Призм бол геометрийн гурван хэмжээст дүрс бөгөөд түүний шинж чанар, шинж чанарыг ахлах сургуульд судалдаг. Дүрмээр бол үүнийг судлахдаа эзэлхүүн, гадаргуугийн талбай зэрэг хэмжигдэхүүнийг харгалзан үздэг. Энэ нийтлэлд бид арай өөр асуултыг авч үзэх болно: дөрвөлжин дүрсийн жишээг ашиглан призмийн диагональуудын уртыг тодорхойлох аргыг танилцуулах болно.

Ямар хэлбэрийг призм гэж нэрлэдэг вэ?

Геометрийн хувьд призмийн дараах тодорхойлолтыг өгсөн: энэ нь бие биентэйгээ параллель байрладаг хоёр ижил олон өнцөгт талууд ба тодорхой тооны параллелограммуудаар хүрээлэгдсэн гурван хэмжээст дүрс юм. Доорх зурагт энэ тодорхойлолтод тохирох призмийн жишээг үзүүлэв.

Хоёр улаан таван өнцөгт нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд хоёр зэрэгцээ хавтгайд байгааг бид харж байна. Таван ягаан параллелограммууд нь эдгээр таван өнцөгтийг хатуу биет - призм болгон холбодог. Хоёр таван өнцөгтийг зургийн суурь гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний параллелограммууд нь хажуугийн нүүрнүүд юм.

Призм нь шулуун эсвэл ташуу хэлбэртэй байж болно, мөн тэгш өнцөгт эсвэл ташуу гэж нэрлэдэг. Тэдний хоорондох ялгаа нь суурь ба хажуугийн ирмэгийн хоорондох өнцөгт оршино. Тэгш өнцөгт призмийн хувьд эдгээр бүх өнцөг нь 90 o-тэй тэнцүү байна.

Суурийн олон өнцөгтийн талууд эсвэл оройн тоон дээр үндэслэн тэд гурвалжин, таван өнцөгт, дөрвөлжин призм гэх мэтийг ярьдаг. Түүнээс гадна, хэрэв энэ олон өнцөгт нь тогтмол бөгөөд призм нь өөрөө шулуун байвал ийм дүрсийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Өмнөх зурагт үзүүлсэн призм нь таван өнцөгт налуу юм. Доорх нь тэгш өнцөгт таван өнцөгт призм юм.

Призмийн диагональуудыг тодорхойлох аргыг багтаасан бүх тооцоог хийх нь тохиромжтой, ялангуяа зөв дүрсийн хувьд.

Призмийг ямар элементүүд тодорхойлдог вэ?

Зургийн элементүүд нь түүнийг бүрдүүлдэг бүрэлдэхүүн хэсгүүд юм. Призмийн хувьд үндсэн гурван төрлийн элементийг ялгаж салгаж болно.

• орой;
• ирмэг эсвэл хажуу тал;
• хавирга

Нүүрийг ерөнхий тохиолдолд параллелограммыг илэрхийлдэг суурь ба хажуугийн хавтгай гэж үзнэ. Призм дээр тал бүр нь үргэлж хоёр төрлийн нэг байдаг: энэ нь олон өнцөгт эсвэл параллелограмм юм.

Призмийн ирмэгүүд нь зургийн тал бүрийг хязгаарладаг сегментүүд юм. Нүүрний нэгэн адил ирмэгүүд нь үндсэн ба хажуугийн гадаргуу эсвэл зөвхөн хажуугийн гадаргууд хамаарах хоёр төрөлтэй. Призмийн төрлөөс үл хамааран эхнийх нь сүүлчийнхээс хоёр дахин их байдаг.

Оройнууд нь призмийн гурван ирмэгийн огтлолцох цэгүүд бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь суурийн хавтгайд байрладаг ба гурав дахь нь хоёр хажуугийн нүүрэнд хамаарна. Призмийн бүх оройнууд нь зургийн суурийн хавтгайд байрладаг.

Тайлбарласан элементүүдийн тоог нэг тэгшитгэлд холбосон бөгөөд энэ нь дараах хэлбэртэй байна.

P = B + C - 2.

Энд P нь ирмэгийн тоо, B - орой, C - талууд. Энэ тэгш байдлыг Эйлерийн олон талт теорем гэж нэрлэдэг.

Зураг дээр гурвалжин ердийн призмийг харуулж байна. 6 орой, 5 тал, 9 ирмэгтэй гэж хүн бүр тоолж чадна. Эдгээр тоонууд нь Эйлерийн теоремтой нийцэж байна.

Призмийн диагональууд

Эзлэхүүн, гадаргуугийн талбай гэх мэт шинж чанаруудын дараа геометрийн асуудалд бид ихэвчлэн өгөгдсөн эсвэл бусад мэдэгдэж буй параметрүүдийг ашиглан олох шаардлагатай байгаа зургийн тодорхой диагоналын урттай холбоотой мэдээлэлтэй тулгардаг. Призм ямар диагональтай болохыг авч үзье.

Бүх диагональуудыг хоёр төрөлд хувааж болно.

1. Нүүрний хавтгайд хэвтэж байна. Тэд призмийн суурь дээр олон өнцөгт эсвэл хажуугийн гадаргуу дээрх параллелограммын зэргэлдээ бус оройг холбодог. Ийм диагональуудын уртын утгыг харгалзах ирмэгүүдийн урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн талаархи мэдлэг дээр үндэслэн тодорхойлно. Параллелограммын диагональуудыг тодорхойлохын тулд гурвалжны шинж чанарыг үргэлж ашигладаг.
2. Эзлэхүүн дотор байрлах призмүүд. Эдгээр диагональууд нь хоёр суурийн ялгаатай оройг холбодог. Эдгээр диагональууд нь зургийн дотор бүрэн байрладаг. Тэдний уртыг тооцоолоход өмнөх төрлөөс арай илүү хэцүү байдаг. Тооцооллын арга нь хавирга ба суурийн урт, параллелограммыг харгалзан үзэх явдал юм. Шулуун ба тогтмол призмүүдийн хувьд тооцоолол нь Пифагорын теорем болон тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарыг ашиглан хийгддэг тул харьцангуй хялбар байдаг.

Дөрвөн өнцөгт баруун призмийн талуудын диагональууд

Дээрх зурагт дөрвөн ижил шулуун призмийг харуулсан бөгөөд тэдгээрийн ирмэгийн параметрүүдийг өгсөн болно. Диагональ А, диагональ В, диагональ С призм дээр тасархай улаан шугам нь гурван өөр нүүрний диагональуудыг харуулж байна. Призм нь 5 см өндөртэй шулуун шугам бөгөөд түүний суурийг 3 см ба 2 см талуудтай тэгш өнцөгтөөр дүрсэлсэн тул тэмдэглэсэн диагональуудыг олоход хэцүү биш юм. Үүнийг хийхийн тулд та Пифагорын теоремыг ашиглах хэрэгтэй.

Призмийн суурийн диагональ урт (диагональ А) нь дараахтай тэнцүү байна.

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3.606 см.

Призмийн хажуугийн нүүрний хувьд диагональ нь тэнцүү байна (диагональ В-г үзнэ үү):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5.831 см.

Эцэст нь, өөр хажуугийн диагональ урт нь (Диагональ С-ийг үзнэ үү):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5.385 см.

Дотоод диагональ урт

Одоо өмнөх зурагт үзүүлсэн дөрвөлжин призмийн диагоналын уртыг тооцоод үзье (диагональ D). Хэрэв та гурвалжны гипотенуз болох хөл нь призмийн өндөр (5 см) ба диагональ D A зүүн дээд талд байгаа зурагт (диагональ А) байгааг анзаарсан бол үүнийг хийхэд тийм ч хэцүү биш юм. Дараа нь бид:

D D = √(D A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6.164 см.

Тогтмол дөрвөлжин призм

Суурь нь дөрвөлжин хэлбэртэй ердийн призмийн диагональ нь дээрх жишээн дээрхтэй ижил аргаар тооцоологддог. Холбогдох томъёо нь:

D = √(2*a 2 +c 2).

Энд a ба c нь суурийн хажуугийн урт ба хажуугийн ирмэгийн урт юм.

Тооцоололд бид зөвхөн Пифагорын теоремыг ашигласан гэдгийг анхаарна уу. Олон тооны оройтой (таван өнцөгт, зургаан өнцөгт гэх мэт) ердийн призмүүдийн диагональуудын уртыг тодорхойлохын тулд тригонометрийн функцуудыг ашиглах шаардлагатай болсон.

Тодорхойлолт.

Энэ бол зургаан өнцөгт бөгөөд суурь нь хоёр тэнцүү квадрат, хажуугийн нүүр нь тэнцүү тэгш өнцөгт юм.

Хажуугийн хавирга- хоёр зэргэлдээх хажуугийн нүүрний нийтлэг тал юм

Призмийн өндөр- энэ бол призмийн суурийн перпендикуляр сегмент юм

Призм диагональ- нэг нүүрэнд хамаарахгүй суурийн хоёр оройг холбосон сегмент

Диагональ хавтгай- призмийн диагональ ба түүний хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгай

Диагональ хэсэг- призм ба диагональ хавтгайн огтлолцлын хил хязгаар. Ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ хөндлөн огтлол нь тэгш өнцөгт юм

Перпендикуляр огтлол (orthogonal хэсэг)- энэ бол призм ба түүний хажуугийн ирмэгт перпендикуляр татсан хавтгайн огтлолцол юм.

Энгийн дөрвөлжин призмийн элементүүд

Зураг дээр хоёр ердийн дөрвөлжин призмийг харуулсан бөгөөд тэдгээрийг харгалзах үсгээр тэмдэглэсэн болно.

• ABCD ба A 1 B 1 C 1 D 1 суурь нь хоорондоо тэнцүү ба параллель байна
• Хажуугийн нүүрнүүд AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ба CC 1 D 1 D, тус бүр нь тэгш өнцөгт юм
• Хажуугийн гадаргуу - призмийн бүх хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр
• Нийт гадаргуу - бүх суурь ба хажуугийн гадаргуугийн нийлбэр (хажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэр)
• Хажуугийн хавирга AA 1, BB 1, CC 1 ба DD 1.
• Диагональ B 1 D
• Үндсэн диагональ BD
• Диагональ хэсэг BB 1 D 1 D
• Перпендикуляр огтлол A 2 B 2 C 2 D 2.

Энгийн дөрвөлжин призмийн шинж чанарууд

• Суурь нь хоёр тэнцүү квадрат юм
• Суурь нь хоорондоо параллель байна
• Хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна
• Хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү байна
• Хажуугийн нүүр нь суурьтай перпендикуляр байна
• Хажуугийн хавирга нь хоорондоо параллель, тэнцүү байна
• Хажуугийн бүх хавиргатай перпендикуляр, суурьтай параллель перпендикуляр хэсэг
• Перпендикуляр огтлолын өнцөг - шулуун
• Ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ хөндлөн огтлол нь тэгш өнцөгт юм
• Суурьтай параллель перпендикуляр (ортогональ хэсэг).

Энгийн дөрвөлжин призмийн томъёо

Асуудлыг шийдвэрлэх заавар

Сэдвийн асуудал шийдвэрлэх үед " ердийн дөрвөлжин призм" гэсэн үг:

Зөв призм- суурь нь ердийн олон өнцөгт байрладаг, хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байдаг призм. Өөрөөр хэлбэл ердийн дөрвөлжин призм нь түүний сууринд байдаг дөрвөлжин. (дээрх ердийн дөрвөлжин призмийн шинж чанарыг харна уу) Анхаарна уу. Энэ бол геометрийн асуудлууд (хэсэг стереометр - призм) бүхий хичээлийн нэг хэсэг юм. Энд шийдвэрлэхэд хэцүү асуудлууд байна. Хэрэв та энд байхгүй геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Бодлого шийдвэрлэхдээ квадрат язгуурыг гаргаж авах үйлдлийг тэмдэглэхийн тулд тэмдэглэгээг ашиглана√ .

Даалгавар.

Энгийн дөрвөлжин призмийн суурийн талбай 144 см 2 өндөр нь 14 см Призмийн диагональ ба нийт гадаргуугийн талбайг ол.

Шийдэл.
Ердийн дөрвөлжин бол дөрвөлжин юм.
Үүний дагуу суурийн тал нь тэнцүү байх болно

√144 = 12 см.
Энгийн тэгш өнцөгт призмийн суурийн диагональ хаанаас тэнцүү байх болно
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Энгийн призмийн диагональ нь суурийн диагональ ба призмийн өндөртэй тэгш өнцөгт гурвалжныг үүсгэдэг. Үүний дагуу Пифагорын теоремын дагуу өгөгдсөн ердийн дөрвөлжин призмийн диагональ нь дараахтай тэнцүү байх болно.
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Хариулах: 22 см

Даалгавар

Энгийн дөрвөлжин призмийн диагональ нь 5 см, хажуугийнх нь диагональ нь 4 см бол түүний нийт гадаргууг тодорхойл.

Шийдэл.
Энгийн дөрвөлжин призмийн суурь нь дөрвөлжин тул суурийн талыг (а гэж тэмдэглэсэн) Пифагорын теоремыг ашиглан олно.

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Хажуугийн нүүрний өндөр (h гэж тэмдэглэгдсэн) дараа нь дараахтай тэнцүү байна.

H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5

Гадаргуугийн нийт талбай нь хажуугийн гадаргуугийн нийлбэр ба суурийн талбайгаас хоёр дахин их хэмжээтэй тэнцүү байна

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 см 2.

Хариулт: 25 + 10√7 ≈ 51.46 см 2.

Үзүүлэнгийн тайлбарыг бие даасан слайдаар хийх:

1 слайд

Слайдын тайлбар:

2 слайд

Слайдын тайлбар:

Тодорхойлолт 1. Хоёр нүүр нь параллель хавтгайд орших ижил нэртэй олон өнцөгт бөгөөд эдгээр хавтгайд хэвтээгүй аливаа хоёр ирмэг нь параллель байх олон өнцөгтийг призм гэнэ. "Призм" гэдэг нэр томъёо нь Грекээс гаралтай бөгөөд шууд утгаараа "хөрөөдөж авсан" (бие) гэсэн утгатай. Зэрэгцээ хавтгайд байрлах олон өнцөгтийг призмийн суурь гэж нэрлэдэг ба үлдсэн нүүрийг хажуугийн нүүр гэж нэрлэдэг. Призмийн гадаргуу нь хоёр тэнцүү олон өнцөгт (суурь) ба параллелограммаас (хажуугийн нүүр) бүрдэнэ. Гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, таван өнцөгт гэх мэт призмүүд байдаг. суурийн оройн тооноос хамаарна.

3 слайд

Слайдын тайлбар:

Бүх призмийг шулуун ба налуу гэж хуваадаг. (Зураг 2) Хэрэв призмийн хажуугийн ирмэг нь суурийнх нь хавтгайд перпендикуляр байвал ийм призмийг шулуун гэж нэрлэдэг; Призмийн хажуугийн ирмэг нь суурийнх нь хавтгайд перпендикуляр байвал ийм призмийг налуу гэж нэрлэдэг. Шулуун призм нь тэгш өнцөгт хажуугийн нүүртэй. Төгсгөл нь эдгээр хавтгайд хамаарах суурийн хавтгайд перпендикуляр байхыг призмийн өндөр гэнэ.

4 слайд

Слайдын тайлбар:

Призмийн шинж чанарууд. 1. Призмийн суурь нь тэнцүү олон өнцөгтүүд юм. 2. Призмийн хажуугийн нүүрнүүд нь параллелограммууд юм. 3. Призмийн хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна.

5 слайд

Слайдын тайлбар:

Призмийн гадаргуугийн талбай ба призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай. Олон өнцөгтийн гадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны олон өнцөгт (нүүр) -ээс бүрдэнэ. Олон өнцөгтийн гадаргуугийн талбай нь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм. Призмийн гадаргуугийн талбай (Spr) нь түүний хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр (Sside хажуугийн гадаргуугийн талбай) ба хоёр суурийн талбайн (2Sbas) тэнцүү олон өнцөгтүүд: Spop = Sside + 2Sbas. Теорем. Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь түүний перпендикуляр хэсгийн периметр ба хажуугийн ирмэгийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна.

6 слайд

Слайдын тайлбар:

Баталгаа. Шулуун призмийн хажуугийн нүүрнүүд нь тэгш өнцөгтүүд бөгөөд тэдгээрийн суурь нь призмийн суурийн талууд бөгөөд өндөр нь призмийн өндөр h-тэй тэнцүү байна. Призмийн гадаргуугийн хажуу тал нь заасан гурвалжны S нийлбэртэй тэнцүү байна. суурийн хажуугийн үржвэрийн нийлбэр ба өндөр h-тэй тэнцүү. h коэффициентийг хаалтнаас гаргаж авснаар бид призмийн суурийн талуудын нийлбэрийг хаалтанд авна, өөрөөр хэлбэл. периметр P. Тэгэхээр, Sside = Ph. Теорем нь батлагдсан. Үр дагавар. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай нь түүний суурийн периметр ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна. Үнэн хэрэгтээ шулуун призм дээр суурийг перпендикуляр хэсэг гэж үзэж болох бөгөөд хажуугийн ирмэг нь өндөр юм.

7 слайд

Слайдын тайлбар:

Призмийн огтлол 1. Призмийг суурьтай параллель хавтгайгаар огтлох. Хэсэг нь суурь дээр байрлах олон өнцөгттэй тэнцүү олон өнцөгт үүсгэдэг. 2. Зэргэлдээгүй хоёр хажуу ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар призмийн зүсэлт. Хөндлөн огтлолд параллелограмм үүсдэг. Энэ хэсгийг призмийн диагональ хэсэг гэж нэрлэдэг. Зарим тохиолдолд үр дүн нь алмааз, тэгш өнцөгт эсвэл дөрвөлжин хэлбэртэй байж болно.

8 слайд

Слайдын тайлбар:

Слайд 9

Слайдын тайлбар:

Тодорхойлолт 2. Суурь нь ердийн олон өнцөгт тэгш өнцөгт призмийг ердийн призм гэнэ. Энгийн призмийн шинж чанарууд 1. Энгийн призмийн суурь нь ердийн олон өнцөгт юм. 2. Энгийн призмийн хажуугийн гадаргуу нь тэнцүү тэгш өнцөгтүүд юм. 3. Энгийн призмийн хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна.

10 слайд

Слайдын тайлбар:

Ердийн призмийн хэсэг. 1. Суурьтай параллель хавтгайтай жирийн призмийн зүсэлт. Хэсэг нь сууринд байрлах олон өнцөгттэй тэнцүү ердийн олон өнцөгт үүсгэдэг. 2. Зэргэлдээгүй хоёр хажуу ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайгаар жирийн призмийн зүсэлт. Хөндлөн огтлолд тэгш өнцөгт үүснэ. Зарим тохиолдолд дөрвөлжин хэлбэртэй байж болно.

11 слайд

Слайдын тайлбар:

Энгийн призмийн тэгш хэм 1. Суурийн тэгш тооны талуудтай тэгш хэмийн төв нь ердийн призмийн диагональуудын огтлолцлын цэг юм (Зураг 6).

Гурвалжин призм нь тэгш өнцөгт ба гурвалжныг холбосноор үүссэн гурван хэмжээст хатуу биет юм. Энэ хичээлээр та гурвалжин призмийн дотор (эзэлхүүн) болон гадна (гадаргуу) хэмжээг хэрхэн олох талаар сурах болно.

Гурвалжин призм нь хоёр гурвалжин байрладаг, призмийн хоёр нүүрийг бүрдүүлдэг хоёр зэрэгцээ хавтгайгаас үүссэн пентаэдр, үлдсэн гурван нүүр нь гурвалжны хажуу талаас үүссэн параллелограммууд юм.

Гурвалжин призмийн элементүүд

ABC ба A 1 B 1 C 1 гурвалжингууд призмийн суурь .

A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 ба A 1 C 1 CA дөрвөн өнцөгтүүд нь призмийн хажуугийн нүүрнүүд .

Нүүрний талууд нь призм хавирга(A 1 B 1, A 1 C 1, C 1 B 1, AA 1, CC 1, BB 1, AB, BC, AC), гурвалжин призм нь нийт 9 нүүртэй.

Призмийн өндөр нь призмийн хоёр нүүрийг холбосон перпендикуляр сегмент юм (зураг дээр энэ нь h).

Призмийн диагональ нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй призмийн хоёр орой дээр төгсгөлүүдтэй сегмент юм. Гурвалжин призмийн хувьд ийм диагональ зурж болохгүй.

Суурийн талбай призмийн гурвалжин нүүрний талбай юм.

призмийн дөрвөлжин нүүрний талбайн нийлбэр юм.

Гурвалжин призмийн төрлүүд

Шулуун ба налуу гэсэн хоёр төрлийн гурвалжин призм байдаг.

Шулуун призм нь тэгш өнцөгт хажуу талтай, налуу призм нь параллелограмм талтай (зураг харна уу)

Хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байдаг призмийг шулуун гэж нэрлэдэг.

Хажуугийн ирмэгүүд нь суурийн хавтгайд налуу байрладаг призмийг налуу гэж нэрлэдэг.

Гурвалжин призмийг тооцоолох үндсэн томъёо

Гурвалжин призмийн эзэлхүүн

Гурвалжин призмийн эзэлхүүнийг олохын тулд түүний суурийн талбайг призмийн өндрөөр үржүүлэх хэрэгтэй.

Призмийн эзэлхүүн = суурийн талбай x өндөр

V=S үндсэн h

Призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай

Гурвалжин призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайг олохын тулд түүний суурийн периметрийг өндрөөр нь үржүүлэх хэрэгтэй.

Гурвалжин призмийн хажуугийн гадаргуугийн талбай = суурийн периметр x өндөр

S тал = P гол h

Призмийн нийт гадаргуугийн талбай

Призмийн нийт гадаргуугийн талбайг олохын тулд түүний суурь ба хажуугийн гадаргууг нэмэх шаардлагатай.

оноос хойш S тал = P гол. h, тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

S бүтэн эргэлт =P үндсэн h+2S үндсэн

Зөв призм - суурь нь ердийн олон өнцөгт шулуун призм.

Призмийн шинж чанарууд:

Призмийн дээд ба доод суурь нь тэнцүү олон өнцөгтүүд юм.
Призмийн хажуугийн нүүр нь параллелограмм хэлбэртэй байна.
Призмийн хажуугийн ирмэгүүд нь параллель ба тэнцүү байна.

Зөвлөмж: Гурвалжин призмийг тооцоолохдоо ашигласан нэгжүүдэд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Жишээлбэл, суурийн талбайг см 2-оор зааж өгсөн бол өндрийг сантиметрээр, эзэлхүүнийг см 3-аар илэрхийлнэ. Хэрэв суурийн талбай нь мм 2 бол өндрийг мм, эзэлхүүнийг мм 3 гэх мэтээр илэрхийлнэ.

Призмийн жишээ

Энэ жишээнд:
— ABC ба DEF нь призмийн гурвалжин суурийг бүрдүүлдэг
- ABED, BCFE, ACFD нь тэгш өнцөгт хажуугийн нүүр юм
— DA, EB ба FC хажуугийн ирмэгүүд нь призмийн өндөртэй тохирч байна.
— A, B, C, D, E, F цэгүүд нь призмийн оройнууд юм.

Гурвалжин призмийг тооцоолох асуудал

Асуудал 1. Тэгш өнцөгт призмийн суурь нь 6 ба 8 хөлтэй, хажуугийн ирмэг нь 5. Призмийн эзэлхүүнийг ол.
Шийдэл:Шулуун призмийн эзэлхүүн нь V = Sh-тэй тэнцүү бөгөөд S нь суурийн талбай, h нь хажуугийн ирмэг юм. Энэ тохиолдолд суурийн талбай нь тэгш өнцөгт гурвалжны талбай юм (түүний талбай нь 6 ба 8 талтай тэгш өнцөгтийн талбайн хагастай тэнцүү). Тиймээс эзлэхүүн нь тэнцүү байна:

V = 1/2 6 8 5 = 120.

Даалгавар 2.

Гурвалжин призмийн суурийн дунд шугамаар хажуугийн ирмэгтэй параллель хавтгайг татна. Таслагдсан гурвалжин призмийн эзэлхүүн 5. Анхны призмийн эзэлхүүнийг ол.

Шийдэл:

Призмийн эзэлхүүн нь суурийн талбай ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байна: V = S суурь h.

Анхны призмийн суурь дээр байрлах гурвалжин нь таслагдсан призмийн сууринд байрлах гурвалжинтай төстэй. Хэсгийг дунд шугамаар зурсан тул ижил төстэй байдлын коэффициент нь 2 байна (том гурвалжны шугаман хэмжээсүүд нь жижиг гурвалжны шугаман хэмжээсээс хоёр дахин том). Ижил төстэй дүрсүүдийн талбайнууд нь ижил төстэй байдлын коэффициентийн квадрат байдлаар хамааралтай болохыг мэддэг бөгөөд өөрөөр хэлбэл S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1.

Бүх призмийн суурийн талбай нь таслагдсан призмийн суурийн талбайгаас 4 дахин их байна. Хоёр призмийн өндөр ижил тул бүх призмийн эзэлхүүн нь огтлолын призмийн эзэлхүүнээс 4 дахин их байна.

Тиймээс шаардлагатай хэмжээ нь 20 байна.

Диагональ огтлолууд Призмийн суурийн диагональ ба түүнтэй зэргэлдээх хажуугийн хоёр ирмэгийг дайран өнгөрөх хавтгайг призмийн диагональ огтлол гэнэ. Суурийн диагональ ба оройг дайран өнгөрөх хавтгайтай пирамидын хэсгийг пирамидын диагональ хэсэг гэнэ. Онгоц пирамидыг огтолж, суурьтай параллель байг. Энэ хавтгай ба суурийн хооронд бэхлэгдсэн пирамидын хэсгийг таслагдсан пирамид гэж нэрлэдэг. Пирамидын хөндлөн огтлолыг мөн таслагдсан пирамидын суурь гэж нэрлэдэг.

Хэсэг барих Полиэдрийн хэсгүүдийг барихдаа үндсэн зүйл бол шулуун ба хавтгайн огтлолцох цэг, түүнчлэн хоёр хавтгайн огтлолцох шугамыг барих явдал юм. Шугамын А ба В хоёр цэг өгөгдсөн ба тэдгээрийн хавтгай дээрх А' ба В' проекцууд нь мэдэгдэж байвал шулуун ба хавтгайн өгөгдлийн огтлолцлын С цэг нь шулуунуудын огтлолцлын цэг болно. AB ба A'B' Хавтгайн A, B, C гэсэн гурван цэг өгөгдсөн бөгөөд тэдгээрийн A', B', C' проекцууд нь өөр хавтгайд байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугамыг олохын тулд P цэгүүд болно. ба AB ба AC шулуунуудын хоёр дахь хавтгайтай огтлолцох Q нь олддог. PQ шулуун шугам нь онгоцнуудын хүссэн огтлолцох шугам байх болно.

Дасгал 1 Кубын ирмэг ба орой В орой дээр байрлах E, F цэгүүдийг дайран өнгөрч буй хавтгайтай шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуул. E, F цэгүүд ба В оройг дайран өнгөрөх шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуулахын тулд E ба B, F, B цэгүүдийг хэрчмүүдтэй холбоно.E, F цэгүүдээр дамжуулан BF, BE цэгүүдтэй параллель шугамуудыг тус тус татна. Үүссэн параллелограмм BFGE нь хүссэн хэсэг байх болно.

Дасгал 2 Шооны ирмэг дээр хэвтэх E, F, G цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайтай шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуул. Шийдэл. E, F, G цэгүүдийг дайран өнгөрөх шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуулахын тулд EF шулуун зурж, түүний AD-тай огтлолцох цэгийг P гэж тэмдэглэнэ. PG ба AB шулуунуудын огтлолцох цэгийг Q гэж тэмдэглэе. E ба Q, F ба G цэгүүдийг холбоноё. Үр дүнд нь трапецын EFGQ нь хүссэн хэсэг байх болно.

Дасгал 3 Кубын ирмэг дээр хэвтэх E, F, G цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайтай шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуул. Шийдэл. E, F, G цэгүүдийг дайран өнгөрөх шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуулахын тулд EF шулуун зурж, түүний AD-тай огтлолцох цэгийг P гэж тэмдэглэнэ. PG шулуун шугамын AB ба DC-тэй огтлолцох цэгүүдийг Q, R гэж тэмдэглэе. FR-ийн CC 1-тэй огтлолцох цэгийг S-ээр тэмдэглэе. E ба Q, G ба S цэгүүдийг холбоно. Үүссэн таван өнцөгт EFSGQ нь хүссэн зүсэлт болно.

Дасгал 4 Кубын ирмэг дээр хэвтэх E, F, G цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайтай шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуул. Шийдэл. E, F, G цэгүүдийг дайран өнгөрөх шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуулахын тулд EF шулуун ба ABCD нүүрний хавтгайн огтлолцох P цэгийг олно. PG шулуун шугамын AB ба CD-тэй огтлолцох цэгүүдийг Q, R гэж тэмдэглэе. RF шугамыг зурж, түүний CC 1 ба DD 1-тэй огтлолцох цэгүүдийг S, T гэж тэмдэглэнэ. TE шугамыг зурж, A 1 D-тэй огтлолцох цэгийг U гэж тэмдэглэнэ 1. E ба Q, G ба S, U ба F цэгүүдийг холбоно уу. Үүссэн зургаан өнцөгт EUFSGQ нь хүссэн хэсэг байх болно.

Дасгал 5 BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B нүүрүүдэд хамаарах E, F, G цэгүүдийг дайран өнгөрч буй хавтгайгаар кубын зүсэлтийг байгуул. Шийдэл. Эдгээр цэгүүдээс бид EE’, FF’, GG’ перпендикуляруудыг ABCD нүүрний хавтгайд буулгаж, FE ба FG шулуунуудын энэ хавтгайтай огтлолцох I ба H цэгүүдийг олно. IH нь хүссэн хавтгай ба ABCD нүүрний хавтгайн огтлолцох шугам байх болно. IH шулуун шугамын AB ба ВС-тай огтлолцох цэгүүдийг Q, R гэж тэмдэглэе. PG ба QE шулуунуудыг зурж, R, S-г AA 1 ба CC 1-тэй огтлолцох цэгүүдийг тэмдэглэе. PR, PQ, QS-тай параллель SU, UV, RV шулуунуудыг зуръя. Үүссэн зургаан өнцөгт RPQSUV нь хүссэн хэсэг байх болно.

Дасгал 6 Кубын ирмэг дээр байрлах E, F цэгүүдийг дайран өнгөрч буй хавтгай БД диагональтай параллель шоо дөрвөлжин хэсгийг байгуул. Шийдэл. BD-тэй параллель FG ба EH шугамуудыг зурцгаая. EG-тэй параллель FP шулуун шугамыг зурж, P ба G цэгүүдийг холбоно. E ба G, F ба H цэгүүдийг холбоно. Үүссэн таван өнцөгт EGPFH нь шаардлагатай хэсэг болно.

ABCA 1 B 1 C 1 призмийн огтлолыг E, F, G цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайгаар байгуул. Дасгал 8 Шийдэл. E ба F цэгүүдийг холбоно. FG шугам ба түүний CC 1-тэй огтлолцох цэгийг H гэж тэмдэглэе. EH шулуун ба түүний огтлолцох цэгийг A 1 C 1-тэй зурж, I гэж тэмдэглэе. I ба G цэгүүдийг холбоно. Үүссэн дөрвөлжин EFGI нь хүссэн хэсэг байх болно.

ABCA 1 B 1 C 1 призмийн огтлолыг E, F, G цэгүүдийг дайран өнгөрч буй хавтгайгаар байгуул. 9-р дасгал Шийдэл. EG шулуун зурж, түүний CC 1 ба АС-тай огтлолцох цэгүүдийг H ба I гэж тэмдэглэе. IF шулуун шугам ба түүний AB-тай огтлолцох цэгийг K гэж тэмдэглэе. Бид FH шулуун ба түүний B 1-тэй огтлолцох цэгийг зурна C 1 бид L гэж тэмдэглэнэ. E ба K цэгүүдийг холбоно. G ба L. Үүссэн таван өнцөгт EKFLG нь хүссэн хэсэг байх болно.

D 1 цэгийг дайран өнгөрөх AC 1-тэй параллель хавтгайтай ABCA 1 B 1 C 1 призмийн огтлолыг байгуул. Дасгал 10 Шийдэл. D цэгээр дамжуулан бид AC 1-тэй параллель шулууныг зурж, түүний ВС 1 шулуунтай огтлолцох цэгийг E гэж тэмдэглэнэ. Энэ цэг нь нүүрний хавтгайд хамаарах болно ADD 1 A 1. DE шугамыг зурж, түүний огтлолцох цэгийг F гэж тэмдэглэнэ. ирмэг МЭӨ. F ба D цэгүүдийг хэрчимтэй холбоно.D цэгээр FD шулуун шугамтай параллель шугам татаад A 1 C 1 ирмэгтэй огтлолцох цэгийг G-ээр, H – А шугамтай огтлолцох цэгийг G тэмдэглэнэ. 1 B 1. DH шулууныг зурж, АА ирмэгтэй огтлолцох цэгийг P-ээр тэмдэглэе 1. P ба G цэгүүдийг хэрчимтэй холбоно.Үйлдвэрлэсэн дөрвөн өнцөгт EFIK нь шаардлагатай зүсэлт болно.

ВС ирмэг дээрх Е, ABB 1 A 1 нүүрэн дээрх F, ACC 1 A 1 нүүрэн дээрх G цэгүүдийг дайран өнгөрч буй хавтгайгаар ABCA 1 B 1 C 1 призмийн зүсэлтийг байгуул. Дасгал 11 Шийдэл. GF шулууныг зураад ABC хавтгайтай огтлолцох H цэгийг олъё. EH шулууныг зурж, түүний АС ба AB-тай огтлолцох цэгүүдийг P ба I-ээр тэмдэглэе. PG ба IF шулуун шугамуудыг зурж, тэдгээрийн огтлолцох цэгүүдийг S, R, Q-г A 1 C 1, A 1 B 1 and BB 1-тэй тэмдэглэе. E ба Q, S ба R цэгүүдийг холбоно. хүссэн хэсэг.

A, B, D цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайтай жирийн зургаан өнцөгт призмийн огтлолыг байгуул 1. Дасгал 12 Шийдэл. Хэсэг Е цэгийг дайран өнгөрөхийг анхаарна уу 1. AB шулууныг зурж, CD ба FE шулуунуудтай огтлолцох K ба L цэгүүдийг олъё. KD 1, LE 1 шулуунуудыг зурж, тэдгээрийн огтлолцох P, Q цэгүүдийг CC 1 ба FF 1 шулуунуудаар олъё. Зургаан өнцөгт ABPD 1 E 1 Q нь хүссэн хэсэг байх болно.

А, В’, F’ цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайтай жирийн зургаан өнцөгт призмийн огтлолыг байгуул. Дасгал 13 Шийдэл. AB' ба AF' сегментүүдийг зурцгаая. B' цэгээр бид AF'-тай параллель шугам татах ба түүний EE 1-тэй огтлолцох цэгийг бид E' гэж тэмдэглэнэ. F' цэгээр бид AB'-тай параллель шугам татах ба түүний CC 1-тэй огтлолцох цэгийг бид C' гэж тэмдэглэнэ. E' ба C' цэгүүдээр бид AB' ба AF'-тай параллель шугам татах ба тэдгээрийн D 1 E 1 ба C 1 D 1-тэй огтлолцох цэгүүдийг бид D', D" гэж тэмдэглэнэ. B', C' цэгүүдийг холбоно; D', D"; F', E'. Үүссэн долоон өнцөгт AB'C'D"D'E'F" нь хүссэн хэсэг байх болно.

F’, B’, D’ цэгүүдийг дайран өнгөрөх хавтгайтай жирийн зургаан өнцөгт призмийн огтлолыг байгуул. Дасгал 14 Шийдэл. F’B’ ба F’D’ шулуун шугамуудыг зурж, ABC хавтгайтай P ба Q огтлолцох цэгүүдийг олъё. Шууд PQ хийцгээе. PQ ба FC-ийн огтлолцох цэгийг R гэж тэмдэглэе. F’R ба CC 1-ийн огтлолцох цэгийг C’ гэж тэмдэглэе. B', C' болон C', D' цэгүүдийг холбоно. F' цэгээр дамжуулан бид C'D' ба B'C'-тэй параллель шугамуудыг зурж, тэдгээрийн AA 1 ба EE 1-тэй огтлолцох цэгүүдийг A' ба E' гэж тэмдэглэнэ. A', B' болон E', D' цэгүүдийг холбоно. Үүссэн зургаан өнцөгт A'B'C'D'E'F' нь хүссэн хэсэг байх болно.