1 изчислете детерминантата на матрицата. Матрична детерминанта
Упражнение.Изчислете детерминантата, като я разложите на елементи от някакъв ред или колона.
Решение.Нека първо извършим елементарни трансформации на редовете на детерминанта, като направим възможно най-много нули в реда или в колоната. За да направите това, първо извадете девет трети от първия ред, пет трети от втория и три трети от четвъртия, получаваме:
Нека разложим получената детерминанта на елементите от първата колона:
Също така ще разширим получения детерминант от трети ред в елементите на реда и колоната, като преди това сме получили нули, например в първата колона. За да направите това, извадете вторите два реда от първия ред и втория ред от третия:
Отговор. 
12. Слоу 3-ти ред
1. Правило на триъгълника
Схематично това правило може да се изобрази по следния начин:
Продуктът на елементите в първата детерминанта, които са свързани с прави линии, се приема със знак плюс; аналогично за втората детерминанта съответните произведения се вземат със знак минус, т.е.
2. Правилото на Сарус
Вдясно от детерминантата добавете първите две колони и вземете продуктите на елементите на главния диагонал и на успоредните му диагонали със знак плюс; и произведенията на елементите на вторичния диагонал и диагоналите, успоредни на него, със знак минус:
3. Разгъване на определителя в ред или колона
Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите от реда на детерминантата и техните алгебрични допълнения. Обикновено се избира редът/колоната, който съдържа нули. Редът или колоната, по които се извършва разлагането, ще бъдат обозначени със стрелка.
Упражнение.Разгънете по първия ред, изчислете детерминантата
Решение.
Отговор. 
4. Редуциране на детерминантата до триъгълна форма
С помощта на елементарни трансформации над редове или колони детерминантата се редуцира до триъгълна форма и тогава стойността му, според свойствата на детерминантата, е равна на произведението на елементите по главния диагонал.
Пример
Упражнение.Изчислителна детерминанта 
довеждайки го до триъгълна форма.
Решение.Първо правим нули в първата колона под главния диагонал. Всички трансформации ще бъдат по-лесни за изпълнение, ако елементът е равен на 1. За да направим това, ще разменим първата и втората колона на детерминантата, което според свойствата на детерминантата ще я накара да промени знака си на противоположно:
Понятието детерминанта н-та поръчка
Използвайки тази статия за детерминантите, определено ще научите как да решавате проблеми като следните:
Решете уравнението:
и много други, които учителите обичат да измислят.
Детерминантата на матрицата, или просто детерминантата, играе важна роля при решаването на системи от линейни уравнения. По принцип за тази цел са измислени определители. Тъй като често се казва и „детерминанта на матрица“, тук ще споменем и матриците. Матрицае правоъгълна таблица, съставена от числа, които не могат да се разменят. Квадратната матрица е таблица, в която броят на редовете и колоните е еднакъв. Само квадратна матрица може да има детерминанта.
Лесно е да се разбере логиката на писане на детерминанти, като се използва следната схема. Да вземем система от две уравнения с две неизвестни, позната ви от училище:
В детерминантата коефициентите за неизвестните се записват последователно: на първия ред - от първото уравнение, на втория ред - от второто уравнение:
Например, ако е дадена система от уравнения
тогава следната детерминанта се формира от коефициентите на неизвестните:
И така, нека ни бъде дадена квадратна таблица, състояща се от числа, подредени в нлинии (хоризонтални редове) и в нколони (вертикални редове). Използвайки тези числа, според някои правила, които ще изучим по-долу, те намират числото, което се нарича детерминант н-ти ред и се обозначава по следния начин:
(1)
Извикват се номерата елементидетерминанта (1) (първият индекс означава номера на реда, вторият – номера на колоната, в пресечната точка на която се намира елементът; аз = 1, 2, ..., н; й= 1, 2, ..., n). Редът на детерминанта е броят на неговите редове и колони.
Въображаема права линия, свързваща елементи от детерминантата, за които двата индекса са еднакви, т.е. елементи
Наречен главен диагонал, друг диагонал – страна.
Изчисляване на детерминанти от втори и трети ред
Нека покажем как се изчисляват детерминантите на първите три реда.
Първият детерминант на реда е самият елемент, т.е.
Детерминантата от втори ред е числото, получено по следния начин:
, (2)
Продуктът от елементи, разположени съответно на главния и второстепенния диагонал.
Равенството (2) показва, че произведението на елементите на главния диагонал се взема със собствен знак, а произведението на елементите на вторичния диагонал с противоположен знак .
Пример 1.Изчислете детерминанти от втори ред:
Решение. Използвайки формула (2), намираме:
Детерминанта от трети ред е число, получено по следния начин:
(3)
Трудно е да запомните тази формула. Има обаче едно просто правило, наречено правило на триъгълника , което улеснява възпроизвеждането на израз (3). Означавайки елементите на определителя с точки, свързваме с прави отсечки онези от тях, които дават произведението на елементите на определителя (фиг. 1).
Формула (3) показва, че продуктите на елементите на главния диагонал, както и елементите, разположени във върховете на два триъгълника, чиито основи са успоредни на него, се вземат с техните знаци; с противоположни - произведението на елементите на страничния диагонал, както и елементите, разположени във върховете на два триъгълника, които са успоредни на него .
На фиг. 1 главният диагонал и съответните основи на триъгълниците и второстепенният диагонал и съответните основи на триъгълниците са подчертани в червено.
Когато изчислявате детерминантите, е много важно, както в гимназията, да запомните, че число със знак минус, умножено по число със знак минус, води до число със знак плюс, а число със знак плюс, умножено по a число със знак минус води до дава число със знак минус.
Пример 2.Изчислете детерминанта от трети ред:
Решение. Използвайки правилото на триъгълника, получаваме
Изчисляване на детерминанти н-та поръчка
Разширяване на детерминантата по ред или колона
За изчисляване на детерминантата н-ти ред, трябва да знаете и използвате следната теорема.
Теорема на Лаплас.Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите на всеки ред и техните алгебрични допълнения, т.е.
Определение. Ако в определителя нпоръчка - изберете произволно стрлинии и стрколони ( стр < н), тогава елементите, разположени в пресечната точка на тези редове и колони, образуват подредена матрица.
Детерминантата на тази матрица се нарича незначителен първоначалната детерминанта. Например, разгледайте детерминантата:
Нека изградим матрица от редове и колони с четни числа:
Определящо
Наречен незначителендетерминант Имаме минор от втори ред. Ясно е, че от това можем да конструираме различни минори от първи, втори и трети ред.
Ако вземем даден елемент и задраскаме реда и колоната в детерминантата, в пресечната точка на която той стои, получаваме минор, наречен минорен елемент, който обозначаваме с:
.
Ако минорът се умножи по , където 3 + 2 е сумата от номерата на реда и колоната, в пресечната точка на които има елемент, тогава полученият продукт се нарича алгебрично допълнениеелемент и се означава с
Най-общо ще означаваме минор на елемент и алгебричното допълнение,
(4)
Например, нека изчислим алгебричните допълнения на елементите и детерминанта от трети ред:
Използвайки формула (4), получаваме 
При разлагане на детерминанта често се използва следното свойство на детерминантата н-та поръчка:
Ако добавите към елементите на ред или колона произведението на съответните елементи на друг ред или колона с постоянен фактор, тогава стойността на детерминантата няма да се промени.
Пример 4.
Първо, извадете елементите на четвъртия ред от първия и третия ред, тогава ще имаме
Четвъртата колона на получената детерминанта съдържа три елемента – нули. Следователно е по-изгодно тази детерминанта да се разшири в елементите на четвъртата колона, тъй като първите три продукта ще бъдат нули. Ето защо
Можете да проверите решението, като използвате онлайн калкулатор на детерминанти .
Следващият пример показва как изчисляването на детерминанта от произволен (в този случай четвърти) ред може да се сведе до изчисляване на детерминанта от втори ред.
Пример 5.Изчислете детерминантата:
Нека извадим елементите на първия ред от третия ред и добавим елементите на първия ред към елементите на четвъртия ред, тогава ще имаме
В първата колона всички елементи с изключение на първия са нули. Тоест детерминантата вече може да бъде разширена върху първата колона. Но наистина не искаме да изчисляваме детерминанта от трети ред. Затова ще направим още няколко трансформации: към елементите на третия ред ще добавим елементите на втория ред, умножени по 2, а от елементите на четвъртия ред ще извадим елементите на втория ред. В резултат на това детерминантата, която е алгебрично допълнение, сама по себе си може да бъде разширена по първата колона и ще трябва само да изчислим детерминантата от втори ред и да не се бъркаме в знаците:
Намаляване на детерминантата до триъгълна форма
Детерминант, при който всички елементи, лежащи от едната страна на един от диагоналите, са равни на нула, се нарича триъгълен. Чрез обръщане на реда на редовете или колоните, случайът на вторичен диагонал се свежда до случая на главния диагонал. Тази детерминанта е равна на произведението на елементите на главния диагонал.
За редуциране до триъгълна форма се използва същото свойство на детерминантата н-ти ред, който приложихме в предишния параграф: ако произведението на съответните елементи на друг ред или колона с постоянен коефициент се добави към елементите на ред или колона, тогава стойността на детерминантата няма да се промени.
Можете да проверите решението, като използвате онлайн калкулатор на детерминанти .
Свойства на детерминантата н-та поръчка
В предишните два параграфа вече използвахме едно от свойствата на детерминантата н-та поръчка. В някои случаи, за да опростите изчислението на детерминантата, можете да използвате други важни свойства на детерминантата. Например, човек може да редуцира детерминанта до сумата от две детерминанти, едната или и двете от които могат удобно да бъдат разширени в някакъв ред или колона. Има много случаи на такова опростяване и въпросът за използването на едно или друго свойство на детерминантата трябва да се решава индивидуално.
Матрична детерминанта
Намирането на детерминанта на матрица е много често срещан проблем във висшата математика и алгебра. По правило не може да се направи без стойността на детерминанта на матрицата при решаване на сложни системи от уравнения. Методът на Крамер за решаване на системи от уравнения се основава на изчисляване на детерминанта на матрица. С помощта на определението за детерминанта се определя наличието и уникалността на решение на система от уравнения. Следователно е трудно да се надцени значението на способността за правилно и точно намиране на детерминанта на матрица в математиката. Методите за решаване на детерминантите са теоретично доста прости, но с увеличаването на размера на матрицата изчисленията стават много тромави и изискват голямо внимание и много време. Много е лесно да се допусне малка грешка или печатна грешка в такива сложни математически изчисления, което ще доведе до грешка в крайния отговор. Така че дори и да намерите матрична детерминантасами, важно е да проверите резултата. Това може да стане с нашата услуга Намиране на детерминанта на матрица онлайн. Нашата услуга винаги дава абсолютно точни резултати, без грешки или технически грешки. Можете да откажете независими изчисления, защото от приложна гледна точка намирането детерминанта на матрицатаНяма образователен характер, а просто изисква много време и числени изчисления. Следователно, ако във вашата задача дефиниция на детерминанта на матрицатаса спомагателни, странични изчисления, използвайте нашата услуга и намерете детерминанта на матрица онлайн!
Всички изчисления се извършват автоматично с най-висока точност и са абсолютно безплатни. Имаме много удобен интерфейс за въвеждане на матрични елементи. Но основната разлика между нашата услуга и подобни е възможността за получаване на подробно решение. Нашата услуга в изчисляване на детерминанта на матрица онлайнвинаги използва най-простия и кратък метод и описва подробно всяка стъпка от трансформации и опростявания. Така че получавате не само стойността на детерминантата на матрицата, крайния резултат, но и цялостно подробно решение.
