Призма е геометрична триизмерна фигура, чиито характеристики и свойства се изучават в гимназиите. По правило при изучаването му се вземат предвид величини като обем и повърхност. В тази статия ще обсъдим малко по-различен въпрос: ще представим метод за определяне на дължината на диагоналите на призма, използвайки примера на четириъгълна фигура.

Каква форма се нарича призма?

В геометрията се дава следната дефиниция на призмата: това е триизмерна фигура, ограничена от две многоъгълни еднакви страни, които са успоредни една на друга и определен брой успоредници. Фигурата по-долу показва пример за призма, която отговаря на това определение.

Виждаме, че двата червени петоъгълника са равни един на друг и са в две успоредни равнини. Пет розови успоредника свързват тези петоъгълници в твърд обект - призма. Двата петоъгълника се наричат ​​основи на фигурата, а нейните успоредници са странични лица.

Призмите могат да бъдат прави или наклонени, наричани още правоъгълни или наклонени. Разликата между тях е в ъглите между основата и страничните ръбове. За правоъгълна призма всички тези ъгли са равни на 90o.

Въз основа на броя на страните или върховете на многоъгълника в основата те говорят за триъгълни, петоъгълни, четириъгълни призми и т.н. Освен това, ако този многоъгълник е правилен и самата призма е права, тогава такава фигура се нарича правилна.

Призмата, показана на предишната фигура, е петоъгълна наклонена. Отдолу има петоъгълна права призма, която е правилна.

Удобно е да се извършват всички изчисления, включително метода за определяне на диагоналите на призма, специално за правилните фигури.

Какви елементи характеризират призмата?

Елементите на фигурата са компонентите, които я образуват. Конкретно за призмата могат да се разграничат три основни типа елементи:

• горнища;
• ръбове или страни;
• ребра

За лица се считат основите и страничните равнини, представляващи в общия случай успоредници. В призмата всяка страна винаги е един от два вида: или е многоъгълник, или успоредник.

Ръбовете на призмата са тези сегменти, които ограничават всяка страна на фигурата. Подобно на лицата, ръбовете също се предлагат в два типа: тези, принадлежащи към основата и страничната повърхност, или тези, принадлежащи само към страничната повърхност. Винаги има два пъти повече от първите, отколкото от вторите, независимо от вида на призмата.

Върховете са пресечните точки на три ръба на призмата, два от които лежат в равнината на основата, а третият принадлежи на двете странични стени. Всички върхове на призмата са в равнините на основите на фигурата.

Числата на описаните елементи са свързани в едно равенство, което има следния вид:

P = B + C - 2.

Тук P е броят на ръбовете, B - върховете, C - страните. Това равенство се нарича теорема на Ойлер за многостена.

Фигурата показва триъгълна правилна призма. Всеки може да преброи, че има 6 върха, 5 страни и 9 ръба. Тези цифри са в съответствие с теоремата на Ойлер.

Диагонали на призмата

След свойства като обем и повърхнина, в задачите по геометрия често срещаме информация за дължината на конкретен диагонал на въпросната фигура, която или е дадена, или трябва да бъде намерена с други известни параметри. Нека разгледаме какви диагонали има призмата.

Всички диагонали могат да бъдат разделени на два вида:

1. Лежащ в равнината на лицата. Те свързват несъседни върхове на многоъгълник в основата на призма или успоредник на страничната повърхност. Стойността на дължините на такива диагонали се определя въз основа на познаването на дължините на съответните ръбове и ъглите между тях. За определяне на диагоналите на успоредниците винаги се използват свойствата на триъгълниците.
2. Призми, разположени вътре в обема. Тези диагонали свързват различните върхове на две основи. Тези диагонали са изцяло вътре във фигурата. Техните дължини са малко по-трудни за изчисляване, отколкото за предишния тип. Методът на изчисление включва отчитане на дължините на ребрата и основата и паралелограмите. За прави и правилни призми изчислението е сравнително просто, тъй като се извършва с помощта на Питагоровата теорема и свойствата на тригонометричните функции.

Диагонали на страните на четириъгълна права призма

Фигурата по-горе показва четири еднакви прави призми и са дадени параметрите на техните ръбове. На призмите с диагонал A, диагонал B и диагонал C прекъснатата червена линия показва диагоналите на три различни лица. Тъй като призмата е права линия с височина 5 cm, а основата й е представена от правоъгълник със страни 3 cm и 2 cm, не е трудно да се намерят отбелязаните диагонали. За да направите това, трябва да използвате Питагоровата теорема.

Дължината на диагонала на основата на призмата (диагонал А) е равна на:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.

За страничната повърхност на призмата диагоналът е равен (виж диагонал B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.

И накрая, дължината на друг страничен диагонал е (виж диагонал C):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.

Дължина на вътрешния диагонал

Сега нека изчислим дължината на диагонала на четириъгълната призма, която е показана на предишната фигура (Диагонал D). Това не е толкова трудно да се направи, ако забележите, че това е хипотенузата на триъгълник, в който катетите ще бъдат височината на призмата (5 cm) и диагоналът D A, показан на фигурата горе вляво (Диагонал A). Тогава получаваме:

D D = √(DA 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.

Правилна четириъгълна призма

Диагоналът на правилна призма, чиято основа е квадрат, се изчислява по същия начин, както в горния пример. Съответната формула е:

D = √(2*a 2 +c 2).

Където a и c са дължините съответно на страната на основата и страничния ръб.

Имайте предвид, че в изчисленията използвахме само Питагоровата теорема. За да се определят дължините на диагоналите на правилни призми с голям брой върхове (петоъгълни, шестоъгълни и т.н.), вече е необходимо да се използват тригонометрични функции.

Определение.

Това е шестоъгълник, чиито основи са два равни квадрата, а страничните стени са равни правоъгълници

Странично ребро- е общата страна на две съседни странични лица

Височина на призмата- това е сегмент, перпендикулярен на основите на призмата

Диагонал на призмата- сегмент, свързващ два върха на основите, които не принадлежат на едно и също лице

Диагонална равнина- равнина, която минава през диагонала на призмата и нейните странични ръбове

Диагонално сечение- границите на пресечната точка на призмата и диагоналната равнина. Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник

Перпендикулярно сечение (ортогонално сечение)- това е пресечната точка на призма и равнина, начертана перпендикулярно на нейните странични ръбове

Елементи на правилна четириъгълна призма

Фигурата показва две правилни четириъгълни призми, които са обозначени със съответните букви:

• Основите ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 са равни и успоредни една на друга
• Странични лица AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D, всяка от които е правоъгълник
• Странична повърхност - сумата от площите на всички странични стени на призмата
• Обща повърхност - сумата от площите на всички основи и странични лица (сума от площта на страничната повърхност и основите)
• Странични ребра AA 1, BB 1, CC 1 и DD 1.
• Диагонал B 1 D
• Диагонал на основата BD
• Диагонално сечение BB 1 D 1 D
• Перпендикулярно сечение A 2 B 2 C 2 D 2.

Свойства на правилната четириъгълна призма

• Основите са два равни квадрата
• Основите са успоредни една на друга
• Страничните лица са правоъгълници
• Страничните ръбове са равни един на друг
• Страничните лица са перпендикулярни на основите
• Страничните ребра са успоредни едно на друго и равни
• Перпендикулярно сечение, перпендикулярно на всички странични ребра и успоредно на основите
• Ъгли на перпендикулярно сечение - прави
• Диагоналното сечение на правилната четириъгълна призма е правоъгълник
• Перпендикуляр (ортогонално сечение), успореден на основите

Формули за правилна четириъгълна призма

Инструкции за решаване на проблеми

При решаване на проблеми по темата " правилна четириъгълна призма" означава, че:

Правилна призма- призма, в основата на която лежи правилен многоъгълник, а страничните ръбове са перпендикулярни на равнините на основата. Тоест правилната четириъгълна призма съдържа в основата си квадрат. (вижте свойствата на правилната четириъгълна призма по-горе) Забележка. Това е част от урок със задачи по геометрия (раздел стереометрия - призма). Ето проблеми, които са трудни за решаване. Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук, пишете за това във форума. За да се обозначи действието за извличане на корен квадратен при решаване на задачи, се използва символът√ .

Задача.

В правилна четириъгълна призма площта на основата е 144 см 2, а височината е 14 см. Намерете диагонала на призмата и общата повърхност.

Решение.
Правилен четириъгълник е квадрат.
Съответно страната на основата ще бъде равна

√144 = 12 см.
От където ще бъде равен диагоналът на основата на правилна правоъгълна призма
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Диагоналът на правилната призма образува правоъгълен триъгълник с диагонала на основата и височината на призмата. Съответно, според теоремата на Питагор, диагоналът на дадена правилна четириъгълна призма ще бъде равен на:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Отговор: 22 см

Задача

Определете общата повърхност на правилна четириъгълна призма, ако нейният диагонал е 5 cm, а диагоналът на страничната й страна е 4 cm.

Решение.
Тъй като основата на правилната четириъгълна призма е квадрат, ние намираме страната на основата (означена като a), използвайки Питагоровата теорема:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Тогава височината на страничната повърхност (означена като h) ще бъде равна на:

Н 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Общата повърхност ще бъде равна на сумата от страничната повърхност и удвоената площ на основата

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Отговор: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Описание на презентацията по отделни слайдове:

1 слайд

Описание на слайда:

2 слайд

Описание на слайда:

Определение 1. Полиедър, две от чиито лица са многоъгълници със същото име, лежащи в успоредни равнини, и всеки два ръба, които не лежат в тези равнини, са успоредни, се нарича призма. Терминът "призма" е от гръцки произход и буквално означава "отрязан" (тяло). Многоъгълниците, лежащи в успоредни равнини, се наричат ​​основи на призмата, а останалите лица се наричат ​​странични лица. Следователно повърхността на призмата се състои от два равни многоъгълника (основи) и паралелограми (странични стени). Има триъгълни, четириъгълни, петоъгълни и др. в зависимост от броя на върховете на основата.

3 слайд

Описание на слайда:

Всички призми са разделени на прави и наклонени. (Фиг. 2) Ако страничният ръб на призмата е перпендикулярен на равнината на нейната основа, тогава такава призма се нарича права; Ако страничният ръб на призмата е перпендикулярен на равнината на нейната основа, тогава такава призма се нарича наклонена. Правата призма има правоъгълни странични стени. Перпендикуляр към равнините на основите, чиито краища принадлежат на тези равнини, се нарича височина на призмата.

4 слайд

Описание на слайда:

Свойства на призмата. 1. Основите на призмата са равни многоъгълници. 2. Страничните стени на призмата са успоредници. 3. Страничните ръбове на призмата са равни.

5 слайд

Описание на слайда:

Площта на призмата и площта на страничната повърхност на призмата. Повърхността на полиедъра се състои от краен брой многоъгълници (лица). Площта на многостена е сумата от площите на всичките му лица. Площта на призмите (Spr) е равна на сумата от площите на нейните странични лица (площ на страничната повърхност Sside) и площите на две основи (2Sbas) - равни многоъгълници: Spop = Sside + 2Sbas. Теорема. Площта на страничната повърхност на призмата е равна на произведението на периметъра на нейното перпендикулярно сечение и дължината на страничния ръб.

6 слайд

Описание на слайда:

Доказателство. Страничните стени на права призма са правоъгълници, чиито основи са страните на основата на призмата, а височините са равни на височината h на призмата. Sстрана на повърхността на призмата е равна на сбора S от посочените триъгълници, т.е. равна на сумата от произведенията на страните на основата и височината h. Изваждайки фактора h извън скоби, получаваме в скоби сумата от страните на основата на призмата, т.е. периметър P. И така, Sside = Ph. Теоремата е доказана. Последица. Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на нейната основа и нейната височина. Наистина, в права призма основата може да се разглежда като перпендикулярно сечение, а страничният ръб е височината.

7 слайд

Описание на слайда:

Сечение на призма 1. Сечение на призма с равнина, успоредна на основата. Сечението образува многоъгълник, равен на многоъгълника, лежащ в основата. 2. Сечение на призма с равнина, минаваща през два несъседни странични ръба. В напречното сечение се образува успоредник. Това сечение се нарича диагонално сечение на призмата. В някои случаи резултатът може да бъде диамант, правоъгълник или квадрат.

8 слайд

Описание на слайда:

Слайд 9

Описание на слайда:

Определение 2. Правилна призма, чиято основа е правилен многоъгълник, се нарича правилна призма. Свойства на правилната призма 1. Основите на правилната призма са правилни многоъгълници. 2. Страничните стени на правилна призма са равни правоъгълници. 3. Страничните ръбове на правилна призма са равни.

10 слайд

Описание на слайда:

Сечение на правилна призма. 1. Разрез на правилна призма с равнина, успоредна на основата. Сечението образува правилен многоъгълник, равен на многоъгълника, лежащ в основата. 2. Сечение на правилна призма с равнина, минаваща през два несъседни странични ръба. В напречното сечение се образува правоъгълник. В някои случаи може да се образува квадрат.

11 слайд

Описание на слайда:

Симетрия на правилна призма 1. Центърът на симетрия с четен брой страни на основата е пресечната точка на диагоналите на правилна призма (фиг. 6)

Триъгълната призма е триизмерно тяло, образувано от комбиниране на правоъгълници и триъгълници. В този урок ще научите как да намерите вътрешния (обем) и външния (повърхнината) размер на триъгълна призма.

Триъгълна призма е пентаедър, образуван от две успоредни равнини, в които са разположени два триъгълника, образуващи две лица на призма, а останалите три лица са успоредници, образувани от страните на триъгълниците.

Елементи на триъгълна призма

Триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са призмени основи .

Четириъгълниците A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 и A 1 C 1 CA са странични стени на призмата .

Страните на лицата са призмени ребра(A 1 B 1, A 1 C 1, C 1 B 1, AA 1, CC 1, BB 1, AB, BC, AC), една триъгълна призма има общо 9 лица.

Височината на призмата е перпендикулярният сегмент, който свързва двете страни на призмата (на фигурата е h).

Диагоналът на призмата е сегмент, който има краища в два върха на призмата, които не принадлежат на едно и също лице. За триъгълна призма такъв диагонал не може да бъде начертан.

Основна площ е площта на триъгълното лице на призмата.

е сумата от площите на четириъгълните лица на призмата.

Видове триъгълни призми

Има два вида триъгълна призма: права и наклонена.

Правата призма има правоъгълни странични стени, а наклонената призма има успоредни странични стени (виж фигурата)

Призма, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнините на основите, се нарича права.

Призма, чиито странични ръбове са наклонени спрямо равнините на основите, се нарича наклонена.

Основни формули за изчисляване на триъгълна призма

Обем на триъгълна призма

За да намерите обема на триъгълна призма, трябва да умножите площта на нейната основа по височината на призмата.

Обем на призмата = основна площ х височина

V=S основно ч

Площ на страничната повърхност на призмата

За да намерите страничната повърхност на триъгълна призма, трябва да умножите периметъра на нейната основа по нейната височина.

Площ на страничната повърхност на триъгълна призма = периметър на основата x височина

S страна = P основна ч

Обща повърхност на призмата

За да намерите общата повърхност на призма, трябва да добавите нейната основна площ и странична повърхност.

тъй като S страна = P main. h, тогава получаваме:

Пълен оборот =P основно h+2S основен

Правилна призма - права призма, чиято основа е правилен многоъгълник.

Свойства на призмата:

Горната и долната основа на призмата са равни многоъгълници.
Страничните стени на призмата имат формата на успоредник.
Страничните ръбове на призмата са успоредни и равни.

Съвет: Когато изчислявате триъгълна призма, трябва да обърнете внимание на използваните единици. Например, ако основната площ е посочена в cm 2, тогава височината трябва да бъде изразена в сантиметри, а обемът в cm 3. Ако основната площ е в mm 2, тогава височината трябва да бъде изразена в mm, а обемът в mm 3 и т.н.

Пример за призма

В този пример:
— ABC и DEF съставляват триъгълните основи на призмата
- ABED, BCFE и ACFD са правоъгълни странични лица
— Страничните ръбове DA, EB и FC съответстват на височината на призмата.
— Точките A, B, C, D, E, F са върховете на призмата.

Задачи за изчисляване на триъгълна призма

Проблем 1. Основата на права триъгълна призма е правоъгълен триъгълник с катети 6 и 8, страничният ръб е 5. Намерете обема на призмата.
Решение:Обемът на права призма е равен на V = Sh, където S е площта на основата и h е страничният ръб. Площта на основата в този случай е площта на правоъгълен триъгълник (нейната площ е равна на половината от площта на правоъгълник със страни 6 и 8). Така обемът е равен на:

V = 1/2 6 8 5 = 120.

Задача 2.

През средната линия на основата на триъгълната призма е начертана равнина, успоредна на страничния ръб. Обемът на отсечената триъгълна призма е 5. Намерете обема на първоначалната призма.

Решение:

Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината: V = S основа h.

Триъгълникът, лежащ в основата на оригиналната призма, е подобен на триъгълника, лежащ в основата на отсечената призма. Коефициентът на подобие е 2, тъй като сечението е начертано през средната линия (линейните размери на по-големия триъгълник са два пъти по-големи от линейните размери на по-малкия). Известно е, че площите на подобни фигури се отнасят като квадрат на коефициента на подобие, т.е. S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .

Основната площ на цялата призма е 4 пъти по-голяма от основната площ на отрязаната призма. Височините на двете призми са еднакви, така че обемът на цялата призма е 4 пъти обема на отсечената призма.

Така необходимият обем е 20.

Диагонални сечения. Сечението на призмата с равнина, минаваща през диагонала на основата и двата странични ръба, съседни на нея, се нарича диагонално сечение на призмата. Сечение на пирамида с равнина, минаваща през диагонала на основата и върха, се нарича диагонално сечение на пирамидата. Нека равнината пресича пирамидата и е успоредна на нейната основа. Частта от пирамидата, затворена между тази равнина и основата, се нарича пресечена пирамида. Напречното сечение на пирамида се нарича още основа на пресечена пирамида.

Построяване на сечения При построяването на сечения на многостени основните са построяването на пресечната точка на права и равнина, както и на пресечната линия на две равнини. Ако са дадени две точки A и B на права и са известни техните проекции A' и B' върху равнината, тогава точката C на пресечната точка на данните на правата и равнината ще бъде точката на пресичане на правите AB и A'B' Ако са дадени три точки A, B, C от равнината и са известни техните проекции A', B', C' върху друга равнина, тогава за да се намери пресечната линия на тези равнини, точките P и Q на пресичане на правите AB и AC с втората равнина. Правата PQ ще бъде желаната пресечна линия на равнините.

Упражнение 1 Построете сечение на куб с равнина, минаваща през точки E, F, лежащи на ръбовете на куба и върха B. Решение. За да построим сечение на куб, минаващо през точки E, F и връх B, свързваме с отсечки точки E и B, F и B. През точки E и F начертаваме прави, успоредни съответно на BF и BE. Полученият успоредник BFGE ще бъде желаната секция.

Упражнение 2 Построете сечение от куб с равнина, минаваща през точки E, F, G, разположени по ръбовете на куба. Решение. За да построите сечение на куб, минаващо през точки E, F, G, начертайте права линия EF и означете P нейната пресечна точка с AD. Нека Q означава пресечната точка на правите PG и AB. Нека свържем точки E и Q, F и G. Полученият трапец EFGQ ще бъде желаното сечение.

Упражнение 3 Построете сечение на куба с равнина, минаваща през точки E, F, G, разположени по ръбовете на куба. Решение. За да построите сечение на куб, минаващо през точки E, F, G, начертайте права линия EF и означете P нейната пресечна точка с AD. Нека означим с Q, R точките на пресичане на права PG с AB и DC. Нека означим с S пресечната точка на FR с CC 1. Нека свържем точките E и Q, G и S. Полученият петоъгълник EFSGQ ще бъде желаното сечение.

Упражнение 4 Построете сечение на куба с равнина, минаваща през точки E, F, G, разположени по ръбовете на куба. Решение. За да построим сечение на куб, минаващо през точки E, F, G, намираме пресечната точка P на правата EF и лицевата равнина ABCD. Нека означим с Q, R пресечните точки на права PG с AB и CD. Начертайте права RF и означете S, T нейните точки на пресичане с CC 1 и DD 1. Начертайте права TE и означете U нейната пресечна точка с A 1 D 1. Свържете точките E и Q, G и S, U и F Полученият шестоъгълник EUFSGQ ще бъде желаното сечение.

Упражнение 5 Построете сечение на куба с равнина, минаваща през точки E, F, G, принадлежащи съответно на лицата BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B. Решение. От тези точки спускаме перпендикулярите EE’, FF’, GG’ към равнината на лицето ABCD и намираме точките I и H на пресечната точка на правите FE и FG с тази равнина. IH ще бъде пресечната линия на желаната равнина и равнината на лицето ABCD. Нека означим с Q, R пресечните точки на правата IH с AB и BC. Нека начертаем прави PG и QE и означим R, S техните пресечни точки с AA 1 и CC 1. Нека начертаем прави SU, UV и RV, успоредни на PR, PQ и QS. Полученият шестоъгълник RPQSUV ще бъде желаната секция.

Упражнение 6 Построете сечение на куба с равнина, минаваща през точки E, F, лежащи на ръбовете на куба, успоредни на диагонала BD. Решение. Нека начертаем прави FG и EH успоредни на BD. Нека начертаем права линия FP, успоредна на EG и да свържем точките P и G. Свържем точките E и G, F и H. Полученият петоъгълник EGPFH ще бъде желаното сечение.

Построете сечение на призмата ABCA 1 B 1 C 1 с равнина, минаваща през точки E, F, G. Упражнение 8 Решение. Нека свържем точки E и F. Нека начертаем права FG и нейната пресечна точка с CC 1, означим H. Нека начертаем права EH и нейната пресечна точка с A 1 C 1, означим I. Нека свържем точките I и G. Полученият четириъгълник EFGI ще бъде желаното сечение.

Построете сечение на призмата ABCA 1 B 1 C 1 с равнина, минаваща през точки E, F, G. Упражнение 9 Решение. Нека начертаем права линия EG и означим H и I нейните точки на пресичане с CC 1 и AC. Нека начертаем права линия IF и нейната пресечна точка с AB ще означим K. Ще начертаем права FH и нейната пресечна точка с B 1 C 1 ще означим L. Нека свържем точките E и K, G и L. Полученият петоъгълник EKFLG ще бъде желаното сечение.

Построете сечение на призмата ABCA 1 B 1 C 1 с равнина, успоредна на AC 1, минаваща през точки D 1. Упражнение 10 Решение. През точка D начертаваме права, успоредна на AC 1 и означаваме E нейната пресечна точка с правата BC 1. Тази точка ще принадлежи на равнината на лицето ADD 1 A 1. Начертайте права DE и означете F нейната пресечна точка с ръб пр.н.е. Нека свържем с отсечка точките F и D. През точка D начертаваме права, успоредна на правата FD и означаваме с G точката на пресичане с ръба A 1 C 1, H – точката на пресичане с права A 1 B 1. Нека начертаем права линия DH и означим с P нейната пресечна точка с ръб AA 1. Свържем с отсечка точките P и G. Полученият четириъгълник EFIK ще бъде търсеното сечение.

Построете сечение на призмата ABCA 1 B 1 C 1 с равнина, минаваща през точки E на ребро BC, F на лице ABB 1 A 1 и G на лице ACC 1 A 1. Упражнение 11 Решение. Нека начертаем права GF и намерим точката H на нейното пресичане с равнината ABC. Нека начертаем права EH и означим с P и I нейните пресечни точки с AC и AB. Нека начертаем прави линии PG и IF и означим S, R и Q техните пресечни точки с A 1 C 1, A 1 B 1 и BB 1. Нека свържем точките E и Q, S и R. Полученият петоъгълник EQRSP ще бъде желаната секция.

Построете сечение на правилна шестоъгълна призма с равнина, минаваща през точки A, B, D 1. Упражнение 12 Решение. Забележете, че сечението ще минава през точка E 1. Нека начертаем права AB и да намерим нейните пресечни точки K и L с правите CD и FE. Нека начертаем правите KD 1, LE 1 и да намерим техните пресечни точки P, Q с правите CC 1 и FF 1. Шестоъгълникът ABPD 1 E 1 Q ще бъде търсеното сечение.

Построете сечение на правилна шестоъгълна призма с равнина, минаваща през точки A, B’, F’. Упражнение 13 Решение. Нека начертаем отсечки AB’ и AF’. През точка B' прекарваме права, успоредна на AF', а нейната пресечна точка с EE 1 означаваме E'. През точка F' прекарваме права, успоредна на AB', а нейната пресечна точка с CC 1 означаваме като C'. През точките E’ и C’ прокарваме прави, успоредни на AB’ и AF’, а пресечните им точки с D 1 E 1 и C 1 D 1 означаваме като D’, D”. Нека свържем точки B’, C’; D', D"; F', E'. Полученият седмоъгълник AB’C’D”D’E’F’ ще бъде желаната секция.

Построете сечение на правилна шестоъгълна призма с равнина, минаваща през точките F’, B’, D’. Упражнение 14 Решение. Нека начертаем прави F’B’ и F’D’ и да намерим техните пресечни точки P и Q с равнината ABC. Нека направим директен PQ. Нека R означава пресечната точка на PQ и FC. Нека означим пресечната точка на F’R и CC 1 като C’. Нека свържем точки B’, C’ и C’, D’. През точка F' прекарваме прави, успоредни на C'D' и B'C', а техните пресечни точки с AA 1 и EE 1 означаваме като A' и E'. Нека свържем точки A’, B’ и E’, D’. Полученият шестоъгълник A’B’C’D’E’F’ ще бъде желаната секция.