От училищните уроци по математика всеки си спомня синусоидална графика, простираща се в далечината на равномерни вълни. Много други функции имат подобно свойство - повтаряне след определен интервал. Те се наричат ​​периодични. Периодичността е много важно свойство на функцията, което често се среща в различни задачи. Следователно е полезно да можете да определите дали дадена функция е периодична.

Инструкции

• Ако F(x) е функция на аргумента x, тогава тя се нарича периодична, ако има число T такова, че за всяко x F(x + T) = F(x). Това число T се нарича период на функцията.Може да има няколко периода. Например функцията F = const приема една и съща стойност за всяка стойност на аргумента и следователно всяко число може да се счита за нейния период.Математиците обикновено се интересуват от най-малкия ненулев период на функция. За краткост се нарича просто период.
• Класически пример за периодични функции е тригонометричният: синус, косинус и тангенс. Техният период е еднакъв и равен на 2π, тоест sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и т.н. Но, разбира се, тригонометричните функции не са единствените периодични.
• За простите основни функции единственият начин да се определи дали са периодични или непериодични е чрез изчисление. Но за сложни функции вече има няколко прости правила.
• Ако F(x) е периодична функция с период T и за нея е дефинирана производна, тогава тази производна f(x) = F′(x) също е периодична функция с период T. В крайна сметка стойността на производната в точка x е равна на тангенса на графиката на допирателния ъгъл нейната антипроизводна в тази точка спрямо оста x и тъй като антипроизводната се повтаря периодично, производната също трябва да се повтаря. Например, производната на функцията sin(x) е равна на cos(x) и е периодична. Вземането на производната на cos(x) ви дава –sin(x). Честотата остава непроменена, но обратното не винаги е вярно. По този начин функцията f(x) = const е периодична, но нейната първоизводна F(x) = const*x + C не е.
• Ако F(x) е периодична функция с период T, тогава G(x) = a*F(kx + b), където a, b и k са константи и k не е равно на нула - също е периодична функция , а периодът му е T/k. Например sin(2x) е периодична функция и нейният период е π. Това може да бъде визуално представено по следния начин: като умножите x по някакво число, вие изглежда компресирате графиката на функцията хоризонтално точно толкова пъти
• Ако F1(x) и F2(x) са периодични функции и техните периоди са равни съответно на T1 и T2, тогава сумата от тези функции също може да бъде периодична. Неговият период обаче няма да бъде проста сума от периоди T1 и T2. Ако резултатът от деленето T1/T2 е рационално число, тогава сумата от функциите е периодична и нейният период е равен на най-малкото общо кратно (LCM) на периодите T1 и T2. Например, ако периодът на първата функция е 12, а периодът на втората е 15, тогава периодът на тяхната сума ще бъде равен на LCM (12, 15) = 60. Това може да бъде визуално представено по следния начин: функциите идват с различни „ширини на стъпките“, но ако съотношението на техните ширини е рационално, тогава рано или късно (или по-скоро, точно чрез LCM на стъпките), те отново ще станат равни и тяхната сума ще започне нов период.
• Въпреки това, ако съотношението на периодите е ирационално, тогава общата функция изобщо няма да бъде периодична. Например, нека F1(x) = x mod 2 (остатъкът, когато x е разделено на 2), и F2(x) = sin(x). T1 тук ще бъде равно на 2, а T2 ще бъде равно на 2π. Отношението на периодите е равно на π – ирационално число. Следователно функцията sin(x) + x mod 2 не е периодична.

От училищните уроци по математика всеки си спомня синусоидална графика, простираща се в далечината на равномерни вълни. Много други функции имат подобно свойство - повтаряне през определен интервал. Те се наричат ​​периодични. Периодичността е много важно качество на функцията, което често се среща в различни задачи. Следователно е полезно да можете да определите дали дадена функция е периодична.

Инструкции

1. Ако F(x) е функция на аргумент x, тогава тя се нарича периодична, ако има число T такова, че за всяко x F(x + T) = F(x). Това число T се нарича период на функцията.Може да има няколко периода. Да кажем, че функцията F = const приема една и съща стойност за всички стойности на аргумента и следователно всяко число може да се счита за неговия период.Традиционно математиката се занимава с минималния ненулев период на функция. За краткост се нарича първобитен период.

2. Типичен пример за периодични функции са тригонометричните: синус, косинус и тангенс. Техният период е идентичен и равен на 2?, тоест sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) и т.н. Въпреки това, разбира се, тригонометричните функции не са изключително периодични.

3. Що се отнася до примитивните, основни функции, единственият метод за установяване на тяхната периодичност или непериодичност са изчисленията. Но за трудни функции вече има няколко примитивни правила.

4. Ако F(x) е периодична функция с период T и за нея е дефинирана производна, тогава тази производна f(x) = F?(x) също е периодична функция с период T. Стойността на производната в точка x е равно на тангенса на ъгъла на допирателната на графиката на неговата първоизводна в тази точка спрямо оста x и тъй като първоизводната се повтаря периодично, производната също трябва да се повтаря. Да кажем, че производната на функцията sin(x) е равна на cos(x) и е периодична. Вземането на производната на cos(x) ви дава –sin(x). Периодичността остава постоянна, но обратното не винаги е вярно. По този начин функцията f(x) = const е периодична, но нейната първоизводна F(x) = const*x + C не е.

5. Ако F(x) е периодична функция с период T, тогава G(x) = a*F(kx + b), където a, b и k са константи и k не е равно на нула - също е периодична функция , а периодът му е T/k. Да кажем, че sin(2x) е периодична функция и нейният период е равен на?. Това може да бъде визуално представено по следния начин: като умножите x по произволно число, вие изглежда компресирате графиката на функцията хоризонтално точно толкова пъти

6. Ако F1(x) и F2(x) са периодични функции и техните периоди са равни съответно на T1 и T2, тогава сумата от тези функции също може да бъде периодична. Неговият период обаче няма да бъде лесен сбор от периоди T1 и T2. Ако резултатът от деленето T1/T2 е разумно число, тогава сумата от функциите е периодична и нейният период е равен на най-малкото универсално кратно (LCM) на периодите T1 и T2. Да речем, че ако периодът на първата функция е 12, а периодът на втората е 15, тогава периодът на тяхната сума ще бъде равен на LCM (12, 15) = 60. Това може да бъде визуално представено по следния начин: функции идват с различни „ширини на стъпките“, но ако съотношението между техните ширини е смислено, тогава рано или късно (или по-скоро, точно чрез LCM на стъпките), те отново ще станат равни и тяхната сума ще започне новия период.

7. Въпреки това, ако съотношението на периодите е ирационално, тогава общата функция изобщо няма да бъде периодична. Да кажем, нека F1(x) = x mod 2 (остатъкът от деленето на x на 2) и F2(x) = sin(x). T1 тук ще бъде равно на 2, а T2 ще бъде равно на 2?. Равно ли е отношението на периода? - ирационално число. Следователно функцията sin(x) + x mod 2 не е периодична.

Много математически функции имат една специфична характеристика, която ги прави по-лесни за конструиране - това е периодичност, тоест повторяемостта на графиката върху координатна мрежа на равни интервали.

Инструкции

1. Най-известните периодични функции в математиката са синус и косинус. Тези функции имат вълнообразен характер и период на завъртане, равен на 2P. Също така специален случай на периодична функция е f(x)=const. Всяко число се вписва в позиция x; тази функция няма главна точка, защото е права линия.

2. Като цяло, една функция е периодична, ако има цяло число N, което е различно от нула и отговаря на правилото f(x)=f(x+N), като по този начин се гарантира повторяемост. Периодът на функция е най-малкото число N, но не нула. Тоест, да речем, функцията sin x е равна на функцията sin (x+2ПN), където N=±1, ±2 и т.н.

3. Понякога дадена функция може да има множител (да речем sin 2x), който ще увеличи или намали периода на функцията. За да откриете периода по графики, трябва да определите екстремумите на функцията - най-високата и най-ниската точка на графиката на функцията. Тъй като синусоидалните и косинусовите вълни имат вълнообразна природа, това е доста лесно да се направи. От тези точки изградете перпендикулярни прави линии, докато се пресекат с оста X.

4. Разстоянието от горния екстремум до долния ще бъде половината от периода на функцията. По-удобно е за всеки да изчисли периода от пресечната точка на графиката с оста Y и съответно нулевата маркировка на оста x. След това трябва да умножите получената стойност по две и да получите периода на завъртане на функцията.

5. За да улесните начертаването на синусови и косинусови криви, трябва да имате предвид, че ако функцията има цяло число, нейният период ще се удължи (т.е. 2P трябва да се умножи по този индикатор) и графиката ще изглежда по-мека и гладка ; и ако числото е дробно, напротив, то ще намалее и графиката ще стане по-„остра“, скокообразна на вид.

Видео по темата

Инструкции

Най-малко положителен Периодкосинус също е равен на 2?. Помислете за доказателството за това с пример функции y=cos(x). Ако T е произволно Период om косинус, тогава cos(a+T)=cos(a). В случай, че a=0, cos(T)=cos(0)=1. С оглед на това най-малката положителна стойност на T, при която cos(x) = 1, е 2?.

Имайки предвид факта, че 2? – Периодсинус и косинус, също ще бъде Периодом котангенс, както и тангенс, но не минимален, тъй като, като , най-малкото положително Периодтангенс и котангенс са равни?. Можете да проверите това, като разгледате следното: точките, съответстващи на (x) и (x+?) на тригонометричната окръжност, имат диаметрално противоположни местоположения. Разстоянието от точка (x) до точка (x+2?) съответства на половин окръжност. По дефиниция на тангенс и котангенс tg(x+?)=tgx и ctg(x+?)=ctgx, което означава най-малкото положително Периодкотангенс и ?.

Забележка

Не бъркайте функциите y=cos(x) и y=sin(x) - имайки еднакъв период, тези функции се представят по различен начин.

Полезен съвет

За по-голяма яснота начертайте тригонометрична функция, за която се изчислява най-малкият положителен период.

източници:

• Ръководство по математика, училищна математика, висша математика

Тригонометричен функции периодичен, тоест те се повтарят след определен период. Благодарение на това е достатъчно да се изследва функцията на този интервал и да се разширят намерените свойства за всички останали периоди.

Инструкции

За да намерите периода на тригонометрична функция, повдигната на степен, оценете паритета на степента. Да се ​​намали стандартният период наполовина. Например, ако ви е дадена функцията y=3 cos^2x, тогава стандартният период 2P ще намалее с 2 пъти, така че периодът ще бъде равен на P. Моля, имайте предвид, че функциите tg, ctg са периодични на P спрямо всеки степен.

От училищните уроци по математика всеки си спомня синусоидална графика, простираща се в далечината на равномерни вълни. Много други функции имат подобно свойство - повтаряне след определен интервал. Те се наричат ​​периодични. Периодичността е много важно свойство на функцията, което често се среща в различни задачи. Следователно е полезно да можете да определите дали дадена функция е периодична.

Инструкции

Ако F(x) е функция на аргумента x, тогава тя се нарича периодична, ако има число T такова, че за всяко x F(x + T) = F(x). Това число T се нарича период на функцията.

Може да има няколко периода. Например функцията F = const приема една и съща стойност за всяка стойност на аргумента и следователно всяко число може да се счита за негов период.

Математиците обикновено се интересуват от най-малкия ненулев период на функция. За краткост се нарича просто период.

Класически пример за периодични функции е тригонометричният: синус, косинус и тангенс. Техният период е еднакъв и равен на 2?, тоест sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) и т.н. Но, разбира се, тригонометричните функции не са единствените периодични.

За простите основни функции единственият начин да се определи дали са периодични или непериодични е чрез изчисление. Но за сложни функции вече има няколко прости правила.

Ако F(x) е периодична функция с период T и за нея е дефинирана производна, тогава тази производна f(x) = F?(x) също е периодична функция с период T. В крайна сметка стойността на производната в точка x е равна на тангенса на графиката на допирателния ъгъл нейната антипроизводна в тази точка спрямо оста x и тъй като антипроизводната се повтаря периодично, производната също трябва да се повтаря. Например, производната на функцията sin(x) е равна на cos(x) и е периодична. Вземането на производната на cos(x) ви дава –sin(x). Честотата остава непроменена.

Обратното обаче не винаги е вярно. По този начин функцията f(x) = const е периодична, но нейната първоизводна F(x) = const*x + C не е.

Ако F(x) е периодична функция с период T, тогава G(x) = a*F(kx + b), където a, b и k са константи и k не е равно на нула - също е периодична функция , а периодът му е T/k. Например sin(2x) е периодична функция и нейният период е равен на?. Това може да бъде визуално представено по следния начин: като умножите x по някакво число, вие изглежда компресирате графиката на функцията хоризонтално точно толкова пъти

Ако F1(x) и F2(x) са периодични функции и техните периоди са равни съответно на T1 и T2, тогава сумата от тези функции също може да бъде периодична. Неговият период обаче няма да бъде проста сума от периоди T1 и T2. Ако резултатът от деленето T1/T2 е рационално число, тогава сумата от функциите е периодична и нейният период е равен на най-малкото общо кратно (LCM) на периодите T1 и T2. Например, ако периодът на първата функция е 12, а периодът на втората е 15, тогава периодът на тяхната сума ще бъде равен на LCM (12, 15) = 60.

Това може да бъде визуално представено по следния начин: функциите идват с различни „ширини на стъпките“, но ако съотношението на техните ширини е рационално, тогава рано или късно (или по-скоро, точно чрез LCM на стъпките), те отново ще станат равни и тяхната сума ще започне нов период.

Въпреки това, ако съотношението на периодите е ирационално, тогава общата функция изобщо няма да бъде периодична. Например, нека F1(x) = x mod 2 (остатъкът, когато x е разделено на 2), и F2(x) = sin(x). T1 тук ще бъде равно на 2, а T2 ще бъде равно на 2?. Равно ли е отношението на периода? - ирационално число. Следователно функцията sin(x) + x mod 2 не е периодична.

Много математически функции имат една характеристика, която ги прави по-лесни за конструиране: периодичност, т.е. повторяемостта на графиката върху координатна мрежа на равни интервали.

Инструкции

Най-известните периодични функции в математиката са функциите синус и косинус. Тези функции имат вълнообразен характер и основен период 2P. Също така специален случай на периодична функция е f(x)=const. Всяко число е подходящо за позиция x; тази функция няма главна точка, тъй като е права линия.

Като цяло, една функция е периодична, ако има цяло число N, което е различно от нула и отговаря на правилото f(x)=f(x+N), като по този начин се гарантира повторяемост. Периодът на функция е най-малкото число N, но не нула. Тоест например функцията sin x е равна на функцията sin (x+2ПN), където N=±1, ±2 и т.н.

Понякога дадена функция може да има множител (например sin 2x), който ще увеличи или намали периода на функцията. За да намерите периода по графики, е необходимо да се определят екстремумите на функцията - най-високата и най-ниската точка на графиката на функцията. Тъй като синусоидите и косинусите имат вълнообразна природа, това е доста лесно да се направи. От тези точки изградете перпендикулярни прави линии, докато се пресекат с оста X.

Разстоянието от горния екстремум до долния ще бъде половината от периода на функцията. Най-удобно е да се изчисли периодът от пресечната точка на графиката с оста Y и съответно нулевата маркировка на оста x. След това трябва да умножите получената стойност по две и да получите основния период на функцията.

За да се опрости изграждането на синусови и косинусови графики, трябва да се отбележи, че ако функцията има цяло число, нейният период ще се удължи (т.е. 2P трябва да се умножи по този коефициент) и графиката ще изглежда по-мека, по-гладка - и ако числото е дробно, напротив, то ще намалее и графиката ще стане по-„остра“ и скоклива на вид.

Как да изследваме функция и да изградим нейната графика?

Като че ли започвам да разбирам духовно проницателния лик на вожда на световния пролетариат, автор на събрани съчинения в 55 тома... Дългото пътуване започна с основна информация за функции и графики, а сега работата по трудоемка тема завършва с логичен резултат – статия за цялостно изследване на функцията. Дългоочакваната задача е формулирана по следния начин:

Изучете функция с помощта на методи на диференциално смятане и изградете нейната графика въз основа на резултатите от изследването

Или накратко: разгледайте функцията и изградете графика.

Защо да изследваме?В прости случаи няма да ни е трудно да разберем елементарните функции и да начертаем графика, получена с помощта на елементарни геометрични трансформациии така нататък. Свойствата и графичните представяния на по-сложни функции обаче далеч не са очевидни, поради което е необходимо цялостно изследване.

Основните стъпки на решението са обобщени в референтния материал Схема за изследване на функцията, това е вашето ръководство за раздела. Манекените се нуждаят от стъпка по стъпка обяснение на дадена тема, някои читатели не знаят откъде да започнат или как да организират своето изследване, а напредналите студенти може да се интересуват само от няколко точки. Но който и да сте, скъпи посетителю, предложеното резюме с указатели към различни уроци бързо ще ви ориентира и насочи в посоката, която ви интересува. Роботите ронят сълзи =) Ръководството беше представено като pdf файл и зае полагащото му се място на страницата Математически формули и таблици.

Свикнал съм да разделям изследването на функция на 5-6 точки:

6) Допълнителни точки и графика въз основа на резултатите от изследването.

Що се отнася до крайното действие, мисля, че всичко е ясно за всички - ще бъде много разочароващо, ако след няколко секунди то бъде задраскано и задачата бъде върната за преработка. ПРАВИЛЕН И ТОЧЕН ЧЕРТЕЖ е основният резултат от решението! Има вероятност да „прикрие“ аналитичните грешки, докато неправилният и/или невнимателен график ще създаде проблеми дори при перфектно проведено изследване.

Трябва да се отбележи, че в други източници броят на изследователските точки, редът на тяхното изпълнение и стилът на проектиране може да се различават значително от предложената от мен схема, но в повечето случаи това е напълно достатъчно. Най-простата версия на проблема се състои само от 2-3 етапа и е формулирана по следния начин: „изследване на функцията с помощта на производната и изграждане на графика“ или „изследване на функцията с помощта на 1-ви и 2-ри производни, изграждане на графика“.

Естествено, ако вашето ръководство описва подробно друг алгоритъм или вашият учител стриктно изисква да се придържате към неговите лекции, тогава ще трябва да направите някои корекции в решението. Не по-трудно от замяната на вилицата на резачката с лъжица.

Нека проверим функцията за четно/нечетно:

Това е последвано от шаблонен отговор:
, което означава, че тази функция не е четна или нечетна.

Тъй като функцията е непрекъсната на , няма вертикални асимптоти.

Няма и наклонени асимптоти.

Забележка : Напомням ви, че по-високото ред на растеж, отколкото , следователно крайната граница е точно „ плюсбезкрайност."

Нека разберем как се държи функцията в безкрайност:

С други думи, ако отидем надясно, тогава графиката отива безкрайно нагоре, ако отидем наляво, тя отива безкрайно надолу. Да, има и два лимита за един запис. Ако имате затруднения с дешифрирането на знаците, моля, посетете урока за безкрайно малки функции.

Така че функцията не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу. Като се има предвид, че нямаме точки на прекъсване, става ясно функционален диапазон: – също всяко реално число.

ПОЛЕЗНА ТЕХНИЧЕСКА ТЕХНИКА

Всеки етап от задачата носи нова информация за графиката на функцията, следователно, по време на решението е удобно да се използва вид LAYOUT. Нека начертаем декартова координатна система върху чернова. Какво вече се знае със сигурност? Първо, графиката няма асимптоти, следователно няма нужда да рисувате прави линии. Второ, знаем как се държи функцията в безкрайност. Според анализа правим първо приближение:

Моля, имайте предвид, че поради приемствености факта, че графиката трябва да пресича оста поне веднъж. Или може би има няколко пресечни точки?

3) Нули на функцията и интервали с постоянен знак.

Първо, нека намерим пресечната точка на графиката с ординатната ос. Просто е. Необходимо е да се изчисли стойността на функцията при:

Един и половина надморска височина.

За да намерим точките на пресичане с оста (нули на функцията), трябва да решим уравнението и тук ни очаква неприятна изненада:

Има свободен член, който дебне в края, което прави задачата много по-трудна.

Такова уравнение има поне един реален корен и най-често този корен е ирационален. В най-лошата приказка ни очакват трите прасенца. Уравнението е разрешимо с помощта на т.нар Кардано формули, но увреждането на хартията е сравнимо с почти цялото изследване. В това отношение е по-разумно да се опитате да изберете поне един, устно или на чернова. цялокорен. Нека проверим дали тези числа са:
- неподходящ;
- Има!

Късметлия тук. В случай на неуспех можете също да тествате и ако тези числа не пасват, страхувам се, че има много малък шанс за печелившо решение на уравнението. Тогава е по-добре да пропуснете напълно изследователската точка - може би нещо ще стане по-ясно на последната стъпка, когато ще бъдат пробити допълнителни точки. И ако коренът (ите) е очевидно „лош“, тогава е по-добре да останете скромно мълчаливи за интервалите на постоянство на знаците и да рисувате по-внимателно.

Въпреки това имаме красив корен, така че разделяме полинома без остатък:

Алгоритъмът за деление на полином на полином е разгледан подробно в първия пример от урока Комплексни граници.

В резултат на това лявата страна на първоначалното уравнение се разлага на продукта:

А сега малко за здравословния начин на живот. Разбира се, разбирам това квадратни уравнениятрябва да се решава всеки ден, но днес ще направим изключение: уравнението има два реални корена.

Нека начертаем намерените стойности на числовата ос И интервален методНека дефинираме признаците на функцията:


Така на интервали графикът се намира
под оста x и на интервалите – над тази ос.

Констатациите ни позволяват да прецизираме нашето оформление и второто приближение на графиката изглежда така:

Моля, обърнете внимание, че една функция трябва да има поне един максимум на интервал и поне един минимум на интервал. Но все още не знаем колко пъти, къде и кога графикът ще се завърти. Между другото, една функция може да има безкрайно много крайности.

4) Нарастване, намаляване и екстремуми на функцията.

Нека намерим критичните точки:

Това уравнение има два реални корена. Нека ги поставим на числовата ос и определим знаците на производната:


Следователно функцията се увеличава с и намалява с .
В момента функцията достига своя максимум: .
В момента функцията достига минимум: .

Установените факти поставят нашия шаблон в доста твърда рамка:

Излишно е да казвам, че диференциалното смятане е мощно нещо. Нека най-накрая разберем формата на графиката:

5) Изпъкналост, вдлъбнатост и точки на инфлексия.

Нека намерим критичните точки на втората производна:

Нека дефинираме знаците:


Графиката на функцията е изпъкнала на и вдлъбната на . Нека изчислим ординатата на инфлексната точка: .

Почти всичко стана ясно.

6) Остава да намерите допълнителни точки, които ще ви помогнат по-точно да изградите графика и да извършите самопроверка. В този случай те са малко, но няма да ги пренебрегнем:

Да направим чертежа:

Точката на инфлексия е маркирана в зелено, допълнителни точки са маркирани с кръстове. Графиката на кубична функция е симетрична спрямо нейната инфлексна точка, която винаги е разположена точно в средата между максимума и минимума.

С напредването на задачата предоставих три хипотетични междинни чертежа. На практика е достатъчно да начертаете координатна система, да маркирате намерените точки и след всяка точка на изследване мислено да прецените как може да изглежда графиката на функцията. За студентите с добро ниво на подготовка няма да е трудно да извършат такъв анализ само в главите си, без да включват чернова.

За да го решите сами:

Пример 2

Разгледайте функцията и изградете графика.

Тук всичко е по-бързо и по-забавно, приблизителен пример за окончателния дизайн в края на урока.

Изследването на дробни рационални функции разкрива много тайни:

Пример 3

Използвайте методите на диференциалното смятане, за да изследвате функция и въз основа на резултатите от изследването да построите нейната графика.

Решение: първият етап от изследването не се отличава с нищо забележително, с изключение на дупка в областта на дефиницията:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос с изключение на точката, домейн: .

, което означава, че тази функция не е четна или нечетна.

Очевидно е, че функцията е непериодична.

Графиката на функцията представлява два непрекъснати клона, разположени в лявата и дясната полуравнина - това е може би най-важният извод от точка 1.

2) Асимптоти, поведението на функция в безкрайност.

а) Използвайки едностранни граници, изследваме поведението на функцията близо до подозрителна точка, където трябва ясно да има вертикална асимптота:

Действително функциите издържат безкрайна празнинав точката
а правата линия (ос) е вертикална асимптотаграфични изкуства.

б) Да проверим дали съществуват наклонени асимптоти:

Да, прав е наклонена асимптотаграфики, ако.

Няма смисъл да анализираме границите, тъй като вече е ясно, че функцията обхваща своята наклонена асимптота не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу.

Втората изследователска точка даде много важна информация за функцията. Нека направим груба скица:

Извод № 1 се отнася до интервали с постоянен знак. При „минус безкрайност“ графиката на функцията е ясно разположена под оста x, а при „плюс безкрайност“ е над тази ос. В допълнение, едностранните граници ни казаха, че и отляво, и отдясно на точката функцията също е по-голяма от нула. Моля, имайте предвид, че в лявата полуравнина графиката трябва да пресича оста x поне веднъж. Може да няма никакви нули на функцията в дясната полуравнина.

Извод № 2 е, че функцията нараства от и вляво от точката (върви „отдолу нагоре“). Вдясно от тази точка функцията намалява (отива „отгоре надолу“). Десният клон на графиката със сигурност трябва да има поне един минимум. Отляво крайностите не са гарантирани.

Заключение № 3 дава надеждна информация за вдлъбнатината на графиката в близост до точката. Все още не можем да кажем нищо за изпъкналост/вдлъбнатост в безкрайности, тъй като една линия може да бъде притисната към своята асимптота както отгоре, така и отдолу. Най-общо казано, има аналитичен начин да разберете това точно сега, но формата на графиката ще стане по-ясна на по-късен етап.

Защо толкова много думи? За да контролирате следващите изследователски точки и да избегнете грешки! Допълнителните изчисления не трябва да противоречат на направените заключения.

3) Точки на пресичане на графиката с координатните оси, интервали с постоянен знак на функцията.

Графиката на функцията не пресича оста.

Използвайки интервалния метод, ние определяме знаците:

, Ако ;
, Ако .

Резултатите от тази точка са в пълно съответствие със Заключение №1. След всеки етап погледнете черновата, мислено проверете изследването и попълнете графиката на функцията.

В разглеждания пример числителят се разделя термин по термин от знаменателя, което е много полезно за диференциация:

Всъщност това вече е направено при намирането на асимптоти.

- критична точка.

Нека дефинираме знаците:

се увеличава с и намалява с

В момента функцията достига минимум: .

Нямаше и несъответствия със заключение № 2 и най-вероятно сме на прав път.

Това означава, че графиката на функцията е вдлъбната по цялата област на дефиниция.

Страхотно - и не е нужно да рисувате нищо.

Няма инфлексни точки.

Вдлъбнатостта е в съответствие с извод № 3, освен това показва, че в безкрайността (и там, и там) графиката на функцията се намира по-високнеговата наклонена асимптота.

6) Добросъвестно ще фиксираме задачата с допълнителни точки. Това е мястото, където ще трябва да работим усилено, тъй като знаем само две точки от изследването.

И една картина, която много хора вероятно са си представяли преди много време:

По време на изпълнението на задачата трябва внимателно да се уверите, че няма противоречия между етапите на изследването, но понякога ситуацията е спешна или дори отчаяно задънена. Анализите „не се събират“ - това е всичко. В този случай препоръчвам спешна техника: намираме възможно най-много точки, които принадлежат на графиката (колкото търпение имаме), и ги маркираме в координатната равнина. Графичният анализ на намерените стойности в повечето случаи ще ви каже къде е истината и къде е лъжата. В допълнение, графиката може да бъде предварително изградена с помощта на някаква програма, например в Excel (разбира се, това изисква умения).

Пример 4

Използвайте методи на диференциално смятане, за да изследвате функция и да построите нейната графика.

Това е пример, който можете да решите сами. При него самоконтролът се засилва от четността на функцията - графиката е симетрична спрямо оста и ако в изследването ви нещо противоречи на този факт, потърсете грешка.

Четна или нечетна функция може да се изучава само при и след това да се използва симетрията на графиката. Това решение е оптимално, но според мен изглежда много необичайно. Лично аз гледам цялата числова линия, но все още намирам допълнителни точки само вдясно:

Пример 5

Проведете пълно изследване на функцията и постройте нейната графика.

Решение: нещата станаха трудни:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на цялата числова ос: .

Това означава, че тази функция е нечетна, нейната графика е симетрична спрямо началото.

Очевидно е, че функцията е непериодична.

2) Асимптоти, поведението на функция в безкрайност.

Тъй като функцията е непрекъсната на , няма вертикални асимптоти

За функция, съдържаща експонента, е типично отделноизучаване на „плюс“ и „минус на безкрайността“, но животът ни е улеснен от симетрията на графиката - или има асимптота и отляво, и отдясно, или няма. Следователно и двете безкрайни граници могат да бъдат записани под един запис. По време на разтвора, който използваме Правилото на L'Hopital:

Правата линия (ос) е хоризонталната асимптота на графиката при .

Моля, обърнете внимание как хитро избегнах пълния алгоритъм за намиране на наклонената асимптота: границата е напълно законна и изяснява поведението на функцията в безкрайност, а хоризонталната асимптота беше открита „като че ли по едно и също време“.

От непрекъснатостта на и наличието на хоризонтална асимптота следва, че функцията ограничен отгореИ ограничен отдолу.

3) Точки на пресичане на графиката с координатните оси, интервали с постоянен знак.

Тук също съкращаваме решението:
Графиката минава през началото.

Няма други точки на пресичане с координатните оси. Освен това интервалите на постоянство на знака са очевидни и не е необходимо да се чертае оста: , което означава, че знакът на функцията зависи само от "x":
, Ако ;
, Ако .

4) Нарастване, намаляване, екстремуми на функцията.


– критични точки.

Точките са симетрични спрямо нулата, както трябва да бъде.

Нека определим знаците на производната:


Функцията расте на интервал и намалява на интервали

В момента функцията достига своя максимум: .

Заради имота (странността на функцията) минимумът не трябва да се изчислява:

Тъй като функцията намалява през интервала, тогава, очевидно, графиката се намира на „минус безкрайност“ поднеговата асимптота. В интервала функцията също намалява, но тук е обратното - след преминаване през максималната точка правата се доближава до оста отгоре.

От горното също следва, че графиката на функцията е изпъкнала при „минус безкрайност“ и вдлъбната при „плюс безкрайност“.

След тази точка на изследване беше изчертан диапазонът от стойности на функцията:

Ако имате някакви неразбирания по някакви точки, отново ви призовавам да начертаете координатни оси в тетрадката си и с молив в ръцете си анализирайте отново всяко заключение от задачата.

5) Изпъкналост, вдлъбнатост, прегъвания на графиката.

– критични точки.

Симетрията на точките е запазена и най-вероятно не грешим.

Нека дефинираме знаците:


Графиката на функцията е изпъкнала на и вдлъбнат на .

Изпъкналостта/вдлъбнатостта в екстремните интервали беше потвърдена.

Във всички критични точки има пречупвания в графиката. Нека намерим ординатите на точките на инфлексия и отново намалим броя на изчисленията, използвайки странността на функцията: