Квадратна форма f(x 1, x 2,...,x n) от n променливи е сбор, всеки член от който е или квадрат на една от променливите, или произведение на две различни променливи, взети с определен коефициент: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Матрицата А, съставена от тези коефициенти, се нарича матрица с квадратична форма. Винаги е така симетриченматрица (т.е. матрица, симетрична спрямо главния диагонал, a ij =a ji).

В матричната нотация квадратичната форма е f(X) = X T AX, където

Наистина

Например, нека запишем квадратната форма в матрична форма.

За да направим това, намираме матрица с квадратна форма. Нейните диагонални елементи са равни на коефициентите на квадратните променливи, а останалите елементи са равни на половинките на съответните коефициенти на квадратната форма. Ето защо

Нека колоната на матрицата от променливи X се получава чрез неизродена линейна трансформация на колоната на матрицата Y, т.е. X = CY, където C е неособена матрица от n-ти ред. Тогава квадратичната форма f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

По този начин, с недегенерирана линейна трансформация C, матрицата на квадратна форма приема формата: A * =C T AC.

Например, нека намерим квадратичната форма f(y 1, y 2), получена от квадратичната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 чрез линейна трансформация.

Квадратната форма се нарича каноничен(То има каноничен изглед), ако всички негови коефициенти a ij = 0 за i≠j, т.е. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Матрицата му е диагонална.

Теорема(доказателството не е дадено тук). Всяка квадратна форма може да бъде редуцирана до канонична форма с помощта на неизродена линейна трансформация.

Например, нека приведем в канонична форма квадратичната форма f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

За да направите това, първо изберете пълен квадрат с променливата x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Сега избираме пълен квадрат с променливата x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Тогава неизродената линейна трансформация y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 и y 3 = x 3 довежда тази квадратна форма до каноничната форма f(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Обърнете внимание, че каноничната форма на квадратична форма се определя нееднозначно (една и съща квадратна форма може да бъде редуцирана до канонична форма по различни начини 1). Въпреки това, каноничните форми, получени по различни методи, имат редица общи свойства. По-специално, броят на термините с положителни (отрицателни) коефициенти на квадратична форма не зависи от метода за редуциране на формата до тази форма (например в разглеждания пример винаги ще има два отрицателни и един положителен коефициент). Това свойство се нарича закон за инерцията на квадратичните форми.

Нека проверим това, като приведем същата квадратна форма в канонична форма по различен начин. Нека започнем трансформацията с променливата x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2) /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2) /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1,y 2,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, където y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 и y 3 = x 1 . Тук има положителен коефициент 2 за y 3 и два отрицателни коефициента (-3) за y 1 и y 2 (и използвайки друг метод, получихме положителен коефициент 2 за y 1 и два отрицателни - (-5) за y 2 и (-1/20) за y 3 ).

Трябва също да се отбележи, че рангът на матрица с квадратична форма, т.нар ранг на квадратна форма, е равен на броя на ненулевите коефициенти на каноничната форма и не се променя при линейни трансформации.

Квадратната форма f(X) се нарича положително(отрицателен)определени, ако за всички стойности на променливите, които не са едновременно нула, той е положителен, т.е. f(X) > 0 (отрицателен, т.е. f(X)< 0).

Например, квадратичната форма f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 е положително определена, тъй като е сбор от квадрати, а квадратната форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 е отрицателно определена, тъй като представлява може да бъде представено във формата f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

В повечето практически ситуации е малко по-трудно да се установи определен знак на квадратна форма, така че за това използваме една от следните теореми (ще ги формулираме без доказателство).

Теорема. Квадратната форма е положителна (отрицателна) определена тогава и само ако всички собствени стойности на нейната матрица са положителни (отрицателни).

Теорема (критерий на Силвестър). Квадратната форма е положително определена тогава и само ако всички водещи минори на матрицата на тази форма са положителни.

Основен (ъглов) минорМатриците от k-ти ред от An-ти ред се наричат ​​детерминанта на матрицата, съставена от първите k реда и колони на матрицата A ().

Забележете, че за отрицателно определени квадратни форми знаците на главните минори се редуват и минорът от първи ред трябва да е отрицателен.

Например, нека разгледаме квадратичната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 за определеност на знака.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17; . Следователно квадратната форма е положително определена.

Метод 2. Главен минор от първи ред на матрицата A  1 =a 11 = 2 > 0. Главен минор от втори ред  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Следователно, според критерия на Силвестър, квадратичната формата е положително определена.

Разглеждаме друга квадратна форма за определеност на знака, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Метод 1. Нека изградим матрица с квадратична форма A = . Характеристичното уравнение ще има формата = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0; D= 25 – 8 = 17 ; . Следователно квадратната форма е отрицателно определена.

Метод 2. Главен минор от първи ред на матрицата A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Следователно, според критерия на Силвестър, квадратичната форма е отрицателно определена (знаците на главните малки се редуват, започвайки с минуса).

И като друг пример, разглеждаме определената със знак квадратна форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Метод 1. Нека изградим матрица с квадратична форма A = . Характеристичното уравнение ще има формата = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0; D= 1 + 40 = 41; . Едно от тези числа е отрицателно, а другото е положително. Знаците на собствените стойности са различни. Следователно квадратната форма не може да бъде нито отрицателно, нито положително определена, т.е. тази квадратична форма не е знакоопределена (може да приема стойности на всеки знак).

Метод 2. Главен минор от първи ред на матрица A  1 =a 11 = 2 > 0. Главен минор от втори ред 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Разглежданият метод за редуциране на квадратична форма до канонична форма е удобен за използване, когато се срещат ненулеви коефициенти с квадратите на променливите. Ако те не са там, все още е възможно да се извърши преобразуването, но трябва да използвате някои други техники. Например, нека f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, където y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Хомогенен полином от степен 2 на няколко променливи се нарича квадратна форма.

Квадратната форма на променливите се състои от членове от два вида: квадрати на променливи и техните произведения по двойки с определени коефициенти. Квадратната форма обикновено се записва като следната квадратна диаграма:

Двойките подобни членове се записват с равни коефициенти, така че всеки от тях да съставлява половината от коефициента на съответното произведение на променливите. По този начин всяка квадратна форма е естествено свързана със своята матрица на коефициента, която е симетрична.

Удобно е да се представи квадратната форма в следната матрична нотация. Нека обозначим с X колона от променливи през X - ред, т.е. матрица, транспонирана с X. Тогава

Квадратните форми се срещат в много клонове на математиката и нейните приложения.

В теорията на числата и кристалографията квадратичните форми се разглеждат при допускането, че променливите приемат само цели числа. В аналитичната геометрия квадратната форма е част от уравнението на крива (или повърхност) от ред. В механиката и физиката изглежда, че квадратичната форма изразява кинетичната енергия на система чрез компонентите на обобщените скорости и т.н. Но освен това изучаването на квадратичните форми е необходимо и при анализа, когато се изучават функции на много променливи, при въпроси за което е важно да се установи как тази функция в околността на дадена точка се отклонява от линейната функция, която я апроксимира. Пример за задача от този тип е изследването на функция за нейния максимум и минимум.

Помислете, например, за проблема за изследване на максимума и минимума за функция на две променливи, която има непрекъснати частни производни до ред. Необходимо условие точката да даде максимум или минимум на функция е частните производни на реда в точката да са равни на нула.Нека приемем, че това условие е изпълнено. Нека дадем малки увеличения на променливите x и y и k и да разгледаме съответното нарастване на функцията.Според формулата на Тейлър, това увеличение, до малки по-високи разряди, е равно на квадратната форма, където са стойностите на вторите производни изчислена в точка Ако тази квадратна форма е положителна за всички стойности на и k (с изключение на), тогава функцията има минимум в точката; ако е отрицателна, тогава има максимум. И накрая, ако една форма приема както положителни, така и отрицателни стойности, тогава няма да има максимум или минимум. Функциите на по-голям брой променливи също се изучават по подобен начин.

Изследването на квадратичните форми се състои главно от изучаване на проблема за еквивалентността на формите по отношение на един или друг набор от линейни трансформации на променливи. Две квадратни форми се наричат ​​еквивалентни, ако едната от тях може да бъде преобразувана в другата чрез едно от преобразуванията на дадено множество. В тясна връзка с проблема за еквивалентността е проблемът за намаляване на формата, т.е. трансформирайки го в някаква възможно най-проста форма.

В различни въпроси, свързани с квадратични форми, също се разглеждат различни набори от допустими трансформации на променливи.

По въпросите на анализа се използват всякакви неспециални трансформации на променливи; за целите на аналитичната геометрия най-голям интерес представляват ортогоналните трансформации, т.е. тези, които съответстват на прехода от една система от променливи декартови координати към друга. И накрая, в теорията на числата и кристалографията се разглеждат линейни трансформации с цели коефициенти и детерминанта, равна на единица.

Ще разгледаме два от тези проблеми: въпросът за редуциране на квадратична форма до нейната най-проста форма чрез всякакви неособени трансформации и същия въпрос за ортогонални трансформации. Първо, нека разберем как се трансформира матрица с квадратична форма по време на линейна трансформация на променливи.

Нека , където A е симетрична матрица от коефициенти на формата, X е колона от променливи.

Нека направим линейна трансформация на променливи, записвайки я съкратено като . Тук C означава матрицата на коефициентите на тази трансформация, X е колона от нови променливи. Тогава и следователно матрицата на трансформираната квадратна форма е такава

Матрицата автоматично се оказва симетрична, което лесно се проверява. По този начин проблемът за редуциране на квадратна форма до най-простата форма е еквивалентен на проблема за редуциране на симетрична матрица до най-простата форма чрез умножаването й отляво и отдясно на взаимно транспонирани матрици.

В този раздел ще се съсредоточим върху специален, но важен клас положителни квадратни форми.

Определение 3. Реална квадратна форма се нарича неотрицателна (неположителна), ако за всякакви реални стойности на променливите

. (35)

В този случай симетричната матрица на коефициентите се нарича положителна полуопределена (отрицателна полуопределена).

Определение 4. Реална квадратна форма се нарича положително определена (отрицателно определена), ако за всякакви реални стойности на променливите, които не са едновременно нула,

. (36)

В този случай матрицата се нарича още положително определена (отрицателна определена).

Класът на положително определените (отрицателно определени) форми е част от класа на неотрицателните (респ. неположителни) форми.

Нека е дадена неотрицателна форма. Нека си го представим като сбор от независими квадрати:

. (37)

В това представяне всички квадрати трябва да са положителни:

. (38)

Всъщност, ако имаше такива, тогава би било възможно да изберете такива стойности, че

Но тогава, с тези стойности на променливите, формата ще има отрицателна стойност, което е невъзможно по условие. Очевидно, обратно, от (37) и (38) следва, че формата е положителна.

Така една неотрицателна квадратна форма се характеризира с равенствата.

Нека сега е положително определена форма. Тогава това е неотрицателна форма. Следователно тя може да бъде представена във формата (37), където всички са положителни. От положителната определеност на формата следва, че . Наистина, в случая е възможно да изберете стойности, които не са едновременно равни на нула, при които всички ще се обърнат към нула. Но тогава, по силата на (37), при , което противоречи на условие (36).

Лесно е да се види, че обратно, ако в (37) и всички са положителни, тогава това е положително определена форма.

С други думи, неотрицателна форма е положително определена тогава и само ако не е единствено число.

Следващата теорема дава критерий за положителната определеност на форма под формата на неравенства, на които трябва да отговарят коефициентите на формата. В този случай се използва обозначението, което вече се среща в предишните параграфи за последователни главни второстепенни на матрицата:

.

Теорема 3. За да бъде една квадратна форма положително определена, е необходимо и достатъчно неравенствата да са изпълнени

Доказателство. Достатъчността на условията (39) следва пряко от формулата на Якоби (28). Необходимостта от условия (39) се установява по следния начин. От положителната определеност на формата следва положителната определеност на „отсечените” форми

.

Но тогава всички тези форми трябва да са неединствени, т.е.

Сега имаме възможност да използваме формулата на Якоби (28) (при ). Тъй като от дясната страна на тази формула всички квадрати трябва да са положителни, тогава

Това предполага неравенства (39). Теоремата е доказана.

Тъй като всеки главен минор на матрица, с правилно преномериране на променливите, може да бъде поставен в горния ляв ъгъл, тогава имаме

Последица. В положително определена квадратична форма всички главни второстепенни на матрицата на коефициента са положителни:

Коментирайте. От неотрицателността на последователните основни второстепенни

неотрицателността на формата не следва. Наистина формата

,

при което , отговаря на условията , но не е неотрицателна.

Важи обаче следното

Теорема 4. За да бъде една квадратна форма неотрицателна, е необходимо и достатъчно всички главни минори на нейната матрица на коефициента да са неотрицателни:

Доказателство. Нека въведем спомагателната форма беше неположителна, необходима и достатъчна, за да се осъществят неравенствата

Квадратни форми.
Знакова определеност на формите. Критерий на Силвестър

Прилагателното „квадратичен“ веднага подсказва, че нещо тук е свързано с квадрат (втора степен) и много скоро ще разберем това „нещо“ и каква е формата. Оказа се, че е язък :)

Добре дошли в моя нов урок и като непосредствена загрявка ще разгледаме раираната форма линеен. Линейна форма променливиНаречен хомогененПолином от 1-ва степен:

- някои конкретни цифри * (приемаме, че поне едно от тях е различно от нула), a са променливи, които могат да приемат произволни стойности.

* В рамките на тази тема ще разгледаме само реални числа .

Вече срещнахме термина „хомогенен“ в урока за хомогенни системи линейни уравненияи в този случай това означава, че полиномът няма плюс константа.

Например: – линейна форма на две променливи

Сега формата е квадратна. Квадратна форма променливиНаречен хомогененполином от 2-ра степен, всеки термин от койтосъдържа или квадрата на променливата, или двойкипроизведение на променливи. Така например квадратичната форма на две променливи има следната форма:

внимание!Това е стандартен запис и не е необходимо да променяте нищо по него! Въпреки „страшния“ външен вид, тук всичко е просто - двойните индекси на константите сигнализират кои променливи в кой термин са включени:
– този термин съдържа произведението и (квадрат);
- тук е работата;
- и ето я работата.

– Веднага предвиждам груба грешка, когато загубят „минуса“ на коефициент, без да разбират, че се отнася за термин:

Понякога има опция за „училищен“ дизайн в духа, но само понякога. Между другото, имайте предвид, че константите не ни казват абсолютно нищо тук и затова е по-трудно да запомните „лесната нотация“. Особено когато има повече променливи.

А квадратичната форма на три променливи вече съдържа шест члена:

... защо "два" фактора са поставени в "смесени" термини? Това е удобно и скоро ще стане ясно защо.

Нека обаче запишем общата формула, удобно е да я напишете в „лист“:

– внимателно изучаваме всеки ред – в това няма нищо лошо!

Квадратната форма съдържа членове с квадратите на променливите и членове с техните сдвоени произведения (см. комбинаторна комбинирана формула) . Нищо повече - без „самотен X“ и без добавена константа (тогава ще получите не квадратна форма, а разнородниполином от 2-ра степен).

Матрична нотация на квадратична форма

В зависимост от стойностите въпросната форма може да приема както положителни, така и отрицателни стойности, като същото важи и за всяка линейна форма - ако поне един от нейните коефициенти е различен от нула, тогава той може да бъде или положителен, или отрицателен (в зависимост от стойности).

Тази форма се нарича променлив знак. И ако при линейната форма всичко е прозрачно, то при квадратната нещата са много по-интересни:

Абсолютно ясно е, че тази форма може да приеме значението на всеки знак, следователно квадратната форма също може да се редува.

Може да не е:

– винаги, освен ако едновременно не е равно на нула.

- за всеки векторосвен нула.

И най-общо казано,ако за някой ненулеввектор , , тогава се нарича квадратичната форма положително определено; ако е така тогава отрицателно определено.

И всичко би било наред, но определеността на квадратната форма се вижда само в прости примери и тази видимост се губи дори при леко усложнение:
– ?

Може да се предположи, че формата е положително дефинирана, но наистина ли е така? Ами ако има стойности, при които е по-малко от нула?

Има теорема: Ако всички собствени стойностиматриците с квадратична форма са положителни * , тогава е положително определено. Ако всички са отрицателни, тогава отрицателни.

* На теория е доказано, че всички собствени стойности на реална симетрична матрица валиден

Нека напишем матрицата на горната форма:
и от ур. нека я намерим собствени стойности:

Да разрешим доброто старо квадратно уравнение:

, което означава формата се определя положително, т.е. за всякакви ненулеви стойности е по-голямо от нула.

Разглежданият метод изглежда работи, но има едно голямо НО. Вече за матрица три на три, търсенето на правилни числа е дълга и неприятна задача; с голяма вероятност ще получите полином от 3-та степен с ирационални корени.

Какво трябва да направя? Има по-лесен начин!

Критерий на Силвестър

Не, не Силвестър Сталоун :) Първо, нека ви напомня какво е това ъгъл непълнолетниматрици. Това квалификации които „растят“ от горния му ляв ъгъл:

а последното е точно равно на детерминантата на матрицата.

Сега всъщност, критерий:

1) Квадратната форма е дефинирана положителноако и само ако ВСИЧКИТЕ му ъглови минори са по-големи от нула: .

2) Квадратната форма е дефинирана отрицателенако и само ако неговите ъглови минори се редуват по знак, като първият минор е по-малък от нула: , , ако – четно или , ако – нечетно.

Ако поне един ъглов минор е с противоположен знак, тогава формата променлив знак. Ако ъгловите минори са с правилен знак, но сред тях има нули, тогава това е специален случай, който ще разгледам малко по-късно, след като разгледаме по-често срещаните примери.

Нека анализираме ъгловите минори на матрицата :

И това веднага ни казва, че формата не е отрицателно дефинирана.

Заключение: всички ъглови минори са по-големи от нула, което означава формата се определя положително.

Има ли разлика с метода на собствената стойност? ;)

Нека напишем матрицата на формата от Пример 1:

първият е неговият ъглов минор, а вторият , от което следва, че формата е променлива по знак, т.е. в зависимост от стойностите, той може да приема както положителни, така и отрицателни стойности. Това обаче вече е очевидно.

Нека вземем формата и нейната матрица от Пример 2:

Няма начин да разберете това без прозрение. Но с критерия на Силвестър не ни интересува:
, следователно формата определено не е отрицателна.

, и определено не е положителен (тъй като всички ъглови минори трябва да са положителни).

Заключение: формата се редува.

Примери за загряване за самостоятелно решаване:

Пример 4

Изследвайте квадратичните форми за определеност на знака

а)

В тези примери всичко е гладко (вижте края на урока), но всъщност, за да изпълните такава задача Критерият на Силвестър може да не е достатъчен.

Въпросът е, че има „крайни“ случаи, а именно: ако има ненулеввектор, тогава формата се определя неотрицателни, ако – тогава отрицателен. Тези форми имат ненулеввектори, за които .

Тук можете да цитирате следния "акордеон":

Подчертаване идеален квадрат, виждаме веднага неотрицателностформа: и е равно на нула за всеки вектор с равни координати, например: .

Пример за "огледало". отрицателенопределена форма:

и още по-тривиален пример:
– тук формата е равна на нула за произволен вектор , където е произволно число.

Как да идентифицираме неотрицателните или неположителните форми?

За това се нуждаем от концепцията големи непълнолетни матрици. Голям минор е минор, съставен от елементи, които стоят в пресечната точка на редове и колони с еднакви номера. По този начин матрицата има два основни минора от 1-ви ред:
(елементът е в пресечната точка на 1-ви ред и 1-ва колона);
(елементът е в пресечната точка на 2-ри ред и 2-ра колона),

и един голям минор от 2-ри ред:
– съставен от елементи на 1-ви, 2-ри ред и 1-ва, 2-ра колона.

Матрицата е "три по три" Има седем основни второстепенни и тук ще трябва да огънете бицепсите си:
– трима непълнолетни от І-ви ред,
три непълнолетни от 2-ри ред:
– съставен от елементи на 1-ви, 2-ри ред и 1-ва, 2-ра колона;
– съставен от елементи на 1-ви, 3-ти ред и 1-ва, 3-та колона;
– съставен от елементи от 2-ри, 3-ти ред и 2-ра, 3-та колона,
и един минор от 3-ти ред:
– съставен от елементи на 1-ви, 2-ри, 3-ти ред и 1-ва, 2-ра и 3-та колона.
Упражнениеза разбиране: запишете всички главни второстепенни на матрицата .
Проверяваме в края на урока и продължаваме.

Критерий на Шварценегер:

1) Дефинирана ненулева* квадратна форма неотрицателниако и само ако ВСИЧКИТЕ негови главни второстепенни неотрицателни(по-голямо или равно на нула).

* Нулевата (изродена) квадратна форма има всички коефициенти равни на нула.

2) Дефинирана е ненулева квадратна форма с матрица отрицателенако и само ако:
– големи непълнолетни от 1-ви ред неположителен(по-малко или равно на нула);
– главни непълнолетни от 2-ри ред неотрицателни;
– големи непълнолетни от 3-ти разред неположителен(започна редуване);
…
– мажорен минор от ти ред неположителен, ако – нечетно или неотрицателни, ако – дори.

Ако поне един минор е с обратен знак, то формата е знакоредуваща се.

Нека да видим как работи критерият в горните примери:

Нека създадем матрица на формата и ПървоНека изчислим ъгловите минори - какво ще стане, ако е дефиниран положително или отрицателно?

Получените стойности не отговарят на критерия на Силвестър, а на втория минор не е отрицателен, което налага проверката на 2-ри критерий (в случай на 2-ри критерий няма да се изпълни автоматично, т.е. веднага се прави изводът за промяна на знака на формата).

Главни второстепенни от 1-ви ред:
- положителен,
мажорен минор от 2-ри ред:
– не е отрицателен.

По този начин ВСИЧКИ големи второстепенни не са отрицателни, което означава формата неотрицателни.

Нека напишем матрицата на формата , за които критерият на Силвестър очевидно не е изпълнен. Но също така не получихме противоположни знаци (тъй като и двата ъглови минора са равни на нула). Затова проверяваме изпълнението на критерия за неотрицателност/непозитивност. Главни второстепенни от 1-ви ред:
– не е положителен,
мажорен минор от 2-ри ред:
– не е отрицателен.

Така, според критерия на Шварценегер (точка 2), формата е непозитивно дефинирана.

Сега нека разгледаме по-отблизо един по-интересен проблем:

Пример 5

Разгледайте квадратичната форма за определеност на знака

Тази форма е украсена с реда "алфа", който може да бъде равен на всяко реално число. Но само ще бъде по-забавно ние решаваме.

Първо, нека напишем матрицата на формата; много хора вероятно вече са свикнали да правят това устно: на главен диагоналПоставяме коефициентите за квадратите, а на симетричните места поставяме половината от коефициентите на съответните „смесени“ произведения:

Нека изчислим ъгловите минори:

Ще разширя третата детерминанта на 3-ти ред: