Nesta lição veremos mais duas operações com vetores: produto vetorial de vetores E produto misto de vetores (link imediato para quem precisar). Tudo bem, às vezes acontece que para a felicidade completa, além de produto escalar de vetores, são necessários cada vez mais. Isso é vício em vetores. Pode parecer que estamos entrando na selva da geometria analítica. Isto está errado. Nesta seção de matemática superior geralmente há pouca madeira, exceto talvez o suficiente para Pinóquio. Na verdade, o material é muito comum e simples - pouco mais complicado que o mesmo produto escalar, haverá ainda menos tarefas típicas. O principal na geometria analítica, como muitos estarão convencidos ou já o fizeram, é NÃO COMETER ERROS NOS CÁLCULOS. Repita como um feitiço e você ficará feliz =)

Se os vetores brilharem em algum lugar distante, como um raio no horizonte, não importa, comece com a lição Vetores para manequins restaurar ou readquirir conhecimentos básicos sobre vetores. Leitores mais preparados podem conhecer as informações de forma seletiva; procurei coletar a mais completa coleção de exemplos que costumam ser encontrados em trabalhos práticos

O que vai te deixar feliz imediatamente? Quando eu era pequeno, conseguia fazer malabarismos com duas ou até três bolas. Funcionou bem. Agora você não terá que fazer malabarismos, pois consideraremos apenas vetores espaciais, e vetores planos com duas coordenadas serão deixados de fora. Por que? Foi assim que nasceram essas ações - o vetor e o produto misto de vetores são definidos e funcionam no espaço tridimensional. Já é mais fácil!

Esta operação, assim como o produto escalar, envolve dois vetores. Que sejam letras imperecíveis.

A ação em si denotado por Da seguinte maneira: . Existem outras opções, mas estou acostumado a denotar o produto vetorial de vetores desta forma, entre colchetes e uma cruz.

E imediatamente pergunta: se em produto escalar de vetores dois vetores estão envolvidos, e aqui dois vetores também são multiplicados, então Qual é a diferença? A diferença óbvia está, antes de tudo, no RESULTADO:

O resultado do produto escalar de vetores é NÚMERO:

O resultado do produto vetorial de vetores é VETOR: , ou seja, multiplicamos os vetores e obtemos um vetor novamente. Clube fechado. Na verdade, é daí que vem o nome da operação. Em diferentes literaturas educacionais, as designações também podem variar; usarei a letra.

Definição de produto vetorial

Primeiro haverá uma definição com uma imagem, depois comentários.

Definição: Produto vetorial não colinear vetores, tomado nesta ordem, chamado VETOR, comprimento que é numericamente igual à área do paralelogramo, construído sobre esses vetores; vetor ortogonal a vetores, e é direcionado para que a base tenha uma orientação correta:

Vamos analisar a definição peça por peça, há muitas coisas interessantes aqui!

Assim, os seguintes pontos significativos podem ser destacados:

1) Os vetores originais, indicados por setas vermelhas, por definição não colinear. Será apropriado considerar o caso dos vetores colineares um pouco mais tarde.

2) Vetores são obtidos em uma ordem estritamente definida: – "a" é multiplicado por "ser", não “ser” com “a”. O resultado da multiplicação vetorialé VETOR, que é indicado em azul. Se os vetores forem multiplicados na ordem inversa, obtemos um vetor de comprimento igual e direção oposta (cor framboesa). Ou seja, a igualdade é verdadeira .

3) Agora vamos conhecer o significado geométrico do produto vetorial. Este é um ponto muito importante! O COMPRIMENTO do vetor azul (e, portanto, do vetor carmesim) é numericamente igual à ÁREA do paralelogramo construído sobre os vetores. Na figura, este paralelogramo está sombreado em preto.

Observação : o desenho é esquemático e, naturalmente, o comprimento nominal do produto vetorial não é igual à área do paralelogramo.

Lembremos uma das fórmulas geométricas: A área de um paralelogramo é igual ao produto dos lados adjacentes pelo seno do ângulo entre eles. Portanto, com base no exposto, a fórmula para calcular o COMPRIMENTO de um produto vetorial é válida:

Enfatizo que a fórmula trata do COMPRIMENTO do vetor, e não do vetor em si. Qual é o significado prático? E o significado é que em problemas de geometria analítica, a área de um paralelogramo é frequentemente encontrada através do conceito de produto vetorial:

Obtenhamos a segunda fórmula importante. A diagonal de um paralelogramo (linha pontilhada vermelha) o divide em dois triângulos iguais. Portanto, a área de um triângulo construído sobre vetores (sombreamento vermelho) pode ser encontrada pela fórmula:

4) Um fato igualmente importante é que o vetor é ortogonal aos vetores, ou seja . É claro que o vetor de direção oposta (seta framboesa) também é ortogonal aos vetores originais.

5) O vetor é direcionado de modo que base Tem certo orientação. Na lição sobre transição para uma nova base Falei com detalhes suficientes sobre orientação plana, e agora vamos descobrir o que é orientação espacial. Vou explicar nos seus dedos mão direita. Combine mentalmente dedo indicador com vetor e dedo do meio com vetor. Dedo anelar e dedo mínimo pressione-o na palma da mão. Como resultado dedão– o produto vetorial aparecerá. Esta é uma base orientada para a direita (é esta na figura). Agora mude os vetores ( dedos indicador e médio) em alguns lugares, como resultado, o polegar girará e o produto vetorial já estará voltado para baixo. Esta é também uma base orientada para a direita. Você pode ter uma dúvida: qual base saiu da orientação? “Atribuir” aos mesmos dedos mão esquerda vetores e obter a base esquerda e a orientação esquerda do espaço (neste caso, o polegar estará localizado na direção do vetor inferior). Falando figurativamente, essas bases “torcem” ou orientam o espaço em diferentes direções. E esse conceito não deve ser considerado algo rebuscado ou abstrato - por exemplo, a orientação do espaço é alterada pelo espelho mais comum, e se você “puxar o objeto refletido para fora do espelho”, então no caso geral é não será possível combiná-lo com o “original”. A propósito, coloque três dedos no espelho e analise o reflexo ;-)

...que bom que você agora conhece orientado para a direita e para a esquerda bases, porque as declarações de alguns palestrantes sobre uma mudança de orientação são assustadoras =)

Produto vetorial de vetores colineares

A definição foi discutida em detalhes, resta descobrir o que acontece quando os vetores são colineares. Se os vetores forem colineares, eles podem ser colocados em uma linha reta e nosso paralelogramo também “dobra-se” em uma linha reta. A área de tal, como dizem os matemáticos, degenerar paralelogramo é igual a zero. O mesmo segue da fórmula - o seno de zero ou 180 graus é igual a zero, o que significa que a área é zero

Assim, se , então E . Observe que o produto vetorial em si é igual ao vetor zero, mas na prática isso é frequentemente negligenciado e está escrito que também é igual a zero.

Um caso especial é o produto vetorial de um vetor consigo mesmo:

Utilizando o produto vetorial, é possível verificar a colinearidade dos vetores tridimensionais, e também analisaremos esse problema, entre outros.

Para resolver exemplos práticos você pode precisar tabela trigonométrica para encontrar os valores dos senos dele.

Bem, vamos acender o fogo:

Exemplo 1

a) Encontre o comprimento do produto vetorial de vetores se

b) Encontre a área de um paralelogramo construído sobre vetores se

Solução: Não, isso não é um erro de digitação, eu deliberadamente tornei os dados iniciais nas cláusulas iguais. Porque o design das soluções será diferente!

a) De acordo com a condição, você precisa encontrar comprimento vetor (produto vetorial). De acordo com a fórmula correspondente:

Responder:

Se lhe perguntaram sobre o comprimento, na resposta indicamos a dimensão - unidades.

b) De acordo com a condição, você precisa encontrar quadrado paralelogramo construído sobre vetores. A área deste paralelogramo é numericamente igual ao comprimento do produto vetorial:

Responder:

Observe que a resposta não fala sobre o produto vetorial; fomos questionados sobre área da figura, portanto, a dimensão é unidades quadradas.

Sempre olhamos O QUE precisamos encontrar de acordo com a condição e, com base nisso, formulamos claro responder. Pode parecer literalismo, mas há muitos literalistas entre os professores, e a tarefa tem boas chances de ser devolvida para revisão. Embora este não seja um problema particularmente rebuscado - se a resposta estiver incorreta, fica-se com a impressão de que a pessoa não entende coisas simples e/ou não compreendeu a essência da tarefa. Este ponto deve ser sempre mantido sob controle ao resolver qualquer problema de matemática superior e também de outras disciplinas.

Para onde foi a letra grande “en”? Em princípio, poderia ter sido anexado adicionalmente à solução, mas para encurtar a entrada não o fiz. Espero que todos entendam isso e seja uma designação para a mesma coisa.

Um exemplo popular de solução DIY:

Exemplo 2

Encontre a área de um triângulo construído sobre vetores se

A fórmula para encontrar a área de um triângulo através do produto vetorial é dada nos comentários à definição. A solução e a resposta estão no final da lição.

Na prática, a tarefa é realmente muito comum: os triângulos geralmente podem atormentar você.

Para resolver outros problemas precisaremos de:

Propriedades do produto vetorial de vetores

Já consideramos algumas propriedades do produto vetorial, porém irei incluí-las nesta lista.

Para vetores arbitrários e um número arbitrário, as seguintes propriedades são verdadeiras:

1) Em outras fontes de informação esse item normalmente não é destacado nas propriedades, mas é muito importante em termos práticos. Que assim seja.

2) – a propriedade também é discutida acima, às vezes é chamada anticomutatividade. Em outras palavras, a ordem dos vetores é importante.

3) – associativo ou associativo leis de produtos vetoriais. As constantes podem ser facilmente movidas para fora do produto vetorial. Realmente, o que eles deveriam fazer lá?

4) – distribuição ou distributivo leis de produtos vetoriais. Também não há problemas em abrir os colchetes.

Para demonstrar, vejamos um pequeno exemplo:

Exemplo 3

Descubra se

Solução: A condição novamente requer encontrar o comprimento do produto vetorial. Vamos pintar nossa miniatura:

(1) De acordo com as leis associativas, consideramos as constantes fora do escopo do produto vetorial.

(2) Movemos a constante para fora do módulo e o módulo “come” o sinal menos. O comprimento não pode ser negativo.

(3) O resto está claro.

Responder:

É hora de colocar mais lenha no fogo:

Exemplo 4

Calcule a área de um triângulo construído sobre vetores se

Solução: Encontre a área do triângulo usando a fórmula . O problema é que os vetores “tse” e “de” são apresentados como somas de vetores. O algoritmo aqui é padrão e lembra um pouco os exemplos nº 3 e 4 da lição Produto escalar de vetores. Para maior clareza, dividiremos a solução em três etapas:

1) Na primeira etapa, expressamos o produto vetorial através do produto vetorial, na verdade, vamos expressar um vetor em termos de um vetor. Nenhuma palavra ainda sobre comprimentos!

(1) Substitua as expressões dos vetores.

(2) Utilizando leis distributivas, abrimos os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios.

(3) Usando leis associativas, movemos todas as constantes para além dos produtos vetoriais. Com um pouco de experiência, os passos 2 e 3 podem ser executados simultaneamente.

(4) O primeiro e o último termos são iguais a zero (vetor zero) devido à propriedade nice. No segundo termo usamos a propriedade de anticomutatividade de um produto vetorial:

(5) Apresentamos termos semelhantes.

Como resultado, o vetor acabou sendo expresso em forma de vetor, que era o que era necessário para ser alcançado:

2) Na segunda etapa, encontramos o comprimento do produto vetorial que precisamos. Esta ação é semelhante ao Exemplo 3:

3) Encontre a área do triângulo desejado:

As etapas 2 a 3 da solução poderiam ter sido escritas em uma linha.

Responder:

O problema considerado é bastante comum em testes, aqui está um exemplo para você mesmo resolver:

Exemplo 5

Descubra se

Uma breve solução e resposta no final da lição. Vamos ver o quão atento você esteve ao estudar os exemplos anteriores ;-)

Produto vetorial de vetores em coordenadas

, especificado em uma base ortonormal, expresso pela fórmula:

A fórmula é muito simples: na linha superior do determinante escrevemos os vetores coordenados, na segunda e terceira linhas “colocamos” as coordenadas dos vetores, e colocamos em ordem estrita– primeiro as coordenadas do vetor “ve”, depois as coordenadas do vetor “duplo-ve”. Se os vetores precisarem ser multiplicados em uma ordem diferente, as linhas deverão ser trocadas:

Exemplo 10

Verifique se os seguintes vetores espaciais são colineares:
A)
b)

Solução: A verificação é baseada em uma das afirmações desta lição: se os vetores são colineares, então seu produto vetorial é igual a zero (vetor zero): .

a) Encontre o produto vetorial:

Assim, os vetores não são colineares.

b) Encontre o produto vetorial:

Responder: a) não colinear, b)

Aqui, talvez, estejam todas as informações básicas sobre o produto vetorial de vetores.

Esta seção não será muito grande, pois existem poucos problemas onde o produto misto de vetores é utilizado. Na verdade, tudo dependerá da definição, do significado geométrico e de algumas fórmulas de trabalho.

Um produto misto de vetores é o produto de três vetores:

Então eles se alinharam como um trem e mal podem esperar para serem identificados.

Primeiro, novamente, uma definição e uma imagem:

Definição: Trabalho misto não coplanar vetores, tomado nesta ordem, chamado volume paralelepípedo, construído sobre esses vetores, equipado com um sinal “+” se a base estiver à direita e um sinal “–” se a base estiver à esquerda.

Vamos fazer o desenho. Linhas invisíveis para nós são desenhadas com linhas pontilhadas:

Vamos mergulhar na definição:

2) Vetores são obtidos em uma determinada ordem, ou seja, o rearranjo dos vetores no produto, como você pode imaginar, não ocorre sem consequências.

3) Antes de comentar o significado geométrico, observo um fato óbvio: o produto misto de vetores é um NÚMERO: . Na literatura educacional, o design pode ser um pouco diferente: estou acostumado a denotar um produto misto por , e o resultado dos cálculos pela letra “pe”.

Priorado A o produto misto é o volume do paralelepípedo, construído em vetores (a figura é desenhada com vetores vermelhos e linhas pretas). Ou seja, o número é igual ao volume de um determinado paralelepípedo.

Observação : O desenho é esquemático.

4) Não vamos nos preocupar novamente com o conceito de orientação da base e do espaço. O significado da parte final é que um sinal de menos pode ser adicionado ao volume. Em palavras simples, um produto misto pode ser negativo: .

Diretamente da definição segue a fórmula de cálculo do volume de um paralelepípedo construído sobre vetores.

Teste nº 1

Vetores. Elementos de álgebra superior

1-20. Os comprimentos dos vetores e e são conhecidos; – o ângulo entre esses vetores.

Calcule: 1) e, 2).3) Encontre a área do triângulo construído sobre os vetores e.

Faça um desenho.

Solução. Usando a definição de produto escalar de vetores:

E as propriedades do produto escalar: ,

1) encontre o quadrado escalar do vetor:

isto é, então.

Argumentando de forma semelhante, obtemos

isto é, então.

Por definição de um produto vetorial: ,

levando em conta que

A área de um triângulo construído a partir de vetores e é igual a

21-40. Coordenadas conhecidas de três vértices A, B, D paralelogramo ABCD. Usando álgebra vetorial, você precisa:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Solução.

Sabe-se que as diagonais de um paralelogramo são divididas ao meio no ponto de intersecção. Portanto, as coordenadas do ponto E- interseção de diagonais - encontre as coordenadas do meio do segmento BD. Denotando-os por x E ,sim E , z E nós entendemos isso

Nós temos.

Conhecendo as coordenadas do ponto E- ponto médio da diagonal BD e as coordenadas de uma de suas extremidades A(3;0;-7), Usando fórmulas, determinamos as coordenadas necessárias do vértice COM paralelogramo:

Então, o topo.

2) Para encontrar a projeção de um vetor em um vetor, encontramos as coordenadas destes vetores: ,

de forma similar . A projeção de um vetor em um vetor é encontrada usando a fórmula:

3) O ângulo entre as diagonais de um paralelogramo é encontrado como o ângulo entre os vetores

E pela propriedade do produto escalar:

Então

4) Encontre a área do paralelogramo como o módulo do produto vetorial:

5) O volume da pirâmide é encontrado como um sexto do módulo do produto misto de vetores, onde O(0;0;0), então

Então o volume necessário (unidades cúbicas)

41-60. Matrizes dadas:

V C -1 +3A T

Designações:

Primeiro, encontramos a matriz inversa da matriz C.

Para fazer isso, encontramos seu determinante:

O determinante é diferente de zero, portanto, a matriz é não singular e para ela você pode encontrar a matriz inversa C -1

Vamos encontrar os complementos algébricos utilizando a fórmula, onde é o menor do elemento:

Então , .

61–80. Resolva o sistema de equações lineares:

Método de Cramer; 2. Método matricial.

Solução.

a) Método de Cramer

Vamos encontrar o determinante do sistema

Desde então, o sistema tem uma solução única.

Vamos encontrar os determinantes substituindo a primeira, segunda e terceira colunas na matriz de coeficientes por uma coluna de termos livres, respectivamente.

De acordo com as fórmulas de Cramer:

b)método de matriz (usando uma matriz inversa).

Escrevemos este sistema na forma matricial e o resolvemos usando a matriz inversa.

Deixar A– matriz de coeficientes para incógnitas; X– coluna-matriz de incógnitas x, sim, z E N– coluna matriz de membros livres:

O lado esquerdo do sistema (1) pode ser escrito como um produto de matrizes, e o lado direito como uma matriz N. Portanto temos a equação matricial

Como o determinante da matriz Aé diferente de zero (ponto “a”), então a matriz A tem uma matriz inversa. Multiplicamos ambos os lados da igualdade (2) à esquerda pela matriz, obtemos

Desde onde Eé a matriz identidade, e , então

Tenhamos uma matriz não singular A:

Então encontramos a matriz inversa usando a fórmula:

Onde A eu j- complemento algébrico de um elemento a eu j no determinante da matriz A, que é o produto de (-1) i+j e o menor (determinante) n-1 pedido obtido pela exclusão eu-ésimo linhas e jº coluna no determinante da matriz A:

A partir daqui obtemos a matriz inversa:

Coluna X: X=A -1 H

81–100. Resolva um sistema de equações lineares usando o método de Gauss

Solução. Vamos escrever o sistema na forma de uma matriz estendida:

Realizamos transformações elementares com strings.

Da 2ª linha subtraímos a primeira linha multiplicada por 2. Da linha 3 subtraímos a primeira linha multiplicada por 4. Da linha 4 subtraímos a primeira linha, obtemos a matriz:

A seguir, obtemos zero na primeira coluna das linhas subsequentes, para fazer isso subtraímos a terceira linha da segunda linha. Da terceira linha, subtraia a segunda linha, multiplicada por 2. Da quarta linha, subtraia a segunda linha, multiplicada por 3. Como resultado, obtemos uma matriz da forma:

Da quarta linha subtraímos a terceira.

Vamos trocar a penúltima e a última linhas:

A última matriz é equivalente ao sistema de equações:

Da última equação do sistema encontramos.

Substituindo na penúltima equação, obtemos .

Da segunda equação do sistema segue que

Da primeira equação encontramos x:

Responder:

Teste nº 2

Geometria analítica

1-20. Dadas as coordenadas dos vértices do triângulo ABC. Encontrar:

1) comprimento lateral AEM;

2) equações dos lados AB E Sol e seus coeficientes angulares;

3) ângulo EM em radianos com precisão de dois dígitos;

4) equação de altura CD e seu comprimento;

5) equação mediana EA

altura CD;

PARA paralelo ao lado AB,

7) faça um desenho.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Solução.

Aplicando (1), encontramos o comprimento do lado AB:

2) equações dos lados AB E Sol e seus coeficientes angulares:

A equação de uma linha reta que passa pelos pontos e tem a forma

Substituindo as coordenadas dos pontos em (2) A E EM, obtemos a equação do lado AB:

(AB).

(a.C.).

3) ângulo EM em radianos com precisão de dois dígitos.

Sabe-se que a tangente do ângulo entre duas retas, cujos coeficientes angulares são respectivamente iguais e é calculada pela fórmula

Ângulo necessário EM formado por linhas retas AB E Sol, cujos coeficientes angulares são encontrados: ; . Aplicando (3), obtemos

; , ou

4) equação de altura CD e seu comprimento.

Distância do ponto C à linha reta AB:

5) equação mediana EA e as coordenadas do ponto K da intersecção desta mediana com

altura CD.

meio do lado do sol:

Então a equação AE:

Resolvemos o sistema de equações:

6) equação de uma reta passando por um ponto PARA paralelo ao lado AB:

Como a linha desejada é paralela ao lado AB, então seu coeficiente angular será igual ao coeficiente angular da linha reta AB. Substituindo as coordenadas do ponto encontrado em (4) PARA e a inclinação, obtemos

; (KF).

A área do paralelogramo é de 12 metros quadrados. unidades, seus dois vértices são pontos UMA(-1;3) E B(-2;4). Encontre os outros dois vértices deste paralelogramo se for conhecido que o ponto de intersecção de suas diagonais está no eixo x. Faça um desenho.

Solução. Deixe o ponto de intersecção das diagonais ter coordenadas .

Então é óbvio que

portanto, as coordenadas dos vetores são.

Encontramos a área de um paralelogramo usando a fórmula

Então as coordenadas dos outros dois vértices são.

Nos problemas 51-60 as coordenadas dos pontos são dadas A e B. Obrigatório:

Escreva uma equação canônica para uma hipérbole que passa por esses pontos A e B, se os focos da hipérbole estiverem localizados no eixo x;

Encontre os semieixos, focos, excentricidade e equações das assíntotas desta hipérbole;

Encontre todos os pontos de intersecção da hipérbole com um círculo com centro na origem, se este círculo passar pelos focos da hipérbole;

Construa uma hipérbole, suas assíntotas e seu círculo.

A(6;-2), B(-8;12).

Solução. A equação da hipérbole desejada na forma canônica é escrita

Onde a- semieixo real da hipérbole, b- semieixo imaginário. Substituindo as coordenadas dos pontos A E EM Nesta equação encontramos estes semieixos:

– equação da hipérbole: .

Semi-eixos a=4,

distância focal Focos (-8,0) e (8,0)

Excentricidade

Assíptotas:

Se uma circunferência passa pela origem, sua equação é

Substituindo um dos focos, encontramos a equação do círculo

Encontre os pontos de intersecção da hipérbole e do círculo:

Construímos um desenho:

Nos problemas 61-80, construa um gráfico de uma função em um sistema de coordenadas polares ponto por ponto, fornecendo valores de  através do intervalo  /8 (0   2). Encontre a equação da reta em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares (o semieixo positivo da abcissa coincide com o eixo polar e o pólo com a origem).

Solução. Vamos construir uma reta por pontos, tendo previamente preenchido a tabela de valores e φ.

Número	φ ,	φ, graus			Número	φ , alegre	graus
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 concluímos que esta equação define uma elipse: Os pontos são dados A, EM , CD . Precisa encontrar: 1. Equação plana (P), passando por pontos A, B, C D no avião (Q); 2. Equação de linha (EU), passando por pontos EM e D; 3. Ângulo entre planos (Q) e liso (EU); 4. Equação plana (R), passando por um ponto A perpendicular a uma linha reta (EU); 5. Ângulo entre planos (R) E (P) ; 6. Equação de uma reta (T), passando por um ponto A na direção do seu vetor raio; 7. Ângulo entre linhas retas (EU) E (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Equação plana (P), passando por pontos A, B, C e verifique se o ponto está D no plano é determinado pela fórmula Find: 1) . 2) Quadrado paralelogramo, construído sobre E. 3) Volume do paralelepípedo, construído sobre vetores, E. Ao controle Trabalho neste tópico " Elementos teoria dos espaços lineares... Recomendações metodológicas para realização de provas de graduação em meio período na qualificação 080100. 62 na direção Diretrizes Paralelepípedo e volume da pirâmide, construído sobre vetores, E. Solução: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. TAREFAS PARA AO CONTROLE FUNCIONA Seção I. Linear álgebra. 1 – 10. Dado...

Neste artigo examinaremos mais de perto o conceito de produto vetorial de dois vetores. Daremos as definições necessárias, escreveremos uma fórmula para encontrar as coordenadas de um produto vetorial, listaremos e justificaremos suas propriedades. Depois disso, nos deteremos no significado geométrico do produto vetorial de dois vetores e consideraremos soluções para vários exemplos típicos.

Navegação na página.

Definição de produto vetorial.

Antes de definir um produto vetorial, vamos entender a orientação de uma tripla ordenada de vetores no espaço tridimensional.

Vamos traçar os vetores a partir de um ponto. Dependendo da direção do vetor, os três podem estar à direita ou à esquerda. Vejamos, a partir do final do vetor, como é a curva mais curta do vetor para . Se a rotação mais curta ocorrer no sentido anti-horário, então o triplo dos vetores é chamado certo, de outra forma - esquerda.

Agora vamos pegar dois vetores não colineares e. Vamos traçar os vetores e do ponto A. Vamos construir algum vetor perpendicular a e e . Obviamente, ao construir um vetor, podemos fazer duas coisas, dando-lhe uma direção ou a oposta (ver ilustração).

Dependendo da direção do vetor, o trio ordenado de vetores pode ser destro ou canhoto.

Isso nos aproxima da definição de produto vetorial. É dado para dois vetores definidos em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional.

Definição.

O produto vetorial de dois vetores e , especificado em um sistema de coordenadas retangulares do espaço tridimensional, é chamado de vetor tal que

O produto vetorial de vetores e é denotado como.

Coordenadas do produto vetorial.

Agora daremos a segunda definição de um produto vetorial, que permite encontrar suas coordenadas a partir das coordenadas de determinados vetores e.

Definição.

Em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional produto vetorial de dois vetores E é um vetor, onde estão os vetores coordenados.

Esta definição nos dá o produto vetorial na forma de coordenadas.

É conveniente representar o produto vetorial como o determinante de uma matriz quadrada de terceira ordem, cuja primeira linha são os vetores, a segunda linha contém as coordenadas do vetor e a terceira contém as coordenadas do vetor em um determinado sistema de coordenadas retangulares:

Se expandirmos este determinante nos elementos da primeira linha, obtemos a igualdade a partir da definição do produto vetorial em coordenadas (se necessário, consulte o artigo):

Deve-se notar que a forma das coordenadas do produto vetorial é totalmente consistente com a definição dada no primeiro parágrafo deste artigo. Além disso, estas duas definições de produto vetorial são equivalentes. Você pode ver a prova desse fato no livro listado no final do artigo.

Propriedades de um produto vetorial.

Como o produto vetorial em coordenadas pode ser representado como um determinante da matriz, o seguinte pode ser facilmente justificado com base propriedades do produto vetorial:

Como exemplo, vamos provar a propriedade anticomutativa de um produto vetorial.

Priorado A E . Sabemos que o valor do determinante de uma matriz é invertido se duas linhas forem trocadas, portanto, , o que prova a propriedade anticomutativa de um produto vetorial.

Produto vetorial - exemplos e soluções.

Existem basicamente três tipos de problemas.

Nos problemas do primeiro tipo, são dados os comprimentos de dois vetores e o ângulo entre eles, e é necessário encontrar o comprimento do produto vetorial. Neste caso, a fórmula é usada .

Exemplo.

Encontre o comprimento do produto vetorial dos vetores e, se conhecido .

Solução.

Sabemos pela definição que o comprimento do produto vetorial dos vetores e é igual ao produto dos comprimentos dos vetores e pelo seno do ângulo entre eles, portanto, .

Responder:

.

Problemas do segundo tipo estão relacionados às coordenadas de vetores, em que se busca o produto vetorial, seu comprimento ou qualquer outra coisa através das coordenadas de determinados vetores E .

Existem muitas opções diferentes possíveis aqui. Por exemplo, não as coordenadas dos vetores e podem ser especificadas, mas suas expansões em vetores coordenados da forma e , ou vetores e podem ser especificados pelas coordenadas de seus pontos inicial e final.

Vejamos exemplos típicos.

Exemplo.

Dois vetores são dados em um sistema de coordenadas retangulares . Encontre seu produto vetorial.

Solução.

De acordo com a segunda definição, o produto vetorial de dois vetores em coordenadas é escrito como:

Teríamos chegado ao mesmo resultado se o produto vetorial tivesse sido escrito em termos do determinante

Responder:

.

Exemplo.

Encontre o comprimento do produto vetorial dos vetores e , onde estão os vetores unitários do sistema de coordenadas cartesianas retangulares.

Solução.

Primeiro encontramos as coordenadas do produto vetorial em um determinado sistema de coordenadas retangulares.

Como os vetores e têm coordenadas e respectivamente (se necessário, veja as coordenadas do artigo de um vetor em um sistema de coordenadas retangulares), então pela segunda definição de um produto vetorial temos

Ou seja, o produto vetorial tem coordenadas em um determinado sistema de coordenadas.

Encontramos o comprimento de um produto vetorial como a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas (obtivemos esta fórmula para o comprimento de um vetor na seção sobre como encontrar o comprimento de um vetor):

Responder:

.

Exemplo.

Em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares, são fornecidas as coordenadas de três pontos. Encontre algum vetor que seja perpendicular e ao mesmo tempo.

Solução.

Vetores e possuem coordenadas e respectivamente (veja o artigo encontrando as coordenadas de um vetor através das coordenadas dos pontos). Se encontrarmos o produto vetorial dos vetores e, então, por definição, é um vetor perpendicular a e a, ou seja, é uma solução para o nosso problema. Vamos encontrá-lo

Responder:

- um dos vetores perpendiculares.

Nos problemas do terceiro tipo, é testada a habilidade de usar as propriedades do produto vetorial de vetores. Após aplicar as propriedades, as fórmulas correspondentes são aplicadas.

Exemplo.

Os vetores e são perpendiculares e seus comprimentos são 3 e 4, respectivamente. Encontre o comprimento do produto vetorial .

Solução.

Pela propriedade distributiva de um produto vetorial, podemos escrever

Devido à propriedade combinacional, retiramos os coeficientes numéricos do sinal dos produtos vetoriais na última expressão:

Os produtos vetoriais e são iguais a zero, pois E , Então .

Como o produto vetorial é anticomutativo, então.

Então, usando as propriedades do produto vetorial, chegamos à igualdade .

Por condição, os vetores e são perpendiculares, ou seja, o ângulo entre eles é igual a . Ou seja, temos todos os dados para encontrar o comprimento necessário

Responder:

.

Significado geométrico de um produto vetorial.

Por definição, o comprimento do produto vetorial de vetores é . E no curso de geometria do ensino médio sabemos que a área de um triângulo é igual à metade do produto dos comprimentos dos dois lados do triângulo e o seno do ângulo entre eles. Consequentemente, o comprimento do produto vetorial é igual ao dobro da área de um triângulo cujos lados são os vetores e , se forem plotados a partir de um ponto. Em outras palavras, o comprimento do produto vetorial dos vetores e é igual à área de um paralelogramo com lados e e o ângulo entre eles é igual a . Este é o significado geométrico do produto vetorial.