Encontrando o conjunto de valores da função. Faixa de função (conjunto de valores de função)

A dependência de uma variável em outra é chamada dependência funcional. Variável de dependência sim da variável x chamado função, se cada valor x corresponde a um único valor sim.

Designação:

Variável x chamada de variável independente ou argumento, e a variável sim- dependente. Eles disseram aquilo simé uma função de x. Significado sim, correspondente ao valor especificado x, chamado valor da função.

Todos os valores que aceita x, forma domínio de uma função; todos os valores que leva sim, forma conjunto de valores de função.

Designações:

D(f)- valores dos argumentos. E(f)- valores de função. Se uma função é dada por uma fórmula, considera-se que o domínio de definição consiste em todos os valores da variável para os quais esta fórmula faz sentido.

Gráfico de funçãoé o conjunto de todos os pontos do plano coordenado cujas abcissas são iguais aos valores do argumento e cujas ordenadas são iguais aos valores correspondentes da função. Se algum valor x=x0 corresponde a vários valores (não apenas um) sim, então tal correspondência não é uma função. Para que um conjunto de pontos em um plano coordenado seja um gráfico de uma determinada função, é necessário e suficiente que qualquer reta paralela ao eixo Oy cruze com o gráfico em no máximo um ponto.

Métodos para especificar uma função

1) A função pode ser definida analiticamente na forma de uma fórmula. Por exemplo,

2) A função pode ser especificada por uma tabela de muitos pares (x; y).

3) A função pode ser especificada graficamente. Pares de valores (x; y) são representados no plano de coordenadas.

Monotonicidade da função

Função f(x) chamado aumentando em um determinado intervalo numérico, se um valor maior do argumento corresponder a um valor maior da função. Imagine que um determinado ponto se move ao longo do gráfico da esquerda para a direita. Então o ponto parecerá “subir” no gráfico.

Função f(x) chamado diminuindo em um determinado intervalo numérico, se um valor maior do argumento corresponder a um valor menor da função. Imagine que um determinado ponto se move ao longo do gráfico da esquerda para a direita. Então o ponto parecerá “rolar” para baixo no gráfico.

Uma função que apenas aumenta ou apenas diminui em um determinado intervalo numérico é chamada monótono neste intervalo.

Zeros da função e intervalos de sinal constante

Valores X, em qual y = 0, chamado zeros de função. Estas são as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo do Boi.

Tais intervalos de valores x, em que os valores da função sim ou apenas positivos ou apenas negativos são chamados intervalos de sinal constante da função.

Funções pares e ímpares

Função par
1) O domínio de definição é simétrico em relação ao ponto (0; 0), ou seja, se o ponto a pertence ao domínio de definição, então o ponto -a também pertence ao domínio da definição.
2) Para qualquer valor x f(-x)=f(x)
3) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oy.

Função estranha tem as seguintes propriedades:
1) O domínio de definição é simétrico em relação ao ponto (0; 0).
2) para qualquer valor x, pertencente ao domínio da definição, a igualdade f(-x)=-f(x)
3) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem (0; 0).

Nem toda função é par ou ímpar. Funções visão geral não são pares nem ímpares.

Funções periódicas

Função fé chamado periódico se existe um número tal que para qualquer x do domínio de definição a igualdade f(x)=f(x-T)=f(x+T). Té o período da função.

Toda função periódica possui um número infinito de períodos. Na prática, costuma-se considerar o menor período positivo.

Os valores de uma função periódica são repetidos após um intervalo igual ao período. Isso é usado na construção de gráficos.

Hoje na lição nos voltaremos para um dos conceitos básicos da matemática - o conceito de função; Vamos dar uma olhada em uma das propriedades de uma função - o conjunto de seus valores.

Durante as aulas

Professor. Ao resolver problemas, notamos que às vezes é encontrar o conjunto de valores de uma função que nos coloca em situações difíceis. Por que? Parece que, tendo estudado uma função desde o 7º ano, sabemos bastante sobre ela. Portanto, temos todos os motivos para tomar uma atitude proativa. Vamos “brincar” com muitos valores de função hoje para responder a muitas perguntas sobre esse tópico no próximo exame.

Conjuntos de valores de funções elementares

Professor. Primeiro você precisa repetir os gráficos, equações e conjuntos de valores das funções elementares básicas em todo o domínio de definição.

Gráficos de funções são projetados na tela: linear, quadrático, fracionário-racional, trigonométrico, exponencial e logarítmico, para cada um deles um conjunto de valores é determinado oralmente. Chame a atenção dos alunos para o fato de que a função linear E(f) = R ou um número, para um linear fracionário

Este é o nosso alfabeto. Somando a isso nosso conhecimento sobre transformações de grafos: translação paralela, alongamento, compressão, reflexão, poderemos resolver os problemas da primeira parte O Exame Estadual Unificado é ainda um pouco mais difícil. Vamos dar uma olhada.

Trabalho independente

você Termos do problema e sistemas de coordenadas são impressos para cada aluno.

1. Encontre o conjunto de valores da função em todo o domínio de definição:

A) sim= 3 pecado X ;
b) sim = 7 – 2 X ;
V) sim= –arcos ( x + 5):
G) sim= | arco x |;
e)

2. Encontre o conjunto de valores da função sim = x 2 entre J., Se:

A) J. = ;
b) J. = [–1; 5).

3. Defina a função analiticamente (por uma equação), se o conjunto de seus valores for:

1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] e f(x) - função

a) quadrático,
b) logarítmico,
c) demonstrativo;

2) E(f(x)) = R \{7}.

Ao discutir uma tarefa 2trabalho independente, chamar a atenção dos alunos para o fato de que, no caso de monotonicidade e continuidade da função y=f(x)em um determinado intervalo[a;b],seus muitos significados-intervalo,cujas extremidades são os valores de f(a)e f(b).

Opções de resposta para a tarefa 3.

1.
A) sim = –x 2 + 2 , sim = –(x + 18) 2 + 2,
sim= a(x – x c) 2 + 2 em A < 0.

b) sim= –| registro 8 x | + 2,

V) sim = –| 3 x – 7 | + 2, sim = –5 | x | + 3.

2.
a)b)

V) sim = 12 – 5x, Onde x ≠ 1 .

Encontrar vários valores de uma função usando derivada

Professor. No 10º ano, conhecemos o algoritmo para encontrar os extremos de uma função contínua em um segmento e encontrar seu conjunto de valores, sem depender do gráfico da função. Lembra como fizemos isso? ( Usando derivada.) Vamos lembrar esse algoritmo .

1. Certifique-se de que a função sim = f(x) é definido e contínuo no segmento J. = [a; b]. 2. Encontre os valores da função nas extremidades do segmento: f(a) ef(b). Comente. Se soubermos que a função é contínua e monótona em J., então você pode responder imediatamente: E(f) = [f(a); f(b)] ou E(f) = [f(b); f(A)]. 3. Encontre a derivada e depois os pontos críticos x kJ.. 4. Encontre os valores da função em pontos críticos f(x k). 5. Compare os valores das funções f(a), f(b) E f(x k), selecione o maior e o menor valor da função e dê a resposta: E(f)= [f nome; f naib].

Problemas envolvendo o uso desse algoritmo são encontrados em versões do Exame Estadual Unificado. Por exemplo, em 2008, tal tarefa foi proposta. Você tem que resolver isso Casas .

Tarefa C1. Encontre o maior valor da função

f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

em | x + 1| ≤ 3.

As condições do dever de casa são impressas para cada aluno .

Encontrando o conjunto de valores de uma função complexa

Professor. A parte principal da nossa lição serão problemas não padronizados contendo funções complexas, cujas derivadas são expressões muito complexas. E os gráficos dessas funções são desconhecidos para nós. Portanto, para resolver, utilizaremos a definição de uma função complexa, ou seja, a dependência entre as variáveis ​​​​na ordem de seu aninhamento em uma determinada função, e uma estimativa de seu intervalo de valores (o intervalo de mudança em seu valores). Problemas desse tipo são encontrados na segunda parte do Exame de Estado Unificado. Vejamos alguns exemplos.

Exercício 1. Para funções sim = f(x) E sim = g(x) escreva uma função complexa sim = f(g(x)) e encontre seu conjunto de valores:

A) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = pecado x;
b) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log 7 x;
V) g(x) = x 2 + 1;
G)

Solução. a) A função complexa tem a forma: sim= –pecado 2 x+ 2 pecado x + 3.

Apresentando um argumento intermediário t, podemos escrever esta função assim:

sim= –t 2 + 2t+ 3, onde t= pecado x.

Na função interna t= pecado x o argumento assume quaisquer valores, e o conjunto de seus valores é o segmento [–1; 1].

Assim, para a função externa sim = –t 2 +2t+ 3 descobrimos o intervalo para alteração dos valores do seu argumento t: t[-1; 1]. Vejamos o gráfico da função sim = –t 2 +2t + 3.

Notamos que a função quadrática em t[-1; 1] leva os menores e maiores valores em suas extremidades: sim nome = sim(–1) = 0 e sim naib = sim(1) = 4. E como esta função é contínua no intervalo [–1; 1], então aceita todos os valores entre eles.

Responder: sim .

b) A composição destas funções conduz-nos a uma função complexa que, após introdução de um argumento intermédio, pode ser representada da seguinte forma:

sim= –t 2 + 2t+ 3, onde t= registro 7 x,

Função t= registro 7 x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

Função sim = –t 2 + 2t+ 3 (ver gráfico) argumento t assume qualquer valor, e a própria função quadrática assume todos os valores no máximo 4.

Responder: sim (–∞ ; 4].

c) A função complexa tem a seguinte forma:

Introduzindo um argumento intermediário, obtemos:

Onde t = x 2 + 1.

Já que para a função interna x R , A t .

Responder: sim (0; 3].

d) A composição destas duas funções dá-nos uma função complexa

que pode ser escrito como

notar que

Então quando

Onde k Z , t [–1; 0) (0; 1].

Desenhando um gráfico da função vemos que com esses valores t

sim(–∞ ; –4] c ;

b) em toda a área de definição.

Solução. Primeiro, examinamos esta função quanto à monotonicidade. Função t= arcoctg x- contínuo e decrescente em R e o conjunto de seus valores (0; π). Função sim= registro 5 té definido no intervalo (0; π), é contínuo e aumenta nele. Isso significa que esta função complexa diminui no conjunto R . E, como composição de duas funções contínuas, será contínua em R .

Vamos resolver o problema "a".

Como a função é contínua em toda a reta numérica, ela é contínua em qualquer parte dela, em particular, em um determinado segmento. E então neste segmento ele tem o menor e o maior valor e pega todos os valores entre eles:

f(4) = log 5 arcoctg 4.

Qual dos valores resultantes é maior? Por que? E qual será o conjunto de valores?

Responder:

Vamos resolver o problema "b".

Responder: no(–∞; log 5 π) em toda a área de definição.

Problema com um parâmetro

Agora vamos tentar criar e resolver uma equação simples com um parâmetro da forma f(x) = a, Onde f(x) - a mesma função da tarefa 4.

Tarefa 5. Determine o número de raízes da equação log 5 (arcctg x) = A para cada valor de parâmetro A.

Solução. Como já mostramos na tarefa 4, a função no= log 5(arcctg x) - diminui e é contínuo em R e assume valores menores que log 5 π. Esta informação é suficiente para dar uma resposta.

Responder: Se A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Se A≥ log 5 π, então não há raízes.

Professor. Hoje examinamos problemas relacionados à localização do conjunto de valores de uma função. Ao longo desse caminho, descobrimos um novo método para resolver equações e inequações - o método de estimativa, de modo que encontrar o conjunto de valores da função tornou-se um meio de resolver problemas de nível superior. Ao fazê-lo, vimos como tais problemas são construídos e como as propriedades de monotonicidade de uma função facilitam a sua solução.

E gostaria de esperar que a lógica que conectou as tarefas discutidas hoje o tenha surpreendido ou pelo menos surpreendido. Não pode ser de outra forma: subir a um novo pico não deixa ninguém indiferente! Notamos e apreciamos belas pinturas, esculturas, etc. Mas a matemática também tem sua própria beleza, atraente e fascinante – a beleza da lógica. Os matemáticos dizem que uma solução bonita geralmente é uma solução correta, e isso não é apenas uma frase. Agora você mesmo terá que encontrar essas soluções, e hoje indicamos um dos caminhos para elas. Boa sorte para você! E lembre-se: quem caminha dominará o caminho!

Função é um dos conceitos matemáticos mais importantes.

Definição: Se cada número de um determinado conjunto x estiver associado a um único número y, então dizem que uma função y(x) está definida neste conjunto. Neste caso, x é chamado de variável independente ou argumento, e y é chamado de variável dependente ou valor de uma função ou simplesmente uma função.

A variável y também é considerada uma função da variável x.

Tendo denotado uma correspondência com uma letra, por exemplo f, é conveniente escrever: y=f (x), ou seja, o valor y é obtido a partir do argumento x usando a correspondência f. (Leia: y é igual a f de x.) O símbolo f (x) denota o valor da função correspondente ao valor do argumento igual a x.

Exemplo 1 Seja a função dada pela fórmula y=2x 2 –6. Então podemos escrever que f(x)=2x 2 –6. Vamos encontrar os valores da função para valores de x iguais a, por exemplo, 1; 2,5;–3; ou seja, encontramos f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Observe que na notação da forma y=f (x) outras letras são usadas em vez de f: g, etc.

Definição: O domínio de uma função são todos os valores de x para os quais a função existe.

Se uma função é especificada por uma fórmula e seu domínio de definição não é especificado, considera-se que o domínio de definição da função consiste em todos os valores do argumento para os quais a fórmula faz sentido.

Em outras palavras, o domínio de uma função dada por uma fórmula são todos os valores do argumento exceto aqueles que resultam em ações que não podemos realizar. No momento conhecemos apenas duas dessas ações. Não podemos dividir por zero e não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo.

Definição: Todos os valores que a variável dependente assume formam o contradomínio da função.

O domínio de definição de uma função que descreve um processo real depende das condições específicas de sua ocorrência. Por exemplo, a dependência do comprimento l de uma barra de ferro com a temperatura de aquecimento t é expressa pela fórmula onde l 0 é o comprimento inicial da barra e é o coeficiente de expansão linear. Esta fórmula faz sentido para quaisquer valores de t. Porém, o domínio de definição da função l=g(t) é um intervalo de várias dezenas de graus, para o qual a lei da expansão linear é válida.

Exemplo.

Especifique o intervalo de funções y = arco senx.

Solução.

O domínio de definição do arco seno é o segmento [-1; 1] . Vamos encontrar o maior e o menor valor da função neste segmento.

A derivada é positiva para todos x do intervalo (-1; 1) , isto é, a função arco seno aumenta em todo o domínio de definição. Portanto, assume o menor valor quando x = -1, e o maior em x = 1.

Obtivemos o intervalo da função arco seno .

Encontre o conjunto de valores da função no segmento .

Solução.

Vamos encontrar o maior e o menor valor da função em um determinado segmento.

Vamos determinar os pontos extremos pertencentes ao segmento :

Muitas vezes, como parte da resolução de problemas, temos que procurar muitos valores de uma função em um domínio de definição ou segmento. Por exemplo, isso precisa ser feito ao resolver vários tipos de desigualdades, avaliar expressões, etc.

Neste material, diremos qual é o intervalo de valores de uma função, daremos os principais métodos pelos quais ela pode ser calculada e analisaremos problemas de vários graus de complexidade. Para maior clareza, as disposições individuais são ilustradas com gráficos. Depois de ler este artigo, você terá uma compreensão abrangente do contradomínio de uma função.

Vamos começar com definições básicas.

Definição 1

O conjunto de valores de uma função y = f (x) em um determinado intervalo x é o conjunto de todos os valores que esta função assume ao iterar sobre todos os valores x ∈ X.

Definição 2

O intervalo de valores de uma função y = f (x) é o conjunto de todos os seus valores que ela pode assumir ao pesquisar os valores de x no intervalo x ∈ (f).

O intervalo de valores de uma determinada função é geralmente denotado por E (f).

Observe que o conceito do conjunto de valores de uma função nem sempre é idêntico ao seu intervalo de valores. Esses conceitos serão equivalentes somente se o intervalo de valores de x ao encontrar um conjunto de valores coincidir com o domínio de definição da função.

Também é importante distinguir entre o intervalo de valores e o intervalo de valores aceitáveis ​​​​da variável x para a expressão do lado direito y = f (x). A faixa de valores permitidos x para a expressão f(x) será o domínio de definição desta função.

Abaixo está uma ilustração mostrando alguns exemplos. As linhas azuis são gráficos de funções, as linhas vermelhas são assíntotas, os pontos vermelhos e as linhas no eixo das ordenadas são intervalos de funções.

Obviamente, o intervalo de valores de uma função pode ser obtido projetando o gráfico da função no eixo O y. Além disso, pode representar um único número ou um conjunto de números, um segmento, um intervalo, um raio aberto, uma união de intervalos numéricos, etc.

Vejamos as principais maneiras de encontrar o intervalo de valores de uma função.

Vamos começar definindo o conjunto de valores da função contínua y = f (x) em um determinado segmento denotado [ uma ; b] . Sabemos que uma função contínua em um determinado segmento atinge nele seu mínimo e máximo, ou seja, o maior m a x x ∈ a ; b f (x) e o menor valor m i n x ∈ a ; b f (x) . Isso significa que obtemos um segmento m i n x ∈ a ; namorado(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , que conterá os conjuntos de valores da função original. Então tudo o que precisamos fazer é encontrar os pontos mínimo e máximo indicados neste segmento.

Vejamos um problema no qual precisamos determinar o intervalo de valores do arco seno.

Exemplo 1

Doença: encontre o intervalo de valores y = a r c sin x .

Solução

No caso geral, o domínio de definição do arco seno está localizado no segmento [ - 1 ; 1]. Precisamos determinar o maior e o menor valor da função especificada nele.

y "= arc sen x" = 1 1 - x 2

Sabemos que a derivada da função será positiva para todos os valores de x localizados no intervalo [-1; 1], ou seja, ao longo de todo o domínio de definição, a função arco seno aumentará. Isso significa que assumirá o menor valor quando x for igual a -1, e o maior valor será quando x for igual a 1.

m eu n x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 arc sen x = arc sen 1 = π 2

Assim, o intervalo de valores da função arco seno será igual a E (a r c sin x) = - π 2; π2.

Responder: E (a r c sen x) = - π 2 ; π2

Exemplo 2

Doença: calcule o intervalo de valores y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 no intervalo fornecido [ 1 ; 4].

Solução

Tudo o que precisamos fazer é calcular o maior e o menor valor da função em um determinado intervalo.

Para determinar os pontos extremos, os seguintes cálculos devem ser feitos:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 e le 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 , 59 ∈ 1 ; 4

Agora vamos encontrar os valores da função dada nas extremidades do segmento e nos pontos x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 e 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 anos (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Isso significa que o conjunto de valores da função será determinado pelo segmento 117 - 165 33 512; 32.

Responder: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Vamos prosseguir para encontrar o conjunto de valores da função contínua y = f (x) nos intervalos (uma ; b), e uma ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .

Vamos começar determinando os pontos maiores e menores, bem como os intervalos de aumento e diminuição em um determinado intervalo. Depois disso, precisaremos calcular os limites unilaterais nas extremidades do intervalo e/ou limites no infinito. Em outras palavras, precisamos determinar o comportamento da função sob determinadas condições. Temos todos os dados necessários para isso.

Exemplo 3

Doença: calcule o intervalo da função y = 1 x 2 - 4 no intervalo (- 2 ; 2) .

Solução

Determine o maior e o menor valor de uma função em um determinado segmento

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Obtivemos um valor máximo igual a 0, pois é neste ponto que o sinal da função muda e o gráfico começa a diminuir. Veja a ilustração:

Ou seja, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 será o valor máximo da função.

Agora vamos determinar o comportamento da função para um x que tende a -2 no lado direito e +2 no lado esquerdo. Em outras palavras, encontramos limites unilaterais:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Acontece que os valores da função aumentarão de menos infinito para -1 4 quando o argumento mudar de -2 para 0. E quando o argumento muda de 0 para 2, os valores da função diminuem para menos infinito. Consequentemente, o conjunto de valores de uma determinada função no intervalo que precisamos será (- ∞ ; - 1 4 ] .

Responder: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Exemplo 4

Doença: indique o conjunto de valores y = t g x em um determinado intervalo - π 2; π2.

Solução

Sabemos que no caso geral a derivada da tangente é - π 2; π 2 será positivo, ou seja, a função aumentará. Agora vamos determinar como a função se comporta dentro dos limites fornecidos:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Obtivemos um aumento nos valores da função de menos infinito para mais infinito quando o argumento muda de -π 2 para π 2, e podemos dizer que o conjunto de soluções para esta função será o conjunto de todos os números reais .

Responder: - ∞ ; + ∞ .

Exemplo 5

Doença: determine o intervalo da função logaritmo natural y = ln x.

Solução

Sabemos que esta função é definida para valores positivos do argumento D (y) = 0; + ∞ . A derivada em um determinado intervalo será positiva: y " = ln x " = 1 x . Isso significa que a função aumenta nele. A seguir precisamos definir um limite unilateral para o caso em que o argumento tende a 0 (no lado direito) e quando x vai para o infinito:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Descobrimos que os valores da função aumentarão de menos infinito para mais infinito à medida que os valores de x mudam de zero para mais infinito. Isso significa que o conjunto de todos os números reais é o intervalo de valores da função logaritmo natural.

Responder: o conjunto de todos os números reais é o intervalo de valores da função logaritmo natural.

Exemplo 6

Doença: determine o contradomínio da função y = 9 x 2 + 1 .

Solução

Esta função é definida desde que x seja um número real. Calculemos os maiores e menores valores da função, bem como os intervalos de seu aumento e diminuição:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Como resultado, determinamos que esta função diminuirá se x ≥ 0; aumenta se x ≤ 0 ; tem ponto máximo y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 com variável igual a 0.

Vamos ver como a função se comporta no infinito:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

Fica claro no registro que os valores da função neste caso se aproximarão assintoticamente de 0.

Resumindo: quando o argumento muda de menos infinito para zero, os valores da função aumentam de 0 a 9. Quando os valores dos argumentos mudam de 0 para mais infinito, os valores da função correspondente diminuirão de 9 para 0. Mostramos isso na figura:

Mostra que o intervalo de valores da função será o intervalo E (y) = (0 ; 9 ]

Responder: E (y) = (0; 9]

Se precisarmos determinar o conjunto de valores da função y = f (x) nos intervalos [ uma ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , então precisaremos realizar exatamente os mesmos estudos. Não analisaremos esses casos por enquanto: os encontraremos mais tarde em problemas.

Mas e se o domínio de definição de uma determinada função for uma união de vários intervalos? Então precisamos calcular os conjuntos de valores em cada um desses intervalos e combiná-los.

Exemplo 7

Doença: determine qual será o intervalo de valores y = x x - 2 .

Solução

Como o denominador da função não deve ser transformado em 0, então D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Vamos começar definindo o conjunto de valores da função no primeiro segmento - ∞; 2, que é uma viga aberta. Sabemos que a função nela diminuirá, ou seja, a derivada desta função será negativa.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Então, nos casos em que o argumento muda para menos infinito, os valores da função se aproximarão assintoticamente de 1. Se os valores de x mudarem de menos infinito para 2, então os valores diminuirão de 1 para menos infinito, ou seja, a função neste segmento assumirá valores do intervalo - ∞; 1. Excluímos a unidade de nossas considerações, uma vez que os valores da função não a atingem, mas apenas se aproximam dela assintoticamente.

Para feixe aberto 2; + ∞ realizamos exatamente as mesmas ações. A função nele também está diminuindo:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Os valores da função em um determinado segmento são determinados pelo conjunto 1; + ∞ . Isso significa que o intervalo de valores que precisamos para a função especificada na condição será a união dos conjuntos - ∞; 1 e 1; + ∞ .

Responder: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Isso pode ser visto no gráfico:

Um caso especial são as funções periódicas. Seu intervalo de valores coincide com o conjunto de valores do intervalo que corresponde ao período desta função.

Exemplo 8

Doença: determine a faixa de valores de seno y = sin x.

Solução

O seno é uma função periódica e seu período é 2 pi. Pegue o segmento 0; 2 π e veja qual será o conjunto de valores nele.

y " = (sen x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

Dentro de 0 ; 2 π a função terá pontos extremos π 2 ex = 3 π 2 . Vamos calcular a que serão iguais os valores da função neles, bem como nos limites do segmento, e a seguir escolher o maior e o menor valor.

y (0) = sen 0 = 0 y π 2 = sen π 2 = 1 y 3 π 2 = sen 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sen (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sen x = sen 3 π 2 = - 1, máx x ∈ 0; 2 π sen x = sen π 2 = 1

Responder: E (sen x) = - 1 ; 1.

Se você precisa conhecer os intervalos de funções como potência, exponencial, logarítmica, trigonométrica, trigonométrica inversa, aconselhamos reler o artigo sobre funções elementares básicas. A teoria que aqui apresentamos permite-nos verificar os valores ali declarados. É aconselhável aprendê-los porque muitas vezes são necessários na resolução de problemas. Se você conhece os contradomínios das funções básicas, poderá encontrar facilmente os contradomínios das funções obtidas a partir das funções elementares usando uma transformação geométrica.

Exemplo 9

Doença: determine a faixa de valores y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Solução

Sabemos que o segmento de 0 a pi é o intervalo do arco cosseno. Em outras palavras, E (a r c cos x) = 0; π ou 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Podemos obter a função a r c cos x 3 + 5 π 7 do arco cosseno, deslocando-o e esticando-o ao longo do eixo O x, mas tais transformações não nos darão nada. Isso significa 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

A função 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 pode ser obtida a partir do arco cosseno a r c cos x 3 + 5 π 7 alongando-o ao longo do eixo das ordenadas, ou seja, 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . A transformação final é um deslocamento ao longo do eixo O y em 4 valores. Como resultado, obtemos uma dupla desigualdade:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Descobrimos que o intervalo de valores que precisamos será igual a E (y) = - 4; 3π - 4 .

Responder: E (y) = - 4 ; 3π - 4 .

Escreveremos outro exemplo sem explicação, porque é completamente semelhante ao anterior.

Exemplo 10

Doença: calcule qual será o contradomínio da função y = 2 2 x - 1 + 3.

Solução

Vamos reescrever a função especificada na condição como y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3. Para uma função de potência y = x - 1 2 o intervalo de valores será definido no intervalo 0; + ∞, ou seja x - 1 2 > 0 . Nesse caso:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Então E(y) = 3; + ∞ .

Responder: E(y) = 3; + ∞ .

Agora vamos ver como encontrar o intervalo de valores de uma função que não é contínua. Para fazer isso, precisamos dividir toda a área em intervalos e encontrar conjuntos de valores em cada um deles, e então combinar o que obtivermos. Para entender melhor isso, aconselhamos revisar os principais tipos de pontos de interrupção de função.

Exemplo 11

Doença: dada a função y = 2 sen x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Calcule seu intervalo de valores.

Solução

Esta função é definida para todos os valores de x. Vamos analisá-lo quanto à continuidade com valores do argumento iguais a -3 e 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sen x 2 - 4 = 2 sen - 3 2 - 4 = - 2 sen 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Temos uma descontinuidade irremovível de primeiro tipo quando o valor do argumento é -3. À medida que nos aproximamos, os valores da função tendem a - 2 sen 3 2 - 4 , e à medida que x tende a - 3 no lado direito, os valores tenderão a - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Temos uma descontinuidade irremovível do segundo tipo no ponto 3. Quando uma função tende para ela, seus valores se aproximam de -1, quando tende para o mesmo ponto à direita - para menos infinito.

Isso significa que todo o domínio de definição desta função é dividido em 3 intervalos (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

No primeiro deles, obtivemos a função y = 2 sen x 2 - 4. Como - 1 ≤ sen x ≤ 1, obtemos:

1 ≤ pecado x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Isso significa que em um determinado intervalo (- ∞ ; - 3 ] o conjunto de valores da função é [ - 6 ; 2 ] .

No meio intervalo (- 3; 3 ], o resultado é uma função constante y = - 1. Conseqüentemente, todo o conjunto de seus valores neste caso será reduzido a um número - 1.

No segundo intervalo 3 ; + ∞ temos a função y = 1 x - 3 . Está diminuindo porque y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Isso significa que o conjunto de valores da função original para x > 3 é o conjunto 0; + ∞ . Agora vamos combinar os resultados: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Responder: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

A solução é mostrada no gráfico:

Exemplo 12

Condição: existe uma função y = x 2 - 3 e x. Determine o conjunto de seus valores.

Solução

É definido para todos os valores de argumentos que são números reais. Vamos determinar em quais intervalos esta função aumentará e em quais diminuirá:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Sabemos que a derivada se tornará 0 se x = - 1 e x = 3. Vamos colocar esses dois pontos no eixo e descobrir quais sinais a derivada terá nos intervalos resultantes.

A função diminuirá em (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) e aumentará em [ - 1 ; 3]. A pontuação mínima será - 1, a máxima - 3.

Agora vamos encontrar os valores da função correspondentes:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Vejamos o comportamento da função no infinito:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

A regra de L'Hopital foi usada para calcular o segundo limite. Vamos representar o progresso de nossa solução em um gráfico.

Mostra que os valores da função diminuirão de mais infinito para -2 e quando o argumento mudar de menos infinito para -1. Se mudar de 3 para mais infinito, então os valores diminuirão de 6 e - 3 para 0, mas 0 não será alcançado.

Assim, E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .

Responder: E(y) = [ - 2 e ; +∞)

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Muitos problemas nos levam a procurar um conjunto de valores de funções em um determinado segmento ou em todo o domínio de definição. Essas tarefas incluem várias avaliações de expressões e resolução de desigualdades.

Neste artigo, definiremos o intervalo de valores de uma função, consideraremos métodos para encontrá-la e analisaremos detalhadamente a solução de exemplos do mais simples ao mais complexo. Todo o material será fornecido com ilustrações gráficas para maior clareza. Portanto, este artigo é uma resposta detalhada à questão de como determinar o contradomínio de uma função.

Definição.

O conjunto de valores da função y = f(x) no intervalo Xé o conjunto de todos os valores de uma função que ela assume ao iterar sobre todos.

Definição.

Faixa de função y = f(x)é o conjunto de todos os valores de uma função que ela assume ao iterar sobre todos os x do domínio de definição.

O intervalo da função é denotado como E(f) .

O contradomínio de uma função e o conjunto de valores de uma função não são a mesma coisa. Consideraremos esses conceitos equivalentes se o intervalo X ao encontrar o conjunto de valores da função y = f(x) coincidir com o domínio de definição da função.

Além disso, não confunda o contradomínio da função com a variável x para a expressão no lado direito da igualdade y=f(x) . A faixa de valores permitidos da variável x para a expressão f(x) é o domínio de definição da função y=f(x) .

A figura mostra vários exemplos.

Os gráficos de funções são mostrados com linhas azuis grossas, as linhas vermelhas finas são assíntotas, os pontos vermelhos e as linhas no eixo Oy mostram a faixa de valores da função correspondente.

Como você pode ver, o intervalo de valores de uma função é obtido projetando o gráfico da função no eixo y. Pode ser um único número (primeiro caso), um conjunto de números (segundo caso), um segmento (terceiro caso), um intervalo (quarto caso), um raio aberto (quinto caso), uma união (sexto caso), etc. .

Então, o que você precisa fazer para encontrar o intervalo de valores de uma função?

Vamos começar com o caso mais simples: mostraremos como determinar o conjunto de valores de uma função contínua y = f(x) no segmento.

Sabe-se que uma função contínua em um intervalo atinge nele seus valores máximo e mínimo. Assim, o conjunto de valores da função original no segmento será o segmento . Conseqüentemente, nossa tarefa se resume a encontrar o maior e o menor valor da função no segmento.

Por exemplo, vamos encontrar o intervalo de valores da função arco seno.

Exemplo.

Especifique o intervalo da função y = arcsinx .

Solução.

A área de definição do arco seno é o segmento [-1; 1] . Vamos encontrar o maior e o menor valor da função neste segmento.

A derivada é positiva para todo x do intervalo (-1; 1), ou seja, a função arco seno aumenta em todo o domínio de definição. Consequentemente, assume o menor valor em x = -1 e o maior em x = 1.

Obtivemos o intervalo da função arco seno .

Exemplo.

Encontre o conjunto de valores da função no segmento.

Solução.

Vamos encontrar o maior e o menor valor da função em um determinado segmento.

Vamos determinar os pontos extremos pertencentes ao segmento:

Calculamos os valores da função original nas extremidades do segmento e nos pontos :

Portanto, o conjunto de valores de uma função em um intervalo é o intervalo .

Agora mostraremos como encontrar o conjunto de valores de uma função contínua y = f(x) nos intervalos (a; b), .

Primeiro, determinamos os pontos extremos, extremos da função, intervalos de aumento e diminuição da função em um determinado intervalo. A seguir, calculamos nos finais do intervalo e (ou) os limites no infinito (ou seja, estudamos o comportamento da função nos limites do intervalo ou no infinito). Esta informação é suficiente para encontrar o conjunto de valores da função em tais intervalos.

Exemplo.

Defina o conjunto de valores da função no intervalo (-2; 2) .

Solução.

Vamos encontrar os pontos extremos da função que caem no intervalo (-2; 2):

Ponto x = 0 é um ponto máximo, pois a derivada muda de sinal de mais para menos ao passar por ela, e o gráfico da função vai de crescente para decrescente.

existe um máximo correspondente da função.

Vamos descobrir o comportamento da função quando x tende a -2 à direita e quando x tende a 2 à esquerda, ou seja, encontramos limites unilaterais:

O que obtivemos: quando o argumento muda de -2 para zero, os valores da função aumentam de menos infinito para menos um quarto (o máximo da função em x = 0), quando o argumento muda de zero para 2, o os valores da função diminuem para menos infinito. Assim, o conjunto de valores da função no intervalo (-2; 2) é .

Exemplo.

Especifique o conjunto de valores da função tangente y = tgx no intervalo.

Solução.

A derivada da função tangente no intervalo é positiva , o que indica um aumento na função. Vamos estudar o comportamento da função nos limites do intervalo:

Assim, quando o argumento muda de para, os valores da função aumentam de menos infinito para mais infinito, ou seja, o conjunto de valores tangentes neste intervalo é o conjunto de todos os números reais.

Exemplo.

Encontre o intervalo da função logaritmo natural y = lnx.

Solução.

A função logaritmo natural é definida para valores positivos do argumento . Neste intervalo a derivada é positiva , isso indica um aumento na função nele. Vamos encontrar o limite unilateral da função quando o argumento tende a zero à direita e o limite quando x tende a mais infinito:

Vemos que à medida que x muda de zero para mais infinito, os valores da função aumentam de menos infinito para mais infinito. Portanto, o contradomínio da função logaritmo natural é todo o conjunto dos números reais.

Exemplo.

Solução.

Esta função é definida para todos os valores reais de x. Vamos determinar os pontos extremos, bem como os intervalos de aumento e diminuição da função.

Consequentemente, a função diminui em, aumenta em, x = 0 é o ponto máximo, o máximo correspondente da função.

Vejamos o comportamento da função no infinito:

Assim, no infinito os valores da função aproximam-se assintoticamente de zero.

Descobrimos que quando o argumento muda de menos infinito para zero (o ponto máximo), os valores da função aumentam de zero a nove (até o máximo da função), e quando x muda de zero para mais infinito, a função os valores diminuem de nove para zero.

Veja o desenho esquemático.

Agora é claramente visível que o intervalo de valores da função é .

Encontrar o conjunto de valores da função y = f(x) em intervalos requer pesquisas semelhantes. Não nos deteremos agora em detalhes sobre esses casos. Iremos encontrá-los novamente nos exemplos abaixo.

Seja o domínio de definição da função y = f(x) a união de vários intervalos. Ao encontrar o intervalo de valores de tal função, os conjuntos de valores em cada intervalo são determinados e sua união é tomada.

Exemplo.

Encontre o contradomínio da função.

Solução.

O denominador da nossa função não deve ir para zero, ou seja,.

Primeiro, vamos encontrar o conjunto de valores da função no raio aberto.

Derivada de uma função é negativo neste intervalo, ou seja, a função diminui nele.

Descobrimos que à medida que o argumento tende a menos infinito, os valores da função se aproximam assintoticamente da unidade. Quando x muda de menos infinito para dois, os valores da função diminuem de um para menos infinito, ou seja, no intervalo considerado, a função assume um conjunto de valores. Não incluímos a unidade, pois os valores da função não a atingem, mas apenas tendem assintoticamente para ela no menos infinito.

Procedemos de forma semelhante para a viga aberta.

Neste intervalo a função também diminui.

O conjunto de valores da função neste intervalo é o conjunto.

Assim, o intervalo desejado de valores da função é a união dos conjuntos e .

Ilustração gráfica.

Atenção especial deve ser dada às funções periódicas. O intervalo de valores das funções periódicas coincide com o conjunto de valores do intervalo correspondente ao período desta função.

Exemplo.

Encontre o intervalo da função seno y = sinx.

Solução.

Esta função é periódica com período de dois pi. Vamos pegar um segmento e definir o conjunto de valores nele.

O segmento contém dois pontos extremos e .

Calculamos os valores da função nesses pontos e nos limites do segmento, selecionamos os menores e maiores valores:

Por isso, .

Exemplo.

Encontre o contradomínio de uma função .

Solução.

Sabemos que a faixa do arco cosseno é o segmento de zero a pi, ou seja, ou em outro post. Função pode ser obtido do arcosx deslocando e alongando ao longo do eixo das abcissas. Tais transformações não afetam a faixa de valores, portanto, . Função obtido de estendendo-se três vezes ao longo do eixo Oy, ou seja, . E o último estágio da transformação é um deslocamento de quatro unidades para baixo ao longo da ordenada. Isso nos leva a uma dupla desigualdade

Assim, o intervalo de valores necessário é .

Vamos dar a solução para outro exemplo, mas sem explicações (não são obrigatórias, pois são completamente semelhantes).

Exemplo.

Definir intervalo de funções .

Solução.

Vamos escrever a função original na forma . A faixa de valores da função potência é o intervalo. Aquilo é, . Então

Por isso, .

Para completar o quadro, deveríamos falar sobre como encontrar o intervalo de valores de uma função que não é contínua no domínio de definição. Nesse caso, dividimos o domínio de definição em intervalos por pontos de quebra e encontramos conjuntos de valores em cada um deles. Ao combinar os conjuntos de valores resultantes, obtemos o intervalo de valores da função original. Recomendamos lembrar 3 à esquerda, os valores da função tendem a menos um, e como x tende a 3 à direita, os valores da função tendem a mais infinito.

Assim, dividimos o domínio de definição da função em três intervalos.

No intervalo temos a função . Desde então

Assim, o conjunto de valores da função original no intervalo é [-6;2] .

No meio intervalo temos uma função constante y = -1. Ou seja, o conjunto de valores da função original no intervalo consiste em um único elemento.

A função é definida para todos os valores de argumentos válidos. Vamos descobrir os intervalos de aumento e diminuição da função.

A derivada desaparece em x=-1 ex=3. Vamos marcar esses pontos na reta numérica e determinar os sinais da derivada nos intervalos resultantes.

A função diminui em , aumenta em [-1; 3] , x=-1 ponto mínimo, x=3 ponto máximo.

Vamos calcular o mínimo e o máximo correspondentes da função:

Vamos verificar o comportamento da função no infinito:

O segundo limite foi calculado usando .

Vamos fazer um desenho esquemático.

Quando o argumento muda de menos infinito para -1, os valores da função diminuem de mais infinito para -2e, quando o argumento muda de -1 para 3, os valores da função aumentam de -2e para, quando o argumento muda de 3 até mais infinito, os valores da função diminuem de zero, mas não chegam a zero.