Представяне на серия от дискретни случайни променливи. Закони за разпределение на дискретни случайни променливи

ЗАКОН ЗА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

Случайни величини, тяхната класификация и методи за описание.

Случайна величина е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, но коя от тях не е предварително известна. Следователно за случайна променлива можете да посочите само стойности, една от които тя определено ще приеме в резултат на експеримент. По-нататък ще наричаме тези стойности възможни стойности на случайната променлива. Тъй като случайната променлива количествено характеризира случайния резултат от експеримент, тя може да се разглежда като количествена характеристика на случайно събитие.

Случайните променливи обикновено се обозначават с главни букви на латинската азбука, например X..Y..Z, а възможните им стойности със съответните малки букви.

Има три вида случайни променливи:

Отделен; Непрекъснато; Смесени.

Отделене случайна променлива, чийто брой възможни стойности образува изброимо множество. От своя страна множество, чиито елементи могат да бъдат номерирани, се нарича изброимо. Думата "дискретен" идва от латинското discretus, което означава "прекъснат, състоящ се от отделни части".

Пример 1. Дискретна случайна променлива е броят на дефектните части X в партида от nпродукти. Наистина, възможните стойности на тази случайна променлива са поредица от цели числа от 0 до n.

Пример 2. Дискретна случайна променлива е броят на изстрелите преди първото попадение в целта. Тук, както в пример 1, възможните стойности могат да бъдат номерирани, въпреки че в ограничаващия случай възможната стойност е безкрайно голямо число.

Непрекъснатое случайна променлива, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определен интервал от числовата ос, понякога наричан интервал на съществуване на тази случайна променлива. По този начин, на всеки краен интервал на съществуване, броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкрайно голям.

Пример 3. Непрекъсната случайна променлива е месечното потребление на електроенергия на предприятието.

Пример 4. Непрекъсната случайна променлива е грешката при измерване на височината с алтиметър. Нека от принципа на работа на висотомера е известно, че грешката е в диапазона от 0 до 2 м. Следователно интервалът на съществуване на тази случайна променлива е интервалът от 0 до 2 м.

Закон за разпределение на случайни величини.

Случайна променлива се счита за напълно определена, ако нейните възможни стойности са посочени на цифровата ос и законът за разпределение е установен.

Закон за разпределение на случайна величина е релация, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности.

За случайна променлива се казва, че е разпределена според даден закон или подчинена на даден закон за разпределение. Редица вероятности, функция на разпределение, плътност на вероятността и характеристична функция се използват като закони на разпределение.

Законът за разпределение дава пълно вероятно описание на случайна променлива. Съгласно закона за разпределение може да се прецени преди експеримента кои възможни стойности на случайна променлива ще се появяват по-често и кои по-рядко.

За дискретна случайна променлива законът за разпределение може да бъде зададен под формата на таблица, аналитично (под формата на формула) и графично.

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива е таблица (матрица), която изброява във възходящ ред всички възможни стойности на случайната променлива и съответните им вероятности, т.е.

Такава таблица се нарича серия на разпределение на дискретна случайна променлива. 1

Събития X 1, X 2,..., X n, състоящи се в това, че в резултат на теста случайната променлива X ще приеме стойностите съответно x 1, x 2,... x n, са непоследователни и единствените възможни (тъй като в таблицата са изброени всички възможни стойности на случайна променлива), т.е. образуват пълна група. Следователно сумата от техните вероятности е равна на 1. По този начин за всяка дискретна случайна променлива

(Тази единица по някакъв начин е разпределена между стойностите на случайната променлива, оттук и терминът „разпределение“).

Серията на разпределение може да бъде изобразена графично, ако стойностите на случайната променлива са нанесени по абсцисната ос, а съответните им вероятности са нанесени по ординатната ос. Връзката на получените точки образува прекъсната линия, наречена многоъгълник или многоъгълник на вероятностното разпределение (фиг. 1).

ПримерЛотарията включва: автомобил на стойност 5000 den. бр., 4 телевизора на стойност 250 ден. единици, 5 видеорекордера на стойност 200 ден. единици За 7 дни са продадени общо 1000 билета. единици Съставете закон за разпределение на нетните печалби, получени от участник в лотарията, закупил един билет.

Решение. Възможните стойности на случайната променлива X - нетните печалби на билет - са равни на 0-7 = -7 пари. единици (ако билетът не е спечелил), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. единици (ако в билета има печалби съответно от видеорекордер, телевизор или кола). Като се има предвид, че от 1000 билета броят на непечелившите е 990, а посочените печалби са съответно 5, 4 и 1 и използвайки класическата дефиниция на вероятността, получаваме.

Дискретно произволноПроменливите са случайни променливи, които приемат само стойности, които са отдалечени една от друга и които могат да бъдат изброени предварително.
Закон за разпределение
Законът за разпределение на случайна променлива е връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности.
Серията на разпределение на дискретна случайна променлива е списъкът на нейните възможни стойности и съответните вероятности.
Функцията на разпределение на дискретна случайна променлива е функцията:
,
определяне за всяка стойност на аргумента x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от това x.

Очакване на дискретна случайна променлива
,
където е стойността на дискретна случайна променлива; - вероятността случайна променлива да приеме X стойности.
Ако една случайна променлива приема изброим набор от възможни стойности, тогава:
.
Математическо очакване на броя на случванията на събитие в n независими опита:
,

Дисперсия и стандартно отклонение на дискретна случайна променлива
Дисперсия на дискретна случайна променлива:
или .
Вариация на броя на появяванията на събитие в n независими опита
,
където p е вероятността събитието да се случи.
Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива:
.

Пример 1
Начертайте закон за разпределение на вероятностите за дискретна случайна променлива (DRV) X – броят k появявания на поне една „шестица“ при n = 8 хвърляния на чифт зарове. Построете многоъгълник на разпределение. Намерете числените характеристики на разпределението (режим на разпределение, математическо очакване M(X), дисперсия D(X), стандартно отклонение s(X)). Решение:Нека въведем обозначението: събитие А – „при хвърляне на чифт зарове поне веднъж се появи шестица“. За да се намери вероятността P(A) = p на събитие A, е по-удобно първо да се намери вероятността P(Ā) = q на противоположното събитие Ā - „при хвърляне на чифт зарове, шестица никога не се появява.“
Тъй като вероятността „шестица“ да не се появи при хвърляне на един зар е 5/6, тогава според теоремата за умножение на вероятностите
P(Ā) = q = = .
съответно
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Тестовете в задачата следват схемата на Бернули, така че д.с.в. величина х- номер кпоявата на поне една шестица при хвърляне на два зара се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите:

където = е броят на комбинациите от нот к.

Изчисленията, извършени за този проблем, могат удобно да бъдат представени под формата на таблица:
Разпределение на вероятностите d.s.v. х º к (н = 8; стр = ; р = )

к
Пн(к)

Полигон (многоъгълник) на вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива хпоказано на фигурата:

Ориз. Полигон на разпределение на вероятностите d.s.v. х=к.
Вертикалната линия показва математическото очакване на разпределението М(х).

Нека намерим числените характеристики на вероятностното разпределение на d.s.v. х. Режимът на разпространение е 2 (тук П 8(2) = 0,2932 максимум). Математическото очакване по дефиниция е равно на:
М(х) = = 2,4444,
Където xk = к– взета стойност от д.с.в. х. Дисперсия д(х) намираме разпределението по формулата:
д(х) = = 4,8097.
Стандартно отклонение (RMS):
с( х) = = 2,1931.

Пример2
Дискретна случайна променлива хдадено от закона за разпределение

Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте.

Решение.Ако , тогава (трето свойство).
Ако, тогава. Наистина ли, хможе да приеме стойност 1 с вероятност 0,3.
Ако, тогава. Наистина, ако удовлетворява неравенството
, тогава се равнява на вероятността за събитие, което може да се случи, когато хще приеме стойност 1 (вероятността за това събитие е 0,3) или стойност 4 (вероятността за това събитие е 0,1). Тъй като тези две събития са несъвместими, тогава според теоремата за добавяне вероятността за събитие е равна на сумата от вероятностите 0,3 + 0,1 = 0,4. Ако, тогава. Действително събитието е сигурно, следователно вероятността му е равна на единица. И така, функцията на разпределение може да бъде написана аналитично, както следва:

Графика на тази функция:
Нека намерим вероятностите, съответстващи на тези стойности. По условие вероятностите за повреда на устройствата са равни: тогава вероятностите устройствата да работят по време на гаранционния период са равни:




Законът за разпределение има формата:

Определение 1

Случайна променлива $X$ се нарича дискретна (прекъсната), ако наборът от нейните стойности е безкраен или краен, но изброим.

С други думи, количеството се нарича дискретно, ако стойностите му могат да бъдат номерирани.

Случайна променлива може да бъде описана с помощта на закона за разпределение.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива $X$ може да бъде зададен под формата на таблица, чийто първи ред показва всички възможни стойности на случайната променлива във възходящ ред, а вторият ред съдържа съответните вероятности за тях стойности:

Снимка 1.

където $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Тази маса е близо до разпределението на дискретна случайна променлива.

Ако наборът от възможни стойности на случайна променлива е безкраен, тогава серията $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ се сближава и нейната сума ще бъде равна на $1$.

Законът за разпределение на дискретна случайна величина $X$ може да бъде представен графично, за което се построява начупена линия в координатната система (правоъгълна), която последователно свързва точки с координати $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Линията, която получихме, се нарича разпределителен полигон.

Фигура 2.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива $X$ може също да бъде представен аналитично (като се използва формулата):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Операции върху дискретни вероятности

При решаването на много проблеми в теорията на вероятностите е необходимо да се извършват операции за умножаване на дискретна случайна променлива с константа, добавяне на две случайни променливи, умножаването им, заместването им на степен. В тези случаи е необходимо да се спазват следните правила за случайни дискретни величини:

Определение 3

Умножениена дискретна случайна променлива $X$ по константа $K$ е дискретна случайна променлива $Y=KX,$, която се определя от равенствата: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ ляво(x_i\дясно)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Определение 4

Извикват се две случайни променливи $x$ и $y$ независима, ако законът за разпределение на едно от тях не зависи от това какви възможни стойности е придобило второто количество.

Определение 5

Количестводве независими дискретни случайни променливи $X$ и $Y$ се наричат ​​случайна променлива $Z=X+Y,$ се определя от равенствата: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Определение 6

Умножениедве независими дискретни случайни променливи $X$ и $Y$ се наричат ​​случайна променлива $Z=XY,$ се определя от равенствата: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Нека вземем предвид, че някои продукти $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ могат да бъдат равни помежду си. В този случай вероятността за добавяне на продукта е равна на сумата от съответните вероятности.

Например, ако $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $тогава вероятността $x_2y_3$ (или същото $x_5y_7$) ще бъде равна на $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Горното важи и за сумата. Ако $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ тогава вероятността $x_1+\ y_2$ (или същото $x_4+\ y_6$) ще бъде равна на $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Случайните променливи $X$ и $Y$ се определят от законите за разпределение:

Фигура 3.

Където $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тогава законът за разпределение на сумата $X+Y$ ще има формата

Фигура 4.

И законът за разпределение на продукта $XY$ ще има формата

Фигура 5.

Разпределителна функция

Пълно описание на случайна променлива също се дава от функцията на разпределение.

Геометрично, функцията на разпределение се обяснява като вероятността случайната променлива $X$ да приеме стойността, която е представена на числовата ос от точката, разположена вляво от точката $x$.

Можем да подчертаем най-често срещаните закони на разпределение на дискретни случайни променливи:

• Биномен закон на разпределение
• Закон за разпределение на Поасон
• Геометричен закон на разпределение
• Хипергеометричен закон на разпределение

За дадени разпределения на дискретни случайни променливи изчисляването на вероятностите на техните стойности, както и числените характеристики (математическо очакване, дисперсия и т.н.) се извършва с помощта на определени „формули“. Ето защо е много важно да се познават тези видове разпределения и техните основни свойства.

1. Биномен закон на разпределение.

Дискретна случайна променлива $X$ се подчинява на биномния закон за разпределение на вероятностите, ако приема стойности $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Всъщност случайната променлива $X$ е броят на появяванията на събитие $A$ в $n$ независими опити. Закон за вероятностното разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \точки & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\край (масив)$

За такава случайна променлива математическото очакване е $M\left(X\right)=np$, дисперсията е $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Пример . Семейството има две деца. Приемайки, че вероятностите да имате момче и момиче са равни на $0,5$, намерете закона за разпределение на случайната променлива $\xi$ - броя на момчетата в семейството.

Нека случайната променлива $\xi $ е броят на момчетата в семейството. Стойности, които $\xi може да приеме:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Вероятностите за тези стойности могат да бъдат намерени с помощта на формулата $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, където $n =2$ е броят на независимите опити, $p=0,5$ е вероятността събитие да се случи в серия от $n$ опита. Получаваме:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$

Тогава законът за разпределение на случайната променлива $\xi $ е съответствието между стойностите $0,\ 1,\ 2$ и техните вероятности, тоест:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\край (масив)$

Сумата от вероятностите в закона за разпределение трябва да бъде равна на $1$, т.е. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=$1.

Очакване $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсия $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, стандартно отклонение $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\приблизително $0,707.

2. Закон за разпределение на Поасон.

Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само неотрицателни цели числа $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\над (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Коментирайте. Особеността на това разпределение е, че въз основа на експериментални данни намираме оценки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ако получените оценки са близки една до друга, тогава имаме причина да се твърди, че случайната променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон.

Пример . Примери за случайни променливи, подчинени на закона за разпределение на Поасон, могат да бъдат: броят на автомобилите, които ще бъдат обслужени от бензиностанция утре; брой дефектни артикули в произведени продукти.

Пример . Фабриката изпрати $500 $ продукти до базата. Вероятността за повреда на продукта при транспортиране е $0,002$. Намерете закона за разпределение на случайната величина $X$, равна на броя на повредените продукти; какво е $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.

Нека дискретната случайна променлива $X$ е броят на повредените продукти. Такава случайна променлива се подчинява на закона за разпределение на Поасон с параметър $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Вероятностите на стойностите са равни на $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\наляво(X=6\надясно)=((1^6)\над (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Закон за разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\над (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\край (масив)$

За такава случайна променлива математическото очакване и дисперсията са равни едно на друго и са равни на параметъра $\lambda $, т.е. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Геометричен закон на разпределение.

Ако дискретна случайна променлива $X$ може да приема само естествени стойности $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ с вероятности $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ правилно)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, тогава те казват, че такава случайна променлива $X$ се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Всъщност геометричното разпределение е тест на Бернули до първия успех.

Пример . Примери за случайни променливи, които имат геометрично разпределение, могат да бъдат: броят на изстрелите преди първото попадение в целта; брой тестове на устройството до първата повреда; броя на хвърлянията на монети, докато се появи първата глава и т.н.

Математическото очакване и дисперсията на случайна променлива, предмет на геометрично разпределение, са съответно равни на $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.

Пример . По пътя на движението на рибата до мястото за хвърляне на хайвера има $4$ ключалка. Вероятността рибата да премине през всеки шлюз е $p=3/5$. Постройте серия от разпределение на случайната променлива $X$ - броят на шлюзовете, преминали от рибата преди първото задържане на шлюза. Намерете $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.

Нека случайната променлива $X$ е броят на заключванията, преминали от рибата преди първото спиране на ключалката. Такава случайна променлива се подчинява на геометричния закон за разпределение на вероятностите. Стойности, които случайната променлива $X може да приеме: $ 1, 2, 3, 4. Вероятностите за тези стойности се изчисляват по формулата: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, където: $ p=2/5$ - вероятността рибата да бъде задържана през шлюза, $q=1-p=3/5$ - вероятността рибата да премине през шлюза, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ над (5))=0,4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ над (5))\cdot ((9)\над (25))=((18)\над (125))=0,144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\над (5))\надясно))^4=((27)\над (125))=0,216.$

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\край (масив)$

Очаквана стойност:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

дисперсия:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left( 1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$+\0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\приблизително 1,377.$

Стандартно отклонение:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\приблизително 1173.$

4. Хипергеометричен закон на разпределение.

Ако $N$ обекти, сред които $m$ обекти имат дадено свойство. $n$ обекта се извличат произволно без връщане, сред които имаше $k$ обекта, които имат дадено свойство. Хипергеометричното разпределение позволява да се оцени вероятността точно $k$ обекта в извадката да имат дадено свойство. Нека случайната променлива $X$ е броят на обектите в извадката, които имат дадено свойство. Тогава вероятностите на стойностите на случайната променлива $X$:

$P\наляво(X=k\надясно)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\над (C^n_N))$

Коментирайте. Статистическата функция HYPERGEOMET на съветника за функция $f_x$ на Excel ви позволява да определите вероятността определен брой тестове да бъдат успешни.

$f_x\to$ статистически$\към$ ХИПЕРГЕОМЕТ$\към$ Добре. Ще се появи диалогов прозорец, който трябва да попълните. В колоната Брой_успехи_в_извадкатапосочете стойността $k$. образец_размере равно на $n$. В колоната Брой_успехи_в_заеднопосочете стойността $m$. популация_размере равно на $N$.

Математическото очакване и дисперсията на дискретна случайна променлива $X$, предмет на геометричния закон на разпределение, са съответно равни на $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Пример . В кредитния отдел на банката работят 5 специалисти с висше финансово образование и 3 специалисти с висше юридическо образование. Ръководството на банката реши да изпрати 3-ма специалисти за повишаване на квалификацията, като ги подбра на случаен принцип.

а) Направете разпределителна серия за броя на специалистите с висше финансово образование, които могат да бъдат изпратени за повишаване на квалификацията;

б) Намерете числените характеристики на това разпределение.

Нека случайната променлива $X$ е броят на специалистите с висше финансово образование сред тримата избрани. Стойности, които $X може да приеме: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Тази случайна променлива $X$ се разпределя според хипергеометрично разпределение със следните параметри: $N=8$ - размер на популацията, $m=5$ - брой успехи в популацията, $n=3$ - размер на извадката, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - брой успехи в извадката. Тогава вероятностите $P\left(X=k\right)$ могат да бъдат изчислени по формулата: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ върху C_( N)^(n) ) $. Ние имаме:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\приблизително 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\приблизително 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\приблизително 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\приблизително 0,179.$

Тогава серията на разпределение на случайната променлива $X$:

$\begin(масив)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\край (масив)$

Нека изчислим числените характеристики на случайната променлива $X$, използвайки общите формули на хипергеометричното разпределение.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\надясно))\над (8-1))=((225)\над (448))\приблизително 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\приблизително 0,7085.$

Дадена е серия на разпределение на дискретна случайна променлива. Намерете липсващата вероятност и начертайте функцията на разпределение. Изчислете математическото очакване и дисперсията на това количество.

Случайната променлива X приема само четири стойности: -4, -3, 1 и 2. Тя приема всяка от тези стойности с определена вероятност. Тъй като сумата от всички вероятности трябва да е равна на 1, липсващата вероятност е равна на:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Нека съставим функцията на разпределение на случайната променлива X. Известно е, че функцията на разпределение , тогава:

следователно

Нека начертаем функцията Е(х) .

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е равно на сумата от произведенията на стойността на случайната променлива и съответната вероятност, т.е.

Намираме дисперсията на дискретна случайна променлива по формулата:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Елементи на комбинаториката Тук: - факториел на число

Действия върху събития Събитие е всеки факт, който може или не може да се случи в резултат на преживяване. Обединяване на събития АИ IN- това събитие СЪСкойто се състои от поява или събитие А, или събития IN, или и двете събития едновременно. Обозначаване: ; Пресичащи събития АИ IN- това събитие СЪС, което се състои в едновременното настъпване на двете събития. Обозначаване: ;

Класическа дефиниция на вероятността Вероятност за събитие Ае отношението на броя на експериментите , благоприятни за настъпване на събитие А, към общия брой експерименти :

Формула за умножение на вероятностите Вероятност за събитие може да се намери с помощта на формулата: - вероятност за събитие а, - вероятност за събитие IN, - вероятност за събитие INпри условие, че събитието Авече се е случило. Ако събития A и B са независими (настъпването на едното не влияе върху настъпването на другото), тогава вероятността за събитието е равна на:

Формула за добавяне на вероятности Вероятността за събитие може да се намери с помощта на формулата: Вероятност за събитие а, Вероятност за събитие IN, - вероятност за едновременно протичане на събития АИ IN. Ако събития A и B са несъвместими (не могат да се случат едновременно), тогава вероятността за събитието е равна на:

Формула за пълна вероятност Нека събитието Аможе да се случи едновременно с едно от събитията , , …, - нека ги наречем хипотези. Също известен - вероятност за изпълнение аз-та хипотеза и - вероятност за възникване на събитие А при изпълнение аз-та хипотеза. Тогава вероятността от събитието Аможе да се намери по формулата:

Схема на Бернули Нека има n независими теста. Вероятност за настъпване (успех) на събитие Авъв всяка от тях е постоянна и равна стр, вероятността от повреда (т.е. събитието да не се случи А) р = 1 - стр. Тогава вероятността за поява куспех в нтестовете могат да бъдат намерени с помощта на формулата на Бернули: Най-вероятният брой успехи в схемата на Бернули това е броят на случванията на определено събитие, което има най-висока вероятност. Може да се намери с помощта на формулата:

Случайни променливи дискретно непрекъснато (например броят на момичетата в семейство с 5 деца) (например времето, в което чайникът работи правилно) Числени характеристики на дискретни случайни величини Нека дискретно количество е дадено от серия на разпределение: х Р , , …, - стойности на случайна променлива х; , , …, са съответните вероятностни стойности. Разпределителна функция Функция на разпределение на случайна величина хе функция, дефинирана на цялата числова ос и равна на вероятността, че хще има по-малко х:

Въпроси за изпита

Събитие. Операции върху случайни събития.

Концепцията за вероятността от събитие.

Правила за събиране и умножение на вероятности. Условни вероятности.

Формула за пълна вероятност. Формула на Бейс.

Схема на Бернули.

Случайна променлива, нейната функция на разпределение и ред на разпределение.

Основни свойства на функцията на разпределение.

Очаквана стойност. Свойства на математическото очакване.

дисперсия. Свойства на дисперсията.

Плътност на разпределение на вероятността на едномерна случайна променлива.

Видове разпределения: равномерно, експоненциално, нормално, биномно и Поасоново разпределение.

Локални и интегрални теореми на Моавр-Лаплас.

Закон и функция на разпределение на система от две случайни величини.

Плътност на разпределение на система от две случайни променливи.

Условни закони на разпределение, условно математическо очакване.

Зависими и независими случайни променливи. Коефициент на корелация.

проба. Обработка на проби. Многоъгълна и честотна хистограма. Емпирична функция на разпределение.

Концепцията за оценка на параметрите на разпределението. Изисквания към оценката. Доверителен интервал. Конструиране на интервали за оценка на математическото очакване и стандартното отклонение.

Статистически хипотези. Критерии за съгласие.