Намиране на множеството от стойности на функцията. Функционален диапазон (набор от функционални стойности)

Зависимостта на една променлива от друга се нарича функционална зависимост.Променлива на зависимостта гот променлива хНаречен функция, ако всяка стойност хсъответства на една единствена стойност г.

Обозначаване:

Променлива хнаречена независима променлива или аргументи променливата г- зависим. Казват, че ге функция на х. Значение г, съответстваща на посочената стойност х, Наречен стойност на функцията.

Всички стойности, които приема х, форма област на функция; всички стойности, които приема г, форма набор от функционални стойности.

Обозначения:

D(f)- стойности на аргументи. E(f)- стойности на функцията. Ако дадена функция е дадена с формула, тогава се счита, че домейнът на дефиниция се състои от всички стойности на променливата, за които тази формула има смисъл.

Функционална графикае множеството от всички точки на координатната равнина, чиито абциси са равни на стойностите на аргумента и чиито ординати са равни на съответните стойности на функцията. Ако някаква стойност x=x 0съответства на множество стойности (не само на една) г, тогава такова съответствие не е функция. За да бъде набор от точки на координатна равнина графика на определена функция, е необходимо и достатъчно всяка права линия, успоредна на оста Oy, да пресича графиката в не повече от една точка.

Методи за задаване на функция

1) Функцията може да бъде зададена аналитичнопод формата на формула. Например,

2) Функцията може да бъде определена чрез таблица от много двойки (x; y).

3) Функцията може да бъде зададена графично. Стойностни двойки (x; y)са изобразени на координатната равнина.

Монотонност на функцията

функция f(x)Наречен повишаване нана даден числов интервал, ако на по-голяма стойност на аргумента съответства по-голяма стойност на функцията. Представете си, че определена точка се движи по графиката отляво надясно. Тогава точката сякаш се „изкачва“ нагоре по графиката.

функция f(x)Наречен намаляващина даден числов интервал, ако на по-голяма стойност на аргумента съответства по-малка стойност на функцията. Представете си, че определена точка се движи по графиката отляво надясно. Тогава точката сякаш ще се „претърколи“ надолу по графиката.

Извиква се функция, която само нараства или само намалява на даден числов интервал монотоненна този интервал.

Нули на функцията и интервали с постоянен знак

Стойности х, при което y=0, Наречен функционални нули. Това са абсцисите на точките на пресичане на графиката на функцията с оста Ox.

Такива диапазони от стойности х, на които функцията стойности гнаричат ​​се или само положителни, или само отрицателни интервали с постоянен знак на функцията.

Четни и нечетни функции

Равномерна функция
1) Областта на дефиниция е симетрична по отношение на точката (0; 0), т.е. ако точката апринадлежи към домейна на дефиницията, тогава точката -асъщо принадлежи към областта на дефиницията.
2) За произволна стойност х f(-x)=f(x)
3) Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста Oy.

Странна функцияима следните свойства:
1) Областта на дефиниция е симетрична спрямо точката (0; 0).
2) за произволна стойност х, принадлежащи към областта на дефиницията, равенството f(-x)=-f(x)
3) Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото (0; 0).

Не всяка функция е четна или нечетна. Функции общ изгледне са нито четни, нито нечетни.

Периодични функции

функция fсе нарича периодичен, ако има такъв брой, че за всеки хот областта на дефиницията равенството f(x)=f(x-T)=f(x+T). Tе периодът на функцията.

Всяка периодична функция има безкраен брой периоди. На практика обикновено се взема предвид най-малкият положителен период.

Стойностите на периодична функция се повтарят след интервал, равен на периода. Това се използва при конструиране на графики.

Днес в урока ще се обърнем към едно от основните понятия на математиката – понятието функция; Нека разгледаме по-отблизо едно от свойствата на функцията - множеството от нейните стойности.

По време на часовете

Учител. Докато решаваме проблеми, забелязваме, че понякога намирането на набор от стойности на функция ни поставя в трудни ситуации. Защо? Изглежда, че след като сме изучавали функция от 7-ми клас, знаем доста за нея. Следователно имаме всички основания да предприемем проактивен ход. Нека сами да „поиграем“ с много функционални стойности днес, за да отговорим на много въпроси по тази тема в предстоящия изпит.

Набори от стойности на елементарни функции

Учител. Първо, трябва да повторите графиките, уравненията и наборите от стойности на основните елементарни функции в цялата област на дефиниция.

На екрана се проектират графики на функции: линейни, квадратични, дробно-рационални, тригонометрични, експоненциални и логаритмични, за всяка от тях набор от стойности се определя устно. Обърнете внимание на учениците към факта, че линейната функция E(f) = Рили едно число, за дробно линейно

Това е нашата азбука. Като добавим към него знанията си за трансформации на графи: паралелна транслация, разтягане, компресия, отражение, ще можем да решим проблемите от първата част Единният държавен изпит е дори малко по-труден. Нека го проверим.

Самостоятелна работа

U За всеки ученик са разпечатани термини и координатни системи.

1. Намерете набора от функционални стойности в цялата област на дефиниция:

а) г= 3 грях х ;
б) г = 7 – 2 х ;
V) г= –arccos ( х + 5):
G) г= | arctg х |;
д)

2. Намерете множеството от стойности на функцията г = х 2 между тях Дж, ако:

а) Дж = ;
б) Дж = [–1; 5).

3. Дефинирайте функцията аналитично (чрез уравнение), ако множеството от нейните стойности е:

1) д(f(х)) = (–∞ ; 2] и f(х) - функция

а) квадратна,
б) логаритмичен,
в) демонстративни;

2) д(f(х)) = Р \{7}.

При обсъждане на задача 2самостоятелна работа, насочете вниманието на учениците към факта, че в случай на монотонност и непрекъснатост на функцията y=f(х)на даден интервал[а;b],многото му значения-интервал,чиито краища са стойностите на f(а)и f(b).

Варианти на отговор на задачата 3.

1.
а) г = –х 2 + 2 , г = –(х + 18) 2 + 2,
г= а(х – хв) 2 + 2 at А < 0.

б) г= –| дневник 8 х | + 2,

V) г = –| 3 х – 7 | + 2, г = –5 | х | + 3.

2.
а) б)

V) г = 12 – 5х, Където х ≠ 1 .

Намиране на множество стойности на функция с помощта на производна

Учител. В 10. клас се запознахме с алгоритъма за намиране на екстремуми на непрекъсната върху отсечка функция и намиране на нейното множество от стойности, без да разчитаме на графиката на функцията. Спомняте ли си как направихме това? ( Използване на производна.) Нека си припомним този алгоритъм .

1. Уверете се, че функцията г = f(х) е определена и непрекъсната на отсечката Дж = [а; b]. 2. Намерете стойностите на функцията в краищата на сегмента: f(a) и f(b). Коментирайте. Ако знаем, че функцията е непрекъсната и монотонна Дж, тогава можете веднага да отговорите: д(f) = [f(а); f(b)] или д(f) = [f(b); f(А)]. 3. Намерете производната и след това критичните точки x kДж. 4. Намерете стойностите на функцията в критични точки f(x k). 5. Сравнете стойностите на функцията f(а), f(b) И f(x k), изберете най-голямата и най-малката стойност на функцията и дайте отговора: д(f)= [fиме; fнаиб].

Проблеми, свързани с използването на този алгоритъм, се срещат във версиите на Единния държавен изпит. Например през 2008 г. беше предложена такава задача. Трябва да го решиш къщи .

Задача C1.Намерете най-голямата стойност на функцията

f(х) = (0,5х + 1) 4 – 50(0,5х + 1) 2

в | х + 1| ≤ 3.

Условията за домашна работа са отпечатани за всеки ученик .

Намиране на набор от стойности на сложна функция

Учител. Основната част от нашия урок ще бъдат нестандартни задачи, съдържащи сложни функции, чиито производни са много сложни изрази. И графиките на тези функции са ни неизвестни. Следователно, за да решим, ще използваме дефиницията на сложна функция, тоест зависимостта между променливите в реда на тяхното влагане в дадена функция и оценка на техния диапазон от стойности (интервала на промяна в техните стойности). Задачи от този тип се срещат във втората част на Единния държавен изпит. Нека да разгледаме някои примери.

Упражнение 1.За функции г = f(х) И г = ж(х) напишете сложна функция г = f(ж(х)) и намерете неговия набор от стойности:

а) f(х) = –х 2 + 2х + 3, ж(х) = грях х;
б) f(х) = –х 2 + 2х + 3, ж(х) = дневник 7 х;
V) ж(х) = х 2 + 1;
G)

Решение.а) Комплексната функция има формата: г= – грях 2 х+ 2 гр х + 3.

Въвеждане на междинен аргумент T, можем да напишем тази функция така:

г= –T 2 + 2T+ 3, където T= грях х.

При вътрешната функция T= грях харгументът приема всякакви стойности, а наборът от неговите стойности е сегментът [–1; 1].

Така за външната функция г = –T 2 +2T+ 3 открихме интервала за промяна на стойностите на неговия аргумент T: T[-1; 1]. Нека да разгледаме графиката на функцията г = –T 2 +2T + 3.

Отбелязваме, че квадратичната функция при T[-1; 1] приема най-малките и най-големите стойности в края си: гиме = г(–1) = 0 и гнаиб = г(1) = 4. И тъй като тази функция е непрекъсната в интервала [–1; 1], тогава той приема всички стойности между тях.

Отговор: г .

b) Съставът на тези функции ни води до сложна функция, която след въвеждане на междинен аргумент може да бъде представена по следния начин:

г= –T 2 + 2T+ 3, където T= дневник 7 х,

функция T= дневник 7 х

х (0; +∞ ), T (–∞ ; +∞ ).

функция г = –T 2 + 2T+ 3 (вижте графиката) аргумент Tприема всякакви стойности, а самата квадратична функция приема всички стойности не повече от 4.

Отговор: г (–∞ ; 4].

в) Комплексната функция има следния вид:

Въвеждайки междинен аргумент, получаваме:

Където T = х 2 + 1.

Тъй като за вътрешната функция х Р , А T .

Отговор: г (0; 3].

г) Съставът на тези две функции ни дава сложна функция

което може да се напише като

забележи това

Така че, когато

Където к З , T [–1; 0) (0; 1].

Като начертаете графика на функцията виждаме, че с тези стойности T

г(–∞ ; –4] c ;

б) в цялата зона на определяне.

Решение.Първо, изследваме тази функция за монотонност. функция T= arcctg х- непрекъснато и намаляващо с Р и множеството от неговите стойности (0; π). функция г= дневник 5 Tе определена на интервала (0; π), е непрекъсната и расте върху него. Това означава, че тази сложна функция намалява на множеството Р . И тя, като композиция от две непрекъснати функции, ще бъде непрекъсната Р .

Да решим задача "а".

Тъй като функцията е непрекъсната на цялата числова ос, тя е непрекъсната на всяка част от нея, по-специално на даден сегмент. И тогава на този сегмент има най-малката и най-голямата стойност и взема всички стойности между тях:

f(4) = log 5 arcctg 4.

Коя от получените стойности е по-голяма? Защо? И какъв ще бъде наборът от стойности?

Отговор:

Да решим задача "b".

Отговор: при(–∞; log 5 π) върху цялата зона на дефиниране.

Проблем с параметър

Сега нека се опитаме да създадем и решим просто уравнение с параметър на формата f(х) = а, Където f(х) - същата функция като в задача 4.

Задача 5.Определете броя на корените на уравнението log 5 (arcctg х) = Аза всяка стойност на параметъра А.

Решение.Както вече показахме в задача 4, функцията при= log 5(arcctg х) - намалява и е непрекъснато включен Р и приема стойности по-малки от log 5 π. Тази информация е достатъчна, за да се даде отговор.

Отговор:Ако А < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Ако А≥ log 5 π, тогава няма корени.

Учител. Днес разгледахме проблеми, свързани с намирането на набор от стойности на функция. По този път открихме нов метод за решаване на уравнения и неравенства - методът на оценка, така че намирането на набора от стойности на функцията се превърна в средство за решаване на проблеми от по-високо ниво. По този начин видяхме как се конструират такива проблеми и как свойствата на монотонност на функция улесняват тяхното решаване.

И бих искал да се надявам, че логиката, която свързва задачите, обсъдени днес, ви е удивила или поне изненадала. Няма как да бъде иначе: изкачването на нов връх не оставя никого безразличен! Ние забелязваме и ценим красивите картини, скулптури и т.н. Но математиката има и своя красота, привлекателна и омайваща - красотата на логиката. Математиците казват, че красивото решение обикновено е правилно решение и това не е просто фраза. Сега вие сами трябва да намерите такива решения и ние посочихме един от пътищата към тях днес. Късмет! И помнете: който върви, ще овладее пътя!

Функцията е едно от най-важните математически понятия.

Определение: Ако всяко число от определено множество x е свързано с едно число y, тогава те казват, че функция y(x) е дефинирана на това множество. В този случай x се нарича независима променлива или аргумент, а y се нарича зависима променлива или стойност на функция или просто функция.

За променливата y също се казва, че е функция на променливата x.

След като означим съвпадение с буква, например f, е удобно да напишем: y=f (x), т.е. стойността y се получава от аргумента x, използвайки съвпадението f. (Прочетете: y е равно на f от x.) Символът f (x) обозначава стойността на функцията, съответстваща на стойността на аргумента, равен на x.

Пример 1 Нека функцията е дадена с формулата y=2x 2 –6. Тогава можем да запишем, че f(x)=2x 2 –6. Нека намерим стойностите на функцията за стойности на x, равни на, например, 1; 2,5;–3; т.е. намираме f(1), f(2.5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2,5)=2 2,5 2 –6=6,5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

Имайте предвид, че в нотацията на формата y=f (x) вместо f се използват други букви: g и т.н.

Определение: Домейнът на функция е всички стойности на x, за които функцията съществува.

Ако дадена функция е посочена с формула и нейната област на дефиниране не е посочена, тогава се счита, че областта на дефиниция на функцията се състои от всички стойности на аргумента, за които формулата има смисъл.

С други думи, домейнът на функция, дадена от формула, е всички стойности на аргумента, с изключение на тези, които водят до действия, които не можем да извършим. В момента знаем само за две такива действия. Не можем да делим на нула и не можем да извадим корен квадратен от отрицателно число.

Определение: Всички стойности, които зависимата променлива приема, формират диапазона на функцията.

Областта на дефиниране на функция, описваща реален процес, зависи от конкретните условия на неговото възникване. Например, зависимостта на дължината l на железен прът от температурата на нагряване t се изразява с формулата, където l 0 е първоначалната дължина на пръта и е коефициентът на линейно разширение. Тази формула има смисъл за всякакви стойности на t. Областта на дефиниране на функцията l=g(t) обаче е интервал от няколко десетки градуса, за който е валиден законът за линейното разширение.

Пример.

Посочете обхвата на функцията y = arcsinx.

Решение.

Областта на дефиниране на арксинуса е сегментът [-1; 1] . Нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията на този сегмент.

Производната е положителна за всички хот интервала (-1; 1) , тоест функцията арксинус нараства в цялата област на дефиниция. Следователно приема най-малката стойност, когато х = -1, а най-големият при х = 1.

Получихме обхвата на функцията арксинус .

Намерете набора от стойности на функцията на сегмента .

Решение.

Нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията на дадена отсечка.

Нека определим екстремните точки, принадлежащи на отсечката :

Често, като част от решаването на проблеми, трябва да търсим много стойности на функция в домейн на дефиниция или сегмент. Например, това трябва да се направи при решаване на различни видове неравенства, изчисляване на изрази и т.н.

В този материал ще ви кажем какъв е обхватът на стойностите на функцията, ще дадем основните методи, чрез които тя може да бъде изчислена, и ще анализираме проблеми с различна степен на сложност. За яснота отделните разпоредби са илюстрирани с графики. След като прочетете тази статия, ще получите цялостно разбиране за обхвата на дадена функция.

Да започнем с основните дефиниции.

Определение 1

Наборът от стойности на функция y = f (x) на определен интервал x е наборът от всички стойности, които тази функция приема при повторение на всички стойности x ∈ X.

Определение 2

Диапазонът от стойности на функция y = f (x) е съвкупността от всички нейни стойности, които може да приеме при търсене в стойностите на x от диапазона x ∈ (f).

Диапазонът от стойности на определена функция обикновено се обозначава с E (f).

Моля, имайте предвид, че концепцията за набор от стойности на функция не винаги е идентична с нейния диапазон от стойности. Тези понятия ще бъдат еквивалентни само ако интервалът от стойности на x при намиране на набор от стойности съвпада с домейна на дефиниране на функцията.

Също така е важно да се прави разлика между диапазона от стойности и диапазона от приемливи стойности на променливата x за израза от дясната страна y = f (x). Диапазонът на допустимите стойности x за израза f (x) ще бъде областта на дефиниране на тази функция.

По-долу има илюстрация, показваща някои примери. Сините линии са функционални графики, червените линии са асимптоти, червените точки и линиите на ординатната ос са функционални диапазони.

Очевидно диапазонът от стойности на функция може да бъде получен чрез проектиране на графиката на функцията върху оста O y. Освен това, той може да представлява или едно число, или набор от числа, сегмент, интервал, отворен лъч, обединение на числови интервали и т.н.

Нека да разгледаме основните начини за намиране на диапазона от стойности на функция.

Нека започнем, като дефинираме набора от стойности на непрекъснатата функция y = f (x) на определен сегмент, обозначен като [ a ; b ] . Знаем, че функция, която е непрекъсната на определен сегмент, достига своя минимум и максимум на него, тоест най-голямото m a x x ∈ a ; b f (x) и най-малката стойност m i n x ∈ a ; b f (x) . Това означава, че получаваме отсечка m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , който ще съдържа наборите от стойности на оригиналната функция. След това всичко, което трябва да направим, е да намерим посочените минимални и максимални точки на тази отсечка.

Нека вземем задача, в която трябва да определим обхвата на стойностите на арксинуса.

Пример 1

Състояние:намерете диапазона от стойности y = a r c sin x .

Решение

В общия случай областта на дефиниране на арксинуса се намира на отсечката [ - 1 ; 1 ] . Трябва да определим най-голямата и най-малката стойност на посочената функция върху него.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

Знаем, че производната на функцията ще бъде положителна за всички стойности на x, разположени в интервала [ - 1 ; 1 ], тоест в цялата област на дефиниция функцията арксинус ще нараства. Това означава, че ще приеме най-малката стойност, когато x е равно на -1, а най-голямата стойност е, когато x е равно на 1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

По този начин диапазонът от стойности на функцията арксинус ще бъде равен на E (a r c sin x) = - π 2; π 2.

Отговор: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2

Пример 2

Състояние:изчислете диапазона от стойности y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 на дадения интервал [ 1 ; 4 ] .

Решение

Всичко, което трябва да направим, е да изчислим най-голямата и най-малката стойност на функцията в даден интервал.

За да се определят екстремни точки, трябва да се направят следните изчисления:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 и l и 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 .59 ∈ 1 ; 4

Сега нека намерим стойностите на дадената функция в краищата на сегмента и точките x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Това означава, че наборът от функционални стойности ще се определя от сегмента 117 - 165 33 512; 32.

Отговор: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Нека да преминем към намиране на множеството от стойности на непрекъснатата функция y = f (x) в интервалите (a; b) и a; + ∞ , - ∞ ; b, - ∞; + ∞ .

Нека започнем с определяне на най-голямата и най-малката точка, както и интервалите на нарастване и намаляване на даден интервал. След това ще трябва да изчислим едностранни граници в краищата на интервала и/или граници в безкрайност. С други думи, трябва да определим поведението на функцията при дадени условия. Имаме всички необходими данни за това.

Пример 3

Състояние:изчислете диапазона на функцията y = 1 x 2 - 4 на интервала (- 2 ; 2) .

Решение

Определете най-голямата и най-малката стойност на функция на даден сегмент

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Получихме максимална стойност, равна на 0, тъй като в този момент знакът на функцията се променя и графиката започва да намалява. Вижте илюстрацията:

Тоест y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 ще бъде максималната стойност на функцията.

Сега нека определим поведението на функцията за x, която клони към - 2 от дясната страна и + 2 от лявата страна. С други думи, намираме едностранни ограничения:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Оказва се, че стойностите на функцията ще се увеличат от минус безкрайност до - 1 4, когато аргументът се промени от - 2 на 0. И когато аргументът се промени от 0 на 2, стойностите на функцията намаляват към минус безкрайност. Следователно наборът от стойности на дадена функция в интервала, от който се нуждаем, ще бъде (- ∞ ; - 1 4 ] .

Отговор: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Пример 4

Състояние: посочете набора от стойности y = t g x на даден интервал - π 2; π 2.

Решение

Знаем, че в общия случай производната на тангенса е - π 2; π 2 ще бъде положително, тоест функцията ще нараства. Сега нека определим как се държи функцията в дадените граници:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Получихме увеличение на стойностите на функцията от минус безкрайност до плюс безкрайност, когато аргументът се промени от - π 2 на π 2, и можем да кажем, че наборът от решения на тази функция ще бъде наборът от всички реални числа .

Отговор: - ∞ ; + ∞ .

Пример 5

Състояние:определете диапазона на функцията натурален логаритъм y = ln x.

Решение

Знаем, че тази функция е дефинирана за положителни стойности на аргумента D (y) = 0; + ∞ . Производната на даден интервал ще бъде положителна: y " = ln x " = 1 x . Това означава, че функцията се увеличава върху него. След това трябва да дефинираме едностранна граница за случая, когато аргументът клони към 0 (от дясната страна) и когато x отива към безкрайност:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

Открихме, че стойностите на функцията ще нарастват от минус безкрайност до плюс безкрайност, когато стойностите на x се променят от нула до плюс безкрайност. Това означава, че наборът от всички реални числа е диапазонът от стойности на функцията натурален логаритъм.

Отговор:множеството от всички реални числа е диапазонът от стойности на функцията на натурален логаритъм.

Пример 6

Състояние:определете диапазона на функцията y = 9 x 2 + 1 .

Решение

Тази функция е дефинирана при условие, че x е реално число. Нека изчислим най-големите и най-малките стойности на функцията, както и интервалите на нейното нарастване и намаляване:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

В резултат на това установихме, че тази функция ще намалее, ако x ≥ 0; нараства, ако x ≤ 0; има максимална точка y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 с променлива, равна на 0.

Нека да видим как се държи функцията в безкрайност:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

От записа става ясно, че стойностите на функцията в този случай асимптотично ще се доближат до 0.

За да обобщим: когато аргументът се промени от минус безкрайност до нула, стойностите на функцията се увеличават от 0 до 9. Когато стойностите на аргумента се променят от 0 до плюс безкрайност, стойностите на съответните функции ще намалеят от 9 на 0. Показахме това на фигурата:

Това показва, че диапазонът от стойности на функцията ще бъде интервалът E (y) = (0 ; 9 ]

Отговор: E (y) = (0 ; 9 ]

Ако трябва да определим набора от стойности на функцията y = f (x) на интервалите [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , тогава ще трябва да извършим абсолютно същите изследвания. Засега няма да анализираме тези случаи: ще ги срещнем по-късно в проблеми.

Но какво ще стане, ако областта на дефиниране на определена функция е обединение на няколко интервала? След това трябва да изчислим наборите от стойности на всеки от тези интервали и да ги комбинираме.

Пример 7

Състояние:определете какъв ще бъде диапазонът от стойности y = x x - 2.

Решение

Тъй като знаменателят на функцията не трябва да се превръща в 0, тогава D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Нека започнем, като дефинираме набора от стойности на функцията на първия сегмент - ∞; 2, която е отворена греда. Знаем, че функцията върху нея ще намалява, тоест производната на тази функция ще бъде отрицателна.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

След това, в случаите, когато аргументът се променя към минус безкрайност, стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до 1. Ако стойностите на x се променят от минус безкрайност до 2, тогава стойностите ще намалеят от 1 до минус безкрайност, т.е. функцията на този сегмент ще приема стойности от интервала - ∞; 1 . Ние изключваме единството от нашите съображения, тъй като стойностите на функцията не го достигат, а само асимптотично се доближават до него.

За отворена греда 2; + ∞ извършваме абсолютно същите действия. Функцията върху него също намалява:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Стойностите на функцията на даден сегмент се определят от множеството 1; + ∞ . Това означава, че диапазонът от стойности, от които се нуждаем за функцията, посочена в условието, ще бъде обединението на множества - ∞ ; 1 и 1; + ∞ .

Отговор: E (y) = - ∞; 1 ∪ 1; + ∞ .

Това може да се види на графиката:

Специален случай са периодичните функции. Техният диапазон от стойности съвпада с набора от стойности на интервала, който съответства на периода на тази функция.

Пример 8

Състояние:определете диапазона от стойности на синус y = sin x.

Решение

Синус е периодична функция и нейният период е 2 пи. Вземете сегмента 0; 2 π и вижте какъв ще бъде наборът от стойности върху него.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

В рамките на 0; 2 π функцията ще има точки на екстремум π 2 и x = 3 π 2 . Нека изчислим на какво ще бъдат равни стойностите на функцията в тях, както и на границите на сегмента, след което изберете най-голямата и най-малката стойност.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1

Отговор: E (sin x) = - 1; 1 .

Ако трябва да знаете обхватите на функции като степен, експоненциална, логаритмична, тригонометрична, обратна тригонометрична, тогава ви съветваме да прочетете отново статията за основните елементарни функции. Теорията, която представяме тук, ни позволява да проверим стойностите, посочени там. Препоръчително е да ги научите, защото често се изискват при решаване на задачи. Ако знаете обхватите на основните функции, можете лесно да намерите обхватите на функциите, които се получават от елементарни с помощта на геометрична трансформация.

Пример 9

Състояние:определете диапазона от стойности y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

Решение

Знаем, че сегментът от 0 до пи е диапазонът на аркосинуса. С други думи, E (a r c cos x) = 0; π или 0 ≤ a r c cos x ≤ π. Можем да получим функцията a r c cos x 3 + 5 π 7 от арккосинуса, като го преместим и разтегнем по оста O x, но такива трансформации няма да ни дадат нищо. Това означава 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

Функцията 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 може да се получи от аркосинус a r c cos x 3 + 5 π 7 чрез разтягане по ординатната ос, т.е. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Крайната трансформация е изместване по оста O y с 4 стойности. В резултат на това получаваме двойно неравенство:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Установихме, че диапазонът от стойности, от които се нуждаем, ще бъде равен на E (y) = - 4; 3 π - 4 .

Отговор: E (y) = - 4; 3 π - 4 .

Ще запишем още един пример без обяснение, т.к той е напълно подобен на предишния.

Пример 10

Състояние:изчислете какъв ще бъде диапазонът на функцията y = 2 2 x - 1 + 3.

Решение

Нека пренапишем функцията, посочена в условието, като y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3. За степенна функция y = x - 1 2 диапазонът от стойности ще бъде определен на интервала 0; + ∞, т.е. x - 1 2 > 0 . В такъв случай:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Така че E(y) = 3; + ∞ .

Отговор: E(y) = 3; + ∞ .

Сега нека да разгледаме как да намерим диапазона от стойности на функция, която не е непрекъсната. За да направим това, трябва да разделим цялата област на интервали и да намерим набори от стойности във всеки от тях и след това да комбинираме това, което получаваме. За да разберете по-добре това, ви съветваме да прегледате основните типове точки на прекъсване на функцията.

Пример 11

Състояние:дадена е функцията y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Изчислете неговия диапазон от стойности.

Решение

Тази функция е дефинирана за всички стойности на x. Нека го анализираме за непрекъснатост със стойности на аргумента, равни на - 3 и 3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Имаме неотстраним прекъсване от първи род, когато стойността на аргумента е -3. Докато се приближаваме към нея, стойностите на функцията клонят към - 2 sin 3 2 - 4 , а когато x клони към - 3 от дясната страна, стойностите ще клонят към - 1 .

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Имаме неотстраним прекъсване от втори вид в точка 3. Когато една функция се стреми към нея, нейните стойности се приближават до - 1, когато се стремят към същата точка вдясно - до минус безкрайност.

Това означава, че цялата област на дефиниране на тази функция е разделена на 3 интервала (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

В първия от тях получихме функцията y = 2 sin x 2 - 4. Тъй като - 1 ≤ sin x ≤ 1, получаваме:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Това означава, че на даден интервал (- ∞ ; - 3 ] наборът от стойности на функцията е [ - 6 ; 2 ] .

На полуинтервала (- 3; 3 ] резултатът е постоянна функция y = - 1. Следователно целият набор от нейните стойности в този случай ще бъде намален до едно число - 1.

На втория интервал 3 ; + ∞ имаме функцията y = 1 x - 3 . Намалява, защото y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Това означава, че наборът от стойности на оригиналната функция за x> 3 е наборът 0; + ∞ . Сега нека комбинираме резултатите: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Отговор: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Решението е показано на графиката:

Пример 12

Условие: има функция y = x 2 - 3 e x. Определете множеството от неговите стойности.

Решение

Дефинира се за всички стойности на аргументи, които са реални числа. Нека определим в кои интервали тази функция ще нараства и в кои ще намалява:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Знаем, че производната ще стане 0, ако x = - 1 и x = 3. Нека поставим тези две точки върху оста и да разберем какви знаци ще има производната върху получените интервали.

Функцията ще намалява с (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) и ще нараства с [ - 1 ; 3]. Минималната точка ще бъде - 1, максималната - 3.

Сега нека намерим съответните стойности на функцията:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Нека да разгледаме поведението на функцията в безкрайност:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Правилото на L'Hopital се използва за изчисляване на втората граница. Нека изобразим напредъка на нашето решение на графика.

Той показва, че стойностите на функцията ще намалеят от плюс безкрайност до - 2 e, когато аргументът се промени от минус безкрайност до - 1. Ако се промени от 3 до плюс безкрайност, тогава стойностите ще намалеят от 6 e - 3 до 0, но 0 няма да бъде достигната.

Следователно E(y) = [ - 2 e ; + ∞).

Отговор: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Много проблеми ни карат да търсим набор от функционални стойности в определен сегмент или в цялата област на дефиниция. Такива задачи включват различни оценки на изрази и решаване на неравенства.

В тази статия ще определим диапазона от стойности на функция, ще разгледаме методите за намирането й и ще анализираме подробно решението на примери от прости до по-сложни. Всички материали ще бъдат снабдени с графични илюстрации за яснота. Така че тази статия е подробен отговор на въпроса как да намерите диапазона на функция.

Определение.

Наборът от стойности на функцията y = f(x) на интервала Xе множеството от всички стойности на функция, които приема, когато итерира всички.

Определение.

Функционален диапазон y = f(x)е множеството от всички стойности на функция, които приема, когато итерира всички x от домейна на дефиницията.

Диапазонът на функцията се обозначава като E(f).

Диапазонът на функция и наборът от стойности на функция не са едно и също нещо. Ще считаме тези понятия за еквивалентни, ако интервалът X при намиране на набора от стойности на функцията y = f (x) съвпада с домейна на дефиниране на функцията.

Освен това не бъркайте обхвата на функцията с променливата x за израза от дясната страна на равенството y=f(x). Диапазонът на допустимите стойности на променливата x за израза f(x) е областта на дефиниране на функцията y=f(x).

Фигурата показва няколко примера.

Графиките на функциите са показани с дебели сини линии, тънките червени линии са асимптоти, червените точки и линиите на оста Oy показват диапазона от стойности на съответната функция.

Както можете да видите, диапазонът от стойности на функция се получава чрез проектиране на графиката на функцията върху оста y. Може да бъде едно единствено число (първи случай), набор от числа (втори случай), сегмент (трети случай), интервал (четвърти случай), отворен лъч (пети случай), обединение (шести случай) и т.н. .

И така, какво трябва да направите, за да намерите диапазона от стойности на функция?

Нека започнем с най-простия случай: ще покажем как да определим набора от стойности на непрекъсната функция y = f(x) на сегмента.

Известно е, че функция, непрекъсната на интервал, достига своите максимални и минимални стойности върху него. По този начин наборът от стойности на оригиналната функция на сегмента ще бъде сегментът . Следователно нашата задача се свежда до намиране на най-големите и най-малките стойности на функцията на сегмента.

Например, нека намерим диапазона от стойности на функцията арксинус.

Пример.

Посочете диапазона на функцията y = arcsinx .

Решение.

Областта на дефиниране на арксинуса е сегментът [-1; 1] . Нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията на този сегмент.

Производната е положителна за всички x от интервала (-1; 1), т.е. функцията арксинус нараства в цялата област на дефиниция. Следователно, той приема най-малката стойност при x = -1 и най-голямата при x = 1.

Получихме обхвата на функцията арксинус .

Пример.

Намерете набора от стойности на функцията на сегмента.

Решение.

Нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията на дадена отсечка.

Нека определим екстремните точки, принадлежащи на сегмента:

Изчисляваме стойностите на оригиналната функция в краищата на сегмента и в точки :

Следователно наборът от стойности на функция на интервал е интервалът .

Сега ще покажем как да намерим множеството от стойности на непрекъсната функция y = f(x) в интервалите (a; b) , .

Първо, определяме точките на екстремум, екстремуми на функцията, интервали на нарастване и намаляване на функцията на даден интервал. След това изчисляваме в краищата на интервала и (или) границите в безкрайността (т.е. изучаваме поведението на функцията в границите на интервала или в безкрайността). Тази информация е достатъчна, за да намерите набора от стойности на функцията на такива интервали.

Пример.

Определете набора от стойности на функцията на интервала (-2; 2) .

Решение.

Нека намерим екстремните точки на функцията, попадащи в интервала (-2; 2):

Точка x = 0 е максимална точка, тъй като производната променя знака от плюс на минус, когато преминава през нея, а графиката на функцията преминава от нарастваща към намаляваща.

има съответен максимум на функцията.

Нека разберем поведението на функцията, когато x клони към -2 отдясно и когато x клони към 2 отляво, тоест намираме едностранни граници:

Какво имаме: когато аргументът се промени от -2 на нула, стойностите на функцията се увеличават от минус безкрайност до минус една четвърт (максимумът на функцията при x = 0), когато аргументът се промени от нула на 2, стойностите на функцията намаляват до минус безкрайност. По този начин наборът от стойности на функцията в интервала (-2; 2) е .

Пример.

Посочете набора от стойности на допирателната функция y = tgx на интервала.

Решение.

Производната на функцията тангенс върху интервала е положителна , което показва увеличаване на функцията. Нека проучим поведението на функцията в границите на интервала:

По този начин, когато аргументът се промени от на, стойностите на функцията се увеличават от минус безкрайност до плюс безкрайност, т.е. наборът от допирателни стойности на този интервал е наборът от всички реални числа.

Пример.

Намерете диапазона на функцията натурален логаритъм y = lnx.

Решение.

Функцията естествен логаритъм е дефинирана за положителни стойности на аргумента . На този интервал производната е положителна , това показва увеличение на функцията върху него. Нека намерим едностранната граница на функцията, когато аргументът клони към нула вдясно, и границата, когато x клони към плюс безкрайност:

Виждаме, че когато x се променя от нула до плюс безкрайност, стойностите на функцията нарастват от минус безкрайност до плюс безкрайност. Следователно диапазонът на функцията натурален логаритъм е целият набор от реални числа.

Пример.

Решение.

Тази функция е дефинирана за всички реални стойности на x. Нека да определим точките на екстремума, както и интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

Следователно функцията намалява при , нараства при , x = 0 е максималната точка, съответния максимум на функцията.

Нека да разгледаме поведението на функцията в безкрайност:

Така в безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до нула.

Открихме, че когато аргументът се промени от минус безкрайност до нула (максималната точка), стойностите на функцията се увеличават от нула до девет (до максимума на функцията), а когато x се промени от нула до плюс безкрайност, функцията стойностите намаляват от девет до нула.

Вижте схематичния чертеж.

Сега ясно се вижда, че диапазонът от стойности на функцията е .

Намирането на набор от стойности на функцията y = f(x) на интервали изисква подобно изследване. Сега няма да се спираме подробно на тези случаи. Ще ги срещнем отново в примерите по-долу.

Нека областта на дефиниране на функцията y = f(x) е обединението на няколко интервала. При намиране на диапазона от стойности на такава функция се определят наборите от стойности на всеки интервал и се взема тяхното обединение.

Пример.

Намерете диапазона на функцията.

Решение.

Знаменателят на нашата функция не трябва да отива на нула, т.е.

Първо, нека намерим набора от функционални стойности на отворения лъч.

Производна на функция е отрицателна на този интервал, т.е. функцията намалява на него.

Открихме, че тъй като аргументът клони към минус безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до единица. Когато x се промени от минус безкрайност до две, стойностите на функцията намаляват от една до минус безкрайност, т.е. в разглеждания интервал функцията приема набор от стойности. Не включваме единството, тъй като стойностите на функцията не го достигат, а само асимптотично се стремят към него при минус безкрайност.

Продължаваме по същия начин за отворената греда.

На този интервал функцията също намалява.

Наборът от функционални стойности на този интервал е наборът.

По този начин желаният диапазон от стойности на функцията е обединението на множествата и .

Графична илюстрация.

Специално внимание трябва да се обърне на периодичните функции. Диапазонът от стойности на периодичните функции съвпада с набора от стойности на интервала, съответстващ на периода на тази функция.

Пример.

Намерете диапазона на функцията синус y = sinx.

Решение.

Тази функция е периодична с период две пи. Нека вземем сегмент и дефинираме набора от стойности върху него.

Отсечката съдържа две екстремни точки и .

Изчисляваме стойностите на функцията в тези точки и на границите на сегмента избираме най-малките и най-големите стойности:

следователно .

Пример.

Намерете диапазона на функция .

Решение.

Знаем, че диапазонът на аркосинуса е сегментът от нула до пи, т.е. или в друг пост. функция може да се получи от arccosx чрез преместване и разтягане по абсцисната ос. Такива трансформации не засягат диапазона от стойности, следователно, . функция получен от разтягане три пъти по оста Oy, т.е. . И последният етап на трансформация е изместване с четири единици надолу по ординатата. Това ни води до двойно неравенство

По този начин необходимият диапазон от стойности е .

Нека дадем решението на друг пример, но без обяснения (те не са задължителни, тъй като са напълно сходни).

Пример.

Определете обхвата на функцията .

Решение.

Нека напишем оригиналната функция във формата . Диапазонът от стойности на степенната функция е интервалът. Това е, . Тогава

следователно .

За да завършим картината, трябва да говорим за намиране на диапазона от стойности на функция, която не е непрекъсната в областта на дефиниция. В този случай разделяме областта на дефиниция на интервали по точки на прекъсване и намираме набори от стойности на всеки от тях. Чрез комбиниране на получените набори от стойности, ние получаваме диапазона от стойности на оригиналната функция. Препоръчваме да запомните 3 отляво, стойностите на функцията клонят към минус едно, а когато x клони към 3 вдясно, стойностите на функцията клонят към плюс безкрайност.

Така разделяме областта на дефиниране на функцията на три интервала.

На интервала имаме функцията . От тогава

По този начин наборът от стойности на оригиналната функция на интервала е [-6;2] .

На полуинтервала имаме постоянна функция y = -1. Това означава, че наборът от стойности на оригиналната функция на интервала се състои от един елемент.

Функцията е дефинирана за всички валидни стойности на аргументи. Нека намерим интервалите на нарастване и намаляване на функцията.

Производната изчезва при x=-1 и x=3. Нека отбележим тези точки на числовата права и да определим знаците на производната върху получените интервали.

Функцията намалява с , се увеличава с [-1; 3] , x=-1 минимална точка, x=3 максимална точка.

Нека изчислим съответния минимум и максимум на функцията:

Нека проверим поведението на функцията в безкрайност:

Второто ограничение беше изчислено с помощта на .

Нека направим схематичен чертеж.

Когато аргументът се промени от минус безкрайност до -1, стойностите на функцията намаляват от плюс безкрайност до -2e, когато аргументът се промени от -1 на 3, стойностите на функцията се увеличават от -2e до, когато аргументът се промени от 3 до плюс безкрайност, стойностите на функцията намаляват от до нула, но не достигат нула.