В този урок ще разгледаме още две операции с вектори: векторно произведение на векториИ смесено произведение на вектори (незабавна връзка за тези, които имат нужда). Всичко е наред, понякога се случва, че за пълно щастие, в допълнение към скаларно произведение на вектори, изискват се все повече и повече. Това е векторна зависимост. Може да изглежда, че навлизаме в джунглата на аналитичната геометрия. Това е грешно. В този раздел на висшата математика обикновено има малко дърво, освен може би достатъчно за Пинокио. Всъщност материалът е много общ и прост - едва ли е по-сложен от същия скаларно произведение, дори ще има по-малко типични задачи. Основното нещо в аналитичната геометрия, както мнозина ще се убедят или вече са се убедили, е ДА НЕ СЕ ГРЕШИ В ИЗЧИСЛЕНИЯТА. Повторете като заклинание и ще бъдете щастливи =)

Ако векторите искрят някъде далеч, като светкавица на хоризонта, няма значение, започнете с урока Вектори за манекениза възстановяване или повторно придобиване на основни знания за векторите. По-подготвените читатели могат да се запознаят с информацията избирателно; Опитах се да събера най-пълната колекция от примери, които често се срещат в практическата работа

Какво ще ви направи щастливи веднага? Когато бях малък, можех да жонглирам с две и дори с три топки. Получи се добре. Сега изобщо няма да ви се налага да жонглирате, тъй като ще помислим само пространствени вектори, а плоските вектори с две координати ще бъдат пропуснати. Защо? Така се раждат тези действия – векторът и смесеният продукт от вектори са дефинирани и работят в триизмерно пространство. Вече е по-лесно!

Тази операция, подобно на скаларното произведение, включва два вектора. Нека това са нетленни букви.

Самото действие обозначен спо следния начин: . Има и други опции, но аз съм свикнал да обозначавам векторното произведение на векторите по този начин, в квадратни скоби с кръст.

И то веднага въпрос: ако в скаларно произведение на векториучастват два вектора и тук два вектора също се умножават, тогава каква е разликата? Очевидната разлика е преди всичко в РЕЗУЛТАТА:

Резултатът от скаларното произведение на векторите е ЧИСЛО:

Резултатът от кръстосаното произведение на векторите е ВЕКТОР: , тоест умножаваме векторите и отново получаваме вектор. Затворен клуб. Всъщност от тук идва и името на операцията. В различна образователна литература обозначенията също могат да варират; аз ще използвам буквата.

Дефиниция на кръстосано произведение

Първо ще има определение със снимка, след това коментари.

Определение: Векторен продукт неколинеарнивектори, взети в този ред, наречен ВЕКТОР, дължинакоето е числено равна на площта на успоредника, изграден върху тези вектори; вектор ортогонални на вектори, и е насочен така, че основата да има правилна ориентация:

Нека разбием дефиницията, тук има много интересни неща!

Така че могат да се подчертаят следните важни точки:

1) Оригиналните вектори, обозначени с червени стрелки, по дефиниция не е колинеарен. Ще бъде подходящо да разгледаме случая на колинеарни вектори малко по-късно.

2) Взети са вектори в строго определен ред: – "a" се умножава по "be", а не „бъди“ с „а“. Резултат от векторно умножениее ВЕКТОР, който е обозначен в синьо. Ако векторите се умножат в обратен ред, се получава вектор с еднаква дължина и противоположна посока (цвят малина). Тоест равенството е вярно .

3) Сега нека се запознаем с геометричния смисъл на векторното произведение. Това е много важен момент! ДЪЛЖИНАТА на синия вектор (и, следователно, пурпурния вектор) е числено равна на ПЛОЩТА на успоредника, изграден върху векторите. На фигурата този успоредник е оцветен в черно.

Забележка : чертежът е схематичен и, естествено, номиналната дължина на векторния продукт не е равна на площта на паралелограма.

Нека си припомним една от геометричните формули: Площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях. Следователно, въз основа на горното, формулата за изчисляване на ДЪЛЖИНАТА на векторен продукт е валидна:

Подчертавам, че формулата е за ДЪЛЖИНАТА на вектора, а не за самия вектор. Какъв е практическият смисъл? И смисълът е, че в проблемите на аналитичната геометрия площта на успоредник често се намира чрез концепцията за векторен продукт:

Нека получим втората важна формула. Диагоналът на успоредник (червена пунктирана линия) го разделя на два равни триъгълника. Следователно площта на триъгълник, изграден върху вектори (червено засенчване), може да се намери с помощта на формулата:

4) Също толкова важен факт е, че векторът е ортогонален на векторите, т.е . Разбира се, противоположно насоченият вектор (малинова стрелка) също е ортогонален на оригиналните вектори.

5) Векторът е насочен така, че базаТо има точноориентация. В урока за преход към нова основаГоворих достатъчно подробно за равнинна ориентация, а сега ще разберем какво е пространствена ориентация. Ще ти обясня на пръсти дясна ръка. Мислено комбинирайте показалецс вектор и среден пръстс вектор. Безименен пръст и малък пръстнатиснете го в дланта си. Като резултат палец– векторният продукт ще изглежда нагоре. Това е дясно ориентирана основа (това е тази на фигурата). Сега сменете векторите ( показалец и среден пръст) на някои места, в резултат на това палецът ще се обърне и векторният продукт вече ще гледа надолу. Това също е дясно ориентирана основа. Може да имате въпрос: коя основа има лява ориентация? „Присвояване“ на същите пръсти лява ръкавектори и получаваме лявата основа и лявата ориентация на пространството (в този случай палецът ще бъде разположен в посока на долния вектор). Образно казано, тези основи „извиват” или ориентират пространството в различни посоки. И тази концепция не трябва да се счита за нещо пресилено или абстрактно - например ориентацията на пространството се променя от най-обикновеното огледало и ако „издърпате отразения обект от огледалото“, тогава в общия случай той няма да е възможно да го комбинирате с „оригинала“. Между другото, дръжте три пръста до огледалото и анализирайте отражението ;-)

...колко е хубаво, че вече знаете за това дясно и ляво ориентиранибази, защото твърденията на някои преподаватели за промяна на ориентацията са страшни =)

Кръстосано произведение на колинеарни вектори

Дефиницията беше обсъдена подробно, остава да разберем какво се случва, когато векторите са колинеарни. Ако векторите са колинеарни, тогава те могат да бъдат поставени на една права линия и нашият паралелограм също се „сгъва“ в една права линия. Областта на такива, както казват математиците, изродениуспоредник е равен на нула. Същото следва и от формулата - синус от нула или 180 градуса е равен на нула, което означава, че площта е нула

По този начин, ако , тогава И . Моля, обърнете внимание, че самото векторно произведение е равно на нулевия вектор, но на практика това често се пренебрегва и се пише, че също е равно на нула.

Специален случай е кръстосаното произведение на вектор със себе си:

Използвайки векторния продукт, можете да проверите колинеарността на триизмерните вектори и ние също ще анализираме този проблем, наред с други.

За решаване на практически примери може да се нуждаете тригонометрична таблицаза да намерите стойностите на синусите от него.

Е, нека запалим огъня:

Пример 1

а) Намерете дължината на векторното произведение на векторите, ако

б) Намерете площта на успоредник, изграден върху вектори, ако

Решение: Не, това не е печатна грешка, нарочно направих първоначалните данни в клаузите същите. Защото дизайнът на решенията ще бъде различен!

а) Според условието трябва да намерите дължинавектор (кръстосан продукт). Съгласно съответната формула:

Отговор:

Ако сте били попитани за дължина, тогава в отговора посочваме измерението - единици.

б) Според условието трябва да намерите квадратуспоредник, изграден върху вектори. Площта на този паралелограм е числено равна на дължината на векторния продукт:

Отговор:

Моля, обърнете внимание, че отговорът изобщо не говори за векторния продукт, за който ни попитаха площ на фигурата, съответно размерът е квадратни единици.

Винаги гледаме КАКВО трябва да намерим според състоянието и на базата на това формулираме ясноотговор. Може да изглежда като буквализъм, но има много буквалисти сред учителите и задачата има голям шанс да бъде върната за преработка. Въпреки че това не е особено пресилена гръмотевица - ако отговорът е грешен, тогава се създава впечатлението, че човекът не разбира елементарни неща и/или не е разбрал същината на задачата. Тази точка винаги трябва да се държи под контрол при решаването на всяка задача по висша математика, а и по други предмети.

Къде отиде голямата буква "ен"? По принцип можеше да се прикачи допълнително към решението, но за да съкратя записа, не го направих. Надявам се, че всички разбират това и е обозначение за едно и също нещо.

Популярен пример за решение „Направи си сам“:

Пример 2

Намерете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако

Формулата за намиране на площта на триъгълник чрез векторния продукт е дадена в коментарите към дефиницията. Решението и отговорът са в края на урока.

На практика задачата е наистина много често срещана, триъгълниците като цяло могат да ви измъчват.

За решаване на други проблеми ще ни трябва:

Свойства на векторното произведение на векторите

Вече разгледахме някои свойства на векторния продукт, но ще ги включа в този списък.

За произволни вектори и произволно число са верни следните свойства:

1) В други източници на информация този елемент обикновено не е подчертан в свойствата, но е много важен от практическа гледна точка. Така че нека бъде.

2) – свойството също е разгледано по-горе, понякога се нарича антикомутативност. С други думи, редът на векторите има значение.

3) – асоциативни или асоциативензакони за векторни продукти. Константите могат лесно да бъдат преместени извън векторния продукт. Наистина, какво да правят там?

4) – разпределение или разпределителензакони за векторни продукти. Няма проблеми и с отварянето на скобите.

За да демонстрираме, нека разгледаме кратък пример:

Пример 3

Намерете дали

Решение:Условието отново изисква намиране на дължината на векторното произведение. Нека нарисуваме нашата миниатюра:

(1) Съгласно асоциативните закони, ние извеждаме константите извън обхвата на векторното произведение.

(2) Преместваме константата извън модула и модулът „изяжда“ знака минус. Дължината не може да бъде отрицателна.

(3) Останалото е ясно.

Отговор:

Време е да добавите още дърва в огъня:

Пример 4

Изчислете площта на триъгълник, изграден върху вектори, ако

Решение: Намерете площта на триъгълника, като използвате формулата . Уловката е, че самите вектори „tse“ и „de“ са представени като суми от вектори. Алгоритъмът тук е стандартен и донякъде напомня на примери № 3 и 4 от урока Точково произведение на вектори. За по-голяма яснота ще разделим решението на три етапа:

1) На първата стъпка изразяваме векторното произведение чрез векторното произведение, всъщност, нека изразим вектор чрез вектор. Все още няма дума за дължините!

(1) Заменете изразите на векторите.

(2) Използвайки законите за разпределение, отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми.

(3) Използвайки асоциативни закони, ние преместваме всички константи извън векторните продукти. С малко опит стъпки 2 и 3 могат да бъдат извършени едновременно.

(4) Първият и последният член са равни на нула (нулев вектор) поради свойството nice. Във втория член използваме свойството антикомутативност на векторен продукт:

(5) Представяме подобни условия.

В резултат на това векторът се оказа изразен чрез вектор, което е необходимо да се постигне:

2) Във втората стъпка намираме дължината на векторния продукт, от който се нуждаем. Това действие е подобно на Пример 3:

3) Намерете площта на необходимия триъгълник:

Етапи 2-3 от решението можеха да бъдат записани в един ред.

Отговор:

Разглежданият проблем е доста често срещан в тестовете, ето пример за самостоятелно решаване:

Пример 5

Намерете дали

Кратко решение и отговор в края на урока. Нека да видим колко внимателни бяхте, когато изучавахте предишните примери ;-)

Напречно произведение на вектори в координати

, определени в ортонормална основа, изразено с формулата:

Формулата е наистина проста: в горния ред на детерминанта записваме координатните вектори, във втория и третия ред „поставяме“ координатите на векторите и поставяме в строг ред– първо координатите на вектора „ve“, след това координатите на вектора „double-ve“. Ако векторите трябва да бъдат умножени в различен ред, тогава редовете трябва да бъдат разменени:

Пример 10

Проверете дали следните пространствени вектори са колинеарни:
а)
б)

Решение: Проверката се основава на едно от твърденията в този урок: ако векторите са колинеарни, тогава тяхното векторно произведение е равно на нула (нулев вектор): .

а) Намерете векторното произведение:

Следователно векторите не са колинеарни.

б) Намерете векторното произведение:

Отговор: а) не е колинеарен, б)

Тук може би е цялата основна информация за векторното произведение на векторите.

Този раздел няма да е много голям, тъй като има малко проблеми, при които се използва смесеното произведение на вектори. Всъщност всичко ще зависи от дефиницията, геометричното значение и няколко работещи формули.

Смесено произведение от вектори е произведение от три вектора:

Така че те се наредиха като влак и нямат търпение да бъдат идентифицирани.

Първо, отново определение и снимка:

Определение: Смесена работа некомпланарнивектори, взети в този ред, Наречен обем на паралелепипед, изградени върху тези вектори, оборудвани със знак „+“, ако основата е дясна, и знак „–“, ако основата е лява.

Да направим чертежа. Невидимите за нас линии се рисуват с пунктирани линии:

Нека се потопим в определението:

2) Взети са вектори в определен ред, тоест пренареждането на векторите в продукта, както може би се досещате, не става без последствия.

3) Преди да коментирам геометричното значение, ще отбележа един очевиден факт: смесеното произведение на векторите е ЧИСЛО: . В образователната литература дизайнът може да е малко по-различен; Свикнал съм да обозначавам смесен продукт с , а резултатът от изчисленията с буквата „pe“.

А-приори смесеният продукт е обемът на паралелепипеда, построен върху вектори (фигурата е начертана с червени вектори и черни линии). Тоест числото е равно на обема на даден паралелепипед.

Забележка : Чертежът е схематичен.

4) Нека не се тревожим отново за концепцията за ориентация на основата и пространството. Смисълът на последната част е, че към силата на звука може да се добави знак минус. С прости думи, смесен продукт може да бъде отрицателен: .

Директно от определението следва формулата за изчисляване на обема на паралелепипед, изграден върху вектори.

Тест №1

Вектори. Елементи на висшата алгебра

1-20. Дължините на векторите и и са известни; – ъгълът между тези вектори.

Изчислете: 1) и, 2).3) Намерете площта на триъгълника, изграден върху векторите и.

Направете рисунка.

Решение. Използване на определението за точково произведение на вектори:

И свойствата на скаларното произведение: ,

1) намерете скаларния квадрат на вектора:

тоест тогава .

Като спорим по подобен начин, получаваме

тоест тогава .

По дефиниция на векторен продукт: ,

като се има предвид това

Площта на триъгълник, изградена от вектори и е равна на

21-40. Известни координати на три върха А, Б, Гуспоредник ABCD. Използвайки векторна алгебра, имате нужда от:

А(3;0;-7), б(2;4;6), д(-7;-5;1)

Решение.

Известно е, че диагоналите на успоредника са разделени наполовина в точката на пресичане. Следователно координатите на точката д- пресичане на диагонали - намерете като координати средата на отсечката BD. Означавайки ги с х д ,г д , z дразбираме това

Получаваме.

Познаване на координатите на точката д- средата на диагонала BDи координатите на единия му край А(3;0;-7), С помощта на формули определяме необходимите координати на върха СЪСуспоредник:

И така, върха.

2) За да намерим проекцията на вектор върху вектор, намираме координатите на тези вектори: ,

по същия начин . Проекцията на вектор върху вектор се намира по формулата:

3) Ъгълът между диагоналите на успоредник се намира като ъгъл между векторите

И по свойството на скаларното произведение:

Тогава

4) Намерете площта на паралелограма като модул на векторния продукт:

5) Обемът на пирамидата се намира като една шеста от модула на смесеното произведение на вектори, където O(0;0;0), тогава

След това необходимия обем (кубични единици)

41-60. Дадени матрици:

V C -1 +3A T

Обозначения:

Първо, намираме обратната матрица на матрица C.

За да направим това, намираме неговата детерминанта:

Детерминантата е различна от нула, следователно матрицата е неособена и за нея можете да намерите обратната матрица C -1

Нека намерим алгебричните допълнения по формулата , където е минорът на елемента:

Тогава , .

61–80. Решете системата от линейни уравнения:

метод на Крамер; 2. Матричен метод.

Решение.

а) Метод на Крамер

Нека намерим детерминантата на системата

Тъй като системата има уникално решение.

Нека намерим детерминантите и като заменим първата, втората, третата колона в матрицата на коефициента съответно с колона със свободни членове.

Според формулите на Крамер:

б)матричен метод (с използване на обратна матрица).

Записваме тази система в матрична форма и я решаваме с помощта на обратната матрица.

Позволявам А– матрица от коефициенти за неизвестни; х– матрица-колона от неизвестни х, г, zИ н– матрица-колона на безплатните членове:

Лявата страна на система (1) може да бъде записана като произведение на матрици , а дясната страна като матрица н. Следователно имаме матричното уравнение

Тъй като детерминантата на матрицата Ае различна от нула (точка "а"), тогава матрицата Аима обратна матрица. Нека умножим двете страни на равенството (2) отляво по матрицата, получаваме

От къде де матрицата на идентичност, и тогава

Нека имаме неособена матрица A:

След това намираме обратната матрица по формулата:

Където А ij- алгебрично допълнение на елемент а ijв детерминантата на матрицата А, което е произведение от (-1) i+j и минор (детерминанта) n-1поръчка, получена чрез изтриване i-толинии и jthколона в детерминантата на матрица A:

От тук получаваме обратната матрица:

Колона X: X=A -1 H

81–100. Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Решение. Нека напишем системата под формата на разширена матрица:

Извършваме елементарни трансформации с низове.

От 2-ри ред изваждаме първия ред, умножен по 2. От ред 3 изваждаме първия ред, умножен по 4. От ред 4 изваждаме първия ред, получаваме матрицата:

След това получаваме нула в първата колона на следващите редове; за да направите това, извадете третия ред от втория ред. От третия ред извадете втория ред, умножен по 2. От четвъртия ред извадете втория ред, умножен по 3. В резултат на това получаваме матрица от формата:

От четвъртия ред изваждаме третия.

Нека разменим предпоследния и последния ред:

Последната матрица е еквивалентна на системата от уравнения:

От последното уравнение на системата намираме .

Като заместим в предпоследното уравнение, получаваме .

От второто уравнение на системата следва, че

От първото уравнение намираме x:

Отговор:

Тест No2

Аналитична геометрия

1-20. Дадени са координатите на върховете на триъгълника ABC.Намирам:

1) дължина на страната АIN;

2) уравнения на страните ABИ слънцеи техните ъглови коефициенти;

3) ъгъл INв радиани с точност до две цифри;

4) уравнение на височината CDи неговата дължина;

5) уравнение на медианата AE

височина CD;

ДА СЕуспоредно на страната AB,

7) направете чертеж.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Решение.

Прилагайки (1), намираме дължината на страната AB:

2) уравнения на страните ABИ слънцеи техните ъглови коефициенти:

Уравнението на права линия, минаваща през точките и има формата

Заместване на координатите на точките в (2) АИ IN, получаваме уравнението на страната AB:

(AB).

(пр.н.е.).

3) ъгъл INв радиани с точност до две цифри.

Известно е, че тангенсът на ъгъла между две прави, чиито ъглови коефициенти са съответно равни и се изчислява по формулата

Необходим ъгъл INобразувани от прави линии ABИ слънце, чиито ъглови коефициенти се намират: ; . Прилагайки (3), получаваме

; , или

4) уравнение на височината CDи неговата дължина.

Разстояние от точка C до права линия AB:

5) уравнение на медианата AEи координатите на точката K на пресечната точка на тази медиана с

височина CD.

средата на слънчевата страна:

Тогава уравнението AE:

Решаваме системата от уравнения:

6) уравнение на права, минаваща през точка ДА СЕуспоредно на страната AB:

Тъй като желаната линия е успоредна на страната AB, тогава неговият ъглов коефициент ще бъде равен на ъгловия коефициент на правата линия AB. Заместване на координатите на намерената точка в (4) ДА СЕи наклона, получаваме

; (KF).

Площта на успоредника е 12 квадратни метра. единици, двата му върха са точки A(-1;3)И B(-2;4).Намерете другите два върха на този успоредник, ако е известно, че пресечната точка на неговите диагонали лежи на оста x. Направете рисунка.

Решение. Нека пресечната точка на диагоналите има координати.

Тогава е очевидно, че

следователно координатите на векторите са .

Намираме площта на успоредник с помощта на формулата

Тогава координатите на другите два върха са .

В задачи 51-60 са дадени координатите на точките А и Б. Задължително:

Напишете канонично уравнение за хипербола, минаваща през тези точки А и Б,ако фокусите на хиперболата са разположени на оста x;

Намерете полуосите, фокусите, ексцентрицитета и уравненията на асимптотите на тази хипербола;

Намерете всички точки на пресичане на хиперболата с окръжност с център в началото, ако тази окръжност минава през фокусите на хиперболата;

Построете хипербола, нейните асимптоти и окръжност.

A(6;-2), B(-8;12).

Решение. Записва се уравнението на търсената хипербола в канонична форма

Където а- реална полуос на хиперболата, б-въображаема полуос. Заместване на координатите на точките АИ INВ това уравнение намираме тези полуоси:

– уравнение на хипербола: .

Полуоси a=4,

фокусно разстояние Фокуси (-8.0) и (8.0)

Ексцентричност

Асиптоти:

Ако една окръжност минава през началото, нейното уравнение е

Замествайки един от фокусите, намираме уравнението на окръжността

Намерете пресечните точки на хиперболата и окръжността:

Изграждаме чертеж:

В задачи 61-80 построете графика на функция в полярна координатна система точка по точка, давайки  стойности през интервала  /8 (0   2). Намерете уравнението на правата в правоъгълна декартова координатна система (положителната полуос на абсцисата съвпада с полярната ос, а полюсът с началото).

Решение.Нека изградим линия по точки, като първо попълним таблицата със стойности и φ.

Номер	φ ,	φ, градуси			Номер	φ , радвам се	степени
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 заключаваме, че това уравнение дефинира елипса: Дават се точки а, IN , C, D . Трябва да се намери: 1. Уравнение на равнината (Q), преминаване през точки А, Б, В дв самолета (Q); 2. Уравнение на линията (аз),преминаване през точки INи D; 3. Ъгъл между равнина (Q)и прав (аз); 4. Уравнение на равнината (R),преминаващ през точка Аперпендикулярно на права линия (аз); 5. Ъгъл между равнините (R)И (Q) ; 6. Уравнение на права (T),преминаващ през точка Апо посока на неговия радиус вектор; 7. Ъгъл между прави (аз)И (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),д(6;4;0) 1. Уравнение на равнината (Q), преминаване през точки А, Б, Ви проверете дали целта е вярна дв равнината се определя по формулата Намерете: 1) . 2) Квадратуспоредник, построена НаИ. 3) Обем на паралелепипеда, построена На вектори, И. контрол работапо тази тема" Елементитеория на линейните пространства... Методически препоръки за попълване на тестове за бакалавърска задочна форма на обучение в квалификация 080100. 62 в направление Насоки Паралелепипед и обем на пирамидата, построена На вектори, И. Решение: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. ЗАДАЧИ ЗА КОНТРОЛ ВЪРШИ РАБОТАРаздел I. Линеен алгебра. 1 – 10. Като се има предвид...

В тази статия ще разгледаме по-отблизо концепцията за кръстосано произведение на два вектора. Ще дадем необходимите дефиниции, ще напишем формула за намиране на координатите на векторен продукт, ще изброим и обосновем неговите свойства. След това ще се спрем на геометричния смисъл на векторния продукт на два вектора и ще разгледаме решенията на различни типични примери.

Навигация в страницата.

Дефиниция на кръстосано произведение.

Преди да дефинираме векторен продукт, нека разберем ориентацията на подредена тройка вектори в триизмерното пространство.

Нека начертаем векторите от една точка. В зависимост от посоката на вектора трите могат да бъдат десни или леви. Нека погледнем от края на вектора как най-краткият завой от вектора към . Ако най-краткото въртене се случи обратно на часовниковата стрелка, тогава се извиква тройката от вектори точно, в противен случай - наляво.

Сега нека вземем два неколинеарни вектора и . Нека начертаем векторите и от точка А. Нека построим вектор, перпендикулярен на двете и и . Очевидно, когато конструираме вектор, можем да направим две неща, като му дадем една или обратна посока (вижте илюстрацията).

В зависимост от посоката на вектора, подредената тройка от вектори може да бъде дясна или лява.

Това ни доближава до определението за векторен продукт. Дадено е за два вектора, дефинирани в правоъгълна координатна система на тримерно пространство.

Определение.

Кръстосаното произведение на два вектораи , определен в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство, се нарича вектор, такъв че

Кръстосаното произведение на вектори и се означава като .

Координати на векторното произведение.

Сега ще дадем втората дефиниция на векторен продукт, която ви позволява да намерите неговите координати от координатите на дадени вектори и.

Определение.

В правоъгълна координатна система на тримерното пространство векторно произведение на два вектора И е вектор , където са координатните вектори.

Това определение ни дава кръстосаното произведение в координатна форма.

Удобно е векторният продукт да се представи като детерминанта на квадратна матрица от трети ред, чийто първи ред са векторите, вторият ред съдържа координатите на вектора, а третият съдържа координатите на вектора в дадена правоъгълна координатна система:

Ако разширим този детерминант в елементите на първия ред, получаваме равенството от дефиницията на векторния продукт в координати (ако е необходимо, вижте статията):

Трябва да се отбележи, че координатната форма на векторния продукт е напълно в съответствие с определението, дадено в първия параграф на тази статия. Освен това тези две дефиниции на кръстосано произведение са еквивалентни. Можете да видите доказателството за този факт в книгата, посочена в края на статията.

Свойства на векторно произведение.

Тъй като векторният продукт в координати може да бъде представен като детерминанта на матрицата, следното може лесно да бъде обосновано на базата свойства на кръстосаното произведение:

Като пример, нека докажем антикомутативното свойство на векторен продукт.

А-приори И . Знаем, че стойността на детерминантата на матрица се обръща, ако два реда се разменят, следователно, , което доказва антикомутативното свойство на векторно произведение.

Векторен продукт - примери и решения.

Има основно три вида проблеми.

В задачите от първия тип са дадени дължините на два вектора и ъгълът между тях и трябва да намерите дължината на векторния продукт. В този случай се използва формулата .

Пример.

Намерете дължината на векторното произведение на векторите и , ако е известно .

Решение.

От определението знаем, че дължината на векторния продукт на векторите и е равна на произведението на дължините на векторите и на синуса на ъгъла между тях, следователно, .

Отговор:

.

Задачи от втория тип са свързани с координатите на вектори, при които векторното произведение, неговата дължина или нещо друго се търси чрез координатите на дадени вектори И .

Тук има много различни възможни опции. Например не координатите на векторите и могат да бъдат посочени, а техните разширения в координатни вектори от формата и , или вектори и могат да бъдат зададени чрез координатите на техните начални и крайни точки.

Нека да разгледаме типичните примери.

Пример.

В правоъгълна координатна система са дадени два вектора . Намерете тяхното кръстосано произведение.

Решение.

Според втората дефиниция векторното произведение на два вектора в координати се записва като:

Щяхме да стигнем до същия резултат, ако векторното произведение беше записано чрез детерминанта

Отговор:

.

Пример.

Намерете дължината на векторното произведение на векторите и , където са единичните вектори на правоъгълната декартова координатна система.

Решение.

Първо намираме координатите на векторното произведение в дадена правоъгълна координатна система.

Тъй като векторите и имат координати и съответно (ако е необходимо, вижте статията координати на вектор в правоъгълна координатна система), тогава по втората дефиниция на векторен продукт имаме

Тоест, векторният продукт има координати в дадена координатна система.

Намираме дължината на векторен продукт като корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати (получихме тази формула за дължината на вектор в раздела за намиране на дължината на вектор):

Отговор:

.

Пример.

В правоъгълна декартова координатна система са дадени координатите на три точки. Намерете някакъв вектор, който е перпендикулярен и в същото време.

Решение.

Векторите и имат координати и съответно (вижте статията намиране на координатите на вектор чрез координатите на точки). Ако намерим векторното произведение на векторите и , тогава по дефиниция това е вектор, перпендикулярен както на, така и на , тоест това е решение на нашата задача. Нека го намерим

Отговор:

- един от перпендикулярните вектори.

В задачи от трети тип се проверява умението да се използват свойствата на векторното произведение на векторите. След прилагане на свойствата се прилагат съответните формули.

Пример.

Векторите и са перпендикулярни и техните дължини са съответно 3 и 4. Намерете дължината на напречното произведение .

Решение.

Чрез разпределителното свойство на векторно произведение можем да запишем

Поради комбинираното свойство, ние изваждаме числовите коефициенти от знака на векторните продукти в последния израз:

Векторните продукти и са равни на нула, тъй като И , Тогава .

Тъй като векторното произведение е антикомутативно, тогава .

И така, използвайки свойствата на векторното произведение, стигнахме до равенството .

По условие векторите и са перпендикулярни, т.е. ъгълът между тях е равен на . Тоест имаме всички данни, за да намерим необходимата дължина

Отговор:

.

Геометрично значение на векторно произведение.

По дефиниция дължината на векторното произведение на векторите е . А от курса по геометрия в гимназията знаем, че площта на триъгълника е равна на половината от произведението на дължините на двете страни на триъгълника и синуса на ъгъла между тях. Следователно дължината на векторния продукт е равна на удвоената площ на триъгълник, чиито страни са векторите и , ако са начертани от една точка. С други думи, дължината на векторния продукт на векторите и е равна на площта на успоредник със страни и и ъгълът между тях е равен на . Това е геометричното значение на векторното произведение.