Уравнения на равнинни и сферични вълни. Уравнение на равнинна движеща се вълна

Вълново уравнениее уравнение, изразяващо зависимостта на преместването на осцилираща частица, участваща във вълнов процес, от координатата на нейното равновесно положение и време:

Тази функция трябва да бъде периодична както по отношение на времето, така и по отношение на координатите. В допълнение, точки, разположени на разстояние л един от друг, осцилират по същия начин.

Нека намерим вида на функцията х в случай на плоска вълна.

Нека разгледаме плоска хармонична вълна, разпространяваща се по положителната посока на оста в среда, която не поглъща енергия. В този случай вълновите повърхности ще бъдат перпендикулярни на оста. Всички величини, характеризиращи осцилаторното движение на частиците на средата, зависят само от времето и координатите. Отместването ще зависи само от и: . Нека трептенето на точка с координата (източника на трептене) е дадено от функцията. Задача: намерете вида на вибрациите на точки в равнината, съответстващи на произволна стойност. За да премине от самолет до този самолет, една вълна изисква време. Следователно трептенията на частиците, лежащи в равнината, ще изостават във фаза с известно време от трептенията на частиците в равнината. Тогава уравнението на трептенията на частиците в равнината ще има формата:

В резултат на това получихме уравнението на плоска вълна, разпространяваща се в посока на нарастване:

. (3)

В това уравнение е амплитудата на вълната; – циклична честота; – начална фаза, която се определя от избора на опорна точка и ; – фаза на плоска вълна.

Нека фазата на вълната е постоянна стойност (фиксираме стойността на фазата във вълновото уравнение):

Нека намалим този израз с и диференцираме. В резултат получаваме:

или .

По този начин скоростта на разпространение на вълна в уравнението на равнинната вълна не е нищо повече от скоростта на разпространение на фиксирана фаза на вълната. Тази скорост се нарича фазова скорост .

За синусоида скоростта на пренос на енергия е равна на фазовата скорост. Но синусоидата не носи никаква информация и всеки сигнал е модулирана вълна, т.е. не синусоидален (не хармоничен). При решаването на някои задачи се оказва, че фазовата скорост е по-голяма от скоростта на светлината. Тук няма парадокс, защото... скоростта на фазово движение не е скоростта на предаване (разпространение) на енергия. Енергията и масата не могат да се движат със скорост, по-голяма от скоростта на светлината ° С .

Обикновено на уравнението на равнинната вълна се дава относително симетрична форма. За да направите това, въведете стойността , което се нарича вълново число . Нека трансформираме израза за вълновото число. Нека го запишем във формата (). Нека заместим този израз в уравнението на равнинната вълна:

Накрая получаваме

Това е уравнението на плоска вълна, разпространяваща се в нарастваща посока. Обратната посока на разпространение на вълната ще се характеризира с уравнение, в което знакът пред члена ще се промени.

Удобно е уравнението на равнинната вълна да се напише в следната форма.

Обикновено знак Re се пропускат, което означава, че се взема само реалната част от съответния израз. Освен това се въвежда комплексно число.

Това число се нарича комплексна амплитуда. Модулът на това число дава амплитудата, а аргументът дава началната фаза на вълната.

По този начин уравнението на плоска непрекъсната вълна може да бъде представено в следната форма.

Всичко, обсъдено по-горе, се отнася до среда, в която няма затихване на вълната. В случай на затихване на вълната, в съответствие със закона на Бугер (Пиер Бугер, френски учен (1698 - 1758)), амплитудата на вълната ще намалява, докато се разпространява. Тогава уравнението на равнинната вълна ще има следния вид.

а– коефициент на затихване на вълната. А 0 – амплитуда на трептенията в точка с координати . Това е реципрочната стойност на разстоянието, на което амплитудата на вълната намалява с д веднъж.

Нека намерим уравнението на сферична вълна. Източникът на трептене ще считаме за точков. Това е възможно, ако се ограничим до разглеждане на вълната на разстояние, много по-голямо от размера на източника. Вълна от такъв източник в изотропна и хомогенна среда ще бъде сферична . Точките, лежащи върху вълновата повърхност на радиуса, ще осцилират с фаза

Амплитудата на трептенията в този случай, дори ако вълновата енергия не се абсорбира от средата, няма да остане постоянна. Той намалява с отдалечаване от източника според закона. Следователно уравнението на сферичната вълна има формата:

или

Поради направените предположения, уравнението е валидно само за , което значително надвишава размера на източника на вълна. Уравнение (6) не е приложимо за малки стойности, т.к амплитудата ще клони към безкрайност, а това е абсурдно.

При наличие на затихване в средата уравнението на сферична вълна ще бъде написано по следния начин.

Групова скорост

Строго монохроматична вълна е безкрайна последователност от „гърбици“ и „долини“ във времето и пространството.

Фазовата скорост на тази вълна или (2)

Невъзможно е да се предаде сигнал с помощта на такава вълна, защото във всяка точка на вълната всички „гърбици“ са еднакви. Сигналът трябва да е различен. Да бъде знак (белег) на вълната. Но тогава вълната вече няма да бъде хармонична и няма да се описва с уравнение (1). Сигнал (импулс) може да бъде представен съгласно теоремата на Фурие като суперпозиция на хармонични вълни с честоти, съдържащи се в определен интервал. Dw . Суперпозиция на вълни, които се различават малко една от друга по честота,

Наречен вълнов пакет или група от вълни .

Изразът за група от вълни може да бъде написан по следния начин.

(3)

Икона w подчертава, че тези количества зависят от честотата.

Този вълнов пакет може да бъде сбор от вълни с леко различни честоти. При съвпадане на фазите на вълните се наблюдава нарастване на амплитудата, а при противоположни фази се наблюдава затихване на амплитудата (резултат от интерференция). Тази картина е показана на фигурата. За да може една суперпозиция от вълни да се счита за група от вълни, трябва да бъде изпълнено следното условие: Dw<< w 0 .

В недиспергираща среда всички плоски вълни, образуващи вълнов пакет, се разпространяват с една и съща фазова скорост v . Дисперсията е зависимостта на фазовата скорост на синусоидална вълна в среда от честотата. Ще разгледаме явлението дисперсия по-късно в раздела „Вълнова оптика“. При липса на дисперсия скоростта на движение на вълновия пакет съвпада с фазовата скорост v . В диспергираща среда всяка вълна се разпръсква със собствена скорост. Следователно вълновият пакет се разпространява с течение на времето и ширината му се увеличава.

Ако дисперсията е малка, тогава вълновият пакет не се разпространява твърде бързо. Следователно, определена скорост може да се припише на движението на целия пакет U .

Скоростта, с която се движи центърът на вълновия пакет (точката с максимална амплитуда) се нарича групова скорост.

В дисперсна среда v¹U . Заедно с движението на самия вълнов пакет се движат и „гърбиците“ вътре в самия пакет. "Гърбиците" се движат в пространството със скорост v , а пакетът като цяло със скорост U .

Нека разгледаме по-подробно движението на вълнов пакет, използвайки примера на суперпозиция на две вълни с еднаква амплитуда и различни честоти. w (различни дължини на вълните л ).

Нека напишем уравненията на две вълни. За простота нека приемем началните фази j 0 = 0.

Тук

Позволявам Dw<< w , съответно Dk<< k .

Нека да съберем вибрациите и да извършим трансформации, използвайки тригонометричната формула за сумата от косинусите:

В първия косинус ще пренебрегнем Dwt И Dkx , които са много по-малки от другите количества. Нека вземем предвид това cos(–a) = cosa . Ще го запишем накрая.

(4)

Множителят в квадратни скоби се променя с времето и се координира много по-бавно от втория множител. Следователно израз (4) може да се разглежда като уравнение на плоска вълна с амплитуда, описана от първия фактор. Графично вълната, описана с израз (4), е представена на фигурата, показана по-горе.

Получената амплитуда се получава в резултат на добавянето на вълни, следователно ще се наблюдават максимуми и минимуми на амплитудата.

Максималната амплитуда ще се определя от следното условие.

(5)

м = 0, 1, 2…

xмакс– координата на максималната амплитуда.

Косинусът преминава своята максимална модулна стойност стр .

Всеки от тези максимуми може да се разглежда като център на съответната група вълни.

Разрешаване на (5) относително xмакс ще го получим.

Тъй като фазовата скорост е наречена групова скорост. Максималната амплитуда на вълновия пакет се движи с тази скорост. В границата изразът за груповата скорост ще има следния вид.

(6)

Този израз е валиден за центъра на група от произволен брой вълни.

Трябва да се отбележи, че когато всички членове на разширението са точно взети предвид (за произволен брой вълни), изразът за амплитудата се получава по такъв начин, че следва, че вълновият пакет се разпространява във времето.
Изразът за групова скорост може да бъде даден в различна форма.

При липса на отклонение

Максималният интензитет се проявява в центъра на вълновата група. Следователно скоростта на пренос на енергия е равна на груповата скорост.

Концепцията за групова скорост е приложима само при условие, че поглъщането на вълната в средата е ниско. При значително затихване на вълната понятието групова скорост губи значението си. Този случай се наблюдава в областта на аномалната дисперсия. Ще разгледаме това в раздела „Вълнова оптика“.

Механични вълни- процесът на разпространение на механични вибрации в среда (течна, твърда, газообразна).Трябва да се помни, че механичните вълни пренасят енергия и форма, но не пренасят маса. Най-важната характеристикана една вълна е скоростта на нейното разпространение. Вълни от каквото и да е естество не се разпространяват в пространството незабавно; тяхната скорост е ограничена.

Според геометрията те се различават: сферични (пространствени), едномерни (равнинни), спираловидни вълни.

Вълната се нарича равнина, ако неговите вълнови повърхности са равнини, успоредни една на друга, перпендикулярни на фазовата скорост на вълната (фиг. 1.3). Следователно лъчите на плоска вълна са успоредни линии.

Уравнение на равнинна вълна::

Настроики :

Период на трептене T е периодът от време, след който състоянието на системата приема същите стойности: u(t + T) = u(t).

Честота на трептене n е броят на трептенията в секунда, реципрочната стойност на периода: n = 1/T. Измерва се в херци (Hz) и има единица s–1. Махало, което се люлее веднъж в секунда, осцилира с честота 1 Hz.

Фаза на трептене j– стойност, показваща каква част от трептенето е преминало от началото на процеса. Измерва се в ъглови единици – градуси или радиани.

Амплитуда на трептене А– максималната стойност, която приема трептящата система, „размахът” на трептене.

4.Доплер ефект- промяна в честотата и дължината на вълните, възприемани от наблюдателя (приемник на вълни), поради относителното движение на източника на вълна и наблюдателя. Нека си представимче наблюдателят се доближава до неподвижен източник на вълни с определена скорост. В същото време той среща повече вълни за същия интервал от време, отколкото при липса на движение. Това означава, че възприеманата честота е по-голяма от честотата на вълната, излъчвана от източника. Така че дължината на вълната, честотата и скоростта на разпространение на вълната са свързани помежду си чрез връзката V = /, - дължина на вълната.

Дифракция- феноменът на огъване около препятствия, които са сравними по размер с дължината на вълната.

намеса-явление, при което в резултат на наслагването на кохерентни вълни се получава увеличаване или намаляване на трептенията.

Опитът на ЮнгПървият експеримент с интерференция, обяснен на базата на вълновата теория на светлината, е експериментът на Йънг (1802). В експеримента на Йънг светлина от източник, който служи като тесен процеп S, пада върху екран с два близко разположени процепа S1 и S2. Преминавайки през всеки от прорезите, светлинният лъч се разширява поради дифракция, следователно на белия екран E светлинните лъчи, преминаващи през процепите S1 и S2, се припокриват. В областта, където светлинните лъчи се припокриват, се наблюдава интерференчен модел под формата на редуващи се светли и тъмни ивици.

2.Звук - механична надлъжна вълна, която се разпространява в еластична среда, има честота от 16 Hz до 20 kHz. Има различни видове звуци:

1. прост тон - чисто хармонична вибрация, излъчвана от камертон (метален инструмент, който произвежда звук при удар):

2. сложен тон - не синусоидално, а периодично трептене (издавано от различни музикални инструменти).

Съгласно теоремата на Фурие такова сложно трептене може да бъде представено чрез набор от хармонични компоненти с различни честоти. Най-ниската честота се нарича основен тон, а множеството честоти се наричат ​​обертонове. Набор от честоти, показващ техния относителен интензитет (плътност на вълновия енергиен поток), се нарича акустичен спектър. Спектърът на сложния тон е линеен.

3. шум - звук, който се получава от добавянето на много противоречиви източници. Спектър - непрекъснат (твърд):

4. звуков бум - краткотрайно звуково въздействие Пример: пляскане, експлозия.

Вълнов импеданс-съотношението на звуковото налягане в плоска вълна към скоростта на вибрациите на частиците на средата. Характеризира степента на твърдост на средата (т.е. способността на средата да устои на образуването на деформации) в движеща се вълна. Изразява се с формулата:

P/V=p/c, P-звуково налягане, p-плътност, c-скорост на звука, V-обем.

3 - характеристики, независими от свойствата на приемника:

Интензитет (сила на звука) е енергията, пренасяна от звукова вълна за единица време през единица площ, разположена перпендикулярно на звуковата вълна.

Основна честота.

Звуков спектър - броят на обертоновете.

При честоти под 17 и над 20 000 Hz, колебанията на налягането вече не се възприемат от човешкото ухо. Надлъжните механични вълни с честота под 17 Hz се наричат ​​инфразвук. Надлъжните механични вълни с честота над 20 000 Hz се наричат ​​ултразвук.

5. UZ- механични вълна с честота над 20 kHz. Ултразвукът е редуване на кондензация и разреждане на средата. Във всяка среда скоростта на разпространение на ултразвука е еднаква . Особеност- теснота на лъча, която ви позволява да въздействате върху обекти локално. В нехомогенни среди с малки включвания на частици възниква явлението дифракция (огъване около препятствия). Проникването на ултразвук в друга среда се характеризира с коефициента на проникване () =L /L, където дължините на ултразвука след и преди проникването в средата.

Ефектът на ултразвука върху телесната тъкан е механичен, термичен и химичен. Приложение в медицинатасе разделя на 2 направления: метод на изследване и диагностика и метод на действие. 1) ехоенцефалография- откриване на тумори и мозъчен оток ; кардиография- измерване на сърцето в динамика. 2) Ултразвукова физиотерапия-механични и термични ефекти върху тъканите; по време на операции като "ултразвуков скалпел"

6. Идеална течност -въображаема несвиваема течност, лишена от вискозитет и топлопроводимост. Идеалната течност няма вътрешно триене, непрекъсната е и няма структура.

Уравнение на непрекъснатост -V 1 А 1 = V 2 А 2 Обемният дебит във всяка тръба на потока, ограничена от съседни линии на потока, трябва да бъде еднакъв по всяко време във всичките му напречни сечения

Уравнение на Бернули - Р v 2 / 2 + Рул + Рgh= const, в случай на постоянен поток, общото налягане е еднакво във всички напречни сечения на текущата тръба. Р v 2 / 2 + Рул= const – за хоризонтална парцели.

7Стационарен поток- поток, чиято скорост никога не се променя във всяко място във флуида.

Ламинарен поток- подреден поток от течност или газ, при който течността (газът) се движи на слоеве, успоредни на посоката на потока.

Турбулентен поток- форма на течен или газов поток, при който техните елементи извършват хаотични, нестабилни движения по сложни траектории, което води до интензивно смесване между слоевете на движеща се течност или газ.

Линии– прави, чиито допирателни съвпадат във всички точки с посоката на скоростта в тези точки. При постоянен поток токовите линии не се променят с времето.

Вискозитет -вътрешно триене, свойството на течните тела (течности и газове) да се съпротивляват на движението на една част спрямо друга

Уравнение на Нютон: F = (dv/dx)Sη.

Коефициент на вискозитет- Коефициент на пропорционалност в зависимост от вида на течността или газа. Число, използвано за количествено характеризиране на свойството вискозитет. Коефициент на вътрешно триене.

Ненютонова течностнаречена течност, в която нейният вискозитет зависи от градиента на скоростта, чийто поток се подчинява на уравнението на Нютон. (Полимери, нишесте, кръв от течен сапун)

Нютонов -Ако в движещ се флуид неговият вискозитет зависи само от неговата природа и температура и не зависи от градиента на скоростта. (Вода и дизелово гориво)

.Числото на Рейнолдс- характеризиране на връзката между инерционните сили и вискозните сили: Re = rdv/m, където r е плътността, m е динамичният коефициент на вискозитет на течност или газ, v е скоростта на потока.< Rekр возможно лишь ламинарное течение жидкости, а при Re >Rekр потокът може да стане турбулентен.

Коефициент на кинематичен вискозитет- отношението на динамичния вискозитет на течност или газ към неговата плътност.

9. Метод на Стокс, Въз основа на метода АСтокс съдържа формулата за силата на съпротивление, възникваща при движение на топка във вискозна течност, получена от Стоукс: Fc = 6 π η V r. За индиректно измерване на коефициента на вискозитет η трябва да се вземе предвид равномерното движение на топка във вискозна течност и да се приложи условието за равномерно движение: векторната сума на всички сили, действащи върху топката, е нула.

Mg + F A + F с =0 (всичко е във векторна форма!!!)

Сега трябва да изразим силата на гравитацията (mg) и силата на Архимед (Fa) чрез известни количества. Приравнявайки стойностите mg = Fa+Fc, получаваме израза за вискозитет:

η = (2/9)*g*(ρ t - ρ l)* r 2 / v = (2/9) * g *(ρ t - ρ l)* r 2 * t / L. Радиусът е директно измерено с микрометърно топче r (по диаметър), L е пътят на топчето в течността, t е времето за пътуване на пътя L. За измерване на вискозитета с помощта на метода на Стокс пътят L се взема не от повърхността на течността , но между оценки 1 и 2. Това се дължи на следното обстоятелство. При извеждане на работната формула за коефициента на вискозитет по метода на Стокс е използвано условието за равномерно движение. В самото начало на движението (началната скорост на топката е нула), съпротивителната сила също е нула и топката има известно ускорение. Докато набирате скорост, съпротивителната сила се увеличава, а резултатната от трите сили намалява! Само след определен знак движението може да се счита за равномерно (и след това само приблизително).

11.Формула на Поазей: По време на стабилно ламинарно движение на вискозен несвиваем флуид през цилиндрична тръба с кръгло напречно сечение, вторият обемен дебит е право пропорционален на спада на налягането на единица дължина на тръбата и четвъртата степен на радиуса и обратно пропорционален на коефициент на вискозитет на течността.

Тази функция трябва да бъде периодична както по отношение на времето, така и по координатите (вълната е разпространяващо се трептене, следователно периодично повтарящо се движение). Освен това точките, разположени на разстояние l една от друга, вибрират по същия начин.

Уравнение на плоска вълна

Нека намерим формата на функцията x в случай на плоска вълна, като приемем, че трептенията са хармонични по природа.

Нека насочим координатните оси така, че оста хсъвпада с посоката на разпространение на вълната. Тогава вълновата повърхност ще бъде перпендикулярна на оста х. Тъй като всички точки на вълновата повърхност осцилират еднакво, изместването x ще зависи само от хИ T: . Нека трептенето на точките, лежащи в равнината, има формата (в началната фаза)

(5.2.2)

Нека намерим типа вибрация на частиците в равнина, съответстваща на произволна стойност х. Да вървя по пътя х, отнема време.

следователно вибрации на частици в равнинахще изостане във времето отTот вибрации на частици в равнината, т.е.

,

(5.2.3)

- Това уравнение на равнинна вълна.

Така че х Има пристрастиевсяка от точките с координатахв даден моментT. При извеждането приехме, че амплитудата на трептенето е . Това ще се случи, ако вълновата енергия не се абсорбира от средата.

Уравнение (5.2.3) ще има същата форма, ако вибрациите се разпространяват по оста гили z.

Общо взето уравнение на равнинна вълнае написано така:

Изразите (5.2.3) и (5.2.4) са уравнения на пътуващи вълни .

Уравнение (5.2.3) описва вълна, разпространяваща се в посока на нарастване х. Вълна, разпространяваща се в обратна посока, има формата:

.

Вълновото уравнение може да бъде написано в друга форма.

Нека се запознаем вълново число , или във векторна форма:

,

(5.2.5)

където е вълновият вектор и е нормалата към вълновата повърхност.

От тогава . Оттук. Тогава уравнение на равнинна вълна ще бъде написана така:

.

(5.2.6)

Сферично вълново уравнение

За повечето проблеми, включващи вълни, е важно да знаете състоянието на трептенията на различни точки в средата в един или друг момент. Състоянието на точките в средата ще се определи, ако са известни амплитудите и фазите на техните трептения. За напречните вълни също е необходимо да се знае природата на поляризацията. За плоска линейно поляризирана вълна е достатъчно да имате израз, който ви позволява да определите изместването c(x, T)от равновесното положение на всяка точка от средата с координата Х,по всяко време T.Този израз се нарича вълново уравнение.

Ориз. 2.21.

Да разгледаме т.нар бягаща вълна,тези. вълна с плосък вълнов фронт, разпространяващ се в една определена посока (например по оста x). Нека частиците на средата, непосредствено съседни на източника на плоски вълни, осцилират според хармоничния закон; %(0, /) = = LsobsoG (фиг. 2.21). На фигура 2.21, Апрез ^(0, T)показва преместването на частици от средата, разположени в равнина, перпендикулярна на чертежа и имащи координата в избраната координатна система х= 0 в даден момент T.Началото на времето е избрано така, че началната фаза на трептенията, дефинирана чрез функцията косинус, да е равна на нула. ос хсъвместим с лъча, т.е. с посоката на разпространение на вибрациите. В този случай фронтът на вълната е перпендикулярен на оста Х,така че частиците, лежащи в тази равнина, ще осцилират в една фаза. Самият вълнов фронт в дадена среда се движи по оста хсъс скорост Иразпространение на вълната в дадена среда.

Да намерим израз? (x, T)изместване на частици от средата, отдалечени от източника на разстояние x. Това е разстоянието, което вълновият фронт изминава

във времето Следователно трептенията на частиците, лежащи в равнина, отдалечена от източника на разстояние Х,ще изостава във времето с количество m от трептенията на частици, непосредствено съседни на източника. Тези частици (с координата x) също ще извършват хармонични вибрации. При липса на затихване амплитудата Атрептенията (в случай на плоска вълна) няма да зависят от координатата x, т.е.

Това е необходимото уравнение меланхолията на бягаща вълна(да не се бърка с вълновото уравнение, обсъдено по-долу!). Уравнението, както вече беше отбелязано, ни позволява да определим изместването % частици от средата с координата x в момента на времето T.Фазата на трептене зависи

на две променливи: на координатата x на частицата и времето T.В даден фиксиран момент във времето фазите на трептенията на различните частици, най-общо казано, ще бъдат различни, но е възможно да се идентифицират частици, чиито трептения ще се появят в една и съща фаза (във фаза). Можем също да приемем, че фазовата разлика между трептенията на тези частици е равна на 2pt(Където t = 1, 2, 3,...). Нарича се най-късото разстояние между две частици на движеща се вълна, осцилиращи в една и съща фаза дължина на вълната X.

Нека намерим връзката между дължината на вълната хс други величини, характеризиращи разпространението на трептенията в средата. В съответствие с въведеното определение за дължина на вълната можем да напишем

или след съкращения Тъй като , тогава

Този израз ни позволява да дадем различна дефиниция на дължината на вълната: Дължината на вълната е разстоянието, на което вибрациите на частиците на средата имат време да се разпространят за време, равно на периода на вибрациите.

Вълновото уравнение разкрива двойна периодичност: по координата и време: ^(x, t) = Z,(x + nk, t) = l,(x, t + mT) = ​​​​Tx + pX, ml),Където Пийт -всякакви цели числа. Можете например да фиксирате координатите на частиците (поставете x = const) и разглеждайте тяхното изместване като функция на времето. Или, обратно, фиксирайте момент във времето (приемете t = const) и разглеждаме изместването на частиците като функция на координатите (моментното състояние на изместванията е моментна снимка на вълна). Така че, докато сте на кея, можете да използвате камера в даден момент Tснимайте морската повърхност, но можете, като хвърлите чип в морето (т.е. фиксиране на координатата Х),наблюдавайте колебанията му във времето. И двата случая са показани под формата на графики на фиг. 2.21, a-c.

Вълновото уравнение (2.125) може да бъде пренаписано по различен начин

Връзката е обозначена Да сеи се нарича вълново число

защото , Че

По този начин вълновото число показва колко дължини на вълната се вписват в сегмент от 2l единици дължина. Като въведем вълновото число в уравнението на вълната, получаваме уравнението на вълна, движеща се в положителна посока овълни в най-често използваната форма

Нека намерим израз, свързващ фазовата разлика Der на вибрациите на две частици, принадлежащи към различни вълнови повърхности хи х 2. Използвайки вълновото уравнение (2.131), записваме:

Ако означим или съгласно (2.130)

Плоска вълна, разпространяваща се в произволна посока, в общия случай се описва с уравнението

Където Ж-радиус вектор, изтеглен от началото към частицата, лежаща върху вълновата повърхност; Да се ​​-вълнов вектор, равен по големина на вълновото число (2.130) и съвпадащ по посока с нормалата към вълновата повърхност в посоката на разпространение на вълната.

Възможна е и сложна форма на записване на вълновото уравнение. Така например в случай на плоска вълна, разпространяваща се по оста х

а в общия случай на плоска вълна с произволна посока

Вълновото уравнение във всяка от изброените форми може да се получи като решение на диференциално уравнение, наречено вълново уравнение.Ако знаем решението на това уравнение под формата (2.128) или (2.135) - уравнението на плъзгащата се вълна, тогава намирането на самото вълново уравнение не е трудно. Нека диференцираме 4(x, t) = %от (2.135) два пъти по координата и два пъти по време и получаваме

изразявайки?, чрез получените производни и сравнявайки резултатите, получаваме

Имайки предвид връзката (2.129), пишем

Това е вълновото уравнениеза едномерния случай.

В общи линии за?, = c(x, y, z,/) вълновото уравнение в декартови координати изглежда така

или в по-компактна форма:

където D е диференциалният оператор на Лаплас

Фазова скоросте скоростта на разпространение на вълнови точки, осцилиращи в една и съща фаза. С други думи, това е скоростта на движение на "гребена", "коритото" или всяка друга точка на вълната, чиято фаза е фиксирана. Както беше отбелязано по-рано, вълновият фронт (и следователно всяка вълнова повърхност) се движи по оста осъс скорост И.Следователно скоростта на разпространение на трептенията в средата съвпада със скоростта на движение на дадена фаза на трептенията. Следователно скоростта И,определя се от отношение (2.129), т.е.

обикновено се нарича фазова скорост.

Същият резултат може да се получи чрез намиране на скоростта на точки в средата, които отговарят на условието за постоянна фаза co/ - fee = const. От тук намираме зависимостта на координатата от времето (co/ - const) и скоростта на движение на тази фаза

което съвпада с (2.142).

Плоска вълна, разпространяваща се в посока на отрицателната ос оописани от уравнението

Всъщност в този случай фазовата скорост е отрицателна

Фазовата скорост в дадена среда може да зависи от честотата на трептене на източника. Зависимостта на фазовата скорост от честотата се нарича дисперсия,и средите, в които възниква тази зависимост, се наричат диспергиращи среди.Не бива обаче да се мисли, че изразът (2.142) е посочената зависимост. Въпросът е, че при липса на дисперсия вълновото число Да сев пряко отношение

с и следователно . Дисперсия възниква само когато ω зависи от Да сенелинейни).

Пътуваща равнинна вълна се нарича едноцветен (с една честота),ако трептенията в източника са хармонични. Монохроматичните вълни съответстват на уравнение от вида (2.131).

За монохроматична вълна, ъгловата честота co и амплитудата Ане зависят от времето. Това означава, че монохроматичната вълна е безгранична в пространството и безкрайна във времето, т.е. е идеализиран модел. Всяка реална вълна, без значение колко внимателно се поддържа постоянството на честотата и амплитудата, не е монохроматична. Истинската вълна не продължава безкрайно време, а започва и завършва в определено време на определено място и следователно амплитудата на такава вълна е функция на времето и координатите на това място. Въпреки това, колкото по-дълъг е интервалът от време, през който амплитудата и честотата на трептенията се поддържат постоянни, толкова по-близо до монохроматична е тази вълна. Често на практика монохроматична вълна се нарича достатъчно голям сегмент от вълната, в рамките на който честотата и амплитудата не се променят, точно както на фигурата е изобразен сегмент от синусоида и се нарича синусоида.

При описанието на вълновия процес е необходимо да се намерят амплитудите и фазите на колебателното движение в различни точки на средата и промяната на тези величини във времето. Този проблем може да бъде решен, ако се знае по какъв закон трепти тялото, предизвикало вълновия процес и как взаимодейства с околната среда. Но в много случаи не е важно кое тяло възбужда дадена вълна, а се решава по-прост проблем. Комплектсъстояние на колебателно движение в определени точки на средата в определен момент от времето и трябва да се определисъстояние на осцилаторно движение в други точки на средата.

Като пример, нека разгледаме решението на такъв проблем в прост, но в същото време важен случай на разпространение на равнинна или сферична хармонична вълна в среда. Нека означим осцилиращото количество с u. Тази величина може да бъде: преместването на частиците на средата спрямо тяхното равновесно положение, отклонението на налягането в дадено място на средата от равновесната стойност и др. След това задачата ще бъде намирането на т.нар вълнови уравнения – израз, който определя променливо количество uкато функция от координатите на точките от околната среда х, г, zи време T:

u = u(х, г, z, T). (2.1)

За простота, нека u е изместването на точки в еластична среда, когато в нея се разпространява плоска вълна, а трептенията на точките са хармонични по природа. Освен това насочваме координатните оси така, че ос 0xсъвпада с посоката на разпространение на вълната. Тогава вълновите повърхности (семейство равнини) ще бъдат перпендикулярни на оста 0x(фиг. 7), и тъй като всички точки на вълновата повърхност вибрират еднакво, изместването uще зависи само от хИ T: u = u(х, T). За хармонични трептения на точки, лежащи в равнина х= 0 (фиг. 9), уравнението е валидно:

u(0, T) = Азащото ( ωt + α ) (2.2)

Нека намерим вида на трептенията на точки в равнината, съответстващи на произволна стойност х. За да изминете пътя от самолета х= 0 към тази равнина, вълната отнема време τ = x/s (с– скорост на разпространение на вълната). Следователно, вибрациите на частиците, лежащи в равнината х, ще изглежда така:

И така, уравнението на плоска вълна (както надлъжна, така и напречна), разпространяваща се в посока на оста 0x, е както следва:

(2.3)

величина Апредставлява амплитудата на вълната. Начална вълнова фаза α се определя от избора на референтни точки хИ T.

Нека фиксираме всяка стойност на фазата в квадратните скоби на уравнение (2.3), като поставим

(2.4)

Нека диференцираме това равенство по отношение на времето, като вземем предвид факта, че цикличната честота ω и начална фаза α са постоянни:

По този начин скоростта на разпространение на вълната св уравнение (2.3) има скоростта на движение на фазата и затова се нарича фазова скорост . В съответствие с (2.5) dx/дт> 0. Следователно уравнение (2.3) описва вълна, разпространяваща се в посока на нарастване х, така нареченият течаща прогресивна вълна . Вълна, разпространяваща се в обратна посока, се описва от уравнението

и се нарича течаща регресивна вълна . Наистина, чрез приравняване на вълновата фаза (2.6) към константа и диференциране на полученото равенство, ние достигаме до връзката:

от което следва, че вълната (2.6) се разпространява в посока на намаляване х.

Да въведем стойността

което се нарича вълново число и е равно на броя на дължините на вълните, които се вписват в интервал от 2π метра. Използване на формули λ = s/νИ ω = 2π ν вълновото число може да бъде представено като

(2.8)

Отваряйки скобите във формули (2.3) и (2.6) и вземайки предвид (2.8), стигаме до следното уравнение за равнинни вълни, разпространяващи се по (знака „-“) и срещу (знака „+“) ос 0 х:

При извеждането на формули (2.3) и (2.6) се приема, че амплитудата на трептенията не зависи от х. За плоска вълна това се наблюдава в случая, когато вълновата енергия не се поглъща от средата. Опитът показва, че в поглъщаща среда интензитетът на вълната постепенно намалява, докато се отдалечава от източника на трептенията - затихването на вълната се наблюдава по експоненциален закон:

.

Съответно уравнението на плоска затихнала вълна има формата:

Където А 0 – амплитуда в точки от равнината х= 0, а γ – коефициент на затихване.

Сега нека намерим уравнението сферична вълна . Всеки истински източник на вълни има известна степен. Въпреки това, ако се ограничим до разглеждане на вълната на разстояния от източника, много по-големи от нейния размер, тогава източникът може да се разглежда точка . В изотропна и хомогенна среда вълната, генерирана от точков източник, ще бъде сферична. Да приемем, че фазата на източника трепти ωt+α. След това точките, лежащи върху вълновата повърхност на радиуса r, ще осцилира с фазата

Амплитудата на трептенията в този случай, дори енергията на вълната да не се поглъща от средата, няма да остане постоянна - тя намалява в зависимост от разстоянието от източника по закона 1/ r. Следователно уравнението на сферичната вълна има формата:

(2.11)

Където А– постоянна стойност, числено равна на амплитудата на трептенията на разстояние от източника, равно на единица.

За абсорбираща среда в (2.11) трябва да добавите фактора e - γr. Нека припомним, че поради направените предположения уравнение (2.11) е валидно само за r, значително надвишаващ размера на източника на вибрации. При стремеж rкъм нула амплитудата отива към безкрайност. Този абсурден резултат се обяснява с неприложимостта на уравнение (2.11) за малки r.