จากสัญลักษณ์ a = b q จะได้ว่า b เป็นตัวหารของ a และ a เป็นผลคูณของ b ตัวหารและตัวคูณ

“สัญกรณ์ทศนิยมของตัวเลข” - ส่วนใดของเมตรคือ 1 dm? แก้สมการ ส่วนใดของ CD ส่วนใดที่มาจากส่วน AB Pashieva Lyubov Nikolaevna ครูคณิตศาสตร์ประเภทที่ 1 สัญกรณ์ทศนิยมของเศษส่วน ทศนิยม จอห์น เนเปียร์. เมืองซามาร์คันด์ในเอเชียกลางเป็นศูนย์กลางทางวัฒนธรรมที่อุดมสมบูรณ์ในศตวรรษที่ 15 กฎสำหรับสัญลักษณ์ทศนิยมของเศษส่วน

“การเขียนระบบตัวเลข” - ระบบจำนวนที่ไม่ใช่ตำแหน่ง เมื่อก่อนคนเขียนตัวเลขยังไงบ้าง? หากเขียนตัวเลข 56 ในระบบเลขฐานสิบ ก็จะเขียนดังนี้: จำแนวคิดเรื่องกำลังของตัวเลข: ประวัติความเป็นมาของตัวเลขและระบบตัวเลข อนุกรมธรรมชาติของตัวเลขในระบบเลขตำแหน่ง ขยายการบันทึกตัวเลข แนวคิดเรื่อง "ระบบตัวเลข"

“การบันทึกข้อมูลลงแผ่นดิสก์” - การเล่นการบันทึกจากแผ่นดิสก์เสียงโดยใช้เครื่องเล่นออปติคัล (เลเซอร์) แผ่นดังกล่าวผลิตโดยการปั๊มและมีสีเงิน เลเซอร์ดิสก์ไดรฟ์ มีแผ่น CD-R และ DVD-R (บันทึก R ได้) ที่เป็นสีทอง หลักการบันทึกด้วยแสง ระยะเวลาของโปรแกรมเสียงถึงหนึ่งชั่วโมง

“ การเขียนตัวเลขในระบบตัวเลข” - ในระบบตัวเลขสลาฟตัวอักษรมีการใช้ตัวอักษรซีริลลิก 27 ตัวเป็น "ตัวเลข" ระบบตัวอักษรเป็นระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งขั้นสูงกว่า ระบบตัวอักษร เนื้อหาของไฟล์ใดๆ จะแสดงในรูปแบบนี้ ระบบทศนิยมที่ไม่ใช่ตำแหน่งของอียิปต์โบราณ ระบบเลขโรมัน

“ สัญกรณ์ทศนิยมของเศษส่วน” - เขียนตัวเศษของเศษส่วน “คณิตคืออะไร? สัญกรณ์ทศนิยมของเศษส่วน ไซมอน สตีวิน (1548 – 1620) ปรับจำนวนหลักหลังจุดทศนิยมให้เท่ากันหากจำเป็น แอล.เอฟ. มักนิตสกี (1669-1739) เอ็มวี อะบานีนา. ใช้ลูกน้ำเพื่อแยกส่วนทั้งหมดออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วน

“ตัวหารและตัวคูณ” - หัวข้อ: ตัวหารและตัวคูณ ตัวเลขที่สมบูรณ์แบบ คำนวณด้วยวาจา เลือกจากตัวเลข: ตบมือสามครั้ง, ตบมือสามครั้ง, พยักหน้าสามครั้ง งอหนึ่งครั้ง - ยืดตัวขึ้น งอสองครั้ง - ดึงตัวเองขึ้น พลศึกษา. ตัวหารของตัวเลข 24 ตัวใดไม่อยู่ในจำนวนเหล่านี้? จดจำนวนและหัวข้อของบทเรียนลงในสมุดบันทึก: “ตัวหารและตัวคูณ”

คำนิยาม 1. ให้เบอร์. ก 1) เป็นผลคูณของตัวเลขสองตัว ขและ ถามดังนั้น ก=บีคิวแล้ว กเรียกว่าทวีคูณ ข.

1) ในบทความนี้ เราจะเข้าใจว่าคำว่า number เป็นจำนวนเต็ม

ใครๆก็พูดได้ กหารด้วย ขหรือ ขมีตัวหาร ก, หรือ ขแบ่ง ก, หรือ ขมาเป็นตัวคูณใน ก.

ข้อความต่อไปนี้เป็นไปตามคำจำกัดความที่ 1:

คำแถลง1. ถ้า ก-หลายรายการ ข, ข-หลายรายการ ค, ที่ กหลายรายการ ค.

จริงหรือ. เพราะ

ที่ไหน มและ nตัวเลขบางตัวแล้ว

เพราะฉะนั้น กหารด้วย ค.

หากในชุดตัวเลข แต่ละจำนวนหารด้วยจำนวนถัดไปลงตัว แต่ละจำนวนจะเป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนที่ตามมาทั้งหมด

คำแถลง 2. ถ้าเป็นตัวเลข กและ ข- ทวีคูณ คแล้วผลรวมและผลต่างก็เป็นทวีคูณเช่นกัน ค.

จริงหรือ. เพราะ

a+b=mc+nc=(ม+n)ค

a−b=mc−nc=(m−n)ค

เพราะฉะนั้น ก+ขหารด้วย คและ ก-ขหารด้วย ค .

สัญญาณของการแบ่งแยก

ขอให้เราได้สูตรทั่วไปในการพิจารณาการทดสอบการหารตัวเลขด้วยจำนวนธรรมชาติบางตัว มซึ่งเรียกว่าการทดสอบหารลงตัวของปาสคาล

ลองหาเศษที่เหลือจากการหารด้วย มลำดับต่อไปนี้ ให้เศษที่เหลือหาร 10 ด้วย มจะ ร 1, 10&จุดกึ่งกลาง ร 1 ต่อ มจะ ร 2 ฯลฯ จากนั้นเราสามารถเขียน:

ให้เราพิสูจน์ว่าเศษที่เหลือของการหารจำนวน กบน มเท่ากับเศษที่เหลือของการหารจำนวน

(3)

ดังที่คุณทราบหากตัวเลขสองตัวหารด้วยตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง มให้เศษเท่ากัน แล้วผลต่างก็หารด้วย มไร้ร่องรอย

ลองพิจารณาความแตกต่าง อ-เอ"

(6)

(7)

แต่ละเทอมทางด้านขวาของ (5) จะถูกหารด้วย มดังนั้นด้านซ้ายของสมการก็หารด้วยเช่นกัน ม- เมื่อพิจารณาเหตุผลในทำนองเดียวกัน เราพบว่าทางด้านขวามือของ (6) หารด้วย มดังนั้นด้านซ้ายของ (6) ก็หารด้วยได้เช่นกัน มทางด้านขวาของ (7) แบ่งออกเป็น มดังนั้นด้านซ้ายของ (7) ก็แบ่งออกเป็น ม- เราพบว่าด้านขวาของสมการ (4) หารด้วยลงตัว ม- เพราะฉะนั้น กและ เอ"มีเศษเท่ากันเมื่อหารด้วย ม- ในกรณีนี้พวกเขาพูดอย่างนั้น กและ เอ"คงเหลือเท่ากันหรือเทียบเคียงได้ในโมดูลัส ม.

ดังนั้นหาก เอ"หารด้วย ม ม) , ที่ กยังแบ่งออกเป็น ม(มีเศษเป็นศูนย์เมื่อหารด้วย ม- เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่าเพื่อกำหนดการแบ่งแยก กคุณสามารถกำหนดการหารจำนวนที่ง่ายกว่าได้ เอ".

จากนิพจน์ (3) เป็นไปได้ที่จะได้รับเกณฑ์การหารสำหรับตัวเลขเฉพาะ

สัญญาณหารตัวเลข 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

ทดสอบการหารด้วย 2 ลงตัว

ขั้นตอนต่อไปนี้ (1) สำหรับ ม.=2, เราได้รับ:

เศษที่เหลือเมื่อหารด้วย 2 จะเป็นศูนย์ จากนั้นจากสมการ (3) เราได้

เศษที่เหลือจากการหารด้วย 3 เท่ากับ 1 แล้วจากสมการ (3) เราก็ได้

เศษที่เหลือทั้งหมดจากการหารด้วย 4 ยกเว้นตัวแรกเท่ากับ 0 จากนั้นจากสมการ (3) เราก็ได้

เศษที่เหลือทั้งหมดเป็นศูนย์ จากนั้นจากสมการ (3) เราได้

เศษทั้งหมดเท่ากับ 4 จากนั้น จากสมการ (3) เราก็ได้

ดังนั้น ตัวเลขจะหารด้วย 6 ลงตัวก็ต่อเมื่อจำนวนสี่เท่าของสิบบวกกับจำนวนหน่วยหารด้วย 6 เท่านั้น นั่นคือเราทิ้งหลักที่ถูกต้องออกจากตัวเลข จากนั้นรวมตัวเลขผลลัพธ์ด้วย 4 แล้วบวก หมายเลขที่ถูกทิ้ง ถ้าจำนวนที่กำหนดหารด้วย 6 ลงตัว จำนวนเดิมก็จะหารด้วย 6 ลงตัว

ตัวอย่าง. 2742 หารด้วย 6 เพราะ 274*4+2=1,098, 1,098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 หารด้วย 6

สัญญาณที่ง่ายกว่าของการแบ่งแยก ตัวเลขหารด้วย 6 ลงตัวถ้าหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว (นั่นคือ ถ้าเป็นเลขคู่และถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว) เลข 2742 หารด้วย 6 เพราะ... ตัวเลขเป็นเลขคู่ และ 2+7+4+2=15 หารด้วย 3 ลงตัว

ทดสอบการหารด้วย 7 ลงตัว

ขั้นตอนต่อไปนี้ (1) สำหรับ ม.=7, เราได้รับ:

สารตกค้างทั้งหมดจะแตกต่างกันและทำซ้ำหลังจาก 7 ขั้นตอน จากนั้นจากสมการ (3) เราได้

เศษที่เหลือทั้งหมดเป็นศูนย์ทั้งหมด ยกเว้นสองตัวแรก จากนั้นจากสมการ (3) เราได้

เศษที่เหลือจากการหารด้วย 9 เท่ากับ 1 แล้วจากสมการ (3) เราก็ได้

เศษที่เหลือจากการหารด้วย 10 เท่ากับ 0 จากนั้นจากสมการ (3) เราก็ได้

ดังนั้น ตัวเลขจะหารด้วย 10 ลงตัวก็ต่อเมื่อหลักสุดท้ายหารด้วย 10 เท่านั้น (นั่นคือ หลักสุดท้ายเป็นศูนย์)

ในบทความนี้เราจะหารือกัน ตัวหารและทวีคูณ- เราจะให้คำจำกัดความของตัวหารและตัวคูณดังนี้ คำจำกัดความเหล่านี้จะช่วยให้เรายกตัวอย่างตัวหารและผลคูณของจำนวนเต็มต่างๆ ได้ เราจะพิจารณาตัวหารของหนึ่งและลบหนึ่งแยกจากกัน และยังพูดถึงตัวหารและผลคูณของศูนย์ด้วย

การนำทางหน้า

ตัวหารจำนวน - คำจำกัดความตัวอย่าง

ก่อนอื่นให้ คำนิยาม ตัวหารจำนวนทั้งหมด.

คำนิยาม.

ตัวแบ่งจำนวนเต็ม a คือจำนวนเต็ม b โดยที่ a หารด้วยจำนวนเต็มลงตัว

จำนวนธรรมชาติ 1 มีตัวหารบวกเพียงตัวเดียว คือ หมายเลข 1 ข้อเท็จจริงนี้ทำให้ตัวเลขหนึ่งแตกต่างจากจำนวนธรรมชาติอื่นๆ เนื่องจากจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่จำนวนหนึ่งจะมีตัวหารอย่างน้อยสองตัว คือตัวมันเองและ 1 ขึ้นอยู่กับการไม่มีหรือการมีอยู่ของตัวหารนอกเหนือจากจำนวนธรรมชาติและจำนวนหนึ่ง จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบจึงมีความแตกต่างกัน

ตัวหนึ่งคือตัวหารบวกที่น้อยที่สุดของจำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่ 1 และจำนวน a ก็คือตัวหารบวกที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (เราพูดถึงจำนวนที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดในส่วนนี้) นั่นคือ สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ a ตัวหารบวก b ใดๆ จะเป็นไปตามเงื่อนไข

หลายรายการ – คำจำกัดความ ตัวอย่าง

ให้กันเถอะ คำจำกัดความของหลายรายการ.

คำนิยาม.

หลายรายการจำนวนเต็ม b คือจำนวนเต็ม a ที่หารด้วย b ลงตัว

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ผลคูณของจำนวนเต็ม b คือจำนวนเต็ม a ที่สามารถแสดงในรูปแบบ a=b·q โดยที่ q คือจำนวนเต็มบางตัว

ถ้า a เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนเต็ม b แล้ว a จะเป็นผลคูณของ b ในกรณีนี้จะใช้สัญกรณ์ ab

คำจำกัดความของการคูณและหารลงตัวบ่งบอกถึงความเชื่อมโยงระหว่างสิ่งเหล่านั้นอย่างชัดเจน ตามนิยามแล้ว ถ้า a เป็นผลคูณของ b แล้ว b เป็นตัวหารของ a และในทางกลับกัน ถ้า b เป็นตัวหารของ a แล้ว a ก็เป็นผลคูณของ b

ให้กันเถอะ ตัวอย่างของทวีคูณ- ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม −12 เป็นผลคูณของ 3 เนื่องจาก −12=3·(−4) ผลคูณอื่นๆ ของ 3 คือจำนวนเต็ม 0, 3, −3, 6, −6, 9, −9 และอื่นๆ แต่เลข 7 ไม่ใช่จำนวนทวีคูณของจำนวนเต็ม 3 เนื่องจาก 7 ไม่สามารถหารด้วย 3 ลงตัวได้โดยไม่มีเศษ นั่นคือ ไม่มีจำนวนเต็ม q ที่จะเท่ากับ 7=3·q อยู่

จากคำจำกัดความของผลคูณ เห็นได้ชัดว่า 0 เป็นผลคูณของจำนวนเต็ม b ใดๆ รวมถึงศูนย์ด้วย ความเท่าเทียมกัน 0=b·0 ในกรณีนี้ดูน่าเชื่อถือมาก

โปรดสังเกตว่ามีจำนวนทวีคูณของจำนวนเต็ม b ใดๆ เป็นจำนวนมากไม่จำกัด เนื่องจากมีจำนวนเต็มจำนวนไม่จำกัด และจำนวนเต็มใดๆ ที่เท่ากับผลคูณ b·q โดยที่ q เป็นจำนวนเต็มใดๆ จะเป็นผลคูณของ b

ผลคูณบวกที่น้อยที่สุดของจำนวนบวก a ที่กำหนดคือจำนวน a ตัวมันเอง นอกจากนี้ ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าไม่ควรสับสนระหว่างตัวคูณบวกน้อยที่สุดกับตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลขหลายตัว

นอกจากนี้ เราสามารถพิจารณาเฉพาะผลคูณธรรมชาติของจำนวนเต็มบวกเท่านั้น เราสามารถทำได้ด้วยเหตุผลเดียวกันกับที่กล่าวไว้ในย่อหน้าแรกของบทความนี้ และลักษณะทั่วไปของการนำเสนอจะไม่ถูกละเมิด

บรรณานุกรม.

• วิเลนคิน เอ็น.ยา. และอื่น ๆ คณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษาทั่วไป
• วิโนกราดอฟ ไอ.เอ็ม. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
• มิเคโลวิช ช.เอช. ทฤษฎีจำนวน
• Kulikov L.Ya. และอื่น ๆ รวบรวมปัญหาพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เฉพาะทางของสถาบันการสอน

หัวข้อ “เลขหลายตัว” ศึกษาในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เป้าหมายคือการพัฒนาทักษะการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งการเขียนและการพูด ในบทนี้ มีการฝึกฝนแนวคิดใหม่ - "จำนวนหลายจำนวน" และ "ตัวหาร" เทคนิคการค้นหาตัวหารและจำนวนทวีคูณของจำนวนธรรมชาติ และความสามารถในการค้นหา LCM ในรูปแบบต่างๆ

หัวข้อนี้มีความสำคัญมาก ความรู้นี้สามารถนำไปใช้เมื่อแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาตัวส่วนร่วมด้วยการคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

ผลคูณของ A คือจำนวนเต็มที่หารด้วย A ลงตัวโดยไม่มีเศษ

จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีจำนวนทวีคูณเป็นอนันต์ ก็ถือว่ามีขนาดเล็กที่สุด ตัวคูณต้องไม่น้อยกว่าตัวเลขนั้นเอง

คุณต้องพิสูจน์ว่าตัวเลข 125 เป็นผลคูณของ 5 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหารตัวเลขแรกด้วยวินาที ถ้า 125 หารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษ คำตอบคือ ใช่

วิธีนี้ใช้ได้กับจำนวนน้อย

มีกรณีพิเศษเมื่อคำนวณ LOC

1. หากคุณต้องการค้นหาผลคูณร่วมของตัวเลข 2 ตัว (เช่น 80 และ 20) โดยที่หนึ่งในนั้น (80) หารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัว (20) แล้ว จำนวนนี้ (80) จะเป็นจำนวนน้อยที่สุดของจำนวนเหล่านี้ ตัวเลขสองตัว

ล.ซม.(80, 20) = 80.

2. ถ้าสองตัวไม่มีตัวหารร่วม เราก็บอกได้ว่า LCM เป็นผลคูณของตัวเลขสองตัวนี้

ล.ซม.(6, 7) = 42.

ลองดูตัวอย่างสุดท้าย 6 และ 7 เทียบกับ 42 เป็นตัวหาร พวกเขาหารผลคูณของจำนวนโดยไม่มีเศษ

ในตัวอย่างนี้ 6 และ 7 เป็นตัวประกอบที่จับคู่กัน ผลคูณของพวกเขามีค่าเท่ากับจำนวนทวีคูณมากที่สุด (42)

จำนวนเต็มเรียกว่าจำนวนเฉพาะหากหารด้วยตัวมันเองหรือ 1 ลงตัว (3:1=3; 3:3=1) ส่วนที่เหลือเรียกว่าคอมโพสิต

อีกตัวอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่า 9 เป็นตัวหารของ 42 หรือไม่

42:9=4 (เหลือ 6)

คำตอบ: 9 ไม่ใช่ตัวหารของ 42 เพราะคำตอบนั้นมีเศษอยู่

ตัวหารแตกต่างจากตัวคูณตรงที่ตัวหารคือตัวเลขที่ใช้หารจำนวนธรรมชาติ และตัวพหุคูณนั้นหารด้วยจำนวนนี้ลงตัว

ตัวหารร่วมมากของตัวเลข กและ ขคูณด้วยตัวคูณน้อยที่สุดจะได้ผลลัพธ์ของตัวเลขนั้นเอง กและ ข.

กล่าวคือ: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b

ผลคูณร่วมของจำนวนเชิงซ้อนมีดังต่อไปนี้

เช่น ค้นหา LCM สำหรับ 168, 180, 3024

เราแยกตัวประกอบตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะและเขียนเป็นผลคูณของกำลัง:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

ลทบ.(168, 180, 3024) = 15120.