Forma quadrática f(x 1, x 2,...,x n) de n variáveis ​​é uma soma, cada termo sendo o quadrado de uma das variáveis, ou o produto de duas variáveis ​​diferentes, tomadas com um certo coeficiente: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

A matriz A composta por esses coeficientes é chamada de matriz de forma quadrática. É sempre simétrico matriz (ou seja, uma matriz simétrica em relação à diagonal principal, a ij =a ji).

Na notação matricial, a forma quadrática é f(X) = X T AX, onde

De fato

Por exemplo, vamos escrever a forma quadrática em forma matricial.

Para fazer isso, encontramos uma matriz de forma quadrática. Seus elementos diagonais são iguais aos coeficientes das variáveis ​​​​quadradas, e os elementos restantes são iguais às metades dos coeficientes correspondentes da forma quadrática. É por isso

Seja a coluna-matriz das variáveis ​​​​X obtida por uma transformação linear não degenerada da coluna-matriz Y, ou seja, X = CY, onde C é uma matriz não singular de enésima ordem. Então a forma quadrática f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Assim, com uma transformação linear não degenerada C, a matriz de forma quadrática assume a forma: A * =C T AC.

Por exemplo, vamos encontrar a forma quadrática f(y 1, y 2), obtida a partir da forma quadrática f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 por transformação linear.

A forma quadrática é chamada canônico(Tem visão canônica), se todos os seus coeficientessa ij = 0 para i≠j, ou seja, f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Sua matriz é diagonal.

Teorema(prova não fornecida aqui). Qualquer forma quadrática pode ser reduzida à forma canônica usando uma transformação linear não degenerada.

Por exemplo, vamos trazer para a forma canônica a forma quadrática f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Para fazer isso, primeiro selecione um quadrado completo com a variável x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Agora selecionamos um quadrado completo com a variável x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Então a transformação linear não degenerada y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 e y 3 = x 3 traz esta forma quadrática para a forma canônicaf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Observe que a forma canônica de uma forma quadrática é determinada de forma ambígua (a mesma forma quadrática pode ser reduzida à forma canônica de diferentes maneiras 1). No entanto, as formas canônicas obtidas por vários métodos têm várias propriedades comuns. Em particular, o número de termos com coeficientes positivos (negativos) de forma quadrática não depende do método de redução da forma a esta forma (por exemplo, no exemplo considerado sempre haverá dois coeficientes negativos e um positivo). Esta propriedade é chamada lei da inércia das formas quadráticas.

Vamos verificar isso trazendo a mesma forma quadrática para a forma canônica de uma maneira diferente. Vamos começar a transformação com a variável x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , onde y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 e y 3 = x 1 . Aqui há um coeficiente positivo de 2 para y 3 e dois coeficientes negativos (-3) para y 1 e y 2 (e usando outro método, obtivemos um coeficiente positivo de 2 para y 1 e dois negativos - (-5) para y 2 e (-1/20) para y 3).

Deve-se notar também que o posto de uma matriz de forma quadrática, chamada classificação da forma quadrática, é igual ao número de coeficientes diferentes de zero da forma canônica e não muda sob transformações lineares.

A forma quadrática f(X) é chamada positivamente(negativo)certo, se para todos os valores das variáveis ​​​​que não são simultaneamente zero, é positivo, ou seja, f(X) > 0 (negativo, ou seja, f(X)< 0).

Por exemplo, a forma quadrática f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 é definida positiva, porque é uma soma de quadrados, e a forma quadrática f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 é negativa definida, porque representa que pode ser representado na formaf 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Na maioria das situações práticas é um pouco mais difícil estabelecer o sinal definido de uma forma quadrática, portanto para isso utilizamos um dos seguintes teoremas (iremos formulá-los sem prova).

Teorema. Uma forma quadrática é positiva (negativa) definida se e somente se todos os autovalores de sua matriz forem positivos (negativos).

Teorema (critério de Sylvester). Uma forma quadrática é positiva definida se e somente se todos os menores iniciais da matriz desta forma forem positivos.

Principal (canto) menor As matrizes de k-ésima ordem da An-ésima ordem são chamadas de determinante da matriz, composta pelas primeiras k linhas e colunas da matriz A().

Observe que para formas quadráticas definidas negativas os sinais dos menores principais se alternam, e o menor de primeira ordem deve ser negativo.

Por exemplo, vamos examinar a forma quadrática f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para definição de sinal.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Portanto, a forma quadrática é definida positiva.

Método 2. Principal menor de primeira ordem da matriz A  1 =a 11 = 2 > 0. Principal menor de segunda ordem  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Portanto, de acordo com o critério de Sylvester, o quadrático a forma é definida positiva.

Examinamos outra forma quadrática para definição de sinal, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Método 1. Vamos construir uma matriz de forma quadrática A = . A equação característica terá a forma = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Portanto, a forma quadrática é negativa definida.

Método 2. Principal menor de primeira ordem da matriz A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Portanto, segundo o critério de Sylvester, a forma quadrática é definida negativa (os sinais dos menores principais se alternam, começando pelo menos).

E como outro exemplo, examinamos a forma quadrática determinada pelo sinal f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Método 1. Vamos construir uma matriz de forma quadrática A = . A equação característica terá a forma = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Um desses números é negativo e o outro é positivo. Os sinais dos autovalores são diferentes. Consequentemente, a forma quadrática não pode ser definida nem negativa nem positivamente, ou seja, esta forma quadrática não tem sinal definido (pode assumir valores de qualquer sinal).

Método 2. Principal menor de primeira ordem da matriz A  1 =a 11 = 2 > 0. Principal menor de segunda ordem 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1O método considerado de redução de uma forma quadrática à forma canônica é conveniente para uso quando coeficientes diferentes de zero são encontrados com os quadrados das variáveis. Caso não existam, ainda é possível realizar a conversão, mas é necessário utilizar algumas outras técnicas. Por exemplo, seja f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, onde y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Um polinômio homogêneo de grau 2 em diversas variáveis ​​é chamado de forma quadrática.

A forma quadrática das variáveis ​​consiste em termos de dois tipos: quadrados de variáveis ​​​​e seus produtos pareados com determinados coeficientes. A forma quadrática é geralmente escrita como o seguinte diagrama quadrado:

Pares de termos semelhantes são escritos com coeficientes iguais, de modo que cada um deles constitua metade do coeficiente do produto correspondente das variáveis. Assim, cada forma quadrática está naturalmente associada à sua matriz de coeficientes, que é simétrica.

É conveniente representar a forma quadrática na seguinte notação matricial. Vamos denotar por X uma coluna de variáveis ​​​​através de X - uma linha, ou seja, uma matriz transposta com X. Então

As formas quadráticas são encontradas em muitos ramos da matemática e suas aplicações.

Na teoria dos números e na cristalografia, as formas quadráticas são consideradas sob a suposição de que as variáveis ​​assumem apenas valores inteiros. Na geometria analítica, a forma quadrática faz parte da equação de uma curva (ou superfície) de ordem. Na mecânica e na física, a forma quadrática parece expressar a energia cinética de um sistema através dos componentes das velocidades generalizadas, etc. Mas, além disso, o estudo das formas quadráticas também é necessário na análise ao estudar funções de muitas variáveis, em questões para o qual é importante descobrir como esta função na vizinhança de um determinado ponto se desvia da função linear que a aproxima. Um exemplo de problema deste tipo é o estudo de uma função quanto ao seu máximo e mínimo.

Considere, por exemplo, o problema de estudar o máximo e o mínimo para uma função de duas variáveis ​​que possui derivadas parciais contínuas até a ordem. Uma condição necessária para que um ponto dê um máximo ou mínimo de uma função é que as derivadas parciais da ordem no ponto sejam iguais a zero. Suponhamos que esta condição seja satisfeita. Vamos dar às variáveis ​​​​xey pequenos incrementos ek e considerar o incremento correspondente da função.De acordo com a fórmula de Taylor, esse incremento, até pequenas ordens superiores, é igual à forma quadrática onde estão os valores das segundas derivadas calculado no ponto Se esta forma quadrática for positiva para todos os valores de ek (exceto ), então a função tem um mínimo no ponto; se for negativa, então tem um máximo. Finalmente, se um formulário assumir valores positivos e negativos, não haverá máximo ou mínimo. Funções de um maior número de variáveis ​​também são estudadas de forma semelhante.

O estudo das formas quadráticas consiste principalmente em estudar o problema da equivalência das formas em relação a um ou outro conjunto de transformações lineares de variáveis. Duas formas quadráticas são consideradas equivalentes se uma delas pode ser convertida na outra por uma das transformações de um determinado conjunto. Intimamente relacionado ao problema da equivalência está o problema da redução da forma, ou seja, transformando-o em alguma forma possivelmente mais simples.

Em diversas questões relacionadas às formas quadráticas, também são considerados vários conjuntos de transformações admissíveis de variáveis.

Nas questões de análise, são utilizadas quaisquer transformações não especiais de variáveis; para fins de geometria analítica, as transformações ortogonais são de maior interesse, ou seja, aquelas que correspondem à transição de um sistema de coordenadas cartesianas variáveis ​​para outro. Finalmente, na teoria dos números e na cristalografia são consideradas transformações lineares com coeficientes inteiros e com determinante igual à unidade.

Consideraremos dois destes problemas: a questão de reduzir uma forma quadrática à sua forma mais simples através de quaisquer transformações não singulares e a mesma questão para transformações ortogonais. Em primeiro lugar, vamos descobrir como uma matriz de forma quadrática é transformada durante uma transformação linear de variáveis.

Seja , onde A é uma matriz simétrica de coeficientes de forma, X é uma coluna de variáveis.

Vamos fazer uma transformação linear de variáveis, escrevendo-a abreviadamente como . Aqui C denota a matriz de coeficientes desta transformação, X é uma coluna de novas variáveis. Então e portanto, então a matriz da forma quadrática transformada é

A matriz torna-se automaticamente simétrica, o que é fácil de verificar. Assim, o problema de reduzir uma forma quadrática à forma mais simples é equivalente ao problema de reduzir uma matriz simétrica à forma mais simples multiplicando-a à esquerda e à direita por matrizes mutuamente transpostas.

Nesta seção nos concentraremos em uma classe especial, mas importante, de formas quadráticas positivas.

Definição 3. Uma forma quadrática real é chamada não negativa (não positiva) se, para quaisquer valores reais das variáveis

. (35)

Neste caso, a matriz simétrica de coeficientes é chamada de semidefinida positiva (semidefinida negativa).

Definição 4. Uma forma quadrática real é chamada de definido positivo (definido negativo) se, para quaisquer valores reais das variáveis ​​​​que não sejam simultaneamente zero,

. (36)

Neste caso, a matriz também é chamada de definida positiva (definida negativa).

A classe de formas definidas positivas (definidas negativas) faz parte da classe de formas não negativas (resp. não positivas).

Seja dada uma forma não negativa. Vamos imaginar isso como uma soma de quadrados independentes:

. (37)

Nesta representação, todos os quadrados devem ser positivos:

. (38)

Na verdade, se houvesse algum, seria possível selecionar valores tais que

Mas aí, com esses valores das variáveis, o formulário teria um valor negativo, o que é impossível por condição. Obviamente, inversamente, de (37) e (38) segue-se que a forma é positiva.

Assim, uma forma quadrática não negativa é caracterizada pelas igualdades.

Seja agora uma forma definida positiva. Então é uma forma não negativa. Portanto, pode ser representado na forma (37), onde todos são positivos. Da definição positiva da forma segue-se que. Com efeito, neste caso é possível selecionar valores que não sejam simultaneamente iguais a zero, nos quais todos voltariam a zero. Mas então, em virtude de (37), em , o que contradiz a condição (36).

É fácil ver que, inversamente, se em (37) e são todos positivos, então é uma forma definida positiva.

Em outras palavras, uma forma não negativa é definida positiva se e somente se não for singular.

O teorema a seguir fornece um critério para a definição positiva de uma forma na forma de desigualdades que os coeficientes da forma devem satisfazer. Neste caso, utiliza-se a notação já encontrada nos parágrafos anteriores para os sucessivos menores principais da matriz:

.

Teorema 3. Para que uma forma quadrática seja positiva definida, é necessário e suficiente que as desigualdades sejam satisfeitas

Prova. A suficiência das condições (39) segue diretamente da fórmula de Jacobi (28). A necessidade das condições (39) é estabelecida da seguinte forma. Da definição positiva da forma segue a definição positiva das formas “truncadas”

.

Mas então todas essas formas devem ser não singulares, ou seja,

Agora temos a oportunidade de usar a fórmula de Jacobi (28) (at ). Como no lado direito desta fórmula todos os quadrados devem ser positivos, então

Isto implica desigualdades (39). O teorema foi provado.

Como qualquer menor principal de uma matriz, com a devida renumeração das variáveis, pode ser colocado no canto superior esquerdo, então temos

Consequência. Na forma quadrática definida positiva, todos os menores maiores da matriz de coeficientes são positivos:

Comente. Da não negatividade de sucessivos menores principais

a não negatividade da forma não se segue. Na verdade, a forma

,

em que , satisfaz as condições, mas não é negativo.

No entanto, o seguinte é válido

Teorema 4. Para que uma forma quadrática seja não negativa, é necessário e suficiente que todos os menores maiores de sua matriz de coeficientes sejam não negativos:

Prova. Introduzamos que a forma auxiliar era não positiva, é necessária e suficiente para que as desigualdades ocorram

Formas quadradas.
Assine a definição dos formulários. Critério de Sylvester

O adjetivo “quadrático” sugere imediatamente que algo aqui está conectado com um quadrado (o segundo grau), e muito em breve descobriremos esse “algo” e qual é a forma. Acabou sendo um trava-língua :)

Bem-vindo à minha nova lição e, como aquecimento imediato, veremos o formato listrado linear. Forma linear variáveis chamado homogêneo Polinômio de 1º grau:

- alguns números específicos * (assumimos que pelo menos um deles é diferente de zero), a são variáveis ​​que podem assumir valores arbitrários.

* No âmbito deste tópico consideraremos apenas numeros reais .

Já encontramos o termo “homogêneo” na lição sobre sistemas homogêneos de equações lineares, e neste caso implica que o polinômio não possui uma constante positiva.

Por exemplo: – forma linear de duas variáveis

Agora a forma é quadrática. Forma quadrática variáveis chamado homogêneo polinômio de 2º grau, cada termo do qual contém o quadrado da variável ou dobra produto de variáveis. Assim, por exemplo, a forma quadrática de duas variáveis ​​tem a seguinte forma:

Atenção! Esta é uma entrada padrão e não há necessidade de alterar nada nela! Apesar da aparência “assustadora”, tudo é simples aqui - subscritos duplos de constantes sinalizam quais variáveis ​​​​estão incluídas em qual termo:
– este termo contém o produto e (quadrado);
- aqui está o trabalho;
- e aqui está o trabalho.

– Antecipo imediatamente um erro grosseiro quando perdem o “menos” de um coeficiente, não entendendo que se refere a um termo:

Às vezes há uma opção de design “escola” no espírito, mas apenas às vezes. A propósito, observe que as constantes não nos dizem absolutamente nada aqui e, portanto, é mais difícil lembrar a “notação fácil”. Principalmente quando há mais variáveis.

E a forma quadrática de três variáveis ​​já contém seis termos:

...por que “dois” fatores são colocados em termos “mistos”? Isso é conveniente e logo ficará claro o porquê.

Porém, vamos anotar a fórmula geral; é conveniente escrevê-la em uma “folha”:

– estudamos cuidadosamente cada linha – não há nada de errado com isso!

A forma quadrática contém termos com os quadrados das variáveis ​​e termos com seus produtos emparelhados (cm. fórmula de combinação combinatória) . Nada mais - nada de “X solitário” e nenhuma constante adicionada (então você não obterá uma forma quadrática, mas heterogêneo polinômio de 2º grau).

Notação matricial de forma quadrática

Dependendo dos valores, a forma em questão pode assumir valores positivos e negativos, e o mesmo se aplica a qualquer forma linear - se pelo menos um dos seus coeficientes for diferente de zero, então pode ser positivo ou negativo (dependendo de valores).

Este formulário é chamado sinal alternado. E se tudo é transparente com a forma linear, então com a forma quadrática as coisas são muito mais interessantes:

É absolutamente claro que esta forma pode assumir o significado de qualquer signo, portanto a forma quadrática também pode ser alternada.

Pode não ser:

– sempre, a menos que simultaneamente seja igual a zero.

- para qualquer um vetor exceto zero.

E de um modo geral, se para alguém diferente de zero vetor , , então a forma quadrática é chamada Positivo definitivo; se sim, então negativo definido.

E tudo ficaria bem, mas a definição da forma quadrática é visível apenas em exemplos simples, e essa visibilidade se perde mesmo com uma pequena complicação:
– ?

Poderíamos supor que a forma é definida positivamente, mas será isso mesmo? E se houver valores em que seja menor que zero?

Existe um teorema: Se todos autovalores matrizes de forma quadrática são positivas * , então é definido positivo. Se todos forem negativos, então negativo.

* Foi provado em teoria que todos os autovalores de uma matriz simétrica real válido

Vamos escrever a matriz da forma acima:
e da Eq. vamos encontrá-la autovalores:

Vamos resolver o bom e velho Equação quadrática:

, o que significa a forma é definido positivamente, ou seja, para quaisquer valores diferentes de zero, é maior que zero.

O método considerado parece funcionar, mas há um grande MAS. Já para uma matriz três por três, procurar números adequados é uma tarefa longa e desagradável; com grande probabilidade você obterá um polinômio de 3º grau com raízes irracionais.

O que devo fazer? Existe uma maneira mais fácil!

Critério de Sylvester

Não, Sylvester Stallone não :) Primeiro, deixe-me lembrá-lo do que é menores de canto matrizes. Esse eliminatórias que “cresce” a partir do canto superior esquerdo:

e o último é exatamente igual ao determinante da matriz.

Agora, na verdade, critério:

1) A forma quadrática é definida positivamente se e somente se TODOS os seus menores angulares forem maiores que zero: .

2) A forma quadrática é definida negativo se e somente se seus menores angulares alternam em sinal, sendo o 1º menor menor que zero: , , se – par ou , se – ímpar.

Se pelo menos um ângulo menor tiver sinal oposto, então a forma sinal alternado. Se os menores angulares são do sinal “certo”, mas há zeros entre eles, então este é um caso especial, que examinarei um pouco mais tarde, depois de vermos exemplos mais comuns.

Vamos analisar os menores angulares da matriz :

E isto diz-nos imediatamente que a forma não está definida negativamente.

Conclusão: todos os cantos menores são maiores que zero, o que significa que a forma é definido positivamente.

Existe uma diferença com o método do autovalor? ;)

Vamos escrever a matriz de forma de Exemplo 1:

o primeiro é seu angular menor, e o segundo , do qual se segue que a forma tem sinal alternado, ou seja, dependendo dos valores, pode assumir valores positivos e negativos. No entanto, isso já é óbvio.

Vamos pegar a forma e sua matriz de Exemplo 2:

Não há como descobrir isso sem insights. Mas com o critério de Sylvester não nos importamos:
, portanto, a forma definitivamente não é negativa.

e definitivamente não é positivo (já que todos os menores angulares devem ser positivos).

Conclusão: a forma está alternando.

Exemplos de aquecimento para resolver sozinho:

Exemplo 4

Investigue formas quadráticas para definição de sinal

A)

Nestes exemplos tudo corre bem (veja o final da lição), mas na verdade, para completar tal tarefa O critério de Sylvester pode não ser suficiente.

A questão é que existem casos “limites”, a saber: se por qualquer diferente de zero vetor, então a forma é determinada não negativo, se então negativo. Esses formulários têm diferente de zero vetores para os quais .

Aqui você pode citar o seguinte “acordeão”:

Destaque quadrado perfeito, vemos imediatamente não-negatividade forma: , e é igual a zero para qualquer vetor com coordenadas iguais, por exemplo: .

Exemplo de "espelho" negativo uma certa forma:

e um exemplo ainda mais trivial:
– aqui a forma é igual a zero para qualquer vetor, onde é um número arbitrário.

Como identificar formas não negativas ou não positivas?

Para isso precisamos do conceito menores maiores matrizes. Um menor maior é um menor composto por elementos que estão na intersecção de linhas e colunas com os mesmos números. Assim, a matriz possui dois menores principais de 1ª ordem:
(o elemento está na intersecção da 1ª linha e 1ª coluna);
(o elemento está na intersecção da 2ª linha e 2ª coluna),

e um maior menor de 2ª ordem:
– composto por elementos da 1ª, 2ª linha e 1ª, 2ª coluna.

A matriz é “três por três” Existem sete menores principais, e aqui você terá que flexionar o bíceps:
– três menores de 1ª ordem,
três menores de 2ª ordem:
– composto por elementos da 1ª, 2ª linha e 1ª, 2ª coluna;
– composto por elementos da 1ª, 3ª linha e 1ª, 3ª coluna;
– composto por elementos da 2ª, 3ª linha e 2ª, 3ª coluna,
e um menor de 3ª ordem:
– composto por elementos da 1ª, 2ª, 3ª linha e 1ª, 2ª e 3ª coluna.
Exercício para compreensão: anote todos os menores maiores da matriz .
Verificamos no final da lição e continuamos.

Critério de Schwarzenegger:

1) Forma quadrática diferente de zero* definida não negativo se e somente se TODOS os seus menores maiores não negativo(maior ou igual a zero).

* A forma quadrática zero (degenerada) tem todos os coeficientes iguais a zero.

2) A forma quadrática diferente de zero com matriz é definida negativo se e apenas se:
– maiores menores de 1ª ordem não positivo(menor ou igual a zero);
– maiores menores de 2ª ordem não negativo;
– maiores menores de 3ª ordem não positivo(começou a alternância);
…
– maior menor da ordem não positivo, se – ímpar ou não negativo, se – mesmo.

Se pelo menos um menor for de sinal oposto, então a forma é de sinal alternado.

Vamos ver como funciona o critério nos exemplos acima:

Vamos criar uma matriz de forma e Primeiramente Vamos calcular os menores angulares - e se for definido positiva ou negativamente?

Os valores obtidos não satisfazem o critério de Sylvester, mas sim o segundo menor não negativo, e isso torna necessário verificar o 2º critério (no caso do 2º critério não será cumprido automaticamente, ou seja, tira-se de imediato a conclusão sobre a alternância de sinais da forma).

Principais menores de 1ª ordem:
– positivo,
maior menor de 2ª ordem:
– não negativo.

Assim, TODOS os menores maiores não são negativos, o que significa que a forma não negativo.

Vamos escrever a matriz do formulário , para o qual o critério de Sylvester obviamente não é satisfeito. Mas também não recebemos sinais opostos (já que ambos os ângulos menores são iguais a zero). Portanto, verificamos o cumprimento do critério de não negatividade/não positividade. Principais menores de 1ª ordem:
– não positivo,
maior menor de 2ª ordem:
– não negativo.

Assim, segundo o critério de Schwarzenegger (ponto 2), a forma não é definida positivamente.

Agora vamos examinar mais de perto um problema mais interessante:

Exemplo 5

Examine a forma quadrática para definição de sinal

Este formulário é decorado com a ordem “alfa”, que pode ser igual a qualquer número real. Mas só será mais divertido nós decidimos.

Primeiro, vamos escrever a matriz do formulário; muitas pessoas provavelmente já se acostumaram a fazer isso oralmente: em diagonal principal Colocamos os coeficientes para os quadrados e nos locais simétricos colocamos metade dos coeficientes dos produtos “mistos” correspondentes:

Vamos calcular os menores angulares:

Vou expandir o terceiro determinante na 3ª linha: