V tomto článku sa pozrieme na metódu riešenia homogénnych goniometrických rovníc.

Homogénne goniometrické rovnice majú rovnakú štruktúru ako homogénne rovnice akéhokoľvek iného typu. Dovoľte mi pripomenúť metódu riešenia homogénnych rovníc druhého stupňa:

Uvažujme homogénne rovnice tvaru

Charakteristické črty homogénnych rovníc:

a) všetky monomiály majú rovnaký stupeň,

b) voľný termín je nula,

c) rovnica obsahuje mocniny s dvoma rôznymi základmi.

Homogénne rovnice sa riešia pomocou podobného algoritmu.

Na vyriešenie tohto typu rovnice vydelíme obe strany rovnice (môže byť delené alebo)

Pozor! Pri delení pravej a ľavej strany rovnice výrazom obsahujúcim neznámu môžete stratiť korene. Preto je potrebné skontrolovať, či korene výrazu, ktorým delíme obe strany rovnice, sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Ak áno, zapíšeme si tento koreň, aby sme naň neskôr nezabudli, a potom výraz rozdelíme týmto.

Vo všeobecnosti, prvá vec, ktorú musíte urobiť pri riešení akejkoľvek rovnice, ktorá má na pravej strane nulu, je pokúsiť sa vypočítať ľavú stranu rovnice akýmkoľvek dostupným spôsobom. A potom prirovnajte každý faktor k nule. V tomto prípade o korene určite neprídeme.

Takže opatrne rozdeľte ľavú stranu rovnice na výraz výraz po výraze. Dostaneme:

Znížime čitateľa a menovateľa druhého a tretieho zlomku:

Predstavme si náhradu:

Dostaneme kvadratickú rovnicu:

Poďme vyriešiť kvadratickú rovnicu, nájsť hodnoty a potom sa vrátiť k pôvodnej neznámej.

Pri riešení homogénnych goniometrických rovníc je potrebné pamätať na niekoľko dôležitých vecí:

1. Falošný člen možno previesť na druhú mocninu sínusu a kosínusu pomocou základnej trigonometrickej identity:

2. Sínus a kosínus dvojitého argumentu sú monomiály druhého stupňa - sínus dvojitého argumentu možno ľahko previesť na súčin sínusu a kosínu a kosínus dvojitého argumentu na druhú mocninu sínusu alebo kosínusu:

Pozrime sa na niekoľko príkladov riešenia homogénnych goniometrických rovníc.

1. Poďme vyriešiť rovnicu:

Toto je klasický príklad homogénnej trigonometrickej rovnice prvého stupňa: stupeň každého monomiálu je rovný jednej, priesečník sa rovná nule.

Pred vydelením oboch strán rovnice číslom , musíte skontrolovať, či korene rovnice nie sú koreňmi pôvodnej rovnice. Skontrolujeme: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Vydeľme obe strany rovnice .

Dostaneme:

, Kde

, Kde

odpoveď: , Kde

2. Poďme vyriešiť rovnicu:

Toto je príklad homogénnej goniometrickej rovnice druhého stupňa. Pamätáme si, že ak dokážeme vynásobiť ľavú stranu rovnice, potom je vhodné to urobiť. Do tejto rovnice môžeme vložiť . Poďme na to:

Riešenie prvej rovnice: , kde

Druhá rovnica je homogénna goniometrická rovnica prvého stupňa. Ak to chcete vyriešiť, vydeľte obe strany rovnice . Dostaneme:

Odpoveď: , kde ,

3. Poďme vyriešiť rovnicu:

Aby sa táto rovnica „stala“ homogénnou, transformujeme ju na súčin a uvedieme číslo 3 ako súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu:

Presuňme všetky výrazy doľava, otvorme zátvorky a predstavme podobné výrazy. Dostaneme:

Rozložme ľavú stranu na faktor a každý faktor nastavíme na nulu:

Odpoveď: , kde ,

4. Poďme vyriešiť rovnicu:

Vidíme, čo môžeme vytiahnuť zo zátvoriek. Poďme na to:

Prirovnajme každý faktor k nule:

Riešenie prvej rovnice:

Druhá populačná rovnica je klasická homogénna rovnica druhého stupňa. Korene rovnice nie sú koreňmi pôvodnej rovnice, preto obe strany rovnice vydelíme takto:

Riešenie prvej rovnice:

Riešenie druhej rovnice.

Myslím, že by sme mali začať históriou takého slávneho matematického nástroja, akým sú diferenciálne rovnice. Ako všetky diferenciálne a integrálne počty, aj tieto rovnice vynašiel Newton koncom 17. storočia. Tento svoj objav považoval za taký dôležitý, že dokonca zašifroval správu, ktorá sa dnes dá preložiť asi takto: „Všetky zákony prírody sú opísané diferenciálnymi rovnicami“. Môže sa to zdať prehnané, ale je to tak. Týmito rovnicami možno opísať akýkoľvek zákon fyziky, chémie, biológie.

K rozvoju a vytvoreniu teórie diferenciálnych rovníc obrovským spôsobom prispeli matematici Euler a Lagrange. Už v 18. storočí objavili a rozvinuli to, čo dnes študujú na vyšších univerzitných kurzoch.

Nový míľnik v štúdiu diferenciálnych rovníc sa začal vďaka Henrimu Poincarému. Vytvoril „kvalitatívnu teóriu diferenciálnych rovníc“, ktorá v kombinácii s teóriou funkcií komplexnej premennej významne prispela k základu topológie - vedy o priestore a jeho vlastnostiach.

Čo sú diferenciálne rovnice?

Veľa ľudí sa bojí jednej frázy.V tomto článku si však podrobne načrtneme celú podstatu tohto veľmi užitočného matematického aparátu, ktorý v skutočnosti nie je taký zložitý, ako sa z názvu zdá. Aby ste mohli začať hovoriť o diferenciálnych rovniciach prvého rádu, mali by ste sa najprv oboznámiť so základnými pojmami, ktoré sú s touto definíciou neodmysliteľne spojené. A začneme s diferenciálom.

Diferenciál

Mnoho ľudí tento pojem pozná už zo školy. Poďme sa na to však pozrieť bližšie. Predstavte si graf funkcie. Môžeme ho zväčšiť do takej miery, že ktorýkoľvek jeho segment bude mať podobu priamky. Zoberme si na ňom dva body, ktoré sú nekonečne blízko seba. Rozdiel medzi ich súradnicami (x alebo y) bude nekonečne malý. Nazýva sa diferenciál a označuje sa znamienkami dy (diferenciál y) a dx (diferenciál x). Je veľmi dôležité pochopiť, že diferenciál nie je konečná veličina, a to je jeho význam a hlavná funkcia.

Teraz musíme zvážiť ďalší prvok, ktorý nám bude užitočný pri vysvetľovaní pojmu diferenciálnej rovnice. Toto je derivát.

Derivát

Tento pojem sme asi všetci počuli v škole. Derivácia je rýchlosť, ktorou sa funkcia zvyšuje alebo znižuje. Z tejto definície sa však mnohé stáva nejasným. Skúsme vysvetliť deriváciu cez diferenciály. Vráťme sa k nekonečne malému segmentu funkcie s dvoma bodmi, ktoré sú od seba v minimálnej vzdialenosti. Ale aj na túto vzdialenosť sa funkcia dokáže o niečo zmeniť. A na opísanie tejto zmeny prišli s deriváciou, ktorú možno inak zapísať ako pomer diferenciálov: f(x)"=df/dx.

Teraz stojí za to zvážiť základné vlastnosti derivátu. Sú len tri z nich:

1. Derivát súčtu alebo rozdielu môže byť reprezentovaný ako súčet alebo rozdiel derivátov: (a+b)"=a"+b" a (a-b)"=a"-b".
2. Druhá vlastnosť súvisí s násobením. Derivácia súčinu je súčtom súčinov jednej funkcie a derivácie druhej: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Deriváciu rozdielu možno zapísať ako nasledujúcu rovnosť: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Všetky tieto vlastnosti sa nám budú hodiť pri hľadaní riešení diferenciálnych rovníc prvého rádu.

Existujú aj parciálne deriváty. Povedzme, že máme funkciu z, ktorá závisí od premenných x a y. Na výpočet parciálnej derivácie tejto funkcie, povedzme, vzhľadom na x, musíme vziať premennú y ako konštantu a jednoducho ju derivovať.

Integrálne

Ďalší dôležitý pojem je integrálny. V skutočnosti ide o presný opak derivátu. Existuje niekoľko typov integrálov, ale na vyriešenie najjednoduchších diferenciálnych rovníc potrebujeme tie najtriviálnejšie

Povedzme teda, že máme určitú závislosť f na x. Zoberieme z neho integrál a dostaneme funkciu F(x) (často nazývanú primitíva), ktorej derivácia sa rovná pôvodnej funkcii. Teda F(x)"=f(x). Z toho tiež vyplýva, že integrál derivácie sa rovná pôvodnej funkcii.

Pri riešení diferenciálnych rovníc je veľmi dôležité pochopiť význam a funkciu integrálu, pretože ich budete musieť brať veľmi často, aby ste našli riešenie.

Rovnice sa líšia v závislosti od ich povahy. V ďalšej časti sa pozrieme na typy diferenciálnych rovníc prvého rádu a potom sa naučíme, ako ich riešiť.

Triedy diferenciálnych rovníc

"Diffurs" sú rozdelené podľa poradia derivátov, ktoré sú v nich zahrnuté. Existuje teda prvé, druhé, tretie a ďalšie poradie. Môžu byť tiež rozdelené do niekoľkých tried: obyčajné a parciálne deriváty.

V tomto článku sa pozrieme na obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu. V nasledujúcich častiach si rozoberieme aj príklady a spôsoby ich riešenia. Budeme brať do úvahy iba ODR, pretože ide o najbežnejšie typy rovníc. Bežné sa delia na poddruhy: s oddeliteľnými premennými, homogénne a heterogénne. Ďalej sa dozviete, ako sa navzájom líšia a naučíte sa ich riešiť.

Navyše sa tieto rovnice dajú kombinovať tak, že sa dostaneme k sústave diferenciálnych rovníc prvého rádu. Budeme tiež uvažovať o takýchto systémoch a naučíme sa ich riešiť.

Prečo zvažujeme iba prvú objednávku? Pretože treba začať niečím jednoduchým a opísať všetko, čo súvisí s diferenciálnymi rovnicami, v jednom článku je jednoducho nemožné.

Oddeliteľné rovnice

Toto sú možno najjednoduchšie diferenciálne rovnice prvého poriadku. Patria sem príklady, ktoré možno zapísať takto: y"=f(x)*f(y). Na vyriešenie tejto rovnice potrebujeme vzorec na vyjadrenie derivácie ako pomeru diferenciálov: y"=dy/dx. Pomocou nej dostaneme nasledujúcu rovnicu: dy/dx=f(x)*f(y). Teraz môžeme prejsť k metóde riešenia štandardných príkladov: premenné rozdelíme na časti, čiže všetko s premennou y presunieme do časti, kde sa nachádza dy, a to isté urobíme s premennou x. Získame rovnicu v tvare: dy/f(y)=f(x)dx, ktorú riešime zobratím integrálov z oboch strán. Nezabudnite na konštantu, ktorú je potrebné nastaviť po zobratí integrálu.

Riešenie akéhokoľvek „rozdielu“ je funkciou závislosti x na y (v našom prípade) alebo, ak je prítomná číselná podmienka, potom odpoveďou vo forme čísla. Pozrime sa na celý proces riešenia na konkrétnom príklade:

Presuňme premenné rôznymi smermi:

Teraz si vezmime integrály. Všetky nájdete v špeciálnej tabuľke integrálov. A dostaneme:

ln(y) = -2*cos(x) + C

V prípade potreby môžeme vyjadriť „y“ ako funkciu „x“. Teraz môžeme povedať, že naša diferenciálna rovnica je vyriešená, ak podmienka nie je špecifikovaná. Podmienka môže byť špecifikovaná napríklad y(n/2)=e. Potom jednoducho dosadíme hodnoty týchto premenných do riešenia a nájdeme hodnotu konštanty. V našom príklade je to 1.

Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu

Teraz prejdime k zložitejšej časti. Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu je možné zapísať vo všeobecnom tvare takto: y"=z(x,y). Treba poznamenať, že pravostranná funkcia dvoch premenných je homogénna a nemožno ju rozdeliť na dve závislosti : z na x az na y. Kontrola , či je rovnica homogénna alebo nie je celkom jednoduchá: urobíme náhradu x=k*x a y=k*y Teraz zrušíme všetky k. Ak sú všetky tieto písmená zrušené , potom je rovnica homogénna a pokojne ju môžete začať riešiť Pri pohľade dopredu si povedzme: princíp riešenia týchto príkladov je tiež veľmi jednoduchý.

Musíme urobiť náhradu: y=t(x)*x, kde t je určitá funkcia, ktorá tiež závisí od x. Potom môžeme vyjadriť deriváciu: y"=t"(x)*x+t. Dosadením tohto všetkého do našej pôvodnej rovnice a jej zjednodušením dostaneme príklad s oddeliteľnými premennými t a x. Vyriešime to a dostaneme závislosť t(x). Keď sme to dostali, jednoducho dosadíme y=t(x)*x do našej predchádzajúcej náhrady. Potom dostaneme závislosť y od x.

Aby to bolo jasnejšie, pozrime sa na príklad: x*y"=y-x*e y/x .

Pri kontrole s výmenou sa všetko zníži. To znamená, že rovnica je skutočne homogénna. Teraz urobíme ďalšiu náhradu, o ktorej sme hovorili: y=t(x)*x a y"=t"(x)*x+t(x). Po zjednodušení dostaneme nasledujúcu rovnicu: t"(x)*x=-e t. Výsledný príklad vyriešime s oddelenými premennými a dostaneme: e -t =ln(C*x). Stačí nahradiť t s y/x (napokon, ak y =t*x, tak t=y/x), a dostaneme odpoveď: e -y/x =ln(x*C).

Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Je čas pozrieť sa na ďalšiu širokú tému. Budeme analyzovať nehomogénne diferenciálne rovnice prvého rádu. Čím sa líšia od predchádzajúcich dvoch? Poďme na to. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu vo všeobecnom tvare možno zapísať takto: y" + g(x)*y=z(x). Je potrebné objasniť, že z(x) a g(x) môžu byť konštantné veličiny.

A teraz príklad: y" - y*x=x 2 .

Existujú dve riešenia a my sa pozrieme na obe v poradí. Prvým je metóda variácie ľubovoľných konštánt.

Aby ste rovnicu vyriešili týmto spôsobom, musíte najprv prirovnať pravú stranu k nule a vyriešiť výslednú rovnicu, ktorá po prenose častí bude mať tvar:

ln|y|=x2/2 + C;

y=ex2/2*yC=C1*ex2/2.

Teraz potrebujeme nahradiť konštantu C 1 funkciou v(x), ktorú musíme nájsť.

Nahradíme derivát:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.

A nahraďte tieto výrazy do pôvodnej rovnice:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Môžete vidieť, že na ľavej strane sa rušia dva termíny. Ak sa to v niektorom príklade nestalo, urobili ste niečo zle. Pokračujme:

v"*e x2/2 = x 2.

Teraz riešime obvyklú rovnicu, v ktorej musíme oddeliť premenné:

dv/dx=x2/ex2/2;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Na extrahovanie integrálu tu budeme musieť použiť integráciu po častiach. To však nie je témou nášho článku. Ak máte záujem, môžete sa naučiť, ako takéto akcie vykonávať sami. Nie je to ťažké a pri dostatočnej zručnosti a starostlivosti to nezaberie veľa času.

Prejdime k druhej metóde riešenia nehomogénnych rovníc: Bernoulliho metóda. Ktorý prístup je rýchlejší a jednoduchší, je na vás, aby ste sa rozhodli.

Takže pri riešení rovnice pomocou tejto metódy musíme vykonať substitúciu: y=k*n. Tu k a n sú niektoré funkcie závislé od x. Potom bude derivácia vyzerať takto: y"=k"*n+k*n" Obe zámeny dosadíme do rovnice:

k"*n+k*n"+x*k*n=x2.

Zoskupenie:

k"*n+k*(n"+x*n)=x2.

Teraz musíme prirovnať k nule to, čo je v zátvorkách. Ak teraz skombinujeme dve výsledné rovnice, dostaneme systém diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktorý je potrebné vyriešiť:

Prvú rovnosť riešime ako obyčajnú rovnicu. Ak to chcete urobiť, musíte oddeliť premenné:

Zoberieme integrál a dostaneme: ln(n)=x 2 /2. Potom, ak vyjadríme n:

Teraz dosadíme výslednú rovnosť do druhej rovnice systému:

k"*e x2/2 = x 2.

A transformáciou dostaneme rovnakú rovnosť ako v prvej metóde:

dk=x2/ex2/2.

O ďalších krokoch tiež nebudeme diskutovať. Stojí za to povedať, že prvé riešenie diferenciálnych rovníc prvého rádu spôsobuje značné ťažkosti. Keď sa však do témy ponoríte hlbšie, začne to vychádzať čoraz lepšie.

Kde sa používajú diferenciálne rovnice?

Diferenciálne rovnice sa vo fyzike používajú veľmi aktívne, pretože takmer všetky základné zákony sú napísané v diferenciálnej forme a vzorce, ktoré vidíme, sú riešeniami týchto rovníc. V chémii sa používajú z rovnakého dôvodu: s ich pomocou sa odvodzujú základné zákony. V biológii sa diferenciálne rovnice používajú na modelovanie správania systémov, ako je predátor a korisť. Môžu byť tiež použité na vytvorenie reprodukčných modelov, povedzme, kolónie mikroorganizmov.

Ako vám môžu diferenciálne rovnice pomôcť v živote?

Odpoveď na túto otázku je jednoduchá: vôbec nie. Ak nie ste vedec alebo inžinier, je nepravdepodobné, že by pre vás boli užitočné. Pre všeobecný vývoj však nebude na škodu vedieť, čo je diferenciálna rovnica a ako sa rieši. A potom otázka syna alebo dcéry znie: „Čo je to diferenciálna rovnica? nebude ťa zmiasť. No, ak ste vedec alebo inžinier, potom sami chápete dôležitosť tejto témy v akejkoľvek vede. Najdôležitejšie však je, že teraz vyvstáva otázka „ako vyriešiť diferenciálnu rovnicu prvého rádu? vždy môžeš dať odpoveď. Súhlaste, je vždy pekné, keď rozumiete niečomu, čo sa ľudia dokonca boja pochopiť.

Hlavné problémy pri štúdiu

Hlavným problémom v pochopení tejto témy je slabá zručnosť v integrácii a diferenciácii funkcií. Ak nie ste dobrí v deriváciách a integráloch, potom sa pravdepodobne oplatí viac študovať, ovládať rôzne metódy integrácie a diferenciácie a až potom začať študovať látku, ktorá bola popísaná v článku.

Niektorí ľudia sú prekvapení, keď sa dozvedia, že dx sa dá preniesť, pretože predtým (v škole) sa uvádzalo, že zlomok dy/dx je nedeliteľný. Tu si treba prečítať literatúru o derivácii a pochopiť, že ide o pomer nekonečne malých veličín, s ktorými sa dá pri riešení rovníc manipulovať.

Mnoho ľudí si hneď neuvedomuje, že riešenie diferenciálnych rovníc prvého rádu je často funkcia alebo integrál, ktorý nemožno vziať, a táto mylná predstava im dáva veľa problémov.

Čo ešte môžete študovať pre lepšie pochopenie?

Ďalšie ponorenie sa do sveta diferenciálneho počtu je najlepšie začať so špecializovanými učebnicami, napríklad o matematickej analýze pre študentov nematematických odborov. Potom môžete prejsť na odbornejšiu literatúru.

Stojí za to povedať, že okrem diferenciálnych rovníc existujú aj integrálne rovnice, takže sa vždy budete mať o čo snažiť a čo študovať.

Záver

Dúfame, že po prečítaní tohto článku máte predstavu o tom, čo sú diferenciálne rovnice a ako ich správne vyriešiť.

V každom prípade sa nám matematika v živote nejakým spôsobom bude hodiť. Rozvíja logiku a pozornosť, bez ktorej je každý človek bez rúk.

Stop! Pokúsme sa pochopiť tento ťažkopádny vzorec.

Prvá premenná vo výkone s nejakým koeficientom by mala byť na prvom mieste. V našom prípade je

V našom prípade je. Ako sme zistili, znamená to, že stupeň pri prvej premennej konverguje. A druhá premenná prvého stupňa je na mieste. Koeficient.

Máme to.

Prvá premenná je mocnina a druhá premenná je druhá mocnina s koeficientom. Toto je posledný člen rovnice.

Ako vidíte, naša rovnica zodpovedá definícii vo forme vzorca.

Pozrime sa na druhú (slovnú) časť definície.

Máme dve neznáme a. Tu sa zbieha.

Zvážme všetky podmienky. V nich by mal byť súčet stupňov neznámych rovnaký.

Súčet stupňov je rovnaký.

Súčet mocnin sa rovná (at a at).

Súčet stupňov je rovnaký.

Ako vidíte, všetko sedí!!!

Teraz si precvičme definovanie homogénnych rovníc.

Určte, ktoré z rovníc sú homogénne:

Homogénne rovnice - rovnice s číslami:

Zoberme si rovnicu samostatne.

Ak rozdelíme každý člen faktorom každého člena, dostaneme

A táto rovnica úplne spadá pod definíciu homogénnych rovníc.

Ako riešiť homogénne rovnice?

Príklad 2

Rozdeľme rovnicu podľa.

Podľa našej podmienky sa y nemôže rovnať. Preto môžeme bezpečne deliť podľa

Substitúciou dostaneme jednoduchú kvadratickú rovnicu:

Keďže ide o redukovanú kvadratickú rovnicu, použijeme Vietovu vetu:

Po vykonaní spätnej substitúcie dostaneme odpoveď

odpoveď:

Príklad 3

Rozdeľme rovnicu (podľa podmienky).

odpoveď:

Príklad 4.

Nájdite ak.

Tu netreba deliť, ale násobiť. Vynásobme celú rovnicu takto:

Urobme náhradu a vyriešme kvadratickú rovnicu:

Po vykonaní spätnej substitúcie dostaneme odpoveď:

odpoveď:

Riešenie homogénnych goniometrických rovníc.

Riešenie homogénnych goniometrických rovníc sa nelíši od vyššie opísaných metód riešenia. Len tu okrem iného treba poznať trochu trigonometrie. A byť schopný riešiť goniometrické rovnice (na to si môžete prečítať časť).

Pozrime sa na takéto rovnice pomocou príkladov.

Príklad 5.

Vyriešte rovnicu.

Vidíme typickú homogénnu rovnicu: a sú neznáme a súčet ich mocnín v každom člene je rovnaký.

Takéto homogénne rovnice nie je ťažké vyriešiť, ale pred rozdelením rovníc zvážte prípad, kedy

V tomto prípade bude mať rovnica tvar: , tak. Ale sínus a kosínus nemôžu byť rovnaké súčasne, pretože podľa základnej goniometrickej identity. Preto ho môžeme pokojne rozdeliť na:

Keďže rovnica je daná, potom podľa Vietovej vety:

odpoveď:

Príklad 6.

Vyriešte rovnicu.

Ako v príklade, musíte rozdeliť rovnicu o. Zoberme si prípad, keď:

Ale sínus a kosínus nemôžu byť rovnaké súčasne, pretože podľa základnej goniometrickej identity. Preto.

Urobme náhradu a vyriešme kvadratickú rovnicu:

Urobme opačnú substitúciu a nájdime a:

odpoveď:

Riešenie homogénnych exponenciálnych rovníc.

Homogénne rovnice sa riešia rovnakým spôsobom ako tie, ktoré sú uvedené vyššie. Ak ste zabudli, ako riešiť exponenciálne rovnice, pozrite si príslušnú časť ()!

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 7.

Vyriešte rovnicu

Predstavme si to takto:

Vidíme typickú homogénnu rovnicu s dvoma premennými a súčtom mocnín. Rozdeľme rovnicu na:

Ako vidíte, substitúciou dostaneme nižšie uvedenú kvadratickú rovnicu (netreba sa báť delenia nulou – tá je vždy striktne väčšia ako nula):

Podľa Vietovej vety:

odpoveď: .

Príklad 8.

Vyriešte rovnicu

Predstavme si to takto:

Rozdeľme rovnicu na:

Urobme náhradu a vyriešme kvadratickú rovnicu:

Koreň nespĺňa podmienku. Urobme opačnú substitúciu a nájdeme:

odpoveď:

HOMOGÉNNE ROVNICE. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Najprv mi dovoľte pripomenúť vám príklad jedného problému čo sú homogénne rovnice a aké je riešenie homogénnych rovníc.

Vyrieš ten problém:

Nájdite ak.

Tu si môžete všimnúť zvláštnu vec: ak vydelíme každý výraz podľa, dostaneme:

To znamená, že teraz neexistujú žiadne samostatné a - teraz je premenná v rovnici požadovaná hodnota. A toto je obyčajná kvadratická rovnica, ktorá sa dá ľahko vyriešiť pomocou Vietovej vety: súčin koreňov sa rovná a súčet sú čísla a.

odpoveď:

Rovnice formulára

sa nazýva homogénna. To znamená, že ide o rovnicu s dvoma neznámymi, z ktorých každý člen má rovnaký súčet mocnin týchto neznámych. Napríklad vo vyššie uvedenom príklade sa táto suma rovná. Homogénne rovnice sa riešia delením jednou z neznámych do tohto stupňa:

A následné nahradenie premenných: . Tak dostaneme mocninovú rovnicu s jednou neznámou:

Najčastejšie sa stretneme s rovnicami druhého stupňa (teda s kvadratickými) a vieme ich vyriešiť:

Všimnite si, že celú rovnicu môžeme deliť (a násobiť) premennou len vtedy, ak sme presvedčení, že táto premenná sa nemôže rovnať nule! Napríklad, ak sme požiadaní, aby sme našli, okamžite pochopíme, že je nemožné rozdeliť. V prípadoch, keď to nie je také zrejmé, je potrebné samostatne skontrolovať prípad, keď sa táto premenná rovná nule. Napríklad:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Vidíme tu typickú homogénnu rovnicu: a sú neznáme a súčet ich mocnín v každom člene je rovnaký.

Pred delením a získaním relatívnej kvadratickej rovnice však musíme zvážiť prípad, kedy. V tomto prípade bude mať rovnica tvar: , čo znamená . Ale sínus a kosínus sa nemôžu súčasne rovnať nule, pretože podľa základnej goniometrickej identity: . Preto ho môžeme pokojne rozdeliť na:

Dúfam, že toto riešenie je úplne jasné? Ak nie, prečítajte si časť. Ak nie je jasné, odkiaľ pochádza, musíte sa vrátiť ešte skôr - do sekcie.

Rozhodnite sa sami:

1. Nájdite ak.
2. Nájdite ak.
3. Vyriešte rovnicu.

Tu stručne napíšem priamo riešenie homogénnych rovníc:

Riešenia:

Odpoveď: .

Tu však musíme násobiť a nie deliť:

odpoveď:

Ak ste to ešte nebrali, tento príklad môžete preskočiť.

Keďže tu musíme deliť, najprv sa uistite, že sto sa nerovná nule:

A to je nemožné.

Odpoveď: .

HOMOGÉNNE ROVNICE. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Riešenie všetkých homogénnych rovníc je redukované na delenie jednou z neznámych na mocninu a ďalšiu zmenu premenných.

Algoritmus:

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Počas skúšky sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Aby ste mohli lepšie využívať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 899 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

V súčasnosti sa podľa základného stupňa štúdia matematiky poskytujú na štúdium matematiky na strednej škole len 4 hodiny (2 hodiny algebra, 2 hodiny geometria). Na vidieckych malotriednych školách sa snažia zvýšiť počet hodín kvôli školskej zložke. Ale ak je trieda humanitná, tak sa pridáva školská zložka na štúdium humanitných predmetov. V malej obci školák často nemá na výber, učí sa v tej triede; ktorý je k dispozícii v škole. Nemá v úmysle stať sa právnikom, historikom alebo novinárom (existujú také prípady), ale chce sa stať inžinierom alebo ekonómom, takže musí zložiť jednotnú štátnu skúšku z matematiky s vysokým skóre. Za takýchto okolností musí učiteľ matematiky nájsť vlastnú cestu von zo súčasnej situácie, navyše podľa Kolmogorovovej učebnice nie je zabezpečené štúdium témy „homogénne rovnice“. V minulých rokoch mi trvalo dve dvojité lekcie, kým som uviedol túto tému a upevnil ju. Žiaľ, naša inšpekcia výchovného dozoru zakázala v škole dvojité hodiny, takže počet cvičení musel byť znížený na 45 minút, a preto bola náročnosť cvičení znížená na strednú. Dávam do pozornosti vyučovací plán na túto tému v 10. ročníku so základnou úrovňou štúdia matematiky na vidieckej malotriedke.

Typ lekcie: tradičný.

Cieľ: naučiť sa riešiť typické homogénne rovnice.

Úlohy:

Poznávacie:

Vývojový:

Vzdelávacie:

• Podporovať tvrdú prácu trpezlivým plnením úloh, zmysel pre kamarátstvo prostredníctvom práce vo dvojiciach a skupinách.

Počas vyučovania

ja Organizačné etapa(3 min.)

II. Testovanie vedomostí potrebných na zvládnutie nového materiálu (10 min.)

Identifikujte hlavné ťažkosti s ďalšou analýzou dokončených úloh. Chlapci si vyberú 3 možnosti. Úlohy diferencované podľa stupňa náročnosti a úrovne pripravenosti detí, po ktorých nasleduje vysvetlenie pri tabuli.

Úroveň 1. Riešte rovnice:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Odpovede: 7;3

Úroveň 2. Riešte jednoduché goniometrické rovnice a bikvadratické rovnice:

odpovede:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Odpovede: -2; 2; -3; 3

Úroveň 3 Riešenie rovníc zmenou premenných:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Odpovede:

III. Komunikácia témy, stanovenie cieľov a zámerov.

Predmet: Homogénne rovnice

Cieľ: naučiť sa riešiť typické homogénne rovnice

Úlohy:

Poznávacie:

• zoznámiť sa s homogénnymi rovnicami, naučiť sa riešiť najbežnejšie typy takýchto rovníc.

Vývojový:

• Rozvoj analytického myslenia.
• Rozvoj matematických zručností: naučiť sa identifikovať hlavné črty, ktorými sa homogénne rovnice líšia od iných rovníc, vedieť určiť podobnosť homogénnych rovníc v ich rôznych prejavoch.

IV. Učenie sa nových vedomostí (15 min.)

1. Prednášková chvíľa.

Definícia 1(Zapíšte si to do zošita). Rovnica v tvare P(x;y)=0 sa nazýva homogénna, ak P(x;y) je homogénny polynóm.

Polynóm v dvoch premenných x a y sa nazýva homogénny, ak sa stupeň každého z jeho členov rovná rovnakému číslu k.

Definícia 2(Len úvod). Rovnice formulára

sa nazýva homogénna rovnica stupňa n vzhľadom na u(x) a v(x). Vydelením oboch strán rovnice (v(x))n môžeme použiť substitúciu na získanie rovnice

Čo nám umožňuje zjednodušiť pôvodnú rovnicu. Prípad v(x)=0 sa musí posudzovať oddelene, pretože nie je možné deliť 0.

2. Príklady homogénnych rovníc:

Vysvetlite: prečo sú homogénne, uveďte príklady takýchto rovníc.

3. Úloha určiť homogénne rovnice:

Medzi danými rovnicami identifikujte homogénne rovnice a vysvetlite svoj výber:

Po vysvetlení vášho výberu použite jeden z príkladov, aby ste ukázali, ako vyriešiť homogénnu rovnicu:

4. Rozhodnite sa sami:

odpoveď:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Vydelíme obe strany rovnice cos x, dostaneme 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Ukážte riešenie na príklade z brožúry„P.V. Chulkov. Rovnice a nerovnice v kurze školskej matematiky. Moskovská pedagogická univerzita „Prvý september“ 2006, str. Ako jeden z možných príkladov jednotnej štátnej skúšky úrovne C.

V. Vyriešte konsolidáciu pomocou Bashmakovovej učebnice

strana 183 č. 59 (1.5) alebo podľa učebnice vydanej Kolmogorovom: strana 81 č. 169 (a, c)

odpovede:

VI. Test, samostatná práca (7 min.)

1 možnosť	Možnosť 2
Riešte rovnice:
a) hriech 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos2-3sin2=0	b)

Odpovede na úlohy:

Možnosť 1 a) Odpoveď: arctan2+πn,n € Z; b) Odpoveď: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Možnosť 2 a) Odpoveď: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Odpoveď: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5;-2); (5;2)

VII. Domáca úloha

č. 169 podľa Kolmogorova, č. 59 podľa Bašmakova.

Okrem toho vyriešte sústavu rovníc:

Odpoveď: arctan(-1±√3) +πn,

Referencie:

1. P.V. Chulkov. Rovnice a nerovnice v kurze školskej matematiky. – M.: Vysoká škola pedagogická „Prvý september“, 2006. s. 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovič, M. Yakir. Trigonometria. – M.: „AST-PRESS“, 1998, s. 389
3. Algebra pre 8. ročník, editoval N.Ya. Vilenkina. – M.: „Osvietenie“, 1997.
4. Algebra pre 9. ročník, editoval N.Ya. Vilenkina. Moskva "Osvietenie", 2001.
5. M.I. Bašmakov. Algebra a začiatky analýzy. Pre ročníky 10-11 - M.: „Osvietenie“ 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Algebra a začiatky analýzy. Pre 10-11 ročníkov. – M.: „Osvietenie“, 1990.
7. A.G. Mordkovič. Algebra a začiatky analýzy. Časť 1 Učebnica pre ročníky 10-11. – M.: „Mnemosyne“, 2004.

Homogénne

V tejto lekcii sa pozrieme na tzv homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu. Spolu s oddeliteľné rovnice A lineárne nehomogénne rovnice tento typ diaľkového ovládania sa nachádza takmer v každej testovacej práci na tému difúzorov. Ak ste na stránku prišli z vyhľadávača alebo si nie ste veľmi istí v chápaní diferenciálnych rovníc, potom vám dôrazne odporúčam prejsť úvodnou lekciou na túto tému - Diferenciálne rovnice prvého rádu. Faktom je, že mnohé princípy riešenia homogénnych rovníc a použité techniky budú úplne rovnaké ako pre najjednoduchšie rovnice so separovateľnými premennými.

Aký je rozdiel medzi homogénnymi diferenciálnymi rovnicami a inými typmi diferenciálnych rovníc? Najjednoduchší spôsob, ako to okamžite vysvetliť, je na konkrétnom príklade.

Príklad 1

Riešenie:
Čo Po prvé treba analyzovať pri rozhodovaní akýkoľvek Diferenciálnej rovnice prvá objednávka? V prvom rade je potrebné skontrolovať, či je možné okamžite oddeliť premenné pomocou „školských“ akcií? Zvyčajne sa táto analýza robí mentálne alebo snahou oddeliť premenné v koncepte.

V tomto príklade premenné nemožno oddeliť(môžete sa pokúsiť prehadzovať výrazy z časti na časť, zvýšiť faktory zo zátvoriek atď.). Mimochodom, v tomto príklade je skutočnosť, že premenné nemožno rozdeliť, celkom zrejmá kvôli prítomnosti multiplikátora.

Vynára sa otázka: ako vyriešiť tento difúzny problém?

Treba skontrolovať a Nie je táto rovnica homogénna?? Overenie je jednoduché a samotný overovací algoritmus môže byť formulovaný takto:

K pôvodnej rovnici:

namiesto nahrádzame, namiesto nahrádzame, nedotýkame sa derivátu:

Písmeno lambda je podmienený parameter a tu hrá nasledujúcu úlohu: ak je v dôsledku transformácií možné „zničiť“ VŠETKY lambdy a získať pôvodnú rovnicu, potom táto diferenciálna rovnica je homogénna.

Je zrejmé, že lambdy sa okamžite znížia o exponent:

Teraz na pravej strane vyberieme lambdu zo zátvoriek:

a vydeľte obe časti rovnakou lambdou:

Ako výsledok Všetky Lambdy zmizli ako sen, ako ranná hmla a dostali sme pôvodnú rovnicu.

Záver: Táto rovnica je homogénna

Ako vyriešiť homogénnu diferenciálnu rovnicu?

Mám veľmi dobré správy. Absolútne všetky homogénne rovnice možno vyriešiť pomocou jedinej (!) štandardnej substitúcie.

Funkcia „hra“ by mala byť nahradiť práca nejaká funkcia (závisí aj od „x“) a "x":

Takmer vždy píšu stručne:

Zisťujeme, na čo sa derivát takouto náhradou zmení, využívame pravidlo diferenciácie produktu. Ak potom:

Do pôvodnej rovnice dosadíme:

Čo dá takáto náhrada? Po tomto nahradení a zjednodušeniach sme zaručené dostaneme rovnicu so separovateľnými premennými. PAMATUJTE SI ako prvá láska :) a podľa toho .

Po nahradení vykonávame maximálne zjednodušenia:

Keďže ide o funkciu závislú od „x“, jej deriváciu možno zapísať ako štandardný zlomok: .
Takto:

Oddeľujeme premenné, zatiaľ čo na ľavej strane musíte zbierať iba „te“ a na pravej strane iba „x“:

Premenné sú oddelené, integrujme:


Podľa môjho prvého technického tipu z článku Diferenciálne rovnice prvého rádu, v mnohých prípadoch je vhodné „formulovať“ konštantu vo forme logaritmu.

Po integrácii rovnice musíme vykonať spätná výmena, je tiež štandardný a jedinečný:
Ak potom
V tomto prípade:

V 18-19 prípadoch z 20 je riešenie homogénnej rovnice zapísané ako všeobecný integrál.

odpoveď: všeobecný integrál:

Prečo je odpoveď na homogénnu rovnicu takmer vždy uvedená vo forme všeobecného integrálu?
Vo väčšine prípadov nie je možné explicitne vyjadriť „hru“ (získať všeobecné riešenie), a ak je to možné, najčastejšie sa všeobecné riešenie ukáže ako ťažkopádne a nemotorné.

Takže napríklad v uvažovanom príklade je možné získať všeobecné riešenie vážením logaritmov na oboch stranách všeobecného integrálu:

- No, to je v poriadku. Aj keď, musíte uznať, je to stále trochu pokrivené.

Mimochodom, v tomto príklade som všeobecný integrál nezapísal celkom „slušne“. Nie je to chyba, ale v „dobrom“ štýle pripomínam, že všeobecný integrál sa zvyčajne píše v tvare . Aby ste to dosiahli, okamžite po integrácii rovnice by sa mala konštanta zapísať bez akéhokoľvek logaritmu (tu je výnimka z pravidla!):

A po obrátenej substitúcii získajte všeobecný integrál v „klasickom“ tvare:

Prijatú odpoveď je možné skontrolovať. Aby ste to dosiahli, musíte rozlíšiť všeobecný integrál, to znamená nájsť derivácia funkcie špecifikovanej implicitne:

Zlomkov sa zbavíme vynásobením každej strany rovnice:

Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná, čo znamená, že riešenie bolo nájdené správne.

Je vhodné vždy kontrolovať. Ale homogénne rovnice sú nepríjemné v tom, že je zvyčajne ťažké skontrolovať ich všeobecné integrály - to si vyžaduje veľmi, veľmi slušnú techniku ​​diferenciácie. V uvažovanom príklade už počas overovania bolo potrebné nájsť nie najjednoduchšie deriváty (hoci samotný príklad je dosť jednoduchý). Ak to môžete skontrolovať, skontrolujte to!

Nasledujúci príklad je pre vás, ktorý musíte vyriešiť sami - aby ste sa oboznámili s algoritmom akcií:

Príklad 2

Skontrolujte homogenitu rovnice a nájdite jej všeobecný integrál.

Odpoveď napíšte do formulára , vykonajte kontrolu.

Aj tu sa ukázalo, že ide o celkom jednoduchú kontrolu.

A teraz sľúbený dôležitý bod, spomenutý na samom začiatku témy,
Tučným čiernym písmom zvýrazním:

Ak pri transformáciách „resetujeme“ multiplikátor (nie konštanta)do menovateľa, potom RIZIKÁME stratu riešení!

A vlastne sme sa s tým stretli už v prvom príklade úvodná lekcia o diferenciálnych rovniciach. V procese riešenia rovnice sa ukázalo, že „y“ je v menovateli: , ale, samozrejme, je riešením DE a v dôsledku nerovnakej transformácie (delenia) existuje každá šanca, že ho stratíme! Ďalšia vec je, že bol zahrnutý do všeobecného riešenia pri nulovej hodnote konštanty. Resetovanie „X“ v menovateli môže byť tiež ignorované, pretože nevyhovuje pôvodnému difúzoru.

Podobný príbeh s treťou rovnicou tej istej lekcie, pri riešení ktorej sme „klesli“ do menovateľa. Presne povedané, tu bolo potrebné skontrolovať, či je tento difúzor riešením? Koniec koncov, je! Ale aj tu „všetko dopadlo dobre“, pretože táto funkcia bola zahrnutá do všeobecného integrálu v .

A ak to často funguje s „oddeliteľnými“ rovnicami, potom s homogénnymi a niektorými inými difúzormi to nemusí fungovať. Veľmi pravdepodobné.

Poďme analyzovať problémy už vyriešené v tejto lekcii: v Príklady 1-2“resetovanie” X sa tiež ukázalo ako bezpečné, pretože existuje a , a preto je hneď jasné, že to nemôže byť riešenie. Okrem toho v Príklad 2 sa ukázalo byť v menovateli a tu sme riskovali stratu funkcie, ktorá zjavne spĺňa rovnicu . Aj tu to však „prešlo“, pretože... vstúpil do všeobecného integrálu pri nulovej hodnote konštanty.

Ale „šťastné príležitosti“ som, samozrejme, vytvoril zámerne a nie je pravda, že v praxi nastanú tieto:

Príklad 3

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Nie je to jednoduchý príklad? ;-)

Riešenie: homogenita tejto rovnice je zrejmá, ale stále - na prvom kroku VŽDY kontrolujeme, či je možné oddeliť premenné. Pretože rovnica je tiež homogénna, ale premenné v nej sú ľahko oddelené. Áno, nejaké sú!

Po skontrolovaní „oddeliteľnosti“ vykonáme náhradu a čo najviac zjednodušíme rovnicu:

Oddeľujeme premenné, zbierame „te“ vľavo a „x“ vpravo:

A tu STOP. Pri delení riskujeme stratu dvoch funkcií naraz. Keďže ide o tieto funkcie:

Prvá funkcia je zjavne riešením rovnice . Skontrolujeme druhý - jeho derivát tiež nahradíme do nášho difúzora:

– získa sa správna rovnosť, čo znamená, že funkcia je tiež riešením.

A riskujeme stratu týchto rozhodnutí.

Okrem toho sa ukázalo, že menovateľ je „X“, a preto určite skontrolujte, nie je riešením pôvodnej diferenciálnej rovnice. Nie nieje.

Všimnime si to všetko a pokračujme:

Musím povedať, že som mal šťastie s integrálom ľavej strany, môže to byť oveľa horšie.

Zhromažďujeme jeden logaritmus na pravej strane a odhodíme okovy:

A teraz len opačná výmena:

Vynásobme všetky pojmy:

Teraz by ste mali skontrolovať - či boli do všeobecného integrálu zahrnuté „nebezpečné“ riešenia. Áno, obe riešenia boli zahrnuté do všeobecného integrálu pri nulovej hodnote konštanty: , takže ich netreba dodatočne uvádzať v odpoveď:

všeobecný integrál:

Vyšetrenie. Ani nie test, ale čistá radosť :)

Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná, čo znamená, že riešenie bolo nájdené správne.

Aby ste to vyriešili sami:

Príklad 4

Vykonajte test homogenity a vyriešte diferenciálnu rovnicu

Skontrolujte všeobecný integrál deriváciou.

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Pozrime sa na niekoľko typických príkladov:

Príklad 5

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Riešenie Zvykneme si ho navrhovať kompaktnejšie. Najprv sa mentálne alebo na koncepte presvedčíme, že tu nemožno oddeliť premenné, potom vykonáme test homogenity – ten sa zvyčajne nerobí na konečnom návrhu. (pokiaľ sa to výslovne nevyžaduje). Riešenie teda takmer vždy začína položkou: „ Táto rovnica je homogénna, urobme náhradu: ...».

Náhrada a ideme po vychodených cestách:

„X“ je tu v poriadku, ale čo kvadratická trojčlenka? Keďže nie je rozložiteľný na faktory: , tak riešenia rozhodne nestrácame. Vždy by to tak bolo! Vyberte celý štvorec na ľavej strane a integrujte:

Tu nie je čo zjednodušovať, a preto obrátená náhrada:

odpoveď: všeobecný integrál:

Nasledujúci príklad nezávislého riešenia:

Príklad 6

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Zdalo by sa, že ide o podobné rovnice, ale nie - veľký rozdiel;)

A teraz začína zábava! Po prvé, poďme zistiť, čo robiť, ak je daná homogénna rovnica s hotovými diferenciálmi:

Príklad 7

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Toto je veľmi zaujímavý príklad, celý triler!

Riešenie: ak homogénna rovnica obsahuje hotové diferenciály, možno ju vyriešiť modifikovanou substitúciou:

Neodporúčam však používať takúto náhradu, pretože sa ukáže, že ide o Veľký múr čínskych diferenciálov, kde potrebujete oko a oko. Z technického hľadiska je výhodnejšie prejsť na „čiarkované“ označenie derivácie, preto obe strany rovnice vydelíme:

A tu sme už urobili „nebezpečnú“ premenu! Nulový diferenciál zodpovedá skupine priamych čiar rovnobežných s osou. Sú to korene nášho DU? Dosadíme do pôvodnej rovnice:

Táto rovnosť platí vtedy, ak pri delení riskujeme stratu riešenia, a stratili sme ho- odvtedy už nevyhovuje výsledná rovnica .

Treba si uvedomiť, že ak by sme spočiatku bola daná rovnica , potom by nebolo reči o koreni. Ale máme to a včas sme to podchytili.

Pokračujeme v riešení štandardnou náhradou:
:

Po dosadení rovnicu čo najviac zjednodušíme:

Oddeľujeme premenné:

A ešte raz STOP: pri delení riskujeme stratu dvoch funkcií. Keďže ide o tieto funkcie:

Je zrejmé, že prvá funkcia je riešením rovnice . Skontrolujeme druhý - nahradíme aj jeho derivát:

– prijaté skutočná rovnosť, čo znamená, že funkcia je zároveň riešením diferenciálnej rovnice.

A pri delení riskujeme stratu týchto riešení. Môžu však vstúpiť do všeobecného integrálu. Ale nesmú vstúpiť

Všimnime si to a integrujme obe časti:

Integrál ľavej strany je riešený štandardným spôsobom pomocou zvýraznenie celého štvorca, ale oveľa pohodlnejšie je použiť v difúzoroch metóda neurčitých koeficientov:

Pomocou metódy neurčitých koeficientov rozšírime integrand na súčet elementárnych zlomkov:


Takto:

Nájdenie integrálov:

– keďže sme nakreslili iba logaritmy, pod logaritmus zatlačíme aj konštantu.

Pred výmenou opäť zjednodušenie všetkého, čo sa zjednodušiť dá:

Resetovanie reťazí:

A spätná výmena:

Teraz si spomeňme na „stratené veci“: riešenie bolo zahrnuté do všeobecného integrálu na , ale „preletelo popri pokladni“, pretože sa ukázalo ako menovateľ. Preto sa v odpovedi udeľuje samostatná fráza a áno - nezabudnite na stratené riešenie, ktoré sa mimochodom tiež ukázalo nižšie.

odpoveď: všeobecný integrál: . Ďalšie riešenia:

Tu nie je také ťažké vyjadriť všeobecné riešenie:
, ale toto je už predvádzanie sa.

Pohodlné však na kontrolu. Poďme nájsť derivát:

a nahradiť na ľavú stranu rovnice:

– v dôsledku toho sa získala pravá strana rovnice, čo bolo potrebné skontrolovať.

Teraz hľadanie s koreňmi, to je tiež bežný a veľmi zákerný prípad:

Príklad 8

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Riešenie: Slovne sa uistite, že rovnica je homogénna a do pôvodnej rovnice dosaďte prvú lásku:

A nebezpečenstvo na nás číha už tu. Ide o to, že túto skutočnosť je veľmi ľahké stratiť zo zreteľa:

Šťastnú propagáciu!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: Skontrolujme rovnicu pre homogenitu, na tento účel v pôvodnej rovnici namiesto nahradíme a namiesto nahradíme:

V dôsledku toho sa získa pôvodná rovnica, čo znamená, že tento DE je homogénny.