Zo školských hodín matematiky si každý pamätá sínusový graf tiahnuci sa do diaľky v rovnomerných vlnách. Mnoho ďalších funkcií má podobnú vlastnosť - opakovanie po určitom intervale. Nazývajú sa periodické. Periodicita je veľmi dôležitá vlastnosť funkcie, s ktorou sa často stretávame pri rôznych úlohách. Preto je užitočné vedieť určiť, či je funkcia periodická.

Inštrukcie

• Ak je F(x) funkciou argumentu x, potom sa nazýva periodický, ak existuje číslo T také, že pre ľubovoľné x platí F(x + T) = F(x). Toto číslo T sa nazýva perióda funkcie. Období môže byť niekoľko. Napríklad funkcia F = const nadobúda rovnakú hodnotu pre akúkoľvek hodnotu argumentu, a preto za jej periódu možno považovať akékoľvek číslo.Matematikov zvyčajne zaujíma najmenšia nenulová perióda funkcie. Pre stručnosť sa tomu hovorí jednoducho obdobie.
• Klasickým príkladom periodických funkcií je goniometrické: sínus, kosínus a tangens. Ich perióda je rovnaká a rovná sa 2π, to znamená sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) atď. Samozrejme, goniometrické funkcie nie sú jediné periodické.
• V prípade jednoduchých základných funkcií je jediným spôsobom, ako určiť, či sú periodické alebo neperiodické, pomocou výpočtu. Ale pre zložité funkcie už existuje niekoľko jednoduchých pravidiel.
• Ak je F(x) periodická funkcia s periódou T a je pre ňu definovaná derivácia, potom táto derivácia f(x) = F′(x) je tiež periodická funkcia s periódou T. Koniec koncov, hodnota derivácia v bode x sa rovná dotyčnici grafu dotyčnicového uhla jej primitívnej derivácie v tomto bode k osi x, a keďže primitívna derivácia sa periodicky opakuje, derivácia sa musí tiež opakovať. Napríklad derivácia funkcie sin(x) sa rovná cos(x) a je periodická. Ak vezmete derivát cos(x), získate –sin(x). Frekvencia zostáva nezmenená, opak však nie je vždy pravdou. Funkcia f(x) = const je teda periodická, ale jej primitívna funkcia F(x) = const*x + C nie je.
• Ak F(x) je periodická funkcia s periódou T, potom G(x) = a*F(kx + b), kde a, b, a k sú konštanty a k sa nerovná nule - je tiež periodická funkcia , a jej obdobie je T/k. Napríklad sin(2x) je periodická funkcia a jej perióda je π. Vizuálne to možno znázorniť takto: vynásobením x nejakým číslom sa zdá, že graf funkcie horizontálne stlačíte presne toľkokrát
• Ak sú F1(x) a F2(x) periodické funkcie a ich periódy sa rovnajú T1 a T2, potom súčet týchto funkcií môže byť tiež periodický. Jeho obdobie však nebude jednoduchým súčtom období T1 a T2. Ak je výsledkom delenia T1/T2 racionálne číslo, potom súčet funkcií je periodický a jeho perióda sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku (LCM) periód T1 a T2. Ak je napríklad perióda prvej funkcie 12 a perióda druhej 15, potom sa perióda ich súčtu bude rovnať LCM (12, 15) = 60. Vizuálne to možno znázorniť takto: funkcie prichádzajú s rôznymi „šírkami krokov“, ale ak je pomer ich šírok racionálny, potom sa skôr alebo neskôr (alebo skôr presne prostredníctvom LCM krokov) opäť zrovnajú a ich súčet začne nové obdobie.
• Ak je však pomer období iracionálny, potom celková funkcia nebude vôbec periodická. Napríklad nech F1(x) = x mod 2 (zvyšok, keď x je delené 2) a F2(x) = sin(x). T1 sa tu bude rovnať 2 a T2 sa bude rovnať 2π. Pomer periód sa rovná π - iracionálne číslo. Preto funkcia sin(x) + x mod 2 nie je periodická.

Zo školských hodín matematiky si každý pamätá sínusový graf tiahnuci sa do diaľky v rovnomerných vlnách. Mnoho ďalších funkcií má podobnú vlastnosť - opakovanie v určitom intervale. Nazývajú sa periodické. Periodicita je veľmi významná kvalita funkcie, ktorá sa často vyskytuje v rôznych úlohách. V dôsledku toho je výhodné vedieť určiť, či je funkcia periodická.

Inštrukcie

1. Ak je F(x) funkciou argumentu x, potom sa nazýva periodický, ak existuje číslo T také, že pre každé x platí F(x + T) = F(x). Toto číslo T sa nazýva perióda funkcie. Období môže byť niekoľko. Povedzme, že funkcia F = const má rovnakú hodnotu pre všetky hodnoty argumentu, a preto za jej periódu možno považovať akékoľvek číslo. Matematika sa tradične zaoberá minimálnou nenulovou periódou funkcie. Pre stručnosť sa to nazýva primitívne obdobie.

2. Typickým príkladom periodických funkcií je goniometrické: sínus, kosínus a tangens. Ich perióda je identická a rovná sa 2?, teda sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) atď. Samozrejme, goniometrické funkcie nie sú výlučne periodické.

3. Pokiaľ ide o primitívne, základné funkcie, jedinou metódou na určenie ich periodicity alebo neperiodicity sú výpočty. Ale pre zložité funkcie už existuje niekoľko primitívnych pravidiel.

4. Ak F(x) je periodická funkcia s periódou T a je pre ňu definovaná derivácia, potom táto derivácia f(x) = F?(x) je tiež periodická funkcia s periódou T. Hodnota derivácie v bode x sa rovná dotyčnici tangensového uhla grafu jeho primitívnej derivácie v tomto bode k osi x, a keďže primitívna derivácia sa periodicky opakuje, derivácia sa musí tiež opakovať. Povedzme, že derivácia funkcie sin(x) sa rovná cos(x) a je periodická. Ak vezmete derivát cos(x), získate –sin(x). Periodicita zostáva konštantná, opak však nie vždy platí. Funkcia f(x) = const je teda periodická, ale jej primitívna funkcia F(x) = const*x + C nie je.

5. Ak F(x) je periodická funkcia s periódou T, potom G(x) = a*F(kx + b), kde a, b, a k sú konštanty a k sa nerovná nule - je tiež periodická funkcia , a jej obdobie je T/k. Povedzme, že sin(2x) je periodická funkcia a jej perióda sa rovná?. Vizuálne to možno znázorniť takto: vynásobením x ľubovoľným číslom sa zdá, že graf funkcie horizontálne stlačíte presne toľkokrát

6. Ak sú F1(x) a F2(x) periodické funkcie a ich periódy sa rovnajú T1 a T2, potom súčet týchto funkcií môže byť tiež periodický. Jeho obdobie však nebude jednoduchým súčtom období T1 a T2. Ak je výsledkom delenia T1/T2 primerané číslo, potom súčet funkcií je periodický a jeho perióda sa rovná najmenšiemu univerzálnemu násobku (LCM) periód T1 a T2. Povedzme, že ak je perióda prvej funkcie 12 a perióda 2. je 15, potom sa perióda ich súčtu bude rovnať LCM (12, 15) = 60. Vizuálne to možno znázorniť takto: funkcie prichádzajú s rôznymi „šírkami krokov“, ale ak je pomer ich šírky zmysluplný, potom sa skôr alebo neskôr (alebo skôr presne prostredníctvom LCM krokov) opäť zrovnajú a ich súčet začne nové obdobie.

7. Ak je však pomer období iracionálny, potom celková funkcia nebude vôbec periodická. Povedzme, že F1(x) = x mod 2 (zvyšok delenia x 2) a F2(x) = sin(x). T1 sa tu bude rovnať 2 a T2 sa bude rovnať 2?. Je pomer období rovnaký? - iracionálne číslo. V dôsledku toho funkcia sin(x) + x mod 2 nie je periodická.

Mnohé matematické funkcie majú jednu špecifickú vlastnosť, ktorá uľahčuje ich zostavenie – toto je periodicita, teda opakovateľnosť grafu na súradnicovej sieti v rovnakých intervaloch.

Inštrukcie

1. Najznámejšie periodické funkcie v matematike sú sínus a kosínus. Tieto funkcie majú vlnovú povahu a pivotnú periódu rovnajúcu sa 2P. Tiež špeciálny prípad periodickej funkcie je f(x)=konšt. Na pozíciu x sa zmestí ľubovoľné číslo, táto funkcia nemá hlavnú bodku, pretože ide o priamku.

2. Vo všeobecnosti je funkcia periodická, ak existuje celé číslo N, ktoré je nenulové a spĺňa pravidlo f(x)=f(x+N), čím sa zabezpečí opakovateľnosť. Periódou funkcie je najmenšie číslo N, ale nie nula. To znamená, že funkcia sin x sa rovná funkcii sin (x+2ПN), kde N=±1, ±2 atď.

3. Príležitostne môže mať funkcia násobiteľ (povedzme sin 2x), ktorý zvýši alebo zníži periódu funkcie. Aby bolo možné zistiť obdobie podľa grafika, musíte určiť extrémy funkcie - najvyššie a najnižšie body grafu funkcie. Pretože sínusové a kosínusové vlny majú vlnovú povahu, je to celkom jednoduché. Z týchto bodov zostrojte kolmé priame čiary, kým sa nepretnú s osou X.

4. Vzdialenosť od horného extrému k spodnému bude polovica periódy funkcie. Pre každého je pohodlnejšie vypočítať obdobie od priesečníka grafu s osou Y a podľa toho nulovú značku na osi x. Potom musíte vynásobiť výslednú hodnotu dvoma a získať pivotnú periódu funkcie.

5. Aby ste uľahčili vykresľovanie sínusových a kosínusových kriviek, musíte si uvedomiť, že ak má funkcia celočíselné hodnoty, jej perióda sa predĺži (to znamená, že 2P sa musí vynásobiť týmto indikátorom) a graf bude vyzerať jemnejší a hladší. ; a ak je číslo zlomkové, naopak, bude klesať a graf bude „ostrejší“ a bude vyzerať ako skok.

Video k téme

Inštrukcie

Najmenej pozitívne obdobie kosínus sa tiež rovná 2?. Zvážte to dôkazom na príklade funkcie y=cos(x). Ak je T ľubovoľné obdobie om kosínus, potom cos(a+T)=cos(a). V prípade, že a=0, cos(T)=cos(0)=1. Vzhľadom na to je najmenšia kladná hodnota T, pri ktorej cos(x) = 1, 2?.

Vzhľadom na skutočnosť, že 2? – obdobie sínus a kosínus, bude tiež obdobie ohm kotangens, rovnako ako dotyčnica, ale nie minimálna, pretože, ako je najmenší klad obdobie dotyčnica a kotangens sú rovnaké?. Môžete to overiť zvážením nasledujúceho: body zodpovedajúce (x) a (x+?) na trigonometrickej kružnici majú diametrálne opačné polohy. Vzdialenosť od bodu (x) k bodu (x+2?) zodpovedá polovici kruhu. Podľa definície tangens a kotangens tg(x+?)=tgx a ctg(x+?)=ctgx, čo znamená najmenší kladný obdobie kotangens a ?.

Poznámka

Nezamieňajte funkcie y=cos(x) a y=sin(x) - majúce rovnakú bodku, tieto funkcie sú reprezentované odlišne.

Užitočné rady

Pre väčšiu prehľadnosť nakreslite goniometrickú funkciu, pre ktorú je vypočítaná najmenšia kladná perióda.

Zdroje:

• Príručka matematiky, školská matematika, vyššia matematika

Trigonometrické funkcie periodické, to znamená, že sa po určitom období opakujú. Vďaka tomu stačí naštudovať funkciu na tomto intervale a zistené vlastnosti rozšíriť na všetky ďalšie obdobia.

Inštrukcie

Ak chcete nájsť periódu goniometrickej funkcie umocnenej na mocninu, vyhodnoťte paritu mocniny. Skrátiť štandardnú lehotu na polovicu. Napríklad, ak dostanete funkciu y=3 cos^2x, potom sa štandardná perióda 2P zníži 2-krát, takže perióda sa bude rovnať P. Upozorňujeme, že funkcie tg, ctg sú periodické k P až ľubovoľnému stupňa.

Zo školských hodín matematiky si každý pamätá sínusový graf tiahnuci sa do diaľky v rovnomerných vlnách. Mnoho ďalších funkcií má podobnú vlastnosť - opakovanie po určitom intervale. Nazývajú sa periodické. Periodicita je veľmi dôležitá vlastnosť funkcie, s ktorou sa často stretávame pri rôznych úlohách. Preto je užitočné vedieť určiť, či je funkcia periodická.

Inštrukcie

Ak je F(x) funkciou argumentu x, potom sa nazýva periodický, ak existuje číslo T také, že pre ľubovoľné x platí F(x + T) = F(x). Toto číslo T sa nazýva perióda funkcie.

Období môže byť niekoľko. Napríklad funkcia F = const nadobúda rovnakú hodnotu pre akúkoľvek hodnotu argumentu, a preto za jej bodku možno považovať akékoľvek číslo.

Matematikov zvyčajne zaujíma najmenšia nenulová perióda funkcie. Pre stručnosť sa tomu hovorí jednoducho obdobie.

Klasickým príkladom periodických funkcií je goniometrické: sínus, kosínus a tangens. Ich perióda je rovnaká a rovná sa 2?, teda sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) atď. Samozrejme, goniometrické funkcie nie sú jediné periodické.

V prípade jednoduchých základných funkcií je jediným spôsobom, ako určiť, či sú periodické alebo neperiodické, pomocou výpočtu. Ale pre zložité funkcie už existuje niekoľko jednoduchých pravidiel.

Ak je F(x) periodická funkcia s periódou T a je pre ňu definovaná derivácia, potom táto derivácia f(x) = F?(x) je tiež periodická funkcia s periódou T. Koniec koncov, hodnota derivácia v bode x sa rovná dotyčnici grafu dotyčnicového uhla jej primitívnej derivácie v tomto bode k osi x, a keďže primitívna derivácia sa periodicky opakuje, derivácia sa musí tiež opakovať. Napríklad derivácia funkcie sin(x) sa rovná cos(x) a je periodická. Ak vezmete derivát cos(x), získate –sin(x). Frekvencia zostáva nezmenená.

Opak však nie je vždy pravdou. Funkcia f(x) = const je teda periodická, ale jej primitívna funkcia F(x) = const*x + C nie je.

Ak F(x) je periodická funkcia s periódou T, potom G(x) = a*F(kx + b), kde a, b, a k sú konštanty a k sa nerovná nule - je tiež periodická funkcia , a jej obdobie je T/k. Napríklad sin(2x) je periodická funkcia a jej perióda sa rovná?. Vizuálne to možno znázorniť takto: vynásobením x nejakým číslom sa zdá, že graf funkcie horizontálne stlačíte presne toľkokrát

Ak sú F1(x) a F2(x) periodické funkcie a ich periódy sa rovnajú T1 a T2, potom súčet týchto funkcií môže byť tiež periodický. Jeho obdobie však nebude jednoduchým súčtom období T1 a T2. Ak je výsledkom delenia T1/T2 racionálne číslo, potom súčet funkcií je periodický a jeho perióda sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku (LCM) periód T1 a T2. Napríklad, ak je perióda prvej funkcie 12 a perióda druhej 15, potom sa perióda ich súčtu bude rovnať LCM (12, 15) = 60.

Vizuálne to možno znázorniť takto: funkcie prichádzajú s rôznymi „šírkami krokov“, ale ak je pomer ich šírok racionálny, potom sa skôr alebo neskôr (alebo skôr presne prostredníctvom LCM krokov) opäť zrovnajú a ich súčet začne nové obdobie.

Ak je však pomer období iracionálny, potom celková funkcia nebude vôbec periodická. Napríklad nech F1(x) = x mod 2 (zvyšok, keď x je delené 2) a F2(x) = sin(x). T1 sa tu bude rovnať 2 a T2 sa bude rovnať 2?. Je pomer období rovnaký? - iracionálne číslo. Preto funkcia sin(x) + x mod 2 nie je periodická.

Mnohé matematické funkcie majú jednu vlastnosť, ktorá uľahčuje ich konštrukciu: periodicita, teda opakovateľnosť grafu na súradnicovej sieti v pravidelných intervaloch.

Inštrukcie

Najznámejšie periodické funkcie v matematike sú funkcie sínus a kosínus. Tieto funkcie majú vlnový charakter a hlavnú periódu 2P. Tiež špeciálny prípad periodickej funkcie je f(x)=konšt. Pre pozíciu x je vhodné ľubovoľné číslo, táto funkcia nemá hlavnú bodku, keďže ide o priamku.

Vo všeobecnosti je funkcia periodická, ak existuje celé číslo N, ktoré je nenulové a spĺňa pravidlo f(x)=f(x+N), čím sa zabezpečí opakovateľnosť. Periódou funkcie je najmenšie číslo N, ale nie nula. To znamená, že napríklad funkcia sin x sa rovná funkcii sin (x+2ПN), kde N=±1, ±2 atď.

Niekedy môže mať funkcia multiplikátor (napríklad sin 2x), ktorý zvýši alebo zníži periódu funkcie. Ak chcete nájsť obdobie podľa grafika, je potrebné určiť extrémy funkcie - najvyššie a najnižšie body grafu funkcie. Keďže sínusové a kosínusové vlny majú vlnovú povahu, je to celkom jednoduché. Z týchto bodov zostrojte kolmé priame čiary, kým sa nepretnú s osou X.

Vzdialenosť od horného extrému k spodnému bude polovica periódy funkcie. Najpohodlnejšie je vypočítať periódu od priesečníka grafu s osou Y a podľa toho nulovú značku na osi x. Potom musíte vynásobiť výslednú hodnotu dvoma a získať hlavnú periódu funkcie.

Pre zjednodušenie konštrukcie sínusových a kosínusových grafov si treba uvedomiť, že ak má funkcia celočíselnú hodnotu, tak sa jej perióda predĺži (to znamená, že 2P treba vynásobiť týmto koeficientom) a graf bude vyzerať jemnejší, hladší – a ak je číslo zlomkové, naopak, bude klesať a graf bude „ostrejší“ a má skákavý vzhľad.

Ako študovať funkciu a zostaviť jej graf?

Zdá sa, že začínam chápať duchovne bystrú tvár vodcu svetového proletariátu, autora súhrnných diel v 55 zväzkoch... Dlhá cesta začala základnými informáciami o funkcie a grafy, a teraz práca na téme náročnej na prácu končí logickým výsledkom - článkom o kompletnom štúdiu funkcie. Dlho očakávaná úloha je formulovaná takto:

Študujte funkciu pomocou metód diferenciálneho počtu a vytvorte jej graf na základe výsledkov štúdie

Alebo v skratke: preskúmajte funkciu a vytvorte graf.

Prečo skúmať? V jednoduchých prípadoch pre nás nebude ťažké pochopiť elementárne funkcie a nakresliť graf získaný pomocou elementárne geometrické transformácie a tak ďalej. Vlastnosti a grafické znázornenia zložitejších funkcií však zďaleka nie sú zrejmé, a preto je potrebná celá štúdia.

Hlavné kroky riešenia sú zhrnuté v referenčnom materiáli Schéma štúdie funkcií, toto je váš sprievodca sekciou. Figuríny potrebujú vysvetlenie témy krok za krokom, niektorí čitatelia nevedia, kde začať alebo ako si zorganizovať výskum, a pokročilých študentov môže zaujímať len niekoľko bodov. Ale kto ste, milý návštevník, navrhované zhrnutie s ukazovateľmi na rôzne lekcie vás rýchlo zorientuje a nasmeruje v smere záujmu. Roboti ronia slzy =) Návod bol zostavený ako súbor pdf a zaujal svoje právoplatné miesto na stránke Matematické vzorce a tabuľky.

Som zvyknutý rozdeliť prieskum funkcie do 5-6 bodov:

6) Ďalšie body a graf na základe výsledkov výskumu.

Pokiaľ ide o záverečnú akciu, myslím si, že je všetkým jasné - bude veľkým sklamaním, ak sa v priebehu niekoľkých sekúnd prečiarkne a úloha sa vráti na prepracovanie. SPRÁVNY A PRESNÝ NÁKRES je hlavným výsledkom riešenia! Pravdepodobne „zakryje“ analytické chyby, zatiaľ čo nesprávny a/alebo nedbalý harmonogram spôsobí problémy aj pri dokonale vykonanej štúdii.

Treba poznamenať, že v iných zdrojoch sa počet výskumných bodov, poradie ich implementácie a štýl dizajnu môžu výrazne líšiť od schémy, ktorú som navrhol, ale vo väčšine prípadov je to úplne postačujúce. Najjednoduchšia verzia problému pozostáva iba z 2-3 etáp a je formulovaná asi takto: „preskúmajte funkciu pomocou derivácie a vytvorte graf“ alebo „preskúmajte funkciu pomocou 1. a 2. derivácie, zostavte graf“.

Prirodzene, ak váš manuál podrobne popisuje iný algoritmus alebo váš učiteľ striktne vyžaduje, aby ste sa držali jeho prednášok, budete musieť v riešení urobiť nejaké úpravy. Nie je to o nič zložitejšie ako vymeniť vidlicu reťazovej píly za lyžicu.

Skontrolujeme funkciu pre párne/nepárne:

Nasleduje vzorová odpoveď:
, čo znamená, že táto funkcia nie je párna ani nepárna.

Keďže funkcia je spojitá na , neexistujú žiadne vertikálne asymptoty.

Neexistujú ani šikmé asymptoty.

Poznámka : Pripomínam, že čím vyššie poradie rastu, než , preto konečný limit je presne „ plus nekonečno."

Poďme zistiť, ako sa funkcia správa v nekonečne:

Inými slovami, ak ideme doprava, potom graf ide nekonečne ďaleko nahor, ak ideme doľava, ide nekonečne ďaleko nadol. Áno, pod jedným záznamom sú aj dva limity. Ak máte problémy s dešifrovaním znakov, navštívte lekciu o nekonečne malé funkcie.

Takže funkcia nie je zhora obmedzený A nie je obmedzená zdola. Vzhľadom na to, že nemáme žiadne body zlomu, je to jasné funkčný rozsah: – aj ľubovoľné reálne číslo.

UŽITOČNÁ TECHNICKÁ TECHNIKA

Každá etapa úlohy prináša nové informácie o grafe funkcie, preto je pri riešení vhodné použiť akýsi LAYOUT. Nakreslíme na výkres karteziánsky súradnicový systém. Čo je už s určitosťou známe? Po prvé, graf nemá žiadne asymptoty, preto nie je potrebné kresliť priame čiary. Po druhé, vieme, ako sa funkcia správa v nekonečne. Podľa analýzy nakreslíme prvú aproximáciu:

Upozorňujeme, že z dôvodu kontinuita zapnutá funkcia a skutočnosť, že graf musí aspoň raz prejsť cez os. Alebo možno existuje niekoľko priesečníkov?

3) Nuly funkcie a intervaly konštantného znamienka.

Najprv nájdime priesečník grafu so súradnicovou osou. Je to jednoduché. Je potrebné vypočítať hodnotu funkcie pri:

Jeden a pol nad morom.

Aby sme našli priesečníky s osou (nuly funkcie), musíme vyriešiť rovnicu a tu nás čaká nemilé prekvapenie:

Na konci číha voľný člen, čo značne sťažuje úlohu.

Takáto rovnica má aspoň jeden skutočný koreň a najčastejšie je tento koreň iracionálny. V najhoršej rozprávke nás čakajú tri prasiatka. Rovnica je riešiteľná pomocou tzv Cardano vzorce, no poškodenie papiera je porovnateľné s takmer celou štúdiou. V tomto ohľade je rozumnejšie pokúsiť sa vybrať aspoň jeden, či už slovne alebo v koncepte. celý koreň. Pozrime sa, či sú tieto čísla:
- nevhodný;
- Existuje!

Šťastie tu. V prípade zlyhania môžete tiež otestovať a ak tieto čísla nebudú sedieť, obávam sa, že existuje veľmi malá šanca na ziskové riešenie rovnice. Potom je lepšie bod výskumu úplne preskočiť - možno sa niečo vyjasní v poslednom kroku, keď sa prelomia ďalšie body. A ak sú korene jasne „zlé“, potom je lepšie skromne mlčať o intervaloch stálosti znakov a kresliť opatrnejšie.

Máme však krásny koreň, preto polynóm rozdelíme bez zvyšku:

Algoritmus delenia polynómu polynómom je podrobne diskutovaný v prvom príklade lekcie Komplexné limity.

Výsledkom je ľavá strana pôvodnej rovnice rozkladá sa na produkt:

A teraz trochu o zdravom životnom štýle. Tomu, samozrejme, rozumiem kvadratické rovnice treba riešiť každý deň, ale dnes urobíme výnimku: rovnicu má dva skutočné korene.

Nájdené hodnoty nakreslíme na číselnú os A intervalová metóda Definujme znaky funkcie:


Teda v intervaloch rozpis sa nachádza
pod osou x a v intervaloch – nad touto osou.

Zistenia nám umožňujú spresniť naše rozloženie a druhá aproximácia grafu vyzerá takto:

Upozorňujeme, že funkcia musí mať aspoň jedno maximum v intervale a aspoň jedno minimum v intervale. Zatiaľ však nevieme, koľkokrát, kde a kedy sa bude plán opakovať. Mimochodom, funkcia môže mať nekonečne veľa extrémy.

4) Zvyšovanie, znižovanie a extrémy funkcie.

Poďme nájsť kritické body:

Táto rovnica má dva skutočné korene. Položme ich na číselnú os a určme znamienka derivácie:


Preto sa funkcia zvyšuje o a zníži sa o .
V okamihu, keď funkcia dosiahne svoje maximum: .
V tomto bode funkcia dosiahne minimum: .

Zavedené fakty posúvajú našu šablónu do pomerne pevného rámca:

Netreba dodávať, že diferenciálny počet je silná vec. Poďme konečne pochopiť tvar grafu:

5) Konvexnosť, konkávnosť a inflexné body.

Nájdite kritické body druhej derivácie:

Definujme znaky:


Graf funkcie je konvexný na a konkávny na . Vypočítajme súradnicu inflexného bodu: .

Takmer všetko sa vyjasnilo.

6) Zostáva nájsť ďalšie body, ktoré vám pomôžu presnejšie zostaviť graf a vykonať autotest. V tomto prípade je ich málo, ale nezanedbávame ich:

Urobme výkres:

Inflexný bod je označený zelenou farbou, ďalšie body sú označené krížikmi. Graf kubickej funkcie je symetrický okolo jej inflexného bodu, ktorý je vždy presne v strede medzi maximom a minimom.

Ako úloha postupovala, poskytol som tri hypotetické predbežné výkresy. V praxi stačí nakresliť súradnicovú sústavu, označiť nájdené body a po každom bode skúmania v duchu odhadnúť, ako by mohol vyzerať graf funkcie. Pre študentov s dobrou úrovňou prípravy nebude ťažké vykonať takúto analýzu iba vo svojej hlave bez toho, aby zahŕňali návrh.

Aby ste to vyriešili sami:

Príklad 2

Preskúmajte funkciu a vytvorte graf.

Všetko je tu rýchlejšie a zábavnejšie, približná ukážka finálneho dizajnu na konci hodiny.

Štúdium frakčných racionálnych funkcií odhaľuje mnohé tajomstvá:

Príklad 3

Na štúdium funkcie použite metódy diferenciálneho počtu a na základe výsledkov štúdie vytvorte jej graf.

Riešenie: prvá etapa štúdie sa nevyznačuje ničím pozoruhodným, s výnimkou diery v oblasti definície:

1) Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi okrem bodu, domény: .

, čo znamená, že táto funkcia nie je párna ani nepárna.

Je zrejmé, že funkcia je neperiodická.

Graf funkcie predstavuje dve súvislé vetvy umiestnené v ľavej a pravej polrovine – to je snáď najdôležitejší záver bodu 1.

2) Asymptoty, správanie sa funkcie v nekonečne.

a) Pomocou jednostranných limitov skúmame správanie funkcie v blízkosti podozrivého bodu, kde by jednoznačne mala byť vertikálna asymptota:

Funkcie skutočne vydržia nekonečná medzera v bode
a priamka (os) je vertikálna asymptota grafické umenie.

b) Skontrolujte, či existujú šikmé asymptoty:

Áno, je to priame šikmá asymptota grafika , ak .

Nemá zmysel analyzovať limity, pretože už je jasné, že funkcia zahŕňa svoju šikmú asymptotu nie je zhora obmedzený A nie je obmedzená zdola.

Druhý výskumný bod priniesol veľa dôležitých informácií o funkcii. Urobme si hrubý náčrt:

Záver č. 1 sa týka intervalov konštantného znamienka. Pri „mínus nekonečne“ je graf funkcie jasne umiestnený pod osou x a pri „plus nekonečne“ je nad touto osou. Jednostranné limity nám navyše povedali, že vľavo aj vpravo od bodu je funkcia tiež väčšia ako nula. Upozorňujeme, že v ľavej polrovine musí graf aspoň raz pretínať os x. V pravej polrovine nesmú byť žiadne nuly funkcie.

Záver č. 2 je, že funkcia sa zvyšuje na a naľavo od bodu (prechádza „zdola nahor“). Napravo od tohto bodu sa funkcia znižuje (prechádza „zhora nadol“). Pravá vetva grafu musí mať určite aspoň jedno minimum. Vľavo nie sú zaručené extrémy.

Záver č. 3 poskytuje spoľahlivé informácie o konkávnosti grafu v blízkosti bodu. Zatiaľ nemôžeme povedať nič o konvexnosti/konkávnosti v nekonečne, pretože čiaru je možné pritlačiť k jej asymptote zhora aj zdola. Vo všeobecnosti existuje analytický spôsob, ako to zistiť práve teraz, ale tvar grafu bude jasnejší v neskoršej fáze.

Prečo toľko slov? Kontrolovať následné výskumné body a vyhnúť sa chybám! Ďalšie výpočty by nemali byť v rozpore s vyvodenými závermi.

3) Priesečníky grafu so súradnicovými osami, intervaly konštantného znamienka funkcie.

Graf funkcie nepretína os.

Pomocou intervalovej metódy určíme znaky:

, Ak ;
, Ak .

Výsledky tohto bodu sú plne v súlade so záverom č.1. Po každej fáze sa pozrite na návrh, v duchu skontrolujte výskum a dokončite graf funkcie.

V uvažovanom príklade je čitateľ rozdelený po členoch menovateľom, čo je veľmi výhodné pre diferenciáciu:

V skutočnosti sa to už urobilo pri hľadaní asymptot.

- kritický bod.

Definujme znaky:

zvyšuje o a znižuje sa o

V tomto bode funkcia dosiahne minimum: .

Nezistili sa ani žiadne nezrovnalosti so záverom č. 2 a s najväčšou pravdepodobnosťou sme na správnej ceste.

To znamená, že graf funkcie je konkávny v celej oblasti definície.

Skvelé - a nemusíte nič kresliť.

Neexistujú žiadne inflexné body.

Konkávnosť je v súlade so záverom č. 3, navyše naznačuje, že v nekonečne (tam aj tam) sa graf funkcie nachádza vyššie jeho šikmá asymptota.

6) Úlohu svedomito pripneme ďalšími bodmi. Tu budeme musieť tvrdo pracovať, keďže z výskumu poznáme len dva body.

A obrázok, ktorý si mnohí ľudia zrejme predstavovali už dávno:

Počas vykonávania úlohy musíte starostlivo zabezpečiť, aby medzi fázami výskumu neboli žiadne rozpory, ale niekedy je situácia naliehavá alebo dokonca zúfalo slepá. Analytika sa „nepridáva“ – to je všetko. V tomto prípade odporúčam núdzovú techniku: nájdeme čo najviac bodov, ktoré patria do grafu (toľko trpezlivosti, koľko máme) a označíme ich na súradnicovej rovine. Grafická analýza zistených hodnôt vám vo väčšine prípadov povie, kde je pravda a kde nepravda. Okrem toho je možné graf vopred zostaviť pomocou nejakého programu, napríklad v programe Excel (samozrejme, vyžaduje to zručnosti).

Príklad 4

Na štúdium funkcie a zostrojenie jej grafu použite metódy diferenciálneho počtu.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. V ňom je sebakontrola umocnená paritou funkcie – graf je symetrický okolo osi a ak je vo vašom výskume niečo, čo tomuto faktu odporuje, hľadajte chybu.

Párnu alebo nepárnu funkciu je možné študovať iba na , a potom použiť symetriu grafu. Toto riešenie je optimálne, ale podľa môjho názoru vyzerá veľmi nezvyčajne. Osobne sa pozerám na celý číselný rad, ale ďalšie body stále nachádzam iba vpravo:

Príklad 5

Vykonajte úplnú štúdiu funkcie a vytvorte jej graf.

Riešenie:veci boli ťažké:

1) Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi: .

To znamená, že táto funkcia je nepárna, jej graf je symetrický podľa pôvodu.

Je zrejmé, že funkcia je neperiodická.

2) Asymptoty, správanie sa funkcie v nekonečne.

Keďže funkcia je spojitá na , neexistujú žiadne vertikálne asymptoty

Pre funkciu obsahujúcu exponent je to typické oddelenéštúdium „plus“ a „mínus nekonečna“, nám však život uľahčuje symetria grafu – buď je asymptota vľavo aj vpravo, alebo nie je žiadna. Preto je možné obe nekonečné limity zapísať pod jeden záznam. Počas riešenia používame L'Hopitalovo pravidlo:

Priamka (os) je horizontálna asymptota grafu v .

Všimnite si prosím, ako som sa prefíkane vyhol úplnému algoritmu na nájdenie šikmej asymptoty: limita je úplne legálna a objasňuje správanie funkcie v nekonečne a horizontálna asymptota bola objavená „akoby v rovnakom čase“.

Z kontinuity a existencie horizontálnej asymptoty vyplýva, že funkcia ohraničené vyššie A ohraničené nižšie.

3) Priesečníky grafu so súradnicovými osami, intervaly konštantného znamienka.

Tu tiež skrátime riešenie:
Graf prechádza cez počiatok.

Neexistujú žiadne ďalšie priesečníky so súradnicovými osami. Okrem toho sú intervaly stálosti znamienka zrejmé a os sa nemusí kresliť: , čo znamená, že znamienko funkcie závisí iba od „x“:
, Ak ;
, Ak .

4) Zvyšovanie, znižovanie, extrémy funkcie.


– kritické body.

Body sú symetrické okolo nuly, ako má byť.

Poďme určiť znamienka derivátu:


Funkcia sa v intervaloch zvyšuje a v intervaloch znižuje

V okamihu, keď funkcia dosiahne svoje maximum: .

Kvôli majetku (neobvyklosť funkcie) minimum sa nemusí počítať:

Keďže funkcia v intervale klesá, graf sa samozrejme nachádza v „mínus nekonečne“ pod jeho asymptota. Cez interval funkcia tiež klesá, tu je to však naopak - po prechode maximálnym bodom sa úsečka približuje k osi zhora.

Z vyššie uvedeného tiež vyplýva, že graf funkcie je konvexný v „mínus nekonečne“ a konkávny v „plus nekonečne“.

Po tomto bode štúdie bol nakreslený rozsah funkčných hodnôt:

Ak by ste nejakým bodom neporozumeli, ešte raz vás vyzývam, aby ste si do zošita nakreslili súradnicové osi a s ceruzkou v rukách znova analyzovali každý záver úlohy.

5) Konvexnosť, konkávnosť, zlomy grafu.

– kritické body.

Symetria bodov je zachovaná a s najväčšou pravdepodobnosťou sa nemýlime.

Definujme znaky:


Graf funkcie je konvexný a konkávne ďalej .

Potvrdila sa konvexnosť/konkávnosť v extrémnych intervaloch.

Vo všetkých kritických bodoch sú v grafe zlomy. Poďme nájsť súradnice inflexných bodov a znova znížme počet výpočtov pomocou nepárnosti funkcie: