Preskúmajte príklady funkčných riešení. Funkčný výskum online

19.04.2022

Ak je v úlohe potrebné vykonať úplnú štúdiu funkcie f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konštrukciou jej grafu, potom tento princíp podrobne zvážime.

Na vyriešenie problému tohto typu je potrebné použiť vlastnosti a grafy hlavných elementárnych funkcií. Algoritmus výskumu zahŕňa nasledujúce kroky:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nájdenie domény definície

Keďže výskum sa vykonáva na doméne funkcie, je potrebné začať týmto krokom.

Príklad 1

Uvedený príklad zahŕňa nájdenie núl menovateľa s cieľom vylúčiť ich z DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; +∞

V dôsledku toho môžete získať korene, logaritmy atď. Potom možno ODZ hľadať pre koreň párneho stupňa typu g (x) 4 pomocou nerovnosti g (x) ≥ 0 , pre logaritmus log a g (x) pomocou nerovnosti g (x) > 0 .

Skúmanie hraníc ODZ a hľadanie vertikálnych asymptot

Na hraniciach funkcie sú vertikálne asymptoty, kedy sú jednostranné limity v takýchto bodoch nekonečné.

Príklad 2

Uvažujme napríklad hraničné body rovné x = ± 1 2 .

Potom je potrebné študovať funkciu na nájdenie jednostrannej limity. Potom dostaneme, že: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ limit x → 1 2 - 0 f (x) = limit x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

To ukazuje, že jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že čiary x = ± 1 2 sú zvislé asymptoty grafu.

Vyšetrenie funkcie a pre párne alebo nepárne

Keď je splnená podmienka y (- x) = y (x), funkcia sa považuje za párnu. To naznačuje, že graf je umiestnený symetricky vzhľadom na O y. Keď je splnená podmienka y (- x) = - y (x), funkcia sa považuje za nepárnu. To znamená, že symetria ide vzhľadom na pôvod súradníc. Ak zlyhá aspoň jedna nerovnosť, získame funkciu všeobecného tvaru.

Splnenie rovnosti y (- x) = y (x) znamená, že funkcia je párna. Pri konštrukcii je potrebné počítať s tým, že vzhľadom na O y bude symetria.

Na vyriešenie nerovnosti sa používajú intervaly nárastu a poklesu s podmienkami f "(x) ≥ 0 a f" (x) ≤ 0.

Definícia 1

Stacionárne body sú body, ktoré otočia deriváciu na nulu.

Kritické body sú vnútorné body z oblasti, kde sa derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje.

Pri rozhodovaní je potrebné vziať do úvahy nasledujúce body:

pre existujúce intervaly nárastu a poklesu nerovnosti tvaru f"(x) > 0 nie sú kritické body zahrnuté do riešenia;
body, v ktorých je funkcia definovaná bez konečnej derivácie, musia byť zahrnuté do intervalov nárastu a poklesu (napríklad y \u003d x 3, kde bod x \u003d 0 robí funkciu definovanú, derivácia má hodnotu nekonečna v tomto bode je y " \u003d 1 3 x 2 3, y " (0) = 1 0 = ∞, x = 0 zahrnuté do intervalu nárastu);
aby sa predišlo nezhodám, odporúča sa používať matematickú literatúru, ktorú odporúča ministerstvo školstva.

Zahrnutie kritických bodov do intervalov zvyšovania a znižovania v prípade, že spĺňajú definičný obor funkcie.

Definícia 2

Pre určenie intervalov nárastu a poklesu funkcie, je potrebné nájsť:

derivát;
kritické body;
rozdeliť oblasť definície pomocou kritických bodov na intervaly;
určite znamienko derivácie v každom z intervalov, kde + je nárast a - je pokles.

Príklad 3

Nájdite deriváciu na doméne f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Riešenie

Na vyriešenie potrebujete:

nájdite stacionárne body, tento príklad má x = 0 ;
nájdite nuly menovateľa, príklad má hodnotu nula v x = ± 1 2 .

Vystavíme body na číselnej osi, aby sme určili deriváciu na každom intervale. Na to stačí zobrať ľubovoľný bod z intervalu a vykonať výpočet. Ak je výsledok kladný, nakreslíme do grafu +, čo znamená zvýšenie funkcie a - znamená jej pokles.

Napríklad f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, čo znamená, že prvý interval vľavo má znamienko +. Zvážte číslo riadok.

odpoveď:

dochádza k nárastu funkcie na intervale - ∞ ; -12 a (-12; 0];
dochádza k poklesu na intervale [0; 12) a 12; +∞ .

V diagrame je pomocou + a - znázornená pozitivita a negativita funkcie a šípky označujú klesanie a zvyšovanie.

Extrémne body funkcie sú body, kde je funkcia definovaná a cez ktoré derivácia mení znamienko.

Príklad 4

Ak vezmeme do úvahy príklad, kde x \u003d 0, potom hodnota funkcie v ňom je f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Keď sa znamienko derivácie zmení z + na - a prechádza bodom x \u003d 0, za maximálny bod sa považuje bod so súradnicami (0; 0). Keď sa znamienko zmení z - na +, dostaneme minimálny bod.

Konvexnosť a konkávnosť sú určené riešením nerovníc tvaru f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 . Menej často používajú názov vydutie nadol namiesto konkávnosti a vydutie nahor namiesto vydutie.

Definícia 3

Pre určenie medzier konkávnosti a konvexnosti potrebné:

nájsť druhú deriváciu;
nájdite nuly funkcie druhej derivácie;
zlomiť doménu definície bodmi, ktoré sa objavujú v intervaloch;
určiť znamienko medzery.

Príklad 5

Nájdite druhú deriváciu z oblasti definície.

Riešenie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nájdeme nuly čitateľa a menovateľa, kde pomocou nášho príkladu platí, že nuly menovateľa x = ± 1 2

Teraz musíte umiestniť body na číselnú os a určiť znamienko druhej derivácie z každého intervalu. Chápeme to

odpoveď:

funkcia je konvexná z intervalu - 1 2 ; 12;
funkcia je konkávna z medzier - ∞ ; - 1 2 a 1 2; +∞ .

Definícia 4

inflexný bod je bod v tvare x 0 ; f(x0) . Keď má dotyčnicu ku grafu funkcie, potom keď prechádza cez x 0, funkcia zmení znamienko na opačné.

Inými slovami, toto je taký bod, cez ktorý prechádza druhá derivácia a mení znamienko a v samotných bodoch sa rovná nule alebo neexistuje. Všetky body sa považujú za doménu funkcie.

V príklade bolo vidieť, že neexistujú žiadne inflexné body, pretože druhá derivácia mení znamienko pri prechode cez body x = ± 1 2 . Na druhej strane nie sú zahrnuté do oblasti definície.

Hľadanie horizontálnych a šikmých asymptot

Pri definovaní funkcie v nekonečne treba hľadať vodorovné a šikmé asymptoty.

Definícia 5

Šikmé asymptoty sú nakreslené pomocou čiar daných rovnicou y = k x + b, kde k = lim x → ∞ f (x) x a b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Pre k = 0 a b, ktoré sa nerovná nekonečnu, zistíme, že šikmá asymptota sa stáva horizontálne.

Inými slovami, asymptoty sú čiary, ku ktorým sa graf funkcie približuje v nekonečne. To prispieva k rýchlej konštrukcii grafu funkcie.

Ak neexistujú žiadne asymptoty, ale funkcia je definovaná v oboch nekonečnách, je potrebné vypočítať limitu funkcie v týchto nekonečnách, aby sme pochopili, ako sa bude graf funkcie správať.

Príklad 6

Zvážte to napríklad

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontálna asymptota. Po preskúmaní funkcie ju môžete začať budovať.

Výpočet hodnoty funkcie v medziľahlých bodoch

Aby bolo vykresľovanie čo najpresnejšie, odporúča sa nájsť niekoľko hodnôt funkcie v medziľahlých bodoch.

Príklad 7

Z príkladu, ktorý sme zvážili, je potrebné nájsť hodnoty funkcie v bodoch x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Keďže funkcia je párna, dostaneme, že hodnoty sa zhodujú s hodnotami v týchto bodoch, to znamená, že dostaneme x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Napíšeme a vyriešime:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Na určenie maxím a miním funkcie, inflexných bodov, medziľahlých bodov je potrebné postaviť asymptoty. Pre pohodlné označenie sú stanovené intervaly nárastu, poklesu, konvexnosti, konkávnosti. Zvážte obrázok nižšie.

Cez označené body je potrebné nakresliť čiary grafu, ktoré vám umožnia priblížiť sa k asymptotám podľa šípok.

Týmto sa kompletná štúdia funkcie končí. Existujú prípady konštrukcie niektorých elementárnych funkcií, na ktoré sa používajú geometrické transformácie.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Štúdium funkcie prebieha podľa jasnej schémy a vyžaduje od študenta solídne znalosti základných matematických pojmov ako definičný obor a hodnôt, spojitosť funkcie, asymptota, extrémne body, parita, periodicita, atď. Žiak musí voľne diferencovať funkcie a riešiť rovnice, ktoré sú niekedy veľmi zložité.

To znamená, že táto úloha testuje významnú vrstvu vedomostí, pričom akákoľvek medzera sa stane prekážkou pri získaní správneho riešenia. Obzvlášť často vznikajú ťažkosti s konštrukciou grafov funkcií. Táto chyba okamžite upúta pozornosť učiteľa a môže vám veľmi pokaziť známku, aj keď všetko ostatné bolo urobené správne. Tu nájdete úlohy na štúdium funkcie online: študijné príklady, riešenia na stiahnutie, zadania objednávok.

Preskúmajte funkciu a zápletku: Príklady a riešenia online

Pripravili sme pre vás množstvo hotových štúdií funkcií, platených v knihe riešení a bezplatných v sekcii Príklady výskumu funkcií. Na základe týchto vyriešených úloh sa budete môcť podrobne zoznámiť s metodikou vykonávania takýchto úloh, analogicky vykonať vlastný výskum.

Ponúkame hotové príklady kompletného štúdia a vykreslenia funkčného grafu najbežnejších typov: polynómy, zlomkové racionálne, iracionálne, exponenciálne, logaritmické, goniometrické funkcie. Ku každému riešenému problému je priložený hotový graf s vybranými kľúčovými bodmi, asymptotami, maximami a minimami, pričom riešenie prebieha podľa algoritmu na štúdium funkcie.

Vyriešené príklady vám v každom prípade budú dobrou pomôckou, keďže pokrývajú najpopulárnejšie typy funkcií. Ponúkame vám stovky už vyriešených úloh, no ako viete, matematických funkcií je na svete nekonečne veľa a učitelia sú veľkí odborníci na vymýšľanie čoraz zložitejších úloh pre chudobných žiakov. Takže, milí študenti, kvalifikovaná pomoc vám neublíži.

Riešenie úloh pre štúdium funkcie na objednávku

V tomto prípade vám naši partneri ponúknu inú službu – plnohodnotné štúdium online objednať. Úloha bude dokončená za vás v súlade so všetkými požiadavkami na algoritmus na riešenie takýchto problémov, čo veľmi poteší vášho učiteľa.

Urobíme pre vás kompletnú štúdiu funkcie: nájdeme definičný obor a rozsah hodnôt, preskúmame spojitosť a diskontinuitu, nastavíme paritu, skontrolujeme periodicitu vašej funkcie, nájdeme priesečníky so súradnicovými osami . A samozrejme ďalej pomocou diferenciálneho počtu: nájdeme asymptoty, vypočítame extrémy, inflexné body a zostavíme samotný graf.

Referenčnými bodmi pri štúdiu funkcií a konštrukcii ich grafov sú charakteristické body - body diskontinuity, extrému, inflexie, priesečníka so súradnicovými osami. Pomocou diferenciálneho počtu je možné určiť charakteristické znaky zmeny funkcií: zvýšenie a zníženie, maximá a minimá, smer konvexnosti a konkávnosti grafu, prítomnosť asymptot.

Náčrt funkčného grafu možno (a treba) načrtnúť po nájdení asymptot a extrémnych bodov, pričom je vhodné v priebehu štúdia vyplniť súhrnnú tabuľku štúdia funkcie.

Zvyčajne sa používa nasledujúca schéma funkčného výskumu.

1.Nájdite doménu, intervaly spojitosti a body prerušenia funkcie.

2.Preskúmajte funkciu pre párne alebo nepárne (axiálna alebo stredová symetria grafu.

3.Nájdite asymptoty (vertikálne, horizontálne alebo šikmé).

4.Nájdite a preskúmajte intervaly nárastu a poklesu funkcie, jej extrémne body.

5.Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti krivky, jej inflexné body.

6.Nájdite priesečníky krivky so súradnicovými osami, ak existujú.

7.Zostavte súhrnnú tabuľku štúdie.

8.Zostavte graf, berúc do úvahy štúdiu funkcie vykonanú podľa vyššie uvedených bodov.

Príklad. Funkcia Preskúmať

a naplánovať to.

7. Urobme si súhrnnú tabuľku štúdia funkcie, kde zadáme všetky charakteristické body a intervaly medzi nimi. Vzhľadom na paritu funkcie dostaneme nasledujúcu tabuľku:

		Vlastnosti grafu
[-1, 0[	Zvyšovanie	Konvexné
		(0; 1) – maximálny bod
]0, 1[	Znižuje sa	Konvexné
		Inflexný bod, tvary s osou Vôl Tupý uhol

Vykonajte kompletnú štúdiu a nakreslite funkčný graf

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Rozsah funkcie. Keďže funkcia je zlomok, musíte nájsť nuly menovateľa.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Vylúčime jediný bod x=1x=1 z oblasti definície funkcie a získame:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Pozrime sa na správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti. Nájdite jednostranné limity:

Keďže limity sa rovnajú nekonečnu, bod x=1x=1 je nespojitosť druhého druhu, priamka x=1x=1 je vertikálna asymptota.

3) Určme priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.

Nájdite priesečníky so súradnicovou osou OyOy, pre ktoré dávame rovnítko x=0x=0:

Priesečník s osou OyOy má teda súradnice (0;8)(0;8).

Nájdite priesečníky s úsečkou OxOx, pre ktoré nastavíme y=0y=0:

Rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne priesečníky s osou OxOx.

Všimnite si, že x2+8>0x2+8>0 pre ľubovoľné xx. Preto pre x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcia y>0y>0 (nadobudne kladné hodnoty, graf je nad osou x), pre x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) funkcia y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcia nie je ani párna, ani nepárna, pretože:

5) Funkciu skúmame na periodicitu. Funkcia nie je periodická, pretože ide o zlomkovú racionálnu funkciu.

6) Skúmame funkciu pre extrémy a monotónnosť. Aby sme to dosiahli, nájdeme prvú deriváciu funkcie:

Prirovnajme prvú deriváciu k nule a nájdime stacionárne body (v ktorých y′=0y′=0):

Dostali sme tri kritické body: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Celý definičný obor funkcie rozdelíme na intervaly danými bodmi a v každom intervale určíme znamienka derivácie:

Pre x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) je derivácia y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Pre x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) deriváciu y′>0y′>0 funkcia na týchto intervaloch rastie.

V tomto prípade je x=−2x=−2 bod lokálneho minima (funkcia klesá a potom rastie), x=4x=4 je bod lokálneho maxima (funkcia rastie a potom klesá).

Nájdite hodnoty funkcie v týchto bodoch:

Minimálny bod je teda (−2;4)(−2;4), maximálny bod je (4;−8)(4;−8).

7) Skúmame funkciu pre zlomy a konvexnosť. Nájdite druhú deriváciu funkcie:

Prirovnajte druhú deriváciu k nule:

Výsledná rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne inflexné body. Navyše, keď je splnené x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0, to znamená, že funkcia je konkávna, keď x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Skúmame správanie funkcie v nekonečne, teda v .

Keďže limity sú nekonečné, neexistujú žiadne horizontálne asymptoty.

Skúsme určiť šikmé asymptoty tvaru y=kx+by=kx+b. Hodnoty k,bk,b vypočítame podľa známych vzorcov:

Zistili sme, že funkcia má jednu šikmú asymptotu y=−x−1y=−x−1.

9) Ďalšie body. Poďme vypočítať hodnotu funkcie v niektorých iných bodoch, aby sme vytvorili graf presnejšie.

y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.

10) Na základe získaných údajov zostavíme graf, doplníme ho o asymptoty x=1x=1 (modrá), y=−x−1y=−x−1 (zelená) a označíme charakteristické body (priesečník s súradnicová os je fialová, extrémy sú oranžové, ďalšie body sú čierne):

Úloha 4: Geometrické, ekonomické úlohy (netuším aké, tu je približný výber úloh s riešením a vzorcami)

Príklad 3.23. a

Riešenie. X a r r
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Keďže x = a/4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre xa/4 S "> 0 a pre x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Príklad 3.24.

Riešenie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Príklad 3.22. Nájdite extrémy funkcie f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Riešenie. Keďže f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), potom kritické body funkcie x 1 \u003d 2 a x 2 \u003d 3. Extrémne body môžu byť len v týchto bodoch. Takže ako pri prechode bodom x 1 \u003d 2 derivácia zmení znamienko plus na mínus, potom má funkcia v tomto bode maximum. Pri prechode bodom x 2 \u003d 3 derivácia zmení znamienko mínus na plus, preto má funkcia v bode x 2 \u003d 3 minimum. Výpočet hodnôt funkcie v bodoch
x 1 = 2 a x 2 = 3, nájdeme extrémy funkcie: maximum f(2) = 14 a minimum f(3) = 13.

Príklad 3.23. Pri kamennom múre je potrebné vybudovať obdĺžnikový priestor tak, aby bol z troch strán oplotený drôteným pletivom a na štvrtej strane priliehal k múru. Pre toto existuje a lineárne metre siete. Pri akom pomere strán bude mať stránka najväčšiu plochu?

Riešenie. Označte strany stránky cez X a r. Plocha lokality je S = xy. Nechaj r je dĺžka strany priľahlej k stene. Potom podľa podmienky musí platiť rovnosť 2x + y = a. Preto y = a - 2x a S = x(a - 2x), kde
0 ≤ x ≤ a/2 (dĺžka a šírka oblasti nemôže byť záporná). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pre x = a/4, odkiaľ
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Keďže x = a/4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre xa/4 S "> 0 a pre x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Príklad 3.24. Je potrebné vyrobiť uzavretú valcovú nádrž s objemom V=16p ≈ 50 m 3 . Aké by mali byť rozmery nádrže (polomer R a výška H), aby sa na jej výrobu spotrebovalo čo najmenej materiálu?

Riešenie. Celková plocha valca je S = 2pR(R+H). Poznáme objem valca V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Preto S(R) = 2p(R2+16/R). Nájdeme deriváciu tejto funkcie:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 pre R 3 \u003d 8, preto
R = 2, H = 16/4 = 4.

Podobné informácie.

Pre úplnú štúdiu funkcie a vykreslenie jej grafu sa odporúča nasledujúca schéma:
A) nájsť doménu definície, body zlomu; skúmajte správanie funkcie v blízkosti bodov diskontinuity (nájdite limity funkcie vľavo a vpravo v týchto bodoch). Uveďte vertikálne asymptoty.
B) určiť párnosť alebo nepárnosť funkcie a vyvodiť záver o prítomnosti symetrie. Ak , potom je funkcia párna, symetrická vzhľadom na os OY; pre , funkcia je nepárna, symetrická vzhľadom na pôvod; a if je funkciou všeobecného tvaru.
C) nájdite priesečníky funkcie so súradnicovými osami OY a OX (ak je to možné), určte intervaly znamienka funkcie. Hranice intervalov znamienkovej stálosti funkcie sú určené bodmi, v ktorých sa funkcia rovná nule (nuly funkcie) alebo neexistuje, a hranicami definičného oboru tejto funkcie. V intervaloch, kde sa graf funkcie nachádza nad osou OX a kde - pod touto osou.
D) nájdite prvú deriváciu funkcie, určte jej nuly a intervaly stálosti. V intervaloch, kde sa funkcia zvyšuje a kde klesá. Urobte záver o prítomnosti extrémov (body, kde funkcia a derivácia existujú a pri prechode cez ktoré mení znamienko. Ak zmení znamienko z plus na mínus, tak v tomto bode má funkcia maximum a ak z mínus do plus, potom minimum). Nájdite funkčné hodnoty v extrémnych bodoch.
E) nájdite druhú deriváciu, jej nuly a intervaly stálosti. V intervaloch kde< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) nájdite šikmé (horizontálne) asymptoty, ktorých rovnice majú tvar ; kde
.
O graf funkcie bude mať dve šikmé asymptoty a každá hodnota x at a môže zodpovedať dvom hodnotám b.
G) nájdite ďalšie body na spresnenie grafu (ak je to potrebné) a vytvorte graf.

Príklad 1 Preskúmajte funkciu a nakreslite jej graf. Riešenie: A) rozsah ; funkcia je spojitá v oblasti definície; – bod zlomu, pretože ;. Potom je vertikálna asymptota.
B)
tie. y(x) je všeobecná funkcia.
C) Nájdeme priesečníky grafu s osou OY: nastavíme x=0; potom y(0)=–1, t.j. graf funkcie pretína os v bode (0;-1). Nuly funkcie (priesečníky grafu s osou OX): predpokladáme y=0; potom
.
Diskriminant kvadratickej rovnice je menší ako nula, takže neexistujú žiadne nuly. Potom je hranicou intervalov stálosti bod x=1, kde funkcia neexistuje.
Znamienko funkcie v každom z intervalov je určené metódou čiastkových hodnôt:

Z diagramu je zrejmé, že v intervale sa graf funkcie nachádza pod osou OX a v intervale nad osou OX.
D) Zisťujeme prítomnosť kritických bodov.
.
Kritické body (kde alebo neexistujú) sa nachádzajú z rovnosti a .

Dostaneme: x1=1, x2=0, x3=2. Vytvorme si pomocnú tabuľku

stôl 1

(Prvý riadok obsahuje kritické body a intervaly, na ktoré sú tieto body rozdelené osou OX; druhý riadok udáva hodnoty derivácie v kritických bodoch a znamienka na intervaloch. Značky sú určené metódou čiastkových hodnôt. Tretí riadok označuje hodnoty funkcie y(x) v kritických bodoch a ukazuje správanie funkcie - zvyšovanie alebo znižovanie v zodpovedajúcich intervaloch číselnej osi. Okrem toho prítomnosť minima alebo je uvedené maximum.
E) Nájdite intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie.
; zostavíme tabuľku ako v odseku D); len v druhom riadku napíšeme znamienka a v treťom uvedieme typ vydutia. Pretože ; potom je kritický bod jedna x=1.
tabuľka 2

Bod x=1 je inflexný bod.
E) Nájdite šikmé a vodorovné asymptoty

Potom y=x je šikmá asymptota.
G) Podľa získaných údajov zostavíme graf funkcie

Príklad2 Vykonajte úplnú štúdiu funkcie a nakreslite jej graf. Riešenie.

1). Rozsah funkcie.
Je zrejmé, že táto funkcia je definovaná na celej číselnej osi, okrem bodov „“ a „“, pretože v týchto bodoch sa menovateľ rovná nule, a preto funkcia neexistuje a čiary a sú zvislé asymptoty.

2). Správanie funkcie, keď argument smeruje k nekonečnu, existencia bodov diskontinuity a kontrola šikmých asymptot.
Najprv si overme, ako sa funkcia správa pri približovaní sa k nekonečnu doľava a doprava.

Teda pri , funkcia smeruje k 1, t.j. je horizontálna asymptota.
V okolí bodov nespojitosti je správanie funkcie definované takto:

Tie. pri približovaní sa k bodom diskontinuity vľavo funkcia nekonečne klesá, zatiaľ čo vpravo sa nekonečne zvyšuje.
Prítomnosť šikmej asymptoty určíme zvážením rovnosti:

Neexistujú žiadne šikmé asymptoty.

3). Priesečníky so súradnicovými osami.
Tu je potrebné zvážiť dve situácie: nájsť priesečník s osou Ox a s osou Oy. Znakom priesečníka s osou x je nulová hodnota funkcie, t.j. musíte vyriešiť rovnicu:

Táto rovnica nemá korene, preto graf tejto funkcie nemá žiadne priesečníky s osou Ox.
Znakom priesečníka s osou Oy je hodnota x \u003d 0. V tomto prípade
,
tie. - priesečník grafu funkcie s osou Oy.

4).Určenie extrémnych bodov a intervalov nárastu a poklesu.
Na preskúmanie tohto problému definujeme prvú deriváciu:
.
Hodnota prvej derivácie sa rovná nule.
.
Zlomok je nula, keď je jeho čitateľ nula, t.j. .
Určme intervaly nárastu a poklesu funkcie.

Funkcia má teda jeden extrémny bod a neexistuje v dvoch bodoch.
Funkcia teda rastie na intervaloch a a klesá na intervaloch a .

5). Inflexné body a oblasti konvexnosti a konkávnosti.
Táto charakteristika správania sa funkcie je určená pomocou druhej derivácie. Najprv určme prítomnosť inflexných bodov. Druhá derivácia funkcie je

Pre a funkcia je konkávna;

pre a funkcia je konvexná.

6). Vykreslenie funkčného grafu.
Pomocou hodnôt nájdených v bodoch vytvoríme schematický graf funkcie:

Príklad 3 Funkcia Preskúmať

a naplánovať to.

Riešenie
Daná funkcia je neperiodická funkcia všeobecného tvaru. Jeho graf prechádza počiatkom, keďže .
Definičný obor danej funkcie sú všetky hodnoty premennej okrem a, pri ktorých menovateľ zlomku zaniká.
Preto sú body a body zlomu funkcie.
Pretože ,

Pretože ,
, potom je bod bodom diskontinuity druhého druhu.
Priamky a sú zvislé asymptoty grafu funkcie.
šikmé asymptotné rovnice , kde , .
O ,
.
Teda pre a graf funkcie má jednu asymptotu .
Nájdite intervaly nárastu a poklesu funkcie a body extrémov.
.
Prvá derivácia funkcie at a , teda at a funkcia sa zvyšuje.
Pre , teda pre , je funkcia klesajúca.
neexistuje pre , .
, teda pri graf funkcie je konkávny.
O , teda pri graf funkcie je konvexný.

Pri prechode cez body , , sa mení znamienko. Keď funkcia nie je definovaná, graf funkcie má jeden inflexný bod .
Zostavme graf funkcie.