Разгледайте примерни решения за функции. Изследователска функция онлайн

19.04.2022

Ако задачата изисква пълно изследване на функцията f (x) = x 2 4 x 2 - 1 с изграждането на нейната графика, тогава ще разгледаме този принцип подробно.

За да решите задача от този тип, трябва да използвате свойствата и графиките на основните елементарни функции. Алгоритъмът на изследване включва следните стъпки:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Намиране на областта на дефиниция

Тъй като се провеждат изследвания в областта на дефиниране на функцията, е необходимо да се започне с тази стъпка.

Пример 1

Даденият пример включва намиране на нулите на знаменателя, за да бъдат изключени от ОДЗ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

В резултат на това можете да получите корени, логаритми и т.н. Тогава ODZ може да се търси за корен от четна степен от тип g (x) 4 по неравенството g (x) ≥ 0, за логаритъм log a g (x) по неравенството g (x) > 0.

Изследване на границите на ODZ и намиране на вертикални асимптоти

На границите на функцията има вертикални асимптоти, когато едностранните граници в такива точки са безкрайни.

Пример 2

Например, разгледайте граничните точки, равни на x = ± 1 2.

След това е необходимо да се изследва функцията за намиране на едностранната граница. Тогава получаваме, че: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Това показва, че едностранните граници са безкрайни, което означава, че правите линии x = ± 1 2 са вертикалните асимптоти на графиката.

Изследване на функция и дали тя е четна или нечетна

Когато условието y (- x) = y (x) е изпълнено, функцията се счита за четна. Това предполага, че графиката е разположена симетрично по отношение на Oy. Когато условието y (- x) = - y (x) е изпълнено, функцията се счита за нечетна. Това означава, че симетрията е относителна към началото на координатите. Ако поне едно неравенство не е изпълнено, получаваме функция от общ вид.

Равенството y (- x) = y (x) показва, че функцията е четна. При конструирането е необходимо да се вземе предвид, че ще има симетрия по отношение на Oy.

За решаване на неравенството се използват интервали на нарастване и намаляване с условията f " (x) ≥ 0 и f " (x) ≤ 0, съответно.

Определение 1

Стационарни точки- това са точките, които превръщат производната в нула.

Критични точки- това са вътрешни точки от областта на дефиниране, където производната на функцията е равна на нула или не съществува.

При вземане на решение трябва да се вземат предвид следните бележки:

за съществуващи интервали на нарастващи и намаляващи неравенства от вида f " (x) > 0, критичните точки не са включени в решението;
точките, в които функцията е дефинирана без крайна производна, трябва да бъдат включени в интервалите на нарастване и намаляване (например y = x 3, където точката x = 0 прави функцията дефинирана, производната има стойност на безкрайност в този момент точка, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 е включен в нарастващия интервал);
За да се избегнат разногласия, се препоръчва използването на математическа литература, препоръчана от Министерството на образованието.

Включване на критични точки в интервали на нарастване и намаляване, ако те удовлетворяват областта на дефиниране на функцията.

Определение 2

За определяне на интервалите на нарастване и намаляване на функция, е необходимо да се намери:

производно;
критични точки;
разделяне на дефиниционната област на интервали, като се използват критични точки;
определете знака на производната на всеки от интервалите, където + е увеличение, а - е намаление.

Пример 3

Намерете производната в областта на дефиницията f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Решение

За да решите трябва:

намерете стационарни точки, този пример има x = 0;
намерете нулите на знаменателя, примерът приема стойност нула при x = ± 1 2.

Поставяме точки върху числовата права, за да определим производната на всеки интервал. За да направите това, достатъчно е да вземете всяка точка от интервала и да извършите изчисление. Ако резултатът е положителен, изобразяваме + на графиката, което означава, че функцията нараства, а - означава, че намалява.

Например f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, което означава, че първият интервал отляво има знак +. Помислете върху числовата ос.

Отговор:

функцията нараства на интервала - ∞; - 1 2 и (- 1 2 ; 0 ] ;
има намаляване на интервала [ 0 ; 1 2) и 1 2 ; + ∞ .

На диаграмата с помощта на + и - са изобразени положителността и отрицателността на функцията, а стрелките показват намаляване и нарастване.

Точките на екстремум на функция са точките, в които функцията е дефинирана и през които производната променя знака.

Пример 4

Ако разгледаме пример, където x = 0, тогава стойността на функцията в него е равна на f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Когато знакът на производната се промени от + на - и минава през точката x = 0, тогава точката с координати (0; 0) се счита за максимална точка. Когато знакът се промени от - на +, получаваме минимална точка.

Изпъкналостта и вдлъбнатостта се определят чрез решаване на неравенства от формата f "" (x) ≥ 0 и f "" (x) ≤ 0. По-рядко се използва името изпъкналост надолу вместо вдлъбнатина и изпъкналост нагоре вместо изпъкналост.

Определение 3

За определяне на интервалите на вдлъбнатост и изпъкналостнеобходимо:

намерете втората производна;
намерете нулите на втората производна на функцията;
разделете дефиниционната област на интервали с появяващите се точки;
определяне на знака на интервала.

Пример 5

Намерете втората производна от областта на дефиницията.

Решение

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Намираме нулите на числителя и знаменателя, където в нашия пример имаме, че нулите на знаменателя x = ± 1 2

Сега трябва да начертаете точките на числовата права и да определите знака на втората производна от всеки интервал. Разбираме това

Отговор:

функцията е изпъкнала от интервала - 1 2 ; 12 ;
функцията е вдлъбната от интервалите - ∞ ; - 1 2 и 1 2; + ∞ .

Определение 4

Инфлексна точка– това е точка от вида x 0 ; f (x 0) . Когато има допирателна към графиката на функцията, тогава когато премине през x 0, функцията променя знака на противоположния.

С други думи, това е точка, през която преминава втората производна и сменя знака, като в самите точки тя е равна на нула или не съществува. Всички точки се считат за домейн на функцията.

В примера беше ясно, че няма точки на инфлексия, тъй като втората производна променя знака, докато преминава през точките x = ± 1 2. Те от своя страна не влизат в обхвата на определението.

Намиране на хоризонтални и наклонени асимптоти

Когато дефинирате функция в безкрайност, трябва да търсите хоризонтални и наклонени асимптоти.

Определение 5

Наклонени асимптотиса изобразени с помощта на прави линии, дадени от уравнението y = k x + b, където k = lim x → ∞ f (x) x и b = lim x → ∞ f (x) - k x.

За k = 0 и b, което не е равно на безкрайност, откриваме, че наклонената асимптота става хоризонтална.

С други думи, асимптотите се считат за линии, към които графиката на функция се приближава в безкрайност. Това улеснява бързото изграждане на функционална графика.

Ако няма асимптоти, но функцията е дефинирана и при двете безкрайности, е необходимо да се изчисли границата на функцията при тези безкрайности, за да се разбере как ще се държи графиката на функцията.

Пример 6

Да разгледаме като пример това

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

е хоризонтална асимптота. След като разгледате функцията, можете да започнете да я конструирате.

Изчисляване на стойността на функция в междинни точки

За да направите графиката по-точна, се препоръчва да намерите няколко функционални стойности в междинни точки.

Пример 7

От примера, който разгледахме, е необходимо да се намерят стойностите на функцията в точките x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Тъй като функцията е четна, получаваме, че стойностите съвпадат със стойностите в тези точки, т.е. получаваме x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Нека напишем и решим:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

За да се определят максимумите и минимумите на функцията, точките на инфлексия и междинните точки, е необходимо да се построят асимптоти. За удобно обозначаване се записват интервали на нарастване, намаляване, изпъкналост и вдлъбнатина. Нека погледнем снимката по-долу.

Необходимо е да начертаете линии на графиката през маркираните точки, което ще ви позволи да се приближите до асимптотите, като следвате стрелките.

Това приключва пълното изследване на функцията. Има случаи на конструиране на някои елементарни функции, за които се използват геометрични трансформации.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Изучаването на функция се извършва по ясна схема и изисква от студента да има солидни познания по основни математически понятия като област на дефиниция и стойности, непрекъснатост на функцията, асимптота, точки на екстремум, паритет, периодичност и др. . Ученикът трябва да може свободно да диференцира функции и да решава уравнения, които понякога могат да бъдат много сложни.

Тоест тази задача тества значителен слой знания, всяка празнина в която ще се превърне в пречка за получаване на правилното решение. Особено често възникват трудности при конструирането на графики на функции. Тази грешка веднага се забелязва от учителя и може значително да повреди оценката ви, дори ако всичко останало е направено правилно. Тук можете да намерите онлайн проблеми с изследване на функцията: учебни примери, изтегляне на решения, поръчване на задачи.

Разгледайте функция и начертайте графика: примери и решения онлайн

Подготвили сме за вас много готови функционални изследвания, както платени в книгата с решения, така и безплатни в раздела Примери за функционални изследвания. На базата на тези решени задачи ще можете да се запознаете подробно с методиката за изпълнение на подобни задачи и да извършите своето изследване по аналогия.

Предлагаме готови примери за цялостно изследване и начертаване на функции от най-често срещаните видове: полиноми, дробно-рационални, ирационални, експоненциални, логаритмични, тригонометрични функции. Всяка решена задача е придружена от готова графика с подчертани ключови точки, асимптоти, максимуми и минимуми, като решението се извършва чрез алгоритъм за изследване на функцията.

Във всеки случай решените примери ще ви бъдат от голяма полза, тъй като обхващат най-популярните видове функции. Предлагаме ви стотици вече решени задачи, но, както знаете, в света има безкраен брой математически функции, а учителите са страхотни експерти в измислянето на все по-сложни задачи за бедни ученици. Така че, скъпи ученици, квалифицираната помощ няма да ви навреди.

Решаване на проблеми с изследване на персонализирани функции

В този случай нашите партньори ще ви предложат друга услуга - пълнофункционално проучване онлайнда поръчам. Задачата ще бъде изпълнена за вас при спазване на всички изисквания за алгоритъм за решаване на подобни задачи, което много ще зарадва вашия учител.

Ние ще направим цялостно проучване на функцията вместо вас: ще намерим областта на дефиницията и областта на стойностите, ще проверим за непрекъснатост и прекъсване, ще установим паритет, ще проверим вашата функция за периодичност и ще намерим точките на пресичане с координатните оси . И, разбира се, допълнително използвайки диференциално смятане: ще намерим асимптоти, ще изчислим екстремуми, инфлексни точки и ще изградим самата графика.

Референтните точки при изучаване на функции и конструиране на техните графики са характерни точки - точки на прекъсване, екстремум, инфлексия, пресичане с координатни оси. С помощта на диференциалното смятане е възможно да се установят характерните черти на промените във функциите: увеличение и намаляване, максимуми и минимуми, посока на изпъкналост и вдлъбнатост на графиката, наличие на асимптоти.

Скица на графиката на функцията може (и трябва) да бъде начертана след намиране на асимптотите и екстремалните точки и е удобно да се попълни обобщената таблица на изследването на функцията, докато изследването напредва.

Обикновено се използва следната схема за изследване на функцията.

1.Намерете областта на дефиниция, интервалите на непрекъснатост и точките на прекъсване на функцията.

2.Проверете функцията за четност или нечетност (аксиална или централна симетрия на графиката.

3.Намерете асимптоти (вертикални, хоризонтални или наклонени).

4.Намерете и изучете интервалите на нарастване и намаляване на функцията, нейните екстремни точки.

5.Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на кривата, нейните инфлексни точки.

6.Намерете пресечните точки на кривата с координатните оси, ако съществуват.

7.Съставете обобщена таблица на изследването.

8.Построена е графика, като се вземе предвид изследването на функцията, извършено съгласно точките, описани по-горе.

Пример.Функция за изследване

и изградете неговата графика.

7. Нека съставим обобщена таблица за изучаване на функцията, където ще въведем всички характерни точки и интервалите между тях. Като вземем предвид паритета на функцията, получаваме следната таблица:

		Характеристики на диаграмата
[-1, 0[	Повишаване на	Изпъкнал
		(0; 1) – максимална точка
]0, 1[	Спускане	Изпъкнал
		Точката на инфлексия се формира с оста волтъп ъгъл

Проведете пълно проучване и начертайте графика на функцията

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Обхватът на функцията. Тъй като функцията е дроб, трябва да намерим нулите на знаменателя.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Изключваме единствената точка x=1x=1 от областта на дефиниране на функцията и получаваме:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Нека изследваме поведението на функцията в близост до точката на прекъсване. Нека намерим едностранни ограничения:

Тъй като границите са равни на безкрайност, точката x=1x=1 е прекъсване от втори род, правата x=1x=1 е вертикална асимптота.

3) Нека определим пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.

Да намерим пресечните точки с ординатната ос OyOy, за които приравняваме x=0x=0:

Така точката на пресичане с оста OyOy има координати (0;8)(0;8).

Да намерим точките на пресичане с абсцисната ос OxOx, за които задаваме y=0y=0:

Уравнението няма корени, така че няма пресечни точки с оста OxOx.

Обърнете внимание, че x2+8>0x2+8>0 за всяко xx. Следователно, за x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), функцията y>0y>0 (приема положителни стойности, графиката е над оста x), за x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) функция y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функцията не е нито четна, нито нечетна, защото:

5) Нека разгледаме функцията за периодичност. Функцията не е периодична, тъй като е дробна рационална функция.

6) Нека разгледаме функцията за екстремуми и монотонност. За да направим това, намираме първата производна на функцията:

Нека приравним първата производна на нула и намерим стационарни точки (при които y′=0y′=0):

Имаме три критични точки: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Нека разделим цялата област на дефиниране на функцията на интервали с тези точки и да определим знаците на производната във всеки интервал:

За x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) производната y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

За x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) производната y′>0y′>0, функцията нараства на тези интервали.

В този случай x=−2x=−2 е локална минимална точка (функцията намалява и след това нараства), x=4x=4 е локална максимална точка (функцията нараства и след това намалява).

Нека намерим стойностите на функцията в тези точки:

Така минималната точка е (−2;4)(−2;4), максималната точка е (4;−8)(4;−8).

7) Нека разгледаме функцията за прегъвания и изпъкналост. Нека намерим втората производна на функцията:

Нека приравним втората производна на нула:

Полученото уравнение няма корени, така че няма инфлексни точки. Освен това, когато x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 е изпълнено, т.е. функцията е вдлъбната, когато x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) се удовлетворява от y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Нека разгледаме поведението на функцията в безкрайност, т.е.

Тъй като границите са безкрайни, няма хоризонтални асимптоти.

Нека се опитаме да определим наклонени асимптоти от формата y=kx+by=kx+b. Ние изчисляваме стойностите на k, bk, b, използвайки известни формули:

Открихме, че функцията има една наклонена асимптота y=−x−1y=−x−1.

9) Допълнителни точки. Нека изчислим стойността на функцията в някои други точки, за да построим по-точно графиката.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Въз основа на получените данни ще построим графика, ще я допълним с асимптоти x=1x=1 (синя), y=−x−1y=−x−1 (зелена) и ще отбележим характерните точки (лилаво пресичане с ординатата ос, оранжеви екстремуми, черни допълнителни точки):

Задача 4: Геометрични, Икономически задачи (нямам представа какви, ето приблизителна селекция от задачи с решения и формули)

Пример 3.23. а

Решение. хИ г г
y = a - 2×a/4 =a/2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За xa/4 S " > 0 и за x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.

Решение.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.Тъй като f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 = 2 и x 2 = 3. Екстремумите могат да бъдат само при тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 = 2 производната променя знака си от плюс на минус, то в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 = 3 производната променя знака си от минус към плюс, следователно в точката x 2 = 3 функцията има минимум.Изчислявайки стойностите на функцията в точките
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример 3.23.В близост до каменната стена е необходимо да се изгради правоъгълна зона, така че да бъде оградена от три страни с телена мрежа, а четвъртата страна да е в непосредствена близост до стената. За това има алинейни метри мрежа. При какво съотношение на страните сайтът ще има най-голяма площ?

Решение.Нека означим страните на платформата с хИ г. Площта на сайта е S = xy. Позволявам г- това е дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е спазено равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = x(a - 2x), където
0 ≤ x ≤ a/2 (дължината и ширината на подложката не могат да бъдат отрицателни). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откъдето
y = a - 2×a/4 =a/2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За xa/4 S " > 0 и за x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се изработи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16p ≈ 50 m 3 . Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (радиус R и височина H), така че да се използва най-малко материал за производството му?

Решение.Общата повърхност на цилиндъра е S = 2pR(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Това означава S(R) = 2p(R 2 +16/R). Намираме производната на тази функция:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 за R 3 = 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Свързана информация.

За пълно изследване на функцията и начертаване на нейната графика се препоръчва следната схема:
A) намерете областта на дефиниция, точки на прекъсване; изследвайте поведението на функция близо до точки на прекъсване (намерете границите на функцията отляво и отдясно в тези точки). Посочете вертикалните асимптоти.
Б) определи дали дадена функция е четна или нечетна и заключи, че има симетрия. Ако , тогава функцията е четна и симетрична спрямо оста OY; когато функцията е нечетна, симетрична спрямо началото; и if е функция от общ вид.
В) намерете пресечните точки на функцията с координатните оси OY и OX (ако е възможно), определете интервалите на постоянен знак на функцията. Границите на интервалите с постоянен знак на функция се определят от точките, в които функцията е равна на нула (функционални нули) или не съществува, и границите на областта на дефиниране на тази функция. В интервали, където графиката на функцията е разположена над оста OX и къде - под тази ос.
Г) намерете първата производна на функцията, определете нейните нули и интервали с постоянен знак. В интервали, където функцията расте и където намалява. Направете заключение за наличието на екстремуми (точки, в които съществува функция и производна и при преминаване през които тя променя знака. Ако знакът се промени от плюс на минус, тогава в тази точка функцията има максимум, а ако от минус на плюс , след това минимум). Намерете стойностите на функцията в екстремните точки.
Г) намерете втората производна, нейните нули и интервали с постоянен знак. В интервали, където< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
Д) намерете наклонени (хоризонтални) асимптоти, уравненията на които имат формата ; Където
.
При графиката на функцията ще има две наклонени асимптоти и всяка стойност на x при и може също да съответства на две стойности на b.
G) намерете допълнителни точки за изясняване на графиката (ако е необходимо) и построете графика.

Пример 1 Разгледайте функцията и изградете нейната графика. Решение: А) област на дефиниция ; функцията е непрекъсната в своята област на дефиниция; – точка на прекъсване, т.к ;. След това – вертикална асимптота.
Б)
тези. y(x) е функция от общ вид.
В) Намерете пресечните точки на графиката с оста OY: задайте x=0; тогава y(0)=–1, т.е. графиката на функцията пресича оста в точка (0;-1). Нули на функцията (пресечни точки на графиката с оста OX): задайте y=0; Тогава
.
Дискриминантът на квадратно уравнение е по-малък от нула, което означава, че няма нули. Тогава границата на интервалите с постоянен знак е точката x=1, където функцията не съществува.
Знакът на функцията във всеки от интервалите се определя по метода на частичните стойности:

От диаграмата става ясно, че в интервала графиката на функцията е разположена под оста OX, а в интервала – над оста OX.
Г) Откриваме наличието на критични точки.
.
Намираме критични точки (където или не съществува) от равенствата и .

Получаваме: x1=1, x2=0, x3=2. Нека създадем помощна таблица

маса 1

(Първият ред съдържа критичните точки и интервалите, на които тези точки са разделени от оста OX; вторият ред показва стойностите на производната в критичните точки и знаците на интервалите. Знаците се определят от частичната стойност метод.Третият ред показва стойностите на функцията y(x) в критични точки и показва поведението на функцията - нарастване или намаляване на съответните интервали на цифровата ос.Освен това, наличието на минимум или максимум е посочено.
Г) Намерете интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на функцията.
; изградете таблица, както в точка D); Само във втория ред записваме знаците, а в третия посочваме вида на изпъкналостта. защото ; тогава критичната точка е едно x=1.
таблица 2

Точката x=1 е инфлексната точка.
Д) Намерете наклонени и хоризонтални асимптоти

Тогава y=x е наклонена асимптота.
Ж) Въз основа на получените данни изграждаме графика на функцията

Пример2 Проведете пълно изследване на функцията и постройте нейната графика. Решение.

1). Обхватът на функцията.
Очевидно е, че тази функция е дефинирана на цялата числова линия, с изключение на точките "" и "", защото в тези точки знаменателят е равен на нула и следователно функцията не съществува, а правите линии и са вертикални асимптоти.

2). Поведението на функция като аргумент клони към безкрайност, наличие на точки на прекъсване и проверка за наличие на наклонени асимптоти.
Нека първо проверим как се държи функцията, когато се доближава до безкрайността наляво и надясно.

Така, когато функцията клони към 1, т.е. – хоризонтална асимптота.
В близост до точките на прекъсване поведението на функцията се определя, както следва:

Тези. При приближаване до точки на прекъсване отляво функцията безкрайно намалява, а отдясно нараства безкрайно.
Определяме наличието на наклонена асимптота, като вземем предвид равенството:

Няма наклонени асимптоти.

3). Пресечни точки с координатни оси.
Тук е необходимо да се разгледат две ситуации: намиране на пресечната точка с оста Ox и оста Oy. Знакът на пресичане с оста Ox е нулевата стойност на функцията, т.е. необходимо е да се реши уравнението:

Това уравнение няма корени, следователно графиката на тази функция няма пресечни точки с оста Ox.
Знакът на пресичане с оста Oy е стойността x = 0. В този случай
,
тези. – пресечната точка на графиката на функцията с оста Oy.

4).Определяне на екстремни точки и интервали на нарастване и намаляване.
За да проучим този проблем, ние дефинираме първата производна:
.
Нека приравним стойността на първата производна на нула.
.
Една дроб е равна на нула, когато нейният числител е равен на нула, т.е. .
Нека определим интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

Така функцията има една точка на екстремум и не съществува в две точки.
По този начин функцията нараства на интервалите и и намалява на интервалите и .

5). Точки на инфлексия и области на изпъкналост и вдлъбнатост.
Тази характеристика на поведението на функция се определя с помощта на втората производна. Нека първо определим наличието на точки на инфлексия. Втората производна на функцията е равна на

Когато и функцията е вдлъбната;

когато и функцията е изпъкнала.

6). Графика на функция.
Използвайки намерените стойности в точки, ще изградим схематично графика на функцията:

Пример3 Функция за изследване

и изградете неговата графика.

Решение
Дадената функция е непериодична функция от общ вид. Графиката му минава през началото на координатите, тъй като .
Областта на дефиниране на дадена функция е всички стойности на променливата, с изключение на и за които знаменателят на дробта става нула.
Следователно точките са точките на прекъсване на функцията.
защото ,

защото ,
, тогава точката е точка на прекъсване от втори род.
Правите линии са вертикалните асимптоти на графиката на функцията.
Уравнения на наклонени асимптоти, където, .
При ,
.
По този начин за и графиката на функцията има една асимптота.
Нека намерим интервалите на нарастване и намаляване на функцията и екстремните точки.
.
Първата производна на функцията at и, следователно, at и функцията нараства.
Когато , следователно, когато , функцията намалява.
не съществува за , .
, следователно, когато Графиката на функцията е вдлъбната.
При , следователно, когато Графиката на функцията е изпъкнала.

При преминаване през точките , , сменя знака. Когато , функцията не е дефинирана, следователно графиката на функцията има една инфлексна точка.
Нека изградим графика на функцията.