อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน 10 ประการ สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ

13.03.2022

เมื่อทำการแปลงตรีโกณมิติ ให้ปฏิบัติตามเคล็ดลับเหล่านี้:

อย่าพยายามคิดวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างตั้งแต่ต้นจนจบทันที
อย่าพยายามแปลงตัวอย่างทั้งหมดพร้อมกัน ก้าวไปข้างหน้าเล็กน้อย
โปรดจำไว้ว่านอกจากสูตรตรีโกณมิติในวิชาตรีโกณมิติแล้ว คุณยังสามารถใช้การแปลงพีชคณิตที่ยุติธรรมได้ทั้งหมด (การวงเล็บ เศษส่วนแบบย่อ สูตรการคูณแบบย่อ และอื่นๆ)
เชื่อว่าทุกอย่างจะดีเอง

สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน

สูตรตรีโกณมิติส่วนใหญ่มักใช้ทั้งจากขวาไปซ้ายและจากซ้ายไปขวา ดังนั้นคุณจึงต้องเรียนรู้สูตรเหล่านี้ให้ดีเสียจนสามารถนำสูตรบางสูตรไปใช้ทั้งสองทิศทางได้อย่างง่ายดาย ก่อนอื่นให้เราเขียนคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติกันก่อน ให้มีรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

ดังนั้น คำจำกัดความของไซน์:

คำจำกัดความของโคไซน์:

คำจำกัดความแทนเจนต์:

คำจำกัดความของโคแทนเจนต์:

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

ผลที่ตามมาที่ง่ายที่สุดจากอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

สูตรมุมคู่ไซน์ของมุมคู่:

โคไซน์ของมุมคู่:

แทนเจนต์ของมุมคู่:

โคแทนเจนต์ของมุมคู่:

สูตรตรีโกณมิติเพิ่มเติม

สูตรการบวกตรีโกณมิติไซน์ของผลรวม:

ไซน์ของความแตกต่าง:

โคไซน์ของผลรวม:

โคไซน์ของความแตกต่าง:

แทนเจนต์ของผลรวม:

แทนเจนต์ของความแตกต่าง:

โคแทนเจนต์ของจำนวน:

โคแทนเจนต์ของความแตกต่าง:

สูตรตรีโกณมิติสำหรับการแปลงผลรวมเป็นผลคูณผลรวมของไซน์:

ความแตกต่างไซน์:

ผลรวมของโคไซน์:

ความแตกต่างของโคไซน์:

ผลรวมแทนเจนต์:

ความแตกต่างแทนเจนต์:

ผลรวมของโคแทนเจนต์:

ความแตกต่างโคแทนเจนต์:

สูตรตรีโกณมิติสำหรับการแปลงผลคูณเป็นผลรวมผลิตภัณฑ์ของไซน์:

ผลคูณของไซน์และโคไซน์:

ผลคูณของโคไซน์:

สูตรลดระดับ

สูตรครึ่งมุม

สูตรลดตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันโคไซน์เรียกว่า การทำงานร่วมกันฟังก์ชันไซน์และในทางกลับกัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันแทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันร่วม สูตรลดสามารถกำหนดได้ตามกฎต่อไปนี้:

ถ้าในสูตรการลดลง มุมถูกลบ (บวก) จาก 90 องศาหรือ 270 องศา ฟังก์ชันรีดิวซ์จะเปลี่ยนเป็นโคฟังก์ชัน
หากในสูตรการลดลงมุมจะถูกลบ (บวก) จาก 180 องศาหรือ 360 องศาดังนั้นชื่อของฟังก์ชันที่ลดลงจะยังคงอยู่
ในกรณีนี้ เครื่องหมายที่ฟังก์ชันรีดิวซ์ (เช่น ดั้งเดิม) มีอยู่ในควอแดรนท์ที่สอดคล้องกันจะถูกวางไว้หน้าฟังก์ชันรีดิวซ์ ถ้าเราถือว่ามุมที่ลบ (บวก) เป็นแบบเฉียบพลัน

สูตรลดจะได้รับในรูปแบบตาราง:

โดย วงกลมตรีโกณมิติง่ายต่อการกำหนดค่าตารางของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

สมการตรีโกณมิติ

ในการแก้สมการตรีโกณมิติจะต้องลดลงเหลือสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดซึ่งจะกล่าวถึงด้านล่าง สำหรับสิ่งนี้:

คุณสามารถใช้สูตรตรีโกณมิติที่ให้ไว้ข้างต้น ในเวลาเดียวกัน คุณไม่จำเป็นต้องพยายามแปลงตัวอย่างทั้งหมดพร้อมกัน แต่คุณต้องก้าวไปข้างหน้าในขั้นตอนเล็กๆ
เราต้องไม่ลืมเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการแปลงนิพจน์บางอย่างโดยใช้วิธีพีชคณิต เช่น เช่น นำบางอย่างออกจากวงเล็บหรือในทางกลับกัน ใช้วงเล็บเปิด ลดเศษส่วน ใช้สูตรการคูณแบบย่อ นำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม และอื่นๆ
เมื่อแก้สมการตรีโกณมิติคุณสามารถใช้ วิธีการจัดกลุ่ม- ต้องจำไว้ว่าเพื่อให้ผลคูณของปัจจัยหลายประการมีค่าเท่ากับศูนย์ ก็เพียงพอที่จะให้ปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ และ ส่วนที่เหลือมีอยู่.
กำลังสมัคร วิธีการแทนที่ตัวแปรตามปกติแล้ว สมการหลังจากแนะนำการแทนที่ควรจะง่ายขึ้นและไม่มีตัวแปรดั้งเดิม คุณต้องจำไว้ว่าต้องทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับด้วย
โปรดจำไว้ว่าสมการเอกพันธ์มักปรากฏในตรีโกณมิติ
เมื่อเปิดโมดูลหรือแก้สมการไร้เหตุผลด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติคุณต้องจำและคำนึงถึงรายละเอียดปลีกย่อยทั้งหมดของการแก้สมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันธรรมดา
จำเกี่ยวกับ ODZ (ในสมการตรีโกณมิติ ข้อจำกัดของ ODZ ส่วนใหญ่มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้ แต่อย่าลืมเกี่ยวกับข้อจำกัดอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับความเป็นบวกของนิพจน์ในกำลังตรรกยะและใต้รากของกำลังคู่) โปรดจำไว้ว่าค่าของไซน์และโคไซน์สามารถอยู่ในช่วงตั้งแต่ลบหนึ่งถึงบวกหนึ่งเท่านั้น

สิ่งสำคัญคือถ้าคุณไม่รู้ว่าต้องทำอะไร อย่างน้อยก็ทำอะไรสักอย่าง และสิ่งสำคัญคือใช้สูตรตรีโกณมิติอย่างถูกต้อง หากสิ่งที่คุณได้รับดีขึ้นเรื่อยๆ ก็ให้ทำการแก้ไขต่อ และหากแย่ลง ให้กลับไปที่จุดเริ่มต้นและลองใช้สูตรอื่น ทำจนกว่าคุณจะเจอวิธีแก้ไขที่ถูกต้อง

สูตรการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดสำหรับไซน์ มีรูปแบบการเขียนคำตอบที่เทียบเท่ากันสองรูปแบบ:

สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ สัญกรณ์จะไม่คลุมเครือ สำหรับโคไซน์:

สำหรับแทนเจนต์:

สำหรับโคแทนเจนต์:

การแก้สมการตรีโกณมิติในบางกรณีพิเศษ:

เรียนรู้สูตรและกฎทั้งหมดในฟิสิกส์ และสูตรและวิธีการในวิชาคณิตศาสตร์ อันที่จริง วิธีนี้ทำได้ง่ายมากเช่นกัน มีสูตรฟิสิกส์ที่จำเป็นเพียงประมาณ 200 สูตร และน้อยกว่านั้นอีกเล็กน้อยในวิชาคณิตศาสตร์ ในแต่ละวิชาเหล่านี้มีวิธีมาตรฐานประมาณสิบวิธีในการแก้ปัญหาระดับความซับซ้อนขั้นพื้นฐานซึ่งสามารถเรียนรู้ได้และด้วยเหตุนี้จึงดำเนินการโดยอัตโนมัติอย่างสมบูรณ์และไม่มีปัญหาในการแก้ปัญหา CT ส่วนใหญ่ในเวลาที่เหมาะสม หลังจากนี้คุณจะต้องคิดถึงเฉพาะงานที่ยากที่สุดเท่านั้น

เข้าร่วมการทดสอบซ้อมทั้งสามขั้นตอนในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สามารถเยี่ยมชม RT แต่ละรายการได้สองครั้งเพื่อตัดสินใจเลือกทั้งสองตัวเลือก อีกครั้งใน CT นอกเหนือจากความสามารถในการแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพและความรู้เกี่ยวกับสูตรและวิธีการแล้วคุณยังต้องสามารถวางแผนเวลากระจายกำลังได้อย่างเหมาะสมและที่สำคัญที่สุดคือกรอกแบบฟอร์มคำตอบให้ถูกต้องโดยไม่ต้อง สับสนกับจำนวนคำตอบและปัญหาหรือนามสกุลของคุณเอง นอกจากนี้ ในระหว่าง RT สิ่งสำคัญคือต้องทำความคุ้นเคยกับรูปแบบการถามคำถามในปัญหา ซึ่งอาจดูเหมือนผิดปกติมากสำหรับผู้ที่ไม่ได้เตรียมตัวที่ DT

การดำเนินการตามสามประเด็นเหล่านี้ที่ประสบความสำเร็จ ขยัน และมีความรับผิดชอบ รวมถึงการศึกษาแบบทดสอบการฝึกอบรมขั้นสุดท้ายอย่างมีความรับผิดชอบ จะช่วยให้คุณแสดงผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมที่ CT ซึ่งเป็นจำนวนสูงสุดที่คุณสามารถทำได้

พบข้อผิดพลาด?

หากคุณคิดว่าคุณพบข้อผิดพลาดในเอกสารการฝึกอบรม โปรดเขียนแจ้งทางอีเมล () ในจดหมาย ให้ระบุหัวเรื่อง (ฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์) ชื่อหรือหมายเลขหัวข้อหรือแบบทดสอบ จำนวนปัญหา หรือสถานที่ในข้อความ (หน้า) ซึ่งในความเห็นของคุณมีข้อผิดพลาด อธิบายด้วยว่าข้อผิดพลาดที่น่าสงสัยคืออะไร จดหมายของคุณจะไม่มีใครสังเกตเห็น ข้อผิดพลาดจะได้รับการแก้ไข หรือคุณจะได้รับการอธิบายว่าทำไมจึงไม่ใช่ข้อผิดพลาด

ในหน้านี้ คุณจะพบกับสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดที่จะช่วยให้คุณแก้แบบฝึกหัดต่างๆ ได้ ซึ่งทำให้นิพจน์นั้นง่ายขึ้นมาก

สูตรตรีโกณมิติคือความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่พอใจกับค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

สูตรระบุความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน - ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์

ไซน์ของมุมคือพิกัด y ของจุด (พิกัด) บนวงกลมหน่วย โคไซน์ของมุมคือพิกัด x ของจุด (abscissa)

แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์และในทางกลับกัน
`ซิน\\อัลฟา,\คอส\\อัลฟา`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

และสองอันที่ใช้ไม่บ่อย - เซแคนต์, โคซีแคนต์ พวกมันแทนอัตราส่วนของ 1 ต่อโคไซน์และไซน์

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

จากคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะเห็นได้ชัดว่ามีสัญญาณอะไรบ้างในแต่ละควอแดรนท์ เครื่องหมายของฟังก์ชันจะขึ้นอยู่กับว่าอาร์กิวเมนต์นั้นอยู่ในควอแดรนต์ใดเท่านั้น

เมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์จาก "+" เป็น "-" เฉพาะฟังก์ชันโคไซน์เท่านั้นที่ไม่เปลี่ยนค่า เรียกว่าเท่ากัน กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน y

ฟังก์ชันที่เหลือ (ไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์) เป็นเลขคี่ เมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์จาก "+" เป็น "-" ค่าของพวกมันจะเปลี่ยนเป็นลบด้วย กราฟของพวกมันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

`บาป(-\อัลฟา)=-บาป \ \อัลฟา`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐานคือสูตรที่สร้างการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหนึ่ง (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) และซึ่งช่วยให้คุณสามารถค้นหาค่าของ แต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ผ่านฟังก์ชันอื่นที่รู้จัก
`บาป^2 \อัลฟา+คอส^2 \อัลฟา=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของมุมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรสำหรับการบวกและการลบอาร์กิวเมนต์จะแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของมุมทั้งสองในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้
`บาป(\อัลฟา+\เบต้า)=` `บาป \ \อัลฟา\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`บาป(\alpha-\beta)=` `บาป \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

สูตรมุมคู่

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \อัลฟา)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

สูตรมุมสามเท่า

`บาป \ 3\alpha=3 \ บาป \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

สูตรครึ่งมุม

`บาป \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ อัลฟา)=\frac (1-cos \ \อัลฟา)(บาป \ \อัลฟา)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ อัลฟา)=\frac (1+cos \ \อัลฟา)(บาป \ \อัลฟา)`

สูตรสำหรับอาร์กิวเมนต์แบบครึ่ง สอง และสามแสดงฟังก์ชัน `sin, \cos, \tg, \ctg` ของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้ (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) ผ่านอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันเหล่านี้ `\alpha`

สามารถรับข้อสรุปได้จากกลุ่มก่อนหน้า (การบวกและการลบข้อโต้แย้ง) ตัวอย่างเช่น รับข้อมูลประจำตัวแบบมุมคู่ได้อย่างง่ายดายโดยการแทนที่ `\beta` ด้วย `\alpha`

สูตรลดระดับ

สูตรของกำลังสอง (ลูกบาศก์ ฯลฯ) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติทำให้คุณสามารถย้ายจาก 2,3,... องศาไปเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขององศาแรกได้ แต่มีหลายมุม (`\alpha, \3\alpha, \... ` หรือ `2\อัลฟา, \ 4\อัลฟา, \...`)
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`บาป^3 \อัลฟา=\frac(3ซิน \ \อัลฟา-ซิน \ 3\อัลฟา)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`บาป^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรคือการแปลงผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ต่างๆ ให้เป็นผลคูณ

`บาป \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`บาป \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` ` `2 \ sin \frac(\alpha+\ เบต้า)2\บาป\frac(\เบต้า-\อัลฟา)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

ที่นี่การเปลี่ยนแปลงของการบวกและการลบฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์หนึ่งเป็นผลิตภัณฑ์เกิดขึ้น

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

สูตรต่อไปนี้จะแปลงผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลคูณ

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+บาป \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-บาป \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ เบต้า \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

สูตรการแปลงผลคูณของฟังก์ชัน

สูตรสำหรับการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์ `\alpha` และ `\beta` เป็นผลรวม (ผลต่าง) ของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้
`บาป \ \อัลฟา \ บาป \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`บาป\อัลฟา \cos\เบตา =` `\frac(บาป(\อัลฟา - \เบต้า)+ซิน(\อัลฟา + \เบต้า))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ เบต้า)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ เบต้า)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ เบต้า))`

การทดแทนตรีโกณมิติสากล

สูตรเหล่านี้แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ ไพ n, n \ใน Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \ใน Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

สูตรลด

สูตรการรีดิวซ์สามารถรับได้โดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น คาบ สมมาตร และคุณสมบัติของการเลื่อนตามมุมที่กำหนด อนุญาตให้แปลงฟังก์ชันของมุมใดก็ได้เป็นฟังก์ชันที่มีมุมอยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

สำหรับมุม (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` บาป(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
สำหรับมุม (`\pi \pm \alpha`) หรือ (`180^\circ \pm \alpha`):
`บาป(\pi - \alpha)=บาป \ \alpha;` ` บาป(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
สำหรับมุม (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
สำหรับมุม (`2\pi \pm \alpha`) หรือ (`360^\circ \pm \alpha`):
`บาป(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` บาป(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

การแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติบางอย่างในแง่ของฟังก์ชันอื่นๆ

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \อัลฟา))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \อัลฟา))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \อัลฟา))=\frac 1(tg \ \alpha)`

ตรีโกณมิติแปลตรงตัวว่า "การวัดรูปสามเหลี่ยม" เริ่มมีการศึกษาที่โรงเรียนและศึกษาต่อในรายละเอียดเพิ่มเติมในมหาวิทยาลัย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีสูตรพื้นฐานในตรีโกณมิติตั้งแต่เกรด 10 รวมถึงผ่านการสอบ Unified State พวกมันแสดงถึงการเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชัน และเนื่องจากมีการเชื่อมต่อเหล่านี้จำนวนมาก จึงมีสูตรมากมายเช่นกัน ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะจดจำทั้งหมดและไม่จำเป็น - หากจำเป็นก็สามารถแสดงทั้งหมดได้

สูตรตรีโกณมิติใช้ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ เช่นเดียวกับการลดความซับซ้อน การคำนวณ และการแปลงตรีโกณมิติ

จะได้รับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ สูตรตรีโกณมิติ- และเนื่องจากมีการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติค่อนข้างมาก นี่จึงอธิบายสูตรตรีโกณมิติที่มีอยู่มากมาย บางสูตรเชื่อมต่อฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียวกัน, สูตรอื่น ๆ - ฟังก์ชั่นของหลายมุม, สูตรอื่น ๆ - อนุญาตให้คุณลดระดับ, ที่สี่ - แสดงฟังก์ชันทั้งหมดผ่านแทนเจนต์ของครึ่งมุม ฯลฯ

ในบทความนี้ เราจะแสดงรายการสูตรตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมดตามลำดับ ซึ่งเพียงพอที่จะแก้ปัญหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่ได้ เพื่อความสะดวกในการท่องจำและการใช้งาน เราจะจัดกลุ่มตามวัตถุประสงค์และป้อนลงในตาราง

การนำทางหน้า

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง เป็นไปตามคำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ ตลอดจนแนวคิดเรื่องวงกลมหน่วย ช่วยให้คุณสามารถแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติหนึ่งฟังก์ชันในแง่ของฟังก์ชันอื่นๆ ได้

หากต้องการทราบคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับสูตรตรีโกณมิติ ที่มา และตัวอย่างการใช้ โปรดดูบทความ

สูตรลด

สูตรลดติดตามจากคุณสมบัติของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ นั่นคือ สะท้อนคุณสมบัติของคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณสมบัติของสมมาตร รวมถึงคุณสมบัติของการเลื่อนตามมุมที่กำหนด สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ช่วยให้คุณเปลี่ยนจากการทำงานกับมุมใดก็ได้ไปเป็นการทำงานกับมุมตั้งแต่ 0 ถึง 90 องศา

เหตุผลสำหรับสูตรเหล่านี้กฎช่วยในการจำสำหรับการจดจำและตัวอย่างการใช้งานสามารถศึกษาได้ในบทความ

สูตรการบวก

สูตรการบวกตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของสองมุมแสดงออกมาในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านั้นอย่างไร สูตรเหล่านี้ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานในการหาสูตรตรีโกณมิติต่อไปนี้

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม (เรียกอีกอย่างว่าสูตรหลายมุม) แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของ double, triple ฯลฯ เป็นอย่างไร มุม () แสดงในรูปของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเดียว ที่มาของมันขึ้นอยู่กับสูตรการบวก

ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมถูกรวบรวมไว้ในบทความสูตรสำหรับ double, triple เป็นต้น มุม

สูตรครึ่งมุม

สูตรครึ่งมุมแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของครึ่งมุมแสดงออกมาในรูปของโคไซน์ของมุมทั้งหมดอย่างไร สูตรตรีโกณมิติเหล่านี้ตามมาจากสูตรมุมคู่

บทสรุปและตัวอย่างการใช้งานสามารถดูได้ในบทความ

สูตรลดระดับ

สูตรตรีโกณมิติสำหรับการลดองศาได้รับการออกแบบมาเพื่ออำนวยความสะดวกในการเปลี่ยนจากพลังธรรมชาติของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นไซน์และโคไซน์ในระดับแรก แต่มีมุมหลายมุม กล่าวอีกนัยหนึ่งคืออนุญาตให้คุณลดกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นอันดับแรก

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จุดประสงค์หลัก สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือไปที่ผลคูณของฟังก์ชัน ซึ่งมีประโยชน์มากเมื่อทำให้นิพจน์ตรีโกณมิติง่ายขึ้น สูตรเหล่านี้ยังใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้สมการตรีโกณมิติ เนื่องจากช่วยให้คุณสามารถแยกตัวประกอบผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์ได้

สูตรผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ต่อโคไซน์

การเปลี่ยนจากผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นผลรวมหรือผลต่างทำได้โดยใช้สูตรสำหรับผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ด้วยโคไซน์

การทดแทนตรีโกณมิติสากล

เราเสร็จสิ้นการทบทวนสูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติด้วยสูตรที่แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม การทดแทนนี้ถูกเรียกว่า การทดแทนตรีโกณมิติสากล- ความสะดวกอยู่ที่ความจริงที่ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดแสดงออกมาในรูปของแทนเจนต์ของมุมครึ่งมุมอย่างมีเหตุผลโดยไม่มีราก

บรรณานุกรม.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - ม.: การศึกษา, 2533 - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย - ไอ 5-09-004617-4.
พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

ลิขสิทธิ์โดยนักเรียนที่ฉลาด

สงวนลิขสิทธิ์.
ได้รับการคุ้มครองตามกฎหมายลิขสิทธิ์ ห้ามทำซ้ำส่วนใดส่วนหนึ่งของไซต์ รวมถึงเนื้อหาภายในและรูปลักษณ์ภายนอกในรูปแบบใดๆ หรือใช้โดยไม่ได้รับอนุญาตเป็นลายลักษณ์อักษรล่วงหน้าจากผู้ถือลิขสิทธิ์

ตรีโกณมิติสูตรตรีโกณมิติ

หากต้องการทราบคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับสูตรตรีโกณมิติ ที่มา และตัวอย่างการประยุกต์ใช้ โปรดดูบทความเรื่องอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

ด้านบนของหน้า

สูตรลด

สามารถศึกษาเหตุผลของสูตรเหล่านี้ กฎช่วยในการจำในการจดจำ และตัวอย่างการประยุกต์ใช้ได้ในสูตรการลดขนาดบทความ

ด้านบนของหน้า

สูตรการบวก

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม ดูบทความสูตรการบวก

ด้านบนของหน้า

สูตรดับเบิ้ล ทริปเปิ้ล ฯลฯ มุม

ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมถูกรวบรวมไว้ในบทความสูตรสำหรับ double, triple เป็นต้น มุม.

ด้านบนของหน้า

สูตรครึ่งมุม

บทสรุปและตัวอย่างการใช้งานสามารถดูได้ในบทความเกี่ยวกับสูตรครึ่งมุม

ด้านบนของหน้า

สูตรลดระดับ

ด้านบนของหน้า

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากต้องการทราบที่มาของสูตร รวมถึงตัวอย่างการประยุกต์ใช้ โปรดดูบทความสูตรเกี่ยวกับผลรวมและผลต่างของไซน์และโคไซน์

ด้านบนของหน้า

สูตรผลคูณของไซน์ โคไซน์ และไซน์ต่อโคไซน์

ด้านบนของหน้า

การทดแทนตรีโกณมิติสากล

หากต้องการข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูบทความการแทนที่ตรีโกณมิติสากล

ด้านบนของหน้า

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 9 เฉลี่ย โรงเรียน/ยู N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; เอ็ด S. A. Telyakovsky - ม.: การศึกษา, 2533 - 272 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-002727-7
บาชมาคอฟ เอ็ม.ไอ.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: หนังสือเรียน สำหรับเกรด 10-11 เฉลี่ย โรงเรียน — ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา พ.ศ. 2536 - 351 หน้า: ป่วย — ไอ 5-09-004617-4.
พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: Proc. สำหรับเกรด 10-11 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn และคนอื่น ๆ ; เอ็ด A. N. Kolmogorov - ฉบับที่ 14 - ม.: การศึกษา, 2547 - 384 หน้า: ป่วย - ISBN 5-09-013651-3
Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย

สูตรตรีโกณมิติ- นี่เป็นสูตรที่จำเป็นที่สุดในวิชาตรีโกณมิติ ซึ่งจำเป็นในการแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ดำเนินการกับค่าใดๆ ของอาร์กิวเมนต์

สูตรการบวก

บาป (α + β) = บาป α cos β + บาป β cos α

บาป (α - β) = บาป α cos β - บาป β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

สูตรมุมคู่

เพราะ 2α = คอส²α -บาป²α

เพราะ 2α = 2คอส²α — 1

เพราะ 2α = 1 - 2ซิน²α

บาป 2α = 2 ซินα เพราะα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

กะรัต 2α = (ctg²α — 1) ۞ (2ctgα )

สูตรมุมสามเท่า

บาป3α = 3ซินα - 4sin³α

เพราะ 3α = 4คอส3α - 3คอสα

ทีจี 3α = (3ตกα — tg³α ) ۞ (1 — 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ۞ (1 - 3ctg² α)

สูตรครึ่งมุม

สูตรลด.

ฟังก์ชัน/มุมในหน่วยเรดาร์	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




ฟังก์ชั่น/มุมเป็น°	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

คำอธิบายโดยละเอียดของสูตรลด

สูตรตรีโกณมิติพื้นฐาน

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

บาป 2 α+คอส 2 α=1

อัตลักษณ์นี้เป็นผลจากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยมในหน่วยวงกลมตรีโกณมิติ

ความสัมพันธ์ระหว่างโคไซน์และแทนเจนต์คือ:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 หรือวินาที 2 α−tan 2 α=1

สูตรนี้เป็นผลมาจากอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน และได้มาจากสูตรนี้โดยการหารด้านซ้ายและด้านขวาด้วย cos2α สันนิษฐานว่า α≠π/2+πn,n∈Z

ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคแทนเจนต์:

1/ซิน 2 α−cot 2 α=1 หรือ csc 2 α−cot 2 α=1

สูตรนี้ยังตามมาจากอัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานด้วย (ได้มาจากสูตรนี้โดยการหารด้านซ้ายและขวาด้วย บาป2α- นี่ก็สันนิษฐานว่า α≠πn,n∈Z.

คำจำกัดความแทนเจนต์:

ทานα=ซินอัลฟา/โคซา,

ที่ไหน α≠π/2+πn,n∈Z

คำจำกัดความของโคแทนเจนต์:

โคตา=โคซาอัลฟา/ซินฟา,

ที่ไหน α≠πn,n∈Z.

ข้อพิสูจน์จากคำจำกัดความของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

ตาลα⋅ โคต้า=1,

ที่ไหน α≠πn/2,n∈Z

คำจำกัดความของซีแคนต์:

วินาทีα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ ซี

คำจำกัดความของโคซีแคนต์:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ ซี

อสมการตรีโกณมิติ

อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

กำลังสองของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรกำลังสามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติคณิตศาสตร์ ตรีโกณมิติ. สูตร เรขาคณิต. ทฤษฎี

เราได้ดูฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานที่สุดแล้ว (อย่าหลงกล นอกจากไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์แล้ว ยังมีฟังก์ชันอื่นๆ อีกมากมาย แต่จะเพิ่มเติมในภายหลัง) แต่สำหรับตอนนี้ เรามาดูคุณสมบัติพื้นฐานบางประการของ ฟังก์ชั่นที่ได้ศึกษาไปแล้ว

ฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ตัวเลข

ไม่ว่าจะใช้จำนวนจริง t ใดก็ตาม ก็สามารถเชื่อมโยงกับจำนวน sin(t) ที่กำหนดโดยเฉพาะได้

จริงอยู่ กฎการจับคู่ค่อนข้างซับซ้อนและประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้

ในการหาค่าของ sin(t) จากเลข t คุณต้องมี:

วางตำแหน่งวงกลมตัวเลขบนระนาบพิกัดเพื่อให้ศูนย์กลางของวงกลมตรงกับที่มาของพิกัด และจุดเริ่มต้น A ของวงกลมตกอยู่ที่จุด (1; 0)
ค้นหาจุดบนวงกลมที่ตรงกับตัวเลข t
หาพิกัดของจุดนี้
การบวชนี้เป็นบาปที่ต้องการ (t)

อันที่จริง เรากำลังพูดถึงฟังก์ชัน s = sin(t) โดยที่ t คือจำนวนจริงใดๆ เรารู้วิธีคำนวณค่าบางค่าของฟังก์ชันนี้ (เช่น sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) ฯลฯ) เรารู้คุณสมบัติบางอย่างของมันแล้ว

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฉันหวังว่าจะเดาได้นะว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเชื่อมโยงถึงกัน และแม้จะไม่รู้ความหมายของฟังก์ชันหนึ่ง แต่ก็สามารถค้นพบผ่านอีกฟังก์ชันหนึ่งได้

เช่น สูตรที่สำคัญที่สุดในตรีโกณมิติทั้งหมดคือ อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

\[ บาป^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

อย่างที่คุณเห็น เมื่อทราบค่าของไซน์ คุณจะสามารถหาค่าของโคไซน์ได้และในทางกลับกันด้วย

สูตรตรีโกณมิติ

สูตรทั่วไปที่เชื่อมโยงไซน์และโคไซน์กับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

จากสองสูตรสุดท้าย เราสามารถได้รับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติอีกแบบหนึ่ง โดยคราวนี้เป็นการเชื่อมต่อแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสูตรเหล่านี้ทำงานอย่างไรในทางปฏิบัติ

ตัวอย่าง 1. ลดความซับซ้อนของนิพจน์: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

ก) ก่อนอื่น มาเขียนแทนเจนต์โดยคงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสไว้:

\[ 1+ \ตัน^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; เสื้อ + \คอส^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

ทีนี้ลองนำทุกอย่างมาเป็นตัวส่วนร่วม แล้วเราจะได้:

\[ \บาป^2\; เสื้อ + \คอส^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

และสุดท้าย ดังที่เราเห็น ตัวเศษสามารถลดลงเหลือ 1 ด้วยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลัก ซึ่งส่งผลให้เราได้: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) ด้วยโคแทนเจนต์เราทำการกระทำเดียวกันทั้งหมด เฉพาะตัวส่วนเท่านั้นที่จะไม่เป็นโคไซน์อีกต่อไป แต่เป็นไซน์และคำตอบจะเป็นดังนี้:

\[ 1+ \เปล^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

หลังจากเสร็จสิ้นภารกิจนี้แล้ว เราได้รับสูตรที่สำคัญมากอีกสองสูตรที่เชื่อมโยงฟังก์ชันของเรา ซึ่งเราต้องรู้เหมือนหลังมือของเราด้วย:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

คุณต้องรู้สูตรทั้งหมดที่นำเสนอด้วยใจไม่เช่นนั้นการศึกษาตรีโกณมิติเพิ่มเติมหากไม่มีสูตรเหล่านั้นก็เป็นไปไม่ได้เลย ในอนาคตก็จะมีสูตรเพิ่มมากขึ้นและก็จะมีอีกมากมาย และผมรับรองว่า คุณจะจำสูตรทั้งหมดได้ยาวนานแน่นอน หรือบางที คุณอาจจะจำไม่ได้ก็ได้ แต่ทุกคนควรรู้ 6 ข้อนี้!

ตารางที่สมบูรณ์ของสูตรการลดตรีโกณมิติขั้นพื้นฐานและหายากทั้งหมด

ที่นี่คุณจะพบสูตรตรีโกณมิติในรูปแบบที่สะดวก และสูตรลดตรีโกณมิติสามารถพบได้ในหน้าอื่น

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

— นิพจน์ทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดำเนินการสำหรับแต่ละค่าของอาร์กิวเมนต์

บาป² α + cos² α = 1
ทีจี α เปล α = 1
tg α = บาป α τ cos α
เปล α = cos α τ บาป α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ศตวรรษ บาป² α

สูตรการบวก

บาป (α + β) = บาป α cos β + บาป β cos α
บาป (α - β) = บาป α cos β - บาป β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

สูตรมุมคู่

cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
บาป 2α = 2ซิน α cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ۞ (2ctg α)

สูตรมุมสามเท่า

บาป3α = 3ซินα - 4sin³α
เพราะ 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ۞ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ۞ (1 - 3ctg² α)

สูตรลดระดับ

บาป²α = (1 - cos 2α) ÷ 2
บาป α = (3 บาป α – บาป 3 α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
บาป² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3ซิน 2α – บาป 6α) ÷ 32

การเปลี่ยนจากผลิตภัณฑ์ไปสู่ผลรวม

บาป α cos β = ½ (บาป (α + β) + บาป (α - β))
บาป α บาป β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
คอส α คอส β = ½ (คอส (α - β) + คอส (α + β))

เราได้ระบุสูตรตรีโกณมิติไว้มากมาย แต่หากมีสิ่งใดขาดหายไป โปรดระบุ

ทุกอย่างเพื่อการเรียน » คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน » สูตรตรีโกณมิติ - แผ่นโกง

หากต้องการบุ๊กมาร์กหน้า ให้กด Ctrl+D

กลุ่มที่มีข้อมูลที่เป็นประโยชน์มากมาย (สมัครสมาชิกหากคุณมีการสอบ Unified State หรือ Unified State Exam):

ฐานข้อมูลเรียงความ รายวิชา วิทยานิพนธ์ และสื่อการศึกษาอื่นๆ ทั้งหมดให้บริการฟรี การใช้เนื้อหาของไซต์แสดงว่าคุณยืนยันว่าคุณได้อ่านข้อตกลงผู้ใช้และเห็นด้วยกับประเด็นทั้งหมดอย่างครบถ้วน

การพิจารณาการเปลี่ยนแปลงกลุ่มของคำตอบทั่วไปของสมการตรีโกณมิติอย่างละเอียด ส่วนที่สามจะตรวจสอบสมการตรีโกณมิติที่ไม่ได้มาตรฐาน ซึ่งวิธีแก้ปัญหาจะขึ้นอยู่กับแนวทางเชิงฟังก์ชัน

สูตรทั้งหมด (สมการ) ของตรีโกณมิติ: sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

ส่วนที่สี่กล่าวถึงอสมการตรีโกณมิติ วิธีการแก้อสมการตรีโกณมิติเบื้องต้น ทั้งบนวงกลมหน่วยและ...

... มุม 1800-α= ตามแนวด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> ดังนั้น ในหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียน แนวคิดของฟังก์ชันตรีโกณมิติจึงถูกนำมาใช้โดยวิธีทางเรขาคณิต เนื่องจากมีความสามารถในการเข้าถึงที่มากขึ้น รูปแบบวิธีการดั้งเดิมสำหรับการศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติมีดังนี้: 1) ขั้นแรก ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกกำหนดสำหรับมุมแหลมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า...

... การบ้าน 19(3.6), 20(2.4) การตั้งเป้าหมาย การอัปเดตความรู้พื้นฐาน คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ สูตรลด วัสดุใหม่ ค่านิยมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ การแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด การรวมปัญหา การแก้ปัญหา จุดประสงค์ของบทเรียน: วันนี้เราจะคำนวณ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติและการแก้ ...

... สมมติฐานที่กำหนดขึ้นจำเป็นในการแก้ปัญหาต่อไปนี้ 1. ระบุบทบาทของสมการตรีโกณมิติและอสมการในการสอนคณิตศาสตร์ 2. พัฒนาระเบียบวิธีในการพัฒนาความสามารถในการแก้สมการตรีโกณมิติและอสมการโดยมุ่งพัฒนาแนวคิดตรีโกณมิติ 3. ทดสอบประสิทธิภาพของวิธีการที่พัฒนาขึ้นโดยการทดลอง สำหรับวิธีแก้ปัญหา…

สูตรตรีโกณมิติ

เรานำเสนอสูตรต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติแก่คุณ

(8) โคแทนเจนต์ของมุมคู่

cotg(2α) =

CTG 2 (α) - 1 2CTG(α)

(9) ไซน์ของมุมสามมุม บาป(3α) = 3ซิน(α)cos 2 (α) - บาป 3 (α) (10) โคไซน์ของมุมสามมุม cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) โคไซน์ของผลรวม/ผลต่าง cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ บาป(α)sin(β) (12) ไซน์ของผลรวม/ผลต่าง บาป(α±β) = บาป(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) แทนเจนต์ของผลรวม/ผลต่าง (14) โคแทนเจนต์ของผลรวม/ผลต่าง (15) ผลิตภัณฑ์ของไซน์ บาป(α)บาป(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) ผลคูณของโคไซน์ cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) ผลคูณของไซน์และโคไซน์ บาป(α)cos(β) = ½(บาป(α+β) + บาป(α-β)) (18) ผลรวม/ผลต่างของไซน์ บาป(α) ± บาป(β) = 2ซิน(½(α±β))คอส(½(α∓β)) (19) ผลรวมของโคไซน์ cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) ความแตกต่างของโคไซน์ cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) ผลรวม/ผลต่างของแทนเจนต์ (22) สูตรลดระดับไซน์ บาป 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) สูตรลดระดับโคไซน์ คอส 2 (α) = ½(1 + คอส(2α)) (24) ผลรวม/ผลต่างของไซน์และโคไซน์ (25) ผลรวม/ผลต่างของไซน์และโคไซน์ด้วยสัมประสิทธิ์ (26) ความสัมพันธ์พื้นฐานของอาร์คไซน์และอาร์กโคไซน์ อาร์คซิน(x) + อาร์คคอส(x) = π/2 (27) ความสัมพันธ์พื้นฐานระหว่างอาร์กแทนเจนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ อาร์กแทน(x) + ส่วนโค้งg(x) = π/2

สูตรทั่วไป

- ฉบับพิมพ์

คำจำกัดความ ไซน์ของมุม α (การกำหนด บาป(α)) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม α ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์ของมุม α (การกำหนด คอส(α)) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกับมุม α ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก มุมแทนเจนต์ α (การกำหนด สีแทน(α)) คืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับมุม α ต่อด้านที่อยู่ติดกัน คำจำกัดความที่เทียบเท่าคืออัตราส่วนของไซน์ของมุม α ต่อโคไซน์ของมุมเดียวกัน - sin(α)/cos(α) โคแทนเจนต์ของมุม α (การกำหนด cotg(α)) คืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกับมุม α ต่อมุมตรงข้าม คำจำกัดความที่เทียบเท่าคืออัตราส่วนของโคไซน์ของมุม α ต่อไซน์ของมุมเดียวกัน - cos(α)/sin(α) ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ: ตัดออก — วินาที(α) = 1/cos(α); โคซีแคนต์ - โคเซค(α) = 1/ซิน(α) บันทึก เราไม่ได้เขียนเครื่องหมาย * (คูณ) โดยเฉพาะ - โดยที่ฟังก์ชันสองฟังก์ชันเขียนติดกันโดยไม่มีช่องว่าง แสดงโดยนัย เบาะแส หากต้องการหาสูตรสำหรับโคไซน์ ไซน์ แทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ของมุมต่างๆ (4+) ก็เพียงพอที่จะเขียนตามสูตรตามลำดับ โคไซน์ ไซน์ แทนเจนต์หรือโคแทนเจนต์ของผลรวม หรือลดเป็นกรณีก่อนหน้า ลดเป็นสูตรของมุมสามและมุมคู่ ส่วนที่เพิ่มเข้าไป ตารางอนุพันธ์