Hranol je geometrický trojrozmerný útvar, ktorého charakteristiky a vlastnosti sa študujú na stredných školách. Spravidla sa pri jej štúdiu berú do úvahy veličiny ako objem a povrch. V tomto článku budeme diskutovať o trochu inej otázke: predstavíme metódu na určenie dĺžky uhlopriečok hranola na príklade štvoruholníka.

Aký tvar sa nazýva hranol?

V geometrii je daná nasledujúca definícia hranola: je to trojrozmerný obrazec ohraničený dvoma polygonálnymi identickými stranami, ktoré sú navzájom rovnobežné, a určitým počtom rovnobežníkov. Obrázok nižšie ukazuje príklad hranola, ktorý zodpovedá tejto definícii.

Vidíme, že dva červené päťuholníky sú si navzájom rovné a sú v dvoch rovnobežných rovinách. Päť ružových rovnobežníkov spája tieto päťuholníky do pevného objektu – hranolu. Dva päťuholníky sa nazývajú základne obrázku a jeho rovnobežníky sú bočné strany.

Hranoly môžu byť rovné alebo šikmé, nazývané tiež obdĺžnikové alebo šikmé. Rozdiel medzi nimi spočíva v uhloch medzi základňou a bočnými okrajmi. Pre pravouhlý hranol sú všetky tieto uhly rovné 90 o.

Na základe počtu strán alebo vrcholov mnohouholníka na základni hovoria o trojuholníkových, päťuholníkových, štvoruholníkových hranoloch a pod. Navyše, ak je tento mnohouholník pravidelný a samotný hranol je rovný, potom sa takýto obrazec nazýva pravidelný.

Hranol znázornený na predchádzajúcom obrázku je päťuholníkový naklonený. Dole je päťuholníkový pravý hranol, ktorý je pravidelný.

Je vhodné vykonať všetky výpočty, vrátane metódy na určenie uhlopriečok hranola, špeciálne pre správne obrazce.

Aké prvky charakterizujú hranol?

Prvky postavy sú zložky, ktoré ju tvoria. Konkrétne pre hranol možno rozlíšiť tri hlavné typy prvkov:

• topy;
• okraje alebo strany;
• rebrá

Plochy sa považujú za základne a bočné roviny, ktoré vo všeobecnom prípade predstavujú rovnobežníky. V hranole je každá strana vždy jedného z dvoch typov: buď je to mnohouholník alebo rovnobežník.

Hrany hranola sú tie segmenty, ktoré obmedzujú každú stranu obrázku. Rovnako ako plochy, aj hrany sa dodávajú v dvoch typoch: tie, ktoré patria k základnej a bočnej ploche alebo tie, ktoré patria len k bočnej ploche. Tých prvých je vždy dvakrát viac ako tých druhých, bez ohľadu na typ hranola.

Vrcholy sú priesečníky troch hrán hranola, z ktorých dve ležia v rovine podstavy a tretí patrí dvom bočným stenám. Všetky vrcholy hranola sú v rovinách podstav obrazca.

Čísla opísaných prvkov sú spojené do jednej rovnosti, ktorá má nasledujúci tvar:

P = B + C - 2.

Tu P je počet hrán, B - vrcholy, C - strany. Táto rovnosť sa nazýva Eulerova veta pre mnohosten.

Na obrázku je znázornený trojuholníkový pravidelný hranol. Každý si vie spočítať, že má 6 vrcholov, 5 strán a 9 hrán. Tieto čísla sú v súlade s Eulerovou vetou.

Uhlopriečky hranolov

Po vlastnostiach ako objem a povrch sa v úlohách geometrie často stretávame s informáciou o dĺžke konkrétnej uhlopriečky predmetného útvaru, ktorá je buď daná alebo je potrebné ju nájsť pomocou iných známych parametrov. Uvažujme, aké uhlopriečky má hranol.

Všetky uhlopriečky možno rozdeliť do dvoch typov:

1. Ležiace v rovine tvárí. Spájajú nesusediace vrcholy buď mnohouholníka na podstave hranola alebo rovnobežníka na bočnej ploche. Hodnota dĺžok takýchto uhlopriečok je určená na základe znalosti dĺžok zodpovedajúcich hrán a uhlov medzi nimi. Na určenie uhlopriečok rovnobežníkov sa vždy používajú vlastnosti trojuholníkov.
2. Hranoly ležiace vo vnútri objemu. Tieto diagonály spájajú rozdielne vrcholy dvoch základní. Tieto uhlopriečky sú úplne vo vnútri obrázku. Ich dĺžky sa počítajú o niečo ťažšie ako u predchádzajúceho typu. Metóda výpočtu zahŕňa zohľadnenie dĺžok rebier a základne a rovnobežníkov. Pre priame a pravidelné hranoly je výpočet relatívne jednoduchý, pretože sa vykonáva pomocou Pytagorovej vety a vlastností goniometrických funkcií.

Uhlopriečky strán štvoruholníkového pravého hranolu

Vyššie uvedený obrázok zobrazuje štyri rovnaké priame hranoly a sú uvedené parametre ich hrán. Na hranoloch Diagonal A, Diagonal B a Diagonal C zobrazuje prerušovaná červená čiara uhlopriečky troch rôznych plôch. Keďže hranol je rovná čiara s výškou 5 cm a jeho základňu predstavuje obdĺžnik so stranami 3 cm a 2 cm, nie je ťažké nájsť vyznačené uhlopriečky. Aby ste to dosiahli, musíte použiť Pytagorovu vetu.

Dĺžka uhlopriečky základne hranola (uhlopriečka A) sa rovná:

DA = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.

Pre bočnú stranu hranola je uhlopriečka rovnaká (pozri uhlopriečku B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.

Nakoniec dĺžka ďalšej bočnej uhlopriečky je (pozri uhlopriečku C):

DC = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.

Dĺžka vnútornej uhlopriečky

Teraz vypočítajme dĺžku uhlopriečky štvoruholníkového hranolu, ktorá je znázornená na predchádzajúcom obrázku (Uhlopriečka D). Nie je to také ťažké urobiť, ak si všimnete, že ide o preponu trojuholníka, v ktorom nohy budú mať výšku hranola (5 cm) a uhlopriečku D A znázornenú na obrázku vľavo hore (Uhlopriečka A). Potom dostaneme:

D D = √(DA 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.

Pravidelný štvorhranný hranol

Uhlopriečka pravidelného hranola, ktorého základňa je štvorec, sa vypočíta rovnakým spôsobom ako v príklade vyššie. Zodpovedajúci vzorec je:

D = √(2*a2+c2).

Kde a a c sú dĺžky strany základne a bočnej hrany.

Všimnite si, že pri výpočtoch sme použili iba Pytagorovu vetu. Na určenie dĺžok uhlopriečok pravidelných hranolov s veľkým počtom vrcholov (päťuholníkové, šesťuholníkové atď.) je už potrebné použiť goniometrické funkcie.

Definícia.

Toto je šesťuholník, ktorého základňami sú dva rovnaké štvorce a bočné strany sú rovnaké obdĺžniky

Bočné rebro- je spoločná strana dvoch susedných bočných plôch

Výška hranola- je to segment kolmý na základne hranola

Uhlopriečka hranola- úsečka spájajúca dva vrcholy podstav, ktoré nepatria k tej istej ploche

Diagonálna rovina- rovina, ktorá prechádza cez uhlopriečku hranola a jeho bočné hrany

Diagonálny rez- hranice priesečníka hranola a diagonálnej roviny. Diagonálny prierez pravidelného štvorbokého hranola je obdĺžnik

Kolmý rez (ortogonálny rez)- je to priesečník hranola a roviny vedenej kolmo na jeho bočné hrany

Prvky pravidelného štvoruholníkového hranola

Obrázok ukazuje dva pravidelné štvoruholníkové hranoly, ktoré sú označené príslušnými písmenami:

• Bázy ABCD a A 1 B 1 C 1 D 1 sú rovnaké a navzájom rovnobežné
• Bočné plochy AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C a CC 1 D 1 D, z ktorých každá je obdĺžnik
• Bočná plocha - súčet plôch všetkých bočných plôch hranola
• Celková plocha - súčet plôch všetkých základní a bočných plôch (súčet plochy bočnej plochy a základní)
• Bočné rebrá AA 1, BB 1, CC 1 a DD 1.
• Uhlopriečka B 1 D
• Základná uhlopriečka BD
• Diagonálny rez BB 1 D 1 D
• Kolmý rez A 2 B 2 C 2 D 2.

Vlastnosti pravidelného štvoruholníkového hranolu

• Základy sú dva rovnaké štvorce
• Základy sú navzájom rovnobežné
• Bočné plochy sú obdĺžniky
• Bočné okraje sú navzájom rovnaké
• Bočné plochy sú kolmé na základne
• Bočné rebrá sú navzájom rovnobežné a rovnaké
• Kolmý rez kolmý na všetky bočné rebrá a rovnobežný so základňami
• Uhly kolmého rezu - rovné
• Diagonálny prierez pravidelného štvorbokého hranola je obdĺžnik
• Kolmý (ortogonálny rez) rovnobežný so základňami

Vzorce pre pravidelný štvoruholníkový hranol

Pokyny na riešenie problémov

Pri riešení problémov na tému " pravidelný štvoruholníkový hranol" znamená to:

Správny hranol- hranol, na ktorého podstave leží pravidelný mnohouholník, pričom bočné hrany sú kolmé na roviny podstavy. To znamená, že pravidelný štvoruholníkový hranol obsahuje na svojej základni námestie. (pozrite si vlastnosti pravidelného štvoruholníkového hranola vyššie) Poznámka. Toto je časť hodiny s úlohami geometrie (časť stereometria - hranol). Tu sú problémy, ktoré sa ťažko riešia. Ak potrebujete vyriešiť problém s geometriou, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. Na označenie akcie extrakcie druhej odmocniny pri riešení problémov sa používa symbol√ .

Úloha.

V pravidelnom štvorhrannom hranole je základná plocha 144 cm 2 a výška 14 cm Nájdite uhlopriečku hranola a celkový povrch.

Riešenie.
Pravidelný štvoruholník je štvorec.
V súlade s tým bude strana základne rovnaká

√144 = 12 cm.
Odkiaľ sa uhlopriečka podstavy pravidelného pravouhlého hranola bude rovnať
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Uhlopriečka pravidelného hranola tvorí pravouhlý trojuholník s uhlopriečkou podstavy a výškou hranola. Podľa Pytagorovej vety sa teda uhlopriečka daného pravidelného štvoruholníkového hranola bude rovnať:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odpoveď: 22 cm

Úloha

Určte celkovú plochu pravidelného štvorbokého hranola, ak jeho uhlopriečka je 5 cm a uhlopriečka jeho bočnej plochy je 4 cm.

Riešenie.
Keďže základňa pravidelného štvorbokého hranola je štvorec, nájdeme stranu základne (označenú ako a) pomocou Pytagorovej vety:

A2 + a2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Výška bočnej plochy (označená ako h) sa potom bude rovnať:

H2 + 12,5 = 42
h2 + 12,5 = 16
h2 = 3,5
h = √3,5

Celková plocha povrchu sa bude rovnať súčtu plochy bočného povrchu a dvojnásobku základnej plochy

S = 2a2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

Odpoveď: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Popis prezentácie po jednotlivých snímkach:

1 snímka

Popis snímky:

2 snímka

Popis snímky:

Definícia 1. Mnohosten, ktorého dve plochy sú polygóny rovnakého mena ležiace v rovnobežných rovinách a ktorékoľvek dve hrany, ktoré neležia v týchto rovinách, sú rovnobežné, sa nazýva hranol. Výraz „hranol“ je gréckeho pôvodu a doslova znamená „odpílený“ (telo). Polygóny ležiace v rovnobežných rovinách sa nazývajú základne hranolov a zvyšné plochy sa nazývajú bočné plochy. Povrch hranola sa teda skladá z dvoch rovnakých polygónov (základní) a rovnobežníkov (bočné plochy). Existujú hranoly trojuholníkové, štvoruholníkové, päťuholníkové atď. v závislosti od počtu vrcholov základne.

3 snímka

Popis snímky:

Všetky hranoly sú rozdelené na rovné a šikmé. (obr. 2) Ak je bočná hrana hranola kolmá na rovinu jeho podstavy, potom sa takýto hranol nazýva rovný; Ak je bočná hrana hranola kolmá na rovinu jeho základne, potom sa takýto hranol nazýva naklonený. Priamy hranol má pravouhlé bočné steny. Kolmica na roviny podstav, ktorej konce patria do týchto rovín, sa nazýva výška hranola.

4 snímka

Popis snímky:

Vlastnosti hranola. 1. Základy hranola sú rovnaké mnohouholníky. 2. Bočné strany hranola sú rovnobežníky. 3. Bočné okraje hranola sú rovnaké.

5 snímka

Popis snímky:

Plocha povrchu hranola a bočná plocha hranola. Povrch mnohostenu pozostáva z konečného počtu mnohouholníkov (tvárí). Povrchová plocha mnohostenu je súčtom plôch všetkých jeho plôch. Plocha hranola (Spr) sa rovná súčtu plôch jeho bočných plôch (bočná plocha Sside) a plôch dvoch základní (2Sbas) - rovnaké polygóny: Spop = Sside + 2Sbas. Veta. Plocha bočného povrchu hranola sa rovná súčinu obvodu jeho kolmej časti a dĺžky bočnej hrany.

6 snímka

Popis snímky:

Dôkaz. Bočné strany rovného hranola sú obdĺžniky, ktorých základňami sú strany základne hranola a výšky sa rovnajú výške h hranola. S strana povrchu hranola sa rovná súčtu S naznačených trojuholníkov, t.j. rovná súčtu súčinov strán základne a výšky h. Vyňatím súčiniteľa h zo zátvoriek dostaneme v zátvorkách súčet strán podstavy hranola, t.j. obvod P. Takže, Sstrana = Ph. Veta bola dokázaná. Dôsledok. Bočný povrch rovného hranola sa rovná súčinu obvodu jeho základne a jeho výšky. V priamom hranole môže byť základňa považovaná za kolmú časť a bočná hrana je výška.

7 snímka

Popis snímky:

Rez hranolom 1. Rez hranolom rovinou rovnobežnou so základňou. Rez tvorí mnohouholník rovný mnohouholníku ležiacemu na základni. 2. Rez hranolom rovinou prechádzajúcou dvoma nepriliehajúcimi bočnými hranami. V priereze sa vytvorí rovnobežník. Tento úsek sa nazýva diagonálny rez hranola. V niektorých prípadoch môže byť výsledkom diamant, obdĺžnik alebo štvorec.

8 snímka

Popis snímky:

Snímka 9

Popis snímky:

Definícia 2. Pravý hranol, ktorého základňou je pravidelný mnohouholník, sa nazýva pravidelný hranol. Vlastnosti pravidelného hranola 1. Základňami pravidelného hranola sú pravidelné mnohouholníky. 2. Bočné strany pravidelného hranolu sú rovnaké obdĺžniky. 3. Bočné hrany pravidelného hranola sú rovnaké.

10 snímka

Popis snímky:

Rez pravidelného hranola. 1. Rez pravidelným hranolom s rovinou rovnobežnou s podstavou. Rez tvorí pravidelný mnohouholník rovný mnohouholníku ležiacemu na základni. 2. Rez pravidelného hranola rovinou prechádzajúcou dvoma nepriliehajúcimi bočnými hranami. V priereze sa vytvorí obdĺžnik. V niektorých prípadoch sa môže vytvoriť štvorec.

11 snímka

Popis snímky:

Súmernosť pravidelného hranola 1. Stred súmernosti s párnym počtom strán podstavy je priesečníkom uhlopriečok pravidelného hranola (obr. 6).

Trojuholníkový hranol je trojrozmerné teleso vytvorené kombináciou obdĺžnikov a trojuholníkov. V tejto lekcii sa naučíte, ako zistiť veľkosť vnútra (objem) a vonkajšej strany (plocha povrchu) trojuholníkového hranola.

Trojuholníkový hranol je päťsten tvorený dvoma rovnobežnými rovinami, v ktorých sú umiestnené dva trojuholníky tvoriace dve strany hranola a zvyšné tri strany sú rovnobežníky vytvorené zo strán trojuholníkov.

Prvky trojuholníkového hranolu

Trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 sú hranolové základne .

Štvoruholníky A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 a A 1 C 1 CA sú bočné strany hranola .

Boky tvárí sú hranolové rebrá(A 1 B 1, A 1 C 1, C 1 B 1, AA 1, CC 1, BB 1, AB, BC, AC), trojuholníkový hranol má celkom 9 plôch.

Výška hranola je kolmý segment, ktorý spája dve strany hranola (na obrázku je to h).

Uhlopriečka hranola je segment, ktorý má konce v dvoch vrcholoch hranola, ktoré nepatria k tej istej ploche. Pre trojuholníkový hranol sa takáto uhlopriečka nedá nakresliť.

Základná oblasť je oblasť trojuholníkovej plochy hranola.

je súčet plôch štvoruholníkových plôch hranola.

Typy trojuholníkových hranolov

Existujú dva typy trojuholníkových hranolov: rovné a šikmé.

Priamy hranol má pravouhlé bočné strany a šikmý hranol má bočné strany rovnobežníka (pozri obrázok)

Hranol, ktorého bočné hrany sú kolmé na roviny podstav, sa nazýva priamka.

Hranol, ktorého bočné hrany sú naklonené k rovinám podstavcov, sa nazýva šikmý.

Základné vzorce na výpočet trojuholníkového hranolu

Objem trojuholníkového hranolu

Ak chcete nájsť objem trojuholníkového hranola, musíte vynásobiť plochu jeho základne výškou hranola.

Objem hranola = plocha základne x výška

V=S základné h

Bočná plocha hranola

Ak chcete nájsť bočnú plochu trojuholníkového hranola, musíte vynásobiť obvod jeho základne jeho výškou.

Bočný povrch trojuholníkového hranola = obvod základne x výška

S strana = P hlavná h

Celková plocha hranola

Ak chcete zistiť celkovú plochu hranola, musíte pridať jeho základnú plochu a bočnú plochu.

keďže S strana = P hlavná. h, potom dostaneme:

S plný obrat =P základné h+2S zákl

Správny hranol - rovný hranol, ktorého podstavou je pravidelný mnohouholník.

Vlastnosti hranolov:

Horná a spodná základňa hranola sú rovnaké polygóny.
Bočné plochy hranola majú tvar rovnobežníka.
Bočné okraje hranola sú rovnobežné a rovnaké.

Tip: Pri výpočte trojuholníkového hranola musíte venovať pozornosť použitým jednotkám. Napríklad, ak je základná plocha uvedená v cm 2, potom by mala byť výška vyjadrená v centimetroch a objem v cm 3. Ak je základná plocha v mm 2, potom by mala byť výška vyjadrená v mm a objem v mm 3 atď.

Príklad hranolu

V tomto príklade:
— ABC a DEF tvoria trojuholníkové základne hranola
- ABED, BCFE a ACFD sú pravouhlé bočné plochy
— Bočné hrany DA, EB a FC zodpovedajú výške hranola.
— Body A, B, C, D, E, F sú vrcholy hranola.

Úlohy pre výpočet trojuholníkového hranola

Problém 1. Základňa pravého trojuholníkového hranola je pravouhlý trojuholník s nohami 6 a 8, bočná hrana je 5. Nájdite objem hranola.
Riešenie: Objem rovného hranola sa rovná V = Sh, kde S je plocha základne a h je bočná hrana. Plocha základne je v tomto prípade plocha pravouhlého trojuholníka (jeho plocha sa rovná polovici plochy obdĺžnika so stranami 6 a 8). Objem sa teda rovná:

V = 1/2 6 8 5 = 120.

Úloha 2.

Strednou čiarou podstavy trojuholníkového hranola je nakreslená rovina rovnobežná s bočným okrajom. Objem odrezaného trojbokého hranola je 5. Nájdite objem pôvodného hranola.

Riešenie:

Objem hranola sa rovná súčinu plochy základne a výšky: V = S základňa h.

Trojuholník ležiaci na základni pôvodného hranola je podobný trojuholníku ležiacemu na základni odrezaného hranola. Koeficient podobnosti je 2, pretože rez je nakreslený cez strednú čiaru (lineárne rozmery väčšieho trojuholníka sú dvakrát väčšie ako lineárne rozmery menšieho). Je známe, že oblasti podobných obrázkov sú spojené ako druhá mocnina koeficientu podobnosti, to znamená S2 = S1k2 = S122 = 4S1.

Základná plocha celého hranola je 4-krát väčšia ako základná plocha odrezaného hranola. Výšky oboch hranolov sú rovnaké, takže objem celého hranola je 4-násobok objemu odrezaného hranola.

Požadovaný objem je teda 20.

Diagonálne rezy Rez hranolom rovinou prechádzajúcou uhlopriečkou podstavy a dvoma bočnými hranami, ktoré k nej priliehajú, sa nazýva diagonálny rez hranola. Úsek pyramídy s rovinou prechádzajúcou cez uhlopriečku podstavy a vrcholu sa nazýva diagonálny rez pyramídy. Nech rovina pretína pyramídu a je rovnobežná s jej základňou. Časť pyramídy uzavretá medzi touto rovinou a základňou sa nazýva zrezaná pyramída. Prierez pyramídy sa nazýva aj základňa zrezaného ihlana.

Konštrukcia rezov Pri konštrukcii rezov mnohostenov sú základnými konštrukcia priesečníka priamky a roviny, ako aj priesečníka dvoch rovín. Ak sú dané dva body A a B priamky a sú známe ich priemety A' a B' do roviny, potom bod C priesečníka údajov priamky a roviny bude priesečníkom priamok. AB a A'B' Ak sú dané tri body A, B, C roviny a sú známe ich priemety A', B', C' do inej roviny, potom na nájdenie priesečníka týchto rovín sa body P a Q priesečníka priamok AB a AC s druhou rovinou. Priamka PQ bude požadovaným priesečníkom rovín.

Cvičenie 1 Zostrojte rez kocky s rovinou prechádzajúcou bodmi E, F ležiacimi na hranách kocky a vrchole B. Riešenie. Na zostrojenie rezu kocky prechádzajúcej bodmi E, F a vrcholom B spojíme úsečkami body E a B, F a B. Cez body E a F nakreslíme priamky rovnobežné s BF a BE. Výsledný rovnobežník BFGE bude požadovaným rezom.

Cvičenie 2 Zostrojte rez kocky s rovinou prechádzajúcou bodmi E, F, G ležiacimi na hranách kocky. Riešenie. Na zostrojenie rezu kocky prechádzajúcej bodmi E, F, G nakreslite priamku EF a označte P jej priesečník s AD. Nech Q označuje priesečník priamok PG a AB. Spojme body E a Q, F a G. Výsledný lichobežník EFGQ bude požadovaný úsek.

Cvičenie 3 Zostrojte rez kocky s rovinou prechádzajúcou bodmi E, F, G ležiacimi na hranách kocky. Riešenie. Na zostrojenie rezu kocky prechádzajúcej bodmi E, F, G nakreslite priamku EF a označte P jej priesečník s AD. Označme Q, R priesečníky priamky PG s AB a DC. Označme S priesečník FR s CC 1. Spojme body E a Q, G a S. Výsledný päťuholník EFSGQ bude požadovaný rez.

Cvičenie 4 Zostrojte rez kocky rovinou prechádzajúcou bodmi E, F, G ležiacimi na hranách kocky. Riešenie. Na zostrojenie rezu kocky prechádzajúcej bodmi E, F, G nájdeme priesečník P priamky EF a roviny ABCD. Označme Q, R priesečníky priamky PG s AB a CD. Nakreslite priamku RF a označte S, T jej priesečníky s CC 1 a DD 1. Nakreslite priamku TE a označte jej priesečník U s A 1 D 1. Spojte body E a Q, G a S, U a F Výsledný šesťuholník EUFSGQ bude požadovaným rezom.

Cvičenie 5 Zostrojte rez kocky rovinou prechádzajúcou bodmi E, F, G, patriacimi stenám BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B. Riešenie. Z týchto bodov spustíme kolmice EE‘, FF‘, GG‘ na rovinu čela ABCD a nájdeme body I a H priesečníka priamok FE a FG s touto rovinou. IH bude priesečník požadovanej roviny a roviny plochy ABCD. Označme Q, R priesečníky priamky IH s AB a BC. Narysujme priamky PG a QE a označme R, S ich priesečníky s AA 1 a CC 1. Narysujme priamky SU, UV a RV rovnobežné s PR, PQ a QS. Výsledný šesťuholník RPQSUV bude požadovaným prierezom.

Cvičenie 6 Zostrojte rez kocky s rovinou prechádzajúcou bodmi E, F ležiacimi na hranách kocky rovnobežne s uhlopriečkou BD. Riešenie. Narysujme čiary FG a EH rovnobežné s BD. Nakreslíme priamku FP rovnobežnú s EG a spojíme body P a G. Spojíme body E a G, F a H. Výsledný päťuholník EGPFH bude požadovaný úsek.

Zostrojte rez hranolom ABCA 1 B 1 C 1 rovinou prechádzajúcou bodmi E, F, G. Cvičenie 8 Riešenie. Spojme body E a F. Narysujme priamku FG a jej priesečník s CC 1, označme H. Narysujme priamku EH a jej priesečník s A 1 C 1, označme I. Spojme body I a G. Výsledný štvoruholník EFGI bude požadovaným rezom.

Zostrojte rez hranolom ABCA 1 B 1 C 1 rovinou prechádzajúcou bodmi E, F, G. Cvičenie 9 Riešenie. Narysujme priamku EG a označme H a I jej priesečníky s CC 1 a AC. Narysme si priamku IF a jej priesečník s AB označíme K. Narysujeme priamku FH a jej priesečník s B 1 C 1 označíme L. Spojme body E a K, G a L. Výsledný päťuholník EKFLG bude požadovaným rezom.

Zostrojte rez hranolom ABCA 1 B 1 C 1 rovinou rovnobežnou s AC 1 prechádzajúcou bodmi D 1. Cvičenie 10 Riešenie. Cez bod D vedieme priamku rovnobežnú s AC 1 a označíme E jej priesečník s priamkou BC 1. Tento bod bude patriť do roviny plochy ADD 1 A 1. Narysujeme priamku DE a označíme F jej priesečník s priamkou BC 1. okraj pred Kr. Spojme úsečkou body F a D. Bodom D vedieme priamku rovnobežnú s priamkou FD a označíme G bod jej priesečníka s hranou A 1 C 1, H – jej priesečník s priamkou A 1 B 1. Narysujme priamku DH a označme P jej priesečník s hranou AA 1. Spojme úsečkou body P a G. Výsledný štvoruholník EFIK bude požadovaným rezom.

Zostrojte rez hranolom ABCA 1 B 1 C 1 rovinou prechádzajúcou bodmi E na hrane BC, F na stene ABB 1 A 1 a G na stene ACC 1 A 1. Cvičenie 11 Riešenie. Nakreslíme priamku GF a nájdeme bod H jej priesečníka s rovinou ABC. Narysujme priamku EH a označme P a I jej priesečníky s AC a AB. Narysujme rovné čiary PG a IF a označme S, R a Q ich priesečníky s A 1 C 1, A 1 B 1 a BB 1. Spojme body E a Q, S a R. Výsledný päťuholník EQRSP bude požadovaný úsek.

Zostrojte rez pravidelného šesťbokého hranola s rovinou prechádzajúcou bodmi A, B, D 1. Cvičenie 12 Riešenie. Všimnite si, že rez bude prechádzať bodom E 1. Nakreslíme priamku AB a nájdeme jej priesečníky K a L s priamkami CD a FE. Narysujme si priamky KD 1, LE 1 a nájdime ich priesečníky P, Q s priamkami CC 1 a FF 1. Požadovaný rez bude šesťuholník ABPD 1 E 1 Q.

Zostrojte rez pravidelného šesťbokého hranola s rovinou prechádzajúcou bodmi A, B’, F’. Cvičenie 13 Riešenie. Nakreslíme segmenty AB‘ a AF‘. Cez bod B' vedieme priamku rovnobežnú s AF' a jej priesečník s EE 1 označujeme E'. Cez bod F' vedieme priamku rovnobežnú s AB' a jej priesečník s CC 1 označíme ako C'. Cez body E’ a C’ nakreslíme priamky rovnobežné s AB’ a AF’ a ich priesečníky s D 1 E 1 a C 1 D 1 označíme ako D’, D“. Spojme body B’, C’; D', D"; F', E'. Výsledný sedemuholník AB'C'D“D'E'F' bude požadovaným úsekom.

Zostrojte rez pravidelného šesťbokého hranola s rovinou prechádzajúcou bodmi F’, B’, D’. Cvičenie 14 Riešenie. Nakreslíme rovné čiary F’B’ a F’D’ a nájdeme ich priesečníky P a Q s rovinou ABC. Urobme priame PQ. Nech R označuje priesečník PQ a FC. Označme priesečník F’R a CC 1 ako C’. Spojme body B', C' a C', D'. Cez bod F' vedieme čiary rovnobežné s C'D' a B'C' a ich priesečníky s AA 1 a EE 1 označíme ako A' a E'. Spojme body A', B' a E', D'. Výsledný šesťuholník A'B'C'D'E'F' bude požadovaným rezom.