Čo je to gradient? Typy prechodov.

Zo školského kurzu matematiky vieme, že vektor na rovine je riadená úsečka. Jeho začiatok a koniec majú dve súradnice. Vektorové súradnice sa vypočítajú odčítaním počiatočných súradníc od koncových súradníc.

Pojem vektor môže byť rozšírený na n-rozmerný priestor (namiesto dvoch súradníc bude n súradníc).

Gradient gradzfunctionz=f(x 1, x 2, ...x n) je vektor parciálnych derivácií funkcie v bode, t.j. vektor so súradnicami.

Dá sa dokázať, že gradient funkcie charakterizuje smer najrýchlejšieho rastu úrovne funkcie v bode.

Napríklad pre funkciu z = 2x 1 + x 2 (pozri obrázok 5.8) bude mať gradient v ľubovoľnom bode súradnice (2; 1). Môžete ho zostrojiť na rovine rôznymi spôsobmi, pričom za začiatok vektora beriete ľubovoľný bod. Môžete napríklad spojiť bod (0; 0) s bodom (2; 1) alebo bod (1; 0) s bodom (3; 1) alebo bod (0; 3) s bodom (2; 4), alebo tak ďalej..P. (Pozri obrázok 5.8). Všetky takto skonštruované vektory budú mať súradnice (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Z obrázku 5.8 je jasne vidieť, že úroveň funkcie sa zvyšuje v smere gradientu, pretože zostrojené čiary úrovne zodpovedajú hodnotám úrovne 4 > 3 > 2.

Obrázok 5.8 - Gradient funkcie z= 2x 1 + x 2

Zoberme si ďalší príklad - funkciu z = 1/(x 1 x 2). Gradient tejto funkcie už nebude vždy rovnaký v rôznych bodoch, pretože jej súradnice sú určené vzorcami (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

Obrázok 5.9 zobrazuje čiary úrovne funkcií z = 1/(x 1 x 2) pre úrovne 2 a 10 (priama čiara 1/(x 1 x 2) = 2 je označená bodkovanou čiarou a priama čiara 1/( x 1 x 2) = 10 je plná čiara).

Obrázok 5.9 - Gradienty funkcie z= 1/(x 1 x 2) v rôznych bodoch

Vezmite napríklad bod (0,5; 1) a vypočítajte gradient v tomto bode: (-1/(0,5 2 * 1); -1/(0,5 * 1 2)) = (-4; - 2). Všimnite si, že bod (0,5; 1) leží na čiare úrovne 1/(x 1 x 2) = 2, pretože z=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Ak chcete nakresliť vektor ( -4; -2) na obrázku 5.9 spojte bod (0,5; 1) s bodom (-3,5; -1), pretože (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Zoberme si ďalší bod na rovnakej úrovni, napríklad bod (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Vypočítajme gradient v tomto bode (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Aby sme to zobrazili na obrázku 5.9, spojíme bod (1; 0,5) s bodom (-1; -3,5), pretože (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Zoberme si ďalší bod na tej istej rovine, ale len teraz v nekladnej súradnicovej štvrtine. Napríklad bod (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradient v tomto bode sa bude rovnať (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Znázornime to na obrázku 5.9 spojením bodu (-0,5; -1) s bodom (3,5; 1), pretože (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Treba poznamenať, že vo všetkých troch uvažovaných prípadoch gradient ukazuje smer rastu funkčnej úrovne (smerom k čiare úrovne 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Dá sa dokázať, že spád je vždy kolmý na niveletu (hladinovú plochu) prechádzajúcu daným bodom.

Extrémy funkcie viacerých premenných

Definujme pojem extrém pre funkciu mnohých premenných.

Funkcia mnohých premenných f(X) má v bode X (0) maximum (minimum), ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky body X z tohto okolia sú splnené nerovnosti f(X)f(X (0)) ().

Ak sú tieto nerovnosti splnené ako prísne, potom sa volá extrém silný, a ak nie, tak slabý.

Všimnite si, že takto definovaný extrém je miestne charakteru, keďže tieto nerovnosti sú splnené len pre určité okolie extrémneho bodu.

Nevyhnutnou podmienkou pre lokálny extrém diferencovateľnej funkcie z=f(x 1, . . ., x n) v bode je rovnosť nuly všetkých parciálnych derivácií prvého rádu v tomto bode:
.

Body, v ktorých tieto rovnosti platia, sa nazývajú stacionárne.

Iným spôsobom môže byť nevyhnutná podmienka pre extrém formulovaná nasledovne: v bode extrému je gradient nulový. Dá sa dokázať aj všeobecnejšie tvrdenie: v extrémnom bode derivácie funkcie vo všetkých smeroch zanikajú.

Stacionárne body by mali byť podrobené dodatočnému výskumu, aby sa zistilo, či sú splnené dostatočné podmienky pre existenciu lokálneho extrému. Na tento účel určite znamienko diferenciálu druhého rádu. Ak je pre ľubovoľnú hodnotu, ktorá sa súčasne nerovná nule, vždy záporná (kladná), funkcia má maximum (minimum). Ak to dokáže ísť na nulu nielen s nulovými prírastkami, tak otázka extrému zostáva otvorená. Ak môže nadobudnúť kladné aj záporné hodnoty, potom v stacionárnom bode neexistuje extrém.

Vo všeobecnom prípade je určenie znamienka diferenciálu pomerne zložitý problém, ktorý tu nebudeme uvažovať. Pre funkciu dvoch premenných sa dá dokázať, že ak v stacionárnom bode
, potom je prítomný extrém. V tomto prípade sa znamienko druhého diferenciálu zhoduje so znamienkom
, t.j. Ak
, tak toto je maximum a ak
, tak toto je minimum. Ak
, potom v tomto bode neexistuje extrém a ak
, potom otázka extrému zostáva otvorená.

Príklad 1. Nájdite extrémy funkcie
.

Nájdite parciálne derivácie pomocou metódy logaritmickej diferenciácie.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Podobne
.

Nájdite stacionárne body zo sústavy rovníc:

Boli teda nájdené štyri stacionárne body (1; 1), (1; -1), (-1; 1) a (-1; -1).

Nájdite parciálne derivácie druhého rádu:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Podobne
;
.

Pretože
, výraz znak
závisí len od
. Všimnite si, že v oboch týchto derivátoch je menovateľ vždy kladný, takže môžete uvažovať iba so znamienkom čitateľa, prípadne aj so znamienkom výrazov x(x 2 – 3) a y(y 2 – 3). Definujme ho v každom kritickom bode a skontrolujme, či je splnená dostatočná podmienka pre extrém.

Pre bod (1; 1) dostaneme 1*(1 2 – 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0 a
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Pre bod (1; -1) dostaneme 1*(1 2 – 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Pretože súčin týchto čísel
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Pre bod (-1; -1) dostaneme (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 > 0. Pretože súčin dvoch kladných čísel
> 0 a
> 0, v bode (-1; -1) možno nájsť minimum. Rovná sa 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2)) = -8/4 = = -2.

Nájsť globálne maximum alebo minimum (najväčšia alebo najmenšia hodnota funkcie) je o niečo komplikovanejšia ako lokálny extrém, pretože tieto hodnoty možno dosiahnuť nielen v stacionárnych bodoch, ale aj na hranici definičnej domény. Nie je vždy ľahké študovať správanie funkcie na hranici tejto oblasti.

Prechod (vektor) Gradient(z latinského gradiens, rod gradientis - chôdza), vektor, ukazujúci smer najrýchlejšej zmeny určitej veličiny, ktorej hodnota sa mení z jedného bodu v priestore do druhého (pozri. Teória poľa). Ak je veličina vyjadrená funkciou u (x, y, z), potom sa zložky G. rovnajú ═G. označuje sa znakom grad u. V určitom bode je geometria nasmerovaná kolmo na povrch hladiny v tomto bode, dĺžka geometrie je rovná.Pojem geometria je široko používaný vo fyzike, meteorológii, oceánológii atď., Na charakterizáciu rýchlosti zmeny v priestore akejkoľvek veličiny pri pohybe na jednotku dĺžky v G. smere: napríklad G. tlak, G. teplota, G. vlhkosť, G. rýchlosť vetra, G. slanosť, G. hustota morskej vody. G elektrického potenciálu sa nazýva intenzita elektrického poľa.

Veľká sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. 1969-1978 .

Pozrite sa, čo je „Gradient (vektor)“ v iných slovníkoch:

Vektorový slovník ruských synoným. gradient podstatné meno, počet synoným: 2 vektor (5) ... Slovník synonym

Gradientový vektor, gradientový vektor... Slovník pravopisu-príručka

gradient- Zmena hodnoty určitej veličiny na jednotku vzdialenosti v danom smere. Topografický gradient je zmena nadmorskej výšky terénu na horizontálne meranej vzdialenosti. )