В тази статия ще разгледаме метод за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.

Хомогенните тригонометрични уравнения имат същата структура като хомогенните уравнения от всеки друг тип. Нека ви напомня за метода за решаване на хомогенни уравнения от втора степен:

Нека разгледаме хомогенни уравнения от вида

Отличителни черти на хомогенните уравнения:

а) всички мономи имат еднаква степен,

б) свободният член е нула,

в) уравнението съдържа степени с две различни основи.

Хомогенните уравнения се решават с помощта на подобен алгоритъм.

За да решим този тип уравнение, разделяме двете страни на уравнението на (може да се раздели на или на)

внимание! Когато разделяте дясната и лявата страна на уравнение на израз, съдържащ неизвестно, можете да загубите корени. Следователно е необходимо да проверим дали корените на израза, на който разделяме двете страни на уравнението, са корените на първоначалното уравнение.

Ако е така, тогава записваме този корен, за да не го забравим по-късно, и след това разделяме израза на това.

Като цяло, първото нещо, което трябва да направите, когато решавате всяко уравнение, което има нула от дясната страна, е да се опитате да разложите лявата страна на уравнението по всеки възможен начин. И след това приравнете всеки фактор на нула. В този случай определено няма да загубим корените.

И така, внимателно разделете лявата страна на уравнението на израза член по член. Получаваме:

Нека намалим числителя и знаменателя на втората и третата дроби:

Нека представим замяната:

Получаваме квадратно уравнение:

Нека решим квадратното уравнение, намерим стойностите на и след това се върнем към първоначалното неизвестно.

Когато решавате хомогенни тригонометрични уравнения, има няколко важни неща, които трябва да запомните:

1. Фиктивният член може да се преобразува в квадрат на синус и косинус, като се използва основната тригонометрична идентичност:

2. Синусът и косинусът на двоен аргумент са мономи от втора степен - синусът на двоен аргумент може лесно да се преобразува в произведението на синус и косинус, а косинусът на двоен аргумент в квадрат на синус или косинус:

Нека да разгледаме няколко примера за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.

1 . Нека решим уравнението:

Това е класически пример за хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен: степента на всеки моном е равна на единица, отсеченият член е равен на нула.

Преди да разделите двете страни на уравнението на , трябва да проверите дали корените на уравнението не са корените на оригиналното уравнение. Проверяваме: if , then title="sin(x)0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Нека разделим двете страни на уравнението на .

Получаваме:

, Където

, Където

Отговор: , Където

2. Нека решим уравнението:

Това е пример за хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен. Спомняме си, че ако можем да разложим лявата страна на уравнението, тогава е препоръчително да го направим. В това уравнение можем да поставим. Хайде да го направим:

Решение на първото уравнение: , където

Второто уравнение е хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен. За да го решите, разделете двете страни на уравнението на . Получаваме:

Отговор: , където ,

3. Нека решим уравнението:

За да направим това уравнение „стана“ хомогенно, ние го трансформираме в продукт и представяме числото 3 като сбор от квадратите на синуса и косинуса:

Нека преместим всички термини вляво, отворим скобите и представим подобни термини. Получаваме:

Нека разложим на фактори лявата страна и зададем всеки фактор равен на нула:

Отговор: , където ,

4 . Нека решим уравнението:

Виждаме какво можем да извадим от скобите. Хайде да го направим:

Нека приравним всеки фактор към нула:

Решение на първото уравнение:

Второто уравнение на популацията е класическо хомогенно уравнение от втора степен. Корените на уравнението не са корените на оригиналното уравнение, така че разделяме двете страни на уравнението на:

Решение на първото уравнение:

Решение на второто уравнение.

Мисля, че трябва да започнем с историята на такъв славен математически инструмент като диференциалните уравнения. Както всички диференциални и интегрални смятания, тези уравнения са изобретени от Нютон в края на 17 век. Той смята това свое откритие за толкова важно, че дори криптира съобщение, което днес може да се преведе по следния начин: „Всички закони на природата се описват с диференциални уравнения“. Това може да изглежда като преувеличение, но е истина. Всеки закон на физиката, химията, биологията може да бъде описан с тези уравнения.

Математиците Ойлер и Лагранж имат огромен принос в развитието и създаването на теорията на диференциалните уравнения. Още през 18 век те откриват и развиват това, което сега изучават в университетските курсове.

Нов крайъгълен камък в изучаването на диференциалните уравнения започва благодарение на Анри Поанкаре. Той създава „качествената теория на диференциалните уравнения“, която, съчетана с теорията на функциите на комплексна променлива, има значителен принос в основата на топологията - науката за пространството и неговите свойства.

Какво представляват диференциалните уравнения?

Много хора се страхуват от една фраза, но в тази статия ще очертаем подробно цялата същност на този много полезен математически апарат, който всъщност не е толкова сложен, колкото изглежда от името. За да започнете да говорите за диференциални уравнения от първи ред, първо трябва да се запознаете с основните понятия, които са присъщо свързани с това определение. И ще започнем с диференциала.

Диференциал

Много хора познават тази концепция още от училище. Нека обаче го разгледаме по-отблизо. Представете си графиката на функция. Можем да го увеличим до такава степен, че всеки сегмент от него да приеме формата на права линия. Нека вземем две точки от него, които са безкрайно близо една до друга. Разликата между техните координати (x или y) ще бъде безкрайно малка. Нарича се диференциал и се обозначава със знаците dy (диференциал на y) и dx (диференциал на x). Много е важно да се разбере, че диференциалът не е крайна величина и това е неговият смисъл и основна функция.

Сега трябва да разгледаме следващия елемент, който ще ни бъде полезен при обяснението на понятието диференциално уравнение. Това е производно.

Производна

Вероятно всички сме чували тази концепция в училище. Казва се, че производната е скоростта, с която дадена функция нараства или намалява. От това определение обаче много става неясно. Нека се опитаме да обясним производната чрез диференциали. Нека се върнем към безкрайно малък сегмент от функция с две точки, които са на минимално разстояние една от друга. Но дори и на това разстояние функцията успява да се промени с известна сума. И за да опишат тази промяна, те излязоха с производна, която иначе може да бъде записана като отношение на диференциали: f(x)"=df/dx.

Сега си струва да разгледаме основните свойства на производното. Има само три от тях:

1. Производната на сума или разлика може да бъде представена като сума или разлика на производни: (a+b)"=a"+b" и (a-b)"=a"-b".
2. Второто свойство е свързано с умножението. Производната на продукт е сумата от продуктите на една функция и производната на друга: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Производната на разликата може да се запише като следното равенство: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Всички тези свойства ще ни бъдат полезни за намиране на решения на диференциални уравнения от първи ред.

Има и частични производни. Да кажем, че имаме функция z, която зависи от променливите x и y. За да изчислим частната производна на тази функция, да кажем, по отношение на x, трябва да приемем променливата y като константа и просто да диференцираме.

Интеграл

Друго важно понятие е интегралът. Всъщност това е точно обратното на дериват. Има няколко вида интеграли, но за решаването на най-простите диференциални уравнения се нуждаем от най-тривиалните

Да кажем, че имаме някаква зависимост на f от х. Вземаме интеграла от него и получаваме функцията F(x) (често наричана антипроизводна), чиято производна е равна на оригиналната функция. Така F(x)"=f(x). От това също следва, че интегралът на производната е равен на оригиналната функция.

Когато решавате диференциални уравнения, е много важно да разберете значението и функцията на интеграла, тъй като ще трябва да ги приемате много често, за да намерите решението.

Уравненията варират в зависимост от тяхното естество. В следващия раздел ще разгледаме типовете диференциални уравнения от първи ред и след това ще научим как да ги решаваме.

Класове диференциални уравнения

„Diffurs“ се разделят според реда на производните, включени в тях. Така има първи, втори, трети и повече ред. Те също могат да бъдат разделени на няколко класа: обикновени и частични производни.

В тази статия ще разгледаме обикновени диференциални уравнения от първи ред. Също така ще обсъдим примери и начини за решаването им в следващите раздели. Ще разгледаме само ODE, тъй като това са най-често срещаните видове уравнения. Обикновените са разделени на подвидове: с отделими променливи, хомогенни и разнородни. След това ще научите как се различават един от друг и как да ги решавате.

В допълнение, тези уравнения могат да бъдат комбинирани, така че да получим система от диференциални уравнения от първи ред. Ние също ще разгледаме такива системи и ще научим как да ги решаваме.

Защо обмисляме само първа поръчка? Защото трябва да започнете с нещо просто и е просто невъзможно да се опише всичко свързано с диференциалните уравнения в една статия.

Разделими уравнения

Това са може би най-простите диференциални уравнения от първи ред. Те включват примери, които могат да бъдат записани по следния начин: y"=f(x)*f(y). За да решим това уравнение, имаме нужда от формула за представяне на производната като отношение на диференциали: y"=dy/dx. Използвайки го, получаваме следното уравнение: dy/dx=f(x)*f(y). Сега можем да се обърнем към метода за решаване на стандартни примери: ще разделим променливите на части, тоест ще преместим всичко с променливата y в частта, където се намира dy, и ще направим същото с променливата x. Получаваме уравнение от вида: dy/f(y)=f(x)dx, което се решава чрез вземане на интеграли от двете страни. Не забравяйте за константата, която трябва да бъде зададена след вземане на интеграла.

Решението на всяка „дифузия“ е функция на зависимостта на x от y (в нашия случай) или, ако е налице числово условие, тогава отговорът е под формата на число. Нека да разгледаме целия процес на решение, използвайки конкретен пример:

Нека преместим променливите в различни посоки:

Сега да вземем интегралите. Всички те могат да бъдат намерени в специална таблица с интеграли. И получаваме:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Ако е необходимо, можем да изразим "y" като функция на "x". Сега можем да кажем, че нашето диференциално уравнение е решено, ако условието не е определено. Може да се посочи условие, например y(n/2)=e. След това просто заместваме стойностите на тези променливи в решението и намираме стойността на константата. В нашия пример е 1.

Хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Сега да преминем към по-трудната част. Хомогенните диференциални уравнения от първи ред могат да бъдат записани в общ вид, както следва: y"=z(x,y). Трябва да се отбележи, че дясната функция на две променливи е хомогенна и не може да бъде разделена на две зависимости : z върху x и z върху y. Проверката дали уравнението е хомогенно или не е доста проста: правим замяната x=k*x и y=k*y. Сега анулираме всички k. Ако всички тези букви са анулирани , тогава уравнението е хомогенно и можете спокойно да започнете да го решавате.Гледайки напред, да кажем: принципът на решаване на тези примери също е много прост.

Трябва да направим замяна: y=t(x)*x, където t е определена функция, която също зависи от x. Тогава можем да изразим производната: y"=t"(x)*x+t. Замествайки всичко това в нашето първоначално уравнение и го опростявайки, получаваме пример с разделими променливи t и x. Решаваме го и получаваме зависимостта t(x). Когато го получим, ние просто заместваме y=t(x)*x в нашата предишна замяна. Тогава получаваме зависимостта на y от x.

За да стане по-ясно, нека разгледаме пример: x*y"=y-x*e y/x .

При проверка със смяна всичко е намалено. Това означава, че уравнението е наистина хомогенно. Сега правим друга замяна, за която говорихме: y=t(x)*x и y"=t"(x)*x+t(x). След опростяване получаваме следното уравнение: t"(x)*x=-e t. Решаваме получения пример с разделени променливи и получаваме: e -t =ln(C*x). Всичко, което трябва да направим, е да заменим t с y/x (в края на краищата, ако y =t*x, тогава t=y/x), и получаваме отговора: e -y/x =ln(x*C).

Линейни диференциални уравнения от първи ред

Време е да разгледаме друга широка тема. Ще анализираме нехомогенни диференциални уравнения от първи ред. С какво се различават от предишните две? Нека да го разберем. Линейните диференциални уравнения от първи ред в общ вид могат да бъдат записани по следния начин: y" + g(x)*y=z(x). Струва си да се изясни, че z(x) и g(x) могат да бъдат постоянни величини.

А сега пример: y" - y*x=x 2 .

Има две решения и ще разгледаме и двете по ред. Първият е методът за вариране на произволни константи.

За да решите уравнението по този начин, първо трябва да приравните дясната страна на нула и да решите полученото уравнение, което след прехвърляне на частите ще приеме формата:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Сега трябва да заменим константата C 1 с функцията v(x), която трябва да намерим.

Нека заменим производната:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2.

И заместете тези изрази в оригиналното уравнение:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Можете да видите, че от лявата страна два члена се анулират. Ако в някой пример това не се случи, значи сте направили нещо нередно. Да продължим:

v"*e x2/2 = x 2 .

Сега решаваме обичайното уравнение, в което трябва да разделим променливите:

dv/dx=x 2 /e x2/2;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

За да извлечем интеграла, ще трябва да приложим интегриране по части тук. Това обаче не е темата на нашата статия. Ако се интересувате, можете сами да научите как да извършвате такива действия. Не е трудно и с достатъчно умения и грижи не отнема много време.

Нека се обърнем към втория метод за решаване на нехомогенни уравнения: методът на Бернули. Кой подход е по-бърз и лесен, зависи от вас да решите.

Така че, когато решаваме уравнение с този метод, трябва да направим заместване: y=k*n. Тук k и n са някои зависими от x функции. Тогава производната ще изглежда така: y"=k"*n+k*n". Заместваме двете замени в уравнението:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Групиране:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Сега трябва да приравним към нула това, което е в скобите. Сега, ако комбинираме двете получени уравнения, получаваме система от диференциални уравнения от първи ред, която трябва да бъде решена:

Решаваме първото равенство като обикновено уравнение. За да направите това, трябва да разделите променливите:

Взимаме интеграла и получаваме: ln(n)=x 2 /2. Тогава, ако изразим n:

Сега заместваме полученото равенство във второто уравнение на системата:

k"*e x2/2 =x 2 .

И трансформирайки, получаваме същото равенство като в първия метод:

dk=x 2 /e x2/2.

Също така няма да обсъждаме по-нататъшни действия. Струва си да се каже, че първоначално решаването на диференциални уравнения от първи ред причинява значителни трудности. С навлизането в темата обаче започва да се получава все по-добре.

Къде се използват диференциалните уравнения?

Диференциалните уравнения се използват много активно във физиката, тъй като почти всички основни закони са написани в диференциална форма и формулите, които виждаме, са решения на тези уравнения. В химията те се използват по същата причина: с тяхна помощ се извеждат основните закони. В биологията диференциалните уравнения се използват за моделиране на поведението на системи, като хищник и плячка. Те могат да се използват и за създаване на модели на възпроизвеждане на, да речем, колония от микроорганизми.

Как диференциалните уравнения могат да ви помогнат в живота?

Отговорът на този въпрос е прост: изобщо не. Ако не сте учен или инженер, едва ли ще са ви полезни. Въпреки това, за общо развитие няма да навреди да знаете какво е диференциално уравнение и как се решава. И тогава въпросът на сина или дъщерята е „какво е диференциално уравнение?“ няма да те обърка. Е, ако сте учен или инженер, тогава вие сами разбирате важността на тази тема във всяка наука. Но най-важното е, че сега въпросът "как да се реши диференциално уравнение от първи ред?" винаги можеш да дадеш отговор. Съгласете се, винаги е хубаво, когато разбирате нещо, което хората дори се страхуват да разберат.

Основни проблеми при ученето

Основният проблем при разбирането на тази тема е слабото умение за интегриране и диференциране на функциите. Ако не сте добри в производните и интегралите, тогава вероятно си струва да изучавате повече, да овладеете различни методи за интегриране и диференциране и едва след това да започнете да изучавате материала, описан в статията.

Някои хора са изненадани, когато научат, че dx може да се пренесе, защото преди това (в училище) беше заявено, че фракцията dy/dx е неделима. Тук трябва да прочетете литературата за производната и да разберете, че това е съотношение на безкрайно малки количества, които могат да бъдат манипулирани при решаване на уравнения.

Много хора не осъзнават веднага, че решаването на диференциални уравнения от първи ред често е функция или интеграл, който не може да бъде взет, и това погрешно схващане им създава много проблеми.

Какво друго можете да изучавате за по-добро разбиране?

Най-добре е да започнете по-нататъшно потапяне в света на диференциалното смятане със специализирани учебници, например по математически анализ за студенти от нематематически специалности. След това можете да преминете към по-специализирана литература.

Струва си да се каже, че в допълнение към диференциалните уравнения има и интегрални уравнения, така че винаги ще имате към какво да се стремите и какво да изучавате.

Заключение

Надяваме се, че след като прочетете тази статия, имате представа какво представляват диференциалните уравнения и как да ги решавате правилно.

Във всеки случай математиката ще ни бъде полезна в живота по някакъв начин. Развива логиката и вниманието, без които всеки човек е без ръце.

Спри се! Нека се опитаме да разберем тази тромава формула.

Първата променлива в степента с някакъв коефициент трябва да е първа. В нашия случай е така

В нашия случай е така. Както разбрахме, това означава, че степента при първата променлива се сближава. И втората променлива на първа степен е на мястото си. Коефициент.

Имаме го.

Първата променлива е степен, а втората променлива е на квадрат с коефициент. Това е последният член в уравнението.

Както можете да видите, нашето уравнение отговаря на определението под формата на формула.

Нека да разгледаме втората (вербална) част от определението.

Имаме две неизвестни и. Тук се събира.

Нека разгледаме всички условия. При тях сумата от степените на неизвестните трябва да е еднаква.

Сборът от градусите е равен.

Сумата от степените е равна на (at и at).

Сборът от градусите е равен.

Както виждате всичко си пасва!!!

Сега нека се упражним да дефинираме хомогенни уравнения.

Определете кои от уравненията са хомогенни:

Хомогенни уравнения - уравнения с числа:

Нека разгледаме уравнението отделно.

Ако разделим всеки член, като разложим всеки член, получаваме

И това уравнение напълно попада в определението за еднородни уравнения.

Как се решават хомогенни уравнения?

Пример 2.

Нека разделим уравнението на.

Според нашето условие y не може да бъде равно. Следователно можем спокойно да разделим по

Правейки заместването, получаваме просто квадратно уравнение:

Тъй като това е редуцирано квадратно уравнение, използваме теоремата на Виета:

След като направим обратното заместване, получаваме отговора

Отговор:

Пример 3.

Нека разделим уравнението на (по условие).

Отговор:

Пример 4.

Намерете дали.

Тук не трябва да разделяте, а да умножавате. Нека умножим цялото уравнение по:

Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:

След като направихме обратното заместване, получаваме отговора:

Отговор:

Решаване на еднородни тригонометрични уравнения.

Решаването на хомогенни тригонометрични уравнения не се различава от методите за решаване, описани по-горе. Само тук, наред с други неща, трябва да знаете малко тригонометрия. И да можете да решавате тригонометрични уравнения (за това можете да прочетете раздела).

Нека да разгледаме такива уравнения, използвайки примери.

Пример 5.

Решете уравнението.

Виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни и сборът от техните степени във всеки член е равен.

Такива хомогенни уравнения не са трудни за решаване, но преди да разделите уравненията на, разгледайте случая, когато

В този случай уравнението ще приеме формата: , така че. Но синус и косинус не могат да бъдат равни едновременно, защото според основното тригонометрично тъждество. Следователно можем спокойно да го разделим на:

Тъй като уравнението е дадено, тогава според теоремата на Vieta:

Отговор:

Пример 6.

Решете уравнението.

Както в примера, трябва да разделите уравнението на. Да разгледаме случая, когато:

Но синус и косинус не могат да бъдат равни едновременно, защото според основното тригонометрично тъждество. Ето защо.

Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:

Нека направим обратното заместване и намерим и:

Отговор:

Решаване на хомогенни експоненциални уравнения.

Хомогенните уравнения се решават по същия начин като тези, обсъдени по-горе. Ако сте забравили как се решават експоненциални уравнения, вижте съответния раздел ()!

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 7.

Решете уравнението

Нека си го представим така:

Виждаме типично хомогенно уравнение с две променливи и сбор от степени. Нека разделим уравнението на:

Както можете да видите, като направим заместването, получаваме квадратното уравнение по-долу (няма нужда да се страхувате от разделяне на нула - винаги е строго по-голямо от нула):

Според теоремата на Виета:

Отговор: .

Пример 8.

Решете уравнението

Нека си го представим така:

Нека разделим уравнението на:

Нека направим замяна и решим квадратното уравнение:

Коренът не отговаря на условието. Нека направим обратното заместване и намерим:

Отговор:

ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Първо, като използвам примера на един проблем, нека ви напомня какво представляват еднородните уравнения и какво е решението на еднородните уравнения.

Реши задачата:

Намерете дали.

Тук можете да забележите нещо любопитно: ако разделим всеки член на, получаваме:

Тоест, сега няма отделни и, - сега променливата в уравнението е желаната стойност. И това е обикновено квадратно уравнение, което може лесно да се реши с помощта на теоремата на Виета: произведението на корените е равно, а сборът е числата и.

Отговор:

Уравнения на формата

се нарича хомогенна. Тоест, това е уравнение с две неизвестни, всеки член от които има същата сума от степени на тези неизвестни. Например в горния пример тази сума е равна на. Хомогенните уравнения се решават чрез разделяне на едно от неизвестните до следната степен:

И последващата замяна на променливи: . Така получаваме степенно уравнение с едно неизвестно:

Най-често ще срещнем уравнения от втора степен (т.е. квадратни) и знаем как да ги решим:

Обърнете внимание, че можем да разделим (и умножим) цялото уравнение на променлива само ако сме убедени, че тази променлива не може да бъде равна на нула! Например, ако ни помолят да намерим, ние веднага разбираме това, тъй като е невъзможно да се раздели. В случаите, когато това не е толкова очевидно, е необходимо да се провери отделно случаят, когато тази променлива е равна на нула. Например:

Решете уравнението.

Решение:

Тук виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни и сборът от техните степени във всеки член е равен.

Но преди да разделим на и да получим относително квадратно уравнение, трябва да разгледаме случая, когато. В този случай уравнението ще приеме формата: , което означава . Но синус и косинус не могат да бъдат равни на нула едновременно, тъй като според основното тригонометрично тъждество: . Следователно можем спокойно да го разделим на:

Надявам се, че това решение е напълно ясно? Ако не, прочетете раздела. Ако не е ясно откъде идва, трябва да се върнете още по-рано - в секцията.

Решете сами:

1. Намерете дали.
2. Намерете дали.
3. Решете уравнението.

Тук накратко ще напиша директно решението на хомогенни уравнения:

Решения:

Отговор: .

Но тук трябва да умножаваме, а не да разделяме:

Отговор:

Ако все още не сте го взели, можете да пропуснете този пример.

Тъй като тук трябва да разделим на, нека първо се уверим, че сто не е равно на нула:

А това е невъзможно.

Отговор: .

ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Решението на всички хомогенни уравнения се свежда до деление на една от неизвестните на степен и по-нататъшна промяна на променливите.

Алгоритъм:

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще имаш нужда решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - Купете учебник - 899 рубли

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!

В момента според основното ниво на изучаване на математика са предвидени само 4 часа за изучаване на математика в гимназията (2 часа алгебра, 2 часа геометрия). В селските малки училища те се опитват да увеличат броя на часовете поради училищния компонент. Но ако класът е хуманитарен, тогава се добавя училищен компонент за изучаване на хуманитарни предмети. В малко село ученикът често няма избор, той учи в този клас; който се предлага в училище. Той не възнамерява да стане юрист, историк или журналист (има такива случаи), но иска да стане инженер или икономист, така че трябва да премине Единния държавен изпит по математика с високи резултати. При такива обстоятелства учителят по математика трябва сам да намери изход от настоящата ситуация, освен това, според учебника на Колмогоров, не е предвидено изучаването на темата „хомогенни уравнения“. През последните години ми отне два двойни урока, за да представя тази тема и да я затвърдя. За съжаление нашата инспекция по възпитателен надзор забрани двукратните часове в училище, поради което се наложи броят на упражненията да бъде намален на 45 минути и съответно степента на трудност на упражненията беше намалена до средна. Предлагам на вашето внимание план на урок по тази тема в 10 клас с основно ниво на изучаване на математика в селско малко училище.

Тип урок: традиционен.

Мишена: научете се да решавате типични хомогенни уравнения.

Задачи:

Когнитивна:

Развитие:

Образователни:

• Насърчаване на упорит труд чрез търпеливо изпълнение на задачите, чувство за другарство чрез работа по двойки и групи.

По време на часовете

азОрганизационни сцена(3 мин.)

II. Проверка на знанията, необходими за усвояване на нов материал (10 мин.)

Идентифицирайте основните трудности с допълнителен анализ на изпълнените задачи. Момчетата избират 3 варианта. Задачи, диференцирани по степен на трудност и степен на подготвеност на децата, последвани от обяснение на дъската.

Ниво 1. Решете уравненията:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Отговори: 7;3

Ниво 2. Решаване на прости тригонометрични уравнения и биквадратни уравнения:

отговори:

б) x 4 -13x 3 +36=0 Отговори: -2; 2; -3; 3

Ниво 3.Решаване на уравнения чрез промяна на променливи:

б) x 6 -9x 3 +8=0 Отговори:

III.Комуникиране на темата, поставяне на цели и задачи.

Предмет: Хомогенни уравнения

Мишена: научете се да решавате типични хомогенни уравнения

Задачи:

Когнитивна:

• запознайте се с еднородни уравнения, научете се да решавате най-често срещаните видове такива уравнения.

Развитие:

• Развитие на аналитично мислене.
• Развитие на математически умения: научете се да идентифицирате основните характеристики, по които хомогенните уравнения се различават от другите уравнения, да можете да установите сходството на хомогенните уравнения в техните различни проявления.

IV. Научаване на нови знания (15 мин.)

1. Лекционен момент.

Определение 1(Запишете го в тетрадка). Уравнение от формата P(x;y)=0 се нарича хомогенно, ако P(x;y) е хомогенен полином.

Полином от две променливи x и y се нарича хомогенен, ако степента на всеки от членовете му е равна на едно и също число k.

Определение 2(Само въведение). Уравнения на формата

се нарича хомогенно уравнение от степен n по отношение на u(x) и v(x). Като разделим двете страни на уравнението на (v(x))n, можем да използваме заместване, за да получим уравнението

Което ни позволява да опростим първоначалното уравнение. Случаят v(x)=0 трябва да се разглежда отделно, тъй като е невъзможно да се раздели на 0.

2. Примери за хомогенни уравнения:

Обяснете: защо са хомогенни, дайте примери за такива уравнения.

3. Задача за определяне на хомогенни уравнения:

Сред дадените уравнения открийте хомогенни уравнения и обяснете избора си:

След като обясните избора си, използвайте един от примерите, за да покажете как се решава хомогенно уравнение:

4. Решете сами:

Отговор:

б) 2sin x – 3 cos x =0

Разделяме двете страни на уравнението на cos x, получаваме 2 tg x -3=0, tg x=⅔, x=arctg⅔ +

5. Покажете решението на пример от брошурата„П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в училищен курс по математика. Московски педагогически университет "Първи септември" 2006 стр.22. Като един от възможните примери за Единен държавен изпит ниво C.

V. Решете за консолидация по учебника на Башмаков

стр. 183 № 59 (1.5) или според учебника, редактиран от Колмогоров: стр. 81 № 169 (а, в)

отговори:

VI. Тест, самостоятелна работа (7 мин.)

1 вариант	Вариант 2
Решете уравнения:
а) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	а) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
б) cos 2 -3sin 2 =0	б)

Отговори на задачите:

Вариант 1 а) Отговор: arctan2+πn,n € Z; б) Отговор: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Вариант 2 а) Отговор: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Отговор: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2)

VII. Домашна работа

№ 169 по Колмогоров, № 59 по Башмаков.

Освен това решете системата от уравнения:

Отговор: arctan(-1±√3) +πn,

Препратки:

1. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в училищен курс по математика. – М.: Педагогически университет „Първи септември”, 2006. стр. 22
2. А. Мерзляк, В. Полонски, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. – М.: „AST-PRESS“, 1998, стр. 389
3. Алгебра за 8 клас, под редакцията на Н.Я. Виленкина. – М.: „Просвещение“, 1997 г.
4. Алгебра за 9 клас, под редакцията на Н.Я. Виленкина. Москва "Просвещение", 2001 г.
5. M.I. Башмаков. Алгебра и началото на анализа. За 10-11 клас - М.: "Просвещение", 1993 г
6. Колмогоров, Абрамов, Дудницин. Алгебра и началото на анализа. За 10-11 клас. – М.: „Просвещение“, 1990 г.
7. А.Г. Мордкович. Алгебра и началото на анализа. Част 1 Учебник за 10-11 клас. – М.: “Мнемозина”, 2004 г.

Хомогенна

В този урок ще разгледаме т.нар хомогенни диференциални уравнения от първи ред. Заедно с разделими уравненияИ линейни нееднородни уравненияТози тип дистанционно управление се намира в почти всяка тестова работа по темата за дифузьорите. Ако сте дошли на страницата от търсачка или не сте много уверени в разбирането на диференциалните уравнения, тогава силно препоръчвам първо да работите чрез уводен урок по темата - Диференциални уравнения от първи ред. Факт е, че много от принципите за решаване на хомогенни уравнения и използваните техники ще бъдат точно същите като за най-простите уравнения с разделими променливи.

Каква е разликата между хомогенните диференциални уравнения и другите видове диференциални уравнения? Най-лесният начин веднага да обясните това е с конкретен пример.

Пример 1

Решение:
Какво Първотрябва да се анализира при вземане на решение всякаквидиференциално уравнение първа поръчка? На първо място е необходимо да се провери дали е възможно незабавно да се разделят променливите с помощта на „училищни“ действия? Обикновено този анализ се прави наум или чрез опит за разделяне на променливите в чернова.

В този пример променливите не могат да бъдат разделени(можете да опитате да хвърляте термини от част на част, да повдигате фактори извън скоби и т.н.). Между другото, в този пример фактът, че променливите не могат да бъдат разделени, е съвсем очевиден поради наличието на множителя.

Възниква въпросът: как да се реши този дифузен проблем?

Трябва да проверите и Това уравнение не е ли хомогенно?? Проверката е проста и самият алгоритъм за проверка може да се формулира по следния начин:

Към първоначалното уравнение:

вместоние заместваме, вместоние заместваме, не докосваме производната:

Буквата ламбда е условен параметър и тук тя играе следната роля: ако в резултат на трансформации е възможно да се „унищожат“ ВСИЧКИ ламбда и да се получи оригиналното уравнение, тогава това диференциално уравнение е хомогенен.

Очевидно е, че ламбда веднага се редуцират от степента:

Сега от дясната страна изваждаме ламбда извън скобите:

и разделете двете части на тази същата ламбда:

Като резултат всичкоЛамбдите изчезнаха като сън, като утринна мъгла и ние получихме оригиналното уравнение.

Заключение:Това уравнение е хомогенно

Как да решим хомогенно диференциално уравнение?

Имам много добри новини. Абсолютно всички хомогенни уравнения могат да бъдат решени с едно (!) стандартно заместване.

Функцията „игра“ трябва да бъде замени работанякаква функция (също зависи от „x“)и "x":

Те почти винаги пишат кратко:

Откриваме в какво ще се превърне производната с такава замяна, използваме правилото за диференциране на продукта. Ако , тогава:

Заместваме в оригиналното уравнение:

Какво ще даде такава замяна? След тази замяна и опростявания ние гарантиранополучаваме уравнение с разделими променливи. ПОМНЯкато първа любов :) и съответно .

След заместване извършваме максимални опростявания:

Тъй като е функция, зависеща от „x“, нейната производна може да бъде записана като стандартна дроб: .
По този начин:

Разделяме променливите, докато от лявата страна трябва да съберете само „te“, а от дясната страна - само „x“:

Променливите са разделени, нека интегрираме:


Според първия ми технически съвет от статията Диференциални уравнения от първи ред, в много случаи е препоръчително да „формулирате“ константа под формата на логаритъм.

След като уравнението е интегрирано, трябва да изпълним обратна замяна, той също е стандартен и уникален:
Ако , тогава
В такъв случай:

В 18-19 случая от 20 решението на хомогенно уравнение се записва като общ интеграл.

Отговор:общ интеграл:

Защо отговорът на едно хомогенно уравнение почти винаги се дава под формата на общ интеграл?
В повечето случаи е невъзможно да се изрази явно „играта“ (да се получи общо решение), а ако е възможно, тогава най-често общото решение се оказва тромаво и тромаво.

Така например в разглеждания пример може да се получи общо решение чрез претегляне на логаритми от двете страни на общия интеграл:

- Е, това е наред. Въпреки че, трябва да признаете, все още е малко крив.

Между другото, в този пример не записах общия интеграл съвсем „прилично“. Не е грешка, но в "добър" стил ви напомням, че общият интеграл обикновено се записва във формата . За да направите това, веднага след интегрирането на уравнението, константата трябва да бъде записана без логаритъм (ето изключение от правилото!):

И след обратното заместване, получете общия интеграл в „класическата“ форма:

Полученият отговор може да бъде проверен. За да направите това, трябва да диференцирате общия интеграл, тоест да намерите производна на функция, зададена имплицитно:

Отърваваме се от дробите, като умножим всяка страна на уравнението по:

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че решението е намерено правилно.

Препоръчително е винаги да проверявате. Но хомогенните уравнения са неприятни с това, че обикновено е трудно да се проверят техните общи интеграли - това изисква много, много прилична техника на диференциране. В разглеждания пример по време на проверката вече беше необходимо да се намерят не най-простите производни (въпреки че самият пример е доста прост). Ако можете да го проверите, проверете го!

Следващият пример е за решаване сами - за да се ориентирате удобно в алгоритъма на действията:

Пример 2

Проверете уравнението за хомогенност и намерете неговия общ интеграл.

Напишете отговора във формата, изпълнете проверката.

И тук се оказа доста проста проверка.

И сега обещаната важна точка, спомената в самото начало на темата,
Ще подчертая с удебелени черни букви:

Ако по време на трансформации „нулираме“ множителя (не е константа)в знаменателя, тогава РИСКУВАМЕ да загубим решения!

И всъщност се сблъскахме с това в първия пример въвеждащ урок за диференциалните уравнения. В процеса на решаване на уравнението „y“ се оказа в знаменателя: , но очевидно е решение на DE и в резултат на неравномерно преобразуване (деление) има всички шансове да го загубите! Друго нещо е, че беше включено в общото решение при нулева стойност на константата. Нулирането на „X“ в знаменателя също може да бъде игнорирано, защото не отговаря на оригиналния дифузьор.

Подобна история с третото уравнение от същия урок, по време на решението на което „паднахме“ в знаменателя. Строго погледнато, тук трябваше да се провери дали този дифузер е решението? Все пак е! Но дори и тук „всичко се оказа добре“, тъй като тази функция беше включена в общия интеграл при .

И ако това често работи с „разделими“ уравнения, тогава с хомогенни и някои други дифузори може да не работи. Много вероятно.

Нека анализираме вече решените проблеми в този урок: в Примери 1-2„нулирането“ на X също се оказа безопасно, защото има и и затова веднага става ясно, че не може да бъде решение. Освен това в Пример 2се оказа в знаменателя и тук рискувахме да загубим функцията, която очевидно удовлетворява уравнението . И тук обаче „мина”, защото... тя влезе в общия интеграл при нулева стойност на константата.

Но, разбира се, създадох „щастливи поводи“ нарочно и не е факт, че на практика това са тези, които ще се случат:

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Не е ли прост пример? ;-)

Решение:хомогенността на това уравнение е очевидна, но все пак - на първото стъпалоНие ВИНАГИ проверяваме дали е възможно да разделим променливите. Защото уравнението също е хомогенно, но променливите в него лесно се разделят. Да, има такива!

След като проверим за „разделимост“, правим замяна и опростяваме уравнението, доколкото е възможно:

Разделяме променливите, събираме „te“ отляво и „x“ отдясно:

И тук СПРИ. Когато разделяме по, рискуваме да загубим две функции наведнъж. Тъй като , това са функциите:

Първата функция очевидно е решение на уравнението . Проверяваме втория - също заместваме неговата производна в нашия дифузьор:

– получава се правилно равенство, което означава, че функцията е и решение.

И рискуваме да загубим тези решения.

Освен това знаменателят се оказа „X“ и следователно не забравяйте да проверите, не е решение на първоначалното диференциално уравнение. Не не е.

Нека вземем под внимание всичко това и да продължим:

Трябва да кажа, че имах късмет с интеграла на лявата страна, може да бъде много по-лошо.

Събираме единичен логаритъм от дясната страна и изхвърляме оковите:

И сега само обратната замяна:

Нека умножим всички термини по:

Сега трябва да проверите - дали „опасни” решения са включени в общия интеграл. Да, и двете решения бяха включени в общия интеграл при нулева стойност на константата: , така че не е необходимо да се посочват допълнително в отговор:

общ интеграл:

Преглед. Дори не тест, а чисто удоволствие :)

Получено е оригиналното диференциално уравнение, което означава, че решението е намерено правилно.

За да го решите сами:

Пример 4

Извършете тест за хомогенност и решете диференциално уравнение

Проверете общия интеграл чрез диференциране.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека да разгледаме още няколко типични примера:

Пример 5

Решете диференциално уравнение

РешениеЩе свикнем да го проектираме по-компактно. Първо, мислено или на чернова, се уверяваме, че променливите не могат да бъдат разделени тук, след което провеждаме тест за хомогенност - това обикновено не се извършва на окончателна чернова. (освен ако не е изрично необходимо). Така решението почти винаги започва с записа: „ Това уравнение е хомогенно, нека направим замяната: ...».

Замяна и вървим по утъпкания път:

„X“ е добре тук, но какво да кажем за квадратния трином? Тъй като не се разлага на множители: , тогава определено не губим решения. Винаги щеше да е така! Изберете целия квадрат от лявата страна и интегрирайте:

Тук няма какво да се опростява и следователно обратната замяна:

Отговор:общ интеграл:

Следният пример за независимо решение:

Пример 6

Решете диференциално уравнение

Изглежда подобни уравнения, но не - голяма разлика;)

И сега започва забавлението! Първо, нека да разберем какво да правим, ако е дадено хомогенно уравнение с готови диференциали:

Пример 7

Решете диференциално уравнение

Това е много интересен пример, цял трилър!

Решение: ако едно хомогенно уравнение съдържа готови диференциали, тогава то може да бъде решено чрез модифицирано заместване:

Но не препоръчвам да използвате такава замяна, тъй като ще се окаже Великата стена на китайските диференциали, където имате нужда от око и око. От техническа гледна точка е по-изгодно да преминете към „пунктирано“ обозначение на производната; за да направите това, разделяме двете страни на уравнението на:

И ето, че вече направихме „опасна“ трансформация!Нулевият диференциал съответства на семейство прави линии, успоредни на оста. Те ли са корените на нашия DU? Нека заместим в оригиналното уравнение:

Това равенство е валидно, ако, тоест, когато разделяме на рискуваме да загубим решението, и го загубихме- оттогава вече не удовлетворяваполученото уравнение .

Трябва да се отбележи, че ако ние първоначалноуравнението беше дадено , тогава нямаше да се говори за корена. Но ние го имаме и го хванахме навреме.

Продължаваме решението със стандартна замяна:
:

След заместването опростяваме уравнението възможно най-много:

Разделяме променливите:

И тук отново СТОП: при разделяне на рискуваме да загубим две функции. Тъй като , това са функциите:

Очевидно първата функция е решение на уравнението . Проверяваме втория - заместваме и неговата производна:

– получено истинско равенство, което означава, че функцията също е решение на диференциалното уравнение.

И когато разделяме на, рискуваме да загубим тези решения. Те обаче могат да влязат в общия интеграл. Но може и да не влязат

Нека вземем това под внимание и интегрираме и двете части:

Интегралът от лявата страна се решава по стандартен начин с помощта на подчертаване на пълен квадрат, но е много по-удобно да се използва в дифузори метод на несигурни коефициенти:

Използвайки метода на неопределените коефициенти, разширяваме интегранта в сума от елементарни дроби:


По този начин:

Намиране на интегралите:

– тъй като сме начертали само логаритми, пъхаме и константата под логаритъма.

Преди подмяна отново опростяване на всичко, което може да бъде опростено:

Нулиране на веригите:

И обратната замяна:

Сега да си спомним за „изгубените неща“: решението беше включено в общия интеграл при , но „прелетя покрай касата“, т.к. се оказа знаменателят. Следователно в отговора се присъжда отделна фраза и да - не забравяйте за изгубеното решение, което между другото също се оказа по-долу.

Отговор:общ интеграл: . Още решения:

Не е толкова трудно да се изрази общото решение тук:
, но това вече е показност.

Удобно обаче за проверка. Нека намерим производната:

и заместител в лявата страна на уравнението:

– в резултат се получи дясната страна на уравнението, която трябваше да се провери.

Сега търсенето с корени, това също е често срещан и много коварен случай:

Пример 8

Решете диференциално уравнение

Решение: Уверете се устно, че уравнението е хомогенно и заменете първата любов в оригиналното уравнение:

И опасността ни чака вече тук. Въпросът е, че и този факт е много лесно да се изгуби от поглед:

Честита промоция!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение:Нека проверим уравнението за хомогенност, за тази цел в оригиналното уравнение вместонека заместим , и вместонека заместим:

В резултат на това се получава оригиналното уравнение, което означава, че този DE е хомогенен.