10 основни тригонометрични идентичности. Основни формули на тригонометрията

13.03.2022

Когато извършвате тригонометрични преобразувания, следвайте тези съвети:

Не се опитвайте веднага да излезете с решение на примера от началото до края.
Не се опитвайте да конвертирате целия пример наведнъж. Правете малки стъпки напред.
Не забравяйте, че в допълнение към тригонометричните формули в тригонометрията все още можете да използвате всички справедливи алгебрични трансформации (поставяне в скоби, съкращаване на дроби, формули за съкратено умножение и т.н.).
Вярвайте, че всичко ще бъде наред.

Основни тригонометрични формули

Повечето формули в тригонометрията често се използват както отдясно наляво, така и отляво надясно, така че трябва да научите тези формули толкова добре, че лесно да можете да прилагате някои формули и в двете посоки. Нека първо запишем дефинициите на тригонометричните функции. Нека има правоъгълен триъгълник:

След това дефиницията на синуса:

Дефиниция на косинус:

Определение на допирателната:

Дефиниция на котангенс:

Основна тригонометрична идентичност:

Най-простите следствия от основната тригонометрична идентичност:

Формули за двоен ъгъл.Синус на двоен ъгъл:

Косинус на двоен ъгъл:

Тангенс на двоен ъгъл:

Котангенс на двоен ъгъл:

Допълнителни тригонометрични формули

Тригонометрични събирателни формули.Синус от сумата:

Синус от разликата:

Косинус на сумата:

Косинус на разликата:

Тангенс на сумата:

Тангенс на разликата:

Котангенс на сумата:

Котангенс на разликата:

Тригонометрични формули за превръщане на сбор в произведение.Сбор от синуси:

Синусова разлика:

Сбор от косинуси:

Разлика на косинусите:

Сума от допирателните:

Тангенсна разлика:

Сума от котангенси:

Котангенс разлика:

Тригонометрични формули за превръщане на произведение в сбор.Продукт на синуси:

Произведение от синус и косинус:

Продукт на косинусите:

Формули за намаляване на степента.

Формули за половин ъгъл.

Формули за тригонометрична редукция

Функцията косинус се нарича кофункциясинусови функции и обратно. По същия начин функциите тангенс и котангенс са кофункции. Формулите за намаляване могат да бъдат формулирани като следното правило:

Ако във формулата за редукция ъгъл се извади (добави) от 90 градуса или 270 градуса, тогава редуцираната функция се променя на кофункция;
Ако във формулата за редукция ъгълът се извади (добави) от 180 градуса или 360 градуса, тогава името на редуцираната функция се запазва;
В този случай знакът, който редуцираната (т.е. първоначалната) функция има в съответния квадрант, се поставя пред редуцираната функция, ако считаме извадения (добавен) ъгъл за остър.

Формули за намаляванеса дадени в табличен вид:

от тригонометричен кръглесни за определяне таблични стойности на тригонометрични функции:

Тригонометрични уравнения

За да се реши дадено тригонометрично уравнение, то трябва да се сведе до едно от най-простите тригонометрични уравнения, което ще бъде разгледано по-долу. За това:

Можете да използвате тригонометричните формули, дадени по-горе. В същото време не е нужно да се опитвате да трансформирате целия пример наведнъж, но трябва да се движите напред с малки стъпки.
Не трябва да забравяме за възможността за трансформиране на някакъв израз с помощта на алгебрични методи, т.е. например извадете нещо извън скоби или, обратно, отворени скоби, намалете дроб, приложете съкратена формула за умножение, приведете дроби към общ знаменател и т.н.
Когато решавате тригонометрични уравнения, можете да използвате метод на групиране. Трябва да се помни, че за да бъде произведението на няколко фактора равно на нула, е достатъчно всеки от тях да бъде равен на нула и останалото съществуваше.
Прилагане метод за заместване на променливи, както обикновено, уравнението след въвеждане на замяната трябва да стане по-просто и да не съдържа оригиналната променлива. Също така трябва да запомните да извършите обратна подмяна.
Не забравяйте, че хомогенните уравнения често се появяват в тригонометрията.
Когато отваряте модули или решавате ирационални уравнения с тригонометрични функции, трябва да запомните и вземете предвид всички тънкости на решаването на съответните уравнения с обикновени функции.
Не забравяйте за ODZ (в тригонометричните уравнения ограниченията за ODZ се свеждат главно до факта, че не можете да разделите на нула, но не забравяйте за други ограничения, особено за положителността на изрази в рационални степени и под корените на четни степени). Също така не забравяйте, че стойностите на синуса и косинуса могат да бъдат само в диапазона от минус едно до плюс едно включително.

Основното нещо е, ако не знаете какво да правите, направете поне нещо и основното е да използвате правилно тригонометричните формули. Ако това, което получавате, става все по-добро и по-добро, продължете с решението, а ако се влоши, върнете се в началото и опитайте да приложите други формули, правете това, докато не попаднете на правилното решение.

Формули за решения на най-простите тригонометрични уравнения.За синус има две еквивалентни форми на запис на решението:

За други тригонометрични функции нотацията е недвусмислена. За косинус:

За допирателна:

За котангенс:

Решаване на тригонометрични уравнения в някои специални случаи:

Научете всички формули и закони във физиката, както и формули и методи в математиката. Всъщност това също е много лесно да се направи; във физиката има само около 200 необходими формули и дори малко по-малко в математиката. Във всеки от тези предмети има около дузина стандартни методи за решаване на проблеми с основно ниво на сложност, които също могат да бъдат научени и по този начин напълно автоматично и без затруднения да се решават повечето от КТ в точното време. След това ще трябва да мислите само за най-трудните задачи.

Явете се и на трите етапа на репетиционното изпитване по физика и математика. Всеки RT може да бъде посетен два пъти, за да се вземе решение за двете опции. Отново, на CT, в допълнение към способността за бързо и ефективно решаване на проблеми и познаване на формули и методи, вие също трябва да можете правилно да планирате времето, да разпределяте силите и най-важното, правилно да попълвате формуляра за отговор, без объркване на номерата на отговорите и проблемите или собственото ви фамилно име. Освен това по време на RT е важно да свикнете със стила на задаване на въпроси в проблемите, което може да изглежда много необичайно за неподготвен човек в DT.

Успешното, усърдно и отговорно изпълнение на тези три точки, както и отговорното изучаване на финалните тренировъчни тестове ще ви позволят да покажете отличен резултат на CT, максимума от това, на което сте способни.

Намерихте грешка?

Ако смятате, че сте открили грешка в обучителните материали, моля, пишете за това по имейл (). В писмото посочете предмета (физика или математика), името или номера на темата или теста, номера на задачата или мястото в текста (страницата), където според вас има грешка. Също така опишете каква е предполагаемата грешка. Писмото ви няма да остане незабелязано, грешката или ще бъде коригирана, или ще ви бъде обяснено защо не е грешка.

На тази страница ще намерите всички основни тригонометрични формули, които ще ви помогнат да решите много упражнения, значително опростявайки самия израз.

Тригонометричните формули са математически равенства за тригонометрични функции, които са изпълнени за всички валидни стойности на аргумента.

Формулите определят връзките между основните тригонометрични функции - синус, косинус, тангенс, котангенс.

Синусът на ъгъл е y координатата на точка (ордината) върху единичната окръжност. Косинусът на ъгъл е координатата x на точка (абсцисата).

Тангенсът и котангенсът са съответно съотношенията на синус към косинус и обратно.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

И две, които се употребяват по-рядко – секанс, косеканс. Те представляват съотношенията на 1 към косинус и синус.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

От дефинициите на тригонометричните функции става ясно какви знаци имат във всеки квадрант. Знакът на функцията зависи само от това в кой квадрант се намира аргументът.

При промяна на знака на аргумента от “+” на “-” само функцията косинус не променя стойността си. Нарича се дори. Графиката му е симетрична спрямо ординатната ос.

Останалите функции (синус, тангенс, котангенс) са нечетни. При промяна на знака на аргумента от “+” на “-”, тяхната стойност също се променя на отрицателна. Техните графики са симетрични относно произхода.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Основни тригонометрични тъждества

Основните тригонометрични идентичности са формули, които установяват връзка между тригонометричните функции на един ъгъл (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) и които ви позволяват да намерите стойността на всяка от тези функции чрез всяка известна друга.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Формули за сбор и разлика на ъгли на тригонометрични функции

Формулите за добавяне и изваждане на аргументи изразяват тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла по отношение на тригонометричните функции на тези ъгли.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \\alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Формули за двоен ъгъл

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Формули за троен ъгъл

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Формули за половин ъгъл

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ алфа)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ алфа)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Формулите за половин, двоен и троен аргумент изразяват функциите `sin, \cos, \tg, \ctg` на тези аргументи (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) чрез аргумента на тези функции „\alpha“.

Техният извод може да бъде получен от предишната група (събиране и изваждане на аргументи). Например двойни ъглови идентичности се получават лесно чрез замяна на `\beta` с `\alpha`.

Формули за намаляване на степента

Формулите на квадрати (кубове и т.н.) на тригонометрични функции ви позволяват да преминете от 2,3,... градуса към тригонометрични функции на първа степен, но множество ъгли (`\alpha, \3\alpha, \... ` или `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции

Формулите представляват преобразуване на сбора и разликата на тригонометрични функции на различни аргументи в произведение.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ бета)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Тук се извършва преобразуването на събиране и изваждане на функции на един аргумент в продукт.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Следните формули преобразуват сумата и разликата на единица и тригонометрична функция в произведение.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)'
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)'
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ бета \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Формули за преобразуване на произведения на функции

Формули за преобразуване на произведението на тригонометрични функции с аргументи `\alpha` и `\beta` в сбора (разликата) на тези аргументи.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ бета)) =`\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ бета)) =`\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ бета))`

Универсално тригонометрично заместване

Тези формули изразяват тригонометричните функции по отношение на тангенса на половин ъгъл.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Формули за намаляване

Формулите за редукция могат да бъдат получени, като се използват такива свойства на тригонометричните функции като периодичност, симетрия и свойството за изместване с даден ъгъл. Те позволяват функции с произволен ъгъл да бъдат преобразувани във функции, чийто ъгъл е между 0 и 90 градуса.

За ъгъл (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
За ъгъл (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
За ъгъл (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
За ъгъл (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Изразяване на някои тригонометрични функции чрез други

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Тригонометрията буквално се превежда като „измерване на триъгълници“. Започва да се изучава в училище и продължава по-подробно в университетите. Следователно основните формули в тригонометрията са необходими от 10 клас, както и за полагане на Единния държавен изпит. Те обозначават връзки между функции и тъй като има много от тези връзки, има много и самите формули. Не е лесно да ги запомните всички, а и не е необходимо - ако е необходимо, всички те могат да бъдат показани.

Тригонометричните формули се използват в интегралното смятане, както и в тригонометричните опростявания, изчисления и трансформации.

Дадени са връзките между основните тригонометрични функции – синус, косинус, тангенс и котангенс. тригонометрични формули. И тъй като има доста връзки между тригонометричните функции, това обяснява изобилието от тригонометрични формули. Някои формули свързват тригонометрични функции на един и същи ъгъл, други - функции на множествен ъгъл, трети - ви позволяват да намалите степента, четвърти - изразявате всички функции чрез тангенса на половин ъгъл и т.н.

В тази статия ще изброим по ред всички основни тригонометрични формули, които са достатъчни за решаване на по-голямата част от тригонометричните задачи. За по-лесно запомняне и използване ще ги групираме по предназначение и ще ги въведем в таблици.

Навигация в страницата.

Основни тригонометрични тъждества

Основни тригонометрични тъждествадефинирайте връзката между синус, косинус, тангенс и котангенс на един ъгъл. Те следват от определението за синус, косинус, тангенс и котангенс, както и от концепцията за единичната окръжност. Те ви позволяват да изразите една тригонометрична функция по отношение на всяка друга.

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията.

Формули за намаляване

Формули за намаляванеследват от свойствата на синус, косинус, тангенс и котангенс, т.е. те отразяват свойството на периодичност на тригонометричните функции, свойството на симетрия, както и свойството на изместване с даден ъгъл. Тези тригонометрични формули ви позволяват да преминете от работа с произволни ъгли към работа с ъгли, вариращи от нула до 90 градуса.

Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запомнянето им и примери за тяхното приложение могат да бъдат проучени в статията.

Формули за добавяне

Тригонометрични събирателни формулипоказват как тригонометричните функции на сумата или разликата на два ъгъла се изразяват чрез тригонометричните функции на тези ъгли. Тези формули служат като основа за извеждане на следните тригонометрични формули.

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл (те се наричат още формули за множество ъгли) показват как тригонометричните функции на двойно, тройно и т.н. ъгли () се изразяват чрез тригонометрични функции на един ъгъл. Тяхното извеждане се основава на формули за добавяне.

По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл

Формули за половин ъгъл

Формули за половин ъгълпокажете как тригонометричните функции на половин ъгъл се изразяват чрез косинус на цял ъгъл. Тези тригонометрични формули следват от формулите за двоен ъгъл.

Тяхното заключение и примери за приложение можете да намерите в статията.

Формули за намаляване на степента

Тригонометрични формули за намаляване на степенитеса предназначени да улеснят прехода от естествени степени на тригонометрични функции към синуси и косинуси на първа степен, но множество ъгли. С други думи, те ви позволяват да намалите мощностите на тригонометричните функции до първата.

Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции

Основната цел формули за сбор и разлика на тригонометрични функциие да отидете до произведението на функциите, което е много полезно при опростяване на тригонометрични изрази. Тези формули също се използват широко при решаване на тригонометрични уравнения, тъй като ви позволяват да факторизирате сумата и разликата на синусите и косинусите.

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Преходът от произведение на тригонометрични функции към сума или разлика се извършва с помощта на формулите за произведение на синуси, косинуси и синус по косинус.

Универсално тригонометрично заместване

Завършваме нашия преглед на основните формули на тригонометрията с формули, изразяващи тригонометрични функции по отношение на тангенса на половин ъгъл. Тази замяна се наричаше универсално тригонометрично заместване. Удобството му се крие във факта, че всички тригонометрични функции се изразяват чрез тангенса на половин ъгъл рационално без корени.

Библиография.

Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. Теляковски С. А. - М.: Образование, 1990. - 272 с.: ил. - ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Авторско право от cleverstudents

Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Никаква част от сайта, включително вътрешни материали и външен вид, не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или използвана без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.

Тригонометрия, тригонометрични формули

За подробно описание на тези тригонометрични формули, тяхното извеждане и примери за приложение вижте статията основни тригонометрични идентичности.

Най-горе на страницата

Формули за намаляване

Обосновката на тези формули, мнемонично правило за запомнянето им и примери за тяхното приложение могат да бъдат изучавани във формулите за редуциране на статии.

Най-горе на страницата

Формули за добавяне

За повече информация вижте статията Формули за добавяне.

Най-горе на страницата

Формули за двойна, тройна и др. ъгъл

По-подробна информация е събрана в статията формули за двойно, тройно и т.н. ъгъл.

Най-горе на страницата

Формули за половин ъгъл

Техният извод и примери за приложение могат да бъдат намерени в статията за формулите за половин ъгъл.

Най-горе на страницата

Формули за намаляване на степента

Най-горе на страницата

Формули за сбор и разлика на тригонометрични функции

За извеждането на формули, както и примери за тяхното приложение, вижте статията формули за сбор и разлика на синус и косинус.

Най-горе на страницата

Формули за произведението на синуси, косинуси и синус по косинус

Най-горе на страницата

Универсално тригонометрично заместване

За по-пълна информация вижте статията универсално тригонометрично заместване.

Най-горе на страницата

Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. Теляковски С. А. - М.: Образование, 1990. - 272 с.: ил. - ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище — 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Тригонометрични формули- това са най-необходимите формули в тригонометрията, необходими за изразяване на тригонометрични функции, които се изпълняват за всяка стойност на аргумента.

Формули за добавяне.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формули за двоен ъгъл.

защото 2α = cos²α -грех²α

защото 2α = 2cos²α — 1

защото 2α = 1 - 2sin²α

грях 2α = 2sinα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

Формули за троен ъгъл.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

защото 3α = 4cos³α - 3 cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 — 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формули за половин ъгъл.

Формули за намаляване.

Функция/ъгъл в рад.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




Функция/ъгъл в °	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

Подробно описание на формулите за намаляване.

Основни тригонометрични формули.

Основна тригонометрична идентичност:

sin 2 α+cos 2 α=1

Тази идентичност е резултат от прилагането на Питагоровата теорема към триъгълник в единичната тригонометрична окръжност.

Връзката между косинус и тангенс е:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 или sec 2 α−tan 2 α=1.

Тази формула е следствие от основното тригонометрично тъждество и се получава от него чрез разделяне на лявата и дясната страна на cos2α. Предполага се, че α≠π/2+πn,n∈Z.

Връзка между синус и котангенс:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 или csc 2 α−cot 2 α=1.

Тази формула също следва от основното тригонометрично тъждество (получено от него чрез разделяне на лявата и дясната страна на sin2α. Тук се предполага, че α≠πn,n∈Z.

Определение на допирателната:

tanα=sinα/cosα,

Където α≠π/2+πn,n∈Z.

Дефиниция на котангенс:

cotα=cosα/sinα,

Където α≠πn,n∈Z.

Следствие от определенията за тангенс и котангенс:

tanα⋅ cotα=1,

Където α≠πn/2,n∈Z.

Дефиниция на секанс:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ З

Дефиниция на косеканс:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ З

Тригонометрични неравенства.

Най-простите тригонометрични неравенства:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Квадрати на тригонометрични функции.

Формули за кубове на тригонометрични функции.

ТригонометрияМатематика. Тригонометрия. Формули. Геометрия. Теория

Разгледахме най-основните тригонометрични функции (не се заблуждавайте, в допълнение към синус, косинус, тангенс и котангенс, има много други функции, но повече за тях по-късно), но засега нека да разгледаме някои основни свойства на вече проучени функции.

Тригонометрични функции на числов аргумент

Каквото и реално число t да се вземе, то може да бъде свързано с уникално дефинирано число sin(t).

Вярно е, че правилото за съвпадение е доста сложно и се състои в следното.

За да намерите стойността на sin(t) от числото t, трябва:

позиционирайте числовия кръг върху координатната равнина така, че центърът на кръга да съвпада с началото на координатите, а началната точка А на кръга да попада в точка (1; 0);
намерете точка от окръжността, съответстваща на числото t;
намерете ординатата на тази точка.
тази ордината е желаният sin(t).

Всъщност говорим за функцията s = sin(t), където t е всяко реално число. Ние знаем как да изчислим някои стойности на тази функция (например sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) и т.н.) , знаем някои от неговите свойства.

Връзка между тригонометрични функции

Както, надявам се, можете да се досетите, всички тригонометрични функции са взаимосвързани и дори без да знаете значението на една, тя може да бъде намерена чрез друга.

Например, най-важната формула в цялата тригонометрия е основна тригонометрична идентичност:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Както можете да видите, знаейки стойността на синуса, можете да намерите стойността на косинуса, както и обратното.

Тригонометрични формули

Също така много често срещани формули, свързващи синус и косинус с тангенс и котангенс:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

От последните две формули може да се извлече друга тригометрична идентичност, този път свързваща тангенс и котангенс:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Сега нека видим как тези формули работят на практика.

ПРИМЕР 1. Опростете израза: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

а) Първо, нека напишем тангенса, запазвайки квадрата:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Сега нека поставим всичко под общ знаменател и получаваме:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

И накрая, както виждаме, числителят може да бъде намален до единица чрез основното тригонометрично тъждество, като резултат получаваме: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

б) С котангенса извършваме всички същите действия, само знаменателят вече няма да бъде косинус, а синус и отговорът ще бъде така:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

След като изпълнихме тази задача, ние изведохме още две много важни формули, които свързват нашите функции, които също трябва да знаем като петте си пръста:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Трябва да знаете всички представени формули наизуст, в противен случай по-нататъшното изучаване на тригонометрията без тях е просто невъзможно. В бъдеще ще има повече формули и ще бъдат много и ви уверявам, че със сигурност ще ги помните всички дълго време или може би няма да ги помните, но ВСЕКИ трябва да знае тези шест неща!

Пълна таблица на всички основни и редки формули за тригонометрична редукция.

Тук можете да намерите тригонометрични формули в удобна форма. А тригонометричните формули за намаляване могат да бъдат намерени на друга страница.

Основни тригонометрични тъждества

— математически изрази за тригонометрични функции, изпълнявани за всяка стойност на аргумента.

sin² α + cos² α = 1
tg α cot α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
cot α = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

Формули за добавяне

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

Формули за двоен ъгъл

cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sin 2α = 2sin α cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формули за троен ъгъл

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формули за намаляване на степента

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sin α – sin 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sin 2α – sin 6α) ÷ 32

Преход от произведение към сбор

sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
sin α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Изброили сме доста тригонометрични формули, но ако нещо липсва, моля пишете.

Всичко за учене » Математика в училище » Тригонометрични формули - измамница

За да маркирате страница, натиснете Ctrl+D.

Група с много полезна информация (абонирайте се, ако имате Единен държавен изпит или Единен държавен изпит):

Цялата база данни от есета, курсови работи, дисертации и други образователни материали се предоставя безплатно. Използвайки материалите на сайта, вие потвърждавате, че сте прочели потребителското споразумение и сте съгласни с всички негови точки изцяло.

Подробно е разгледана трансформацията на групи от общи решения на тригонометрични уравнения. В третия раздел се разглеждат нестандартни тригонометрични уравнения, чиито решения се основават на функционалния подход.

Всички формули (уравнения) на тригонометрията: sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

Четвъртият раздел разглежда тригонометричните неравенства. Методи за решаване на елементарни тригонометрични неравенства, както върху единичната окръжност, така и...

... ъгъл 1800-α= по хипотенузата и остър ъгъл: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> И така, в училищния курс по геометрия понятието тригонометрична функция се въвежда чрез геометрични средства поради по-голямата им достъпност. Традиционната методическа схема за изучаване на тригонометрични функции е следната: 1) първо се определят тригонометрични функции за остър ъгъл на правоъгълна...

... Домашна работа 19(3.6), 20(2.4) Поставяне на цели Актуализиране на основни знания Свойства на тригонометрични функции Формули за редукция Нов материал Стойности на тригонометрични функции Решаване на най-простите тригонометрични уравнения Консолидиране Решаване на задачи Цел на урока: днес ще пресметнем стойности на тригонометрични функции и решаване на ...

... формулираната хипотеза, необходима за решаване на следните проблеми: 1. Идентифициране на ролята на тригонометричните уравнения и неравенства в обучението по математика; 2. Разработване на методика за развитие на способността за решаване на тригонометрични уравнения и неравенства, насочена към развиване на тригонометрични концепции; 3. Експериментално проверете ефективността на разработения метод. За решения…

Тригонометрични формули

Представяме на вашето внимание различни формули, свързани с тригонометрията.

(8) Котангенс на двоен ъгъл

cotg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg (α)

(9) Синус на троен ъгъл sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) Косинус на троен ъгъл cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Косинус на сбора/разликата cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Синус на сбора/разликата sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Тангенс на сбора/разликата (14) Котангенс на сбора/разликата (15) Продукт на синуси sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Произведение от косинуси cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Произведение от синус и косинус sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) Сбор/разлика на синусите sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Сбор от косинуси cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) Разлика на косинусите cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Сбор/разлика на тангентите (22) Формула за намаляване на степента на синуса sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Формула за намаляване степента на косинус cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Сбор/разлика на синус и косинус (25) Сбор/разлика на синус и косинус с коефициенти (26) Основна връзка на арксинус и аркосинус arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Основна връзка между арктангенс и арккотангенс arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Общи формули

- печатна версия

Дефиниции Синус на ъгъл α (обозначаване грях (α)) е отношението на катета срещу ъгъл α към хипотенузата. Косинус на ъгъл α (обозначаване cos(α)) е отношението на катета, съседен на ъгъла α, към хипотенузата. Тангенс на ъгъл α (обозначаване тен (α)) е отношението на страната, противоположна на ъгъл α, към съседната страна. Еквивалентно определение е отношението на синуса на ъгъл α към косинуса на същия ъгъл - sin(α)/cos(α). Котангенс на ъгъл α (обозначаване cotg(α)) е съотношението на крака, съседен на ъгъл α, към срещуположния. Еквивалентна дефиниция е отношението на косинуса на ъгъл α към синуса на същия ъгъл - cos(α)/sin(α). Други тригонометрични функции: секуща — sec(α) = 1/cos(α); косеканс - cosec(α) = 1/sin(α). Забележка Не изписваме специално знака * (умножение) - там, където са написани две функции подред, без интервал, се подразбира. Улика За да изведете формули за косинус, синус, тангенс или котангенс на множество (4+) ъгли, е достатъчно да ги напишете съответно по формулите. косинус, синус, тангенс или котангенс на сумата, или редуцирайте до предишните случаи, като редуцирате до формулите на тройни и двойни ъгли. Допълнение Таблица с производни