Delenie čísel s rôznymi mocnosťami a základmi. Pravidlo pre násobenie síl s rôznymi základmi
Vzorce stupňov používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.
číslo c je n-tá mocnina čísla a Kedy:
Operácie so stupňami.
1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele pripočítajú:
a m·a n = a m + n .
2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú:
3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:
(a/b) n = an/bn.
5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:
(a m) n = a m n.
Každý vzorec vyššie platí v smere zľava doprava a naopak.
Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operácie s koreňmi.
1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:
2. Odmocnina pomeru sa rovná podielu dividendy a deliteľa koreňov:
3. Pri zvýšení odmocniny na mocninu stačí povýšiť radikálne číslo na túto mocninu:
4. Ak zvýšite stupeň koreňa v n raz a zároveň zabudovať do n mocnina je radikálne číslo, potom sa hodnota odmocniny nezmení:
5. Ak znížite stupeň koreňa v n súčasne extrahujte koreň n-tá mocnina radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:
Titul so záporným exponentom. Mocnina určitého čísla s kladným (celým) exponentom je definovaná ako mocnina vydelená mocninou toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:
Vzorec a m:a n =a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj s m< n.
Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.
Formulovať a m:a n =a m - n sa stal spravodlivým, keď m=n, vyžaduje sa prítomnosť nulového stupňa.
Titul s nulovým indexom. Mocnina akéhokoľvek čísla, ktoré sa nerovná nule s nulovým exponentom, sa rovná jednej.
Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo A na stupeň m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m-tá mocnina tohto čísla A.
V predchádzajúcom článku sme si vysvetlili, čo sú to monomiály. V tomto materiáli sa pozrieme na to, ako riešiť príklady a problémy, v ktorých sa používajú. Tu budeme brať do úvahy také akcie, ako je odčítanie, sčítanie, násobenie, delenie monomílov a ich zvýšenie na mocninu s prirodzeným exponentom. Ukážeme si, ako sa takéto operácie definujú, načrtneme základné pravidlá ich realizácie a aký by mal byť výsledok. Všetky teoretické koncepty budú ako obvykle ilustrované príkladmi problémov s popismi riešení.
Najpohodlnejšie je pracovať so štandardným zápisom jednočlenov, preto všetky výrazy, ktoré budú v článku použité, uvádzame v štandardnej forme. Ak boli pôvodne špecifikované inak, odporúča sa najskôr uviesť ich do všeobecne akceptovanej formy.
Pravidlá sčítania a odčítania jednočlenov
Najjednoduchšie operácie, ktoré možno vykonať s monomiáliami, sú odčítanie a sčítanie. Vo všeobecnosti bude výsledkom týchto akcií polynóm (v niektorých špeciálnych prípadoch je možný monomizmus).
Keď sčítame alebo odčítame jednočleny, najprv zapíšeme zodpovedajúci súčet a rozdiel vo všeobecne uznávanej forme a potom zjednodušíme výsledný výraz. Ak existujú podobné výrazy, je potrebné ich citovať a zátvorky otvoriť. Vysvetlíme si to na príklade.
Príklad 1
podmienka: vykonajte sčítanie monočlenov − 3 x a 2, 72 x 3 y 5 z.
Riešenie
Zapíšme si súčet pôvodných výrazov. Pridajme zátvorky a dáme medzi ne znamienko plus. Získame nasledovné:
(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)
Keď urobíme rozšírenie zátvoriek, dostaneme - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. Toto je polynóm napísaný v štandardnom tvare, ktorý bude výsledkom sčítania týchto monomov.
odpoveď:(− 3 x) + (2,72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2,72 x 3 y 5 z.
Ak máme tri, štyri alebo viac termínov, vykonáme túto akciu úplne rovnakým spôsobom.
Príklad 2
podmienka: vykonajte uvedené operácie s polynómami v správnom poradí
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Riešenie
Začnime otvorením zátvoriek.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Vidíme, že výsledný výraz možno zjednodušiť pridaním podobných výrazov:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Máme polynóm, ktorý bude výsledkom tejto akcie.
odpoveď: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
V zásade môžeme s určitými obmedzeniami sčítať a odčítať dva jednočleny, takže nakoniec dostaneme jednočlenný. Aby ste to dosiahli, musíte splniť niektoré podmienky týkajúce sa sčítaní a odčítaných monomilov. Ako sa to robí, vám povieme v samostatnom článku.
Pravidlá pre násobenie monomilov
Multiplikačná akcia nekladie na faktory žiadne obmedzenia. Násobené monomiály nemusia spĺňať žiadne dodatočné podmienky, aby bol výsledok monomický.
Ak chcete vykonať násobenie monomiálov, musíte postupovať podľa týchto krokov:
- Úsek zapíšte správne.
- Rozbaľte zátvorky vo výslednom výraze.
- Ak je to možné, zoskupte faktory s rovnakými premennými a číselnými faktormi oddelene.
- Vykonajte potrebné operácie s číslami a aplikujte vlastnosť násobenia mocnín s rovnakými základmi na zostávajúce faktory.
Pozrime sa, ako sa to robí v praxi.
Príklad 3
podmienka: vynásobte monočleny 2 x 4 y z a - 7 16 t 2 x 2 z 11.
Riešenie
Začnime skladaním diela.
Otvoríme v ňom zátvorky a získame nasledovné:
2 x 4 r z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 r z 3 z 11
Jediné, čo musíme urobiť, je vynásobiť čísla v prvej zátvorke a použiť vlastnosť mocniny pre druhú. V dôsledku toho dostaneme nasledovné:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 r z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 r z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 r z 14
odpoveď: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Ak naša podmienka obsahuje tri alebo viac polynómov, vynásobíme ich presne tým istým algoritmom. Problematiku násobenia monomilov podrobnejšie zvážime v samostatnom materiáli.
Pravidlá pre povýšenie monomiálu na mocninu
Vieme, že mocnina s prirodzeným exponentom je súčinom určitého počtu rovnakých faktorov. Ich počet je označený číslom v indikátore. Podľa tejto definície je umocnenie monomílu na mocninu ekvivalentné vynásobeniu určeného počtu rovnakých monomílov. Pozrime sa, ako sa to robí.
Príklad 4
podmienka: zdvihnite jednočlen − 2 · a · b 4 na mocninu 3 .
Riešenie
Umocňovanie môžeme nahradiť násobením 3 jednočlenov − 2 · a · b 4 . Zapíšme si to a získame požadovanú odpoveď:
(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12
odpoveď:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
Ale čo keď má stupeň veľký ukazovateľ? Je nepohodlné zaznamenávať veľké množstvo faktorov. Potom, aby sme vyriešili takýto problém, musíme použiť vlastnosti stupňa, konkrétne vlastnosť produktového stupňa a vlastnosť stupňa v stupni.
Vyriešme problém, ktorý sme uviedli vyššie, pomocou uvedenej metódy.
Príklad 5
podmienka: zvýšiť − 2 · a · b 4 na tretiu mocninu.
Riešenie
Keď poznáme vlastnosť mocniny, môžeme pristúpiť k vyjadreniu v nasledujúcom tvare:
(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .
Potom povýšime na silu - 2 a aplikujeme vlastnosť právomocí na mocnosti:
(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
odpoveď:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Samostatný článok sme venovali aj povýšeniu monomiálu na mocninu.
Pravidlá delenia monomilov
Poslednou operáciou s monomiáliami, ktorú budeme v tomto materiáli skúmať, je delenie monomiálu monomilom. V dôsledku toho by sme mali získať racionálny (algebraický) zlomok (v niektorých prípadoch je možné získať monomial). Okamžite si ujasnime, že delenie nulovým jednočlenom nie je definované, pretože delenie 0 nie je definované.
Aby sme vykonali delenie, musíme zapísať uvedené monoméry vo forme zlomku a podľa možnosti ho zmenšiť.
Príklad 6
podmienka: delíme jednočlen − 9 · x 4 · y 3 · z 7 o − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .
Riešenie
Začnime písaním monočlenov vo forme zlomkov.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 r 2
Táto frakcia sa môže znížiť. Po vykonaní tejto akcie dostaneme:
3 x 2 r z 7 2 p 3 t 5
odpoveď:- 9 x 4 r 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 r 2 = 3 x 2 r z 7 2 p 3 t 5 .
Podmienky, za ktorých v dôsledku delenia monomiálií získame monomiály, uvádzame v samostatnom článku.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
V minulej video lekcii sme sa naučili, že stupeň určitého základu je výraz, ktorý predstavuje súčin samotného základu, braný v množstve rovnajúcom sa exponentu. Pozrime sa teraz na niektoré z najdôležitejších vlastností a operácií mocí.
Vynásobme napríklad dve rôzne mocniny s rovnakým základom:
Predstavme si túto prácu celú:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Po vypočítaní hodnoty tohto výrazu dostaneme číslo 32. Na druhej strane, ako je zrejmé z toho istého príkladu, 32 môže byť reprezentované ako súčin toho istého základu (dvoch), braného 5-krát. A naozaj, ak to spočítate, potom:
Môžeme teda s istotou konštatovať, že:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Toto pravidlo funguje úspešne pre všetky indikátory a dôvody. Táto vlastnosť násobenia mocniny vyplýva z pravidla, že význam výrazov sa pri transformáciách v súčine zachováva. Pre ľubovoľnú bázu a sa súčin dvoch výrazov (a)x a (a)y rovná a(x + y). Inými slovami, keď sa vytvoria akékoľvek výrazy s rovnakým základom, výsledný jednočlen má celkový stupeň vytvorený sčítaním stupňov prvého a druhého výrazu.
Prezentované pravidlo funguje skvele aj pri násobení viacerých výrazov. Hlavnou podmienkou je, aby mali všetci rovnaké základy. Napríklad:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Nie je možné pridávať stupne a skutočne vykonávať akékoľvek spoločné akcie založené na moci s dvoma prvkami výrazu, ak sú ich základy odlišné.
Ako ukazuje naše video, vďaka podobnosti procesov násobenia a delenia sa pravidlá sčítania mocnín v produkte dokonale prenášajú do postupu delenia. Zvážte tento príklad:
Transformujme výraz výraz po výraze do jeho plnej podoby a zredukujme rovnaké prvky v dividende a deliteľovi:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Konečný výsledok tohto príkladu nie je až taký zaujímavý, pretože už v procese jeho riešenia je jasné, že hodnota výrazu sa rovná druhej mocnine dvoch. A práve dvojku získame odčítaním stupňa druhého výrazu od stupňa prvého.
Na určenie stupňa kvocientu je potrebné od stupňa dividendy odpočítať stupeň deliteľa. Pravidlo funguje na rovnakom základe pre všetky svoje hodnoty a pre všetky prírodné sily. Vo forme abstrakcie máme:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Z pravidla delenia rovnakých základov stupňami vyplýva definícia pre nultý stupeň. Je zrejmé, že nasledujúci výraz vyzerá takto:
(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0
Na druhej strane, ak delenie urobíme viac vizuálnym spôsobom, dostaneme:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Pri zmenšení všetkých viditeľných prvkov zlomku sa vždy získa výraz 1/1, teda jedna. Preto sa všeobecne uznáva, že každá základňa zvýšená na nulovú mocninu sa rovná jednej:
Bez ohľadu na hodnotu a.
Bolo by však absurdné, ak by 0 (ktorá stále dáva 0 pre akékoľvek násobenie) sa nejakým spôsobom rovná jednej, takže vyjadrenie tvaru (0) 0 (nula na nulovú mocninu) jednoducho nedáva zmysel a vzorec ( a) 0 = 1 pridajte podmienku: „ak sa a nerovná 0“.
Poďme vyriešiť cvičenie. Poďme zistiť hodnotu výrazu:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Keďže základ je všade rovnaký a rovná sa 34, konečná hodnota bude mať rovnaký základ so stupňom (podľa vyššie uvedených pravidiel):
Inými slovami:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Odpoveď: výraz sa rovná jednej.
Obsah lekciečo je titul?
stupňa nazývaný produkt niekoľkých rovnakých faktorov. Napríklad:
2 × 2 × 2
Hodnota tohto výrazu je 8
2 × 2 × 2 = 8
Ľavá strana tejto rovnosti môže byť skrátená - najskôr si zapíšte opakujúci sa faktor a nad ním uveďte, koľkokrát sa opakuje. Opakujúci sa násobiteľ je v tomto prípade 2. Opakuje sa trikrát. Preto nad tieto dve napíšeme trojku:
2 3 = 8
Tento výraz znie takto: „ dve až tretia mocnina sa rovná ôsmim" alebo " Tretia mocnina 2 je 8."
Častejšie sa používa krátka forma zápisu na násobenie rovnakých faktorov. Preto si musíme uvedomiť, že ak je nad číslom napísané iné číslo, ide o násobenie niekoľkých rovnakých faktorov.
Napríklad, ak je uvedený výraz 5 3, potom treba mať na pamäti, že tento výraz je ekvivalentný zápisu 5 × 5 × 5.
Zavolá sa číslo, ktoré sa opakuje stupňa. Vo výraze 5 3 je základom mocniny číslo 5.
A volá sa číslo, ktoré je napísané nad číslom 5 exponent. Vo výraze 5 3 je exponentom číslo 3. Exponent ukazuje, koľkokrát sa základ exponentu opakuje. V našom prípade sa základ 5 opakuje trikrát
Operácia násobenia identických faktorov je tzv umocňovaním.
Napríklad, ak potrebujete nájsť súčin štyroch rovnakých faktorov, z ktorých každý sa rovná 2, potom hovoria, že číslo je 2 zvýšil na štvrtú mocninu:
Vidíme, že číslo 2 až štvrtá mocnina je číslo 16.
Všimnite si, že v tejto lekcii sa na to pozeráme stupňa s prirodzeným exponentom. Ide o typ stupňa, ktorého exponent je prirodzené číslo. Pripomeňme, že prirodzené čísla sú celé čísla väčšie ako nula. Napríklad 1, 2, 3 atď.
Vo všeobecnosti definícia stupňa s prirodzeným exponentom vyzerá takto:
Stupeň a s prirodzeným indikátorom n je vyjadrením formy a n, ktorá sa rovná súčinu n faktory, z ktorých každý je rovnaký a
Príklady:
Pri zvyšovaní čísla na mocninu by ste mali byť opatrní. Často človek nepozornosťou vynásobí základ exponentu exponentom.
Napríklad číslo 5 k druhej mocnine je súčinom dvoch faktorov, z ktorých každý sa rovná 5. Tento súčin sa rovná 25
Teraz si predstavte, že sme neúmyselne vynásobili základ 5 exponentom 2
Vyskytla sa chyba, pretože číslo 5 na druhú mocninu sa nerovná 10.
Okrem toho je potrebné spomenúť, že mocninou čísla s exponentom 1 je samotné číslo:
Napríklad číslo 5 k prvej mocnine je samotné číslo 5
Preto, ak číslo nemá indikátor, musíme predpokladať, že indikátor sa rovná jednej.
Napríklad čísla 1, 2, 3 sú uvedené bez exponentu, takže ich exponenty sa budú rovnať jednej. Každé z týchto čísel možno zapísať s exponentom 1
A ak zvýšite 0 na nejakú mocninu, dostanete 0. V skutočnosti, bez ohľadu na to, koľkokrát čokoľvek vynásobíte, nedostanete nič. Príklady:
A výraz 0 0 nedáva zmysel. Ale v niektorých odvetviach matematiky, najmä v analýze a teórii množín, môže mať výraz 0 0 zmysel.
Pre prax si vyriešme pár príkladov zvyšovania čísel na mocniny.
Príklad 1 Zvýšte číslo 3 na druhú mocninu.
Číslo 3 k druhej mocnine je súčinom dvoch faktorov, z ktorých každý sa rovná 3
3 2 = 3 × 3 = 9
Príklad 2 Zvýšte číslo 2 na štvrtú mocninu.
Číslo 2 až štvrtá mocnina je súčinom štyroch faktorov, z ktorých každý sa rovná 2
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Príklad 3 Zvýšte číslo 2 na tretiu mocninu.
Číslo 2 až tretia mocnina je súčinom troch faktorov, z ktorých každý sa rovná 2
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
Zvýšte číslo 10 na moc
Na zvýšenie čísla 10 na mocninu stačí pridať za jednotku počet núl rovný exponentu.
Uveďme napríklad číslo 10 na druhú mocninu. Najprv si zapíšeme samotné číslo 10 a označíme číslo 2 ako indikátor
10 2
Teraz dáme znamienko rovnosti, napíšeme jednotku a za touto napíšeme dve nuly, keďže počet núl sa musí rovnať exponentu
10 2 = 100
To znamená, že číslo 10 k druhej mocnine je číslo 100. Je to spôsobené tým, že číslo 10 k druhej mocnine je súčinom dvoch faktorov, z ktorých každý sa rovná 10
102 = 10 × 10 = 100
Príklad 2. Zvýšime číslo 10 na tretiu mocninu.
V tomto prípade budú za jednotkou tri nuly:
10 3 = 1000
Príklad 3. Zvýšme číslo 10 na štvrtú mocninu.
V tomto prípade budú za jednotkou štyri nuly:
10 4 = 10000
Príklad 4. Zvýšme číslo 10 na prvú mocninu.
V tomto prípade bude za jednotkou jedna nula:
10 1 = 10
Znázornenie čísel 10, 100, 1000 ako mocniny so základom 10
Ak chcete reprezentovať čísla 10, 100, 1000 a 10000 ako mocninu so základom 10, musíte si zapísať základ 10 a ako exponent zadať číslo, ktoré sa rovná počtu núl pôvodného čísla.
Predstavme si číslo 10 ako mocninu so základom 10. Vidíme, že má jednu nulu. To znamená, že číslo 10 ako mocnina so základom 10 bude reprezentované ako 10 1
10 = 10 1
Príklad 2. Predstavme si číslo 100 ako mocninu so základom 10. Vidíme, že číslo 100 obsahuje dve nuly. To znamená, že číslo 100 ako mocnina so základňou 10 bude reprezentovaná ako 10 2
100 = 10 2
Príklad 3. Predstavme si číslo 1000 ako mocninu so základom 10.
1 000 = 10 3
Príklad 4. Predstavme si číslo 10 000 ako mocninu so základom 10.
10 000 = 10 4
Zvýšenie záporného čísla na mocninu
Pri zvyšovaní záporného čísla na mocninu musí byť toto číslo uvedené v zátvorkách.
Napríklad umocnime záporné číslo −2 na druhú mocninu. Číslo -2 na druhú mocninu je súčinom dvoch faktorov, z ktorých každý sa rovná (-2)
(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4
Ak by sme číslo −2 neuzavreli do zátvoriek, vyšlo by nám, že počítame výraz −2 2, ktorý nerovná sa 4. Výraz −2² sa bude rovnať −4. Aby sme pochopili prečo, dotknime sa niektorých bodov.
Keď dáme mínus pred kladné číslo, robíme to operácia prevzatia opačnej hodnoty.
Povedzme, že ste dostali číslo 2 a potrebujete nájsť jeho opačné číslo. Vieme, že opak 2 je -2. Inými slovami, ak chcete nájsť opačné číslo pre 2, stačí dať mínus pred toto číslo. Vložiť mínus pred číslo sa už v matematike považuje za plnohodnotnú operáciu. Táto operácia, ako je uvedené vyššie, sa nazýva operácia získania opačnej hodnoty.
V prípade výrazu −2 2 nastávajú dve operácie: operácia zobratia opačnej hodnoty a jej umocnenie. Zvýšenie sily má vyššiu prioritu ako získanie opačnej hodnoty.
Preto sa výraz −2 2 počíta v dvoch etapách. Najprv sa vykoná operácia umocnenia. V tomto prípade sa kladné číslo 2 zvýšilo na druhú mocninu
Potom sa vzala opačná hodnota. Táto opačná hodnota bola zistená pre hodnotu 4. A opačná hodnota pre 4 je -4
−2 2 = −4
Zátvorky majú najvyššiu prioritu vykonávania. Preto v prípade výpočtu výrazu (−2) 2 sa najprv použije opačná hodnota a potom sa záporné číslo −2 zvýši na druhú mocninu. Výsledkom je kladná odpoveď 4, pretože súčin záporných čísel je kladné číslo.
Príklad 2. Zvýšte číslo -2 na tretiu mocninu.
Číslo -2 až tretia mocnina je súčinom troch faktorov, z ktorých každý sa rovná (-2)
(-2) 3 = (-2) × (-2) × (-2) = -8
Príklad 3. Zvýšte číslo -2 na štvrtú mocninu.
Číslo -2 až štvrtá mocnina je súčinom štyroch faktorov, z ktorých každý sa rovná (-2)
(-2) 4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16
Je ľahké vidieť, že pri zvýšení záporného čísla na mocninu môžete dostať kladnú alebo zápornú odpoveď. Znamienko odpovede závisí od indexu pôvodného stupňa.
Ak je exponent párny, odpoveď bude kladná. Ak je exponent nepárny, odpoveď bude záporná. Ukážme si to na príklade čísla −3
V prvom a treťom prípade bol ukazovateľ zvláštnyčíslo, takže odpoveď sa stala negatívne.
V druhom a štvrtom prípade bol ukazovateľ dokoncačíslo, takže odpoveď sa stala pozitívne.
Príklad 7. Zvýšte −5 na tretiu mocninu.
Číslo -5 až tretia mocnina je súčinom troch faktorov, z ktorých každý sa rovná -5. Exponent 3 je nepárne číslo, takže môžeme vopred povedať, že odpoveď bude záporná:
(-5) 3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125
Príklad 8. Zvýšte −4 na štvrtú mocninu.
Číslo -4 až štvrtá mocnina je súčinom štyroch faktorov, z ktorých každý sa rovná -4. Navyše, exponent 4 je párny, takže môžeme vopred povedať, že odpoveď bude kladná:
(-4) 4 = (-4) × (-4) × (-4) × (-4) = 256
Hľadanie hodnôt výrazov
Pri hľadaní hodnôt výrazov, ktoré neobsahujú zátvorky, sa najskôr vykoná umocnenie, potom násobenie a delenie v poradí, v akom sa zobrazujú, a potom sčítanie a odčítanie v poradí, v akom sa zobrazujú.
Príklad 1. Nájdite hodnotu výrazu 2 + 5 2
Najprv sa vykoná umocnenie. V tomto prípade sa číslo 5 zvýši na druhú mocninu - dostaneme 25. Potom sa tento výsledok pripočíta k číslu 2
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
Príklad 10. Nájdite hodnotu výrazu −6 2 × (−12)
Najprv sa vykoná umocnenie. Všimnite si, že číslo −6 nie je v zátvorkách, takže číslo 6 sa zvýši na druhú mocninu, potom sa pred výsledok umiestni mínus:
−6 2 × (–12) = −36 × (–12)
Príklad dokončíme vynásobením −36 číslom (−12)
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
Príklad 11. Nájdite hodnotu výrazu −3 × 2 2
Najprv sa vykoná umocnenie. Potom sa výsledný výsledok vynásobí číslom -3
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Ak výraz obsahuje zátvorky, musíte najprv vykonať operácie v týchto zátvorkách, potom umocnenie, potom násobenie a delenie a potom sčítanie a odčítanie.
Príklad 12. Nájdite hodnotu výrazu (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5
Najprv vykonáme akcie v zátvorkách. Vo vnútri zátvoriek aplikujeme predtým naučené pravidlá, a to najprv zvýšime číslo 3 na druhú mocninu, potom vynásobíme 1 × 3, potom pridáme výsledky zvýšenia čísla 3 na druhú mocninu a vynásobíme 1 × 3 . Ďalej sa vykoná odčítanie a sčítanie v poradí, v akom sa zobrazujú. Usporiadajme nasledujúce poradie vykonania akcie na pôvodnom výraze:
(3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2
Príklad 13. Nájdite hodnotu výrazu 2 × 5 3 + 5 × 2 3
Najprv zvýšime čísla na mocniny, potom vynásobíme a sčítame výsledky:
2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290
Identické transformácie moci
Na schopnostiach možno vykonávať rôzne transformácie identity, čím ich zjednodušujú.
Povedzme, že potrebujeme vypočítať výraz (2 3) 2. V tomto príklade je dve až tretia mocnina zvýšená na druhú mocninu. Inými slovami, stupeň sa zvýši na iný stupeň.
(2 3) 2 je súčin dvoch mocnín, z ktorých každá sa rovná 2 3
Okrem toho je každá z týchto mocnín súčinom troch faktorov, z ktorých každý sa rovná 2
Dostali sme súčin 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, čo sa rovná 64. To znamená hodnotu výrazu (2 3) 2 alebo rovnú 64
Tento príklad možno značne zjednodušiť. Na tento účel možno exponenty výrazu (2 3) 2 vynásobiť a tento súčin zapísať cez základ 2
Dostali sme 26. Dve až šiesta mocnina je súčinom šiestich faktorov, z ktorých každý sa rovná 2. Tento súčin sa rovná 64
Táto vlastnosť funguje, pretože 2 3 je súčinom 2 × 2 × 2, ktorý sa zase dvakrát opakuje. Potom sa ukáže, že základ 2 sa opakuje šesťkrát. Odtiaľto môžeme napísať, že 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 je 2 6
Vo všeobecnosti z akéhokoľvek dôvodu a s indikátormi m A n, platí nasledujúca rovnosť:
(a n)m = a n x m
Táto identická transformácia sa nazýva pozdvihnutie moci na moc. Dá sa to čítať takto: „Pri zvýšení mocniny na mocninu sa základ nechá nezmenený a exponenty sa vynásobia“ .
Po vynásobení ukazovateľov získate ďalší stupeň, ktorého hodnotu nájdete.
Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu (3 2) 2
V tomto príklade je základ 3 a čísla 2 a 2 sú exponenty. Využime pravidlo povýšenia moci na moc. Základ ponecháme nezmenený a vynásobíme ukazovatele:
Máme 34. A číslo 3 až štvrtá mocnina je 81
Pozrime sa na zostávajúce transformácie.
Násobenie právomocí
Ak chcete vynásobiť mocniny, musíte samostatne vypočítať každú mocninu a vynásobiť výsledky.
Napríklad vynásobme 2 2 3 3.
2 2 je číslo 4 a 3 3 je číslo 27. Vynásobte čísla 4 a 27, dostaneme 108
2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108
V tomto príklade boli základy stupňov odlišné. Ak sú základy rovnaké, môžete si zapísať jednu základňu a ako ukazovateľ zapísať súčet ukazovateľov pôvodných stupňov.
Napríklad vynásobte 2 2 číslom 2 3
V tomto príklade sú základy pre stupne rovnaké. V tomto prípade môžete zapísať jeden základ 2 a zapísať súčet exponentov mocnín 2 2 a 2 3 ako exponent. Inými slovami, ponechajte základ nezmenený a spočítajte ukazovatele pôvodných stupňov. Bude to vyzerať takto:
Dostali sme 25. Číslo 2 až piata mocnina je 32
Táto vlastnosť funguje, pretože 2 2 je súčin 2 × 2 a 2 3 je súčin 2 × 2 × 2. Potom dostaneme súčin piatich rovnakých faktorov, z ktorých každý sa rovná 2. Tento produkt môže byť reprezentovaný ako 2 5
Vo všeobecnosti pre kohokoľvek a a ukazovatele m A n platí nasledujúca rovnosť:
Táto identická transformácia sa nazýva základná vlastnosť stupňa. Dá sa to čítať takto: " PPri násobení mocnín s rovnakými základmi sa základ ponechá nezmenený a exponenty sa sčítajú.“ .
Všimnite si, že túto transformáciu možno aplikovať na ľubovoľný počet stupňov. Hlavná vec je, že základ je rovnaký.
Napríklad nájdime hodnotu výrazu 2 1 × 2 2 × 2 3. Základ 2
V niektorých problémoch môže stačiť vykonať príslušnú transformáciu bez výpočtu konečného stupňa. To je samozrejme veľmi pohodlné, pretože výpočet veľkých výkonov nie je taký jednoduchý.
Príklad 1. Vyjadrite ako mocninu výraz 5 8 × 25
V tomto probléme sa musíte uistiť, že namiesto výrazu 5 8 × 25 dostanete jednu mocninu.
Číslo 25 môže byť reprezentované ako 5 2. Potom dostaneme nasledujúci výraz:
V tomto výraze môžete použiť základnú vlastnosť stupňa - ponechajte základ 5 nezmenený a pridajte exponenty 8 a 2:
Stručne napíšme riešenie:
Príklad 2. Vyjadrite ako mocninu výraz 2 9 × 32
Číslo 32 môže byť reprezentované ako 2 5. Potom dostaneme výraz 2 9 × 2 5. Ďalej môžete použiť základnú vlastnosť stupňa - ponechajte základ 2 nezmenený a pridajte exponenty 9 a 5. Výsledkom bude nasledovné riešenie:
Príklad 3. Vypočítajte súčin 3 × 3 pomocou základnej vlastnosti mocnín.
Každý dobre vie, že tri krát tri sa rovná deväť, ale úloha si vyžaduje použiť pri riešení základnú vlastnosť stupňov. Ako to spraviť?
Pripomíname, že ak je zadané číslo bez indikátora, indikátor sa musí považovať za rovný jednej. Preto môžu byť faktory 3 a 3 napísané ako 3 1 a 3 1
3 1 × 3 1
Teraz použijeme základnú vlastnosť stupňa. Základ 3 necháme nezmenený a spočítame ukazovatele 1 a 1:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
Príklad 4. Vypočítajte súčin 2 × 2 × 3 2 × 3 3 pomocou základnej vlastnosti mocnín.
Súčin 2 × 2 nahradíme 2 1 × 2 1, potom 2 1 + 1 a potom 2 2. Vymeňte produkt 3 2 × 3 3 za 3 2 + 3 a potom za 3 5
Príklad 5. Vykonajte násobenie x × x
Ide o dva rovnaké písmenové faktory s exponentmi 1. Pre prehľadnosť si tieto exponenty zapíšme. Ďalej je základňa X Nechajme to nezmenené a spočítajme ukazovatele:
Pri tabuli by ste si nemali zapisovať násobenie mocnín s rovnakými základmi tak podrobne, ako sa to robí tu. Takéto výpočty sa musia robiť vo vašej hlave. Podrobná poznámka s najväčšou pravdepodobnosťou popudí učiteľa a zníži za ňu známku. Tu je uvedený podrobný záznam, aby bol materiál čo najjednoduchšie pochopiteľný.
Odporúča sa napísať riešenie tohto príkladu takto:
Príklad 6. Vykonajte násobenie X 2 × x
Exponent druhého faktora sa rovná jednej. Pre prehľadnosť si to napíšme. Ďalej ponecháme základ nezmenený a spočítame ukazovatele:
Príklad 7. Vykonajte násobenie r 3 r 2 r
Exponent tretieho faktora sa rovná jednej. Pre prehľadnosť si to napíšme. Ďalej ponecháme základ nezmenený a spočítame ukazovatele:
Príklad 8. Vykonajte násobenie aa 3 a 2 a 5
Exponent prvého faktora sa rovná jednej. Pre prehľadnosť si to napíšme. Ďalej ponecháme základ nezmenený a spočítame ukazovatele:
Príklad 9. Predstavte mocninu 3 8 ako súčin mocnin s rovnakými základmi.
V tomto probléme musíte vytvoriť súčin mocnín, ktorých základy sa budú rovnať 3 a súčet ich exponentov bude rovný 8. Môžu sa použiť akékoľvek indikátory. Predstavme si mocninu 3 8 ako súčin mocniny 3 5 a 3 3
V tomto príklade sme opäť vychádzali zo základnej vlastnosti stupňa. Koniec koncov, výraz 3 5 × 3 3 možno napísať ako 3 5 + 3, odkiaľ pochádza 3 8.
Samozrejme, bolo možné reprezentovať mocninu 3 8 ako súčin iných mocností. Napríklad vo forme 3 7 × 3 1, pretože tento produkt sa tiež rovná 3 8
Reprezentovať titul ako produkt síl s rovnakými základmi je väčšinou tvorivá práca. Netreba sa preto báť experimentovať.
Príklad 10. Odoslať titul X 12 vo forme rôznych súčinov mocností so zásadami X .
Využime základnú vlastnosť stupňov. Predstavme si X 12 vo forme výrobkov so základmi X a súčet ukazovateľov je 12
Pre prehľadnosť boli zaznamenané konštrukcie so súčtom ukazovateľov. Najčastejšie ich môžete preskočiť. Potom získate kompaktné riešenie:
Pozdvihnutie sily produktu
Ak chcete zvýšiť výkon produktu, musíte zvýšiť každý faktor tohto produktu na špecifikovaný výkon a znásobiť výsledky.
Zvýšme napríklad súčin 2 × 3 na druhú mocninu. Zoberme si tento produkt v zátvorkách a označme 2 ako indikátor
Teraz zvýšime každý faktor súčinu 2 × 3 na druhú mocninu a vynásobíme výsledky:
Princíp fungovania tohto pravidla je založený na definícii stupňa, ktorá bola uvedená na samom začiatku.
Zvýšenie produktu 2 × 3 na druhý výkon znamená zopakovanie produktu dvakrát. A ak to zopakujete dvakrát, môžete získať nasledovné:
2 × 3 × 2 × 3
Preskupenie miest faktorov nemení produkt. To vám umožňuje zoskupiť podobné faktory:
2 × 2 × 3 × 3
Opakujúce sa faktory je možné nahradiť krátkymi zápismi - bázami s indikátormi. Súčin 2 × 2 možno nahradiť 2 2 a súčin 3 × 3 možno nahradiť 3 2. Potom sa výraz 2 × 2 × 3 × 3 stane výrazom 2 2 × 3 2.
Nechaj ab pôvodné dielo. Pozdvihnúť daný produkt na moc n, musíte faktory vynásobiť samostatne a A b do určeného stupňa n
Táto vlastnosť platí pre ľubovoľný počet faktorov. Platné sú aj nasledujúce výrazy:
Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu (2 × 3 × 4) 2
V tomto príklade musíte produkt zvýšiť 2 × 3 × 4 na druhý výkon. Aby ste to dosiahli, musíte zvýšiť každý faktor tohto produktu na druhú mocninu a znásobiť výsledky:
Príklad 3. Zdvihnite produkt na tretiu mocninu a×b×c
Umiestnime tento produkt do zátvoriek a označme číslo 3 ako indikátor
Príklad 4. Zdvihnite produkt 3 na tretiu mocninu xyz
Umiestnime tento produkt do zátvoriek a označme 3 ako indikátor
(3xyz) 3
Zvýšme každý faktor tohto produktu na tretiu mocninu:
(3xyz) 3 = 3 3 X 3 r 3 z 3
Číslo 3 až tretia mocnina sa rovná číslu 27. Zvyšok necháme nezmenený:
(3xyz) 3 = 3 3 X 3 r 3 z 3 = 27X 3 r 3 z 3
V niektorých príkladoch možno násobenie mocnín s rovnakými exponentmi nahradiť súčinom báz s rovnakým exponentom.
Vypočítajme napríklad hodnotu výrazu 5 2 × 3 2. Zvýšme každé číslo na druhú mocninu a vynásobme výsledky:
5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225
Nemusíte ale počítať každý stupeň zvlášť. Namiesto toho možno tento súčin mocnín nahradiť súčinom s jedným exponentom (5 × 3) 2 . Ďalej vypočítajte hodnotu v zátvorkách a zvýšte výsledok na druhú mocninu:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
V tomto prípade sa opäť použilo pravidlo umocňovania súčinu. Veď keby (a×b)n = a n × b n , To a n × b n = (a × b) n. To znamená, že ľavá a pravá strana rovnosti si vymenili miesta.
Zvýšenie stupňa na moc
Túto transformáciu sme považovali za príklad, keď sme sa snažili pochopiť podstatu identických transformácií stupňov.
Pri zvýšení mocniny na mocninu sa základ ponechá nezmenený a exponenty sa vynásobia:
(a n)m = a n x m
Napríklad výraz (2 3) 2 je mocnina umocnená na mocninu - dvojka na tretiu mocnina je umocnená na druhú. Ak chcete zistiť hodnotu tohto výrazu, základ môžete ponechať nezmenený a exponenty možno vynásobiť:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Toto pravidlo vychádza z predchádzajúcich pravidiel: umocnenie súčinu a základná vlastnosť stupňa.
Vráťme sa k výrazu (2 3) 2. Výraz v zátvorkách 2 3 je súčinom troch rovnakých faktorov, z ktorých každý sa rovná 2. Potom vo výraze (2 3) možno 2 mocniny v zátvorkách nahradiť súčinom 2 × 2 × 2.
(2 × 2 × 2) 2
A toto je umocnenie produktu, ktorý sme študovali skôr. Pripomeňme si, že na zvýšenie výkonu produktu je potrebné zvýšiť každý faktor daného produktu na uvedený výkon a vynásobiť získané výsledky:
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2
Teraz sa zaoberáme základnou vlastnosťou stupňa. Základ necháme nezmenený a spočítame ukazovatele:
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Ako predtým, dostali sme 26. Hodnota tohto stupňa je 64
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Produkt, ktorého faktory sú zároveň mocnosťami, možno tiež povýšiť na moc.
Napríklad nájdime hodnotu výrazu (2 2 × 3 2) 3. Tu sa ukazovatele každého multiplikátora musia vynásobiť celkovým ukazovateľom 3. Ďalej nájdite hodnotu každého stupňa a vypočítajte súčin:
(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656
Približne to isté sa stane pri zvýšení výkonu produktu. Povedali sme, že pri zvýšení výkonu produktu sa každý faktor tohto produktu zvýši na uvedený výkon.
Napríklad, ak chcete zvýšiť súčin 2 × 4 na tretiu mocninu, napíšte nasledujúci výraz:
Ale skôr sa hovorilo, že ak je číslo uvedené bez ukazovateľa, potom sa ukazovateľ musí považovať za rovný jednej. Ukazuje sa, že faktory súčinu 2 × 4 majú na začiatku exponenty rovné 1. To znamená, že výraz 2 1 × 4 1 bol umocnený na tretiu mocninu. A toto sa o stupeň zvyšuje.
Prepíšme riešenie pomocou pravidla pre zvýšenie mocniny na mocninu. Mali by sme dostať rovnaký výsledok:
Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu (3 3) 2
Základ necháme nezmenený a vynásobíme ukazovatele:
Máme 36. Číslo 3 až šiesta mocnina je číslo 729
Príklad 3xy)³
Príklad 4. Vykonajte umocnenie vo výraze ( abc)⁵
Zvýšme každý faktor súčinu na piatu mocninu:
Príklad 5sekera) 3
Zvýšme každý faktor súčinu na tretiu mocninu:
Keďže záporné číslo −2 bolo umocnené na tretiu mocninu, umiestnilo sa do zátvoriek.
Príklad 6. Vykonajte umocňovanie vo výraze (10 xy) 2
Príklad 7. Vykonajte umocnenie vo výraze (-5 X) 3
Príklad 8. Vykonajte umocnenie vo výraze (−3 r) 4
Príklad 9. Vykonajte umocnenie vo výraze (-2 abx)⁴
Príklad 10. Zjednodušte výraz X 5×( X 2) 3
stupňa X 5 necháme zatiaľ nezmenené a vo výraze ( X 2) 3 vykonáme zvýšenie výkonu na výkon:
X 5 × (X 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6
Teraz urobme násobenie X 5 × x 6. Využijeme k tomu základnú vlastnosť stupňa – základ X Nechajme to nezmenené a spočítajme ukazovatele:
X 5 × (X 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = X 5 + 6 = X 11
Príklad 9. Nájdite hodnotu výrazu 4 3 × 2 2 pomocou základnej vlastnosti mocniny.
Základnú vlastnosť stupňa možno použiť, ak sú základy pôvodných stupňov rovnaké. V tomto príklade sú základy odlišné, takže najprv musíte trochu upraviť pôvodný výraz, konkrétne sa uistiť, že základy mocnin sú rovnaké.
Pozrime sa bližšie na stupeň 4 3. Základom tohto stupňa je číslo 4, ktoré možno znázorniť ako 2 2. Potom bude mať pôvodný výraz tvar (2 2) 3 × 2 2. Zvýšením mocniny na mocninu vo výraze (2 2) 3 dostaneme 2 6. Potom bude mať pôvodný výraz tvar 2 6 × 2 2, ktorý možno vypočítať pomocou základnej vlastnosti mocniny.
Zapíšme si riešenie tohto príkladu:
Delenie stupňov
Ak chcete vykonať rozdelenie právomocí, musíte nájsť hodnotu každej sily a potom rozdeliť bežné čísla.
Napríklad vydeľme 4 3 číslom 2 2.
Vypočítajme 4 3, dostaneme 64. Vypočítajte 2 2, dostanete 4. Teraz vydeľte 64 4, dostanete 16
Ak sa pri delení mocnín ukáže, že základy sú rovnaké, základ možno ponechať nezmenený a exponent deliteľa možno odpočítať od exponentu deliteľa.
Napríklad nájdime hodnotu výrazu 2 3: 2 2
Základ 2 necháme nezmenený a od exponentu dividendy odpočítame exponent deliteľa:
To znamená, že hodnota výrazu 2 3: 2 2 sa rovná 2.
Táto vlastnosť je založená na násobení mocnín s rovnakými základmi, alebo, ako sme zvykli hovoriť, základnej vlastnosti mocniny.
Vráťme sa k predchádzajúcemu príkladu 2 3: 2 2. Tu je dividenda 2 3 a deliteľ je 2 2.
Deliť jedno číslo druhým znamená nájsť číslo, ktoré po vynásobení deliteľom bude mať za následok dividendu.
V našom prípade delenie 2 3 2 2 znamená nájdenie mocniny, ktorá po vynásobení deliteľom 2 2 dostane 2 3. Akú mocninu možno vynásobiť 2 2, aby sme dostali 2 3? Je zrejmé, že iba stupeň 2 je 1. Zo základnej vlastnosti stupňa máme:
Môžete si overiť, že hodnota výrazu 2 3: 2 2 sa rovná 2 1 priamym výpočtom samotného výrazu 2 3: 2 2. Aby sme to urobili, najprv nájdeme hodnotu mocniny 2 3, dostaneme 8. Potom nájdeme hodnotu mocniny 2 2, dostaneme 4. Vydelíme 8 4, dostaneme 2 alebo 2 1, pretože 2 = 2 1.
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
Pri delení mocnín s rovnakými základmi teda platí nasledujúca rovnosť:
Môže sa tiež stať, že nielen dôvody, ale aj ukazovatele môžu byť rovnaké. V tomto prípade bude odpoveď jedna.
Napríklad nájdime hodnotu výrazu 2 2: 2 2. Vypočítajme hodnotu každého stupňa a rozdeľme výsledné čísla:
Pri riešení príkladu 2 2: 2 2 môžete použiť aj pravidlo delenia mocnín s rovnakými základmi. Výsledkom je číslo s nulovou mocninou, pretože rozdiel medzi exponentmi mocnín 2 2 a 2 2 je rovný nule:
Vyššie sme zistili, prečo sa číslo 2 s nulovou mocninou rovná jednej. Ak vypočítate 2 2: 2 2 pomocou bežnej metódy, bez použitia pravidla rozdelenia moci, dostanete jeden.
Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu 4 12: 4 10
Ponechajme 4 nezmenené a odpočítajme exponent deliteľa od exponentu dividendy:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Príklad 3. Uveďte kvocient X 3: X vo forme moci so základom X
Využime pravidlo rozdelenia moci. Základňa X Nechajme to nezmenené a odpočítajme exponent deliteľa od exponentu dividendy. Exponent deliteľa sa rovná jednej. Pre prehľadnosť si to napíšme:
Príklad 4. Uveďte kvocient X 3: X 2 ako mocnina so základňou X
Využime pravidlo rozdelenia moci. Základňa X
Delenie právomocí možno zapísať ako zlomok. Takže predchádzajúci príklad možno napísať takto:
Čitateľ a menovateľ zlomku možno písať v rozšírenej forme, a to vo forme súčinov rovnakých faktorov. stupňa X 3 možno zapísať ako x × x × x a stupeň X 2 ako x × x. Potom dizajn X 3 − 2 možno preskočiť a zlomok možno zmenšiť. Bude možné znížiť dva faktory v čitateli a menovateli X. V dôsledku toho zostane jeden multiplikátor X
Alebo ešte kratšie:
Užitočná je aj schopnosť rýchlo zmenšiť zlomky pozostávajúce z mocnin. Napríklad zlomok môže byť znížený o X 2. Znížiť zlomok o X 2 musíte vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku o X 2
Rozdelenie stupňov netreba podrobne popisovať. Vyššie uvedená skratka môže byť skrátená:
Alebo ešte kratšie:
Príklad 5. Vykonajte rozdelenie X 12 :X 3
Využime pravidlo rozdelenia moci. Základňa X ponechajte nezmenené a odpočítajte exponent deliteľa od exponentu dividendy:
Napíšme riešenie pomocou redukcie zlomkov. Delenie stupňov X 12 :X Napíšeme 3 do tvaru . Ďalej tento zlomok znížime X 3 .
Príklad 6. Nájdite hodnotu výrazu
V čitateli vykonávame násobenie mocnín s rovnakými základmi:
Teraz použijeme pravidlo delenia mocnín s rovnakými základmi. Základ 7 necháme nezmenený a od exponentu dividendy odpočítame exponent deliteľa:
Príklad dokončíme výpočtom mocniny 7 2
Príklad 7. Nájdite hodnotu výrazu
Zvýšme silu na mocninu v čitateli. Musíte to urobiť pomocou výrazu (2 3) 4
Teraz vynásobme mocniny s rovnakými základmi v čitateli.
