.

Vamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo das ordenadas OyOy, para os quais igualamos x=0x=0:

Assim, o ponto de intersecção com o eixo OyOy possui coordenadas (0;8)(0;8).

Vamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo de abcissas OxOx, para os quais definimos y=0y=0:

A equação não tem raízes, portanto não há pontos de intersecção com o eixo OxOx.

Observe que x2+8>0x2+8>0 para qualquer xx. Portanto, para x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), a função y>0y>0 (assume valores positivos, o gráfico está acima do eixo x), para x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) função y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) A função não é par nem ímpar porque:

5) Vamos examinar a função de periodicidade. A função não é periódica, pois é uma função racional fracionária.

6) Vamos examinar a função quanto a extremos e monotonicidade. Para fazer isso, encontramos a primeira derivada da função:

Vamos igualar a primeira derivada a zero e encontrar pontos estacionários (nos quais y′=0y′=0):

Temos três pontos críticos: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Vamos dividir todo o domínio de definição da função em intervalos com esses pontos e determinar os sinais da derivada em cada intervalo:

Para x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) a derivada y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Para x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) a derivada y′>0y′>0, a função aumenta nesses intervalos.

Neste caso, x=−2x=−2 é um ponto de mínimo local (a função diminui e depois aumenta), x=4x=4 é um ponto de máximo local (a função aumenta e depois diminui).

Vamos encontrar os valores da função nestes pontos:

Assim, o ponto mínimo é (−2;4)(−2;4), o ponto máximo é (4;−8)(4;−8).

7) Vamos examinar a função para torções e convexidade. Vamos encontrar a segunda derivada da função:

Vamos igualar a segunda derivada a zero:

A equação resultante não tem raízes, portanto não há pontos de inflexão. Além disso, quando x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 é satisfeito, ou seja, a função é côncava, quando x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) é satisfeito por y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Vamos examinar o comportamento da função no infinito, ou seja, em.

Como os limites são infinitos, não existem assíntotas horizontais.

Vamos tentar determinar assíntotas oblíquas da forma y=kx+by=kx+b. Calculamos os valores de k,bk,b usando fórmulas conhecidas:

Descobrimos que a função tem uma assíntota oblíqua y=−x−1y=−x−1.

9) Pontos adicionais. Vamos calcular o valor da função em alguns outros pontos para construir o gráfico com mais precisão.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Com base nos dados obtidos, construiremos um gráfico, complementaremos com assíntotas x=1x=1 (azul), y=−x−1y=−x−1 (verde) e marcaremos os pontos característicos (intersecção roxa com a ordenada eixo, extremos laranja, pontos adicionais pretos):

Tarefa 4: Problemas geométricos e econômicos (não tenho ideia do que, aqui está uma seleção aproximada de problemas com soluções e fórmulas)

Exemplo 3.23. a

Solução. x E sim sim
y = uma - 2×uma/4 =uma/2. Como x = a/4 é o único ponto crítico, vamos verificar se o sinal da derivada muda ao passar por esse ponto. Para xa/4 S " > 0, e para x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplo 3.24.

Solução.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplo 3.22. Encontre os extremos da função f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Solução. Como f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), então os pontos críticos da função x 1 = 2 e x 2 = 3. Extrema só pode estar em esses pontos. Assim como ao passar pelo ponto x 1 = 2 a derivada muda seu sinal de mais para menos, então neste ponto a função tem um máximo. Ao passar pelo ponto x 2 = 3 a derivada muda seu sinal de menos para mais, portanto no ponto x 2 = 3 a função tem um mínimo. Tendo calculado os valores da função nos pontos
x 1 = 2 e x 2 = 3, encontramos os extremos da função: máximo f(2) = 14 e mínimo f(3) = 13.

Exemplo 3.23.É necessário construir uma área retangular próxima ao muro de pedra para que seja cercada em três lados com tela de arame e o quarto lado fique adjacente à parede. Para isso existe a metros lineares de malha. Em que proporção o site terá a maior área?

Solução. Vamos denotar os lados da plataforma por x E sim. A área do site é S = xy. Deixar sim- este é o comprimento do lado adjacente à parede. Então, por condição, a igualdade 2x + y = a deve ser válida. Portanto y = a - 2x e S = x(a - 2x), onde
0 ≤ x ≤ a/2 (o comprimento e a largura do bloco não podem ser negativos). S " = a - 4x, a - 4x = 0 em x = a/4, de onde
y = uma - 2×uma/4 =uma/2. Como x = a/4 é o único ponto crítico, vamos verificar se o sinal da derivada muda ao passar por esse ponto. Para xa/4 S " > 0, e para x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplo 3.24.É necessário fabricar um tanque cilíndrico fechado com capacidade V=16p ≈ 50 m 3 . Quais devem ser as dimensões do tanque (raio R e altura H) para que seja utilizada a menor quantidade de material em sua fabricação?

Solução. A área total da superfície do cilindro é S = 2pR(R+H). Conhecemos o volume do cilindro V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Isso significa S(R) = 2p(R 2 +16/R). Encontramos a derivada desta função:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 para R 3 = 8, portanto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informação relacionada.

Para estudar completamente a função e traçar seu gráfico, recomenda-se o seguinte esquema:
A) encontrar o domínio de definição, pontos de interrupção; explore o comportamento de uma função perto de pontos de descontinuidade (encontre os limites da função à esquerda e à direita nesses pontos). Indique as assíntotas verticais.
B) determinar se uma função é par ou ímpar e concluir que existe simetria. Se, então a função é par e simétrica em relação ao eixo OY; quando a função é ímpar, simétrica em relação à origem; e if é uma função de forma geral.
C) encontrar os pontos de intersecção da função com os eixos coordenados OY e OX (se possível), determinar os intervalos de sinal constante da função. Os limites dos intervalos de sinal constante de uma função são determinados pelos pontos em que a função é igual a zero (função zeros) ou não existe e pelos limites do domínio de definição desta função. Nos intervalos onde o gráfico da função está localizado acima do eixo OX, e onde - abaixo deste eixo.
D) encontre a primeira derivada da função, determine seus zeros e intervalos de sinal constante. Nos intervalos onde a função aumenta e onde diminui. Faça uma conclusão sobre a presença de extremos (pontos onde existe uma função e uma derivada e ao passar pelos quais ela muda de sinal. Se o sinal mudar de mais para menos, então neste ponto a função tem um máximo, e se de menos para mais , então um mínimo). Encontre os valores da função nos pontos extremos.
D) encontre a segunda derivada, seus zeros e intervalos de sinal constante. Nos intervalos onde< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) encontrar assíntotas inclinadas (horizontais), cujas equações têm a forma ; Onde
.
No o gráfico da função terá duas assíntotas inclinadas, e cada valor de x em e também pode corresponder a dois valores de b.
G) encontrar pontos adicionais para esclarecer o gráfico (se necessário) e construir um gráfico.

Exemplo 1 Explore a função e construa seu gráfico. Solução: A) domínio de definição ; a função é contínua no seu domínio de definição; – ponto de ruptura, porque ;. Então – assíntota vertical.
B)
aqueles. y(x) é uma função de forma geral.
C) Encontre os pontos de intersecção do gráfico com o eixo OY: defina x=0; então y (0) = –1, ou seja, o gráfico da função intercepta o eixo no ponto (0;-1). Zeros da função (pontos de intersecção do gráfico com o eixo OX): definir y=0; Então
.
O discriminante de uma equação quadrática é menor que zero, o que significa que não há zeros. Então o limite dos intervalos de sinal constante é o ponto x=1, onde a função não existe.
O sinal da função em cada um dos intervalos é determinado pelo método dos valores parciais:

Fica claro no diagrama que no intervalo o gráfico da função está localizado abaixo do eixo OX, e no intervalo – acima do eixo OX.
D) Descobrimos a presença de pontos críticos.
.
Encontramos pontos críticos (onde existe ou não) a partir das igualdades e .

Obtemos: x1=1, x2=0, x3=2. Vamos criar uma tabela auxiliar

tabela 1

(A primeira linha contém os pontos críticos e os intervalos em que esses pontos são divididos pelo eixo OX; a segunda linha indica os valores da derivada nos pontos críticos e os sinais nos intervalos. Os sinais são determinados pelo valor parcial método. A terceira linha indica os valores da função y(x) em pontos críticos e mostra o comportamento da função - aumentando ou diminuindo nos intervalos correspondentes do eixo numérico.Além disso, a presença de um mínimo ou máximo é indicado.
D) Encontre os intervalos de convexidade e concavidade da função.
; construir uma tabela como no ponto D); Somente na segunda linha anotamos os sinais e na terceira indicamos o tipo de convexidade. Porque ; então o ponto crítico é um x=1.
mesa 2

O ponto x=1 é o ponto de inflexão.
E) Encontre assíntotas oblíquas e horizontais

Então y=x é uma assíntota oblíqua.
G) Com base nos dados obtidos, construímos um gráfico da função

Exemplo2 Faça um estudo completo da função e construa seu gráfico. Solução.

1). O escopo da função.
É óbvio que esta função é definida em toda a reta numérica, exceto nos pontos “” e “”, porque nesses pontos o denominador é igual a zero e, portanto, a função não existe, e as retas e são assíntotas verticais.

2). O comportamento de uma função como argumento tende ao infinito, existência de pontos de descontinuidade e verificação da presença de assíntotas oblíquas.
Vamos primeiro verificar como a função se comporta à medida que se aproxima do infinito para a esquerda e para a direita.

Assim, quando a função tende para 1, ou seja, – assíntota horizontal.
Nas proximidades de pontos de descontinuidade, o comportamento da função é determinado da seguinte forma:


Aqueles. Ao se aproximar dos pontos de descontinuidade à esquerda, a função diminui infinitamente e, à direita, aumenta infinitamente.
Determinamos a presença de uma assíntota oblíqua considerando a igualdade:

Não há assíntotas oblíquas.

3). Pontos de intersecção com eixos coordenados.
Aqui é necessário considerar duas situações: encontrar o ponto de intersecção com o eixo Ox e o eixo Oy. O sinal de intersecção com o eixo do Boi é o valor zero da função, ou seja, é necessário resolver a equação:

Esta equação não possui raízes, portanto, o gráfico desta função não possui pontos de intersecção com o eixo do Boi.
O sinal de intersecção com o eixo Oy é o valor x = 0. Neste caso
,
aqueles. – o ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo Oy.

4).Determinação de pontos extremos e intervalos de aumento e diminuição.
Para estudar esta questão, definimos a primeira derivada:
.
Vamos igualar o valor da primeira derivada a zero.
.
Uma fração é igual a zero quando seu numerador é igual a zero, ou seja, .
Vamos determinar os intervalos de aumento e diminuição da função.

Assim, a função possui um ponto extremo e não existe em dois pontos.
Assim, a função aumenta nos intervalos e diminui nos intervalos e .

5). Pontos de inflexão e áreas de convexidade e concavidade.
Esta característica do comportamento de uma função é determinada pela segunda derivada. Vamos primeiro determinar a presença de pontos de inflexão. A segunda derivada da função é igual a

Quando e a função é côncava;

quando e a função é convexa.

6). Representando graficamente uma função.
Usando os valores encontrados em pontos, construiremos esquematicamente um gráfico da função:

Exemplo3 Explorar função e construa seu gráfico.

Solução
A função dada é uma função não periódica de forma geral. Seu gráfico passa pela origem das coordenadas, pois .
O domínio de definição de uma determinada função são todos os valores da variável, exceto e para os quais o denominador da fração se torna zero.
Consequentemente, os pontos são os pontos de descontinuidade da função.
Porque ,

Porque ,
, então o ponto é um ponto de descontinuidade do segundo tipo.
As linhas retas são as assíntotas verticais do gráfico da função.
Equações de assíntotas oblíquas, onde, .
No ,
.
Assim, para e o gráfico da função tem uma assíntota.
Vamos encontrar os intervalos de aumento e diminuição da função e dos pontos extremos.
.
A primeira derivada da função em e, portanto, em e a função aumenta.
Quando, portanto, quando, a função diminui.
não existe para , .
, portanto, quando O gráfico da função é côncavo.
No , portanto, quando O gráfico da função é convexo.

Ao passar pelos pontos , , muda de sinal. Quando , a função não está definida, portanto, o gráfico da função possui um ponto de inflexão.
Vamos construir um gráfico da função.