Funkcia: doména definície a doména hodnôt funkcií. Téma lekcie: „Množina funkčných hodnôt v problémoch Unified State Examination Ako nájsť množinu funkčných hodnôt prostredníctvom derivácie

Dnes v lekcii prejdeme k jednému zo základných pojmov matematiky – pojmu funkcie; Pozrime sa bližšie na jednu z vlastností funkcie – množinu jej hodnôt.

Počas vyučovania

učiteľ. Pri riešení problémov si všimneme, že niekedy je to hľadanie množiny hodnôt funkcie, ktorá nás dostáva do zložitých situácií. prečo? Mohlo by sa zdať, že keďže sme študovali funkciu od 7. ročníka, vieme o nej dosť veľa. Preto máme všetky dôvody urobiť proaktívny krok. Poďme sa dnes „hrať“ s mnohými funkčnými hodnotami, aby sme v nadchádzajúcej skúške odpovedali na mnohé otázky na túto tému.

Množiny hodnôt elementárnych funkcií

učiteľ. Najprv musíte zopakovať grafy, rovnice a množiny hodnôt základných elementárnych funkcií v celej oblasti definície.

Na obrazovku sa premietajú grafy funkcií: lineárne, kvadratické, zlomkovo-racionálne, trigonometrické, exponenciálne a logaritmické, pre každú z nich je ústne určená sada hodnôt. Upozornite žiakov na skutočnosť, že lineárna funkcia E(f) = R alebo jedno číslo pre zlomkovú lineárnu

Toto je naša abeceda. Pridaním našich znalostí o transformáciách grafov: paralelný preklad, naťahovanie, stláčanie, odraz, budeme schopní vyriešiť problémy prvej časti Jednotná štátna skúška je ešte o niečo náročnejšia. Poďme sa na to pozrieť.

Samostatná práca

U Problémové pojmy a súradnicové systémy sú vytlačené pre každého študenta.

1. Nájdite množinu funkčných hodnôt v celej doméne definície:

A) r= 3 hriechy X ;
b) r = 7 – 2 X ;
V) r= –arccos ( X + 5):
G) r= | arctg X |;
d)

2. Nájdite množinu funkčných hodnôt r = X 2 medzi tým J, Ak:

A) J = ;
b) J = [–1; 5).

3. Definujte funkciu analyticky (rovnicou), ak je množina jej hodnôt:

1) E(f(X)) = (–∞ ; 2] a f(X) - funkcia

a) kvadratický,
b) logaritmické,
c) demonštratívne;

2) E(f(X)) = R \{7}.

Pri diskusii o úlohe 2samostatnej práce upozorniť žiakov na to, že v prípade monotónnosti a nadväznosti funkcie y=f(X)v danom intervale[a;b],jeho mnoho významov-interval,ktorých konce sú hodnoty f(a)a f(b).

Možnosti odpovede pre úlohu 3.

1.
A) r = –X 2 + 2 , r = –(X + 18) 2 + 2,
r= a(X – X c) 2 + 2 at A < 0.

b) r= –| denník 8 X | + 2,

V) r = –| 3 X – 7 | + 2, r = –5 | X | + 3.

2.
a) b)

V) r = 12 – 5X, Kde X ≠ 1 .

Nájdenie viacerých hodnôt funkcie pomocou derivácie

učiteľ. V 10. ročníku sme sa oboznámili s algoritmom hľadania extrémov spojitej funkcie na segmente a hľadania jej množiny hodnôt bez spoliehania sa na graf funkcie. Pamätáte si, ako sme to urobili? ( Použitie derivátu.) Zapamätajme si tento algoritmus .

1. Skontrolujte funkciu r = f(X) je definovaný a súvislý na segmente J = [a; b]. 2. Nájdite hodnoty funkcie na koncoch segmentu: f(a) a f(b). Komentujte. Ak vieme, že funkcia je spojitá a monotónna J, potom môžete okamžite odpovedať: E(f) = [f(a); f(b)] alebo E(f) = [f(b); f(A)]. 3. Nájdite deriváciu a potom kritické body x kJ. 4. Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch f(x k). 5. Porovnajte funkčné hodnoty f(a), f(b) A f(x k), vyberte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie a uveďte odpoveď: E(f)= [f názov; f naíb].

Problémy s použitím tohto algoritmu sa vyskytujú vo verziách jednotnej štátnej skúšky. Napríklad v roku 2008 bola takáto úloha navrhnutá. Musíte to vyriešiť Domy .

Úloha C1. Nájdite najväčšiu hodnotu funkcie

f(X) = (0,5X + 1) 4 – 50(0,5X + 1) 2

v | X + 1| ≤ 3.

Podmienky domácej úlohy sú vytlačené pre každého študenta .

Nájdenie množiny hodnôt komplexnej funkcie

učiteľ. Hlavnou časťou našej lekcie budú neštandardné úlohy obsahujúce zložité funkcie, ktorých deriváty sú veľmi zložité výrazy. A grafy týchto funkcií sú nám neznáme. Preto na riešenie použijeme definíciu komplexnej funkcie, teda závislosť medzi premennými v poradí ich vnorenia do danej funkcie, a odhad ich rozsahu hodnôt (interval zmeny ich hodnoty). Problémy tohto typu sa nachádzajú v druhej časti jednotnej štátnej skúšky. Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Cvičenie 1. Pre funkcie r = f(X) A r = g(X) napíšte komplexnú funkciu r = f(g(X)) a nájdite jeho množinu hodnôt:

A) f(X) = –X 2 + 2X + 3, g(X) = hriech X;
b) f(X) = –X 2 + 2X + 3, g(X) = log 7 X;
V) g(X) = X 2 + 1;
G)

Riešenie. a) Komplexná funkcia má tvar: r= – hriech 2 X+ 2 hriechy X + 3.

Uvádzame prechodný argument t, môžeme túto funkciu napísať takto:

r= –t 2 + 2t+ 3, kde t= hriech X.

Pri internej funkcii t= hriech X argument má ľubovoľné hodnoty a množinou jeho hodnôt je segment [–1; 1].

Teda pre vonkajšiu funkciu r = –t 2 +2t+ 3 sme zistili interval na zmenu hodnôt jeho argumentu t: t[-1; 1]. Pozrime sa na graf funkcie r = –t 2 +2t + 3.

Poznamenávame, že kvadratická funkcia pri t[-1; 1] má na koncoch najmenšie a najväčšie hodnoty: r meno = r(–1) = 0 a r naib = r(1) = 4. A keďže táto funkcia je spojitá na intervale [–1; 1], potom akceptuje všetky hodnoty medzi nimi.

Odpoveď: r .

b) Zloženie týchto funkcií nás vedie ku komplexnej funkcii, ktorú po zavedení medziargumentu možno znázorniť takto:

r= –t 2 + 2t+ 3, kde t= denník 7 X,

Funkcia t= denník 7 X

X (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

Funkcia r = –t 2 + 2t+ 3 (pozri graf) argument t má akékoľvek hodnoty a samotná kvadratická funkcia má všetky hodnoty nie viac ako 4.

Odpoveď: r (–∞ ; 4].

c) Komplexná funkcia má nasledujúci tvar:

Zavedením stredného argumentu dostaneme:

Kde t = X 2 + 1.

Keďže pre vnútornú funkciu X R , A t .

Odpoveď: r (0; 3].

d) Zloženie týchto dvoch funkcií nám dáva komplexnú funkciu

ktoré možno napísať ako

Všimni si

Takže keď

Kde k Z , t [–1; 0) (0; 1].

Nakreslením grafu funkcie vidíme to pri týchto hodnotách t

r(–∞ ; –4] c ;

b) v celej oblasti definície.

Riešenie. Najprv preskúmame monotónnosť tejto funkcie. Funkcia t= arcctg X- nepretržitý a klesajúci o R a množina jeho hodnôt (0; π). Funkcia r= log 5 t je definovaný na intervale (0; π), je spojitý a na ňom rastie. To znamená, že táto komplexná funkcia sa na súprave znižuje R . A ako zloženie dvoch spojitých funkcií bude spojité ďalej R .

Poďme vyriešiť problém "a".

Keďže funkcia je spojitá na celej číselnej osi, je spojitá na ktorejkoľvek jej časti, najmä na danom segmente. A potom v tomto segmente má najmenšie a najväčšie hodnoty a preberá všetky hodnoty medzi nimi:

f(4) = log 5 arcctg 4.

Ktorá z výsledných hodnôt je väčšia? prečo? A aký bude súbor hodnôt?

odpoveď:

Poďme vyriešiť problém "b".

odpoveď: pri(–∞ ; log 5 π) v celej oblasti definície.

Problém s parametrom

Teraz skúsme vytvoriť a vyriešiť jednoduchú rovnicu s parametrom tvaru f(X) = a, Kde f(X) - rovnaká funkcia ako v úlohe 4.

Úloha 5. Určte počet koreňov rovnice log 5 (arcctg X) = A pre každú hodnotu parametra A.

Riešenie. Ako sme už ukázali v úlohe 4, funkcia pri= log 5 (arcctg X) - klesá a stále svieti R a nadobúda hodnoty menšie ako log 5 π. Tieto informácie stačia na odpoveď.

odpoveď: Ak A < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Ak A≥ log 5 π, potom neexistujú žiadne korene.

učiteľ. Dnes sme sa pozreli na problémy súvisiace s hľadaním množiny hodnôt funkcie. Na tejto ceste sme objavili novú metódu riešenia rovníc a nerovníc - metódu odhadu, takže nájdenie množiny funkčných hodnôt sa stalo prostriedkom na riešenie problémov vyššej úrovne. Pritom sme videli, ako sa takéto problémy konštruujú a ako vlastnosti monotónnosti funkcie uľahčujú ich riešenie.

A rád by som dúfal, že logika, ktorá spájala dnes diskutované úlohy, vás ohromila alebo aspoň prekvapila. Nemôže to byť inak: výstup na nový vrchol nenechá nikoho ľahostajným! Všímame si a oceňujeme krásne obrazy, sochy atď. Ale aj matematika má svoju krásu, príťažlivú a očarujúcu – krásu logiky. Matematici hovoria, že krásne riešenie je zvyčajne správne riešenie, a to nie je len fráza. Takéto riešenia si teraz musíte nájsť sami a jednu z ciest k nim sme dnes naznačili. Veľa šťastia! A pamätajte: ten, kto kráča, ovláda cestu!

Často, ako súčasť riešenia problémov, musíme hľadať veľa hodnôt funkcie na doméne definície alebo segmente. Napríklad to treba urobiť pri riešení rôznych druhov nerovností, vyhodnocovaní výrazov atď.

V tomto materiáli vám povieme, aký je rozsah hodnôt funkcie, uvedieme hlavné metódy, pomocou ktorých sa dá vypočítať, a analyzujeme problémy rôzneho stupňa zložitosti. Pre názornosť sú jednotlivé ustanovenia znázornené grafmi. Po prečítaní tohto článku získate komplexné pochopenie rozsahu funkcie.

Začnime základnými definíciami.

Definícia 1

Množina hodnôt funkcie y = f (x) na určitom intervale x je množina všetkých hodnôt, ktoré táto funkcia nadobudne pri iterácii cez všetky hodnoty x ∈ X.

Definícia 2

Rozsah hodnôt funkcie y = f (x) je množina všetkých jej hodnôt, ktoré môže nadobudnúť pri vyhľadávaní hodnôt x z rozsahu x ∈ (f).

Rozsah hodnôt určitej funkcie sa zvyčajne označuje ako E (f).

Upozorňujeme, že koncept množiny hodnôt funkcie nie je vždy identický s jej rozsahom hodnôt. Tieto pojmy budú ekvivalentné iba vtedy, ak sa interval hodnôt x pri hľadaní množiny hodnôt zhoduje s doménou definície funkcie.

Je tiež dôležité rozlišovať medzi rozsahom hodnôt a rozsahom prijateľných hodnôt premennej x pre výraz na pravej strane y = f (x). Rozsah prípustných hodnôt x pre výraz f (x) bude doménou definície tejto funkcie.

Nižšie je uvedený obrázok zobrazujúci niekoľko príkladov. Modré čiary sú funkčné grafy, červené čiary sú asymptoty, červené body a čiary na zvislej osi sú funkčné rozsahy.

Je zrejmé, že rozsah hodnôt funkcie možno získať premietnutím grafu funkcie na os Oy. Okrem toho môže predstavovať jedno číslo alebo množinu čísel, segment, interval, otvorený lúč, spojenie číselných intervalov atď.

Pozrime sa na hlavné spôsoby, ako nájsť rozsah hodnôt funkcie.

Začnime definovaním množiny hodnôt spojitej funkcie y = f (x) na určitom segmente označenom [ a ; b]. Vieme, že funkcia, ktorá je spojitá na určitom segmente, na ňom dosiahne svoje minimum a maximum, teda najväčšie m a x x ∈ a ; b f (x) a najmenšia hodnota m i n x ∈ a ; b f (x). To znamená, že dostaneme segment m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a; b f (x), ktorý bude obsahovať množiny hodnôt pôvodnej funkcie. Potom všetko, čo musíme urobiť, je nájsť uvedené minimálne a maximálne body na tomto segmente.

Zoberme si problém, v ktorom musíme určiť rozsah arcsínusových hodnôt.

Príklad 1

podmienka: nájdite rozsah hodnôt y = a r c sin x .

Riešenie

Vo všeobecnom prípade sa doména definície arksínusu nachádza na segmente [ - 1 ; 1]. Musíme na ňom určiť najväčšiu a najmenšiu hodnotu zadanej funkcie.

y" = a rc sin x" = 1 1 - x 2

Vieme, že derivácia funkcie bude kladná pre všetky hodnoty x umiestnené v intervale [ - 1 ; 1 ], to znamená, že v celej oblasti definície sa funkcia arcsínus zvýši. To znamená, že najmenšiu hodnotu nadobudne, keď sa x rovná -1, a najväčšiu hodnotu nadobudne, keď sa x rovná 1.

mi n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Rozsah hodnôt arcsínusovej funkcie sa teda bude rovnať E (a rc sin x) = - π 2; π 2.

odpoveď: E (a rc sin x) = - π 2; π 2

Príklad 2

podmienka: vypočítajte rozsah hodnôt y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 na danom intervale [ 1 ; 4].

Riešenie

Stačí nám vypočítať najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie v danom intervale.

Na určenie extrémnych bodov je potrebné vykonať nasledujúce výpočty:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 a 1 a 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1, 16 ∈ 1; 4 x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1 ; 4

Teraz nájdime hodnoty danej funkcie na koncoch segmentu a bodoch x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

r (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 r 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 r (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

To znamená, že množina funkčných hodnôt bude určená segmentom 117 - 165 33 512; 32.

odpoveď: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Prejdime k hľadaniu množiny hodnôt spojitej funkcie y = f (x) v intervaloch (a ; b) a a ; + ∞ , - ∞ ; b, - ∞; + ∞ .

Začnime určením najväčšieho a najmenšieho bodu, ako aj intervalov zvyšovania a znižovania na danom intervale. Potom budeme musieť vypočítať jednostranné limity na koncoch intervalu a / alebo limity v nekonečne. Inými slovami, musíme určiť správanie funkcie za daných podmienok. Máme na to všetky potrebné údaje.

Príklad 3

podmienka: vypočítajte rozsah funkcie y = 1 x 2 - 4 na intervale (- 2 ; 2) .

Riešenie

Určte najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na danom segmente

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2; 2)

Dostali sme maximálnu hodnotu rovnajúcu sa 0, keďže práve v tomto bode sa mení znamienko funkcie a graf začína klesať. Pozri ilustráciu:

To znamená, že y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 bude maximálna hodnota funkcie.

Teraz určme správanie funkcie pre x, ktoré má tendenciu k -2 na pravej strane a + 2 na ľavej strane. Inými slovami, nachádzame jednostranné limity:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Ukazuje sa, že hodnoty funkcie sa zvýšia z mínus nekonečna na - 1 4, keď sa argument zmení z - 2 na 0. A keď sa argument zmení z 0 na 2, hodnoty funkcie sa znížia smerom k mínus nekonečnu. V dôsledku toho množina hodnôt danej funkcie na intervale, ktorý potrebujeme, bude (- ∞ ; - 1 4 ] .

odpoveď: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Príklad 4

Podmienka: uveďte množinu hodnôt y = t g x na danom intervale - π 2; π 2.

Riešenie

Vieme, že vo všeobecnom prípade je derivácia dotyčnice - π 2; π 2 bude kladné, to znamená, že funkcia sa zvýši. Teraz určme, ako sa funkcia správa v rámci daných hraníc:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Získali sme nárast hodnôt funkcie z mínus nekonečna na plus nekonečno, keď sa argument zmení z - π 2 na π 2, a môžeme povedať, že množina riešení tejto funkcie bude množina všetkých reálnych čísel. .

odpoveď: - ∞ ; + ∞ .

Príklad 5

podmienka: určiť rozsah funkcie prirodzeného logaritmu y = ln x.

Riešenie

Vieme, že táto funkcia je definovaná pre kladné hodnoty argumentu D (y) = 0; + ∞ . Derivácia na danom intervale bude kladná: y " = ln x " = 1 x . To znamená, že funkcia sa na ňom zvyšuje. Ďalej musíme definovať jednostrannú hranicu pre prípad, keď má argument sklon k 0 (na pravej strane) a keď x ide do nekonečna:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Zistili sme, že hodnoty funkcie sa budú zvyšovať z mínus nekonečna na plus nekonečno, keď sa hodnoty x menia z nuly na plus nekonečno. To znamená, že množina všetkých reálnych čísel je rozsahom hodnôt funkcie prirodzeného logaritmu.

odpoveď: množina všetkých reálnych čísel je rozsah hodnôt funkcie prirodzeného logaritmu.

Príklad 6

podmienka: určte rozsah funkcie y = 9 x 2 + 1 .

Riešenie

Táto funkcia je definovaná za predpokladu, že x je reálne číslo. Vypočítajme najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie, ako aj intervaly jej nárastu a poklesu:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

V dôsledku toho sme určili, že táto funkcia sa zníži, ak x ≥ 0; zvýšiť, ak x ≤ 0 ; má maximálny bod y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 s premennou rovnou 0.

Pozrime sa, ako sa funkcia správa v nekonečne:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

Zo záznamu je zrejmé, že hodnoty funkcie sa v tomto prípade budú asymptoticky blížiť k 0.

Zhrnutie: keď sa argument zmení z mínus nekonečna na nulu, hodnoty funkcie sa zvýšia z 0 na 9. Keď sa hodnoty argumentov zmenia z 0 na plus nekonečno, hodnoty zodpovedajúcej funkcie sa znížia z 9 na 0. Ukázali sme to na obrázku:

Ukazuje, že rozsah hodnôt funkcie bude interval E (y) = (0 ; 9 ]

odpoveď: E (y) = (0 ; 9 ]

Ak potrebujeme určiť množinu hodnôt funkcie y = f (x) na intervaloch [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , potom budeme musieť vykonať presne tie isté štúdie. Tieto prípady zatiaľ nebudeme analyzovať: stretneme sa s nimi neskôr v problémy.

Ale čo ak je doménou definície určitej funkcie spojenie niekoľkých intervalov? Potom musíme vypočítať množiny hodnôt pre každý z týchto intervalov a skombinovať ich.

Príklad 7

podmienka: určiť, aký rozsah hodnôt bude y = x x - 2.

Riešenie

Keďže menovateľ funkcie by nemal byť otočený na 0, potom D (y) = - ∞; 2*2; + ∞ .

Začnime definovaním množiny funkčných hodnôt na prvom segmente - ∞; 2, čo je otvorený nosník. Vieme, že funkcia na nej bude klesať, to znamená, že derivácia tejto funkcie bude záporná.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Potom v prípadoch, keď sa argument zmení smerom k mínus nekonečnu, sa hodnoty funkcie asymptoticky priblížia k 1. Ak sa hodnoty x zmenia z mínus nekonečna na 2, potom sa hodnoty znížia z 1 na mínus nekonečno, t.j. funkcia na tomto segmente bude nadobúdať hodnoty z intervalu - ∞; 1. Z našich úvah vylučujeme jednotu, pretože hodnoty funkcie ju nedosahujú, ale iba asymptoticky sa k nej približujú.

Pre otvorený nosník 2; + ∞ vykonávame presne tie isté akcie. Funkcia na ňom tiež klesá:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Hodnoty funkcie na danom segmente sú určené množinou 1; + ∞ . To znamená, že rozsah hodnôt, ktoré potrebujeme pre funkciu špecifikovanú v podmienke, bude zjednotením množín - ∞ ; 1 a 1; + ∞ .

odpoveď: E (y) = - ∞; 1*1; + ∞ .

Toto je možné vidieť na grafe:

Špeciálnym prípadom sú periodické funkcie. Ich rozsah hodnôt sa zhoduje s množinou hodnôt v intervale, ktorý zodpovedá obdobiu tejto funkcie.

Príklad 8

podmienka: určiť rozsah hodnôt sínus y = sin x.

Riešenie

Sínus je periodická funkcia a jej perióda je 2 pi. Vezmite segment 0; 2 π a uvidíte, aká bude množina hodnôt na ňom.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

V rámci 0 ; 2 π funkcia bude mať extrémne body π 2 a x = 3 π 2 . Vypočítajme, čomu sa v nich budú rovnať funkčné hodnoty, ako aj na hraniciach segmentu, a potom vyberieme najväčšiu a najmenšiu hodnotu.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1

odpoveď: E (sin x) = -1; 1.

Ak potrebujete poznať rozsahy funkcií, ako je mocnina, exponenciálna, logaritmická, goniometrická, inverzná goniometrická, odporúčame vám znova si prečítať článok o základných elementárnych funkciách. Teória, ktorú tu uvádzame, nám umožňuje overiť hodnoty tam uvedené. Je vhodné sa ich naučiť, pretože sa často vyžadujú pri riešení problémov. Ak poznáte rozsahy základných funkcií, môžete ľahko nájsť rozsahy funkcií, ktoré sú získané z elementárnych pomocou geometrickej transformácie.

Príklad 9

podmienka: určiť rozsah hodnôt y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Riešenie

Vieme, že segment od 0 do pi je rozsah kosínusu oblúka. Inými slovami, E (a rc cos x) = 0; π alebo 0 ≤ a rc cos x ≤ π . Funkciu a r c cos x 3 + 5 π 7 dostaneme z arkuskosínusu jeho posunutím a natiahnutím pozdĺž osi O x, ale takéto transformácie nám nič nedajú. To znamená 0 ​​≤ a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .

Funkciu 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 možno získať z arc cosínusu a r c cos x 3 + 5 π 7 natiahnutím pozdĺž osi y, t.j. 0 ≤ 3 a rc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π. Konečnou transformáciou je posun pozdĺž osi O y o 4 hodnoty. Výsledkom je dvojitá nerovnosť:

0 - 4 ≤ 3 arc cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Zistili sme, že rozsah hodnôt, ktoré potrebujeme, sa bude rovnať E (y) = - 4; 3 π-4.

odpoveď: E(y) = -4; 3 π-4.

Ďalší príklad napíšeme bez vysvetlenia, pretože je úplne podobný predchádzajúcemu.

Príklad 10

podmienka: vypočítajte, aký bude rozsah funkcie y = 2 2 x - 1 + 3.

Riešenie

Prepíšme funkciu zadanú v podmienke ako y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3. Pre mocninovú funkciu y = x - 1 2 bude rozsah hodnôt definovaný na intervale 0; + ∞, t.j. x-12 > 0. V tomto prípade:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Takže E(y) = 3; + ∞ .

odpoveď: E(y) = 3; + ∞ .

Teraz sa pozrime na to, ako nájsť rozsah hodnôt funkcie, ktorá nie je spojitá. Aby sme to dosiahli, musíme rozdeliť celú oblasť na intervaly a nájsť sady hodnôt v každom z nich a potom to, čo získame, spojiť. Aby ste tomu lepšie porozumeli, odporúčame vám prečítať si hlavné typy bodov prerušenia funkcií.

Príklad 11

podmienka: daná funkciou y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Vypočítajte jeho rozsah hodnôt.

Riešenie

Táto funkcia je definovaná pre všetky hodnoty x. Analyzujme to z hľadiska kontinuity s hodnotami argumentu rovnými - 3 a 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 hriech x 2 - 4 = 2 hriech - 3 2 - 4 = - 2 hriech 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Máme neodstrániteľnú diskontinuitu prvého druhu, keď je hodnota argumentu - 3. Keď sa k tomu priblížime, hodnoty funkcie majú tendenciu k -2 sin 3 2 - 4 a keď x má tendenciu k -3 na pravej strane, hodnoty budú mať tendenciu k -1.

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

V bode 3 máme neodstrániteľnú diskontinuitu druhého druhu. Keď má funkcia tendenciu k nej, jej hodnoty sa blížia - 1, keď smeruje k rovnakému bodu vpravo - k mínus nekonečnu.

To znamená, že celý definičný obor tejto funkcie je rozdelený na 3 intervaly (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

V prvom z nich sme dostali funkciu y = 2 sin x 2 - 4. Pretože - 1 ≤ sin x ≤ 1, dostaneme:

1 ≤ hriech x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

To znamená, že na danom intervale (- ∞ ; - 3 ] je množina funkčných hodnôt [ - 6 ; 2 ] .

Na polovičnom intervale (- 3; 3 ] je výsledkom konštantná funkcia y = - 1. Následne sa celá množina jej hodnôt v tomto prípade zredukuje na jedno číslo - 1.

V druhom intervale 3; + ∞ máme funkciu y = 1 x - 3 . Klesá, pretože y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

To znamená, že množina hodnôt pôvodnej funkcie pre x > 3 je množina 0; + ∞ . Teraz spojme výsledky: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞ .

odpoveď: E(y) = -6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0; + ∞ .

Riešenie je znázornené v grafe:

Príklad 12

Podmienka: existuje funkcia y = x 2 - 3 e x. Určte množinu jeho hodnôt.

Riešenie

Je definovaný pre všetky hodnoty argumentov, ktoré sú skutočnými číslami. Určme, v ktorých intervaloch bude táto funkcia narastať a v ktorých bude klesať:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Vieme, že derivácia bude 0, ak x = - 1 a x = 3. Umiestnime tieto dva body na os a zistíme, aké znamienka bude mať derivácia na výsledných intervaloch.

Funkcia sa zníži o (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞ ) a zvýši o [ - 1 ; 3]. Minimálny bod bude - 1, maximálny - 3.

Teraz nájdime zodpovedajúce hodnoty funkcií:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Pozrime sa na správanie funkcie v nekonečne:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Na výpočet druhého limitu sa použilo L'Hopitalovo pravidlo. Znázornime si priebeh nášho riešenia na grafe.

Ukazuje, že hodnoty funkcie sa znížia z plus nekonečna na -2 e, keď sa argument zmení z mínus nekonečna na -1. Ak sa zmení z 3 na plus nekonečno, hodnoty sa znížia z 6 e - 3 na 0, ale 0 sa nedosiahne.

Teda E(y) = [-2e; + ∞).

odpoveď: E(y) = [-2e; + ∞)

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov.

Definícia: Ak je každé číslo z určitej množiny x spojené s jedným číslom y, potom hovoria, že na tejto množine je definovaná funkcia y(x). V tomto prípade sa x nazýva nezávislá premenná alebo argument a y sa nazýva závislá premenná alebo hodnota funkcie alebo jednoducho funkcia.

Premenná y je tiež funkciou premennej x.

Po označení zhody písmenom, napríklad f, je vhodné napísať: y=f (x), čiže hodnotu y získame z argumentu x pomocou zhody f. (Prečítajte si: y sa rovná f z x.) Symbol f (x) označuje hodnotu funkcie zodpovedajúcu hodnote argumentu rovnajúcej sa x.

Príklad 1 Nech je funkcia daná vzorcom y=2x 2 –6. Potom môžeme napísať, že f(x)=2x 2 –6. Nájdite hodnoty funkcie pre hodnoty x rovné napríklad 1; 2,5;–3; t.j. nájdeme f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=212 –6=–4;
f(2,5)=2 2,52-6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Všimnite si, že v zápise tvaru y=f (x) sa namiesto f používajú iné písmená: g atď.

Definícia: Oblasť funkcie sú všetky hodnoty x, pre ktoré funkcia existuje.

Ak je funkcia špecifikovaná vzorcom a jej doména definície nie je špecifikovaná, potom sa doména definície funkcie považuje za pozostávajúcu zo všetkých hodnôt argumentu, pre ktoré má vzorec zmysel.

Inými slovami, doménou funkcie danej vzorcom sú všetky hodnoty argumentu okrem tých, ktorých výsledkom sú akcie, ktoré nemôžeme vykonať. V súčasnosti poznáme len dve takéto akcie. Nemôžeme deliť nulou a nemôžeme brať druhú odmocninu zo záporného čísla.

Definícia: Všetky hodnoty, ktoré závislá premenná tvorí rozsah funkcie.

Oblasť definície funkcie popisujúcej reálny proces závisí od konkrétnych podmienok jej výskytu. Napríklad závislosť dĺžky l železnej tyče od teploty ohrevu t je vyjadrená vzorcom, kde l 0 je počiatočná dĺžka tyče a je lineárny koeficient rozťažnosti. Tento vzorec má zmysel pre akékoľvek hodnoty t. Definičný obor funkcie l=g(t) je však interval niekoľkých desiatok stupňov, pre ktorý platí zákon lineárnej expanzie.

Príklad.

Zadajte rozsah funkcií y = arcsinx.

Riešenie.

Definičnou doménou arcsínusu je segment [-1; 1] . Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na tomto segmente.

Derivát je pozitívny pre každého X z intervalu (-1; 1) , to znamená, že funkcia arcsínus sa zvyšuje v celej oblasti definície. Preto má najmenšiu hodnotu kedy x = -1, a najväčší na x = 1.

Získali sme rozsah funkcie arcsínus .

Nájdite množinu funkčných hodnôt na segmente .

Riešenie.

Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie na danom segmente.

Určme extrémne body patriace segmentu :