Verifique se as linhas estão no mesmo plano. Posição relativa das linhas

17.10.2021

Nesta lição revisaremos os princípios básicos da teoria e resolveremos problemas mais complexos sobre o tema “Paralelismo de retas e planos”.
No início da lição, vamos relembrar a definição de uma reta paralela a um plano e o teorema que indica o paralelismo de uma reta e de um plano. Recordemos também a definição de planos paralelos e o teorema do paralelismo de planos. A seguir, vamos relembrar a definição de retas oblíquas e o teorema do teste para retas oblíquas, bem como o teorema de que através de qualquer uma das retas oblíquas um plano pode ser traçado paralelo a outra reta. Vamos tirar uma conclusão deste teorema - a afirmação de que duas linhas oblíquas correspondem a um único par de planos paralelos.
A seguir resolveremos alguns problemas mais complexos usando a teoria repetida.

Tópico: Paralelismo de linhas e planos

Lição: Revisão da teoria. Resolvendo problemas mais complexos sobre o tema “Paralelismo de retas e planos”

Nesta lição revisaremos os princípios básicos da teoria e resolveremos problemas mais complexos sobre o tema “Paralelismo de linhas e planos”.

Definição. Uma linha e um plano são chamados de paralelos se não tiverem pontos comuns.

Se uma linha que não está em um determinado plano é paralela a alguma linha que está neste plano, então ela é paralela a esse plano.

Deixe uma linha reta ser dada A e plano (Fig. 1). Uma linha reta está no plano b, que é paralelo à reta A. Do paralelismo de linhas A E b segue-se que a linha é paralela A e aviões.

1. Geometria. 10ª a 11ª séries: livro didático para alunos de instituições de ensino geral (níveis básico e especializado) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª edição, corrigida e ampliada - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: il.

Tarefas 9, 10, página 23

2. Três linhas se cruzam aos pares. Qualquer plano pode ser paralelo a todas essas linhas?

3. Através do ponto M, apenas uma linha reta pode ser traçada paralela aos planos α e β. Esses planos são paralelos?

4. Dois trapézios têm uma linha média comum. O plano α passa pelas bases menores dos trapézios e o plano β passa pelas bases maiores dos trapézios. Os planos α e β são paralelos?

5. ABCD- quadrilátero. O ponto M está fora do seu plano. Os pontos médios dos segmentos estão no mesmo plano? MA, MV, MS, MD?

As linhas retas estão no mesmo plano. se eles 1) se cruzam; 2) são paralelos.

Para que as retas L 1: e L 2: pertençam ao mesmo plano  para que os vetores M 1 M 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), q 1 =(eu 1 ;m 1 ;n 1 ) e q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) eram coplanares. Ou seja, de acordo com a condição de coplanaridade de três vetores, o produto misto M 1 M 2 ·s 1 ·s 2 =Δ==0 (8)

Porque a condição para paralelismo de duas retas tem a forma: então para a intersecção das retas L 1 e L 2 , para que satisfaçam a condição (8) e para que pelo menos uma das proporções seja violada.

Exemplo. Explore as posições relativas das linhas:

Vetor de direção da linha reta L 1 – q 1 =(1;3;-2). A linha L 2 é definida como a intersecção de 2 planos α 1: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. Porque a linha L 2 está em ambos os planos, então ela e, portanto, seu vetor de direção, é perpendicular às normais n 1 E n 2 . Portanto, o vetor de direção é 2 é o produto vetorial de vetores n 1 E n 2 , ou seja q 2 =n 1 X n 2 ==-eu-3j+2k.

Que. é 1 =-é 2 , Isso significa que as linhas são paralelas ou coincidentes.

Para verificar se as retas coincidem, substituímos as coordenadas do ponto M 0 (1;2;-1)L 1 nas equações gerais L 2: 1-2+2+1=0 - igualdades incorretas, ou seja, ponto M 0 L 2,

portanto as linhas são paralelas.

Distância de um ponto a uma reta.

A distância do ponto M 1 (x 1;y 1;z 1) à reta L, dada pela equação canônica L: pode ser calculada usando o produto vetorial.

Da equação canônica da reta segue-se que o ponto M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L, e o vetor de direção da reta q=(l;m;n)

Vamos construir um paralelogramo usando vetores q E M 0 M 1 . Então a distância do ponto M 1 à reta L é igual à altura h deste paralelogramo. Porque S=| q x M 0 M 1 |=h| q|, então

h = (9)

A distância entre duas linhas retas no espaço.

L 1: e L 2:

1) L 1 L 2 .

d =

2) L 1 e L 2 – cruzamento

d =

A posição relativa de uma linha reta e de um plano no espaço.

Para a localização de uma linha reta e de um plano no espaço, são possíveis 3 casos:

uma linha reta e um plano se cruzam em um ponto;

a reta e o plano são paralelos;

a linha reta está no plano.

Deixe a linha reta ser dada por sua equação canônica, e o plano – pela equação geral

α: Ах+Бу+Сz+D=0

As equações da reta dão o ponto M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L e o vetor de direção q=(l;m;n), e a equação do plano é um vetor normal n=(A;B;C).

1. A interseção de uma linha e um plano.

Se uma reta e um plano se cruzam, então o vetor diretor da reta q não é paralelo ao plano α e, portanto, não é ortogonal ao vetor normal do plano n. Aqueles. seu produto escalar nq≠0 ou, através de suas coordenadas,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Vamos determinar as coordenadas do ponto M - pontos de intersecção da reta L e do plano α.

Vamos passar da equação canônica da reta para a paramétrica: , tR

Vamos substituir essas relações na equação do plano

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – são conhecidos, vamos encontrar o parâmetro t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

se Am+Bn+Cp≠0, então a equação tem uma solução única que determina as coordenadas do ponto M:

t M = -→ (11)

O ângulo entre uma linha reta e um plano. Condições de paralelismo e perpendicularidade.

Ângulo φ entre a reta L :

com vetor guia q=(l;m;n) e plano

: Ах+Ву+Сz+D=0 com vetor normal n=(A;B;C) varia de 0˚ (no caso de uma linha e plano paralelos) a 90˚ (no caso de uma linha e plano perpendiculares). (O ângulo entre o vetor q e sua projeção no plano α).

– ângulo entre vetores q E n.

Porque o ângulo  entre a reta L e o plano  é complementar ao ângulo , então sen φ=sin(-)=cos =- (o valor absoluto é considerado porque o ângulo φ é agudo sen φ=sin( -) ou sin φ =sin(+) dependendo da direção da linha reta L)

Capítulo IV. Linhas retas e planos no espaço. Poliedros

§ 46. Disposição mútua de linhas no espaço

No espaço, duas linhas diferentes podem ou não estar no mesmo plano. Vejamos exemplos relevantes.

Deixe os pontos A, B, C não estarem na mesma linha reta. Vamos desenhar um avião através deles R e escolha algum ponto S que não pertença ao plano R(Fig. 130).

Então as linhas retas AB e BC estão no mesmo plano, ou seja, no plano R, as retas AS e CB não estão no mesmo plano. Na verdade, se estivessem no mesmo plano, então os pontos A, B, C, S também estariam neste plano, o que é impossível, uma vez que S não está no plano que passa pelos pontos A, B, C.

Duas linhas diferentes que estão no mesmo plano e não se cruzam são chamadas de paralelas. As linhas coincidentes também são chamadas de paralelas. Se direto 1 1 e 1 2 paralelo, então escreva 1 1 || 1 2 .

Por isso, 1 1 || 1 2 se, em primeiro lugar, houver um avião R de tal modo que
1 1 R E 1 2 R e em segundo lugar, ou 1 1 1 2 = ou 1 1 = 1 2 .

Duas linhas retas que não estão no mesmo plano são chamadas de linhas oblíquas. Obviamente, as linhas que se cruzam não se cruzam e não são paralelas.

Vamos provar uma propriedade importante das retas paralelas, que é chamada de transitividade do paralelismo.

Teorema. Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas entre si.

Deixar 1 1 || 1 2 e 1 2 || 1 3. É necessário provar que 1 1 || 1 3

Se direto 1 1 , 1 2 , 1 3 estão no mesmo plano, então esta afirmação é comprovada em planimetria. Vamos supor que as linhas retas 1 1 , 1 2 , 1 3 não estão no mesmo plano.

Através de linhas retas 1 1 e 1 2 desenhe um avião R 1, e através 1 2 e 1 3 - avião R 2 (Fig. 131).

Observe que a linha reta 1 3 contém pelo menos um ponto M que não pertence ao plano
R 1 .

Desenhe um plano através da linha reta e aponte M R 3, que intercepta o plano R 2 ao longo de alguma linha reta eu. Vamos provar isso eu coincide com 1 3. Vamos provar isso “por contradição”.

Suponhamos que a linha reta 1 não coincide com uma linha reta 1 3. Então 1 cruza uma linha 1 2 em algum ponto A. Segue-se que o plano R 3 passagens pelo ponto A R 1 e direto 1 1 R 1 e, portanto, coincide com o plano R 1. Esta conclusão contradiz o fato de que o ponto M R 3 não pertence ao avião R 1 .
Portanto, nossa suposição está incorreta e, portanto, 1 = 1 3 .

Assim, está provado que as linhas retas 1 1 e 1 3 estão no mesmo plano R 3. Vamos provar que as retas 1 1 e 1 3 não se cruzam.

Na verdade, se 1 1 e 1 3 cruzou, por exemplo, no ponto B, então o plano R 2 passaria por uma linha reta 1 2 e através do ponto B 1 1 e, portanto, coincidiria com R 1, o que é impossível.

Tarefa. Prove que ângulos com lados codirecionais têm dimensões iguais.

Deixe os ângulos MAN e M 1 A 1 N 1 terem lados codirecionais: o raio AM é codirecionado com o raio A 1 M 1, e o raio AN é codirecionado com o raio A 1 N 1 (Fig. 132).

Nos raios AM e A 1 M 1 traçaremos os segmentos AB e A 1 B 1 de comprimento igual. Então

|| e |BB 1 | = |AA1 |

como lados opostos de um paralelogramo.

Da mesma forma, nos raios AN e A 1 N 1 representaremos os segmentos AC e A 1 C 1 de comprimento igual. Então

|| e |CC 1 | = |AA1 |

Da transitividade do paralelismo segue-se que || . E desde |BB 1 | = |CC1 | , então BB 1 C 1 C é um paralelogramo e, portanto, |BC| = |B 1 C 1 |.
Por isso, /\ abc /\ A 1 B 1 C 1 e .

Para duas linhas no espaço, quatro casos são possíveis:

As linhas retas coincidem;

As linhas são paralelas (mas não coincidem);

As linhas se cruzam;

Linhas retas se cruzam, ou seja, não têm pontos comuns e não são paralelos.

Vamos considerar duas maneiras de descrever linhas retas: equações canônicas e equações gerais. Sejam as retas L 1 e L 2 dadas por equações canônicas:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6,9)

Para cada linha de suas equações canônicas, determinamos imediatamente o ponto nela M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) ∈ L 2 e as coordenadas dos vetores de direção s 1 = (l 1; m 1; n 1) para L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) para L 2.

Se as retas coincidem ou são paralelas, então seus vetores de direção s 1 e s 2 são colineares, o que equivale à igualdade das razões das coordenadas desses vetores:

eu 1 /eu 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6.10)

Se as retas coincidirem, então o vetor M 1 M 2 é colinear aos vetores de direção:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Esta dupla igualdade também significa que o ponto M 2 pertence à reta L 1. Consequentemente, a condição para que as retas coincidam é satisfazer as igualdades (6.10) e (6.11) simultaneamente.

Se as linhas se cruzam ou se cruzam, então seus vetores de direção são não colineares, ou seja, a condição (6.10) é violada. As linhas que se cruzam estão no mesmo plano e, portanto, vetores s 1 , s 2 e M 1 M 2 são coplanardeterminante de terceira ordem, composto por suas coordenadas (ver 3.2):

A condição (6.12) é satisfeita em três dos quatro casos, pois para Δ ≠ 0 as retas não pertencem ao mesmo plano e, portanto, se cruzam.

Vamos juntar todas as condições:

A posição relativa das linhas é caracterizada pelo número de soluções do sistema (6.13). Se as linhas coincidirem, o sistema terá infinitas soluções. Se as linhas se cruzarem, então este sistema terá uma solução única. No caso de paralelo ou cruzamento, não existem soluções diretas. Os dois últimos casos podem ser separados encontrando os vetores de direção das retas. Para isso, basta calcular dois arte vetorial n 1 × n 2 e n 3 × n 4, onde n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Se os vetores resultantes forem colineares, então as retas fornecidas são paralelas. Caso contrário, eles estão cruzando.

Exemplo 6.4.

O vetor de direção s 1 da reta L 1 é encontrado usando as equações canônicas desta reta: s 1 = (1; 3; -2). O vetor direção s 2 da reta L 2 é calculado usando o produto vetorial dos vetores normais dos planos cuja intersecção é:

Como s 1 = -s 2, então as retas são paralelas ou coincidem. Vamos descobrir qual dessas situações é realizada para essas linhas. Para fazer isso, substituímos as coordenadas do ponto M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 nas equações gerais da reta L 2 . Para o primeiro deles obtemos 1 = 0. Consequentemente, o ponto M 0 não pertence à reta L 2 e as retas em consideração são paralelas.

Ângulo entre linhas retas. O ângulo entre duas retas pode ser encontrado usando vetores de direção direto O ângulo agudo entre as retas é igual ao ângulo entre seus vetores de direção (Fig. 6.5) ou é adicional a ele se o ângulo entre os vetores de direção for obtuso. Assim, se para as retas L 1 e L 2 seus vetores de direção s x e s 2 são conhecidos, então o ângulo agudo φ entre essas retas é determinado através do produto escalar:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Por exemplo, seja si = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. Usando as fórmulas (2.9) e (2.14) para calcular comprimento do vetor e produto escalar em coordenadas, obtemos

Este artigo é sobre linhas paralelas e linhas paralelas. Primeiro, é dada a definição de retas paralelas em um plano e no espaço, são introduzidas notações, são dados exemplos e ilustrações gráficas de retas paralelas. A seguir, são discutidos os sinais e condições de paralelismo de linhas. Concluindo, são mostradas soluções para problemas típicos de comprovação do paralelismo de retas, que são dados por certas equações de uma reta em um sistema de coordenadas retangulares em um plano e no espaço tridimensional.

Navegação na página.

Linhas paralelas - informações básicas.

Definição.

Duas retas em um plano são chamadas paralelo, se não tiverem pontos em comum.

Definição.

Duas linhas no espaço tridimensional são chamadas paralelo, se estiverem no mesmo plano e não tiverem pontos comuns.

Observe que a cláusula “se estiverem no mesmo plano” na definição de retas paralelas no espaço é muito importante. Esclareçamos este ponto: duas retas no espaço tridimensional que não possuem pontos comuns e não estão no mesmo plano não são paralelas, mas se cruzam.

Aqui estão alguns exemplos de linhas paralelas. As bordas opostas da folha do caderno ficam em linhas paralelas. As linhas retas ao longo das quais o plano da parede da casa cruza os planos do teto e do piso são paralelas. Os trilhos ferroviários em terreno plano também podem ser considerados linhas paralelas.

Para denotar linhas paralelas, use o símbolo “”. Ou seja, se as linhas a e b forem paralelas, então podemos escrever brevemente a b.

Observe: se as linhas a e b são paralelas, então podemos dizer que a linha a é paralela à linha b e também que a linha b é paralela à linha a.

Vamos expressar uma afirmação que desempenha um papel importante no estudo das retas paralelas em um plano: através de um ponto que não pertence a uma dada reta, passa a única reta paralela àquela dada. Esta afirmação é aceita como um fato (não pode ser provada com base nos axiomas conhecidos da planimetria) e é chamada de axioma das retas paralelas.

Para o caso do espaço, o teorema é válido: por qualquer ponto do espaço que não esteja em uma determinada linha, passa uma única linha reta paralela a essa. Este teorema é facilmente comprovado usando o axioma de linhas paralelas acima (você pode encontrar sua prova no livro de geometria para as séries 10-11, que está listado no final do artigo na lista de referências).

Para o caso do espaço, o teorema é válido: por qualquer ponto do espaço que não esteja em uma determinada linha, passa uma única linha reta paralela a essa. Este teorema pode ser facilmente comprovado usando o axioma da linha paralela acima.

Paralelismo de retas – sinais e condições de paralelismo.

Um sinal de paralelismo de linhasé uma condição suficiente para que as retas sejam paralelas, ou seja, uma condição cujo cumprimento garante que as retas sejam paralelas. Em outras palavras, o cumprimento desta condição é suficiente para estabelecer o fato de que as retas são paralelas.

Existem também condições necessárias e suficientes para o paralelismo das retas no plano e no espaço tridimensional.

Expliquemos o significado da frase “condição necessária e suficiente para linhas paralelas”.

Já tratamos da condição suficiente para retas paralelas. O que é uma “condição necessária para linhas paralelas”? Pelo nome “necessário” fica claro que o cumprimento desta condição é necessário para linhas paralelas. Em outras palavras, se a condição necessária para que as retas sejam paralelas não for atendida, então as retas não são paralelas. Por isso, condição necessária e suficiente para linhas paralelasé uma condição cujo cumprimento é necessário e suficiente para linhas paralelas. Ou seja, por um lado, isso é um sinal de paralelismo de retas e, por outro lado, é uma propriedade que as retas paralelas possuem.

Antes de formular uma condição necessária e suficiente para o paralelismo das retas, é aconselhável relembrar várias definições auxiliares.

Linha secanteé uma linha que cruza cada uma de duas linhas não coincidentes dadas.

Quando duas retas se cruzam com uma transversal, formam-se oito retas não desenvolvidas. O assim chamado deitado transversalmente, correspondente E ângulos unilaterais. Vamos mostrá-los no desenho.

Teorema.

Se duas retas em um plano são interceptadas por uma transversal, então para que sejam paralelas é necessário e suficiente que os ângulos que se cruzam sejam iguais, ou que os ângulos correspondentes sejam iguais, ou que a soma dos ângulos unilaterais seja igual a 180 graus.

Vamos mostrar uma ilustração gráfica desta condição necessária e suficiente para o paralelismo de retas em um plano.

Você pode encontrar provas dessas condições para o paralelismo de retas em livros didáticos de geometria do 7º ao 9º ano.

Observe que essas condições também podem ser usadas no espaço tridimensional - o principal é que as duas retas e a secante estejam no mesmo plano.

Aqui estão mais alguns teoremas que são frequentemente usados para provar o paralelismo de retas.

Teorema.

Se duas retas em um plano são paralelas a uma terceira reta, então elas são paralelas. A prova deste critério segue do axioma das retas paralelas.

Existe uma condição semelhante para linhas paralelas no espaço tridimensional.

Teorema.

Se duas linhas no espaço são paralelas a uma terceira linha, então elas são paralelas. A prova deste critério é discutida nas aulas de geometria do 10º ano.

Vamos ilustrar os teoremas declarados.

Apresentamos outro teorema que nos permite provar o paralelismo das retas em um plano.

Teorema.

Se duas retas de um plano são perpendiculares a uma terceira reta, então elas são paralelas.

Existe um teorema semelhante para linhas no espaço.

Teorema.

Se duas linhas no espaço tridimensional são perpendiculares ao mesmo plano, então elas são paralelas.

Vamos fazer desenhos correspondentes a esses teoremas.

Todos os teoremas, critérios e condições necessárias e suficientes formulados acima são excelentes para provar o paralelismo de retas utilizando os métodos da geometria. Ou seja, para provar o paralelismo de duas retas dadas, é necessário mostrar que elas são paralelas a uma terceira reta, ou mostrar a igualdade dos ângulos transversais, etc. Muitos problemas semelhantes são resolvidos nas aulas de geometria do ensino médio. No entanto, deve-se notar que em muitos casos é conveniente utilizar o método de coordenadas para provar o paralelismo de retas em um plano ou no espaço tridimensional. Formulemos as condições necessárias e suficientes para o paralelismo das retas especificadas em um sistema de coordenadas retangulares.

Paralelismo de retas em um sistema de coordenadas retangulares.

Neste parágrafo do artigo iremos formular condições necessárias e suficientes para linhas paralelas em um sistema de coordenadas retangulares, dependendo do tipo de equações que definem essas retas, e também forneceremos soluções detalhadas para problemas característicos.

Comecemos com a condição de paralelismo de duas retas em um plano no sistema de coordenadas retangulares Oxy. Sua prova é baseada na definição do vetor direção de uma reta e na definição do vetor normal de uma reta em um plano.

Teorema.

Para que duas retas não coincidentes sejam paralelas em um plano, é necessário e suficiente que os vetores de direção dessas retas sejam colineares, ou os vetores normais dessas retas sejam colineares, ou o vetor de direção de uma reta seja perpendicular à normal vetor da segunda linha.

Obviamente, a condição de paralelismo de duas retas em um plano se reduz a (vetores de direção de retas ou vetores normais de retas) ou a (vetor de direção de uma reta e vetor normal da segunda reta). Assim, se e são vetores de direção das linhas a e b, e E são vetores normais das retas a e b, respectivamente, então a condição necessária e suficiente para o paralelismo das retas a e b será escrita como , ou , ou , onde t é algum número real. Por sua vez, as coordenadas das guias e (ou) vetores normais das retas aeb são encontradas usando as equações conhecidas das retas.

Em particular, se a linha reta a no sistema de coordenadas retangulares Oxy no plano define uma equação geral da linha reta da forma , e linha reta b - , então os vetores normais dessas retas possuem coordenadas e, respectivamente, e a condição para paralelismo das retas a e b será escrita como .

Se a linha a corresponde à equação de uma linha com um coeficiente angular da forma , e linha b - , então os vetores normais dessas linhas têm coordenadas e , e a condição para paralelismo dessas linhas assume a forma . Conseqüentemente, se as linhas em um plano em um sistema de coordenadas retangulares forem paralelas e puderem ser especificadas por equações de linhas com coeficientes angulares, então os coeficientes angulares das linhas serão iguais. E vice-versa: se linhas não coincidentes em um plano em um sistema de coordenadas retangulares podem ser dadas pelas equações de uma linha com coeficientes angulares iguais, então essas linhas são paralelas.

Se uma reta a e uma reta b em um sistema de coordenadas retangular são determinadas pelas equações canônicas de uma reta em um plano da forma E , ou equações paramétricas de uma linha reta em um plano da forma E consequentemente, os vetores de direção dessas linhas têm coordenadas e, e a condição para paralelismo das linhas a e b é escrita como.

Vejamos soluções para vários exemplos.

Exemplo.

As linhas são paralelas? E ?

Solução.

Vamos reescrever a equação de uma reta em segmentos na forma de uma equação geral de uma reta: . Agora podemos ver que é o vetor normal da reta , a é o vetor normal da linha. Esses vetores não são colineares, pois não existe um número real t para o qual a igualdade ( ). Consequentemente, a condição necessária e suficiente para o paralelismo das retas em um plano não é satisfeita, portanto, as retas dadas não são paralelas.

Responder:

Não, as linhas não são paralelas.

Exemplo.

São linhas retas e paralelas?

Solução.

Reduzamos a equação canônica de uma reta à equação de uma reta com coeficiente angular: . Obviamente, as equações das retas e não são iguais (neste caso, as retas dadas seriam as mesmas) e os coeficientes angulares das retas são iguais, portanto, as retas originais são paralelas.