Деление на числа с различни степени и основи. Правило за умножение на степени с различни основи
Формули за степенизползвани в процеса на редуциране и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.
Номер ° Се н-та степен на число аКога:
Операции със степени.
1. Чрез умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели:
a m·a n = a m + n .
2. При деление на степени с еднаква основа се изваждат техните експоненти:
3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степените на тези фактори:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степента на дроб е равна на отношението на степените на делителя и делителя:
(a/b) n = a n /b n.
5. Повишаване на степен на степен, показателите се умножават:
(a m) n = a m n.
Всяка формула по-горе е вярна в посоките отляво надясно и обратно.
Например. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Операции с корени.
1. Коренът на произведението на няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:
2. Коренът на съотношението е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:
3. Когато повдигате корен на степен, достатъчно е да повдигнете радикалното число на тази степен:
4. Ако увеличите степента на корена в нведнъж и в същото време се вграждат в нта степен е радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:
5. Ако намалите степента на корена в низвлечете корена едновременно н-та степен на радикално число, тогава стойността на корена няма да се промени:
Степен с отрицателен показател.Степента на определено число с неположителен (цял) показател се определя като единица, разделена на степента на същото число с показател, равен на абсолютната стойност на неположителния показател:
Формула a m:a n =a m - nможе да се използва не само за м> н, но и с м< н.
Например. а4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
За формулиране a m:a n =a m - nстана справедливо, когато m=n, изисква се наличие на нулева степен.
Диплома с нулев индекс.Степента на всяко число, което не е равно на нула с нулев показател, е равна на едно.
Например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Степен с дробен показател.Да се вдигне реално число Адо степен м/н, трябва да извлечете корена нта степен на м-та степен на това число А.
В предишната статия обяснихме какво представляват мономите. В този материал ще разгледаме как се решават примери и задачи, в които те се използват. Тук ще разгледаме такива действия като изваждане, събиране, умножение, деление на мономи и повишаването им на степен с естествен показател. Ще покажем как се определят такива операции, ще очертаем основните правила за тяхното изпълнение и какъв трябва да бъде резултатът. Всички теоретични концепции, както обикновено, ще бъдат илюстрирани с примери на задачи с описания на решения.
Най-удобно е да работите със стандартната нотация на мономи, така че представяме всички изрази, които ще бъдат използвани в статията, в стандартна форма. Ако първоначално са били посочени по различен начин, препоръчително е първо да ги приведете в общоприета форма.
Правила за събиране и изваждане на мономи
Най-простите операции, които могат да се извършват с мономи, са изваждане и събиране. Като цяло резултатът от тези действия ще бъде полином (моном е възможен в някои специални случаи).
Когато събираме или изваждаме мономи, първо записваме съответния сбор и разлика в общоприетата форма и след това опростяваме получения израз. Ако има подобни термини, те трябва да бъдат цитирани, а скобите трябва да бъдат отворени. Нека обясним с пример.
Пример 1
Състояние:извършете събиране на мономите − 3 x и 2, 72 x 3 y 5 z.
Решение
Нека запишем сумата на оригиналните изрази. Нека добавим скоби и поставим знак плюс между тях. Ще получим следното:
(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)
Когато правим разгъването в скоби, получаваме – 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. Това е полином, записан в стандартна форма, който ще бъде резултат от събирането на тези мономи.
Отговор:(− 3 x) + (2,72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2,72 x 3 y 5 z.
Ако имаме три, четири или повече мандата, извършваме това действие по абсолютно същия начин.
Пример 2
Състояние:извършете посочените операции с полиноми в правилния ред
3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Решение
Нека започнем с отваряне на скобите.
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c
Виждаме, че полученият израз може да бъде опростен чрез добавяне на подобни термини:
3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
Имаме полином, който ще бъде резултат от това действие.
Отговор: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9
По принцип можем да събираме и изваждаме два монома, при някои ограничения, така че да получим моном. За да направите това, трябва да отговаряте на някои условия относно събираемите и извадените мономи. Ще ви разкажем как става това в отделна статия.
Правила за умножение на мономи
Действието умножение не налага никакви ограничения върху факторите. Умножените мономи не трябва да отговарят на допълнителни условия, за да бъде резултатът моном.
За да извършите умножение на мономи, трябва да изпълните следните стъпки:
- Запишете парчето правилно.
- Разгънете скобите в получения израз.
- Ако е възможно, групирайте факторите с едни и същи променливи и числови фактори поотделно.
- Извършете необходимите операции с числа и приложете свойството за умножение на степени с еднакви основи към останалите множители.
Нека да видим как това се прави на практика.
Пример 3
Състояние:умножете мономите 2 x 4 y z и - 7 16 t 2 x 2 z 11.
Решение
Нека започнем с композирането на произведението.
Отваряме скобите в него и получаваме следното:
2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11
Всичко, което трябва да направим, е да умножим числата в първите скоби и да приложим свойството на степените за вторите. В резултат на това получаваме следното:
2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14
Отговор: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .
Ако нашето условие съдържа три или повече полинома, ние ги умножаваме, като използваме абсолютно същия алгоритъм. Ще разгледаме въпроса за умножаването на мономи по-подробно в отделен материал.
Правила за повдигане на моном на степен
Знаем, че степен с естествен показател е произведението на определен брой еднакви множители. Техният брой се обозначава с цифрата в индикатора. Съгласно тази дефиниция, повдигането на моном на степен е еквивалентно на умножаването на определен брой еднакви мономи. Да видим как се прави.
Пример 4
Състояние:повдигнете монома − 2 · a · b 4 на степен 3 .
Решение
Можем да заменим степенуването с умножение на 3 монома − 2 · a · b 4 . Нека го запишем и да получим желания отговор:
(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12
Отговор:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
Но какво ще стане, ако степента има голям индикатор? Неудобно е да се записват голям брой фактори. След това, за да решим такъв проблем, трябва да приложим свойствата на една степен, а именно свойството на продуктова степен и свойството на степен в степен.
Нека решим проблема, който представихме по-горе, като използваме посочения метод.
Пример 5
Състояние:повдигнете − 2 · a · b 4 на трета степен.
Решение
Познавайки свойството степен към степен, можем да продължим към израз на следната форма:
(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .
След това повдигаме на степен - 2 и прилагаме свойството на степените към степените:
(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .
Отговор:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .
Отделна статия посветихме и на повдигането на моном на степен.
Правила за деление на мономи
Последната операция с мономи, която ще разгледаме в този материал, е деление на моном на моном. В резултат на това трябва да получим рационална (алгебрична) дроб (в някои случаи е възможно да се получи моном). Нека незабавно да изясним, че делението на монома на нула не е дефинирано, тъй като делението на 0 не е дефинирано.
За да извършим деление, трябва да запишем посочените мономи под формата на дроб и да я съкратим, ако е възможно.
Пример 6
Състояние:разделете монома − 9 · x 4 · y 3 · z 7 на − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .
Решение
Нека започнем, като запишем мономите под формата на дроб.
9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2
Тази фракция може да бъде намалена. След извършване на това действие получаваме:
3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5
Отговор:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .
Условията, при които в резултат на разделянето на мономи се получава моном, са дадени в отделна статия.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
В последния видео урок научихме, че степента на определена основа е израз, който представлява произведението на основата сама по себе си, взето в количество, равно на степента. Нека сега проучим някои от най-важните свойства и операции на степените.
Например, нека умножим две различни степени с една и съща основа:
Нека представим тази работа в нейната цялост:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
След като изчислим стойността на този израз, получаваме числото 32. От друга страна, както се вижда от същия пример, 32 може да бъде представено като произведение на същата основа (две), взето 5 пъти. И наистина, ако го преброите, тогава:
Така можем уверено да заключим, че:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Това правило работи успешно за всякакви показатели и всякакви причини. Това свойство на степенното умножение следва от правилото, че значението на изразите се запазва по време на трансформации в продукт. За всяка основа a произведението на два израза (a)x и (a)y е равно на a(x + y). С други думи, когато се създават изрази с една и съща основа, полученият моном има обща степен, образувана чрез събиране на степените на първия и втория израз.
Представеното правило работи чудесно и при умножаване на няколко израза. Основното условие е всички да имат еднакви бази. Например:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Невъзможно е да се добавят степени и дори да се извършват каквито и да било съвместни действия, базирани на мощност, с два елемента на израз, ако основите им са различни.
Както показва нашето видео, поради сходството на процесите на умножение и деление, правилата за добавяне на степени в продукт се пренасят перфектно в процедурата за деление. Помислете за този пример:
Нека трансформираме израза термин по член в неговата пълна форма и редуцираме същите елементи в дивидент и делител:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Крайният резултат от този пример не е толкова интересен, защото още в процеса на решаването му става ясно, че стойността на израза е равна на квадрат две. И това е две, което се получава чрез изваждане на степента на втория израз от степента на първия.
За да се определи степента на частното, е необходимо да се извади степента на делителя от степента на делителя. Правилото работи с една и съща основа за всички негови стойности и за всички естествени сили. Под формата на абстракция имаме:
(a) x / (a) y = (a) x - y
От правилото за деление на еднакви основи със степени следва определението за нулева степен. Очевидно следният израз изглежда така:
(a) x / (a) x = (a) (x - x) = (a) 0
От друга страна, ако направим разделянето по по-визуален начин, получаваме:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
При намаляване на всички видими елементи на дроб винаги се получава изразът 1/1, тоест единица. Следователно, общоприето е, че всяка основа, повдигната на нулева степен, е равна на единица:
Независимо от стойността на a.
Въпреки това би било абсурдно, ако 0 (което все още дава 0 за всяко умножение) по някакъв начин е равно на едно, така че израз от формата (0) 0 (нула на нулева степен) просто няма смисъл и формулата ( а) 0 = 1 добавете условие: „ако a не е равно на 0.“
Да решим упражнението. Нека намерим стойността на израза:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Тъй като основата е една и съща навсякъде и равна на 34, крайната стойност ще има същата основа със степен (според горните правила):
С други думи:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Отговор: изразът е равен на едно.
Съдържание на урокаКакво е диплома?
Степеннарича продукт на няколко еднакви фактора. Например:
2 × 2 × 2
Стойността на този израз е 8
2 × 2 × 2 = 8
Лявата страна на това равенство може да бъде съкратена - първо запишете повтарящия се фактор и посочете над него колко пъти се повтаря. Повтарящият се множител в този случай е 2. Повтаря се три пъти. Затова пишем три над двете:
2 3 = 8
Този израз гласи така: „ две на трета степен е равно на осем" или " Третата степен на 2 е 8."
Кратката форма на нотация за умножаване на еднакви множители се използва по-често. Следователно трябва да помним, че ако над число е написано друго число, това е умножение на няколко еднакви фактора.
Например, ако е даден изразът 5 3, тогава трябва да се има предвид, че този израз е еквивалентен на писане на 5 × 5 × 5.
Извиква се номерът, който се повтаря степен основа. В израза 5 3 основата на степента е числото 5.
И числото, което е написано над числото 5, се нарича експонент. В израза 5 3 показателят е числото 3. Показателят показва колко пъти се повтаря основата на показателя. В нашия случай база 5 се повтаря три пъти
Операцията за умножение на еднакви множители се нарича чрез степенуване.
Например, ако трябва да намерите произведението на четири еднакви фактора, всеки от които е равен на 2, тогава те казват, че числото е 2 повдигнати на четвърта степен:
Виждаме, че числото 2 на четвърта степен е числото 16.
Имайте предвид, че в този урок разглеждаме степени с естествен показател. Това е вид степен, чийто показател е естествено число. Припомнете си, че естествените числа са цели числа, които са по-големи от нула. Например 1, 2, 3 и така нататък.
Като цяло дефиницията на степен с естествен показател изглежда така:
Степен на ас естествен показател не израз на формата a n, което е равно на произведението нфактори, всеки от които е равен а
Примери:
Трябва да внимавате, когато повишавате число на степен. Често, поради невнимание, човек умножава основата на експонента по експонента.
Например числото 5 на втора степен е произведение на два фактора, всеки от които е равен на 5. Това произведение е равно на 25
Сега си представете, че по невнимание сме умножили основа 5 по степен 2
Възникна грешка, защото числото 5 на втора степен не е равно на 10.
Освен това трябва да се спомене, че степента на число с показател 1 е самото число:
Например числото 5 на първа степен е самото число 5
Съответно, ако числото няма индикатор, тогава трябва да приемем, че индикаторът е равен на единица.
Например, числата 1, 2, 3 са дадени без показател, така че техните показатели ще бъдат равни на единица. Всяко от тези числа може да бъде записано със степен 1
И ако повдигнете 0 на някаква степен, получавате 0. Наистина, без значение колко пъти умножавате нещо по самото себе си, не получавате нищо. Примери:
И изразът 0 0 няма смисъл. Но в някои клонове на математиката, по-специално анализа и теорията на множествата, изразът 0 0 може да има смисъл.
За практика нека решим няколко примера за повишаване на числата на степени.
Пример 1.Повишете числото 3 на втора степен.
Числото 3 на втора степен е произведението на два множителя, всеки от които е равен на 3
3 2 = 3 × 3 = 9
Пример 2.Повишете числото 2 на четвърта степен.
Числото 2 на четвърта степен е произведението на четири множителя, всеки от които е равен на 2
2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Пример 3.Повишете числото 2 на трета степен.
Числото 2 на трета степен е произведението на три множителя, всеки от които е равен на 2
2 3 = 2 × 2 × 2 = 8
Повдигане на числото 10 на степен
За да повдигнете числото 10 на степен, е достатъчно да добавите след единица брой нули, равни на степента.
Например, нека повдигнем числото 10 на втора степен. Първо записваме самото число 10 и посочваме числото 2 като индикатор
10 2
Сега поставяме знак за равенство, пишем едно и след това пишем две нули, тъй като броят на нулите трябва да е равен на степента
10 2 = 100
Това означава, че числото 10 на втора степен е числото 100. Това се дължи на факта, че числото 10 на втора степен е произведение на два фактора, всеки от които е равен на 10
10 2 = 10 × 10 = 100
Пример 2. Нека повдигнем числото 10 на трета степен.
В този случай след единицата ще има три нули:
10 3 = 1000
Пример 3. Нека повдигнем числото 10 на четвърта степен.
В този случай ще има четири нули след единицата:
10 4 = 10000
Пример 4. Нека повдигнем числото 10 на първа степен.
В този случай ще има една нула след единица:
10 1 = 10
Представяне на числата 10, 100, 1000 като степени с основа 10
За да представите числата 10, 100, 1000 и 10 000 като степен с основа 10, трябва да запишете основата 10 и като показател да посочите число, равно на броя нули на оригиналното число.
Нека си представим числото 10 като степен с основа 10. Виждаме, че то има една нула. Това означава, че числото 10 като степен с основа 10 ще бъде представено като 10 1
10 = 10 1
Пример 2. Нека си представим числото 100 като степен с основа 10. Виждаме, че числото 100 съдържа две нули. Това означава, че числото 100 като степен с основа 10 ще бъде представено като 10 2
100 = 10 2
Пример 3. Нека представим числото 1000 като степен с основа 10.
1 000 = 10 3
Пример 4. Нека представим числото 10 000 като степен с основа 10.
10 000 = 10 4
Повдигане на отрицателно число на степен
Когато повдигате отрицателно число на степен, то трябва да бъде оградено в скоби.
Например, нека повдигнем отрицателното число −2 на втора степен. Числото −2 на втора степен е произведението на два фактора, всеки от които е равен на (−2)
(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4
Ако не оградим числото −2 в скоби, ще излезе, че пресмятаме израза −2 2, който не е равно 4 . Изразът −2² ще бъде равен на −4. За да разберем защо, нека се докоснем до някои точки.
Когато поставим минус пред положително число, ние по този начин изпълняваме операция за вземане на противоположната стойност.
Да приемем, че ви е дадено числото 2 и трябва да намерите противоположното му число. Знаем, че обратното на 2 е −2. С други думи, за да намерите обратното число за 2, просто поставете минус пред това число. Вмъкването на минус преди число вече се счита за пълноценна операция в математиката. Тази операция, както е посочено по-горе, се нарича операция за вземане на противоположната стойност.
В случая на израза −2 2 възникват две операции: операцията за вземане на противоположната стойност и повишаването й на степен. Повишаването на степен има по-висок приоритет от вземането на противоположната стойност.
Следователно изразът −2 2 се изчислява на два етапа. Първо се извършва операцията за степенуване. В този случай положителното число 2 беше повдигнато на втора степен
Тогава беше взета обратната стойност. Тази противоположна стойност беше намерена за стойността 4. А противоположната стойност за 4 е −4
−2 2 = −4
Скобите имат най-висок приоритет на изпълнение. Следователно, в случай на изчисляване на израза (−2) 2, първо се взема противоположната стойност и след това отрицателното число −2 се повишава на втора степен. Резултатът е положителен отговор 4, тъй като произведението на отрицателните числа е положително число.
Пример 2. Повишете числото −2 на трета степен.
Числото −2 на трета степен е произведението на три фактора, всеки от които е равен на (−2)
(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8
Пример 3. Повишете числото −2 на четвърта степен.
Числото −2 на четвърта степен е произведението на четири фактора, всеки от които е равен на (−2)
(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16
Лесно е да се види, че когато повдигнете отрицателно число на степен, можете да получите или положителен, или отрицателен отговор. Знакът на отговора зависи от индекса на първоначалната степен.
Ако показателят е четен, тогава отговорът ще бъде положителен. Ако показателят е нечетен, отговорът ще бъде отрицателен. Нека покажем това с примера на числото −3
В първия и третия случай индикаторът беше страннономер, така че отговорът стана отрицателен.
Във втория и четвъртия случай индикаторът беше дориномер, така че отговорът стана положителен.
Пример 7.Повдигнете −5 на трета степен.
Числото −5 на трета степен е произведението на три множителя, всеки от които е равен на −5. Експонента 3 е нечетно число, така че можем да кажем предварително, че отговорът ще бъде отрицателен:
(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
Пример 8.Повдигнете −4 на четвърта степен.
Числото −4 на четвърта степен е произведението на четири множителя, всеки от които е равен на −4. Освен това експонент 4 е четен, така че можем да кажем предварително, че отговорът ще бъде положителен:
(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256
Намиране на стойности на израз
При намиране на стойностите на изрази, които не съдържат скоби, първо ще се извърши степенуване, последвано от умножение и деление в реда, в който се появяват, и след това събиране и изваждане в реда, в който се появяват.
Пример 1. Намерете стойността на израза 2 + 5 2
Първо се извършва степенуване. В този случай числото 5 се повдига на втора степен - получаваме 25. След това този резултат се добавя към числото 2
2 + 5 2 = 2 + 25 = 27
Пример 10. Намерете стойността на израза −6 2 × (−12)
Първо се извършва степенуване. Обърнете внимание, че числото −6 не е в скоби, така че числото 6 ще бъде повдигнато на втора степен, след което пред резултата ще бъде поставен минус:
−6 2 × (−12) = −36 × (−12)
Завършваме примера, като умножаваме −36 по (−12)
−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432
Пример 11. Намерете стойността на израза −3 × 2 2
Първо се извършва степенуване. След това полученият резултат се умножава по числото −3
−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12
Ако изразът съдържа скоби, тогава първо трябва да извършите операциите в тези скоби, след това степенуване, след това умножение и деление и след това събиране и изваждане.
Пример 12. Намерете стойността на израза (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5
Първо изпълняваме действията в скоби. Вътре в скобите прилагаме научените по-рано правила, а именно първо повдигаме числото 3 на втора степен, след това умножаваме 1 × 3, след което добавяме резултатите от повишаване на числото 3 на втора степен и умножаването на 1 × 3 . След това изваждането и събирането се извършват в реда, в който се показват. Нека организираме следния ред за изпълнение на действието върху оригиналния израз:
(3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2
Пример 13. Намерете стойността на израза 2 × 5 3 + 5 × 2 3
Първо, нека повдигнем числата на степени, след това умножим и съберем резултатите:
2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290
Идентични мощностни трансформации
Различни трансформации на самоличността могат да бъдат извършени върху правомощията, като по този начин те се опростяват.
Да кажем, че трябва да изчислим израза (2 3) 2. В този пример две на трета степен се повдига на втора степен. С други думи, една степен се повишава на друга степен.
(2 3) 2 е произведението на две степени, всяка от които е равна на 2 3
Освен това всяка от тези степени е произведение на три фактора, всеки от които е равен на 2
Получихме произведението 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, което е равно на 64. Това означава стойността на израза (2 3) 2 или равно на 64
Този пример може да бъде значително опростен. За да направите това, показателите на израза (2 3) 2 могат да бъдат умножени и този продукт да бъде записан върху основа 2
Получихме 26. Две на шеста степен е произведението на шест множителя, всеки от които е равен на 2. Това произведение е равно на 64
Това свойство работи, защото 2 3 е произведението на 2 × 2 × 2, което от своя страна се повтаря два пъти. Тогава се оказва, че основа 2 се повтаря шест пъти. От тук можем да запишем, че 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 е 2 6
Като цяло, по всякаква причина ас индикатори мИ н, важи следното равенство:
(a n)m = a n × m
Тази идентична трансформация се нарича издигане на степен на степен. Може да се прочете така: „Когато повишаваме степен на степен, основата остава непроменена, а показателите се умножават“ .
След умножаване на индикаторите получавате друга степен, чиято стойност може да бъде намерена.
Пример 2. Намерете стойността на израза (3 2) 2
В този пример основата е 3, а числата 2 и 2 са степени. Нека използваме правилото за повдигане на степен на степен. Ще оставим основата непроменена и ще умножим индикаторите:
Имаме 34. А числото 3 на четвърта степен е 81
Нека разгледаме останалите трансформации.
Умножителни степени
За да умножите степени, трябва отделно да изчислите всяка степен и да умножите резултатите.
Например, нека умножим 2 2 по 3 3.
2 2 е числото 4, а 3 3 е числото 27. Умножете числата 4 и 27, получаваме 108
2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108
В този пример базите за степени са различни. Ако основите са еднакви, тогава можете да запишете една база и да запишете сумата от показателите на оригиналните градуси като индикатор.
Например, умножете 2 2 по 2 3
В този пример основите за градусите са еднакви. В този случай можете да запишете една основа 2 и да запишете сумата от показателите на степени 2 2 и 2 3 като показател. С други думи, оставете основата непроменена и добавете показателите на първоначалните степени. Ще изглежда така:
Получихме 25. Числото 2 на пета степен е 32
Това свойство работи, защото 2 2 е произведение от 2 × 2, а 2 3 е произведение от 2 × 2 × 2. Тогава получаваме произведение от пет еднакви множителя, всеки от които е равен на 2. Този продукт може да бъде представен като 2 5
Като цяло, за всеки аи индикатори мИ нважи следното равенство:
Тази идентична трансформация се нарича основно свойство степен. Може да се прочете така: „ ПКогато се умножават степени с еднакви основи, основата остава непроменена, а показателите се добавят.“ .
Имайте предвид, че тази трансформация може да се приложи към произволен брой степени. Основното е, че основата е една и съща.
Например, нека намерим стойността на израза 2 1 × 2 2 × 2 3. Основа 2
В някои задачи може да е достатъчно да се извърши подходящата трансформация, без да се изчислява крайната степен. Това разбира се е много удобно, тъй като изчисляването на големи мощности не е толкова лесно.
Пример 1. Изразете като степен израза 5 8 × 25
В тази задача трябва да се уверите, че вместо израза 5 8 × 25 получавате една степен.
Числото 25 може да бъде представено като 5 2. Тогава получаваме следния израз:
В този израз можете да приложите основното свойство на степента - оставете основата 5 непроменена и добавете експонентите 8 и 2:
Нека запишем накратко решението:
Пример 2. Изразете като степен израза 2 9 × 32
Числото 32 може да бъде представено като 2 5. Тогава получаваме израза 2 9 × 2 5. След това можете да приложите основното свойство на степента - оставете основа 2 непроменена и добавете експоненти 9 и 5. Резултатът ще бъде следното решение:
Пример 3. Изчислете произведението 3 × 3, като използвате основното свойство на степените.
Всеки знае добре, че три по три е равно на девет, но задачата изисква да се използва основното свойство на степените в решението. Как да го направим?
Припомняме, че ако дадено число е дадено без индикатор, тогава индикаторът трябва да се счита за равен на единица. Следователно факторите 3 и 3 могат да бъдат записани като 3 1 и 3 1
3 1 × 3 1
Сега нека използваме основното свойство степен. Оставяме основа 3 непроменена и събираме показатели 1 и 1:
3 1 × 3 1 = 3 2 = 9
Пример 4. Изчислете произведението 2 × 2 × 3 2 × 3 3, като използвате основното свойство на степените.
Заменяме произведението 2 × 2 с 2 1 × 2 1, след това с 2 1 + 1 и след това с 2 2. Заменете произведението 3 2 × 3 3 с 3 2 + 3 и след това с 3 5
Пример 5. Извършете умножение x × x
Това са два еднакви буквени фактора с показатели 1. За по-голяма яснота нека запишем тези показатели. Следва основата хНека го оставим непроменен и сумираме показателите:
Докато сте на дъската, не трябва да записвате умножението на степени с еднакви основи толкова подробно, колкото се прави тук. Такива изчисления трябва да се правят в главата ви. Подробната бележка най-вероятно ще подразни учителя и той ще намали оценката за това. Тук е даден подробен запис, за да направи материала възможно най-лесен за разбиране.
Препоръчително е да напишете решението на този пример, както следва:
Пример 6. Извършете умножение х 2 × x
Показателят на втория множител е равен на едно. За по-голяма яснота нека го запишем. След това ще оставим основата непроменена и ще добавим индикаторите:
Пример 7. Извършете умножение г 3 г 2 г
Показателят на третия множител е равен на едно. За по-голяма яснота нека го запишем. След това ще оставим основата непроменена и ще добавим индикаторите:
Пример 8. Извършете умножение аа 3 а 2 а 5
Показателят на първия множител е равен на едно. За по-голяма яснота нека го запишем. След това ще оставим основата непроменена и ще добавим индикаторите:
Пример 9. Представете степента 3 8 като произведение на степени с еднакви основи.
В този проблем трябва да създадете произведение от степени, чиито основи ще бъдат равни на 3, а сумата от чиито показатели ще бъде равна на 8. Могат да се използват всякакви индикатори. Нека представим степента 3 8 като произведение на степените 3 5 и 3 3
В този пример отново разчитаме на основното свойство степен. В крайна сметка изразът 3 5 × 3 3 може да бъде записан като 3 5 + 3, откъдето 3 8.
Разбира се, беше възможно да се представи степента 3 8 като продукт на други мощности. Например във формата 3 7 × 3 1, тъй като този продукт също е равен на 3 8
Представянето на степен като продукт на степени с еднакви основи е най-вече творческа работа. Следователно не е необходимо да се страхувате да експериментирате.
Пример 10. Изпратете степен х 12 под формата на различни произведения на степени с бази х .
Нека използваме основното свойство на степените. Нека си представим х 12 под формата на продукти с основи х, а сумата от показателите е 12
Конструкти със суми от индикатори бяха записани за яснота. Най-често можете да ги пропуснете. Тогава получавате компактно решение:
Издигане на степен на продукт
За да повдигнете продукт на степен, трябва да повдигнете всеки множител на този продукт на определената степен и да умножите резултатите.
Например, нека повдигнем произведението 2 × 3 на втора степен. Нека вземем този продукт в скоби и посочим 2 като индикатор
Сега нека повдигнем всеки фактор от произведението 2 × 3 на втора степен и да умножим резултатите:
Принципът на действие на това правило се основава на определението за степен, което беше дадено в самото начало.
Повдигането на произведението 2 × 3 на втора степен означава повторение на произведението два пъти. И ако го повторите два пъти, можете да получите следното:
2 × 3 × 2 × 3
Пренареждането на местата на факторите не променя продукта. Това ви позволява да групирате подобни фактори:
2 × 2 × 3 × 3
Повтарящите се фактори могат да бъдат заменени с кратки записи - бази с индикатори. Продуктът 2 × 2 може да бъде заменен с 2 2, а продуктът 3 × 3 може да бъде заменен с 3 2. Тогава изразът 2 × 2 × 3 × 3 става изразът 2 2 × 3 2.
Позволявам аборигинална работа. Да повдигне даден продукт на степен н, трябва да умножите факторите поотделно аИ bдо определената степен н
Това свойство е вярно за произволен брой фактори. Следните изрази също са валидни:
Пример 2. Намерете стойността на израза (2 × 3 × 4) 2
В този пример трябва да повдигнете произведението 2 × 3 × 4 на втора степен. За да направите това, трябва да повдигнете всеки фактор на този продукт на втора степен и да умножите резултатите:
Пример 3. Повдигнете продукта на трета степен a×b×c
Нека оградим този продукт в скоби и посочим цифрата 3 като индикатор
Пример 4. Повдигнете произведението 3 на трета степен xyz
Нека оградим този продукт в скоби и посочим 3 като индикатор
(3xyz) 3
Нека повдигнем всеки множител на този продукт на трета степен:
(3xyz) 3 = 3 3 х 3 г 3 z 3
Числото 3 на трета степен е равно на числото 27. Останалото ще оставим непроменено:
(3xyz) 3 = 3 3 х 3 г 3 z 3 = 27х 3 г 3 z 3
В някои примери умножението на степени с еднакви показатели може да бъде заменено с произведение на основи с еднакви показатели.
Например, нека изчислим стойността на израза 5 2 × 3 2. Нека повдигнем всяко число на втора степен и умножим резултатите:
5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225
Но не е нужно да изчислявате всяка степен поотделно. Вместо това, това произведение от степени може да бъде заменено с произведение с един показател (5 × 3) 2 . След това изчислете стойността в скоби и повдигнете резултата на втора степен:
5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225
В този случай отново е използвано правилото за степенуване на продукт. В крайна сметка, ако (a×b)н = a n × b n , Че a n × b n = (a × b) n. Тоест лявата и дясната страна на равенството са разменили местата си.
Повишаване на степен на степен
Разгледахме тази трансформация като пример, когато се опитахме да разберем същността на идентичните трансформации на степени.
При повишаване на степен на степен, основата се оставя непроменена, а показателите се умножават:
(a n)m = a n × m
Например изразът (2 3) 2 е степен, повдигната на степен - две на трета степен се повдига на втора степен. За да се намери стойността на този израз, основата може да се остави непроменена и показателите могат да се умножат:
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6
(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64
Това правило се основава на предишните правила: степенуване на продукта и основното свойство на степента.
Да се върнем към израза (2 3) 2. Изразът в скоби 2 3 е произведение на три еднакви множителя, всеки от които е равен на 2. Тогава в израза (2 3) степента 2 вътре в скобите може да бъде заменена с произведението 2 × 2 × 2.
(2 × 2 × 2) 2
И това е степенуването на продукта, който изследвахме по-рано. Нека си припомним, че за да повдигнете продукт на степен, трябва да повдигнете всеки фактор на даден продукт на посочената степен и да умножите получените резултати:
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2
Сега се занимаваме с основното свойство степен. Оставяме основата непроменена и сумираме показателите:
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6
Както и преди, получихме 26. Стойността на тази степен е 64
(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64
Продукт, чиито множители също са степени, също може да бъде повдигнат на степен.
Например, нека намерим стойността на израза (2 2 × 3 2) 3. Тук показателите на всеки множител трябва да се умножат по общия показател 3. След това намерете стойността на всеки градус и изчислете продукта:
(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656
Приблизително същото се случва при повишаване на продукт на степен. Казахме, че при повдигане на продукт на степен, всеки множител на този продукт се повдига на определената степен.
Например, за да повдигнете произведението 2 × 4 на трета степен, трябва да напишете следния израз:
Но по-рано беше казано, че ако дадено число е дадено без индикатор, тогава индикаторът трябва да се счита за равен на единица. Оказва се, че факторите на продукта 2 × 4 първоначално имат експоненти, равни на 1. Това означава, че изразът 2 1 × 4 1 е повдигнат до третата степен. И това е повишаване на степен на степен.
Нека пренапишем решението, като използваме правилото за повишаване на степен на степен. Трябва да получим същия резултат:
Пример 2. Намерете стойността на израза (3 3) 2
Оставяме основата непроменена и умножаваме индикаторите:
Имаме 36. Числото 3 на шеста степен е числото 729
Пример 3xy)³
Пример 4. Извършете степенуване в израза ( абв)⁵
Нека повдигнем всеки фактор на продукта на пета степен:
Пример 5брадва) 3
Нека повдигнем всеки фактор на продукта на трета степен:
Тъй като отрицателното число −2 беше повдигнато на трета степен, то беше поставено в скоби.
Пример 6. Извършете степенуване в израз (10 xy) 2
Пример 7. Извършете степенуване в израза (−5 х) 3
Пример 8. Извършете степенуване в израза (−3 г) 4
Пример 9. Извършете степенуване в израза (−2 abx)⁴
Пример 10. Опростете израза х 5×( х 2) 3
Степен хНека оставим 5 непроменено за сега и в израза ( х 2) 3 извършваме повдигане на степен на степен:
х 5 × (х 2) 3 = х 5 × x 2×3 = х 5 × x 6
Сега нека направим умножението х 5 × x 6. За да направим това, ще използваме основното свойство на степента - основата хНека го оставим непроменен и сумираме показателите:
х 5 × (х 2) 3 = х 5 × x 2×3 = х 5 × x 6 = х 5 + 6 = х 11
Пример 9. Намерете стойността на израза 4 3 × 2 2, като използвате основното свойство на степента.
Основното свойство на степен може да се използва, ако основите на оригиналните степени са еднакви. В този пример основите са различни, така че първо трябва да модифицирате малко оригиналния израз, а именно да се уверите, че основите на степените стават еднакви.
Нека разгледаме отблизо степента 4 3. Основата на тази степен е числото 4, което може да бъде представено като 2 2. Тогава оригиналният израз ще приеме формата (2 2) 3 × 2 2. Като повдигнем степента на степен в израза (2 2) 3, получаваме 2 6. Тогава оригиналният израз ще приеме формата 2 6 × 2 2, който може да се изчисли с помощта на основното свойство на степента.
Нека запишем решението на този пример:
Деление на степени
За да извършите деление на степени, трябва да намерите стойността на всяка степен, след което да разделите обикновените числа.
Например, нека разделим 4 3 на 2 2.
Нека изчислим 4 3, получаваме 64. Изчислете 2 2, вземете 4. Сега разделете 64 на 4, вземете 16
Ако при разделянето на степените основите се окажат еднакви, тогава основата може да остане непроменена и показателят на делителя може да се извади от показателя на дивидент.
Например, нека намерим стойността на израза 2 3: 2 2
Оставяме основа 2 непроменена и изваждаме показателя на делителя от показателя на дивидента:
Това означава, че стойността на израза 2 3: 2 2 е равна на 2.
Това свойство се основава на умножението на степени с еднакви бази или, както сме свикнали да казваме, основното свойство на степента.
Нека се върнем към предишния пример 2 3: 2 2. Тук дивидентът е 2 3, а делителят е 2 2.
Разделянето на едно число на друго означава намиране на число, което, когато се умножи по делителя, ще доведе до дивидент.
В нашия случай разделянето на 2 3 на 2 2 означава намиране на степен, която, когато се умножи по делителя 2 2, дава 2 3. Каква степен може да се умножи по 2 2, за да се получи 2 3? Очевидно само степен 2 е 1. От основното свойство на степента имаме:
Можете да проверите дали стойността на израза 2 3: 2 2 е равна на 2 1, като директно изчислите самия израз 2 3: 2 2. За да направим това, първо намираме стойността на степента 2 3, получаваме 8. След това намираме стойността на степента 2 2, получаваме 4. Разделяме 8 на 4, получаваме 2 или 2 1, тъй като 2 = 2 1.
2 3: 2 2 = 8: 4 = 2
По този начин при разделяне на степените с еднакви основи е в сила следното равенство:
Също така може да се случи не само причините, но и показателите да са еднакви. В този случай отговорът ще бъде един.
Например, нека намерим стойността на израза 2 2: 2 2. Нека изчислим стойността на всеки градус и разделим получените числа:
Когато решавате пример 2 2: 2 2, можете също да приложите правилото за деление на степени с еднакви основи. Резултатът е число на нулева степен, тъй като разликата между показателите на степените 2 2 и 2 2 е равна на нула:
По-горе разбрахме защо числото 2 на нулева степен е равно на едно. Ако изчислите 2 2: 2 2, като използвате обичайния метод, без да използвате правилото за деление на мощност, получавате едно.
Пример 2. Намерете стойността на израза 4 12: 4 10
Нека оставим 4 непроменено и извадим показателя на делителя от показателя на дивидента:
4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16
Пример 3. Представете коефициента х 3: хпод формата на мощност с основа х
Нека използваме правилото за разделяне на мощността. База хНека го оставим непроменен и извадим показателя на делителя от показателя на дивидента. Показателят на делителя е равен на едно. За по-голяма яснота нека го запишем:
Пример 4. Представете коефициента х 3: х 2 като мощност с основа х
Нека използваме правилото за разделяне на мощността. База х
Разделението на властите може да се запише като дроб. И така, предишният пример може да бъде написан по следния начин:
Числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат записани в разширена форма, а именно под формата на произведения на еднакви множители. Степен х 3 може да се запише като x × x × x, и степента х 2 как x × x. След това дизайнът х 3 − 2 може да се пропусне и дробта може да се намали. Ще бъде възможно да се намалят два фактора в числителя и знаменателя х. В резултат на това ще остане един множител х
Или още по-кратко:
Също така е полезно да можете бързо да редуцирате дроби, състоящи се от степени. Например една дроб може да бъде намалена с х 2. За да намалите дроб с х 2 трябва да разделите числителя и знаменателя на дробта на х 2
Разделението на степени не е необходимо да се описва подробно. Горното съкращение може да се направи по-кратко:
Или още по-кратко:
Пример 5. Извършете разделяне х 12 :х 3
Нека използваме правилото за разделяне на мощността. База хоставете го непроменен и извадете степента на делителя от степента на дивидента:
Нека напишем решението с помощта на съкращаване на дроби. Деление на степени х 12 :хНека запишем 3 във формата. След това намаляваме тази дроб с х 3 .
Пример 6. Намерете стойността на израз
В числителя извършваме умножение на степени с еднакви основи:
Сега прилагаме правилото за деление на степени с еднакви основи. Оставяме основа 7 непроменена и изваждаме показателя на делителя от показателя на дивидента:
Завършваме примера, като изчисляваме мощността 7 2
Пример 7. Намерете стойността на израз
Нека повдигнем степента на степен в числителя. Трябва да направите това с израза (2 3) 4
Сега нека умножим степени с еднакви основи в числителя.
