Проверете дали линиите лежат в една равнина. Относително разположение на линиите

В този урок ще прегледаме основните принципи на теорията и ще решим по-сложни задачи по темата „Успоредност на прави и равнини“.
В началото на урока нека си припомним определението за права линия, успоредна на равнина и теоремата, показваща успоредността на права линия и равнина. Нека си припомним и определението за успоредни равнини и теоремата за успоредността на равнините. След това нека си припомним определението за наклонени линии и теоремата-тест за наклонени линии, както и теоремата, че през всяка от наклонените линии може да се начертае равнина, успоредна на друга права. Нека направим заключение от тази теорема - твърдението, че две коси прави съответстват на една двойка успоредни равнини.
След това ще решим някои по-сложни проблеми, използвайки повторената теория.

Тема: Успоредност на прави и равнини

Урок: Преглед на теорията. Решаване на по-сложни задачи по темата „Успоредност на прави и равнини“

В този урок ще прегледаме основните принципи на теорията и ще решим по-сложни задачи по темата „Паралелизъм на прави и равнини“.

Определение.Права и равнина се наричат ​​успоредни, ако нямат общи точки.

Ако права, която не лежи в дадена равнина, е успоредна на някаква права, лежаща в тази равнина, то тя е успоредна на дадената равнина.

Нека е дадена права линия Аи равнина (фиг. 1). В равнината лежи права линия b, която е успоредна на правата А. От успоредността на линиите АИ bследва, че правата е успоредна Аи самолети.

1. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от общообразователни институции (основни и специализирани нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то издание, коригирано и разширено - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задачи 9, 10 стр. 23

2. Три линии се пресичат по двойки. Може ли някоя равнина да бъде успоредна на всички тези прави?

3. През точка M може да се прекара само една права, успоредна на равнините α и β. Успоредни ли са тези равнини?

4. Два трапеца имат обща средна линия. Равнината α минава през по-малките основи на трапеца, а равнината β минава през по-големите основи на трапеца. Успоредни ли са равнините α и β?

5. ABCD- четириъгълник. Точка M лежи извън неговата равнина. Средите на отсечките лежат ли в една равнина? MA, MV, MS, Mд?

Правите лежат в една и съща равнина. ако те 1) се пресичат; 2) са успоредни.

Правите L 1: и L 2: принадлежат на една и съща равнина , така че векторите М 1 М 2 =(x 2 -x 1;y 2 -y 1;z 2 -z 1), р 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) и р 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) са компланарни. Тоест, според условието за копланарност на три вектора, смесеният продукт М 1 М 2 ·с 1 ·с 2 =Δ==0 (8)

защото условието за успоредност на две прави има вида: тогава за пресечната точка на правите L 1 и L 2 , така че те да удовлетворяват условието (8) и така че поне една от пропорциите да е нарушена.

Пример. Разгледайте относителните позиции на линиите:

Насочващ вектор на права линия L 1 – р 1 =(1;3;-2). Правата L 2 се определя като пресечната точка на 2 равнини α 1: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. защото линия L 2 лежи в двете равнини, тогава тя и следователно нейният насочващ вектор е перпендикулярен на нормалите н 1 И н 2 . Следователно векторът на посоката с 2 е кръстосано произведение на вектори н 1 И н 2 , т.е. р 2 =н 1 х н 2 ==-аз-3й+2к.

Че. с 1 =-с 2 , Това означава, че линиите са или успоредни, или съвпадащи.

За да проверим дали правите линии съвпадат, заместваме координатите на точката M 0 (1;2;-1)L 1 в общите уравнения L 2: 1-2+2+1=0 - неправилни равенства, т.е. точка M 0 L 2,

следователно правите са успоредни.

Разстояние от точка до права.

Разстоянието от точка M 1 (x 1; y 1; z 1) до правата линия L, дадено от каноничното уравнение L: може да се изчисли с помощта на векторното произведение.

От каноничното уравнение на правата линия следва, че точката M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L и насочващият вектор на правата линия р=(l;m;n)

Нека построим успоредник с помощта на вектори рИ М 0 М 1 . Тогава разстоянието от точка M 1 до права L е равно на височината h на този успоредник. защото S=| рх М 0 М 1 |=h| р|, тогава

h= (9)

Разстоянието между две прави линии в пространството.

L 1: и L 2:

1) L 1 L 2 .

d=

2) L 1 и L 2 – пресичане

d=

Относителното положение на права линия и равнина в пространството.

За местоположението на права линия и равнина в пространството са възможни 3 случая:

права линия и равнина се пресичат в една точка;

правата и равнината са успоредни;

правата лежи в равнината.

Нека правата е дадена от нейното канонично уравнение, а равнината – от общото

α: Ах+Бу+Сz+D=0

Уравненията на правата линия дават точката M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0)L и вектора на посоката р=(l;m;n), а уравнението на равнината е нормален вектор н=(A;B;C).

1. Пресечната точка на права и равнина.

Ако права и равнина се пресичат, тогава векторът на посоката на правата рне е успореден на равнината α и следователно не е ортогонален на нормалния вектор на равнината н.Тези. техния точков продукт нр≠0 или, чрез техните координати,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

Да определим координатите на точка M - точки на пресичане на права L и равнина α.

Нека преминем от каноничното уравнение на правата към параметричното: , tR

Нека заместим тези отношения в уравнението на равнината

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – са известни, нека намерим параметъра t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

ако Am+Bn+Cp≠0, тогава уравнението има уникално решение, което определя координатите на точка M:

t M = -→ (11)

Ъгълът между права и равнина. Условия на успоредност и перпендикулярност.

Ъгъл φ между права линия L :

с водещ вектор р=(l;m;n) и равнина

: Ах+Ву+Сz+D=0 с нормален вектор н=(A;B;C) варира от 0˚ (в случай на успоредна права и равнина) до 90˚ (в случай на перпендикулярна права и равнина). (Ъгълът между вектора ри неговата проекция върху равнината α).

– ъгъл между векторите рИ н.

защото ъгълът  между правата линия L и равнината  е комплементарен на ъгъла , тогава sin φ=sin(-)=cos =- (разглежда се абсолютната стойност, тъй като ъгълът φ е остър sin φ=sin( -) или sin φ =sin(+) в зависимост от посоката на правата линия L)

Глава IV. Прави и равнини в пространството. Многостени

§ 46. Взаимно разположение на линиите в пространството

В пространството две различни линии могат или не могат да лежат в една и съща равнина. Нека разгледаме съответните примери.

Нека точките A, B, C не лежат на една права. Нека начертаем равнина през тях Ри изберете някаква точка S, която не принадлежи на равнината Р(фиг. 130).

Тогава прави AB и BC лежат в една и съща равнина, а именно в равнината Р, правите AS и CB не лежат в една равнина. Наистина, ако лежат в една и съща равнина, тогава точки A, B, C, S също биха лежали в тази равнина, което е невъзможно, тъй като S не лежи в равнината, минаваща през точки A, B, C.

Две различни прави, които лежат в една равнина и не се пресичат, се наричат ​​успоредни. Съвпадащите прави се наричат ​​още успоредни. Ако прав 1 1 и 1 2 паралелно, след което пишете 1 1 || 1 2 .

По този начин, 1 1 || 1 2 ако, първо, има самолет Ртакова, че
1 1 РИ 1 2 Ри второ, или 1 1 1 2 = или 1 1 = 1 2 .

Две прави линии, които не лежат в една и съща равнина, се наричат ​​коси линии. Очевидно пресичащите се прави не се пресичат и не са успоредни.

Нека докажем едно важно свойство на успоредните прави, което се нарича транзитивност на паралелизма.

Теорема. Ако две прави са успоредни на трета, тогава те са успоредни една на друга.

Позволявам 1 1 || 1 2 и 1 2 || 1 3. Това е необходимо да се докаже 1 1 || 1 3

Ако прав 1 1 , 1 2 , 1 3 лежат в една и съща равнина, тогава това твърдение е доказано в планиметрията. Ще приемем, че прави линии 1 1 , 1 2 , 1 3 не лежат в една равнина.

Чрез прави линии 1 1 и 1 2 начертайте равнина Р 1, и през 1 2 и 1 3 - самолет Р 2 (фиг. 131).

Имайте предвид, че правата линия 1 3 съдържа поне една точка M, която не принадлежи на равнината
Р 1 .

Начертайте равнина през правата и точка M Р 3, която пресича равнината Р 2 по някаква права линия л. Нека докажем това лсъвпада с 1 3. Ще го докажем „от противно“.

Да приемем, че правата линия 1 не съвпада с права линия 1 3. Тогава 1 пресича права 1 2 в някаква точка A. От това следва, че равнината Р 3 минава през точка А Р 1 и прав 1 1 Р 1 и следователно съвпада с равнината Р 1 . Този извод противоречи на факта, че точка М Р 3 не принадлежи на равнината Р 1 .
Следователно нашето предположение е неправилно и следователно 1 = 1 3 .

Така е доказано, че правите линии 1 1 и 1 3 лежат в една равнина Р 3. Нека докажем, че правите линии 1 1 и 1 3 не се пресичат.

Наистина, ако 1 1 и 1 3 се пресичат, например, в точка B, след това равнината Р 2 ще минава през права линия 1 2 и през точка Б 1 1 и следователно ще съвпадне с Р 1, което е невъзможно.

Задача.Докажете, че ъглите със съпосочни страни имат равни размери.

Нека ъглите MAN и M 1 A 1 N 1 имат съпосочни страни: лъч AM е сънасочен с лъч A 1 M 1, а лъч AN е сънасочен с лъч A 1 N 1 (фиг. 132).

На лъчите AM и A 1 M 1 ще очертаем сегменти AB и A 1 B 1 с еднаква дължина. Тогава

|| и |BB 1 | = |AA 1 |

като срещуположните страни на успоредник.

По същия начин върху лъчите AN и A 1 N 1 ще начертаем еднакви по дължина отсечки AC и A 1 C 1. Тогава

|| и |CC 1 | = |AA 1 |

От транзитивността на паралелизма следва, че || . И тъй като |BB 1 | = |CC 1 | , то BB 1 C 1 C е успоредник и следователно |BC| = |B 1 C 1 |.
следователно /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 и .

За две линии в пространството са възможни четири случая:

Правите линии съвпадат;

Правите са успоредни (но не съвпадат);

Линиите се пресичат;

Правите линии се пресичат, т.е. нямат общи точки и не са успоредни.

Нека разгледаме два начина за описване на прави линии: канонични уравнения и общи уравнения. Нека линиите L 1 и L 2 са дадени чрез канонични уравнения:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

За всяка линия от нейните канонични уравнения веднага определяме точката върху нея M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) ∈ L 2 и координатите на насочващите вектори s 1 = (l 1; m 1; n 1) за L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) за L 2.

Ако линиите съвпадат или са успоредни, тогава техните насочващи вектори s 1 и s 2 са колинеарни, което е еквивалентно на равенството на съотношенията на координатите на тези вектори:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6.10)

Ако линиите съвпадат, тогава векторът M 1 M 2 е колинеарен на векторите на посоката:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Това двойно равенство също означава, че точката M 2 принадлежи на правата L 1. Следователно, условието за съвпадение на правите е едновременното изпълнение на равенствата (6.10) и (6.11).

Ако линиите се пресичат или пресичат, тогава техните насочващи вектори са неколинеарни, т.е. условие (6.10) е нарушено. Пресичащите се прави лежат в една и съща равнина и следователно вектори s1, s2 и M1M2 са компланарендетерминанта от трети ред, съставен от техните координати (вижте 3.2):

Условието (6.12) е изпълнено в три от четири случая, тъй като при Δ ≠ 0 правите не принадлежат на една и съща равнина и следователно се пресичат.

Нека съберем всички условия заедно:

Относителното разположение на линиите се характеризира с броя на решенията на системата (6.13). Ако линиите съвпадат, тогава системата има безкрайно много решения. Ако линиите се пресичат, тогава тази система има уникално решение. В случай на паралел или пресичане няма директни решения. Последните два случая могат да бъдат разделени чрез намиране на векторите на посоката на линиите. За да направите това, достатъчно е да изчислите две векторни произведения на изкуството n 1 × n 2 и n 3 × n 4, където n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Ако получените вектори са колинеарни, тогава дадените прави са успоредни. Иначе се кръстосват.

Пример 6.4.

Насочващият вектор s 1 на правата линия L 1 се намира с помощта на каноничните уравнения на тази права линия: s 1 = (1; 3; -2). Векторът на посоката s 2 на правата линия L 2 се изчислява, като се използва векторното произведение на нормалните вектори на равнините, чиято пресечна точка е:

Тъй като s 1 = -s 2, тогава линиите са успоредни или съвпадат. Нека разберем коя от тези ситуации е реализирана за тези линии. За да направим това, заместваме координатите на точката M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 в общите уравнения на правата линия L 2 . За първия от тях получаваме 1 = 0. Следователно точката M 0 не принадлежи на правата L 2 и разглежданите прави са успоредни.

Ъгъл между прави. Ъгълът между две прави линии може да се намери с помощта на вектори на посокатаправ Острият ъгъл между прави линии е равен на ъгъла между техните насочващи вектори (фиг. 6.5) или е допълнителен към него, ако ъгълът между насочващите вектори е тъп. По този начин, ако за линиите L 1 и L 2 техните насочващи вектори s x и s 2 са известни, тогава острият ъгъл φ между тези линии се определя чрез скаларния продукт:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Например, нека s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. Използване на формули (2.9) и (2.14) за изчисляване дължина на вектораи скаларен продукт в координати, получаваме

Тази статия е за успоредни прави и успоредни прави. Първо се дава определението за успоредни прави в равнина и в пространството, въвеждат се обозначения, дават се примери и графични илюстрации на успоредни прави. След това се обсъждат признаците и условията за успоредност на правите. В заключение са показани решения на типични задачи за доказване на успоредността на прави, които са дадени с определени уравнения на права в правоъгълна координатна система върху равнина и в тримерно пространство.

Навигация в страницата.

Успоредни прави - основна информация.

Определение.

Две прави в една равнина се наричат паралелен, ако нямат общи точки.

Определение.

Две линии в тримерното пространство се наричат паралелен, ако лежат в една равнина и нямат общи точки.

Моля, обърнете внимание, че клаузата „ако лежат в една равнина“ в дефиницията на успоредни прави в пространството е много важна. Нека изясним тази точка: две прави в триизмерното пространство, които нямат общи точки и не лежат в една и съща равнина, не са успоредни, а се пресичат.

Ето няколко примера за успоредни прави. Противоположните краища на бележника лежат на успоредни прави. Правите линии, по които равнината на стената на къщата пресича равнините на тавана и пода, са успоредни. Железопътните релси на равен терен също могат да се считат за успоредни линии.

За да обозначите успоредни прави, използвайте символа “”. Тоест, ако правите a и b са успоредни, тогава можем накратко да напишем a b.

Моля, обърнете внимание: ако прави a и b са успоредни, тогава можем да кажем, че права a е успоредна на права b, а също така, че права b е успоредна на права a.

Нека изразим твърдение, което играе важна роля при изучаването на успоредни прави в равнина: през точка, която не лежи на дадена права, минава единствената права линия, успоредна на дадената. Това твърдение се приема за факт (не може да се докаже на базата на известните аксиоми на планиметрията) и се нарича аксиома за успоредните прави.

За случая в пространството е валидна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема се доказва лесно с помощта на горната аксиома за успоредни прави (можете да намерите нейното доказателство в учебника по геометрия за 10-11 клас, който е посочен в края на статията в списъка с литература).

За случая в пространството е валидна теоремата: през всяка точка от пространството, която не лежи на дадена права, минава една права, успоредна на дадената. Тази теорема може лесно да се докаже с помощта на горната аксиома за успоредна права.

Успоредност на прави - признаци и условия на успоредност.

Знак за успоредност на линиитее достатъчно условие за успоредност на правите, т.е. условие, изпълнението на което гарантира, че правите са успоредни. С други думи, изпълнението на това условие е достатъчно, за да се установи, че правите са успоредни.

Съществуват и необходими и достатъчни условия за успоредност на прави в равнина и в тримерно пространство.

Нека обясним значението на фразата „необходимо и достатъчно условие за успоредни прави“.

Вече разгледахме достатъчното условие за успоредни прави. Какво е „необходимо условие за успоредни прави“? От името „необходимо“ става ясно, че изпълнението на това условие е необходимо за успоредни прави. С други думи, ако не е изпълнено необходимото условие правите да са успоредни, то правите не са успоредни. По този начин, необходимо и достатъчно условие за успоредни правие условие, чието изпълнение е необходимо и достатъчно за успоредни прави. Тоест, от една страна, това е знак за успоредност на правите, а от друга страна, това е свойство, което притежават успоредните прави.

Преди да формулирате необходимо и достатъчно условие за паралелност на линиите, препоръчително е да си припомните няколко спомагателни определения.

Секуща правае права, която пресича всяка от две дадени несъвпадащи прави.

При пресичане на две прави линии с напречна се образуват осем неразвити. Така нареченият лежащи на кръст, съответстващиИ едностранни ъгли. Нека ги покажем на чертежа.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са пресечени от напречна, то за да са успоредни е необходимо и достатъчно пресичащите се ъгли да са равни, или съответните ъгли да са равни, или сборът от едностранните ъгли да е равен на 180. степени.

Нека да покажем графична илюстрация на това необходимо и достатъчно условие за успоредност на прави в равнина.

Доказателства за тези условия за успоредност на прави можете да намерите в учебниците по геометрия за 7-9 клас.

Имайте предвид, че тези условия могат да се използват и в триизмерно пространство - основното е двете прави и секущата да лежат в една равнина.

Ето още няколко теореми, които често се използват за доказване на успоредността на правите.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството на този критерий следва от аксиомата за успоредните прави.

Подобно условие има и за успоредни прави в триизмерното пространство.

Теорема.

Ако две прави в пространството са успоредни на трета права, тогава те са успоредни. Доказателството на този критерий се разглежда в часовете по геометрия в 10. клас.

Нека илюстрираме изложените теореми.

Нека представим друга теорема, която ни позволява да докажем успоредността на прави в равнина.

Теорема.

Ако две прави в една равнина са перпендикулярни на трета права, тогава те са успоредни.

Има подобна теорема за прави в пространството.

Теорема.

Ако две прави в триизмерното пространство са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.

Нека начертаем картинки, съответстващи на тези теореми.

Всички теореми, критерии и необходими и достатъчни условия, формулирани по-горе, са отлични за доказване на паралелността на правите с помощта на методите на геометрията. Тоест, за да докажеш успоредността на две дадени прави, трябва да покажеш, че те са успоредни на трета права, или да покажеш равенството на напречните ъгли и т.н. Много подобни задачи се решават в часовете по геометрия в гимназията. Все пак трябва да се отбележи, че в много случаи е удобно да се използва координатният метод за доказване на успоредността на линиите в равнина или в триизмерно пространство. Нека формулираме необходимите и достатъчни условия за успоредност на прави, които са зададени в правоъгълна координатна система.

Успоредност на прави в правоъгълна координатна система.

В този параграф на статията ще формулираме необходими и достатъчни условия за успоредни правив правоъгълна координатна система, в зависимост от вида на уравненията, дефиниращи тези линии, и също така ще предоставим подробни решения на характерни проблеми.

Да започнем с условието за успоредност на две прави в равнина в правоъгълната координатна система Oxy. Неговото доказателство се основава на дефиницията на насочващия вектор на права и дефиницията на нормалния вектор на права в равнина.

Теорема.

За да бъдат две несъвпадащи прави успоредни в една равнина, е необходимо и достатъчно насочващите вектори на тези прави да са колинеарни, или нормалните вектори на тези прави да са колинеарни, или насочващият вектор на една права да е перпендикулярен на нормалата вектор на втория ред.

Очевидно условието за успоредност на две прави в равнина се свежда до (насочващи вектори на прави или нормални вектори на прави) или до (насочващ вектор на една права и нормален вектор на втората права). По този начин, ако и са насочващи вектори на прави a и b, и И са нормални вектори на прави a и b, съответно, тогава необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите a и b ще бъде записано като , или , или , където t е реално число. На свой ред координатите на водачите и (или) нормалните вектори на линиите a и b се намират с помощта на известните уравнения на линиите.

По-специално, ако права линия a в правоъгълната координатна система Oxy на равнината определя общо уравнение на права линия от формата , и права линия b - , тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и, съответно, и условието за успоредност на правите a и b ще бъде записано като .

Ако правата a съответства на уравнението на права с ъглов коефициент от формата , а правата b - , тогава нормалните вектори на тези прави имат координати и , а условието за паралелност на тези прави приема формата . Следователно, ако линиите в равнина в правоъгълна координатна система са успоредни и могат да бъдат определени чрез уравнения на линии с ъглови коефициенти, тогава ъгловите коефициенти на линиите ще бъдат равни. И обратно: ако несъвпадащи прави на равнина в правоъгълна координатна система могат да бъдат зададени чрез уравненията на права с еднакви ъглови коефициенти, то такива прави са успоредни.

Ако права a и права b в правоъгълна координатна система се определят от каноничните уравнения на права в равнина от вида И , или параметрични уравнения на права линия върху равнина на формата И съответно насочващите вектори на тези прави имат координати и , а условието за успоредност на правите a и b се записва като .

Нека да разгледаме решенията на няколко примера.

Пример.

Успоредни ли са правите? И ?

Решение.

Нека пренапишем уравнението на линия в сегменти под формата на общо уравнение на линия: . Сега можем да видим, че това е нормалният вектор на правата , a е нормалният вектор на правата. Тези вектори не са колинеарни, тъй като няма реално число t, за което равенството ( ). Следователно необходимото и достатъчно условие за успоредност на правите в равнина не е изпълнено, следователно дадените прави не са успоредни.

Отговор:

Не, правите не са успоредни.

Пример.

Правите и успоредни ли са?

Решение.

Нека редуцираме каноничното уравнение на права линия до уравнението на права линия с ъглов коефициент: . Очевидно уравненията на линиите и не са еднакви (в този случай дадените линии биха били еднакви) и ъгловите коефициенти на линиите са равни, следователно оригиналните линии са успоредни.