Fórmulas de trigonometria 10. Fórmulas básicas de trigonometria

13.03.2022

Nesta página você encontrará todas as fórmulas trigonométricas básicas que o ajudarão a resolver muitos exercícios, simplificando bastante a própria expressão.

As fórmulas trigonométricas são igualdades matemáticas para funções trigonométricas que são satisfeitas para todos os valores válidos do argumento.

As fórmulas especificam as relações entre as funções trigonométricas básicas - seno, cosseno, tangente, cotangente.

O seno de um ângulo é a coordenada y de um ponto (ordenada) no círculo unitário. O cosseno de um ângulo é a coordenada x de um ponto (abscissa).

Tangente e cotangente são, respectivamente, as razões entre seno e cosseno e vice-versa.
`pecado\\alfa,\cos\\alfa`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

E dois que são usados com menos frequência - secante, cossecante. Eles representam as razões de 1 para cosseno e seno.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

A partir das definições das funções trigonométricas fica claro quais sinais elas possuem em cada quadrante. O sinal da função depende apenas de qual quadrante o argumento está localizado.

Ao alterar o sinal do argumento de “+” para “-”, apenas a função cosseno não altera seu valor. Chama-se par. Seu gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.

As demais funções (seno, tangente, cotangente) são ímpares. Ao alterar o sinal do argumento de “+” para “-”, seu valor também muda para negativo. Seus gráficos são simétricos em relação à origem.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alfa)=cos \ \alfa`
`tg(-\alfa)=-tg \ \alfa`
`ctg(-\alfa)=-ctg \ \alfa`

Identidades trigonométricas básicas

Identidades trigonométricas básicas são fórmulas que estabelecem uma conexão entre funções trigonométricas de um ângulo (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) e que permitem encontrar o valor de cada uma dessas funções através de qualquer outra conhecida.
`sin^2 \alfa+cos^2 \alfa=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Fórmulas para soma e diferença de ângulos de funções trigonométricas

As fórmulas para adicionar e subtrair argumentos expressam funções trigonométricas da soma ou diferença de dois ângulos em termos de funções trigonométricas desses ângulos.
`sin(\alpha+\beta)=` `sen \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sen \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Fórmulas de ângulo duplo

`sen \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alfa+tg \ \alfa)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Fórmulas de ângulo triplo

`pecado \ 3\alfa=3 \ sin \ \alfa-4sin^3 \alfa`
`cos \ 3\alfa=4cos^3 \alfa-3 \ cos \ \alfa`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Fórmulas de meio ângulo

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alfa)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Fórmulas para argumentos meio, duplos e triplos expressam as funções `sin, \cos, \tg, \ctg` desses argumentos (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) através do argumento destas funções `\alpha`.

A sua conclusão pode ser obtida a partir do grupo anterior (adição e subtração de argumentos). Por exemplo, identidades de ângulo duplo são facilmente obtidas substituindo `\beta` por `\alpha`.

Fórmulas de redução de grau

Fórmulas de quadrados (cubos, etc.) de funções trigonométricas permitem passar de 2,3,... graus para funções trigonométricas de primeiro grau, mas múltiplos ângulos (`\alpha, \3\alpha, \... ` ou `2\alfa, \ 4\alfa, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alfa=\frac(3-4cos \ 2\alfa+cos \ 4\alfa)8`
`cos^4 \alfa=\frac(3+4cos \ 2\alfa+cos \ 4\alfa)8`

Fórmulas para soma e diferença de funções trigonométricas

As fórmulas são transformações da soma e diferença de funções trigonométricas de diferentes argumentos em um produto.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Aqui ocorre a transformação de adição e subtração de funções de um argumento em um produto.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

As fórmulas a seguir convertem a soma e a diferença de um e uma função trigonométrica em um produto.

`1+cos \ \alfa=2 \cos^2 \frac(\alfa)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Fórmulas para conversão de produtos de funções

Fórmulas para converter o produto de funções trigonométricas com argumentos `\alpha` e `\beta` na soma (diferença) desses argumentos.
`pecado \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`

Substituição trigonométrica universal

Estas fórmulas expressam funções trigonométricas em termos da tangente de um meio ângulo.
`pecado \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \em Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Fórmulas de redução

As fórmulas de redução podem ser obtidas usando propriedades de funções trigonométricas como periodicidade, simetria e a propriedade de deslocamento em um determinado ângulo. Eles permitem que funções de um ângulo arbitrário sejam convertidas em funções cujo ângulo esteja entre 0 e 90 graus.

Para ângulo (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ou (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Para ângulo (`\pi \pm \alpha`) ou (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Para ângulo (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ou (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Para ângulo (`2\pi \pm \alpha`) ou (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Expressando algumas funções trigonométricas em termos de outras

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alfa))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alfa))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alfa)=\frac 1(ctg\\alfa)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Trigonometria se traduz literalmente como “medir triângulos”. Começa a ser estudado na escola e continua mais detalhadamente nas universidades. Portanto, são necessárias fórmulas básicas em trigonometria a partir da 10ª série, bem como para aprovação no Exame Estadual Unificado. Eles denotam conexões entre funções e, como existem muitas dessas conexões, existem muitas fórmulas em si. Não é fácil lembrar de todos eles e não é necessário - se necessário, todos podem ser exibidos.

As fórmulas trigonométricas são usadas no cálculo integral, bem como em simplificações, cálculos e transformações trigonométricas.

Trigonometria, fórmulas trigonométricas

As relações entre as funções trigonométricas básicas - seno, cosseno, tangente e cotangente - são fornecidas fórmulas trigonométricas. E como existem muitas conexões entre funções trigonométricas, isso explica a abundância de fórmulas trigonométricas. Algumas fórmulas conectam funções trigonométricas do mesmo ângulo, outras - funções de um ângulo múltiplo, outras - permitem reduzir o grau, a quarta - expressa todas as funções através da tangente de um meio ângulo, etc.

Neste artigo listaremos em ordem todas as fórmulas trigonométricas básicas, que são suficientes para resolver a grande maioria dos problemas de trigonometria. Para facilitar a memorização e uso, iremos agrupá-los por finalidade e inseri-los em tabelas.

Identidades trigonométricas básicas defina a relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo. Eles decorrem da definição de seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como do conceito de círculo unitário. Eles permitem expressar uma função trigonométrica em termos de qualquer outra.

Para uma descrição detalhada dessas fórmulas trigonométricas, sua derivação e exemplos de aplicação, consulte o artigo identidades trigonométricas básicas.

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Fórmulas de redução

Fórmulas de redução decorrem das propriedades de seno, cosseno, tangente e cotangente, ou seja, refletem a propriedade de periodicidade das funções trigonométricas, a propriedade de simetria, bem como a propriedade de deslocamento em um determinado ângulo. Essas fórmulas trigonométricas permitem que você passe do trabalho com ângulos arbitrários para o trabalho com ângulos que variam de zero a 90 graus.

A justificativa dessas fórmulas, uma regra mnemônica para memorizá-las e exemplos de sua aplicação podem ser estudados no artigo fórmulas de redução.

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Fórmulas de adição

Fórmulas de adição trigonométrica mostre como as funções trigonométricas da soma ou diferença de dois ângulos são expressas em termos de funções trigonométricas desses ângulos. Essas fórmulas servem de base para derivar as seguintes fórmulas trigonométricas.

Para obter mais informações, consulte o artigo Fórmulas de adição.

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Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo

Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo (também são chamadas de fórmulas de ângulos múltiplos) mostram como as funções trigonométricas de duplo, triplo, etc. ângulos () são expressos em termos de funções trigonométricas de um único ângulo. Sua derivação é baseada em fórmulas de adição.

Informações mais detalhadas são coletadas no artigo Fórmulas para duplo, triplo, etc. canto.

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Fórmulas de meio ângulo

Fórmulas de meio ângulo mostre como as funções trigonométricas de um meio ângulo são expressas em termos do cosseno de um ângulo inteiro. Essas fórmulas trigonométricas decorrem das fórmulas de ângulo duplo.

Sua conclusão e exemplos de aplicação podem ser encontrados no artigo sobre fórmulas de meio ângulo.

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Fórmulas de redução de grau

Fórmulas trigonométricas para redução de graus são projetados para facilitar a transição de potências naturais de funções trigonométricas para senos e cossenos no primeiro grau, mas em ângulos múltiplos. Em outras palavras, eles permitem reduzir as potências das funções trigonométricas às primeiras.

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Fórmulas para soma e diferença de funções trigonométricas

O propósito principal fórmulas para a soma e diferença de funções trigonométricasé ir para o produto de funções, o que é muito útil na simplificação de expressões trigonométricas. Essas fórmulas também são amplamente utilizadas na resolução de equações trigonométricas, pois permitem fatorar a soma e a diferença de senos e cossenos.

Para a derivação de fórmulas, bem como exemplos de sua aplicação, consulte o artigo Fórmulas para soma e diferença de seno e cosseno.

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Fórmulas para o produto de senos, cossenos e seno por cosseno

A transição do produto das funções trigonométricas para uma soma ou diferença é realizada por meio das fórmulas do produto de senos, cossenos e seno por cosseno.

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Substituição trigonométrica universal

Concluímos nossa revisão das fórmulas básicas da trigonometria com fórmulas que expressam funções trigonométricas em termos da tangente de um meio ângulo. Essa substituição foi chamada substituição trigonométrica universal. Sua conveniência reside no fato de que todas as funções trigonométricas são expressas em termos da tangente de um meio ângulo racionalmente sem raízes.

Para informações mais completas, consulte o artigo substituição trigonométrica universal.

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Álgebra: Livro didático para o 9º ano. média. escola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Educação, 1990. - 272 pp.: il. - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I.Álgebra e os primórdios da análise: livro didático. para as séries 10-11. média. escola – 3ª ed. - M.: Educação, 1993. - 351 p.: il. — ISBN 5-09-004617-4.
Álgebra e o início da análise: Proc. para as séries 10-11. Educação geral instituições / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e outros; Ed. A. N. Kolmogorov.- 14ª ed. - M.: Educação, 2004. - 384 pp.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa nas escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., il.

Fórmulas trigonométricas- estas são as fórmulas mais necessárias em trigonometria, necessárias para expressar funções trigonométricas que são executadas para qualquer valor do argumento.

Fórmulas de adição.

pecado (α + β) = pecado α cos β + pecado β cos α

pecado (α - β) = pecado α cos β - pecado β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Fórmulas de ângulo duplo.

porque 2α = cos²α -sin²α

porque 2α = 2cos²α — 1

porque 2α = 1 - 2sin²α

pecado 2α = 2 pecadoα porqueα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

Fórmulas de ângulo triplo.

sen 3α = 3sin α – 4sin³ α

porque 3α = 4cos³α - 3cosα

TG 3α = (3tgα —tg³α ) ÷ (1 — 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Fórmulas de meio ângulo.

Fórmulas de redução.

Função/ângulo em rad.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




Função/ângulo em °	90° - α	90° + α	180°-α	180° + α	270°-α	270° + α	360°-α	360° + α

Descrição detalhada das fórmulas de redução.

Fórmulas trigonométricas básicas.

Identidade trigonométrica básica:

sen 2 α+cos 2 α=1

Esta identidade é o resultado da aplicação do teorema de Pitágoras a um triângulo no círculo trigonométrico unitário.

A relação entre cosseno e tangente é:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 ou sec 2 α−tan 2 α=1.

Esta fórmula é uma consequência da identidade trigonométrica básica e é obtida a partir dela dividindo os lados esquerdo e direito por cos2α. É assumido que α≠π/2+πn,n∈Z.

Relação entre seno e cotangente:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 ou csc 2 α−cot 2 α=1.

Esta fórmula também segue da identidade trigonométrica básica (obtida dela dividindo os lados esquerdo e direito por sin2α. Aqui se supõe que α≠πn,n∈Z.

Definição tangente:

tanα=sinα/cosα,

Onde α≠π/2+πn,n∈Z.

Definição de cotangente:

cotα=cosα/sinα,

Onde α≠πn,n∈Z.

Corolário das definições de tangente e cotangente:

tanα⋅ cotα = 1,

Onde α≠πn/2,n∈Z.

Definição de secante:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

Definição de cossecante:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

Desigualdades trigonométricas.

As desigualdades trigonométricas mais simples:

senx > a, senx ≥ a, senx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Quadrados de funções trigonométricas.

Fórmulas para cubos de funções trigonométricas.

TrigonometriaMatemática. Trigonometria. Fórmulas. Geometria. Teoria

Vimos as funções trigonométricas mais básicas (não se engane, além de seno, cosseno, tangente e cotangente, existem muitas outras funções, mas falaremos mais sobre elas depois), mas por enquanto vamos dar uma olhada em algumas propriedades básicas do funções já estudadas.

Funções trigonométricas de argumento numérico

Qualquer que seja o número real t considerado, ele pode ser associado a um número sin(t) definido exclusivamente.

É verdade que a regra de correspondência é bastante complexa e consiste no seguinte.

Para encontrar o valor de sin(t) a partir do número t, você precisa:

posicione o círculo numérico no plano de coordenadas de modo que o centro do círculo coincida com a origem das coordenadas e o ponto inicial A do círculo caia no ponto (1; 0);
encontre um ponto no círculo correspondente ao número t;
encontre a ordenada deste ponto.
esta ordenada é o sin(t) desejado.

Na verdade, estamos falando da função s = sin(t), onde t é qualquer número real. Sabemos como calcular alguns valores desta função (por exemplo, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), etc.) , conhecemos algumas de suas propriedades.

Relação entre funções trigonométricas

Como espero que você possa adivinhar, todas as funções trigonométricas estão interligadas e mesmo sem saber o significado de uma, ela pode ser encontrada por meio de outra.

Por exemplo, a fórmula mais importante em toda trigonometria é identidade trigonométrica básica:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Como você pode ver, conhecendo o valor do seno, você pode encontrar o valor do cosseno e vice-versa.

Fórmulas trigonométricas

Fórmulas também muito comuns conectando seno e cosseno com tangente e cotangente:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Das duas últimas fórmulas pode-se derivar outra identidade trigométrica, desta vez conectando tangente e cotangente:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Agora vamos ver como essas fórmulas funcionam na prática.

EXEMPLO 1. Simplifique a expressão: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Primeiramente vamos escrever a tangente, mantendo o quadrado:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Agora vamos colocar tudo sob um denominador comum e obtemos:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]

E finalmente, como vemos, o numerador pode ser reduzido a um pela identidade trigonométrica principal, como resultado obtemos: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) Com a cotangente realizamos todas as mesmas ações, só que o denominador não será mais um cosseno, mas sim um seno, e a resposta será assim:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Concluída esta tarefa, derivamos mais duas fórmulas muito importantes que conectam nossas funções, que também precisamos conhecer como a palma de nossas mãos:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Você deve saber de cor todas as fórmulas apresentadas, caso contrário, um estudo mais aprofundado da trigonometria sem elas é simplesmente impossível. No futuro haverá mais fórmulas e serão muitas e garanto que com certeza você se lembrará de todas elas por muito tempo, ou talvez não se lembre delas, mas TODOS deveriam saber essas seis coisas!

Uma tabela completa de todas as fórmulas de redução trigonométrica básicas e raras.

Aqui você pode encontrar fórmulas trigonométricas de uma forma conveniente. E as fórmulas de redução trigonométrica podem ser encontradas em outra página.

Identidades trigonométricas básicas

— expressões matemáticas para funções trigonométricas, executadas para cada valor do argumento.

sen² α + cos² α = 1
tg α berço α = 1
tg α = sen α ÷ cos α
berço α = cos α ÷ sen α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

Fórmulas de adição

pecado (α + β) = pecado α cos β + pecado β cos α
pecado (α - β) = pecado α cos β - pecado β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

Fórmulas de ângulo duplo

cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2 cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sen 2α = 2sen α cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Fórmulas de ângulo triplo

sen 3α = 3sin α – 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Fórmulas de redução de grau

sen² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sen³ α = (3sen α – sen 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sen² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sen³ α · cos³ α = (3sen 2α – sen 6α) ÷ 32

Transição do produto para a soma

sen α cos β = ½ (sen (α + β) + sin (α - β))
sen α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Listamos muitas fórmulas trigonométricas, mas se algo estiver faltando, escreva.

Tudo para estudar » Matemática na escola » Fórmulas trigonométricas - folha de dicas

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A transformação de grupos de soluções gerais de equações trigonométricas é considerada detalhadamente. A terceira seção examina equações trigonométricas não padronizadas, cujas soluções são baseadas na abordagem funcional.

Todas as fórmulas (equações) de trigonometria: sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

A quarta seção discute desigualdades trigonométricas. Métodos para resolver inequações trigonométricas elementares, tanto no círculo unitário quanto...

... ângulo 1800-α= ao longo da hipotenusa e ângulo agudo: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Assim, no curso de geometria escolar, o conceito de função trigonométrica é introduzido por meios geométricos devido à sua maior acessibilidade. O esquema metodológico tradicional para estudar funções trigonométricas é o seguinte: 1) primeiro, as funções trigonométricas são determinadas para um ângulo agudo de um retângulo...

... Trabalho de casa 19(3.6), 20(2.4) Definição de metas Atualizando conhecimentos básicos Propriedades de funções trigonométricas Fórmulas de redução Novo material Valores de funções trigonométricas Resolvendo as equações trigonométricas mais simples Consolidação Resolução de problemas Objetivo da lição: hoje vamos calcular o valores de funções trigonométricas e resolver ...

... as hipóteses formuladas necessárias para resolver os seguintes problemas: 1. Identificar o papel das equações trigonométricas e das desigualdades no ensino da matemática; 2. Desenvolver uma metodologia para desenvolver a capacidade de resolução de equações e inequações trigonométricas, visando o desenvolvimento de conceitos trigonométricos; 3. Testar experimentalmente a eficácia do método desenvolvido. Para soluções…

Fórmulas trigonométricas

Apresentamos a sua atenção diversas fórmulas relacionadas à trigonometria.

(8) Cotangente de ângulo duplo

cotg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg(α)

(9) Seno de um ângulo triplo sen(3α) = 3sen(α)cos 2 (α) - sen 3 (α) (10) Cosseno do ângulo triplo cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sen 2 (α) (11) Cosseno da soma/diferença cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Seno da soma/diferença sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sen(β) (13) Tangente da soma/diferença (14) Cotangente da soma/diferença (15) Produto de senos pecado (α) pecado (β) = ½ (cos (α-β) - cos (α + β)) (16) Produto de cossenos cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Produto de seno e cosseno sen(α)cos(β) = ½(sen(α+β) + sin(α-β)) (18) Soma/diferença de senos sen(α) ± sin(β) = 2sen(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Soma dos cossenos cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) Diferença de cossenos cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Soma/diferença de tangentes (22) Fórmula para reduzir o grau de seno sen 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Fórmula para reduzir o grau de cosseno cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Soma/diferença de seno e cosseno (25) Soma/diferença de seno e cosseno com coeficientes (26) Relação básica de arco seno e arco cosseno arco seno (x) + arcos (x) = π/2 (27) Relação básica entre arco tangente e arco tangente arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Fórmulas gerais

- versão impressa

Definições Seno do ângulo α (designação pecado (α)) é a razão entre a perna oposta ao ângulo α e a hipotenusa. Cosseno do ângulo α (designação cos(α)) é a razão entre a perna adjacente ao ângulo α e a hipotenusa. Tangente do ângulo α (designação bronzeado (α)) é a razão entre o lado oposto ao ângulo α e o lado adjacente. Uma definição equivalente é a razão entre o seno de um ângulo α e o cosseno do mesmo ângulo - sin(α)/cos(α). Cotangente do ângulo α (designação cog(α)) é a razão entre a perna adjacente ao ângulo α e a oposta. Uma definição equivalente é a razão entre o cosseno de um ângulo α e o seno do mesmo ângulo - cos(α)/sin(α). Outras funções trigonométricas: secante — seg(α) = 1/cos(α); cossecante - cosec(α) = 1/sin(α). Observação Não escrevemos especificamente o sinal * (multiplicar) - onde duas funções são escritas seguidas, sem espaço, está implícito. Dica Para derivar fórmulas para cosseno, seno, tangente ou cotangente de ângulos múltiplos (4+), basta escrevê-los de acordo com as fórmulas respectivamente. cosseno, seno, tangente ou cotangente da soma, ou reduzir aos casos anteriores, reduzindo às fórmulas dos ângulos triplos e duplos. Adição Tabela de derivativos

Ao realizar conversões trigonométricas, siga estas dicas:

Não tente encontrar imediatamente uma solução para o exemplo, do início ao fim.
Não tente converter o exemplo inteiro de uma só vez. Dê pequenos passos à frente.
Lembre-se de que, além das fórmulas trigonométricas em trigonometria, você ainda pode usar todas as transformações algébricas justas (colchetes, abreviações de frações, fórmulas de multiplicação abreviadas e assim por diante).
Acredite que tudo ficará bem.

Fórmulas trigonométricas básicas

A maioria das fórmulas em trigonometria são frequentemente usadas da direita para a esquerda e da esquerda para a direita, então você precisa aprender essas fórmulas tão bem que possa aplicar facilmente alguma fórmula em ambas as direções. Vamos primeiro escrever as definições das funções trigonométricas. Seja um triângulo retângulo:

Então, a definição de seno:

Definição de cosseno:

Definição tangente:

Definição de cotangente:

Identidade trigonométrica básica:

Os corolários mais simples da identidade trigonométrica básica:

Fórmulas de ângulo duplo. Seno de ângulo duplo:

Cosseno do ângulo duplo:

Tangente do ângulo duplo:

Cotangente de ângulo duplo:

Fórmulas trigonométricas adicionais

Fórmulas de adição trigonométrica. Seno da soma:

Seno da diferença:

Cosseno da soma:

Cosseno da diferença:

Tangente da soma:

Tangente da diferença:

Cotangente do valor:

Cotangente da diferença:

Fórmulas trigonométricas para converter uma soma em um produto. Soma dos senos:

Diferença senoidal:

Soma dos cossenos:

Diferença de cossenos:

Soma das tangentes:

Diferença tangente:

Soma das cotangentes:

Diferença cotangente:

Fórmulas trigonométricas para converter um produto em uma soma. Produto de senos:

Produto de seno e cosseno:

Produto de cossenos:

Fórmulas de redução de grau.

Fórmulas de meio ângulo.

Fórmulas de redução trigonométrica

A função cosseno é chamada cofunção funções seno e vice-versa. Da mesma forma, as funções tangente e cotangente são cofunções. As fórmulas de redução podem ser formuladas como a seguinte regra:

Se na fórmula de redução um ângulo for subtraído (adicionado) de 90 graus ou 270 graus, então a função reduzida muda para uma cofunção;
Se na fórmula de redução o ângulo for subtraído (somado) de 180 graus ou 360 graus, o nome da função reduzida será mantido;
Neste caso, o sinal que a função reduzida (ou seja, original) possui no quadrante correspondente é colocado antes da função reduzida, se considerarmos o ângulo subtraído (adicionado) como agudo.

Fórmulas de redução são dados em forma de tabela:

Por círculo trigonométrico fácil determinar valores tabulares de funções trigonométricas:

Equações trigonométricas

Para resolver uma determinada equação trigonométrica, ela deve ser reduzida a uma das equações trigonométricas mais simples, que será discutida a seguir. Por esta:

Você pode usar as fórmulas trigonométricas fornecidas acima. Ao mesmo tempo, você não precisa tentar transformar o exemplo inteiro de uma vez, mas precisa avançar em pequenos passos.
Não devemos esquecer a possibilidade de transformar alguma expressão usando métodos algébricos, ou seja, por exemplo, tirar algo dos colchetes ou, inversamente, abrir os colchetes, reduzir uma fração, aplicar uma fórmula de multiplicação abreviada, trazer as frações para um denominador comum e assim por diante.
Ao resolver equações trigonométricas, você pode usar método de agrupamento. Deve-se lembrar que para que o produto de vários fatores seja igual a zero, basta que qualquer um deles seja igual a zero, e o resto existia.
Aplicando método de substituição de variável, como de costume, a equação após a introdução da substituição deve tornar-se mais simples e não conter a variável original. Você também precisa se lembrar de realizar uma substituição reversa.
Lembre-se de que equações homogêneas aparecem frequentemente em trigonometria.
Ao abrir módulos ou resolver equações irracionais com funções trigonométricas, você precisa lembrar e levar em consideração todas as sutilezas de resolver as equações correspondentes com funções ordinárias.
Lembre-se do ODZ (em equações trigonométricas, as restrições ao ODZ se resumem principalmente ao fato de que é impossível dividir por zero, mas não se esqueça de outras restrições, especialmente sobre a positividade das expressões em potências racionais e sob as raízes de potências pares). Lembre-se também de que os valores de seno e cosseno só podem estar na faixa de menos um a mais um, inclusive.

O principal é, se você não sabe o que fazer, faça pelo menos alguma coisa, e o principal é usar as fórmulas trigonométricas corretamente. Se o que você conseguir ficar cada vez melhor, continue a solução, e se piorar, volte ao início e tente aplicar outras fórmulas, faça isso até encontrar a solução correta.

Fórmulas para soluções das equações trigonométricas mais simples. Para o seno existem duas formas equivalentes de escrever a solução:

Para outras funções trigonométricas, a notação é inequívoca. Para cosseno:

Para tangente:

Para cotangente:

Resolvendo equações trigonométricas em alguns casos especiais:

Aprenda todas as fórmulas e leis da física e fórmulas e métodos da matemática. Na verdade, isso também é muito simples de fazer; existem apenas cerca de 200 fórmulas necessárias em física, e um pouco menos em matemática. Em cada uma dessas disciplinas existem cerca de uma dezena de métodos padrão para resolver problemas de nível básico de complexidade, que também podem ser aprendidos e, assim, de forma totalmente automática e sem dificuldade, resolvendo a maior parte do TC no momento certo. Depois disso, você só terá que pensar nas tarefas mais difíceis.

Participe de todas as três etapas do teste de ensaio em física e matemática. Cada RT pode ser visitada duas vezes para decidir sobre ambas as opções. Novamente, no CT, além da capacidade de resolver problemas de forma rápida e eficiente, e do conhecimento de fórmulas e métodos, você também deve ser capaz de planejar adequadamente o tempo, distribuir forças e, o mais importante, preencher corretamente o formulário de resposta, sem confundindo o número de respostas e problemas, ou seu próprio sobrenome. Além disso, durante o RT, é importante se acostumar com o estilo de fazer perguntas nos problemas, o que pode parecer muito incomum para uma pessoa despreparada no DT.

A implementação bem sucedida, diligente e responsável destes três pontos, bem como o estudo responsável das provas finais de treino, permitir-lhe-ão apresentar um excelente resultado no CT, o máximo do que é capaz.

Encontrou um erro?

Se você acha que encontrou um erro nos materiais de treinamento, escreva sobre isso por e-mail (). Na carta, indique a matéria (física ou matemática), o nome ou número do tema ou prova, o número do problema ou o local do texto (página) onde, na sua opinião, há erro. Descreva também qual é o erro suspeito. Sua carta não passará despercebida, o erro será corrigido ou você será explicado por que não é um erro.

Relações entre funções trigonométricas básicas – seno, cosseno, tangente e cotangente- são perguntadas fórmulas trigonométricas. E como existem muitas conexões entre funções trigonométricas, isso explica a abundância de fórmulas trigonométricas. Algumas fórmulas conectam funções trigonométricas do mesmo ângulo, outras - funções de um ângulo múltiplo, outras - permitem reduzir o grau, a quarta - expressa todas as funções através da tangente de um meio ângulo, etc.

Navegação na página.

Identidades trigonométricas básicas

Identidades trigonométricas básicas defina a relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente de um ângulo. Eles decorrem da definição de seno, cosseno, tangente e cotangente, bem como conceitos de círculo unitário. Eles permitem expressar uma função trigonométrica em termos de qualquer outra.

Para uma descrição detalhada dessas fórmulas de trigonometria, sua derivação e exemplos de aplicação, consulte o artigo.

Fórmulas de redução

Fórmulas de redução Seguir de propriedades de seno, cosseno, tangente e cotangente, ou seja, refletem a propriedade de periodicidade das funções trigonométricas, a propriedade de simetria, bem como a propriedade de deslocamento em um determinado ângulo. Essas fórmulas trigonométricas permitem que você passe do trabalho com ângulos arbitrários para o trabalho com ângulos que variam de zero a 90 graus.

A justificativa dessas fórmulas, uma regra mnemônica para memorizá-las e exemplos de sua aplicação podem ser estudados no artigo.

Fórmulas de adição

Fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo

Informações mais detalhadas são coletadas no artigo fórmulas para duplo, triplo, etc. ângulo.

Fórmulas de meio ângulo

Sua conclusão e exemplos de aplicação podem ser encontrados no artigo.

Fórmulas de redução de grau

Fórmulas para soma e diferença de funções trigonométricas

Fórmulas para o produto de senos, cossenos e seno por cosseno

A transição do produto das funções trigonométricas para a soma ou diferença é realizada usando fórmulas para o produto de senos, cossenos e seno por cosseno.

Substituição trigonométrica universal

Bibliografia.

Álgebra: Livro didático para o 9º ano. média. escola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Educação, 1990. - 272 pp.: il. - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M.I.Álgebra e os primórdios da análise: livro didático. para as séries 10-11. média. escola - 3ª edição. - M.: Educação, 1993. - 351 p.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
Álgebra e o início da análise: Proc. para as séries 10-11. Educação geral instituições / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e outros; Ed. A. N. Kolmogorov.- 14ª ed. - M.: Educação, 2004. - 384 pp.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa nas escolas técnicas): Proc. subsídio.- M.; Mais alto escola, 1984.-351 p., il.

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