1 calcule o determinante da matriz. Determinante de matriz
Exercício. Calcule o determinante decompondo-o em elementos de alguma linha ou coluna.
Solução. Vamos primeiro realizar transformações elementares nas linhas do determinante, fazendo tantos zeros quanto possível na linha ou na coluna. Para fazer isso, primeiro subtraia nove terços da primeira linha, cinco terços da segunda e três terços da quarta, obtemos:
Vamos decompor o determinante resultante nos elementos da primeira coluna:
Também expandiremos o determinante de terceira ordem resultante nos elementos da linha e da coluna, tendo previamente obtido zeros, por exemplo, na primeira coluna. Para fazer isso, subtraia as duas segundas linhas da primeira linha e a segunda linha da terceira:
Responder. 
12. Slough 3ª ordem
1. Regra do triângulo
Esquematicamente, esta regra pode ser descrita da seguinte forma:
O produto dos elementos do primeiro determinante que estão conectados por linhas retas é obtido com um sinal de mais; da mesma forma, para o segundo determinante, os produtos correspondentes são considerados com um sinal negativo, ou seja,
2. Governo de Sarrus
À direita do determinante, some as duas primeiras colunas e pegue os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas a ela com sinal de mais; e os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas a ela, com sinal menos:
3. Expansão do determinante em linha ou coluna
O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos da linha do determinante e seus complementos algébricos. Normalmente a linha/coluna que contém zeros é selecionada. A linha ou coluna ao longo da qual a decomposição é realizada será indicada por uma seta.
Exercício. Expandindo ao longo da primeira linha, calcule o determinante
Solução.
Responder. 
4. Reduzindo o determinante à forma triangular
Utilizando transformações elementares sobre linhas ou colunas, o determinante é reduzido a uma forma triangular e então seu valor, de acordo com as propriedades do determinante, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo
Exercício. Determinante de cálculo 
trazendo-o para uma forma triangular.
Solução. Primeiro fazemos zeros na primeira coluna abaixo da diagonal principal. Todas as transformações serão mais fáceis de realizar se o elemento for igual a 1. Para isso, trocaremos a primeira e a segunda colunas do determinante, o que, de acordo com as propriedades do determinante, fará com que ele mude seu sinal para o oposto:
O conceito de determinante n-ª ordem
Usando este artigo sobre determinantes, você definitivamente aprenderá como resolver problemas como os seguintes:
Resolva a equação:
e muitos outros que os professores adoram criar.
O determinante de uma matriz, ou simplesmente o determinante, desempenha um papel importante na resolução de sistemas de equações lineares. Em geral, os determinantes foram inventados para esse fim. Como muitas vezes também dizem “determinante de uma matriz”, também mencionaremos matrizes aqui. Matrizé uma tabela retangular composta de números que não podem ser trocados. Uma matriz quadrada é uma tabela em que o número de linhas e colunas é igual. Somente uma matriz quadrada pode ter um determinante.
É fácil entender a lógica de escrever determinantes usando o esquema a seguir. Vamos pegar um sistema de duas equações com duas incógnitas, que você conhece na escola:
No determinante, os coeficientes das incógnitas são escritos sequencialmente: na primeira linha - da primeira equação, na segunda linha - da segunda equação:
Por exemplo, se for dado um sistema de equações
então o seguinte determinante é formado a partir dos coeficientes das incógnitas:
Então, vamos receber uma tabela quadrada composta por números dispostos em n linhas (linhas horizontais) e em n colunas (linhas verticais). Utilizando esses números, seguindo algumas regras que estudaremos a seguir, eles encontram o número, que se chama determinante n-ésima ordem e denotada da seguinte forma:
(1)
Os números são chamados elementos determinante (1) (o primeiro índice significa o número da linha, o segundo – o número da coluna na intersecção da qual o elemento se encontra; eu = 1, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n). A ordem de um determinante é o número de suas linhas e colunas.
Uma linha reta imaginária conectando elementos do determinante para os quais ambos os índices são iguais, ou seja, elementos
chamado diagonal principal, outra diagonal – lado.
Cálculo de determinantes de segunda e terceira ordem
Vamos mostrar como são calculados os determinantes das três primeiras ordens.
O determinante de primeira ordem é o próprio elemento, ou seja,
O determinante de segunda ordem é o número obtido da seguinte forma:
, (2)
O produto dos elementos localizados nas diagonais principal e secundária, respectivamente.
A igualdade (2) mostra que o produto dos elementos da diagonal principal é tomado com sinal próprio, e o produto dos elementos da diagonal secundária com sinal oposto .
Exemplo 1. Calcule determinantes de segunda ordem:
Solução. Usando a fórmula (2), encontramos:
Um determinante de terceira ordem é um número obtido da seguinte forma:
(3)
É difícil lembrar esta fórmula. No entanto, existe uma regra simples chamada regra do triângulo , o que facilita a reprodução da expressão (3). Denotando os elementos do determinante com pontos, conectamos com segmentos de reta aqueles que dão o produto dos elementos do determinante (Fig. 1).
A fórmula (3) mostra que os produtos dos elementos da diagonal principal, bem como os elementos localizados nos vértices de dois triângulos cujas bases são paralelas a ela, são tomados com seus sinais; com opostos - o produto dos elementos da diagonal lateral, bem como dos elementos localizados nos vértices de dois triângulos paralelos a ela .
Na Figura 1, a diagonal principal e as bases correspondentes dos triângulos e a diagonal secundária e as bases correspondentes dos triângulos estão destacadas em vermelho.
Ao calcular determinantes, é muito importante, como no ensino médio, lembrar que um número com sinal de menos multiplicado por um número com sinal de menos resulta em um número com sinal de mais e um número com sinal de mais multiplicado por um número com sinal de menos resulta em um número com sinal de menos.
Exemplo 2. Calcule o determinante de terceira ordem:
Solução. Usando a regra do triângulo, obtemos
Cálculo de determinantes n-ª ordem
Expandindo o determinante por linha ou coluna
Para calcular o determinante n-ésima ordem, você precisa conhecer e usar o seguinte teorema.
Teorema de Laplace. O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer linha e seus complementos algébricos, ou seja,
Definição. Se no determinante n ordem - escolha arbitrariamente p linhas e p colunas ( p < n), então os elementos localizados na intersecção dessas linhas e colunas formam uma matriz de ordem.
O determinante desta matriz é chamado menor o determinante original. Por exemplo, considere o determinante:
Vamos construir uma matriz a partir de linhas e colunas com números pares:
Determinante
chamado menor determinante Temos um menor de segunda ordem. É claro que a partir disso podemos construir vários menores de primeira, segunda e terceira ordem.
Se pegarmos um elemento e riscarmos a linha e a coluna no determinante na intersecção em que ele se encontra, obteremos um elemento menor chamado elemento menor, que denotamos por:
.
Se o menor for multiplicado por , onde 3 + 2 é a soma dos números das linhas e colunas na intersecção das quais existe um elemento, então o produto resultante é chamado complemento algébrico elemento e é denotado por
Em geral, denotaremos o menor de um elemento e o complemento algébrico,
(4)
Por exemplo, vamos calcular os complementos algébricos dos elementos e do determinante de terceira ordem:
Usando a fórmula (4) obtemos 
Ao decompor um determinante, a seguinte propriedade do determinante é frequentemente usada n-ª ordem:
Se você adicionar aos elementos de uma linha ou coluna o produto dos elementos correspondentes de outra linha ou coluna por um fator constante, o valor do determinante não mudará.
Exemplo 4.
Primeiro, subtraímos os elementos da quarta linha da primeira e terceira linhas, então teremos
A quarta coluna do determinante resultante contém três elementos – zeros. Portanto, é mais lucrativo expandir esse determinante para os elementos da quarta coluna, pois os três primeiros produtos serão zeros. É por isso
Você pode verificar a solução usando calculadora determinante online .
E o exemplo a seguir mostra como o cálculo de um determinante de qualquer ordem (neste caso, de quarta) pode ser reduzido ao cálculo de um determinante de segunda ordem.
Exemplo 5. Calcule o determinante:
Vamos subtrair os elementos da primeira linha da terceira linha, e adicionar os elementos da primeira linha aos elementos da quarta linha, então teremos
Na primeira coluna, todos os elementos, exceto o primeiro, são zeros. Ou seja, o determinante já pode ser expandido na primeira coluna. Mas realmente não queremos calcular o determinante de terceira ordem. Portanto, faremos mais algumas transformações: aos elementos da terceira linha adicionaremos os elementos da segunda linha, multiplicados por 2, e dos elementos da quarta linha subtrairemos os elementos da segunda linha. Como resultado, o determinante, que é um complemento algébrico, pode ser expandido ao longo da primeira coluna e só teremos que calcular o determinante de segunda ordem e não nos confundirmos nos sinais:
Reduzindo o determinante à forma triangular
Um determinante onde todos os elementos situados em um lado de uma das diagonais são iguais a zero é chamado de triangular. Ao inverter a ordem das linhas ou colunas, o caso da diagonal secundária é reduzido ao caso da diagonal principal. Este determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Para reduzir à forma triangular, utiliza-se a mesma propriedade do determinante n-ésima ordem que aplicamos no parágrafo anterior: se o produto dos elementos correspondentes de outra linha ou coluna por um fator constante for adicionado aos elementos de uma linha ou coluna, o valor do determinante não mudará.
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Propriedades do determinante n-ª ordem
Nos dois parágrafos anteriores já utilizamos uma das propriedades do determinante n-ª ordem. Em alguns casos, para simplificar o cálculo do determinante, outras propriedades importantes do determinante podem ser usadas. Por exemplo, pode-se reduzir um determinante à soma de dois determinantes, um ou ambos podem ser convenientemente expandidos em alguma linha ou coluna. Existem muitos casos de tal simplificação, e a questão da utilização de uma ou outra propriedade do determinante deve ser decidida individualmente.
Determinante de matriz
Encontrar o determinante de uma matriz é um problema muito comum em matemática superior e álgebra. Via de regra, não se pode prescindir do valor do determinante da matriz ao resolver sistemas complexos de equações. O método Cramer para resolver sistemas de equações baseia-se no cálculo do determinante de uma matriz. Usando a definição de um determinante, é determinada a presença e a singularidade de uma solução para um sistema de equações. Portanto, é difícil superestimar a importância da capacidade de encontrar correta e precisamente o determinante de uma matriz em matemática. Os métodos para resolver determinantes são teoricamente bastante simples, mas à medida que o tamanho da matriz aumenta, os cálculos tornam-se muito complicados e requerem muito cuidado e muito tempo. É muito fácil cometer um pequeno erro ou erro de digitação em cálculos matemáticos tão complexos, o que levará a um erro na resposta final. Então, mesmo que você encontre determinante da matriz você mesmo, é importante verificar o resultado. Isso pode ser feito com nosso serviço Encontrando o determinante de uma matriz online. Nosso serviço sempre produz resultados absolutamente precisos, sem erros ou erros administrativos. Você pode recusar cálculos independentes, porque do ponto de vista aplicado, encontrar determinante da matriz Não é de natureza educacional, mas simplesmente requer muito tempo e cálculos numéricos. Portanto, se em sua tarefa definição de determinante de matriz são cálculos auxiliares, secundários, utilize nosso serviço e encontre o determinante de uma matriz online!
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