Энэ хичээлээр бид векторуудтай өөр хоёр үйлдлийг авч үзэх болно. векторуудын вектор үржвэрТэгээд векторуудын холимог бүтээгдэхүүн (хэрэгтэй хүмүүст шууд линк). Зүгээр дээ, заримдаа үүнээс гадна бүрэн аз жаргалын төлөө ийм зүйл тохиолддог векторуудын скаляр үржвэр, илүү ихийг шаарддаг. Энэ бол вектор донтолт юм. Бид аналитик геометрийн ширэнгэн ой руу орж байгаа юм шиг санагдаж магадгүй юм. Энэ бол буруу. Дээд математикийн энэ хэсэгт Пиноккиод хангалттай модыг эс тооцвол ерөнхийдөө бага мод байдаг. Үнэн хэрэгтээ, материал нь маш түгээмэл бөгөөд энгийн байдаг - ижил төстэй зүйлээс илүү төвөгтэй биш юм скаляр бүтээгдэхүүн, ердийн даалгавар ч цөөн байх болно. Аналитик геометрийн гол зүйл бол олон хүн итгэлтэй байх болно, эсвэл аль хэдийн итгэлтэй байсан тул тооцоололд алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Шившлэг шиг давтан хийвэл аз жаргалтай байх болно =)

Хэрэв векторууд тэнгэрийн хаяанд цахилгаан цахих мэт хол хаа нэгтээ гялалзаж байвал хамаагүй, хичээлээс эхэл. Дамми нарт зориулсан векторуудвекторуудын талаарх анхан шатны мэдлэгийг сэргээх буюу дахин олж авах. Илүү бэлтгэлтэй уншигчид мэдээлэлтэй танилцах боломжтой; Би практик ажилд ихэвчлэн олддог жишээнүүдийн хамгийн бүрэн цуглуулгыг цуглуулахыг хичээсэн.

Юу чамайг тэр дор нь баярлуулах вэ? Би багадаа хоёр, гурван бөмбөг жонглёрдог байсан. Энэ нь сайн болсон. Одоо та жонглёр хийх шаардлагагүй болно, учир нь бид авч үзэх болно зөвхөн орон зайн векторууд, мөн хоёр координаттай хавтгай векторуудыг орхих болно. Яагаад? Эдгээр үйлдлүүд ингэж төрсөн - векторуудын вектор ба холимог үржвэрийг тодорхойлж, гурван хэмжээст орон зайд ажилладаг. Энэ нь аль хэдийн хялбар болсон!

Энэ үйлдэл нь скаляр үржвэрийн нэгэн адил хамаарна хоёр вектор. Эдгээр нь мөхөшгүй үсэг байх болтугай.

Үйлдэл нь өөрөө гэж тэмдэглэсэндараах байдлаар: . Өөр сонголтууд байдаг, гэхдээ би векторуудын вектор үржвэрийг загалмай бүхий дөрвөлжин хаалтанд ингэж тэмдэглэж дассан.

Тэгээд тэр даруй асуулт: хэрэв байгаа бол векторуудын скаляр үржвэрХоёр вектор оролцож байгаа бөгөөд энд хоёр векторыг мөн үржүүлнэ ялгаа нь юу вэ? Үүний тод ялгаа нь юуны түрүүнд ҮР ДҮНД байна.

Векторуудын скаляр үржвэрийн үр дүн нь NUMBER:

Векторуудын хөндлөн үржвэрийн үр дүн нь ВЕКТОР юм: , өөрөөр хэлбэл, бид векторуудыг үржүүлээд дахин вектор авна. Хаалттай клуб. Уг нь хагалгааны нэр эндээс гаралтай. Өөр өөр боловсролын ном зохиолд тэмдэглэгээ нь өөр байж болно, би үсгийг ашиглах болно.

Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Эхлээд зурагтай тодорхойлолт, дараа нь тайлбар байх болно.

Тодорхойлолт: Вектор бүтээгдэхүүн шугаман бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, ВЕКТОР гэж нэрлэгддэг, уртЭнэ нь тоон үзүүлэлт юм параллелограммын талбайтай тэнцүү байна, эдгээр векторууд дээр бүтээгдсэн; вектор векторуудад ортогональ, ба үндэс нь зөв чиг баримжаатай байхаар чиглүүлсэн:

Тодорхойлолтыг задлаад үзье, энд маш олон сонирхолтой зүйл байна!

Тиймээс дараахь чухал зүйлийг онцолж болно.

1) Тодорхойлолтоор улаан сумаар заасан анхны векторууд уялдаа холбоогүй. Хэсэг хугацааны дараа коллинеар векторуудын асуудлыг авч үзэх нь зүйтэй юм.

2) Векторуудыг авсан хатуу тогтоосон дарааллаар: – "a"-г "be"-ээр үржүүлнэ, "a"-тай хамт "байх" биш. Вектор үржүүлгийн үр дүннь ВЕКТОР бөгөөд энэ нь цэнхэр өнгөөр ​​тэмдэглэгдсэн байдаг. Хэрэв векторуудыг урвуу дарааллаар үржүүлбэл бид урттай тэнцүү, чиглэлийн эсрэг (бөөрөлзгөнө өнгө) векторыг авна. Энэ нь тэгш байдал нь үнэн юм .

3) Одоо вектор үржвэрийн геометрийн утгатай танилцацгаая. Энэ бол маш чухал цэг юм! Цэнхэр векторын УРТ (тиймээс час улаан вектор) нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын ТАЛБАЙ-тай тэнцүү байна. Зураг дээр энэ параллелограммыг хараар будсан байна.

Анхаарна уу : зураг нь бүдүүвчилсэн бөгөөд мэдээжийн хэрэг вектор бүтээгдэхүүний нэрлэсэн урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү биш юм.

Геометрийн нэг томьёог эргэн санацгаая. Параллелограммын талбай нь зэргэлдээ талуудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна.. Тиймээс, дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн вектор бүтээгдэхүүний УРТыг тооцоолох томъёо хүчинтэй байна.

Томъёо нь векторын тухай биш харин векторын УРТ-ын тухай гэдгийг би онцолж байна. Практик утга нь юу вэ? Үүний утга нь аналитик геометрийн асуудлуудад параллелограммын талбайг ихэвчлэн вектор бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтоор олж авдаг.

Хоёрдахь чухал томъёог олж авцгаая. Параллелограммын диагональ (улаан тасархай шугам) нь түүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана. Тиймээс векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг (улаан сүүдэр) дараах томъёогоор олж болно.

4) Үүнтэй адил чухал баримт бол вектор нь векторуудад ортогональ, өөрөөр хэлбэл . Мэдээжийн хэрэг, эсрэг чиглэлтэй вектор (бөөрөлзгөнө сум) нь мөн анхны векторуудад ортогональ байна.

5) Вектор нь тийм чиглэгдсэн байна суурьБайгаа зөвчиг баримжаа. тухай хичээл дээр шинэ суурь руу шилжихБи хангалттай дэлгэрэнгүй ярьсан хавтгай чиг баримжаа, одоо бид орон зайн чиг баримжаа гэж юу болохыг олж мэдэх болно. Би хуруугаараа тайлбарлах болно баруун гар. Оюун санааны хувьд нэгтгэх долоовор хуруувектортой ба дунд хуруувектортой. Бөгжний хуруу, жижиг хурууалган дээрээ дар. Үр дүнд нь эрхий хуруу– вектор бүтээгдэхүүн дээшээ харагдах болно. Энэ бол баруун тийш чиглэсэн суурь юм (зураг дээрх энэ нь). Одоо векторуудыг өөрчил ( долоовор ба дунд хуруу) зарим газарт үр дүнд нь эрхий хуруугаа эргүүлж, вектор бүтээгдэхүүн аль хэдийн доошоо харах болно. Энэ нь бас зөв хандлагын үндэс юм. Танд асуулт гарч ирж магадгүй: аль үндэс нь чиг баримжаагаа орхисон бэ? Ижил хуруунд "даалгах" зүүн гарвекторууд, мөн зайны зүүн суурь ба зүүн чиглэлийг авна (энэ тохиолдолд эрхий хуруу нь доод векторын чиглэлд байрлана). Дүрслэлээр хэлбэл, эдгээр суурь нь орон зайг өөр өөр чиглэлд "мушгих" буюу чиглүүлдэг. Мөн энэ ойлголтыг хэт хол эсвэл хийсвэр зүйл гэж үзэх ёсгүй - жишээлбэл, орон зайн чиг баримжаа нь хамгийн энгийн толин тусгалаар өөрчлөгддөг бөгөөд хэрэв та "айсан туссан объектыг харагдах шилнээс гаргаж авбал" ерөнхий тохиолдолд энэ нь Үүнийг "эх"-тэй нэгтгэх боломжгүй болно. Дашрамд хэлэхэд, гурван хуруугаа толинд бариад тусгалыг шинжлээрэй ;-)

... чи одоо мэдэж байгаа нь ямар сайхан юм бэ баруун ба зүүн тийш чиглэсэнҮндэслэл, учир нь зарим багш нарын чиг баримжааны өөрчлөлтийн талаархи мэдэгдэл аймшигтай юм =)

Коллинеар векторуудын хөндлөн үржвэр

Тодорхойлолтыг нарийвчлан авч үзсэн тул векторууд хоорондоо уялдаатай байх үед юу болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв векторууд хоорондоо уялдаатай байвал тэдгээрийг нэг шулуун дээр байрлуулж, параллелограммыг нэг шулуун болгож "нугалж" болно. Математикчдын хэлснээр ийм газар нутаг, доройтохпараллелограмм нь тэгтэй тэнцүү байна. Томъёоноос ижил зүйл гарч ирнэ - тэг буюу 180 градусын синус нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь талбай нь тэг гэсэн үг юм.

Тиймээс хэрэв , тэгвэл Тэгээд . Вектор үржвэр нь өөрөө тэг вектортой тэнцүү гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ практик дээр үүнийг ихэвчлэн үл тоомсорлодог бөгөөд үүнийг мөн тэгтэй тэнцүү гэж бичсэн байдаг.

Онцгой тохиолдол бол векторын өөртэйгөө хөндлөн үржвэр юм.

Вектор үржвэрийг ашигласнаар та гурван хэмжээст векторуудын уялдаа холбоог шалгаж болох бөгөөд бид энэ асуудлыг шинжлэх болно.

Практик жишээг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй байж магадгүй юм тригонометрийн хүснэгтүүнээс синусын утгыг олох.

За, гал асаацгаая:

Жишээ 1

a) Хэрэв векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол

b) Хэрэв векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг ол

Шийдэл: Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш, би заалтын эхний өгөгдлийг зориуд ижил болгосон. Учир нь шийдлүүдийн дизайн өөр байх болно!

a) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй уртвектор (хөндлөн бүтээгдэхүүн). Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулах:

Хэрэв танаас уртын талаар асуусан бол хариултанд бид хэмжээсийг зааж өгсөн болно - нэгж.

б) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй дөрвөлжинвекторууд дээр баригдсан параллелограмм. Энэ параллелограммын талбай нь вектор бүтээгдэхүүний урттай тоогоор тэнцүү байна.

Хариулах:

Хариулт нь вектор бүтээгдэхүүний талаар огт ярьдаггүй гэдгийг анхаарна уу, биднээс асуусан зургийн талбай, үүний дагуу хэмжээс нь квадрат нэгж юм.

Нөхцөл байдлын дагуу ЮУ олох ёстойгоо бид үргэлж харж, үүн дээр үндэслэн томъёолдог тодорхойхариулах. Энэ нь үгийн утга зохиол мэт санагдаж болох ч багш нарын дунд маш олон бичиг үсэгт тайлагнасан хүмүүс байдаг тул даалгаврыг дахин хянуулахаар буцааж өгөх магадлал өндөр байна. Хэдийгээр энэ нь тийм ч хол зөрүүтэй асуулт биш юм - хэрэв хариулт буруу байвал тухайн хүн энгийн зүйлийг ойлгодоггүй ба/эсвэл даалгаврын мөн чанарыг ойлгоогүй гэсэн сэтгэгдэл төрдөг. Дээд математик болон бусад хичээлийн аливаа асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ цэгийг үргэлж хянаж байх ёстой.

"en" том үсэг хаашаа явсан бэ? Зарчмын хувьд үүнийг шийдэлд нэмж хавсаргаж болох байсан, гэхдээ оруулгыг богиносгохын тулд би үүнийг хийгээгүй. Хүн бүр үүнийг ойлгож, ижил зүйлд зориулагдсан болно гэж найдаж байна.

DIY шийдлийн түгээмэл жишээ:

Жишээ 2

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг ол

Вектор бүтээгдэхүүнээр гурвалжны талбайг олох томъёог тодорхойлолтын тайлбарт өгсөн болно. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Практикт даалгавар нь үнэхээр түгээмэл байдаг, гурвалжин нь таныг ерөнхийд нь зовоож чадна.

Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд хэрэгтэй болно:

Векторуудын вектор үржвэрийн шинж чанарууд

Бид вектор бүтээгдэхүүний зарим шинж чанарыг аль хэдийн авч үзсэн боловч би тэдгээрийг энэ жагсаалтад оруулах болно.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд үнэн байна.

1) Мэдээллийн бусад эх сурвалжид энэ зүйлийг ихэвчлэн шинж чанараар нь тодруулдаггүй боловч практикийн хувьд энэ нь маш чухал юм. Тиймээс байг.

2) – өмчийг мөн дээр дурдсан, заримдаа үүнийг нэрлэдэг антикоммутатив. Өөрөөр хэлбэл векторуудын дараалал чухал.

3) – ассоциатив буюу ассоциативвектор бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмолыг вектор бүтээгдэхүүнээс гадуур хялбархан зөөж болно. Үнэхээр тэд тэнд юу хийх ёстой вэ?

4) – хуваарилалт эсвэл түгээхвектор бүтээгдэхүүний хууль. Мөн хаалт нээхэд асуудал гардаггүй.

Үүнийг харуулахын тулд товч жишээг харцгаая.

Жишээ 3

Хэрвээ олоорой

Шийдэл:Нөхцөл нь дахин вектор бүтээгдэхүүний уртыг олохыг шаарддаг. Бяцхан зургаа зурцгаая:

(1) Ассоциатив хуулиудын дагуу бид тогтмолуудыг вектор бүтээгдэхүүний хамрах хүрээнээс гадуур авдаг.

(2) Бид модулийн гаднах тогтмолыг авдаг бөгөөд модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Урт нь сөрөг байж болохгүй.

(3) Бусад нь тодорхой байна.

Хариулах:

Гал дээр илүү их мод нэмэх цаг болжээ.

Жишээ 4

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг тооцоол

Шийдэл: Томъёог ашиглан гурвалжны талбайг ол . Хамгийн гол нь "tse" ба "de" векторууд нь векторуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энд байгаа алгоритм нь стандарт бөгөөд хичээлийн 3, 4-р жишээнүүдийг санагдуулдаг. Векторуудын цэгийн үржвэр. Тодорхой болгохын тулд бид шийдлийг гурван үе шатанд хуваана.

1) Эхний алхамд бид вектор үржвэрийг вектор бүтээгдэхүүнээр илэрхийлдэг. векторыг вектороор илэрхийлье. Урт хугацааны талаар хараахан хэлээгүй байна!

(1) Векторуудын илэрхийлэлийг орлуулна уу.

(2) Тархалтын хуулиудыг ашиглан бид олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтыг нээнэ.

(3) Ассоциатив хуулиудыг ашиглан бид бүх тогтмолуудыг вектор үржвэрээс цааш шилжүүлнэ. Бага зэрэг туршлагатай бол 2, 3-р алхамуудыг нэгэн зэрэг хийж болно.

(4) Сайхан шинж чанарын улмаас эхний болон сүүлчийн гишүүн нь тэгтэй тэнцүү (тэг вектор). Хоёр дахь нэр томъёонд бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг ашигладаг.

(5) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

Үүний үр дүнд вектор нь вектороор илэрхийлэгдэх болсон бөгөөд үүнд хүрэх шаардлагатай байв.

2) Хоёр дахь шатанд бид шаардлагатай вектор бүтээгдэхүүний уртыг олно. Энэ үйлдэл нь 3-р жишээтэй төстэй:

3) Шаардлагатай гурвалжны талбайг ол:

Шийдлийн 2-3 үе шатыг нэг мөрөнд бичиж болно.

Хариулах:

Туршилтын хувьд энэ асуудал нэлээд түгээмэл байдаг тул үүнийг өөрөө шийдэх жишээ энд байна.

Жишээ 5

Хэрвээ олоорой

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт. Өмнөх жишээнүүдийг судлахдаа хэр анхааралтай байсныг харцгаая ;-)

Координат дахь векторуудын хөндлөн үржвэр

, ортонормаль үндэслэлээр тодорхойлсон, томъёогоор илэрхийлнэ:

Томъёо нь үнэхээр энгийн: тодорхойлогчийн дээд мөрөнд бид координатын векторуудыг бичиж, хоёр ба гурав дахь мөрөнд векторуудын координатыг "тавиж" тавьдаг. хатуу дарааллаар– эхлээд “ve” векторын координатууд, дараа нь “давхар-ve” векторын координатууд. Хэрэв векторуудыг өөр дарааллаар үржүүлэх шаардлагатай бол мөрүүдийг солих хэрэгтэй.

Жишээ 10

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг шалгана уу.
A)
б)

Шийдэл: Шалгалт нь энэ хичээлийн хэллэгүүдийн аль нэг дээр үндэслэсэн болно: хэрэв векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэгтэй тэнцүү (тэг вектор): .

a) Вектор үржвэрийг ол:

Тиймээс векторууд нь коллинеар биш юм.

б) Вектор үржвэрийг ол:

Хариулах: a) уялдаа холбоогүй, б)

Энд магадгүй векторуудын вектор бүтээгдэхүүний талаархи бүх үндсэн мэдээлэл байна.

Векторуудын холимог үржвэрийг ашиглахад цөөн асуудал гардаг тул энэ хэсэг тийм ч том биш байх болно. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл тодорхойлолт, геометрийн утга, ажлын хэд хэдэн томъёоноос хамаарна.

Векторуудын холимог үржвэр нь гурван векторын үржвэр юм:

Тиймээс тэд галт тэрэг шиг жагсаж, хэн болохыг нь тэсэн ядан хүлээж байна.

Эхлээд дахин тодорхойлолт ба зураг:

Тодорхойлолт: Холимог ажил тэгш бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, дуудсан параллелепипед эзэлхүүн, эдгээр векторууд дээр баригдсан, хэрэв суурь нь зөв бол "+" тэмдгээр, хэрэв суурь нь үлдсэн бол "-" тэмдгээр тоноглогдсон.

Зургаа хийцгээе. Бидэнд үл үзэгдэх шугамуудыг тасархай шугамаар зурсан:

Тодорхойлолт руу орцгооё:

2) Векторуудыг авсан тодорхой дарааллаар, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн дэх векторуудыг дахин зохион байгуулах нь таны таамаглаж байгаагаар үр дагаваргүйгээр явагдахгүй.

3) Геометрийн утгыг тайлбарлахын өмнө би тодорхой баримтыг тэмдэглэх болно. векторуудын холимог үржвэр нь ДУГААР юм: . Боловсролын уран зохиолд загвар нь арай өөр байж болно, би холимог бүтээгдэхүүнийг "pe" үсгээр, тооцооллын үр дүнгээр тэмдэглэж дассан.

А - тэргүүн байр холимог бүтээгдэхүүн нь параллелепипедийн эзэлхүүн юм, векторууд дээр бүтээгдсэн (зураг улаан вектор, хар шугамаар зурсан). Өөрөөр хэлбэл, тоо нь өгөгдсөн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

Анхаарна уу : Зураг нь бүдүүвчилсэн байна.

4) Суурь ба орон зайн чиг баримжаа гэсэн ойлголтын талаар дахин санаа зовох хэрэггүй. Эцсийн хэсгийн утга нь эзлэхүүн дээр хасах тэмдэг нэмж болно гэсэн үг юм. Энгийнээр хэлбэл, холимог бүтээгдэхүүн нь сөрөг байж болно: .

Тодорхойлолтоос шууд векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг.

Туршилтын дугаар 1

Векторууд. Дээд алгебрийн элементүүд

1-20. Мэдэгдэж байгаа ба ба векторуудын урт; – эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг.

Тооцоол: 1) ба, 2).3) ба векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг ол.

Зураг зурах.

Шийдэл. Векторуудын цэгийн үржвэрийн тодорхойлолтыг ашиглан:

Мөн скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарууд: ,

1) векторын скаляр квадратыг ол:

өөрөөр хэлбэл, Дараа нь.

Үүнтэй адил маргаж, бид олж авдаг

өөрөөр хэлбэл, Дараа нь.

Вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоор: ,

гэдгийг харгалзан үзэж

Векторуудаас бүтсэн гурвалжны талбай нь тэнцүү байна

21-40. Гурван оройн мэдэгдэж буй координатууд А, Б, Дпараллелограмм A B C D. Вектор алгебр ашиглан танд хэрэгтэй:

А(3;0;-7), Б(2;4;6), Д(-7;-5;1)

Шийдэл.

Параллелограммын диагональууд огтлолцох цэг дээр хагасаар хуваагддаг нь мэдэгдэж байна. Тиймээс цэгийн координатууд Э- диагональуудын огтлолцол - сегментийн дунд хэсгийн координатыг ол Б.Д. Тэдгээрийг тэмдэглэж байна x Э ,y Э , z Эбид үүнийг ойлгодог

Бид авдаг.

Цэгийн координатыг мэдэх Э- диагоналийн дунд цэг Б.Дба түүний нэг төгсгөлийн координатууд А(3;0;-7), Томьёог ашиглан бид оройн шаардлагатай координатыг тодорхойлно ХАМТпараллелограмм:

Тиймээс, дээд.

2) Вектор дээрх векторын проекцийг олохын тулд эдгээр векторуудын координатыг олно: ,

адилхан. Векторын вектор дээрх проекцийг дараах томъёогоор олно.

3) Параллелограммын диагональуудын хоорондох өнцгийг векторуудын хоорондох өнцөг гэж олно

Мөн скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанараар:

Дараа нь

4) Параллелограммын талбайг вектор үржвэрийн модуль болгон ол.

5) Пирамидын эзэлхүүнийг векторуудын холимог үржвэрийн модулийн зургааны нэгээр олно, энд O(0;0;0), дараа нь

Дараа нь шаардлагатай эзэлхүүн (куб)

41-60. Өгөгдсөн матрицууд:

V C -1 +3A T

Тэмдэглэл:

Эхлээд бид С матрицын урвуу матрицыг олно.

Үүнийг хийхийн тулд бид түүний тодорхойлогчийг олно:

Тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул матриц нь ганц биш бөгөөд үүний тулд та урвуу матриц C -1-ийг олох боломжтой.

Элементийн минор нь дараах томъёог ашиглан алгебрийн нэмэлтүүдийг олъё.

Дараа нь , .

61–80. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд:

Крамерын арга; 2. Матрицын арга.

Шийдэл.

a) Крамерын арга

Системийн тодорхойлогчийг олцгооё

-ээс хойш систем нь өвөрмөц шийдэлтэй болсон.

Тодорхойлогчдыг олж, коэффициент матрицын нэг, хоёр, гурав дахь баганыг тус тус чөлөөт гишүүний баганаар сольж үзье.

Крамерын томъёоны дагуу:

б)матрицын арга (урвуу матриц ашиглан).

Бид энэ системийг матриц хэлбэрээр бичиж урвуу матриц ашиглан шийддэг.

Болъё А– үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн матриц; X– үл мэдэгдэх матриц багана x, y, zТэгээд Н– чөлөөт гишүүдийн матриц багана:

Системийн зүүн талыг (1) матрицын үржвэрээр, баруун талыг матрицаар бичиж болно. Н. Тиймээс бид матрицын тэгшитгэлтэй болно

Матрицын тодорхойлогч учраас Атэгээс ялгаатай ("а" цэг), дараа нь матриц Аурвуу матрицтай. Зүүн талд байгаа тэгш байдлын хоёр талыг (2) матрицаар үржүүлье

Хаанаас Энь таних матриц бөгөөд , тэгвэл

Ганц бус А матрицтай болгоё:

Дараа нь бид урвуу матрицыг томъёогоор олно.

Хаана А ij- элементийн алгебрийн нэмэлт а ijматрицын тодорхойлогчд А, энэ нь (-1) i+j ба бага (тодорхойлогч)-ийн үржвэр юм. n-1устгах замаар олж авсан захиалга i-ршугам ба jthА матрицын тодорхойлогч багана:

Эндээс бид урвуу матрицыг авна.

X багана: X=A -1 H

81–100. Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийд

Шийдэл. Системийг өргөтгөсөн матриц хэлбэрээр бичье.

Бид утсаар энгийн хувиргалтыг хийдэг.

2-р мөрөнд бид 2-оор үржүүлсэн эхний мөрийг хасна. 3-р мөрөнд бид эхний мөрийг 4-ээр үржүүлж хасна. 4-р мөрөнд бид эхний мөрийг хасаад матрицыг авна.

Дараа нь бид дараагийн мөрүүдийн эхний баганад тэгийг авна; үүнийг хийхийн тулд хоёр дахь эгнээнээс гурав дахь мөрийг хасна. Гурав дахь эгнээнээс 2-оор үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг хасна. Дөрөв дэх эгнээнээс 3-аар үржүүлсэн хоёр дахь мөрийг хасна. Үүний үр дүнд бид маягтын матрицыг олж авна.

Дөрөв дэх мөрөөс бид гурав дахь хэсгийг хасна.

Эцсийн өмнөх болон сүүлчийн мөрүүдийг сольж үзье:

Сүүлийн матриц нь тэгшитгэлийн системтэй тэнцүү байна:

Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид .

Эцсийн өмнөх тэгшитгэлийг орлуулснаар бид олж авна .

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс дараахь зүйлийг гаргана

Эхний тэгшитгэлээс бид x-ийг олно:

Хариулт:

Туршилтын дугаар 2

Аналитик геометр

1-20. Гурвалжны оройн координатыг өгөв ABC.Олно:

1) хажуугийн урт АIN;

2) талуудын тэгшитгэл ABТэгээд Нарба тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд;

3) өнцөг INрадианаар хоёр оронтой тоогоор нарийвчлалтай;

4) өндрийн тэгшитгэл CDба түүний урт;

5) медиан тэгшитгэл А.Э

өндөр CD;

TOхажуу талтай зэрэгцээ AB,

7) зураг зурах.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Шийдэл.

(1) хэрэглэснээр бид хажуугийн уртыг олно AB:

2) талуудын тэгшитгэл ABТэгээд Нарба тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүд:

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Цэгүүдийн координатыг (2)-д орлуулах АТэгээд IN, бид талын тэгшитгэлийг олж авна AB:

(AB).

(МЭӨ).

3) өнцөг INхоёр оронтой тооны нарийвчлалтай радианаар.

Өнцгийн коэффициентүүд нь тэнцүү хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн тангенсыг томъёогоор тооцоолдог нь мэдэгдэж байна.

Шаардлагатай өнцөг INшулуун шугамаар үүсгэгдсэн ABТэгээд Нар, өнцгийн коэффициентүүд нь олддог: ; . (3)-ыг хэрэглэснээр бид олж авна

; , эсвэл

4) өндрийн тэгшитгэл CDба түүний урт.

С цэгээс AB шулуун шугам хүртэлх зай:

5) медиан тэгшитгэл А.Эмөн энэ медиантай огтлолцох K цэгийн координатууд

өндөр CD.

нарны тал дунд:

Дараа нь AE тэгшитгэл:

Бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг:

6) цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл TOхажуу талтай зэрэгцээ AB:

Хүссэн шугам нь хажуу талдаа параллель байна AB, тэгвэл түүний өнцгийн коэффициент нь шулуун шугамын өнцгийн коэффициенттэй тэнцүү байх болно AB. Олсон цэгийн координатыг (4)-д орлуулах TOмөн налууг бид олж авна

; (КФ).

Параллелограммын талбай нь 12 хавтгай дөрвөлжин метр юм. нэгж, түүний хоёр орой нь цэг юм A(-1;3)Тэгээд B(-2;4).Хэрэв диагональуудын огтлолцох цэг нь х тэнхлэгт оршдог нь мэдэгдэж байгаа бол энэ параллелограммын бусад хоёр оройг ол. Зураг зурах.

Шийдэл. Диагональуудын огтлолцох цэгийг координаттай болго.

Тэгвэл энэ нь ойлгомжтой

тиймээс векторуудын координатууд нь .

Бид параллелограммын талбайг томъёогоор олдог

Тэгвэл нөгөө хоёр оройн координат нь .

51-60-р бодлогод цэгүүдийн координатыг өгсөн болно А ба Б. Шаардлагатай:

Эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх гиперболын каноник тэгшитгэлийг бич А ба Б,хэрэв гиперболын голомтууд нь х тэнхлэгт байрладаг бол;

Энэ гиперболын асимптотуудын хагас тэнхлэг, фокус, хазгай, тэгшитгэлийг ол;

Хэрэв энэ тойрог гиперболын голомтыг дайран өнгөрвөл эхэн дээрээ төвтэй тойрогтой гиперболын огтлолцох бүх цэгийг ол;

Гипербол, түүний асимптот ба тойрог байгуул.

A(6;-2), B(-8;12).

Шийдэл. Хүссэн гиперболын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрээр бичнэ

Хаана а- гиперболын бодит хагас тэнхлэг, б-төсөөллийн хагас тэнхлэг. Цэгүүдийн координатыг орлуулах АТэгээд INЭнэ тэгшитгэлд бид эдгээр хагас тэнхлэгүүдийг олно.

– гиперболын тэгшитгэл: .

Хагас тэнхлэг a=4,

фокусын урт Фокусууд (-8.0) ба (8.0)

Хачирхалтай байдал

Асиптотууд:

Хэрэв тойрог эхийг дайран өнгөрвөл тэгшитгэл нь байна

Фокусын аль нэгийг орлуулснаар бид тойргийн тэгшитгэлийг олно

Гипербол ба тойргийн огтлолцох цэгүүдийг ол.

Бид зураг зурдаг:

61-80-р бодлогод туйлын координатын систем дэх функцийн графикийг цэгээр байгуулж,  интервалаар  утгыг өгнө. /8 (0   2). Тэгш өнцөгт декартын координатын систем дэх шулууны тэгшитгэлийг ол (абсциссагийн эерэг хагас тэнхлэг нь туйлын тэнхлэгтэй, туйл нь эхлэлтэй давхцдаг).

Шийдэл.Эхлээд утгууд ба φ-ийн хүснэгтийг бөглөж цэгээр шугам байгуулъя.

Тоо	φ ,	φ, градус			Тоо	φ , баяртай	градус
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 Энэ тэгшитгэл нь эллипсийг тодорхойлдог гэж бид дүгнэж байна. Оноо өгдөг А, IN , C, D . олох хэрэгтэй: 1. Хавтгай тэгшитгэл (Q), цэгүүдээр дамжин өнгөрөх A, B, C Донгоцонд (А); 2. Шугаман тэгшитгэл (би),цэгүүдээр дамжин өнгөрөх INболон D; 3. Хавтгай хоорондын өнцөг (А)ба шулуун (би); 4. Хавтгай тэгшитгэл (R),цэгээр дамжин өнгөрөх Ашулуун шугамд перпендикуляр (би); 5. Онгоц хоорондын өнцөг (R)Тэгээд (Q) ; 6. Шугамын тэгшитгэл (Т),цэгээр дамжин өнгөрөх Атүүний радиус векторын чиглэлд; 7. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг (би)Тэгээд (Т). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),Д(6;4;0) 1. Хавтгай тэгшитгэл (Q), цэгүүдээр дамжин өнгөрөх A, B, Cмөн гол зүйл худлаа эсэхийг шалгана уу Дхавтгайд томъёогоор тодорхойлогдоно Ол: 1) . 2) Дөрвөлжинпараллелограмм, барьсан дээрТэгээд. 3) Параллелепипедийн эзэлхүүн, барьсан дээр векторууд, Мөн. Хяналт Ажилэнэ сэдвээр" Элементүүдшугаман орон зайн онол... 080100. 62-р чиглэлээр бакалаврын эчнээ сургалтын шалгалтыг бөглөх арга зүйн зөвлөмж. Удирдамж Параллелепипед ба пирамидын хэмжээ, барьсан дээр векторууд, Мөн. Шийдэл: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. ЗОРИУЛСАН ДААЛГАВАР ХЯНАЛТ АЖИЛ I хэсэг. Шугаман алгебр. 1 – 10. Өгөгдсөн...

Энэ нийтлэлд бид хоёр векторын хөндлөн үржвэрийн тухай ойлголтыг нарийвчлан авч үзэх болно. Бид шаардлагатай тодорхойлолтуудыг өгч, вектор бүтээгдэхүүний координатыг олох томьёо бичиж, түүний шинж чанарыг жагсааж, зөвтгөх болно. Үүний дараа бид хоёр векторын вектор үржвэрийн геометрийн утгыг анхаарч, янз бүрийн ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.

Хуудасны навигаци.

Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт.

Вектор үржвэрийг тодорхойлохын өмнө гурван хэмжээст орон зайд эмх цэгцтэй гурвалсан векторын чиглэлийг ойлгоцгооё.

Нэг цэгээс векторуудыг зуръя. Векторын чиглэлээс хамааран гурвуулаа баруун эсвэл зүүн байж болно. Хамгийн богино нь вектороос хэрхэн эргэхийг векторын төгсгөлөөс харцгаая. Хэрэв хамгийн богино эргэлт нь цагийн зүүний эсрэг явбал векторын гурвалсан гэж нэрлэдэг зөв, эс бөгөөс - зүүн.

Одоо коллинеар бус хоёр вектор ба . А цэгээс векторуудыг зуръя. ба болон аль алинд нь перпендикуляр вектор байгуулъя. Мэдээжийн хэрэг, вектор байгуулахдаа бид хоёр зүйлийг хийж, түүнд нэг чиглэл эсвэл эсрэг чиглэл өгөх боломжтой (зураг харна уу).

Векторын чиглэлээс хамааран векторуудын эрэмблэгдсэн гурвалсан нь баруун болон зүүн гартай байж болно.

Энэ нь биднийг вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтод ойртуулдаг. Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд тодорхойлсон хоёр векторын хувьд өгөгдсөн.

Тодорхойлолт.

Хоёр векторын хөндлөн үржвэрба гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд заасан вектор гэж нэрлэгддэг.

Векторуудын хөндлөн үржвэр ба гэж тэмдэглэнэ.

Вектор бүтээгдэхүүний координатууд.

Одоо бид вектор бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтыг өгөх болно, энэ нь өгөгдсөн векторуудын координатаас түүний координатыг олох боломжийг олгодог.

Тодорхойлолт.

Гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын системд Хоёр векторын вектор үржвэр Тэгээд нь вектор , координатын векторууд хаана байна.

Энэ тодорхойлолт нь координат хэлбэрээр хөндлөн үржвэрийг бидэнд өгдөг.

Гурав дахь эрэмбийн квадрат матрицын тодорхойлогчоор вектор үржвэрийг илэрхийлэх нь тохиромжтой бөгөөд эхний эгнээ нь векторууд, хоёр дахь эгнээ нь векторын координат, гурав дахь нь өгөгдсөн дэх векторын координатуудыг агуулна. Тэгш өнцөгт координатын систем:

Хэрэв бид энэ тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд болгон өргөжүүлбэл координат дахь вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос тэгш байдлыг олж авна (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Вектор бүтээгдэхүүний координатын хэлбэр нь энэ зүйлийн эхний догол мөрөнд өгөгдсөн тодорхойлолттой бүрэн нийцэж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Түүнээс гадна, хөндлөн бүтээгдэхүүний эдгээр хоёр тодорхойлолт нь тэнцүү юм. Та энэ баримтын нотолгоог өгүүллийн төгсгөлд жагсаасан номноос харж болно.

Вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарууд.

Координат дахь векторын үржвэрийг матрицын тодорхойлогч болгон төлөөлж болох тул дараахь үндэслэлийг хялбархан зөвтгөж болно. хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанар:

Жишээ болгон вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг баталъя.

А - тэргүүн байр Тэгээд . Хэрэв хоёр мөр солигдвол матрицын тодорхойлогчийн утга урвуу болно гэдгийг бид мэднэ. , энэ нь вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг нотолж байна.

Вектор бүтээгдэхүүн - жишээ ба шийдэл.

Үндсэндээ гурван төрлийн асуудал байдаг.

Эхний төрлийн бодлогод хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөгдсөн бөгөөд векторын үржвэрийн уртыг олох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд томъёог ашиглана .

Жишээ.

Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол .

Шийдэл.

Тодорхойлолтоос бид векторуудын вектор үржвэрийн урт ба векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. .

Хариулт:

.

Хоёрдахь төрлийн асуудал нь векторын координаттай холбоотой бөгөөд өгөгдсөн векторуудын координатаар векторын бүтээгдэхүүн, түүний урт эсвэл бусад зүйлийг хайж олох явдал юм. Тэгээд .

Энд маш олон янзын сонголт хийх боломжтой. Жишээлбэл, векторуудын координатыг зааж өгөхгүй, харин тэдгээрийг маягтын координатын вектор болгон өргөтгөх боломжтой. ба , эсвэл векторууд ба тэдгээрийн эхлэл ба төгсгөлийн цэгүүдийн координатаар тодорхойлогдож болно.

Ердийн жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт координатын системд хоёр вектор өгөгдсөн . Тэдний хөндлөн бүтээгдэхүүнийг ол.

Шийдэл.

Хоёр дахь тодорхойлолтын дагуу координат дахь хоёр векторын вектор үржвэрийг дараах байдлаар бичнэ.

Хэрэв вектор үржвэрийг тодорхойлогчийн хувьд бичсэн бол бид ижил үр дүнд хүрэх байсан

Хариулт:

.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт декартын координатын системийн нэгж векторууд ба , векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол.

Шийдэл.

Эхлээд бид вектор бүтээгдэхүүний координатыг олно өгөгдсөн тэгш өнцөгт координатын системд.

Векторууд нь координаттай байдаг тул (шаардлагатай бол тэгш өнцөгт координатын систем дэх векторын нийтлэлийн координатыг үзнэ үү), тэгвэл вектор бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтоор бид байна.

Энэ нь вектор бүтээгдэхүүн юм өгөгдсөн координатын систем дэх координатуудтай.

Бид вектор бүтээгдэхүүний уртыг түүний координатын квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуур гэж олдог (бид векторын уртыг олох хэсэгт векторын уртын томъёог олж авсан):

Хариулт:

.

Жишээ.

Тэгш өнцөгт декартын координатын системд гурван цэгийн координат өгөгдсөн. Перпендикуляр бөгөөд нэгэн зэрэг байх векторыг ол.

Шийдэл.

Векторууд ба координатууд (цэгүүдийн координатаар векторын координатыг олох өгүүллийг үзнэ үү). Хэрэв бид ба векторуудын вектор үржвэрийг олбол тодорхойлолтоор энэ нь аль алинд нь перпендикуляр вектор, өөрөөр хэлбэл энэ нь бидний асуудлын шийдэл болно. Түүнийг олъё

Хариулт:

- перпендикуляр векторуудын нэг.

Гурав дахь төрлийн асуудалд векторуудын вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглах чадварыг шалгадаг. Шинж чанаруудыг хэрэглэсний дараа холбогдох томъёог хэрэглэнэ.

Жишээ.

ба векторууд нь перпендикуляр бөгөөд тэдгээрийн урт нь тус тус 3 ба 4 байна. Хөндлөн үржвэрийн уртыг ол .

Шийдэл.

Вектор бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанараар бид бичиж болно

Хосолсон шинж чанарын улмаас бид сүүлчийн илэрхийлэл дэх вектор бүтээгдэхүүний тэмдгээс тоон коэффициентийг авдаг.

вектор бүтээгдэхүүн ба тэгтэй тэнцүү байна, оноос хойш Тэгээд , Дараа нь.

Вектор үржвэр нь антикоммутатив учраас .

Тиймээс, вектор бүтээгдэхүүний шинж чанарыг ашиглан бид тэгш байдалд хүрэв .

Нөхцөлөөр ба векторууд перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь -тэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, шаардлагатай уртыг олохын тулд бидэнд бүх өгөгдөл бий

Хариулт:

.

Вектор бүтээгдэхүүний геометрийн утга.

Тодорхойлолтоор векторуудын вектор үржвэрийн урт нь байна . Ахлах сургуулийн геометрийн хичээлээс гурвалжны талбай нь гурвалжны хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусын үржвэрийн хагастай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Үүний үр дүнд векторын үржвэрийн урт нь талууд нь векторууд болох гурвалжны талбайгаас хоёр дахин их байх бөгөөд хэрэв тэдгээрийг нэг цэгээс зурвал . Өөрөөр хэлбэл, векторуудын вектор үржвэрийн урт нь талуудтай параллелограммын талбай, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь -тэй тэнцүү байна. Энэ бол вектор бүтээгдэхүүний геометрийн утга юм.