Шугамууд нэг хавтгайд байгаа эсэхийг шалгана уу. Шугамын харьцангуй байрлал

Энэ хичээлээр бид онолын үндсэн зарчмуудыг давтаж, "Шугам ба хавтгайн параллелизм" сэдвээр илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх болно.
Хичээлийн эхэнд хавтгайтай параллель шулуун шугамын тодорхойлолт, шулуун ба хавтгай хоёрын параллелизмыг харуулсан теоремыг санацгаая. Мөн параллель хавтгайн тодорхойлолт ба хавтгайн параллелизмын теоремыг эргэн санацгаая. Дараа нь ташуу шугамын тодорхойлолт, хазайсан шугамын туршилтын теорем, мөн аль нэг хазайлтаар өөр шулуунтай параллель хавтгай зурж болно гэсэн теоремыг эргэн санацгаая. Энэ теоремоос хоёр хазайсан шугам нь нэг хос параллель хавтгайтай тохирч байна гэсэн дүгнэлтийг хийцгээе.
Дараа нь бид давтагдсан онолыг ашиглан илүү төвөгтэй асуудлыг шийдэх болно.

Сэдэв: Шугаман ба хавтгайн параллелизм

Хичээл: Онолын тойм. "Шугам ба хавтгайн параллелизм" сэдвээр илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх

Энэ хичээлээр бид онолын үндсэн зарчмуудыг судалж, тухайн сэдвээр илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх болно "Шугам ба хавтгайн параллелизм".

Тодорхойлолт.Шулуун ба хавтгайд нийтлэг цэг байхгүй бол тэдгээрийг параллель гэж нэрлэдэг.

Хэрэв өгөгдсөн хавтгайд хэвтээгүй шулуун нь энэ хавтгайд байрлах зарим шулуунтай параллель байвал өгөгдсөн хавтгайтай параллель байна.

Шулуун шугам өгье Аба онгоц (Зураг 1). Шулуун шугам нь хавтгайд байрладаг б, энэ нь шугамтай зэрэгцээ байна А. Шугамын параллелизмаас АТэгээд бшугам параллель байна гэсэн үг Аболон онгоцууд.

1. Геометр. 10-11-р анги: ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг (үндсэн ба тусгай түвшин) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-р хэвлэл, засч, өргөтгөсөн - М.: Мнемосине, 2008. - 288 х.: өвчтэй.

Даалгавар 9, 10 хуудас 23

2. Гурван шугам хосоороо огтлолцдог. Эдгээр бүх шулуунтай аль нэг хавтгай параллель байж чадах уу?

3. М цэгээр α ба β хавтгайтай параллель зөвхөн нэг шулуун зурж болно. Эдгээр онгоцууд зэрэгцээ байна уу?

4. Хоёр трапецын дунд шугам нь нийтлэг байдаг. α хавтгай нь трапецын жижиг суурийг, β хавтгай нь трапецын том сууриудыг дайран өнгөрдөг. α ба β онгоцууд параллель байна уу?

5. A B C D- дөрвөлжин. M цэг нь түүний хавтгайн гадна байрладаг. Сегментүүдийн дунд цэгүүд нэг хавтгайд оршдог уу? MA, MV, MS, MД?

Шулуун шугамууд нэг хавтгайд оршдог. хэрэв тэдгээр нь 1) огтлолцох; 2) зэрэгцээ байвал.

L 1: ба L 2: шулуунуудын хувьд нэг хавтгайд  хамаарах тул векторууд нь М 1 М 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), q 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) ба q 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) хос хавтгайтай байсан. Энэ нь гурван векторын харьцуулах нөхцлийн дагуу холимог бүтээгдэхүүн юм М 1 М 2 ·s 1 ·s 2 =Δ==0 (8)

Учир нь хоёр шугамын параллель байх нөхцөл нь дараах хэлбэртэй байна: дараа нь L 1 ба L 2  шугамуудын огтлолцлын хувьд тэдгээр нь (8) нөхцлийг хангаж, хамгийн багадаа нэг пропорцийг зөрчих болно.

Жишээ. Шугамын харьцангуй байрлалыг судлах:

Шулуун шугамын чиглэлийн вектор L 1 – q 1 =(1;3;-2). L 2 шулууныг α 1 2 хавтгайн огтлолцолоор тодорхойлно: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. Учир нь L 2 шугам нь хоёр хавтгайд байрладаг, тэгвэл энэ, тиймээс түүний чиглэлийн вектор нь нормуудад перпендикуляр байна. n 1 Тэгээд n 2 . Тиймээс чиглэлийн вектор с 2 векторуудын хөндлөн үржвэр юм n 1 Тэгээд n 2 , өөрөөр хэлбэл q 2 =n 1 X n 2 ==-би-3j+2к.

Тэр. с 1 =-с 2 , Энэ нь шугамууд зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна гэсэн үг юм.

Шулуун шугамууд давхцаж байгаа эсэхийг шалгахын тулд бид M 0 (1;2;-1)L 1 цэгийн координатыг L 2 ерөнхий тэгшитгэлд орлуулна: 1-2+2+1=0 - буруу тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл. цэг M 0 L 2,

Тиймээс шугамууд зэрэгцээ байна.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай.

Каноник L: тэгшитгэлээр өгөгдсөн M 1 (x 1;y 1;z 1) цэгээс шулуун шугам хүртэлх зайг вектор үржвэрээр тооцоолж болно.

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлээс M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L цэг ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор байна. q=(l;m;n)

Векторуудыг ашиглан параллелограмм байгуулъя qТэгээд М 0 М 1 . Дараа нь M 1 цэгээс L шулуун шугам хүртэлх зай нь энэ параллелограммын өндөр h-тэй тэнцүү байна. Учир нь S=| q x М 0 М 1 |=h| q|, тэгвэл

h= (9)

Орон зайн хоёр шулуун шугамын хоорондох зай.

L 1: ба L 2:

1) L 1 L 2 .

d=

2) L 1 ба L 2 - огтлолцох

d=

Шулуун ба хавтгайн огторгуй дахь харьцангуй байрлал.

Шулуун шугам ба хавтгайн орон зайд байршлын хувьд 3 тохиолдол боломжтой.

шулуун ба хавтгай нэг цэг дээр огтлолцдог;

шулуун ба хавтгай нь зэрэгцээ байна;

шулуун шугам нь хавтгайд байрладаг.

Шулуун шугамыг каноник тэгшитгэлээр, хавтгайг ерөнхийд нь өгье

α: Ах+Бу+Сz+D=0

Шулуун шугамын тэгшитгэлүүд нь M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L цэг ба чиглэлийн векторыг өгнө. q=(l;m;n), хавтгай тэгшитгэл нь хэвийн вектор юм n=(A;B;C).

1. Шугаман ба хавтгайн огтлолцол.

Хэрэв шулуун ба хавтгай огтлолцох бол шугамын чиглэлийн вектор qα хавтгайтай параллель биш, тиймээс хавтгайн хэвийн векторт ортогональ биш n.Тэдгээр. тэдний цэг бүтээгдэхүүн nq≠0 эсвэл тэдгээрийн координатаар дамжуулан,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

М цэгийн координатыг тодорхойлъё - L шулуун ба α хавтгайн огтлолцох цэгүүд.

Шугамын каноник тэгшитгэлээс параметрийн тэгшитгэл рүү шилжье: , tR

Эдгээр хамаарлыг хавтгайн тэгшитгэлд орлуулъя

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 – мэдэгдэж байгаа тул t параметрийг олъё:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -0-ээр -Cz 0

хэрэв Am+Bn+Cp≠0 бол тэгшитгэл нь M цэгийн координатыг тодорхойлох өвөрмөц шийдэлтэй байна.

t M = -→ (11)

Шулуун ба хавтгай хоёрын хоорондох өнцөг. Параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл.

L шулуун шугамын хоорондох φ өнцөг :

чиглүүлэгч вектортой q=(l;m;n) ба хавтгай

: Ах+Ву+Сz+D=0 хэвийн вектортой n=(A;B;C) нь 0˚ (зэрэгцээ шулуун ба хавтгайн хувьд) -аас 90˚ (перпендикуляр шулуун ба хавтгайн хувьд) хооронд хэлбэлздэг. (Вектор хоорондын өнцөг qба түүний хавтгай дээрх проекц α).

– векторуудын хоорондох өнцөг qТэгээд n.

Учир нь шулуун L шулуун ба  хавтгайн хоорондох  өнцөг нь  өнцгийг нөхөж байвал sin φ=sin(-)=cos =- (φ өнцөг нь хурц sin φ=sin( тул үнэмлэхүй утгыг авч үзнэ. -) эсвэл sin φ =sin(+) шулуун шугамын чиглэлээс хамаарч L)

IV бүлэг. Орон зай дахь шулуун ба хавтгай. Олон талт

§ 46. Орон зай дахь шугамуудын харилцан зохицуулалт

Сансар огторгуйд хоёр өөр шугам нэг хавтгайд оршдог ч байж болно. Холбогдох жишээнүүдийг харцгаая.

A, B, C цэгүүд нэг шулуун дээр бүү хэвт. Тэдний дундуур онгоц зуръя Рхавтгайд хамааралгүй S цэгийг сонго Р(Зураг 130).

Дараа нь AB ба ВС шулуун шугамууд нэг хавтгайд, тухайлбал хавтгайд байрладаг Р, AS ба CB шулуунууд нэг хавтгайд оршдоггүй. Үнэхээр, хэрэв тэд нэг хавтгайд хэвтвэл A, B, C, S цэгүүд мөн энэ хавтгайд хэвтэх бөгөөд энэ нь боломжгүй юм, учир нь S нь A, B, C цэгүүдийг дайран өнгөрдөг хавтгайд хэвтдэггүй.

Нэг хавтгайд орших, огтлолцдоггүй хоёр өөр шулууныг параллель гэнэ. Давхцаж буй шугамыг мөн параллель гэж нэрлэдэг. Хэрэв шулуун бол 1 1 ба 1 2 зэрэгцээ, дараа нь бич 1 1 || 1 2 .

Тиймээс, 1 1 || 1 2 хэрэв нэгдүгээрт, онгоц байгаа бол Ртиймэрхүү
1 1 РТэгээд 1 2 Рхоёрдугаарт, эсвэл 1 1 1 2 = эсвэл 1 1 = 1 2 .

Нэг хавтгайд ороогүй хоёр шулууныг хазайсан шугам гэнэ. Мэдээжийн хэрэг, огтлолцсон шугамууд огтлолцохгүй бөгөөд параллель биш юм.

Зэрэгцээ шугамын нэг чухал шинж чанарыг баталъя, үүнийг параллелизмын шилжилт хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг.

Теорем. Хэрэв хоёр шугам гуравны нэгтэй параллель байвал тэдгээр нь хоорондоо параллель байна.

Болъё 1 1 || 1 2 ба 1 2 || 1 3. Үүнийг батлах хэрэгтэй 1 1 || 1 3

Хэрэв шулуун бол 1 1 , 1 2 , 1 3 нь нэг хавтгайд хэвтэж байвал энэ мэдэгдлийг планиметрээр нотолсон болно. Бид шулуун шугам гэж таамаглах болно 1 1 , 1 2 , 1 3 нь нэг хавтгайд хэвтэж болохгүй.

Шулуун шугамаар 1 1 ба 1 2 онгоц зурах Р 1 ба дамжин 1 2 ба 1 3 - онгоц Р 2 (Зураг 131).

Шулуун шугам гэдгийг анхаарна уу 1 3 нь хавтгайд хамаарахгүй дор хаяж нэг M цэгийг агуулна
Р 1 .

Шулуун шугамаар хавтгай зураад М цэгийг зурна Р 3, энэ нь онгоцыг огтолж байна Р 2 шулуун шугамын дагуу л. Үүнийг баталцгаая л-тай давхцаж байна 1 3. Бид үүнийг "зөрчилдөөнөөр" батлах болно.

Шулуун шугам гэж үзье 1 шулуун шугамтай давхцдаггүй 1 3. Дараа нь 1 шугамыг огтолж байна 1 2 хэзээ нэгэн цагт A. Үүнээс үзэхэд онгоц Р 3 нь А цэгээр дамждаг Р 1 ба шулуун 1 1 Р 1 тиймээс онгоцтой давхцдаг Р 1 . Энэ дүгнэлт нь М гэсэн заалттай зөрчилдөж байна Р 3 нь онгоцонд хамаарахгүй Р 1 .
Тиймээс бидний таамаг буруу, тиймээс 1 = 1 3 .

Ийнхүү шулуун шугам гэдэг нь батлагдсан 1 1 ба 1 3 нь нэг хавтгайд хэвтэж байна Р 3. Шулуун шугам гэдгийг баталцгаая 1 1 ба 1 3 огтлолцохгүй.

Үнэхээр, хэрэв 1 1 ба 1 3 огтлолцсон, жишээлбэл, В цэг дээр, дараа нь хавтгай Р 2 нь шулуун шугамаар дамжих болно 1 2 ба В цэгээр дамжин 1 1 ба иймээс давхцах болно Р 1, энэ нь боломжгүй юм.

Даалгавар.Хамтарсан талуудтай өнцгүүд ижил хэмжээтэй болохыг батал.

MAN ба M 1 A 1 N 1 өнцгүүдийг хос чиглэлтэй талуудтай болгоё: AM туяа нь A 1 M 1 туяатай, AN туяа нь A 1 N 1 туяатай хамтран чиглэгддэг (Зураг 132).

AM ба A 1 M 1 цацрагууд дээр бид AB ба A 1 B 1 сегментүүдийг урттай тэнцүү хэмжээгээр байрлуулна. Дараа нь

|| болон |BB 1 | = |АА 1 |

параллелограммын эсрэг талууд шиг.

Үүний нэгэн адил AN ба A 1 N 1 цацрагууд дээр бид AC ба A 1 C 1 сегментүүдийг урттай тэнцүү болгоно. Дараа нь

|| болон |CC 1 | = |АА 1 |

Параллелизмын шилжилтийн байдлаас үзэхэд || . Мөн |BB 1 | оноос хойш = |CC 1 | , тэгвэл BB 1 C 1 C нь параллелограмм, тиймээс |BC| = |B 1 C 1 |.
Тиймээс, /\ ABC /\ A 1 B 1 C 1 ба .

Орон зай дахь хоёр шугамын хувьд дөрвөн тохиолдол боломжтой:

Шулуун шугамууд давхцдаг;

Шугамууд зэрэгцээ (гэхдээ давхцдаггүй);

Шугаманууд огтлолцдог;

Шулуун шугамууд хөндлөн огтлолцдог, өөрөөр хэлбэл. нийтлэг цэг байхгүй ба зэрэгцээ биш.

Шулуун шугамыг дүрслэх хоёр аргыг авч үзье. каноник тэгшитгэл ба ерөнхий тэгшитгэл. L 1 ба L 2 мөрүүдийг каноник тэгшитгэлээр өгье.

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y) 2)/м 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

Каноник тэгшитгэлээс мөр бүрийн хувьд бид нэн даруй M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2; y 2; z 2) ∈ L 2 ба координатуудыг тодорхойлно. чиглэлийн векторуудын s 1 = (l 1; m 1; n 1) L 1-д, s 2 = (l 2; m 2; n 2) L 2-ийн хувьд.

Хэрэв шугамууд давхцаж байгаа эсвэл параллель байвал тэдгээрийн чиглэлийн векторууд s 1 ба s 2 нь хоорондоо уялдаатай бөгөөд энэ нь эдгээр векторуудын координатын харьцааны тэгшитгэлтэй тэнцүү байна.

l 1 / л 2 = м 1 / м 2 = n 1 / n 2. (6.10)

Хэрэв шугамууд давхцаж байвал M 1 M 2 вектор нь чиглэлийн векторуудтай ижил байна.

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

Энэ давхар тэгш байдал нь M 2 цэг нь L 1 шулуунд хамаарна гэсэн үг юм. Иймээс шугамууд давхцах нөхцөл нь (6.10) ба (6.11) тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг хангах явдал юм.

Хэрэв шугамууд огтлолцсон эсвэл огтлолцсон бол тэдгээрийн чиглэлийн векторууд нь хоорондоо уялдаатай биш, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл (6.10) зөрчсөн байна. Огтлолцсон шугамууд нэг хавтгайд оршдог тул векторууд s 1 , s 2 ба M 1 M 2 байна хавтгайГурав дахь эрэмбийн тодорхойлогч, тэдгээрийн координатаас бүрдэх (3.2-ыг үзнэ үү):

Δ ≠ 0-ийн хувьд шугамууд нэг хавтгайд хамаарахгүй тул огтлолцдог тул (6.12) нөхцөл дөрвөн тохиолдлын гуравт нь хангагдана.

Бүх нөхцөлийг нэгтгэж үзье:

Шугамын харьцангуй байрлал нь системийн шийдлүүдийн тоогоор тодорхойлогддог (6.13). Хэрэв шугамууд давхцаж байвал систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй болно. Хэрэв шугамууд огтлолцсон бол энэ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Зэрэгцээ эсвэл огтлолцсон тохиолдолд шууд шийдэл байхгүй. Сүүлийн хоёр тохиолдлыг шугамын чиглэлийн векторуудыг олох замаар салгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд хоёрыг тооцоолоход хангалттай вектор урлагийн бүтээл n 1 × n 2 ба n 3 × n 4, энд n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Хэрэв үүссэн векторууд нь коллинеар байвал өгөгдсөн шулуунууд параллель байна. Үгүй бол тэд хоорондоо холилддог.

Жишээ 6.4.

L 1 шулуун шугамын s 1 чиглэлийн векторыг энэ шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг ашиглан олно: s 1 = (1; 3; -2). L 2 шулуун шугамын s 2 чиглэлийн векторыг огтлолцолтой хавтгайнуудын хэвийн векторуудын вектор үржвэрийг ашиглан тооцоолно.

s 1 = -s 2 тул шугамууд зэрэгцээ эсвэл давхцаж байна. Эдгээр шугамын хувьд эдгээр нөхцөл байдлын аль нь хэрэгжиж байгааг олж мэдье. Үүний тулд бид M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 цэгийн координатыг L 2 шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлд орлуулна. Тэдгээрийн эхнийх нь хувьд бид 1 = 0-ийг олж авна. Үүний үр дүнд M 0 цэг нь L 2 шулуунд хамаарахгүй бөгөөд авч үзэж буй шугамууд параллель байна.

Шулуун шугамын хоорондох өнцөг. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг ашиглан олж болно чиглэлийн векторуудЧигээрээ Шулуун шугамын хоорондох хурц өнцөг нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү (Зураг 6.5) эсвэл чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг нь мохоо байвал түүнд нэмэлт байна. Тиймээс, хэрэв L 1 ба L 2 шугамын хувьд тэдгээрийн чиглэлийн векторууд s x ба s 2 мэдэгдэж байгаа бол эдгээр шугамын хоорондох φ хурц өнцгийг скаляр үржвэрээр тодорхойлно.

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

Жишээлбэл, s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. (2.9) ба (2.14) томъёог ашиглан тооцоолъё. вектор уртба координат дахь скаляр үржвэрийг бид авна

Энэ нийтлэл нь параллель болон зэрэгцээ шугамуудын тухай юм. Нэгдүгээрт, хавтгай ба орон зайд параллель шугамуудын тодорхойлолтыг өгч, тэмдэглэгээг танилцуулж, параллель шугамын жишээ, график дүрслэлийг өгсөн болно. Дараа нь шугамын параллелизмын шинж тэмдэг, нөхцөлийг авч үзнэ. Дүгнэж хэлэхэд хавтгай ба гурван хэмжээст орон зайд тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугамын тодорхой тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамын параллелизмыг батлах ердийн асуудлын шийдлүүдийг үзүүлэв.

Хуудасны навигаци.

Зэрэгцээ шугамууд - үндсэн мэдээлэл.

Тодорхойлолт.

Хавтгай дээрх хоёр шугамыг дууддаг Зэрэгцээ, хэрэв тэдэнд нийтлэг зүйл байхгүй бол.

Тодорхойлолт.

Гурван хэмжээст орон зай дахь хоёр шугамыг дуудна Зэрэгцээ, хэрэв тэдгээр нь нэг хавтгайд хэвтэж, нийтлэг цэгүүд байхгүй бол.

Сансар огторгуй дахь параллель шугамын тодорхойлолтод "нэг хавтгайд хэвтэж байвал" гэсэн заалт маш чухал гэдгийг анхаарна уу. Энэ цэгийг тодруулцгаая: гурван хэмжээст орон зайд нийтлэг цэггүй, нэг хавтгайд оршдоггүй хоёр шулуун параллель биш, огтлолцдог.

Зэрэгцээ шугамын зарим жишээ энд байна. Тэмдэглэлийн дэвтрийн хуудасны эсрэг талын ирмэгүүд нь зэрэгцээ шугамууд дээр байрладаг. Байшингийн хананы хавтгай нь тааз, шалны хавтгайг огтолж буй шулуун шугамууд нь параллель байна. Мөн тэгш газар дээрх төмөр замын төмөр замыг зэрэгцээ шугам гэж үзэж болно.

Зэрэгцээ шугамыг тэмдэглэхийн тулд "" тэмдгийг ашиглана уу. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв a ба b шугамууд параллель байвал бид a b гэж товч бичиж болно.

Анхаарна уу: хэрэв a ба b шугамууд параллель байвал a шугам b шугамтай параллель, b шугам нь а шугамтай параллель байна гэж хэлж болно.

Хавтгай дээрх параллель шугамыг судлахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг мэдэгдлийг хэлье: өгөгдсөн шулуун дээр ороогүй цэгээр өгөгдсөнтэй параллель цорын ганц шулуун шугам өнгөрдөг. Энэхүү мэдэгдлийг баримт болгон хүлээн зөвшөөрсөн (энэ нь мэдэгдэж буй планиметрийн аксиомуудын үндсэн дээр нотлогдох боломжгүй) бөгөөд үүнийг параллель шугамын аксиом гэж нэрлэдэг.

Орон зай дахь тохиолдлын хувьд теорем хүчинтэй байна: өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй орон зайн аль ч цэгээр өгөгдсөнтэй параллель нэг шулуун шугам дамждаг. Энэхүү теоремыг дээрх параллель шугамын аксиомыг ашиглан хялбархан нотолж болно (үүнийг та 10-11-р ангийн геометрийн сурах бичгээс олж болно. Үүнийг нийтлэлийн төгсгөлд лавлагааны жагсаалтад оруулсан болно).

Орон зай дахь тохиолдлын хувьд теорем хүчинтэй байна: өгөгдсөн шулуун дээр оршдоггүй орон зайн аль ч цэгээр өгөгдсөнтэй параллель нэг шулуун шугам дамждаг. Дээрх параллель шугамын аксиомыг ашиглан энэ теоремыг хялбархан баталж болно.

Шугамын параллелизм - параллелизмын шинж тэмдэг ба нөхцөл.

Шугамын параллелизмын шинж тэмдэгнь шугамууд зэрэгцээ байх хангалттай нөхцөл, өөрөөр хэлбэл биелэлт нь шугамууд зэрэгцээ байх баталгаа болдог нөхцөл юм. Өөрөөр хэлбэл, энэ нөхцлийн биелэлт нь шугамууд зэрэгцээ байгааг батлахад хангалттай юм.

Хавтгай болон гурван хэмжээст орон зайд шугамыг параллель байлгахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлүүд байдаг.

"Зэрэгцээ шугамын зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл" гэсэн хэллэгийн утгыг тайлбарлая.

Зэрэгцээ шугамын хангалттай нөхцөлийг бид аль хэдийн авч үзсэн. "Зэрэгцээ шугамын зайлшгүй нөхцөл" гэж юу вэ? "Шаардлагатай" гэсэн нэрнээс харахад параллель шугамын хувьд энэ нөхцлийг биелүүлэх шаардлагатай байна. Өөрөөр хэлбэл, шугамууд зэрэгцээ байх шаардлагатай нөхцөл хангагдаагүй бол шугамууд зэрэгцээ биш байна. Тиймээс, зэрэгцээ шугамын шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлЗэрэгцээ шугамын хувьд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай байх нөхцөл юм. Энэ нь нэг талаасаа энэ нь шугамын параллелизмын шинж тэмдэг, нөгөө талаас энэ нь зэрэгцээ шугамууд байдаг шинж чанар юм.

Шугамын параллелизмд шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцлийг бүрдүүлэхийн өмнө хэд хэдэн туслах тодорхойлолтыг эргэн санах нь зүйтэй.

Таслах шугамөгөгдсөн давхцаагүй хоёр шугам тус бүрийг огтолж буй шугам юм.

Хоёр шулуун шугам нь хөндлөн шугамтай огтлолцох үед хөгжөөгүй найман шугам үүсдэг. Шугамын параллелизмд шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлийг томъёолоход гэж нэрлэгддэг хөндлөн хэвтэх, харгалзахТэгээд нэг талын өнцөг. Тэднийг зурган дээр харуулъя.

Теорем.

Хэрэв хавтгайн хоёр шулуун шугамыг хөндлөн огтлолцсон бол тэдгээр нь параллель байхын тулд огтлолцох өнцөг нь тэнцүү, эсвэл харгалзах өнцөг нь тэнцүү, эсвэл нэг талт өнцгийн нийлбэр нь 180-тай тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. градус.

Хавтгай дээрх шугамуудын параллель байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл байдлын график дүрслэлийг үзүүлье.

Та 7-9-р ангийн геометрийн сурах бичгүүдээс шугамын параллель байдлын эдгээр нөхцлийн нотолгоог олж болно.

Эдгээр нөхцлийг гурван хэмжээст орон зайд ч ашиглаж болно гэдгийг анхаарна уу - гол зүйл бол хоёр шулуун шугам ба зүсэгч нь нэг хавтгайд байрладаг.

Шулуунуудын параллелизмыг батлахад ихэвчлэн ашигладаг хэд хэдэн теоремуудыг энд оруулав.

Теорем.

Хэрэв хавтгайн хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай параллель байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна. Энэ шалгуурын баталгаа нь параллель шугамын аксиомоос үүдэлтэй.

Гурван хэмжээст орон зайд параллель шугамын хувьд ижил нөхцөл байдаг.

Теорем.

Хэрэв огторгуйн хоёр шулуун гурав дахь шугамтай параллель байвал тэдгээр нь зэрэгцээ байна. Энэ шалгуурын баталгааг 10-р ангийн геометрийн хичээлээр хэлэлцдэг.

Өгөгдсөн теоремуудыг тайлбарлая.

Хавтгай дээрх шулуунуудын параллель байдлыг батлах өөр нэг теоремыг танилцуулъя.

Теорем.

Хэрэв хавтгайн хоёр шулуун гурав дахь шулуунтай перпендикуляр байвал тэдгээр нь параллель байна.

Орон зайн шугамын хувьд ижил төстэй теорем байдаг.

Теорем.

Гурван хэмжээст орон зай дахь хоёр шулуун нь нэг хавтгайд перпендикуляр байвал тэдгээр нь параллель байна.

Эдгээр теоремуудад тохирох зургуудыг зурцгаая.

Дээр дурдсан бүх теоремууд, шалгуурууд, шаардлагатай, хангалттай нөхцөлүүд нь геометрийн аргыг ашиглан шугамын параллель байдлыг батлахад маш сайн байдаг. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн хоёр шулууны параллель байдлыг батлахын тулд тэдгээрийг гурав дахь шугамтай параллель байгааг харуулах эсвэл хөндлөн хэвтэх өнцгийн тэгш байдлыг харуулах гэх мэтийг харуулах хэрэгтэй. Ахлах сургуулийн геометрийн хичээл дээр ижил төстэй олон асуудлыг шийддэг. Гэсэн хэдий ч олон тохиолдолд хавтгай эсвэл гурван хэмжээст орон зайд шугамын параллель байдлыг батлахын тулд координатын аргыг ашиглах нь тохиромжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тэгш өнцөгт координатын системд заасан шугамын зэрэгцээ байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийг томъёолъё.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх шугамын параллелизм.

Өгүүллийн энэ догол мөрөнд бид томъёолох болно зэрэгцээ шугамд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлтэгш өнцөгт координатын системд эдгээр шугамыг тодорхойлсон тэгшитгэлийн төрлөөс хамаарч, мөн шинж чанарын асуудлуудын нарийвчилсан шийдлүүдийг өгөх болно.

Тэгш өнцөгт координатын Oxy систем дэх хавтгай дээрх хоёр шулууны параллель байх нөхцлөөс эхэлье. Түүний нотолгоо нь шулууны чиглэлийн векторын тодорхойлолт болон хавтгай дээрх шулууны хэвийн векторын тодорхойлолт дээр суурилдаг.

Теорем.

Хавтгайд давхцдаггүй хоёр шулуун параллель байхын тулд эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторууд нь коллинеар, эсвэл эдгээр шулуунуудын хэвийн векторууд нь коллинеар, эсвэл нэг шулууны чиглэлийн вектор нь хэвийнд перпендикуляр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. Хоёр дахь шугамын вектор.

Хавтгай дээрх хоёр шулууны параллелизмын нөхцөл нь (шугамын чиглэлийн векторууд эсвэл шулууны хэвийн векторууд) эсвэл (нэг шугамын чиглэлийн вектор ба хоёр дахь шугамын хэвийн вектор) хүртэл буурдаг нь ойлгомжтой. Тиймээс, хэрэв ба бол a ба b шугамын чиглэлийн векторууд ба Тэгээд нь a ба b шугамын хэвийн векторууд байвал a ба b шугамын параллель байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөлийг дараах байдлаар бичнэ. , эсвэл , эсвэл , энд t нь бодит тоо юм. Хариуд нь чиглүүлэгчийн координат ба (эсвэл) a ба b шугамын хэвийн векторуудыг шугамын мэдэгдэж буй тэгшитгэлийг ашиглан олно.

Ялангуяа тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун шугам нь хавтгай дээрх Oxy нь ерөнхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлно. , ба шулуун шугам b - , тэгвэл эдгээр шулууны хэвийн векторууд нь координаттай ба тус тустай байх ба a ба b шулуунуудын параллель байх нөхцөлийг гэж бичнэ.

Хэрэв а шугам нь өнцгийн коэффициент бүхий шулууны тэгшитгэл, b - гэсэн хэлбэртэй тохирч байвал эдгээр шулуунуудын хэвийн векторууд нь координаттай ба , эдгээр шулуунуудын параллель байх нөхцөл хэлбэрийг авна. . Үүний үр дүнд, тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрх шугамууд параллель бөгөөд өнцгийн коэффициент бүхий шугамын тэгшитгэлээр тодорхойлогддог бол шугамын өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү байх болно. Мөн эсрэгээр: хэрэв тэгш өнцөгт координатын систем дэх хавтгай дээрх давхцахгүй шугамуудыг ижил өнцгийн коэффициент бүхий шугамын тэгшитгэлээр тодорхойлж чадвал ийм шугамууд параллель байна.

Тэгш өнцөгт координатын систем дэх шулуун a ба b шулууныг хавтгай дээрх шулууны каноник тэгшитгэлээр тодорхойлно. Тэгээд , эсвэл хэлбэрийн хавтгай дээрх шулуун шугамын параметрийн тэгшитгэл Тэгээд үүний дагуу эдгээр шулуунуудын чиглэлийн векторууд нь координат ба -тай байх ба a, b шулуунуудын параллель байх нөхцөлийг гэж бичнэ.

Хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлийг авч үзье.

Жишээ.

Шугамууд зэрэгцээ байна уу? Тэгээд ?

Шийдэл.

Шугамын тэгшитгэлийг сегмент дэх шугамын ерөнхий тэгшитгэл хэлбэрээр дахин бичье. . Одоо бид шугамын хэвийн вектор болохыг харж болно , a нь шугамын хэвийн вектор юм. Эдгээр векторууд нь хоорондоо уялдаа холбоогүй, учир нь тэгшитгэл (t) байх бодит тоо байхгүй. ). Иймээс хавтгай дээрх шугамуудын параллель байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл хангагдаагүй тул өгөгдсөн шугамууд параллель биш байна.

Хариулт:

Үгүй ээ, шугамууд зэрэгцээ биш байна.

Жишээ.

Шулуун ба параллель байна уу?

Шийдэл.

Шулуун шугамын каноник тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамын тэгшитгэл болгон бууруулъя: . Мэдээжийн хэрэг, шугамын тэгшитгэлүүд нь ижил биш (энэ тохиолдолд өгөгдсөн шугамууд ижил байх болно) ба шугамын өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү тул анхны шугамууд зэрэгцээ байна.