Энэ нийтлэлд бид нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг авч үзэх болно.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь бусад төрлийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлтэй ижил бүтэцтэй байдаг. Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэх аргыг танд сануулъя.

Хэлбэрийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн онцлог шинж чанарууд:

a) бүх мономиалууд ижил зэрэгтэй;

б) чөлөөт нэр томъёо нь тэг,

в) тэгшитгэл нь хоёр өөр суурьтай хүчийг агуулна.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг ижил төстэй алгоритм ашиглан шийддэг.

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг (хуваах эсвэл хувааж болно) хуваана.

Анхаар! Үл мэдэгдэх илэрхийлэл бүхий тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг хуваах үед та үндсээ алдаж болно. Тиймээс тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах илэрхийллийн үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Хэрэв тийм бол бид үүнийг дараа нь мартахгүйн тулд энэ үндсийг бичээд дараа нь илэрхийллийг үүн дээр хуваана.

Ер нь баруун талдаа тэгтэй тэгшитгэлийг шийдэхдээ хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол тэгшитгэлийн зүүн талыг боломжит ямар ч аргаар ялгахыг оролдох явдал юм. Дараа нь хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүл. Энэ тохиолдолд бид үндсээ алдахгүй нь гарцаагүй.

Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн талыг илэрхийллийн нэр томъёо болгон сайтар хуваа. Бид авах:

Хоёр ба гурав дахь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг бууруулъя.

Орлуулахыг танилцуулъя:

Бид квадрат тэгшитгэлийг олж авна:

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, -ийн утгыг олоод анхны үл мэдэгдэх зүйл рүү буцъя.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хэд хэдэн чухал зүйлийг санах хэрэгтэй.

1. Тригонометрийн үндсэн утгыг ашиглан дамми нэр томъёог синус ба косинусын квадрат руу хөрвүүлж болно.

2. Давхар аргументийн синус ба косинус нь хоёрдугаар зэргийн мономиалууд - давхар аргументийн синусыг синус ба косинусын үржвэрт хялбархан хувиргаж, давхар аргументийн косинусыг синус эсвэл косинусын квадрат болгон хувиргах боломжтой.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

1 . Тэгшитгэлийг шийдье:

Энэ бол нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн сонгодог жишээ юм: мономиал бүрийн зэрэг нь нэгтэй тэнцүү, огтлолцох хугацаа нь тэгтэй тэнцүү байна.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг -д хуваахын өмнө тэгшитгэлийн үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Бид шалгадаг: if , тэгвэл title="sin(x)0).">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Тэгшитгэлийн хоёр талыг -д хуваая.

Бид авах:

, Хаана

, Хаана

Хариулт: , Хаана

2. Тэгшитгэлийг шийдье:

Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн жишээ юм. Хэрэв бид тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйл болгож чадвал үүнийг хийх нь зүйтэй гэдгийг бид санаж байна. Энэ тэгшитгэлд бид тавьж болно. Энийг хийцгээе:

Эхний тэгшитгэлийн шийдэл: , хаана

Хоёр дахь тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана. Бид авах:

Хариулт: , хаана,

3. Тэгшитгэлийг шийдье:

Энэ тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн болгохын тулд бид үүнийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргаж, 3-ын тоог синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр болгон үзүүлэв.

Бүх нэр томъёог зүүн тийш шилжүүлж, хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя. Бид авах:

Зүүн талыг үржвэрлэж, хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүү болгоцгооё.

Хариулт: , хаана,

4 . Тэгшитгэлийг шийдье:

Бид хаалтнаас юу гаргаж болохыг харж байна. Энийг хийцгээе:

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлье:

Эхний тэгшитгэлийн шийдэл:

Хүн амын хоёр дахь тэгшитгэл нь хоёрдугаар зэргийн сонгодог нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш тул тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваана.

Эхний тэгшитгэлийн шийдэл:

Хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл.

Дифференциал тэгшитгэл гэх мэт гайхамшигтай математик хэрэгслийн түүхээс эхлэх ёстой гэж би бодож байна. Бүх дифференциал ба интеграл тооцооллын нэгэн адил эдгээр тэгшитгэлийг 17-р зууны сүүлчээр Ньютон зохион бүтээсэн. Тэрээр өөрийн энэ нээлтийг маш чухал гэж үзсэн тул өнөө үед "Байгалийн бүх хуулиудыг дифференциал тэгшитгэлээр дүрсэлсэн байдаг" гэсэн мессежийг шифрлэсэн байна. Энэ нь хэтрүүлэг мэт санагдаж болох ч үнэн юм. Физик, хими, биологийн аливаа хуулийг эдгээр тэгшитгэлээр дүрсэлж болно.

Математикч Эйлер, Лагранж нар дифференциал тэгшитгэлийн онолыг хөгжүүлэх, бий болгоход асар их хувь нэмэр оруулсан. Тэд 18-р зуунд аль хэдийн их сургуулийн ахлах курст сурч байгаа зүйлээ нээж, хөгжүүлсэн.

Анри Пуанкарегийн ачаар дифференциал тэгшитгэлийг судлах шинэ үе шат эхэлсэн. Тэрээр "дифференциал тэгшитгэлийн чанарын онолыг" бүтээсэн бөгөөд энэ нь нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолтой хослуулан топологийн үндэс суурь болох орон зай, түүний шинж чанаруудын шинжлэх ухаанд ихээхэн хувь нэмэр оруулсан юм.

Дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?

Олон хүмүүс нэг хэллэгээс айдаг. Гэсэн хэдий ч энэ нийтлэлд бид нэрнээс нь харахад тийм ч төвөгтэй биш, маш хэрэгтэй математикийн аппаратын мөн чанарыг нарийвчлан авч үзэх болно. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай ярьж эхлэхийн тулд эхлээд энэ тодорхойлолттой угаасаа холбоотой үндсэн ойлголтуудтай танилцах хэрэгтэй. Мөн бид дифференциалаас эхэлнэ.

Дифференциал

Олон хүмүүс энэ ойлголтыг сургуулиас хойш мэддэг байсан. Гэсэн хэдий ч үүнийг илүү нарийвчлан авч үзье. Функцийн графикийг төсөөлөөд үз дээ. Бид үүнийг аль ч сегмент нь шулуун шугамын хэлбэрийг авахаар нэмэгдүүлэх боломжтой. Бие биедээ хязгааргүй ойрхон хоёр цэгийг авч үзье. Тэдний координатын (x эсвэл y) хоорондын ялгаа нь хязгааргүй бага байх болно. Үүнийг дифференциал гэж нэрлэдэг бөгөөд dy (y-ийн дифференциал) ба dx (х-ийн дифференциал) тэмдгээр тэмдэглэнэ. Дифференциал нь хязгаарлагдмал хэмжигдэхүүн биш бөгөөд энэ нь түүний утга, үндсэн үүрэг гэдгийг ойлгох нь маш чухал юм.

Одоо бид дифференциал тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг тайлбарлахад хэрэг болох дараагийн элементийг авч үзэх хэрэгтэй. Энэ бол дериватив юм.

Дериватив

Энэ ойлголтыг бид бүгд сургуульд байхдаа сонссон байх. Дериватив нь функцийн өсөлт, бууралтын хурд юм. Гэсэн хэдий ч энэ тодорхойлолтоос олон зүйл тодорхойгүй болно. Деривативыг дифференциалаар тайлбарлахыг хичээцгээе. Бие биенээсээ хамгийн бага зайд байгаа хоёр цэг бүхий функцийн хязгааргүй жижиг сегмент рүү буцъя. Гэхдээ энэ зайд ч гэсэн функц тодорхой хэмжээгээр өөрчлөгдөж чаддаг. Мөн энэ өөрчлөлтийг тайлбарлахын тулд тэд дифференциалуудын харьцаагаар бичиж болох деривативыг гаргасан: f(x)"=df/dx.

Одоо деривативын үндсэн шинж чанарыг авч үзэх нь зүйтэй юм. Тэдгээрийн зөвхөн гурав нь байна:

1. Нийлбэр эсвэл зөрүүний деривативыг деривативын нийлбэр эсвэл зөрүүгээр илэрхийлж болно: (a+b)"=a"+b" ба (a-b)"=a"-b".
2. Хоёрдахь шинж чанар нь үржүүлэхтэй холбоотой. Бүтээгдэхүүний дериватив нь нэг функцийн үржвэр ба нөгөө функцийн деривативын нийлбэр юм: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Зөрүүний деривативыг дараах тэгшитгэлээр бичиж болно: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Эдгээр бүх шинж чанарууд нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг олоход хэрэгтэй болно.

Мөн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг. Бидэнд x ба y хувьсагчдаас хамаарах z функц байна гэж бодъё. Энэ функцийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцохын тулд, жишээ нь x-тэй холбоотой, бид y хувьсагчийг тогтмол гэж аваад зүгээр л ялгах хэрэгтэй.

Интеграл

Өөр нэг чухал ойлголт бол интеграл юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь деривативын яг эсрэг зүйл юм. Хэд хэдэн төрлийн интеграл байдаг боловч хамгийн энгийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бидэнд хамгийн энгийн нь хэрэгтэй.

Тэгэхээр бид f-ээс х-ээс ямар нэгэн хамааралтай байна гэж бодъё. Үүнээс бид интегралыг аваад F(x) функцийг (ихэвчлэн эсрэг дериватив гэж нэрлэдэг) авдаг бөгөөд уламжлал нь анхны функцтэй тэнцүү байна. Тиймээс F(x)"=f(x). Үүнээс гадна деривативын интеграл нь анхны функцтэй тэнцүү байна.

Дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ интегралын утга, функцийг ойлгох нь маш чухал бөгөөд учир нь та шийдлийг олохын тулд тэдгээрийг маш олон удаа авах шаардлагатай болно.

Тэгшитгэл нь шинж чанараасаа хамааран өөр өөр байдаг. Дараагийн хэсэгт бид нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн төрлүүдийг авч үзээд дараа нь тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Дифференциал тэгшитгэлийн ангиуд

"Diffurs" нь тэдгээрт хамаарах деривативуудын дарааллаар хуваагдана. Тиймээс эхний, хоёр, гурав, түүнээс дээш дараалал байдаг. Тэдгээрийг мөн хэд хэдэн ангилалд хувааж болно: энгийн ба хэсэгчилсэн дериватив.

Энэ нийтлэлд бид эхний эрэмбийн энгийн дифференциал тэгшитгэлүүдийг авч үзэх болно. Дараах хэсгүүдэд бид жишээ болон тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замын талаар ярилцах болно. Эдгээр нь хамгийн түгээмэл төрлийн тэгшитгэлүүд учраас бид зөвхөн ODE-г авч үзэх болно. Энгийн зүйлүүдийг дэд зүйлүүдэд хуваадаг: салангид хувьсагчтай, нэгэн төрлийн ба гетероген. Дараа нь та тэдгээр нь бие биенээсээ хэрхэн ялгаатай болохыг мэдэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Нэмж дурдахад эдгээр тэгшитгэлийг нэгтгэж болох бөгөөд ингэснээр бид нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн системтэй болно. Бид мөн ийм системийг авч үзэж, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно.

Яагаад бид зөвхөн эхний дарааллыг авч үзэж байна вэ? Учир нь та энгийн зүйлээс эхлэх хэрэгтэй бөгөөд дифференциал тэгшитгэлтэй холбоотой бүх зүйлийг нэг өгүүллээр тайлбарлах нь ердөө боломжгүй юм.

Салгаж болох тэгшитгэлүүд

Эдгээр нь магадгүй хамгийн энгийн нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл юм. Үүнд дараах байдлаар бичиж болох жишээнүүд багтана: y"=f(x)*f(y). Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үүсмэлийг дифференциалын харьцаагаар илэрхийлэх томъёо хэрэгтэй: y"=dy/dx. Үүнийг ашигласнаар бид дараах тэгшитгэлийг олж авна: dy/dx=f(x)*f(y). Одоо бид стандарт жишээнүүдийг шийдвэрлэх арга руу шилжиж болно: бид хувьсагчдыг хэсэг болгон хуваана, өөрөөр хэлбэл y хувьсагчтай бүх зүйлийг dy байрлаж байгаа хэсэг рүү шилжүүлж, x хувьсагчтай ижил зүйлийг хийнэ. Бид dy/f(y)=f(x)dx хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь хоёр талаас интеграл авах замаар шийдэгддэг. Интегралыг авсны дараа тохируулах шаардлагатай тогтмолыг бүү мартаарай.

Аливаа "диффуз" -ын шийдэл нь х-ийн у-аас хамаарах функц юм (манай тохиолдолд) эсвэл хэрэв тоон нөхцөл байгаа бол тоо хэлбэрээр хариулах болно. Тодорхой жишээн дээр бүх шийдлийн үйл явцыг харцгаая.

Хувьсагчдыг өөр өөр чиглэлд шилжүүлье:

Одоо интегралуудыг авч үзье. Тэдгээрийг бүгдийг нь интегралын тусгай хүснэгтээс олж болно. Тэгээд бид авах:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Шаардлагатай бол бид "y" -ийг "x" функцээр илэрхийлж болно. Одоо бид нөхцөлийг заагаагүй бол бидний дифференциал тэгшитгэл шийдэгдсэн гэж хэлж болно. Нөхцөлийг зааж өгч болно, жишээлбэл, y(n/2)=e. Дараа нь бид эдгээр хувьсагчийн утгыг шийдэлд орлуулж, тогтмолын утгыг олно. Бидний жишээн дээр 1 байна.

Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл

Одоо илүү хэцүү хэсэг рүүгээ явцгаая. Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно: y"=z(x,y). Хоёр хувьсагчийн баруун талын функц нь нэгэн төрлийн бөгөөд үүнийг хоёр хамааралд хувааж болохгүй гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. : z дээр x ба z дээр y.Тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн эсэхийг шалгах нь маш энгийн: бид x=k*x ба y=k*y орлуулалтыг хийнэ. Одоо бид бүх k-г цуцална.Хэрэв эдгээр бүх үсэг цуцлагдсан бол , тэгвэл тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн бөгөөд та үүнийг аюулгүйгээр шийдэж эхлэх боломжтой.Урагшаа харвал эдгээр жишээнүүдийг шийдвэрлэх зарчим нь бас маш энгийн гэж хэлье.

Бид орлуулалт хийх хэрэгтэй: y=t(x)*x, энд t нь х-ээс бас хамааралтай тодорхой функц юм. Дараа нь бид деривативыг илэрхийлж болно: y"=t"(x)*x+t. Энэ бүгдийг анхны тэгшитгэлдээ орлуулж, хялбаршуулж үзвэл бид t ба x салж болох хувьсагчтай жишээг олж авна. Бид үүнийг шийдэж t(x) хамаарлыг авна. Бид үүнийг хүлээн авахдаа y=t(x)*x-г өмнөх орлуулалтдаа орлуулна. Дараа нь y-ийн x-ээс хамаарлыг олж авна.

Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд жишээг харцгаая: x*y"=y-x*e y/x .

Солих замаар шалгахад бүх зүйл багасдаг. Энэ нь тэгшитгэл үнэхээр нэгэн төрлийн байна гэсэн үг. Одоо бид өөр нэг орлуулалтыг хийж байна: y=t(x)*x ба y"=t"(x)*x+t(x). Хялбаршуулсаны дараа бид дараах тэгшитгэлийг олж авна: t"(x)*x=-e t. Гарсан жишээг салангид хувьсагчаар шийдэж: e -t =ln(C*x). Бидний хийх ёстой зүйл бол солих явдал юм. t y/x-тэй (эцсийн эцэст хэрэв y =t*x бол t=y/x), бид хариултыг авна: e -y/x =ln(x*C).

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл

Өөр нэг өргөн сэдвийг харах цаг болжээ. Бид нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийх болно. Тэд өмнөх хоёроос юугаараа ялгаатай вэ? Үүнийг олж мэдье. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно: y" + g(x)*y=z(x). z(x) ба g(x) нь тогтмол хэмжигдэхүүн байж болохыг тодруулах нь зүйтэй.

Одоо жишээ нь: y" - y*x=x 2 .

Хоёр шийдэл байгаа бөгөөд бид хоёуланг нь дарааллаар нь авч үзэх болно. Эхнийх нь дурын тогтмолыг өөрчлөх арга юм.

Тэгшитгэлийг ийм байдлаар шийдэхийн тулд эхлээд баруун талыг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь хэсгүүдийг шилжүүлсний дараа дараах хэлбэртэй болно.

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Одоо бид C 1 тогтмолыг v(x) функцээр солих хэрэгтэй, үүнийг олох хэрэгтэй.

Деривативыг орлъё:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Эдгээр илэрхийллийг анхны тэгшитгэлд орлуулна уу:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Зүүн талд хоёр хугацаа цуцлагдаж байгааг харж болно. Хэрэв зарим жишээнд ийм зүйл болоогүй бол та буруу зүйл хийсэн. Үргэлжлүүлье:

v"*e x2/2 = x 2.

Одоо бид хувьсагчдыг салгах шаардлагатай ердийн тэгшитгэлийг шийдэж байна.

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Интегралыг гаргаж авахын тулд бид энд хэсгүүдээр интеграцийг ашиглах хэрэгтэй болно. Гэсэн хэдий ч энэ нь бидний нийтлэлийн сэдэв биш юм. Хэрэв та сонирхож байгаа бол ийм үйлдлүүдийг өөрөө хийж сурах боломжтой. Энэ нь хэцүү биш бөгөөд хангалттай ур чадвар, анхаарал халамж тавихад их цаг хугацаа шаарддаггүй.

Нэг төрлийн бус тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр дахь арга: Бернуллигийн арга руу орцгооё. Аль арга нь илүү хурдан бөгөөд хялбар болохыг та өөрөө шийднэ.

Тэгэхээр энэ аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ орлуулалт хийх хэрэгтэй: y=k*n. Энд k ба n нь х-ээс хамааралтай зарим функцууд юм. Дараа нь дериватив нь иймэрхүү харагдах болно: y"=k"*n+k*n". Бид хоёр орлуулалтыг тэгшитгэлд орлуулна:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Бүлэглэх:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Одоо бид хаалтанд байгаа зүйлийг тэгтэй тэнцүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв бид үүссэн хоёр тэгшитгэлийг нэгтгэвэл шийдвэрлэх шаардлагатай нэгдүгээр зэрэглэлийн дифференциал тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Бид эхний тэгшитгэлийг энгийн тэгшитгэл болгон шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд та хувьсагчдыг салгах хэрэгтэй:

Бид интегралыг аваад: ln(n)=x 2 /2 болно. Хэрэв бид n-ийг илэрхийлбэл:

Одоо бид үүссэн тэгшитгэлийг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулж байна.

k"*e x2/2 =x 2 .

Мөн хувиргаснаар бид эхний аргын адил тэгш байдлыг олж авна.

dk=x 2 /e x2/2 .

Бид цаашдын үйл ажиллагааны талаар ярихгүй. Эхний дарааллын дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх нь ихээхэн бэрхшээл учруулдаг гэдгийг хэлэх нь зүйтэй. Гэсэн хэдий ч та сэдвийг гүнзгийрүүлэн судлах тусам энэ нь илүү сайн болж эхэлдэг.

Дифференциал тэгшитгэлийг хаана ашигладаг вэ?

Дифференциал тэгшитгэлийг физикт маш идэвхтэй ашигладаг, учир нь бараг бүх үндсэн хуулиудыг дифференциал хэлбэрээр бичсэн байдаг бөгөөд бидний харж буй томъёонууд нь эдгээр тэгшитгэлийн шийдэл юм. Химийн хувьд тэдгээрийг ижил шалтгаанаар ашигладаг: үндсэн хуулиудыг тэдгээрийн тусламжтайгаар гаргаж авдаг. Биологийн хувьд дифференциал тэгшитгэлийг махчин, идэш тэжээл гэх мэт системийн зан төлөвийг загварчлахад ашигладаг. Тэдгээрийг бичил биетний колони гэх мэт нөхөн үржихүйн загварыг бий болгоход ашиглаж болно.

Дифференциал тэгшитгэл танд амьдралд хэрхэн туслах вэ?

Энэ асуултын хариулт нь энгийн: огт биш. Хэрэв та эрдэмтэн эсвэл инженер биш бол тэд танд ашигтай байх магадлал багатай. Гэсэн хэдий ч ерөнхий хөгжлийн хувьд дифференциал тэгшитгэл гэж юу болох, түүнийг хэрхэн шийдэж байгааг мэдэх нь гэмтээхгүй. Дараа нь хүү эсвэл охины асуулт бол "дифференциал тэгшитгэл гэж юу вэ?" чамайг төөрөгдүүлэхгүй. Хэрэв та эрдэмтэн эсвэл инженер бол аливаа шинжлэх ухаанд энэ сэдвийн ач холбогдлыг өөрөө ойлгодог. Гэхдээ хамгийн чухал зүйл бол одоо "1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?" Та үргэлж хариулт өгөх боломжтой. Зөвшөөрч байна, хүмүүс ойлгохоос айдаг зүйлийг ойлгох нь үргэлж сайхан байдаг.

Хичээлийн гол бэрхшээлүүд

Энэ сэдвийг ойлгоход тулгарч буй гол асуудал бол функцүүдийг нэгтгэх, ялгах чадвар муутай байдаг. Хэрэв та дериватив ба интегралд сайн биш бол илүү ихийг судалж, интеграл, ялгах янз бүрийн аргуудыг эзэмшиж, дараа нь нийтлэлд дурдсан материалыг судалж эхлэх нь зүйтэй болов уу.

Өмнө нь (сургуульд) dy/dx фракц хуваагдашгүй гэж заасан байдаг тул dx-г шилжүүлж болно гэдгийг мэдээд зарим хүмүүс гайхдаг. Энд та деривативын талаархи уран зохиолыг уншиж, энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед удирдаж болох хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнүүдийн харьцаа гэдгийг ойлгох хэрэгтэй.

Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн авч болохгүй функц эсвэл интеграл гэдгийг олон хүмүүс тэр даруй ойлгодоггүй бөгөөд энэ буруу ойлголт нь тэдэнд маш их бэрхшээл учруулдаг.

Та илүү сайн ойлгохын тулд өөр юу судалж болох вэ?

Дифференциал тооцооллын ертөнцөд төрөлжсөн сурах бичгүүд, жишээлбэл, математикийн бус мэргэжлээр суралцаж буй оюутнуудад зориулсан математикийн дүн шинжилгээ хийх замаар цаашид гүнзгийрч эхлэх нь дээр. Дараа нь та илүү нарийн мэргэжлийн уран зохиол руу шилжиж болно.

Дифференциал тэгшитгэлээс гадна интеграл тэгшитгэлүүд байдаг тул та үргэлж хичээх, судлах зүйлтэй байх болно гэдгийг хэлэх нь зүйтэй болов уу.

Дүгнэлт

Энэ нийтлэлийг уншсаны дараа та дифференциал тэгшитгэл гэж юу болох, тэдгээрийг хэрхэн зөв шийдвэрлэх талаар ойлголттой болно гэж найдаж байна.

Ямар ч байсан математик бидний амьдралд ямар нэгэн байдлаар хэрэг болно. Энэ нь логик, анхаарлыг хөгжүүлдэг бөгөөд үүнгүйгээр хүн бүр гаргүй байдаг.

Зогс! Энэ төвөгтэй томъёог ойлгохыг хичээцгээе.

Зарим коэффициент бүхий чадлын эхний хувьсагч хамгийн түрүүнд ирэх ёстой. Манай тохиолдолд ийм байна

Манай тохиолдолд ийм байна. Бидний олж мэдсэнээр энэ нь эхний хувьсагчийн зэрэг нийлдэг гэсэн үг юм. Мөн нэгдүгээр зэрэглэлийн хоёр дахь хувьсагч нь байрандаа байна. Коэффицент.

Бидэнд байгаа.

Эхний хувьсагч нь хүч, хоёр дахь хувьсагч нь квадрат, коэффициенттэй байна. Энэ бол тэгшитгэлийн сүүлчийн гишүүн юм.

Таны харж байгаагаар бидний тэгшитгэл нь томьёоны хэлбэрийн тодорхойлолттой тохирч байна.

Тодорхойлолтын хоёр дахь (амаар) хэсгийг авч үзье.

Бидэнд хоёр үл мэдэгдэх зүйл байна. Энд нэгдэж байна.

Бүх нөхцөлийг авч үзье. Тэдгээрийн дотор үл мэдэгдэх зэрэглэлийн нийлбэр нь ижил байх ёстой.

Зэрэглэлийн нийлбэр тэнцүү байна.

Эрх мэдлийн нийлбэр нь (at ба at) тэнцүү байна.

Зэрэглэлийн нийлбэр тэнцүү байна.

Таны харж байгаагаар бүх зүйл тохирсон байна !!!

Одоо нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг тодорхойлох дадлага хийцгээе.

Аль тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн болохыг тодорхойлно уу.

Нэг төрлийн тэгшитгэлүүд - тоо бүхий тэгшитгэлүүд:

Тэгшитгэлийг тусад нь авч үзье.

Хэрэв бид гишүүн бүрийг хүчин зүйл болгон хуваах юм бол бид авна

Мөн энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн тодорхойлолтод бүрэн багтдаг.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Жишээ 2.

Тэгшитгэлийг хувааж үзье.

Бидний нөхцөлийн дагуу y тэнцүү байж болохгүй. Тиймээс бид аюулгүйгээр хувааж болно

Орлуулалтыг хийснээр бид энгийн квадрат тэгшитгэлийг олж авна.

Энэ нь багасгасан квадрат тэгшитгэл учраас бид Виетийн теоремыг ашиглана:

Урвуу орлуулалт хийсний дараа бид хариултыг авна

Хариулт:

Жишээ 3.

Тэгшитгэлийг (нөхцөлөөр) хуваая.

Хариулт:

Жишээ 4.

Хэрвээ олоорой.

Энд та хуваах биш, харин үржүүлэх хэрэгтэй. Бүх тэгшитгэлийг дараах байдлаар үржүүлье.

Орлуулж, квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

Урвуу орлуулалт хийсний дараа бид дараах хариултыг авна.

Хариулт:

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь дээр дурдсан шийдлийн аргуудаас ялгаатай биш юм. Зөвхөн энд, бусад зүйлсийн дунд та бага зэрэг тригонометрийг мэдэх хэрэгтэй. Мөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвартай байх (үүнийг та энэ хэсгийг уншиж болно).

Ийм тэгшитгэлийг жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 5.

Тэгшитгэлийг шийд.

Бид ердийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг харж байна: тэдгээр нь үл мэдэгдэх бөгөөд тэдгээрийн хүчин чадлын нийлбэр нь гишүүн бүрт тэнцүү байна.

Ийм нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш боловч тэгшитгэлийг хуваахаас өмнө дараах тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй.

Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно. Гэхдээ синус ба косинус нь нэгэн зэрэг тэнцүү байж чадахгүй, учир нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын дагуу. Тиймээс бид үүнийг аюулгүйгээр хувааж болно:

Тэгшитгэл өгөгдсөн тул Виетийн теоремын дагуу:

Хариулт:

Жишээ 6.

Тэгшитгэлийг шийд.

Жишээлбэл, та тэгшитгэлийг хуваах хэрэгтэй. Дараах тохиолдолд тохиолдлыг авч үзье.

Гэхдээ синус ба косинус нь нэгэн зэрэг тэнцүү байж чадахгүй, учир нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын дагуу. Тийм ч учраас.

Орлуулж, квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

Урвуу орлуулалтыг хийж, дараахыг олцгооё.

Хариулт:

Нэг төрлийн экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг дээр дурдсантай ижил аргаар шийддэг. Хэрэв та экспоненциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мартсан бол харгалзах хэсгийг харна уу ()!

Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 7.

Тэгшитгэлийг шийд

Үүнийг дараах байдлаар төсөөлье.

Бид хоёр хувьсагч, нийлбэр зэрэгтэй ердийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг харж байна. Тэгшитгэлийг дараахь байдлаар хуваая.

Таны харж байгаагаар орлуулалт хийснээр бид доорх квадрат тэгшитгэлийг олж авна (тэгээр хуваахаас айх шаардлагагүй - энэ нь үргэлж тэгээс их байдаг):

Виетийн теоремын дагуу:

Хариулт: .

Жишээ 8.

Тэгшитгэлийг шийд

Үүнийг дараах байдлаар төсөөлье.

Тэгшитгэлийг дараахь байдлаар хуваая.

Орлуулж, квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

Үндэс нь нөхцөлийг хангадаггүй. Урвуу орлуулалтыг хийгээд олъё:

Хариулт:

Нэг төрлийн тэгшитгэл. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Эхлээд нэг асуудлын жишээн дээр сануулъя Нэг төрлийн тэгшитгэл гэж юу вэ, нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл гэж юу вэ.

Асуудлыг шийдэх:

Хэрвээ олоорой.

Эндээс та нэг сонин зүйлийг анзаарч болно: хэрэв бид нэр томъёо бүрийг хуваах юм бол бид дараахь зүйлийг авна.

Өөрөөр хэлбэл, одоо тусдаа ба, - одоо тэгшитгэл дэх хувьсагч нь хүссэн утга юм. Энэ бол Виетийн теоремыг ашиглан амархан шийдэж болох энгийн квадрат тэгшитгэл юм: язгуурын үржвэр тэнцүү, нийлбэр нь тоонууд юм.

Хариулт:

Маягтын тэгшитгэл

нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь хоёр үл мэдэгдэхтэй тэгшитгэл бөгөөд гишүүн бүр нь эдгээр үл мэдэгдэх хүчний нийлбэртэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, дээрх жишээнд энэ хэмжээ тэнцүү байна. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг үл мэдэгдэхийн аль нэгэнд хуваах замаар шийддэг.

Мөн хувьсагчийн дараагийн орлуулалт: . Тиймээс бид нэг үл мэдэгдэх хүч чадлын тэгшитгэлийг олж авна.

Ихэнхдээ бид хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлтэй (өөрөөр хэлбэл квадрат) тулгардаг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхээ мэддэг.

Хэрэв бид энэ хувьсагч тэгтэй тэнцүү байж чадахгүй гэдэгт итгэлтэй байвал бид бүхэл тэгшитгэлийг хувьсагчид хувааж (мөн үржүүлж) чадна гэдгийг анхаарна уу! Жишээлбэл, биднээс олохыг хүсэх юм бол бид хуваах боломжгүй тул шууд ойлгодог. Энэ нь тийм ч тодорхой биш тохиолдолд энэ хувьсагч тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд тусад нь шалгах шаардлагатай. Жишээлбэл:

Тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл:

Бид эндээс ердийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг харж байна: тэдгээр нь үл мэдэгдэх бөгөөд тэдгээрийн хүчин чадлын нийлбэр нь гишүүн бүрт тэнцүү байна.

Гэхдээ харьцангуй квадрат тэгшитгэлийг хувааж, авахын өмнө бид хэзээ тохиолдлыг авч үзэх ёстой. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно, энэ нь . Гэхдээ синус ба косинус нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, учир нь үндсэн тригонометрийн ижилсэлтийн дагуу: . Тиймээс бид үүнийг аюулгүйгээр хувааж болно:

Энэ шийдэл нь бүрэн тодорхой болсон гэж найдаж байна уу? Үгүй бол хэсгийг уншина уу. Хэрэв энэ нь хаанаас ирсэн нь тодорхойгүй бол та бүр эрт - хэсэг рүү буцах хэрэгтэй.

Өөрийнхөө төлөө шийд:

1. Хэрвээ олоорой.
2. Хэрвээ олоорой.
3. Тэгшитгэлийг шийд.

Энд би нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг товчхон бичих болно.

Шийдэл:

Хариулт: .

Гэхдээ энд бид хуваахын оронд үржүүлэх хэрэгтэй:

Хариулт:

Хэрэв та үүнийг хараахан авч амжаагүй бол энэ жишээг алгасаж болно.

Энд бид хуваах шаардлагатай байгаа тул эхлээд зуу нь тэгтэй тэнцүү биш эсэхийг шалгацгаая.

Мөн энэ нь боломжгүй юм.

Хариулт: .

Нэг төрлийн тэгшитгэл. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Бүх нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг үл мэдэгдэх аль нэгээр нь хуваах ба хувьсагчийн цаашдын өөрчлөлтөд бууруулна.

Алгоритм:

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол үнэхээр гайхалтай! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Улсын нэгдсэн шалгалтыг амжилттай өгч, их, дээд сургуульд төсвөөр элссэнийхээ төлөө, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, би нэг л зүйлийг хэлье...

Сайн боловсрол эзэмшсэн хүмүүс сураагүй хүмүүсээс хамаагүй их цалин авдаг. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө олон боломжууд нээгдэж, амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болж байгаа юм болов уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь гарцаагүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл, нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийхмөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Хэрхэн? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах -
2. Сурах бичгийн бүх 99 өгүүлэлд байгаа бүх далд даалгавруудыг нээх Сурах бичиг худалдаж аваарай - 899 рубль

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд бүх даалгавар, тэдгээрт байгаа бүх далд текстийг шууд нээх боломжтой.

Бүх далд даалгаврууд руу нэвтрэх эрхийг сайтын ашиглалтын хугацаанд олгодог.

Дүгнэж хэлэхэд...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Одоогийн байдлаар математикийн үндсэн түвшний дагуу ахлах сургуульд математикийг судлахад ердөө 4 цаг (алгебрийн 2 цаг, геометрийн 2 цаг) олгодог. Хөдөө орон нутгийн жижиг сургуулиудад сургуулийн бүрэлдэхүүн хэсэгтэй холбоотойгоор цагийн тоог нэмэгдүүлэхийг хичээж байна. Гэхдээ хэрэв анги нь хүмүүнлэгийн шинж чанартай бол хүмүүнлэгийн хичээлийг судлах сургуулийн бүрэлдэхүүн хэсгийг нэмдэг. Жижиг тосгонд сургуулийн сурагч ихэвчлэн сонголтгүй, тэр ангид сурдаг; үүнийг сургуульд авах боломжтой. Тэрээр хуульч, түүхч, сэтгүүлч болох бодолгүй (ийм тохиолдол байдаг) инженер, эдийн засагч болохыг хүсдэг тул математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өндөр оноотой өгөх ёстой. Ийм нөхцөлд математикийн багш одоогийн нөхцөл байдлаас гарах арга замыг өөрөө хайж олох ёстой бөгөөд Колмогоровын сурах бичигт "нэг төрлийн тэгшитгэл" гэсэн сэдвийг судлах боломжгүй болно. Өнгөрсөн жилүүдэд энэ сэдвийг танилцуулж, бататгахын тулд надад хоёр давхар хичээл хэрэгтэй байсан. Харамсалтай нь манай боловсролын хяналтын шалгалтаас сургууль дээр давхар хичээл хийхийг хориглосон тул дасгалын тоог 45 минут болгож, үүний дагуу дасгалын хүндрэлийн түвшинг дунд зэрэг болгон бууруулсан. Хөдөөгийн жижиг сургуулийн математикийн суурь түвшний 10-р ангид энэ сэдвээр хичээлийн төлөвлөгөөг би та бүхэнд хүргэж байна.

Хичээлийн төрөл: уламжлалт.

Зорилтот: ердийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэж сурах.

Даалгаврууд:

Танин мэдэхүйн:

Хөгжлийн:

Боловсролын:

• Даалгаврыг тэвчээртэй гүйцэтгэснээр шаргуу хөдөлмөрлөх, хос, бүлгээр ажиллах замаар нөхөрлөлийн мэдрэмжийг бий болгох.

Хичээлийн үеэр

I.Зохион байгуулалтын үе шат(3 мин.)

II. Шинэ материалыг эзэмшихэд шаардлагатай мэдлэгийг шалгах (10 мин.)

Гүйцэтгэсэн даалгаврын цаашдын дүн шинжилгээ хийх гол бэрхшээлийг тодорхойлох. Залуус 3 сонголтыг сонгоно. Даалгавруудыг хүүхдүүдийн хүндрэлийн зэрэг, бэлэн байдлын түвшингээр нь ялгаж, дараа нь самбар дээр тайлбарлана.

1-р түвшин. Тэгшитгэлийг шийд:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(х-15)=2х-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Хариултууд: 7;3

2-р түвшин. Энгийн тригонометрийн тэгшитгэл ба биквадрат тэгшитгэлийг шийдэх:

хариултууд:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Хариултууд: -2; 2; -3; 3

3-р түвшин.Хувьсагчийг өөрчлөх замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Хариултууд:

III.Сэдвийг дамжуулах, зорилго, зорилтыг тодорхойлох.

Сэдэв: Нэг төрлийн тэгшитгэл

Зорилтот: ердийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэж сурах

Даалгаврууд:

Танин мэдэхүйн:

• нэгэн төрлийн тэгшитгэлтэй танилцах, ийм тэгшитгэлийн хамгийн түгээмэл төрлүүдийг шийдэж сурах.

Хөгжлийн:

• Аналитик сэтгэлгээг хөгжүүлэх.
• Математикийн ур чадварыг хөгжүүлэх: нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь бусад тэгшитгэлээс ялгарах үндсэн шинж чанаруудыг тодорхойлж сурах, нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ижил төстэй байдлыг янз бүрийн илрэлүүдээр тогтоох чадвартай байх.

IV. Шинэ мэдлэг сурах (15 мин.)

1. Лекцийн мөч.

Тодорхойлолт 1(Тэмдэглэлийн дэвтэрт бичнэ үү). P(x;y)=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг P(x;y) нь нэгэн төрлийн олон гишүүнт бол нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

х ба у хоёр хувьсагчийн олон гишүүнт гишүүний гишүүн бүрийн зэрэг нь ижил k тоотой тэнцүү бол түүнийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт 2(Зөвхөн танилцуулга). Маягтын тэгшитгэл

u(x) ба v(x)-ын хувьд n зэрэгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Тэгшитгэлийн хоёр талыг (v(x))n-д хувааснаар тэгшитгэлийг олж авахын тулд орлуулалтыг ашиглаж болно.

Энэ нь бидэнд анхны тэгшитгэлийг хялбарчлах боломжийг олгодог. v(x)=0 тохиолдлыг 0-д хуваах боломжгүй тул тусад нь авч үзэх шаардлагатай.

2. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн жишээ:

Тайлбарла: тэд яагаад нэгэн төрлийн байдаг, ийм тэгшитгэлийн жишээг өг.

3. Нэг төрлийн тэгшитгэлийг тодорхойлох даалгавар:

Өгөгдсөн тэгшитгэлүүдээс нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг тодорхойлж, сонголтоо тайлбарлана уу.

Сонголтоо тайлбарласны дараа нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхийг харуулах жишээнүүдийн аль нэгийг ашиглана уу.

4. Өөрөө шийдэх:

Хариулт:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Тэгшитгэлийн хоёр талыг cos x-д хуваавал 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ + болно.

5. Товхимолоос жишээ болгон шийдлийг үзүүл“П.В. Чулков. Сургуулийн математикийн хичээлийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. Москвагийн багшийн их сургууль “9-р сарын 1” 2006 х.22.” Улсын нэгдсэн шалгалтын боломжит жишээнүүдийн нэг бол С.

В. Башмаковын сурах бичгийг ашиглан нэгтгэх асуудлыг шийднэ үү

хуудас 183 No 59 (1.5) эсвэл Колмогоровын найруулсан сурах бичгийн дагуу: хуудас 81 No 169 (а, в)

хариултууд:

VI. Туршилт, бие даасан ажил (7 мин.)

1 сонголт	Сонголт 2
Тэгшитгэлийг шийдэх:
a) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
б) cos 2 -3sin 2 =0	б)

Даалгаврын хариулт:

Сонголт 1 a) Хариулт: arctan2+πn,n € Z; b) Хариулт: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Сонголт 2 a) Хариулт: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Хариулт: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2)

VII. Гэрийн даалгавар

Колмогоровын дагуу 169 дугаар, Башмаковын дагуу 59 дугаар.

Үүнээс гадна тэгшитгэлийн системийг шийд:

Хариулт: арктан(-1±√3) +πn,

Лавлагаа:

1. П.В. Чулков. Сургуулийн математикийн хичээлийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдал. – М.: Багшийн их сургууль “9-р сарын нэгэн”, 2006. 22-р тал
2. А.Мерзляк, В.Полонский, Е.Рабинович, М.Якир. Тригонометр. – М.: “AST-PRESS”, 1998, 389-р тал
3. 8-р ангийн алгебр, Н.Я. Виленкина. – М.: “Гэгээрэл”, 1997 он.
4. 9-р ангийн алгебр, Н.Я. Виленкина. Москва "Гэгээрэл", 2001 он.
5. М.И. Башмаков. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-11-р ангийн хувьд - М.: "Гэгээрэл" 1993 он
6. Колмогоров, Абрамов, Дудницын. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 10-11 ангийн хувьд. – М.: “Гэгээрэл”, 1990 он.
7. А.Г. Мордкович. Алгебр ба шинжилгээний эхлэл. 1-р хэсэг 10-11-р ангийн сурах бичиг. - М.: "Мнемосине", 2004 он.

Нэг төрлийн

Энэ хичээл дээр бид гэж нэрлэгддэг зүйлийг авч үзэх болно Нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл. -тай хамт салгаж болох тэгшитгэлүүдТэгээд шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлэнэ төрлийн алсын удирдлага нь диффузорын сэдвээр бараг бүх туршилтын ажилд олддог. Хэрэв та хайлтын системээс хуудас руу орж ирсэн эсвэл дифференциал тэгшитгэлийг ойлгоход тийм ч их итгэлгүй байгаа бол эхлээд сэдвийн талаархи танилцуулга хичээлээр ажиллахыг зөвлөж байна. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл. Баримт нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх олон зарчим, ашигласан аргууд нь салгаж болох хувьсагчтай хамгийн энгийн тэгшитгэлтэй яг адилхан байх болно.

Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэл болон бусад төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн хооронд ямар ялгаа байдаг вэ? Үүнийг нэн даруй тайлбарлах хамгийн хялбар арга бол тодорхой жишээ юм.

Жишээ 1

Шийдэл:
Юу Нэгдүгээртшийдвэр гаргахдаа дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй ямар чдифференциал тэгшитгэл эхний захиалга? Юуны өмнө "сургуулийн" үйлдлүүдийг ашиглан хувьсагчдыг нэн даруй салгах боломжтой эсэхийг шалгах шаардлагатай юу? Ихэвчлэн энэ шинжилгээг оюун ухаанаар эсвэл ноорог дахь хувьсагчдыг салгах оролдлого хийдэг.

Энэ жишээнд хувьсагчдыг салгах боломжгүй(та нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шидэх, хаалтанд хүчин зүйлүүдийг нэмэгдүүлэх гэх мэт). Дашрамд хэлэхэд, энэ жишээн дээр үржүүлэгч байгаа тул хувьсагчдыг хуваах боломжгүй гэдэг нь тодорхой харагдаж байна.

Асуулт гарч ирнэ: энэ сарнисан асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?

шалгах хэрэгтэй ба Энэ тэгшитгэл нэг төрлийн биш гэж үү?? Баталгаажуулалт нь энгийн бөгөөд баталгаажуулалтын алгоритмыг дараах байдлаар томъёолж болно.

Анхны тэгшитгэлд:

оронд ньбид орлуулах, оронд ньбид орлуулах, бид деривативт хүрдэггүй:

Ламбда үсэг нь нөхцөлт параметр бөгөөд энд дараах үүрэг гүйцэтгэдэг: хэрэв хувиргалтын үр дүнд БҮХ ламбда-г устгаж, анхны тэгшитгэлийг олж авах боломжтой бол энэ дифференциал тэгшитгэл нэгэн төрлийн байна.

Ламбдаг илтгэгчээр нэн даруй бууруулж байгаа нь тодорхой байна.

Одоо баруун талд бид ламбда-г хаалтнаас гаргаж авдаг.

мөн энэ хоёр хэсгийг ижил ламбдагаар хуваана:

Үр дүнд нь БүгдХурганууд зүүд шиг, өглөөний манан шиг алга болж, бид анхны тэгшитгэлийг олж авлаа.

Дүгнэлт:Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн байна

Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Надад маш сайхан мэдээ байна. Бүх төрлийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг нэг (!) стандарт орлуулалт ашиглан шийдэж болно.

"Тоглоом" функц нь байх ёстой солих ажилзарим функц (мөн "x"-ээс хамаарна)болон "x":

Тэд бараг үргэлж товчхон бичдэг:

Ийм орлуулалтаар дериватив нь юу болж хувирахыг бид олж мэдээд бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашигладаг. Хэрэв бол:

Бид анхны тэгшитгэлд орлуулна:

Ийм орлуулалт юу өгөх вэ? Энэ солих, хялбаршуулсаны дараа бид баталгаатайБид салгаж болох хувьсагчтай тэгшитгэлийг олж авна. САНААРАЙанхны хайр шиг :) ба үүний дагуу .

Орлуулсны дараа бид хамгийн их хялбаршуулах ажлыг гүйцэтгэдэг.

"x"-ээс хамаарах функц тул деривативыг стандарт бутархай хэлбэрээр бичиж болно: .
Тиймээс:

Бид хувьсагчдыг тусгаарладаг бол зүүн талд та зөвхөн "te", баруун талд нь зөвхөн "x"-ийг цуглуулах хэрэгтэй.

Хувьсагчдыг салгаж, нэгтгэж үзье:


Нийтлэлээс миний анхны техникийн зөвлөгөөний дагуу Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл, ихэнх тохиолдолд тогтмолыг логарифм хэлбэрээр "томьёолох" нь зүйтэй.

Тэгшитгэлийг нэгтгэсний дараа бид үүнийг хийх хэрэгтэй урвуу солих, энэ нь бас стандарт бөгөөд өвөрмөц юм:
Хэрэв бол
Энэ тохиолдолд:

20 тохиолдлын 18-19 тохиолдолд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдийг ерөнхий интеграл хэлбэрээр бичнэ..

Хариулт:ерөнхий интеграл:

Нэг төрлийн тэгшитгэлийн хариултыг яагаад бараг үргэлж ерөнхий интеграл хэлбэрээр өгдөг вэ?
Ихэнх тохиолдолд "тоглоом" -ыг тодорхой илэрхийлэх боломжгүй (ерөнхий шийдлийг олж авах), хэрэв боломжтой бол ерөнхий шийдэл нь ихэвчлэн төвөгтэй, болхи байдаг.

Жишээлбэл, авч үзсэн жишээн дээр ерөнхий шийдлийг ерөнхий интегралын хоёр талд логарифмыг жинлэн авч болно.

-За яахав. Хэдийгээр энэ нь бага зэрэг хазайсан хэвээр байгааг та хүлээн зөвшөөрөх ёстой.

Дашрамд хэлэхэд, энэ жишээнд би ерөнхий интегралыг "зохистой" бичээгүй. Энэ бол алдаа биш, гэхдээ "сайн" хэв маягаар ерөнхий интегралыг ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг гэдгийг би танд сануулж байна. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг нэгтгэсний дараа логарифмгүйгээр тогтмолыг бичих хэрэгтэй (дүрэмд үл хамаарах зүйл энд байна!):

Урвуу орлуулалтын дараа ерөнхий интегралыг "сонгодог" хэлбэрээр авна.

Хүлээн авсан хариултыг шалгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд ерөнхий интегралыг ялгах, өөрөөр хэлбэл олох хэрэгтэй далд хэлбэрээр заасан функцийн дериватив:

Тэгшитгэлийн тал бүрийг дараах байдлаар үржүүлснээр бид бутархай хэсгүүдээс сална.

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг олж авсан нь шийдлийг зөв олсон гэсэн үг юм.

Үүнийг байнга шалгаж байхыг зөвлөж байна. Гэхдээ нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд нь тааламжгүй байдаг, учир нь тэдгээрийн ерөнхий интегралыг шалгах нь ихэвчлэн хэцүү байдаг - энэ нь маш сайн ялгах техник шаарддаг. Үзсэн жишээн дээр баталгаажуулалтын явцад хамгийн энгийн деривативуудыг олох шаардлагагүй байсан (хэдийгээр жишээ нь өөрөө маш энгийн). Хэрэв та үүнийг шалгаж чадвал шалгаарай!

Дараах жишээ нь та өөрөө шийдэхэд зориулагдсан бөгөөд ингэснээр та үйлдлийн алгоритмыг ашиглахад таатай байх болно.

Жишээ 2

Тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн байдлыг шалгаж, ерөнхий интегралыг ол.

Хариултыг маягт дээр бичиж, шалгалтыг хийнэ үү.

Энд ч гэсэн нэлээд энгийн шалгалт болж хувирав.

Одоо сэдвийн эхэнд дурдсан амласан чухал зүйл бол
Би тод хар үсгээр тэмдэглэх болно:

Хэрэв хувиргах явцад бид үржүүлэгчийг "дахин тохируулна" (тогтмол биш)хуваагч руу орвол бид шийдлээ алдах эрсдэлтэй!

Үнэндээ бид эхний жишээн дээр ийм зүйлтэй тулгарсан дифференциал тэгшитгэлийн талаархи танилцуулга хичээл. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад "y" нь хуваагчтай болсон: , гэхдээ мэдээжийн хэрэг DE-ийн шийдэл бөгөөд тэгш бус хувирлын (хуваалтын) үр дүнд үүнийг алдах бүх боломж бий! Өөр нэг зүйл бол үүнийг ерөнхий шийдэлд тогтмолын тэг утгаар оруулсан явдал юм. Хуваарийн "X"-ийг дахин тохируулах нь бас үл тоомсорлож болно, учир нь анхны диффузорыг хангахгүй байна.

Нэг хичээлийн гурав дахь тэгшитгэлтэй ижил төстэй түүх, үүнийг шийдвэрлэх явцад бид хуваагч руу "унасан". Хатуухан хэлэхэд энэ диффузор нь шийдэл мөн эсэхийг шалгах шаардлагатай байсан уу? Эцсийн эцэст, энэ бол! Гэхдээ энд ч гэсэн "бүх зүйл сайхан болсон" тул энэ функцийг ерөнхий интегралд оруулсан болно цагт.

Хэрэв энэ нь ихэвчлэн "салгаж болох" тэгшитгэлүүдтэй ажилладаг бол нэгэн төрлийн болон бусад диффузоруудад ажиллахгүй байж магадгүй юм. Өндөр магадлалтай.

Энэ хичээл дээр аль хэдийн шийдсэн асуудлуудад дүн шинжилгээ хийцгээе: in Жишээ 1-2 X-г "дахин тохируулах" нь бас аюулгүй болсон, учир нь болон байгаа тул энэ нь шийдэл байж чадахгүй нь шууд тодорхой болсон. Үүнээс гадна, in Жишээ 2хуваарьт байсан бөгөөд энд бид функцээ алдах эрсдэлтэй байсан бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийг хангасан нь ойлгомжтой. . Гэсэн хэдий ч, энд ч гэсэн энэ нь "өнгөрсөн", учир нь ... энэ нь тогтмолын тэг утгаараа ерөнхий интегралд орсон.

Гэхдээ мэдээжийн хэрэг, би "аз жаргалтай тохиолдлууд" -ыг зориуд бий болгосон бөгөөд бодит байдал дээр эдгээр нь тохиолдох нь үнэн биш юм.

Жишээ 3

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Энгийн жишээ биш гэж үү? ;-)

Шийдэл:Энэ тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн байдал нь тодорхой боловч - эхний алхам дээрБид хувьсагчдыг салгах боломжтой эсэхийг ҮРГЭЛЖ шалгадаг. Учир нь тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн боловч түүний доторх хувьсагчдыг амархан салгаж болно. Тийм ээ, зарим нь байна!

"Салах чадвар" -ыг шалгасны дараа бид орлуулалт хийж, тэгшитгэлийг аль болох хялбаршуулна.

Бид хувьсагчдыг салгаж, зүүн талд "te", баруун талд "x"-ийг цуглуулдаг.

Тэгээд энд ЗОГС. Хуваахдаа бид хоёр функцийг нэг дор алдах эрсдэлтэй. -ээс хойш эдгээр функцууд нь:

Эхний функц нь тэгшитгэлийн шийдэл болох нь ойлгомжтой . Бид хоёр дахь нь шалгадаг - бид мөн түүний деривативыг диффузордоо орлуулдаг:

– зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь функц нь бас шийдэл гэсэн үг юм.

БА Бид эдгээр шийдвэрийг алдах эрсдэлтэй.

Нэмж дурдахад хуваагч нь "X" болж хувирав шалгахаа мартуузай, нь анхны дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл биш юм. Үгүй ээ.

Энэ бүхнийг тэмдэглээд үргэлжлүүлье:

Би зүүн талын интегралаар азтай байсан гэж хэлэх ёстой, энэ нь илүү муу байж магадгүй юм.

Бид баруун талд ганц логарифм цуглуулж, дөнгө шиднэ.

Одоо зүгээр л урвуу орлуулалт:

Бүх нэр томъёог дараах байдлаар үржүүлье.

Одоо та шалгах хэрэгтэй - "аюултай" шийдлүүд ерөнхий интегралд орсон эсэх. Тийм ээ, хоёр шийдлийг ерөнхий интегралд тогтмолын тэг утгад оруулсан болно: , тиймээс тэдгээрийг нэмэлт байдлаар зааж өгөх шаардлагагүй. хариулах:

ерөнхий интеграл:

Шалгалт. Туршилт ч биш, харин цэвэр таашаал :)

Анхны дифференциал тэгшитгэлийг олж авсан нь шийдлийг зөв олсон гэсэн үг юм.

Үүнийг өөрөө шийдэхийн тулд:

Жишээ 4

Нэг төрлийн байдлын тест хийж, дифференциал тэгшитгэлийг шийднэ

Ерөнхий интегралыг ялгах замаар шалгана уу.

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Өөр хэд хэдэн ердийн жишээг харцгаая:

Жишээ 5

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

ШийдэлБид үүнийг илүү авсаархан загварчилж хэвших болно. Нэгдүгээрт, оюун санааны хувьд эсвэл ноорог дээр бид хувьсагчдыг энд салгах боломжгүй эсэхийг шалгаад дараа нь бид нэгэн төрлийн байдлын тест хийдэг - энэ нь ихэвчлэн эцсийн ноорог дээр хийгддэггүй. (тусгай шаардлагагүй бол). Тиймээс шийдэл нь бараг үргэлж дараах оруулгаас эхэлдэг. Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн тул орлуулалтыг хийцгээе: ...».

Орлуулж, бид зодуулсан замаар явна:

Энд "X" сайн байна, гэхдээ квадрат гурвалжингийн талаар юу хэлэх вэ? Энэ нь хүчин зүйлд задардаггүй тул: , тэгвэл бид шийдлээ алдахгүй нь гарцаагүй. Энэ нь үргэлж ийм байх болно! Зүүн талд байгаа бүтэн квадратыг сонгоод нэгтгэнэ үү:

Энд хялбарчлах зүйл байхгүй тул урвуу орлуулалт:

Хариулт:ерөнхий интеграл:

Бие даасан шийдлийн дараах жишээ:

Жишээ 6

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Энэ нь ижил төстэй тэгшитгэлүүд мэт санагдах боловч тийм ч том ялгаа байхгүй;)

Тэгээд одоо хөгжилтэй эхэлж байна! Эхлээд нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг бэлэн дифференциалаар өгвөл юу хийхээ олж мэдье.

Жишээ 7

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Энэ бол маш сонирхолтой жишээ, бүхэл бүтэн триллер!

Шийдэл: хэрэв нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь бэлэн дифференциал агуулсан байвал өөрчилсөн орлуулалтаар шийдэж болно.

Гэхдээ би ийм орлуулалтыг ашиглахыг зөвлөдөггүй, учир нь энэ нь танд нүд, нүд хэрэгтэй Хятадын цагаан хэрэм болж хувирах болно. Техникийн үүднээс авч үзвэл деривативын "тасархай" тэмдэглэгээ рүү шилжих нь илүү давуу талтай бөгөөд үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваана.

Энд бид аль хэдийн "аюултай" өөрчлөлтийг хийсэн!Тэг дифференциал нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын бүлэгт тохирно. Тэд манай DU-ийн үндэс мөн үү? Анхны тэгшитгэлд орлуулъя:

Хэрэв бид хуваахдаа шийдлийг алдах эрсдэлтэй байсан бол энэ тэгш байдал хүчинтэй байна. мөн бид түүнийг алдсан- тэрнээс хойш сэтгэл хангалуун байхаа больсонүүссэн тэгшитгэл .

Хэрэв бид үүнийг тэмдэглэх хэрэгтэй эхэндээтэгшитгэлийг өгсөн , тэгвэл язгуурын тухай яриа байхгүй болно. Гэхдээ бидэнд байгаа бөгөөд бид үүнийг цаг тухайд нь барьж авсан.

Бид шийдлийг стандарт солих замаар үргэлжлүүлнэ:
:

Орлуулсны дараа бид тэгшитгэлийг аль болох хялбарчилж байна.

Бид хувьсагчдыг ялгадаг:

Энд дахин ЗОГС: хуваахдаа бид хоёр функцээ алдах эрсдэлтэй. -ээс хойш эдгээр функцууд нь:

Эхний функц нь тэгшитгэлийн шийдэл болох нь ойлгомжтой . Бид хоёр дахь нь шалгадаг - бид мөн түүний деривативыг орлуулдаг:

- хүлээн авсан жинхэнэ тэгш байдал, энэ нь функц нь мөн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл гэсэн үг юм.

Мөн хуваахдаа бид эдгээр шийдлүүдийг алдах эрсдэлтэй. Гэсэн хэдий ч тэд ерөнхий интегралд орж болно. Гэхдээ тэд орохгүй байж магадгүй юм

Үүнийг анхаарч, хоёр хэсгийг нэгтгэцгээе:

Зүүн талын интегралыг стандарт аргаар шийддэг бүтэн квадратыг онцлон тэмдэглэв, гэхдээ энэ нь диффузорт ашиглахад илүү тохиромжтой тодорхойгүй коэффициентийн арга:

Тодорхой бус коэффициентийн аргыг ашиглан бид интегралыг энгийн бутархайн нийлбэр болгон өргөжүүлнэ.


Тиймээс:

Интегралуудыг олох нь:

– Бид зөвхөн логарифм зурсан тул тогтмолыг логарифмын доор оруулдаг.

Солихын өмнө хялбаршуулж болох бүх зүйлийг дахин хялбарчилж байна:

Гинжийг дахин тохируулах:

Мөн урвуу орлуулалт:

Одоо "алдагдсан зүйлс" -ийн талаар эргэн санацгаая: шийдэл нь ерөнхий интегралд багтсан боловч "кассын хажуугаар өнгөрчээ", учир нь хуваагч болж хувирсан. Тиймээс, хариултанд энэ нь тусдаа хэллэгээр шагнагдсан бөгөөд тийм ээ - алдагдсан шийдлийн талаар бүү мартаарай, энэ нь мөн доор байна.

Хариулт:ерөнхий интеграл: . Илүү олон шийдэл:

Энд ерөнхий шийдлийг илэрхийлэх нь тийм ч хэцүү биш юм:
, гэхдээ энэ нь аль хэдийн шоу болсон.

Гэхдээ шалгахад тохиромжтой. Деривативыг олцгооё:

ба орлуулах тэгшитгэлийн зүүн талд:

- Үүний үр дүнд тэгшитгэлийн баруун талыг олж авсан бөгөөд үүнийг шалгах шаардлагатай байв.

Одоо үндэстэй эрэл хайгуул бол энэ нь бас нийтлэг бөгөөд маш нууцлаг тохиолдол юм:

Жишээ 8

Дифференциал тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл: Тэгшитгэл нэг төрлийн байгаа эсэхийг амаар баталгаажуулж, анхны хайрыг анхны тэгшитгэлд орлуулна уу:

Энд аюул биднийг аль хэдийн хүлээж байна. Гол нь энэ баримтыг мартах нь маш амархан:

Сайхан сурталчилгаа!

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 2: Шийдэл:Энэ зорилгоор анхны тэгшитгэлд тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн байдлыг шалгая оронд ньорлуулъя, ба оронд ньорлуулъя:

Үүний үр дүнд анхны тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд энэ нь DE нь нэгэн төрлийн байна гэсэн үг юм.