Reprezentácia diskrétnych náhodných premenných radov. Distribučné zákony pre diskrétne náhodné premenné

ZÁKON O ROZDELENÍ A CHARAKTERISTIKY

NÁHODNÉ PREMENNÉ

Náhodné veličiny, ich klasifikácia a metódy popisu.

Náhodná veličina je veličina, ktorá v dôsledku experimentu môže nadobudnúť jednu alebo druhú hodnotu, ale ktorá nie je vopred známa. Pre náhodnú premennú teda môžete zadať iba hodnoty, z ktorých jednu určite nadobudne ako výsledok experimentu. Ďalej budeme tieto hodnoty nazývať možnými hodnotami náhodnej premennej. Keďže náhodná premenná kvantitatívne charakterizuje náhodný výsledok experimentu, možno ju považovať za kvantitatívnu charakteristiku náhodnej udalosti.

Náhodné premenné sa zvyčajne označujú veľkými písmenami latinskej abecedy, napríklad X..Y..Z, a ich možné hodnoty zodpovedajúcimi malými písmenami.

Existujú tri typy náhodných premenných:

Diskrétne; Nepretržitý; Zmiešané.

Diskrétne je náhodná premenná, ktorej počet možných hodnôt tvorí spočítateľnú množinu. Množina, ktorej prvky možno očíslovať, sa zase nazýva spočítateľná. Slovo „diskrétny“ pochádza z latinského discretus, čo znamená „nespojitý, pozostávajúci z oddelených častí“.

Príklad 1. Diskrétna náhodná premenná je počet chybných častí X v sérii nproduktov. Možné hodnoty tejto náhodnej premennej sú séria celých čísel od 0 do n.

Príklad 2. Diskrétna náhodná premenná je počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa. Tu, ako v príklade 1, môžu byť možné hodnoty očíslované, hoci v obmedzujúcom prípade je možná hodnota nekonečne veľké číslo.

Nepretržitý je náhodná premenná, ktorej možné hodnoty plynule vypĺňajú určitý interval číselnej osi, niekedy nazývaný interval existencie tejto náhodnej premennej. V akomkoľvek konečnom intervale existencie je teda počet možných hodnôt spojitej náhodnej premennej nekonečne veľký.

Príklad 3. Spojitá náhodná veličina je mesačná spotreba elektrickej energie podniku.

Príklad 4. Spojitá náhodná veličina je chyba merania výšky pomocou výškomeru. Z princípu činnosti výškomeru nech je známe, že chyba je v rozsahu od 0 do 2 m. Preto interval existencie tejto náhodnej veličiny je interval od 0 do 2 m.

Zákon rozdelenia náhodných veličín.

Náhodná premenná sa považuje za úplne špecifikovanú, ak sú jej možné hodnoty uvedené na číselnej osi a je stanovený distribučný zákon.

Zákon rozdelenia náhodnej premennej je vzťah, ktorý vytvára spojenie medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami.

O náhodnej premennej sa hovorí, že je rozdelená podľa daného zákona alebo podlieha danému zákonu rozdelenia. Ako distribučné zákony sa používa množstvo pravdepodobností, distribučná funkcia, hustota pravdepodobnosti a charakteristická funkcia.

Distribučný zákon poskytuje úplný pravdepodobný popis náhodnej premennej. Podľa distribučného zákona možno pred experimentom posúdiť, ktoré možné hodnoty náhodnej premennej sa budú objavovať častejšie a ktoré menej.

Pre diskrétnu náhodnú premennú možno distribučný zákon špecifikovať vo forme tabuľky, analyticky (vo forme vzorca) a graficky.

Najjednoduchšou formou špecifikácie distribučného zákona diskrétnej náhodnej premennej je tabuľka (matica), ktorá uvádza vzostupne všetky možné hodnoty náhodnej premennej a im zodpovedajúce pravdepodobnosti, t.j.

Takáto tabuľka sa nazýva distribučný rad diskrétnej náhodnej premennej. 1

Udalosti X 1, X 2,..., X n, spočívajúce v tom, že v dôsledku testu náhodná premenná X nadobudne hodnoty x 1, x 2,... x n, resp. nekonzistentné a jediné možné (keďže v tabuľke sú uvedené všetky možné hodnoty náhodnej premennej), t.j. vytvoriť kompletnú skupinu. Preto sa súčet ich pravdepodobností rovná 1. Teda pre akúkoľvek diskrétnu náhodnú premennú

(Táto jednotka je nejakým spôsobom rozdelená medzi hodnoty náhodnej premennej, preto pojem „distribúcia“).

Distribučný rad je možné znázorniť graficky, ak sú hodnoty náhodnej premennej vynesené pozdĺž osi x a ich zodpovedajúce pravdepodobnosti sú vynesené pozdĺž osi y. Spojenie získaných bodov tvorí prerušovanú čiaru nazývanú mnohouholník alebo mnohouholník rozdelenia pravdepodobnosti (obr. 1).

Príklad V lotérii je zahrnuté: auto v hodnote 5 000 denov. jednotky, 4 TV v cene 250 den. jednotiek, 5 videorekordérov v hodnote 200 den. Jednotky Celkovo sa na 7 dní predáva 1000 vstupeniek. Jednotky Vypracujte zákon o rozdeľovaní čistých výhier, ktoré dostane účastník lotérie, ktorý si kúpil jeden tiket.

Riešenie. Možné hodnoty náhodnej premennej X - čisté výhry na tiket - sa rovnajú 0-7 = -7 peňazí. Jednotky (ak tiket nevyhral), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 denov. Jednotky (ak má tiket výhry videorekordéra, televízora alebo auta). Ak vezmeme do úvahy, že z 1000 tiketov je počet nevýhercov 990 a uvedené výhry sú 5, 4 a 1 a pri použití klasickej definície pravdepodobnosti dostaneme.

Diskrétne náhodné Premenné sú náhodné premenné, ktoré nadobúdajú iba hodnoty, ktoré sú od seba vzdialené a ktoré je možné vopred uviesť.
Zákon distribúcie
Distribučný zákon náhodnej premennej je vzťah, ktorý vytvára spojenie medzi možnými hodnotami náhodnej premennej a ich zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami.
Distribučný rad diskrétnej náhodnej premennej je zoznam jej možných hodnôt a zodpovedajúcich pravdepodobností.
Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej je funkcia:
,
určenie pre každú hodnotu argumentu x pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu ako toto x.

Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej
,
kde je hodnota diskrétnej náhodnej premennej; - pravdepodobnosť, že náhodná premenná akceptuje hodnoty X.
Ak náhodná premenná má spočítateľný súbor možných hodnôt, potom:
.
Matematické očakávanie počtu výskytov udalosti v n nezávislých pokusoch:
,

Disperzia a smerodajná odchýlka diskrétnej náhodnej premennej
Disperzia diskrétnej náhodnej premennej:
alebo .
Rozptyl počtu výskytov udalosti v n nezávislých pokusoch
,
kde p je pravdepodobnosť výskytu udalosti.
Smerodajná odchýlka diskrétnej náhodnej premennej:
.

Príklad 1
Zostavte zákon rozdelenia pravdepodobnosti pre diskrétnu náhodnú premennú (DRV) X – počet k výskytov aspoň jednej „šestky“ v n = 8 hodoch kockou. Zostrojte distribučný polygón. Nájdite číselné charakteristiky rozdelenia (distribučný režim, matematické očakávanie M(X), disperzia D(X), smerodajná odchýlka s(X)). Riešenie: Uveďme si zápis: udalosť A – „pri hode kockou sa aspoň raz objaví šestka“. Na nájdenie pravdepodobnosti P(A) = p udalosti A je vhodnejšie najprv nájsť pravdepodobnosť P(Ā) = q opačnej udalosti Ā - „pri hode kockou sa šestka nikdy neobjavila.“
Keďže pravdepodobnosť, že sa „šestka“ neobjaví pri hode jednou kockou, je 5/6, potom podľa vety o násobení pravdepodobnosti
P(Ā) = q = = .
resp.
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testy v úlohe sa riadia Bernoulliho schémou, takže d.s.v. rozsah X- číslo k výskyt aspoň jednej šestky pri hode dvoma kockami sa riadi binomickým zákonom rozdelenia pravdepodobnosti:

kde = je počet kombinácií n Autor: k.

Výpočty vykonané pre tento problém možno pohodlne prezentovať vo forme tabuľky:
Rozdelenie pravdepodobnosti d.s.v. X º k (n = 8; p = ; q = )

k
Pn(k)

Polygón (polygón) rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej X zobrazené na obrázku:

Ryža. Polygón rozloženia pravdepodobnosti d.s.v. X=k.
Vertikálna čiara znázorňuje matematické očakávanie rozdelenia M(X).

Nájdite číselné charakteristiky rozdelenia pravdepodobnosti d.s.v. X. Režim distribúcie je 2 (tu P 8(2) = maximálne 0,2932). Matematické očakávanie sa podľa definície rovná:
M(X) = = 2,4444,
Kde xk = k– hodnota prevzatá d.s.v. X. Rozptyl D(X) nájdeme rozdelenie pomocou vzorca:
D(X) = = 4,8097.
Smerodajná odchýlka (RMS):
s( X) = = 2,1931.

Príklad2
Diskrétna náhodná premenná X dané distribučným zákonom

Nájdite distribučnú funkciu F(x) a nakreslite ju.

Riešenie. Ak , potom (tretia vlastnosť).
Ak potom. naozaj, X môže nadobudnúť hodnotu 1 s pravdepodobnosťou 0,3.
Ak potom. Skutočne, ak spĺňa nerovnosť
, potom sa rovná pravdepodobnosti udalosti, ktorá môže nastať, keď X bude nadobúdať hodnotu 1 (pravdepodobnosť tejto udalosti je 0,3) alebo hodnotu 4 (pravdepodobnosť tejto udalosti je 0,1). Keďže tieto dva javy sú nezlučiteľné, potom podľa vety o sčítaní sa pravdepodobnosť udalosti rovná súčtu pravdepodobností 0,3 + 0,1 = 0,4. Ak potom. Udalosť je skutočne istá, preto sa jej pravdepodobnosť rovná jednej. Takže distribučnú funkciu možno napísať analyticky takto:

Graf tejto funkcie:
Nájdite pravdepodobnosti zodpovedajúce týmto hodnotám. Podľa podmienok sú pravdepodobnosti zlyhania zariadení rovnaké: potom sú pravdepodobnosti, že zariadenia budú fungovať počas záručnej doby, rovnaké:




Distribučný zákon má formu:

Definícia 1

Náhodná premenná $X$ sa nazýva diskrétna (nespojitá), ak je množina jej hodnôt nekonečná alebo konečná, ale spočítateľná.

Inými slovami, množstvo sa nazýva diskrétne, ak je možné jeho hodnoty očíslovať.

Náhodnú premennú je možné opísať pomocou distribučného zákona.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$ môže byť špecifikovaný vo forme tabuľky, ktorej prvý riadok označuje všetky možné hodnoty náhodnej premennej vo vzostupnom poradí a druhý riadok obsahuje zodpovedajúce pravdepodobnosti týchto hodnoty:

Obrázok 1.

kde $р1+ р2+ ... + рn = 1 $.

Táto tabuľka je blízko distribúcie diskrétnej náhodnej premennej.

Ak je množina možných hodnôt náhodnej premennej nekonečná, potom séria $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ konverguje a jej súčet sa bude rovnať $1$.

Graficky možno znázorniť distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$, pre ktorú je v súradnicovom systéme (obdĺžnikovom) zostrojená prerušovaná čiara, ktorá postupne spája body so súradnicami $(xi;pi), i=1,2, ... n $. Linka, ktorú sme dostali, sa volá distribučný polygón.

Obrázok 2

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$ možno znázorniť aj analyticky (pomocou vzorca):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Operácie s diskrétnou pravdepodobnosťou

Pri riešení mnohých problémov v teórii pravdepodobnosti je potrebné vykonať operácie násobenia diskrétnej náhodnej premennej konštantou, pridania dvoch náhodných premenných, ich násobenia a dosadenia na mocninu. V týchto prípadoch je potrebné dodržiavať nasledujúce pravidlá pre náhodné diskrétne množstvá:

Definícia 3

Násobenie diskrétnej náhodnej premennej $X$ konštantou $K$ je diskrétna náhodná premenná $Y=KX,$, ktorá je určená rovnosťami: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ left(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definícia 4

Volajú sa dve náhodné premenné $x$ a $y$ nezávislý, ak distribučný zákon jedného z nich nezávisí od toho, aké možné hodnoty nadobudlo druhé množstvo.

Definícia 5

Suma dve nezávislé diskrétne náhodné premenné $X$ a $Y$ sa nazývajú náhodná premenná $Z=X+Y,$ je určená rovnosťami: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\vpravo)= P\vľavo(x_i\vpravo)P\vľavo(y_j\vpravo)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\vľavo (x_i\vpravo)=p_i$, $P\vľavo(y_j\vpravo)=p"_j$.

Definícia 6

Násobenie dve nezávislé diskrétne náhodné premenné $X$ a $Y$ sa nazývajú náhodná premenná $Z=XY,$ je určená rovnosťami: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Zoberme si, že niektoré produkty $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ sa môžu navzájom rovnať. V tomto prípade sa pravdepodobnosť pridania produktu rovná súčtu zodpovedajúcich pravdepodobností.

Napríklad, ak $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $, potom sa pravdepodobnosť $x_2y_3$ (alebo rovnaké $x_5y_7$) bude rovnať $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Uvedené platí aj pre sumu. Ak $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$, potom sa pravdepodobnosť $x_1+\ y_2$ (alebo rovnaké $x_4+\ y_6$) bude rovnať $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Náhodné premenné $X$ a $Y$ sú špecifikované distribučnými zákonmi:

Obrázok 3.

Kde $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Potom bude mať zákon o rozdelení sumy $X+Y$ tvar

Obrázok 4.

A zákon rozdelenia produktu $XY$ bude mať tvar

Obrázok 5.

Distribučná funkcia

Úplný popis náhodnej veličiny poskytuje aj distribučná funkcia.

Geometricky sa distribučná funkcia vysvetľuje ako pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu, ktorú na číselnej osi predstavuje bod ležiaci naľavo od bodu $x$.

Môžeme zdôrazniť najbežnejšie zákony distribúcie diskrétnych náhodných premenných:

• Zákon binomického rozdelenia
• Poissonov zákon o rozdelení
• Zákon geometrického rozdelenia
• Hypergeometrický distribučný zákon

Pre dané rozdelenia diskrétnych náhodných veličín sa výpočet pravdepodobnosti ich hodnôt, ako aj numerických charakteristík (matematické očakávanie, rozptyl a pod.) vykonáva pomocou určitých „vzorcov“. Preto je veľmi dôležité poznať tieto typy rozvodov a ich základné vlastnosti.

1. Zákon binomického rozdelenia.

Diskrétna náhodná premenná $X$ podlieha zákonu binomického rozdelenia pravdepodobnosti, ak nadobúda hodnoty $0,\ 1,\ 2,\ \bodky,\ n$ s pravdepodobnosťami $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. V skutočnosti je náhodná premenná $X$ počet výskytov udalosti $A$ v $n$ nezávislých pokusoch. Zákon rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(pole)$

Pre takúto náhodnú premennú je matematické očakávanie $M\left(X\right)=np$, rozptyl je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Príklad . Rodina má dve deti. Za predpokladu, že pravdepodobnosť narodenia chlapca a dievčaťa je 0,5 $, nájdite zákon rozdelenia náhodnej premennej $\xi$ - počet chlapcov v rodine.

Nech náhodná premenná $\xi $ je počet chlapcov v rodine. Hodnoty, ktoré môže $\xi nadobudnúť:\ 0,\ ​​​​1,\ 2 $. Pravdepodobnosť týchto hodnôt možno nájsť pomocou vzorca $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kde $n =2$ je počet nezávislých pokusov, $p=0,5$ je pravdepodobnosť výskytu udalosti v sérii $n$ pokusov. Dostaneme:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25,$

Potom distribučný zákon náhodnej premennej $\xi $ je korešpondencia medzi hodnotami $0,\ 1,\ 2$ a ich pravdepodobnosťami, to znamená:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(pole)$

Súčet pravdepodobností v distribučnom zákone by sa mal rovnať $1$, to znamená $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 USD.

Očakávanie $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, rozptyl $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, štandardná odchýlka $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5)\približne 0,707 $.

2. Poissonov zákon rozdelenia.

Ak diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať iba nezáporné celočíselné hodnoty $0,\ 1,\ 2,\ \bodky,\ n$ s pravdepodobnosťou $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentujte. Zvláštnosťou tohto rozdelenia je, že na základe experimentálnych údajov nájdeme odhady $M\left(X\right),\D\left(X\right)$, ak sú získané odhady blízko seba, tak máme dôvod tvrdiť, že náhodná premenná podlieha Poissonovmu zákonu rozdelenia.

Príklad . Príklady náhodných premenných podliehajúcich Poissonovmu zákonu o rozdelení môžu byť: počet áut, ktoré zajtra obslúži čerpacia stanica; počet chybných položiek vo vyrobených produktoch.

Príklad . Továreň poslala do základne produkty v hodnote 500 $. Pravdepodobnosť poškodenia produktu pri preprave je 0,002 $. Nájdite zákon rozdelenia náhodnej premennej $X$ rovnajúcej sa počtu poškodených produktov; čo je $M\vľavo(X\vpravo),\D\vľavo(X\vpravo)$.

Nech je diskrétna náhodná premenná $X$ počet poškodených produktov. Takáto náhodná premenná podlieha Poissonovmu zákonu rozdelenia s parametrom $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Pravdepodobnosti hodnôt sa rovnajú $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Zákon distribúcie náhodnej premennej $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(pole)$

Pre takúto náhodnú premennú sú matematické očakávania a rozptyl rovnaké a rovné parametru $\lambda $, to znamená $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda = 1 $.

3. Zákon geometrického rozdelenia.

Ak diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať iba prirodzené hodnoty $1,\ 2,\ \bodky,\ n$ s pravdepodobnosťou $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) vpravo)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \bodky $, potom hovoria, že takáto náhodná premenná $X$ podlieha geometrickému zákonu rozdelenia pravdepodobnosti. V skutočnosti je geometrické rozdelenie až do prvého úspechu Bernoulliho testom.

Príklad . Príklady náhodných premenných, ktoré majú geometrické rozdelenie, môžu byť: počet výstrelov pred prvým zásahom do cieľa; počet testov zariadenia do prvého zlyhania; počet hodov mincou, kým nepríde prvá hlava atď.

Matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej podliehajúcej geometrickej distribúcii sa rovnajú $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $ 2.

Príklad . Na ceste pohybu rýb k miestu trenia je zámka 4 $. Pravdepodobnosť, že ryby prejdú cez každú plavebnú komoru, je $p=3/5$. Zostrojte sériu distribúcie náhodnej premennej $X$ - počet plavebných komôr, ktoré ryba prešla pred prvým zadržaním v plavebnej komore. Nájdite $M\left(X\right),\D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$.

Nech náhodná premenná $X$ je počet plavebných komôr, ktoré ryba prešla pred prvým zatknutím v plavebnej komore. Takáto náhodná veličina podlieha geometrickému zákonu rozdelenia pravdepodobnosti. Hodnoty, ktoré môže nadobudnúť náhodná premenná $X: $ 1, 2, 3, 4. Pravdepodobnosti týchto hodnôt sa vypočítajú pomocou vzorca: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kde: $ p=2/5$ - pravdepodobnosť zadržania rýb cez plavebnú komoru, $q=1-p=3/5$ - pravdepodobnosť preletu rýb cez plavebnú komoru, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4 $.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ nad (5)) = 0,4; $

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ nad (5))\cdot ((9)\nad (25))=((18)\viac ako (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\nad (5))\vpravo))^4=((27)\viac ako (125))=0,216,$

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(pole)$

Očakávaná hodnota:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176,$

Rozptyl:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1-2 176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\približne 1,377,$

štandardná odchýlka:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1 377)\približne 1 173,$

4. Zákon hypergeometrického rozdelenia.

Ak $N$ objektov, z ktorých $m$ objektov má danú vlastnosť. $n$ objektov sa náhodne získa bez vrátenia, medzi ktorými bolo $k$ objektov, ktoré majú danú vlastnosť. Hypergeometrické rozdelenie umožňuje odhadnúť pravdepodobnosť, že práve $k$ objektov vo vzorke má danú vlastnosť. Nech náhodná premenná $X$ je počet objektov vo vzorke, ktoré majú danú vlastnosť. Potom pravdepodobnosti hodnôt náhodnej premennej $ X $:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Komentujte. Štatistická funkcia HYPERGEOMET sprievodcu funkciou Excel $f_x$ umožňuje určiť pravdepodobnosť, že určitý počet testov bude úspešný.

$f_x\to$ štatistické$\to$ HYPERGEOMET$\to$ OK. Zobrazí sa dialógové okno, ktoré musíte vyplniť. V stĺpci Počet_úspechov_v_vzorke uveďte hodnotu $k$. veľkosť vzorky rovná sa $n$. V stĺpci Počet_úspechov_v_spolu uveďte hodnotu $m$. veľkosť_populácie rovná sa $N$.

Matematické očakávanie a rozptyl diskrétnej náhodnej premennej $X$, podliehajúce zákonu o geometrickom rozdelení, sa rovná $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\vľavo(1 -((m)\cez (N))\vpravo)\vľavo(1-((n)\cez (N))\vpravo))\cez (N-1)))$.

Príklad . Úverové oddelenie banky zamestnáva 5 špecialistov s vyšším finančným vzdelaním a 3 špecialistov s vyšším právnickým vzdelaním. Vedenie banky sa rozhodlo vyslať 3 špecialistov na zvýšenie ich kvalifikácie, pričom ich vybralo v náhodnom poradí.

a) Urobte distribučný rad pre počet špecialistov s vyšším finančným vzdelaním, ktorých možno poslať na zlepšenie ich zručností;

b) Nájdite číselné charakteristiky tohto rozdelenia.

Nech je náhodná premenná $X$ počet špecialistov s vyšším finančným vzdelaním spomedzi troch vybraných. Hodnoty, ktoré môže mať $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3 $. Táto náhodná premenná $X$ je rozdelená podľa hypergeometrického rozdelenia s nasledujúcimi parametrami: $N=8$ - veľkosť populácie, $m=5$ - počet úspechov v populácii, $n=3$ - veľkosť vzorky, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - počet úspechov vo vzorke. Potom možno pravdepodobnosti $P\left(X=k\right)$ vypočítať pomocou vzorca: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ nad C_( N)^(n) ) $. Máme:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\približne 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\približne 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\približne 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\približne 0,179,$

Potom distribučný rad náhodnej premennej $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(pole)$

Vypočítajme číselné charakteristiky náhodnej premennej $X$ pomocou všeobecných vzorcov hypergeometrického rozdelenia.

$M\vľavo(X\vpravo)=((nm)\nad (N))=((3\cdot 5)\nad (8))=((15)\nad (8))=1 875,$

$D\vľavo(X\vpravo)=((nm\vľavo(1-((m)\nad (N))\vpravo)\vľavo(1-((n)\nad (N))\vpravo)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\vpravo))\nad (8-1))=((225)\nad (448))\približne 0,502,$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\približne 0,7085,$

Je daný distribučný rad diskrétnej náhodnej premennej. Nájdite chýbajúcu pravdepodobnosť a nakreslite distribučnú funkciu. Vypočítajte matematické očakávanie a rozptyl tejto veličiny.

Náhodná premenná X má iba štyri hodnoty: -4, -3, 1 a 2. Každú z týchto hodnôt nadobúda s určitou pravdepodobnosťou. Keďže súčet všetkých pravdepodobností sa musí rovnať 1, chýbajúca pravdepodobnosť sa rovná:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Zostavme distribučnú funkciu náhodnej premennej X. Je známe, že distribučná funkcia , potom:

teda

Nakreslíme funkciu F(X) .

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej sa rovná súčtu súčinov hodnoty náhodnej premennej a príslušnej pravdepodobnosti, t.j.

Zistíme rozptyl diskrétnej náhodnej premennej pomocou vzorca:

APLIKÁCIA

Prvky kombinatoriky Tu: - faktoriál čísla

Akcie na udalostiach Udalosť je akákoľvek skutočnosť, ktorá sa môže alebo nemusí stať v dôsledku zážitku. Zlučovanie udalostí A A IN- táto udalosť S ktorý pozostáva z výjavu alebo udalosti A alebo udalosti IN alebo obe udalosti súčasne. Označenie: ; Crossing Events A A IN- táto udalosť S, ktorý spočíva v súčasnom výskyte oboch udalostí. Označenie: ;

Klasická definícia pravdepodobnosti Pravdepodobnosť udalosti A je pomer počtu experimentov , priaznivé pre vznik udalosti A k celkovému počtu experimentov :

Vzorec na násobenie pravdepodobnosti Pravdepodobnosť udalosti možno nájsť pomocou vzorca: - pravdepodobnosť udalosti A, - pravdepodobnosť udalosti IN, - pravdepodobnosť udalosti IN za predpokladu, že udalosť A sa už stalo. Ak sú udalosti A a B nezávislé (výskyt jednej neovplyvňuje výskyt druhej), pravdepodobnosť udalosti sa rovná:

Vzorec na sčítanie pravdepodobností Pravdepodobnosť udalosti možno zistiť pomocou vzorca: Pravdepodobnosť udalosti A, Pravdepodobnosť udalosti IN, - pravdepodobnosť spoločného výskytu udalostí A A IN. Ak sú udalosti A a B nekompatibilné (nemôžu sa vyskytnúť súčasne), pravdepodobnosť udalosti sa rovná:

Vzorec úplnej pravdepodobnosti Nechajte udalosť A sa môže stať súčasne s jednou z udalostí , , …, - nazvime ich hypotézy. Tiež známy - pravdepodobnosť vykonania i-tá hypotéza a - pravdepodobnosť výskytu udalosti A pri vykonávaní i-tá hypotéza. Potom pravdepodobnosť udalosti A možno nájsť podľa vzorca:

Bernoulliho schéma Nech je n nezávislých testov. Pravdepodobnosť výskytu (úspešnosti) udalosti A v každom z nich je konštantná a rovnaká p, pravdepodobnosť zlyhania (t. j. že udalosť nenastane A) q = 1 - p. Potom pravdepodobnosť výskytu kúspech v n testy možno nájsť pomocou Bernoulliho vzorca: S najväčšou pravdepodobnosťou počet úspechov v Bernoulliho schéme je to počet výskytov určitej udalosti, ktorá má najvyššiu pravdepodobnosť. Dá sa zistiť pomocou vzorca:

Náhodné premenné diskrétne spojité (napríklad počet dievčat v rodine s 5 deťmi) (napríklad čas, počas ktorého kanvica správne funguje) Numerické charakteristiky diskrétnych náhodných premenných Nech je diskrétna veličina daná distribučným radom: X R , , …, - hodnoty náhodnej premennej X; , , …, sú zodpovedajúce hodnoty pravdepodobnosti. Distribučná funkcia Distribučná funkcia náhodnej premennej X je funkcia definovaná na celej číselnej osi a rovná sa pravdepodobnosti, že X bude toho menej X:

Otázky na skúšku

Udalosť. Operácie s náhodnými udalosťami.

Pojem pravdepodobnosti udalosti.

Pravidlá sčítania a násobenia pravdepodobností. Podmienené pravdepodobnosti.

Vzorec celkovej pravdepodobnosti. Bayesov vzorec.

Bernoulliho schéma.

Náhodná veličina, jej distribučná funkcia a distribučné rady.

Základné vlastnosti distribučnej funkcie.

Očakávaná hodnota. Vlastnosti matematického očakávania.

Disperzia. Vlastnosti disperzie.

Hustota rozdelenia pravdepodobnosti jednorozmernej náhodnej premennej.

Typy rozdelení: rovnomerné, exponenciálne, normálne, binomické a Poissonovo rozdelenie.

Lokálne a integrálne Moivre-Laplaceove vety.

Zákon a distribučná funkcia systému dvoch náhodných veličín.

Hustota distribúcie systému dvoch náhodných veličín.

Podmienené zákony rozdelenia, podmienené matematické očakávanie.

Závislé a nezávislé náhodné premenné. Korelačný koeficient.

Ukážka. Spracovanie vzorky. Polygón a frekvenčný histogram. Empirická distribučná funkcia.

Koncept odhadu distribučných parametrov. Požiadavky na hodnotenie. Interval spoľahlivosti. Konštrukcia intervalov pre odhad matematického očakávania a štandardnej odchýlky.

Štatistické hypotézy. Kritériá súhlasu.