Функцийн утгуудын багцыг олох. Функцийн хүрээ (функцийн утгуудын багц)

Нэг хувьсагчийн нөгөө хувьсагчийн хамаарлыг гэнэ функциональ хамаарал.Хамааралтай хувьсагч yхувьсагчаас xдуудсан функц, хэрэв утга тус бүр xнэг утгатай таарч байна y.

Зориулалт:

Хувьсагч xбие даасан хувьсагч эсвэл гэж нэрлэдэг маргаан, болон хувьсагч y- хамааралтай. Тэд ингэж хэлдэг y-ийн функц юм x. Утга y, заасан утгатай харгалзах x, дуудсан функцийн утга.

Түүний хүлээн зөвшөөрсөн бүх үнэт зүйлс x, хэлбэр функцийн домэйн; шаардлагатай бүх үнэт зүйлс y, хэлбэр функцийн утгуудын багц.

Тэмдэглэл:

D(f)- аргументуудын утгууд. E(f)- функцийн утгууд. Хэрэв функц нь томьёогоор өгөгдсөн бол тодорхойлолтын домэйн нь энэ томъёо нь утга учиртай хувьсагчийн бүх утгуудаас бүрддэг гэж үзнэ.

Функцийн графикЭнэ нь абсциссууд нь аргументийн утгатай тэнцүү, ординатууд нь функцийн харгалзах утгатай тэнцүү байгаа координатын хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн багц юм. Хэрэв ямар нэг үнэ цэнэ x=x 0олон утгатай таарч байна (нэг биш) y, тэгвэл ийм захидал харилцаа нь функц биш юм. Координатын хавтгай дээрх цэгүүдийн багц нь тодорхой функцийн график байхын тулд Ой тэнхлэгтэй параллель дурын шулуун шугам графиктай нэгээс илүүгүй цэгээр огтлолцох нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Функцийг тодорхойлох аргууд

1) Функцийг тохируулж болно аналитик байдлаартомъёо хэлбэрээр. Жишээлбэл,

2) Функцийг олон хосын хүснэгтээр тодорхойлж болно (х; у).

3) Функцийг графикаар тодорхойлж болно. Утга хосууд (х; у)координатын хавтгайд дүрслэгдсэн байна.

Функцийн монотон байдал

Чиг үүрэг f(x)дуудсан нэмэгдэхХэрэв аргументийн том утга нь функцын том утгатай тохирч байвал тухайн тоон интервал дээр. График дагуу тодорхой цэг зүүнээс баруун тийш хөдөлж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь цэг нь график дээр "авирч" байх шиг болно.

Чиг үүрэг f(x)дуудсан буурч байнаөгөгдсөн тоон интервал дээр, хэрэв аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байвал. График дагуу тодорхой цэг зүүнээс баруун тийш хөдөлж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь цэг нь графикийг "өнхрүүлж" байх шиг болно.

Өгөгдсөн тоон интервалд зөвхөн өсдөг эсвэл зөвхөн буурдаг функцийг дуудна нэг хэвийнэнэ интервал дээр.

Функцийн тэг ба тогтмол тэмдгийн интервалууд

Үнэ цэнэ X, аль үед y=0, дуудсан функц тэг. Эдгээр нь функцийн графикийн Ox тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссууд юм.

Ийм утгын хүрээ x, үүн дээр функцийн утгууд yзөвхөн эерэг эсвэл зөвхөн сөрөг гэж нэрлэдэг функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Тэгш ба сондгой функцууд

Тэр ч байтугай функц
1) Тодорхойлолтын муж нь (0; 0) цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл, хэрэв цэг атодорхойлолтын домэйнд, дараа нь цэгт хамаарна -амөн тодорхойлолтын домэйнд хамаарна.
2) Аливаа утгын хувьд x f(-x)=f(x)
3) Тэгш функцийн график нь Ой тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Хачирхалтай функцдараах шинж чанаруудтай:
1) Тодорхойлолтын муж нь (0; 0) цэгийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
2) дурын утгын хувьд x, тодорхойлолтын домэйнд хамаарах тэгш байдал f(-x)=-f(x)
3) Сондгой функцийн график нь эх үүсвэртэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна (0; 0).

Функц бүр тэгш эсвэл сондгой байдаггүй. Функцүүд ерөнхий үзэлтэгш, сондгой ч биш.

Тогтмол функцууд

Чиг үүрэг еямар нэг тоо байгаа бол үе үе гэж нэрлэдэг xтодорхойлолтын хүрээнээс тэгш байдал f(x)=f(x-T)=f(x+T). Тфункцийн хугацаа юм.

Тогтмол функц бүр хязгааргүй тооны үетэй байдаг. Практикт хамгийн бага эерэг үеийг ихэвчлэн авч үздэг.

Үе үетэй тэнцүү интервалын дараа үечилсэн функцийн утгууд давтагдана. Үүнийг график байгуулахад ашигладаг.

Өнөөдөр хичээл дээр бид математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг болох функцийн тухай ойлголт руу шилжих болно; Функцийн шинж чанаруудын нэг болох утгуудын багцыг нарийвчлан авч үзье.

Хичээлийн үеэр

Багш аа. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад заримдаа энэ нь биднийг хэцүү нөхцөл байдалд оруулдаг функцийн утгуудын багцыг олж байгааг анзаардаг. Яагаад? Бид 7-р ангиасаа эхлэн функцийг судалж үзсэнийхээ дараа энэ талаар маш их зүйлийг мэддэг юм шиг санагддаг. Тиймээс бид идэвхтэй алхам хийх бүрэн үндэслэлтэй. Удахгүй болох шалгалтын үеэр энэ сэдвээр олон асуултанд хариулахын тулд өнөөдөр олон функцын үнэ цэнээр "тоглоцгооё".

Энгийн функцүүдийн утгуудын багц

Багш аа. Эхлээд та үндсэн үндсэн функцүүдийн график, тэгшитгэл, утгын багцыг бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд давтах хэрэгтэй.

Функцийн графикуудыг дэлгэцэн дээр дүрсэлсэн: шугаман, квадрат, бутархай-рациональ, тригонометр, экспоненциал ба логарифм, тэдгээрийн хувьд утгын багцыг амаар тодорхойлно. Шугаман функц E(f) = гэдэгт сурагчдын анхаарлыг хандуул Рэсвэл бутархай шугаман хувьд нэг тоо

Энэ бол бидний цагаан толгой юм. График хувиргалт: параллель орчуулга, суналт, шахалт, тусгал зэрэг мэдлэгээ нэмснээр бид эхний хэсгийн асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой болно. Улсын нэгдсэн шалгалт бол бүр ч хэцүү. Үүнийг шалгаж үзье.

Бие даасан ажил

У Асуудлын нэр томьёо, координатын системийг оюутан бүрт зориулж хэвлэв.

1. Тодорхойлолтын бүх домэйн дээрх функцын утгуудын багцыг ол:

A) y= 3 нүгэл X ;
б) y = 7 – 2 X ;
V) y= –arccos ( x + 5):
G) y= | arctg x |;
г)

2. Функцийн утгуудын багцыг ол y = x 2 хооронд Ж, Хэрэв:

A) Ж = ;
б) Ж = [–1; 5).

3. Функцийг аналитик аргаар (тэгшитгэлээр) тодорхойлно уу, хэрэв түүний утгуудын багц нь:

1) Э(е(x)) = (–∞ ; 2] ба е(x) - функц

а) квадрат,
б) логарифм,
в) харуулах;

2) Э(е(x)) = Р \{7}.

Даалгаврыг хэлэлцэх үед 2бие даасан ажил, үйл ажиллагааны нэг хэвийн байдал, тасралтгүй байдлын хувьд оюутнуудын анхаарлыг татах.=е(x)өгөгдсөн интервалд[а;б],түүний олон утгатай-интервал,төгсгөлүүд нь f-ийн утгууд юм(а)болон f(б).

Даалгаврын хариултын сонголтууд 3.

1.
A) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y= а(x – xв) 2 + 2 цагт А < 0.

б) y= –| бүртгэл 8 x | + 2,

V) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
а) б)

V) y = 12 – 5x, Хаана x ≠ 1 .

Дериватив ашиглан функцийн олон утгыг олох

Багш аа. 10-р ангид бид функцийн графикт найдахгүйгээр хэрчим дэх тасралтгүй функцийн экстремумыг олох, түүний олонлог утгыг олох алгоритмтай танилцсан. Бид үүнийг хэрхэн хийснийг санаж байна уу? ( Дериватив ашиглах.) Энэ алгоритмыг санацгаая .

1. Функц ажиллаж байгаа эсэхийг шалгана уу y = е(x) сегмент дээр тодорхойлогдсон ба тасралтгүй байна Ж = [а; б]. 2. Сегментийн төгсгөлд байгаа функцийн утгыг ол: f(a) ба f(b). Сэтгэгдэл. Хэрэв бид функц тасралтгүй, монотон байгааг мэдэж байвал Ж, тэгвэл та шууд хариулж болно: Э(е) = [е(а); е(б)] эсвэл Э(е) = [е(б); е(А)]. 3. Дериватив, дараа нь эгзэгтэй цэгүүдийг ол х кЖ. 4. Чухал цэгүүд дэх функцийн утгыг ол е(х к). 5. Функцийн утгуудыг харьцуул е(а), е(б) Мөн е(х к), функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг сонгоод хариултыг өгнө үү. Э(е)= [енэр; енаиб].

Энэ алгоритмыг ашиглахтай холбоотой асуудлуудыг Улсын нэгдсэн шалгалтын хувилбаруудаас олж болно. Тухайлбал, 2008 онд ийм даалгавар дэвшүүлсэн. Та үүнийг шийдэх хэрэгтэй Байшингууд .

Даалгавар C1.Функцийн хамгийн том утгыг ол

е(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

дээр | x + 1| ≤ 3.

Гэрийн даалгаврын нөхцөлийг сурагч бүрт хэвлэсэн .

Нарийн төвөгтэй функцийн утгуудын багцыг олох

Багш аа. Манай хичээлийн гол хэсэг нь деривативууд нь маш нарийн төвөгтэй илэрхийллүүд болох нарийн төвөгтэй функцуудыг агуулсан стандарт бус бодлого байх болно. Мөн эдгээр функцүүдийн графикууд бидэнд мэдэгддэггүй. Тиймээс бид цогц функцийн тодорхойлолтыг, өөрөөр хэлбэл хувьсагчдын хоорондын хамаарлыг тухайн функцэд үүрлэх дарааллаар нь хамааруулж, тэдгээрийн утгын хүрээний тооцоог (тэдгээрийн өөрчлөлтийн интервал) ашиглана. үнэт зүйлс). Энэ төрлийн асуудлуудыг Улсын нэгдсэн шалгалтын хоёрдугаар хэсгээс олж болно. Зарим жишээг харцгаая.

Дасгал 1.Функцуудын хувьд y = е(x) Мөн y = g(x) цогц функц бичнэ үү y = е(g(x)) ба түүний утгуудын багцыг ол:

A) е(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = нүгэл x;
б) е(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = бүртгэл 7 x;
V) g(x) = x 2 + 1;
G)

Шийдэл. a) Нарийн төвөгтэй функц нь дараах хэлбэртэй байна. y= –нүгэл 2 x+ 2 нүгэл x + 3.

Завсрын аргументыг танилцуулж байна т, бид энэ функцийг дараах байдлаар бичиж болно.

y= –т 2 + 2т+ 3, хаана т= нүгэл x.

Дотоод функц дээр т= нүгэл xаргумент нь ямар ч утгыг авдаг бөгөөд түүний утгуудын багц нь [–1; 1].

Тиймээс гаднах функцийн хувьд y = –т 2 +2т+ 3 бид түүний аргументуудын утгыг өөрчлөх интервалыг олж мэдсэн т: т[-1; 1]. Функцийн графикийг харцгаая y = –т 2 +2т + 3.

Квадрат функцийг бид тэмдэглэж байна т[-1; 1] төгсгөлд хамгийн бага, хамгийн том утгыг авдаг: yнэр = y(–1) = 0 ба yнаиб = y(1) = 4. Мөн энэ функц нь [–1” интервал дээр үргэлжилдэг тул; 1], дараа нь энэ нь тэдгээрийн хоорондох бүх утгыг хүлээн зөвшөөрдөг.

Хариулт: y .

б) Эдгээр функцүүдийн бүрэлдэхүүн нь биднийг нийлмэл функц руу хөтөлж, завсрын аргументыг оруулсны дараа дараах байдлаар илэрхийлж болно.

y= –т 2 + 2т+ 3, хаана т= бүртгэл 7 x,

Чиг үүрэг т= бүртгэл 7 x

x (0; +∞ ), т (–∞ ; +∞ ).

Чиг үүрэг y = –т 2 + 2т+ 3 (графикийг харна уу) аргумент тямар ч утгыг авдаг бөгөөд квадрат функц нь өөрөө 4-өөс ихгүй бүх утгыг авдаг.

Хариулт: y (–∞ ; 4].

в) Цогц функц нь дараах хэлбэртэй байна.

Завсрын аргументыг оруулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хаана т = x 2 + 1.

Учир нь дотоод үйл ажиллагааны хувьд x Р , А т .

Хариулт: y (0; 3].

d) Эдгээр хоёр функцийн найрлага нь бидэнд нарийн төвөгтэй функцийг өгдөг

гэж бичиж болно

анзаараарай, тэр

Тийм үед

Хаана к З , т [–1; 0) (0; 1].

Функцийн графикийг зурах замаар Эдгээр үнэт зүйлсээс бид үүнийг харж байна т

y(–∞ ; –4] c ;

б) бүхэл бүтэн тодорхойлолтын талбарт.

Шийдэл.Нэгдүгээрт, бид энэ функцийг монотон байдлыг шалгана. Чиг үүрэг т= arcctg x- тасралтгүй ба буурдаг Р ба түүний утгуудын багц (0; π). Чиг үүрэг y= бүртгэл 5 тинтервал дээр тодорхойлогддог (0; π), тасралтгүй бөгөөд үүн дээр нэмэгддэг. Энэ нь цогц функц нь багц дээр буурдаг гэсэн үг юм Р . Мөн энэ нь тасралтгүй хоёр функцийн бүрэлдэхүүний хувьд тасралтгүй үргэлжлэх болно Р .

"a" асуудлыг шийдье.

Функц нь бүхэл тооны шулуун дээр үргэлжилдэг тул түүний аль ч хэсэгт, ялангуяа өгөгдсөн сегмент дээр тасралтгүй байна. Дараа нь энэ сегмент дээр энэ нь хамгийн бага, хамгийн том утгатай бөгөөд тэдгээрийн хоорондох бүх утгыг авдаг.

е(4) = log 5 arcctg 4.

Үр дүнгийн утгуудын аль нь илүү вэ? Яагаад? Мөн үнэт зүйлсийн багц ямар байх вэ?

Хариулт:

"б" асуудлыг шийдье.

Хариулт: цагт(–∞ ; log 5 π) тодорхойлолтын талбайг бүхэлд нь хамарна.

Параметртэй холбоотой асуудал

Одоо маягтын параметртэй энгийн тэгшитгэл үүсгэж, шийдэхийг оролдъё е(x) = а, Хаана е(x) - 4-р даалгавартай ижил функц.

Даалгавар 5. 5-р тэгшитгэлийн язгуурын тоог тодорхойл (arcctg x) = Апараметрийн утга тус бүрийн хувьд А.

Шийдэл.Бид 4-р даалгаварт аль хэдийн үзүүлсэн шиг функц цагт= бүртгэл 5(arcctg x) - буурч, үргэлжилсээр байна Р бөгөөд log 5 π-ээс бага утгыг авдаг. Энэ мэдээлэл хариулт өгөхөд хангалттай.

Хариулт:Хэрэв А < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Хэрэв А≥ log 5 π, тэгвэл үндэс байхгүй болно.

Багш аа. Өнөөдөр бид функцийн утгын багцыг олохтой холбоотой асуудлуудыг авч үзсэн. Энэ замаар бид тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх шинэ аргыг нээсэн - үнэлгээний аргыг олсон тул функцийн утгын багцыг олох нь дээд түвшний асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгсэл болсон. Ингэхдээ бид ийм бодлогууд хэрхэн бүтээгдэж, функцийн монотон байдлын шинж чанарууд нь тэдгээрийг шийдвэрлэхэд хэрхэн тусалдаг болохыг олж харсан.

Өнөөдөр хэлэлцсэн ажлуудыг холбосон логик нь таныг гайхшруулсан эсвэл ядаж гайхшруулсан гэж найдаж байна. Энэ нь өөрөөр байж болохгүй: шинэ оргилд авирах нь хэнийг ч хайхрамжгүй орхихгүй! Бид үзэсгэлэнтэй уран зураг, баримал гэх мэтийг анзаарч, үнэлдэг. Гэхдээ математик бас өөрийн гэсэн гоо үзэсгэлэнтэй, сэтгэл татам, сэтгэл татам, логикийн гоо үзэсгэлэн юм. Математикчид үзэсгэлэнтэй шийдэл нь ихэвчлэн зөв шийдэл байдаг гэж хэлдэг бөгөөд энэ нь зүгээр нэг хэллэг биш юм. Одоо та ийм шийдлүүдийг өөрөө олох хэрэгтэй бөгөөд бид өнөөдөр тэдэнд хүрэх нэг арга замыг зааж өгсөн. Чамд амжилт хүсье! Мөн санаарай: алхаж байгаа хүн замыг эзэмших болно!

Функц бол математикийн хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм.

Тодорхойлолт: Хэрэв тодорхой х олонлогийн тоо бүр нэг у тоотой холбоотой бол энэ олонлог дээр y(x) функц тодорхойлогдсон гэж тэд хэлдэг. Энэ тохиолдолд х-г бие даасан хувьсагч эсвэл аргумент, у-г хамааралтай хувьсагч эсвэл функцийн утга эсвэл зүгээр л функц гэж нэрлэдэг.

y хувьсагчийг мөн x хувьсагчийн функц гэнэ.

Тоглолтыг жишээлбэл f үсгээр тэмдэглэсний дараа бичихэд тохиромжтой: y=f (x), өөрөөр хэлбэл y утгыг х аргументаас f тохирохыг ашиглан олж авна. (Унш: y нь x-ийн f-тэй тэнцүү.) f (x) тэмдэг нь х-тэй тэнцүү аргументийн утгатай тохирох функцийн утгыг илэрхийлнэ.

Жишээ 1 Функцийг y=2x 2 –6 томъёогоор өгье. Дараа нь бид f(x)=2x 2 –6 гэж бичиж болно. Жишээлбэл, 1-тэй тэнцүү x утгуудын функцийн утгыг олъё; 2.5;–3; өөрөөр хэлбэл, бид f(1), f(2.5), f(–3)-ийг олно:

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2.5)=2 2.5 2 –6=6.5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

y=f (x) хэлбэрийн тэмдэглэгээнд f: g гэх мэтийн оронд өөр үсгүүдийг ашигладаг болохыг анхаарна уу.

Тодорхойлолт: Функцийн домэйн нь тухайн функц байгаа x-ийн бүх утгууд юм.

Хэрэв функцийг томъёогоор зааж өгсөн бөгөөд түүний тодорхойлолтын мужийг заагаагүй бол функцийн тодорхойлолтын домэйн нь томъёоны утга учиртай аргументийн бүх утгуудаас бүрддэг гэж үзнэ.

Өөрөөр хэлбэл, томьёогоор өгөгдсөн функцийн домэйн нь бидний хийж чадахгүй үйлдлээс бусад аргументуудын бүх утгууд юм. Одоогоор бид ийм хоёр л үйлдлийг мэдэж байгаа. Бид тэгээр хуваагдаж, сөрөг тооны язгуурыг авч чадахгүй.

Тодорхойлолт: Хамаарах хувьсагчийн авдаг бүх утгууд нь функцийн мужийг бүрдүүлдэг.

Бодит үйл явцыг дүрсэлсэн функцийг тодорхойлох талбар нь түүний үүсэх тодорхой нөхцлөөс хамаарна. Жишээлбэл, төмрийн бариулын l урт нь халаалтын температур t-ээс хамаарах хамаарлыг томъёогоор илэрхийлдэг бөгөөд энд l 0 нь савааны анхны урт бөгөөд шугаман тэлэлтийн коэффициент юм. Энэ томъёо нь t-ийн аль ч утгын хувьд утга учиртай. Гэхдээ l=g(t) функцийн тодорхойлолтын муж нь шугаман тэлэлтийн хууль хүчинтэй хэдэн арван градусын интервал юм.

Жишээ.

Функцийн хүрээг зааж өгнө үү y = arcsinx.

Шийдэл.

Арксинусын тодорхойлолтын домэйн нь сегмент юм [-1; 1] . Энэ сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё.

Дериватив нь хүн бүрт эерэг байдаг xинтервалаас (-1; 1) , өөрөөр хэлбэл, arcsine функц нь тодорхойлолтын бүх мужид нэмэгддэг. Тиймээс энэ нь хэзээ хамгийн бага утгыг авдаг x = -1, хамгийн том нь x = 1.

Бид арксинусын функцийн хүрээг олж авлаа .

Функцийн утгуудын багцыг ол сегмент дээр .

Шийдэл.

Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё.

Сегментэд хамаарах экстремум цэгүүдийг тодорхойлъё :

Ихэнхдээ асуудлыг шийдэхийн тулд бид тодорхойлолт эсвэл сегмент дэх функцийн олон утгыг хайх хэрэгтэй болдог. Жишээлбэл, янз бүрийн төрлийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх, илэрхийллийг үнэлэх гэх мэт үүнийг хийх шаардлагатай.

Энэ материалд бид функцийн утгын хүрээ гэж юу болохыг хэлж, түүнийг тооцоолох үндсэн аргуудыг өгч, янз бүрийн түвшний нарийн төвөгтэй асуудлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Тодорхой болгохын тулд тус тусын заалтуудыг графикаар дүрсэлсэн болно. Энэ өгүүллийг уншсаны дараа та функцийн хүрээний талаар иж бүрэн ойлголттой болно.

Үндсэн тодорхойлолтуудаас эхэлцгээе.

Тодорхойлолт 1

Тодорхой х интервал дахь y = f (x) функцийн утгуудын багц нь x ∈ X утгыг давтах үед энэ функцийн авдаг бүх утгуудын багц юм.

Тодорхойлолт 2

y = f (x) функцийн утгуудын хүрээ нь x ∈ (f) мужаас x утгуудыг хайж олоход авч болох бүх утгуудын багц юм.

Тодорхой функцийн утгын хүрээг ихэвчлэн E (f) гэж тэмдэглэдэг.

Функцийн утгуудын багц ойлголт нь түүний утгын хүрээтэй үргэлж ижил байдаггүй гэдгийг анхаарна уу. Эдгээр ойлголтууд нь утгуудын багцыг олох үед х-ийн утгуудын интервал нь функцийн тодорхойлолтын мужтай давхцаж байгаа тохиолдолд л тэнцүү байх болно.

Баруун талын y = f (x) илэрхийлэлд х хувьсагчийн утгын хүрээ ба зөвшөөрөгдөх утгын мужийг ялгах нь бас чухал юм. f (x) илэрхийллийн зөвшөөрөгдөх х утгын хүрээ нь энэ функцийг тодорхойлох талбар болно.

Доор зарим жишээг харуулсан зураг байна. Цэнхэр зураас нь функцийн график, улаан шугам нь асимптот, улаан цэг, ординатын тэнхлэг дээрх шугамууд нь функцийн муж юм.

Функцийн графикийг O y тэнхлэгт проекцлох замаар функцийн утгын мужийг олж авах нь ойлгомжтой. Түүнээс гадна энэ нь нэг тоо эсвэл тооны багц, сегмент, интервал, нээлттэй туяа, тоон интервалуудын нэгдэл гэх мэтийг илэрхийлж болно.

Функцийн утгын мужийг олох үндсэн аргуудыг авч үзье.

[ a ; b ]. Тодорхой сегмент дээр үргэлжилсэн функц нь түүн дээр хамгийн бага ба максимумдаа хүрдгийг бид мэднэ, өөрөөр хэлбэл хамгийн том m a x x ∈ a ; b f (x) ба хамгийн бага утга m i n x ∈ a ; b f (x) . Энэ нь бид m i n x ∈ a сегментийг авна гэсэн үг юм; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) нь анхны функцийн утгуудын багцыг агуулна. Дараа нь бидний хийх ёстой зүйл бол энэ сегмент дээр заасан хамгийн бага ба дээд цэгүүдийг олох явдал юм.

Арксинусын утгын мужийг тодорхойлох шаардлагатай бодлогыг авч үзье.

Жишээ 1

Нөхцөл: y = a r c sin x утгын мужийг ол.

Шийдэл

Ерөнхий тохиолдолд арксинусын тодорхойлолтын муж нь [ - 1 ; 1 ]. Бид үүн дээр заасан функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлох хэрэгтэй.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

Функцийн дериватив нь [ - 1 ; 1 ], өөрөөр хэлбэл тодорхойлолтын бүх домэйн даяар арксинус функц нэмэгдэх болно. Энэ нь x нь -1-тэй тэнцүү байх үед хамгийн бага утгыг, x нь 1-тэй тэнцүү байх үед хамгийн том утгыг авна гэсэн үг юм.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 м a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

Тиймээс арксинус функцийн утгын хүрээ нь E (a r c sin x) = - π 2-тэй тэнцүү байх болно; π 2.

Хариулт: E (a r c sin x) = - π 2 ; π 2

Жишээ 2

Нөхцөл:өгөгдсөн интервал дээр y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 утгын мужийг тооцоолно [ 1 ; 4 ].

Шийдэл

Бидний хийх ёстой зүйл бол өгөгдсөн интервал дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тооцоолох явдал юм.

Экстремум цэгүүдийг тодорхойлохын тулд дараахь тооцоог хийх шаардлагатай.

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12) ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1, 4 ба l ба 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ; 4 x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2. 59 ∈ 1 ; 4

Одоо сегментийн төгсгөлд өгөгдсөн функцийн утгууд ба x 2 = 15 - 33 8 цэгүүдийг олъё; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 ≈512 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1. 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

Энэ нь функцийн утгын багцыг 117 - 165 33 512 сегментээр тодорхойлно гэсэн үг юм; 32.

Хариулт: 117 - 165 33 512 ; 32 .

Үргэлжлүүлэн y = f (x) функцийн утгуудын багцыг (a ; b) болон a интервалаас олох руу шилжье; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .

Хамгийн том ба хамгийн жижиг цэгүүд, мөн өгөгдсөн интервал дахь өсөлт ба бууралтын интервалуудыг тодорхойлж эхэлцгээе. Үүний дараа бид интервалын төгсгөлд нэг талын хязгаарыг болон / эсвэл хязгааргүй хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай болно. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн нөхцөлд функцийн зан төлөвийг тодорхойлох шаардлагатай. Үүнд шаардлагатай бүх мэдээлэл бидэнд бий.

Жишээ 3

Нөхцөл:(- 2 ; 2) интервал дээр y = 1 x 2 - 4 функцийн мужийг тооцоол.

Шийдэл

Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлно уу

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

Яг энэ үед функцийн тэмдэг өөрчлөгдөж, график буурч эхэлдэг тул бид 0-тэй тэнцүү хамгийн их утгыг авсан. Дүрслэлийг үзнэ үү:

Өөрөөр хэлбэл, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 нь функцийн хамгийн их утга болно.

Одоо баруун талд - 2, зүүн талд + 2 байх хандлагатай x-ийн функцийн зан төлөвийг тодорхойлъё. Өөрөөр хэлбэл, бид нэг талын хязгаарлалтыг олдог:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

Аргумент нь - 2-оос 0 болж өөрчлөгдөхөд функцийн утгууд хасах хязгаараас - 1 4 хүртэл өсөх болно. Аргумент 0-ээс 2 болж өөрчлөгдөхөд функцийн утга нь хасах хязгаар руу буурдаг. Үүний үр дүнд бидэнд хэрэгтэй интервал дээрх өгөгдсөн функцийн утгуудын багц нь (- ∞ ; - 1 4 ] байх болно.

Хариулт: (- ∞ ; - 1 4 ] .

Жишээ 4

Нөхцөл байдал: өгөгдсөн интервал дээр y = t g x утгуудын багцыг заана - π 2; π 2.

Шийдэл

Ерөнхий тохиолдолд шүргэгчийн дериватив нь - π 2 гэдгийг бид мэднэ; π 2 эерэг байх болно, өөрөөр хэлбэл функц нэмэгдэх болно. Одоо функц өгөгдсөн хязгаар дотор хэрхэн ажиллахыг тодорхойлъё:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

Аргумент нь - π 2-оос π 2 болж өөрчлөгдөхөд бид функцийн утгыг хасах хязгаараас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгдүүлсэн бөгөөд энэ функцийн шийдлүүдийн багц нь бүх бодит тоонуудын багц болно гэж хэлж болно. .

Хариулт: - ∞ ; + ∞ .

Жишээ 5

Нөхцөл: y = ln x натурал логарифмын функцийн мужийг тодорхойлно.

Шийдэл

Энэ функц нь D (y) = 0 аргументын эерэг утгуудын хувьд тодорхойлогддог гэдгийг бид мэднэ; + ∞ . Өгөгдсөн интервал дээрх дериватив эерэг байх болно: y " = ln x " = 1 x . Энэ нь функц нь үүн дээр нэмэгддэг гэсэн үг юм. Дараа нь аргумент нь 0 (баруун талд) болон x нь хязгааргүй рүү шилжих тохиолдолд нэг талын хязгаарыг тодорхойлох шаардлагатай.

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

X-ийн утгууд тэгээс нэмэх хязгаар хүртэл өөрчлөгдөхөд функцийн утга нь хасах хязгаараас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгдэхийг бид олж мэдсэн. Энэ нь бүх бодит тоонуудын багц нь натурал логарифмын функцийн утгын муж юм гэсэн үг юм.

Хариулт:бүх бодит тоонуудын багц нь натурал логарифмын функцийн утгын муж юм.

Жишээ 6

Нөхцөл: y = 9 x 2 + 1 функцийн мужийг тодорхойлно.

Шийдэл

Энэ функц нь x нь бодит тоо байх тохиолдолд тодорхойлогддог. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд, түүнчлэн түүний өсөлт, бууралтын интервалыг тооцоолъё.

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Үүний үр дүнд бид x ≥ 0 бол энэ функц буурах болно гэдгийг тодорхойлсон; хэрэв x ≤ 0 бол нэмэгдэх; 0-тэй тэнцүү хувьсагчтай y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 хамгийн их цэгтэй.

Хязгааргүй үед функц хэрхэн ажиллахыг харцгаая:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

Энэ тохиолдолд функцийн утгууд асимптотоор 0-д ойртох нь бичлэгээс тодорхой байна.

Дүгнэж хэлэхэд: аргумент хасах хязгаараас тэг болж өөрчлөгдөхөд функцийн утга 0-ээс 9 хүртэл нэмэгддэг. Аргументын утгууд 0-ээс хязгааргүй хүртэл өөрчлөгдөхөд харгалзах функцын утга 9-өөс 0 хүртэл буурна. Үүнийг бид зурагт үзүүлэв:

Энэ нь функцийн утгын хүрээ нь E (y) = (0 ; 9 ] интервал байх болно гэдгийг харуулж байна.

Хариулт: E (y) = (0 ; 9 ]

Хэрэв бид y = f (x) функцийн утгуудын багцыг [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , тэгвэл бид яг ижил судалгаа хийх шаардлагатай болно. Бид эдгээр тохиолдлуудад одоогоор дүн шинжилгээ хийхгүй: бид дараа нь тэдэнтэй тулгарах болно. асуудлууд.

Гэхдээ тодорхой функцийн тодорхойлолтын муж нь хэд хэдэн интервалын нэгдэл байвал яах вэ? Дараа нь бид эдгээр интервал тус бүрийн утгын багцыг тооцоолж, тэдгээрийг нэгтгэх хэрэгтэй.

Жишээ 7

Нөхцөл:утгын муж ямар байхыг тодорхойлох y = x x - 2 .

Шийдэл

Функцийн хуваагчийг 0 болгож болохгүй тул D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

Эхний сегмент дэх функцийн утгуудын багцыг тодорхойлж эхэлцгээе - ∞; 2, энэ нь нээлттэй цацраг юм. Үүн дээрх функц буурах болно, өөрөөр хэлбэл энэ функцийн дериватив нь сөрөг байх болно гэдгийг бид мэднэ.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

Дараа нь аргумент хасах хязгаар руу шилжих тохиолдолд функцын утга асимптотоор 1-д ойртоно. Хэрэв x-ийн утгууд хасах хязгаараас 2 болж өөрчлөгдвөл утгууд 1-ээс хасах хязгаар хүртэл буурна, өөрөөр хэлбэл. энэ сегмент дээрх функц нь - ∞ интервалаас утгыг авна; 1 . Функцийн утгууд нь түүнд хүрэхгүй, зөвхөн асимптот байдлаар ойртдог тул бид нэгдмэл байдлыг бодолцохоос хасдаг.

Нээлттэй цацрагийн хувьд 2; + ∞ бид яг ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг. Үүний функц нь мөн буурч байна:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн утгыг 1-р багцаар тодорхойлно; + ∞ . Энэ нь нөхцөлд заасан функцэд шаардлагатай утгын хүрээ нь олонлогуудын нэгдэл байх болно гэсэн үг юм - ∞ ; 1 ба 1; + ∞ .

Хариулт: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

Үүнийг графикаас харж болно:

Онцгой тохиолдол бол үечилсэн функцууд юм. Тэдний утгын хүрээ нь энэ функцийн хугацаанд тохирох интервал дээрх утгуудын багцтай давхцдаг.

Жишээ 8

Нөхцөл: y = sin x синусын утгын мужийг тодорхойлно.

Шийдэл

Синус нь үечилсэн функц бөгөөд түүний хугацаа 2 pi байна. 0 сегментийг ав; 2 π ба түүн дээрх утгын багц ямар байхыг хараарай.

y " = (нүгэл х) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

0 дотор; 2 π функц нь экстремум цэгүүд π 2 ба x = 3 π 2 байна. Функцийн утгууд нь сегментийн хил дээр ямар хэмжээтэй тэнцүү болохыг тооцоолж, дараа нь хамгийн том, хамгийн бага утгыг сонгоно уу.

y (0) = нүгэл 0 = 0 у π 2 ​​= нүгэл π 2 = 1 у 3 π 2 = нүгэл 3 π 2 = - 1 у (2 π) = нүгэл (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1

Хариулт: E (sin x) = - 1 ; 1 .

Хэрэв та хүч, экспоненциал, логарифм, тригонометр, урвуу тригонометр гэх мэт функцүүдийн хүрээг мэдэх шаардлагатай бол үндсэн үндсэн функцүүдийн тухай өгүүллийг дахин уншихыг зөвлөж байна. Бидний энд танилцуулж буй онол нь тэнд дурдсан утгыг шалгах боломжийг бидэнд олгодог. Асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн шаардлагатай байдаг тул тэдгээрийг сурахыг зөвлөж байна. Хэрэв та үндсэн функцүүдийн хүрээг мэддэг бол геометрийн хувиргалтыг ашиглан энгийн функцээс олж авсан функцүүдийн хүрээг хялбархан олох боломжтой.

Жишээ 9

Нөхцөл: y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 утгын мужийг тодорхойлно.

Шийдэл

0-ээс pi хүртэлх сегмент нь нумын косинусын муж гэдгийг бид мэднэ. Өөрөөр хэлбэл, E (a r c cos x) = 0; π эсвэл 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Бид a r c cos x 3 + 5 π 7 функцийг нумын косинусаас O x тэнхлэгийн дагуу шилжүүлж, сунгаснаар авч болно, гэхдээ ийм хувиргалт нь бидэнд юу ч өгөхгүй. Энэ нь 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π гэсэн үг.

3 a r c cos x 3 + 5 π 7 функцийг нумын косинус a r c cos x 3 + 5 π 7-аас ордны тэнхлэгийн дагуу сунах замаар олж авч болно, өөрөөр хэлбэл. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Эцсийн хувиргалт нь O y тэнхлэгийн дагуу 4 утгаар шилжих явдал юм. Үүний үр дүнд бид давхар тэгш бус байдлыг олж авна.

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

Бидэнд хэрэгтэй утгын хүрээ нь E (y) = - 4-тэй тэнцүү болохыг олж мэдсэн; 3 π - 4.

Хариулт: E (y) = - 4 ; 3 π - 4.

Бид тайлбаргүйгээр өөр нэг жишээ бичих болно, учир нь энэ нь өмнөхтэй бүрэн төстэй юм.

Жишээ 10

Нөхцөл: y = 2 2 x - 1 + 3 функцийн муж ямар байхыг тооцоол.

Шийдэл

Нөхцөлд заасан функцийг y = 2 · (2 ​​​​x - 1) - 1 2 + 3 гэж дахин бичье. y = x - 1 2 чадлын функцийн хувьд утгын мужийг 0 интервалаар тодорхойлно; + ∞, өөрөөр хэлбэл. x - 1 2 > 0. Энэ тохиолдолд:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

Тэгэхээр E(y) = 3; + ∞ .

Хариулт: E(y) = 3; + ∞ .

Одоо үргэлжилдэггүй функцийн утгын мужийг хэрхэн олохыг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид бүхэл бүтэн талбайг интервал болгон хувааж, тус бүрээс утгын багцыг олж, дараа нь олж авсан зүйлээ нэгтгэх хэрэгтэй. Үүнийг илүү сайн ойлгохын тулд функцийн таслах цэгийн үндсэн төрлүүдийг авч үзэхийг танд зөвлөж байна.

Жишээ 11

Нөхцөл: y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3 функц өгөгдсөн.< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Түүний утгын хүрээг тооцоол.

Шийдэл

Энэ функц нь x-ийн бүх утгын хувьд тодорхойлогддог. Үүнийг - 3 ба 3-тай тэнцүү аргументийн утгуудтай тасралтгүй байдлын үүднээс дүн шинжилгээ хийцгээе.

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

Аргументийн утга нь - 3 байх үед бидэнд эхний төрлийн салшгүй тасалдал үүсдэг. Түүнд ойртох тусам функцийн утга нь - 2 sin 3 2 - 4, харин x нь баруун талд - 3 байх хандлагатай байгаа бол утгууд нь - 1 байх хандлагатай байна.

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

Бид 3-р цэгт хоёр дахь төрлийн салшгүй тасалдалтай байна. Функц түүн рүү чиглэх үед түүний утга нь - 1, баруун талд байгаа ижил цэг рүү чиглэх үед - хасах хязгаарт ойртоно.

Энэ нь энэ функцийн тодорхойлолтын муж бүхэлдээ 3 интервалд (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞) хуваагдана гэсэн үг юм.

Эхнийх нь y = 2 sin x 2 - 4 функцийг авсан. - 1 ≤ sin x ≤ 1 тул бид:

1 ≤ нүгэл x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

Энэ нь өгөгдсөн интервалд (- ∞ ; - 3 ] функцийн утгуудын багц нь [ - 6 ; 2 ] байна гэсэн үг юм.

Хагас интервал дээр (- 3; 3 ], үр дүн нь тогтмол функц y = - 1. Үүний үр дүнд энэ тохиолдолд түүний утгуудын бүх багц нь нэг тоо - 1 болж буурах болно.

Хоёр дахь интервалд 3; + ∞ бидэнд y = 1 x - 3 функц байна. y " = - 1 (x - 3) 2 учраас энэ нь буурч байна< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

Энэ нь x > 3-ийн анхны функцийн утгуудын багц нь 0 гэсэн үг юм; + ∞ . Одоо үр дүнг нэгтгэж үзье: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Хариулт: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

Үүний шийдлийг графикт үзүүлэв.

Жишээ 12

Нөхцөл: y = x 2 - 3 e x функц байна. Түүний утгуудын багцыг тодорхойл.

Шийдэл

Энэ нь бодит тоо болох бүх аргументын утгуудын хувьд тодорхойлогддог. Энэ функц аль интервалд нэмэгдэж, аль нь буурахыг тодорхойлъё.

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

Хэрэв x = - 1 ба x = 3 байвал дериватив 0 болно гэдгийг бид мэднэ. Эдгээр хоёр цэгийг тэнхлэг дээр байрлуулж, үүссэн интервал дээр дериватив ямар тэмдэгтэй болохыг олж мэдье.

Функц (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) -ээр буурч, [ - 1 ; 3]. Хамгийн бага оноо - 1, дээд тал нь - 3 байна.

Одоо харгалзах функцийн утгуудыг олъё:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

Хязгааргүй үед функцийн зан төлөвийг харцгаая:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

Хоёр дахь хязгаарыг тооцоолохдоо L'Hopital-ийн дүрмийг ашигласан. Өөрийн шийдлийн явцыг график дээр дүрсэлцгээе.

Аргумент хасах хязгаараас - 1 болж өөрчлөгдөхөд функцийн утгууд нэмэх хязгаараас - 2 e хүртэл буурна гэдгийг харуулж байна. Хэрэв энэ нь 3-аас нэмэх хязгаар хүртэл өөрчлөгдвөл утгууд 6 e - 3-аас 0 хүртэл буурах боловч 0-д хүрэхгүй.

Тиймээс E(y) = [ - 2 e ; + ∞).

Хариулт: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Олон асуудал биднийг тодорхой сегмент дээр эсвэл бүхэл бүтэн тодорхойлолтын хүрээнд функцийн утгын багцыг хайхад хүргэдэг. Ийм даалгаварт илэрхийллийн янз бүрийн үнэлгээ, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх зэрэг орно.

Энэ нийтлэлд бид функцийн утгын хүрээг тодорхойлж, түүнийг олох аргуудыг авч үзэх, энгийнээс илүү төвөгтэй хүртэлх жишээнүүдийн шийдлийг нарийвчлан шинжлэх болно. Бүх материалыг ойлгомжтой болгохын тулд график дүрслэлээр хангана. Тиймээс энэ нийтлэл нь функцийн мужийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултын дэлгэрэнгүй хариулт юм.

Тодорхойлолт.

X интервал дээрх y = f(x) функцийн утгуудын багцЭнэ нь функцийг бүгдийг нь давтах үед авдаг бүх утгуудын багц юм.

Тодорхойлолт.

Функцийн муж y = f(x)Энэ нь тодорхойлолтын домэйноос бүх x дээр давтагдах үед авдаг функцийн бүх утгуудын багц юм.

Функцийн мужийг E(f) гэж тэмдэглэнэ.

Функцийн хүрээ ба функцийн утгуудын багц нь ижил зүйл биш юм. y = f(x) функцийн утгуудын багцыг олох үед X интервал нь функцийн тодорхойлолтын мужтай давхцаж байвал бид эдгээр ойлголтыг тэнцүү гэж үзнэ.

Мөн y=f(x) тэгшитгэлийн баруун талд байгаа илэрхийллийн хувьд функцийн мужийг x хувьсагчтай андуурч болохгүй. f(x) илэрхийлэлд зориулсан x хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ нь y=f(x) функцийг тодорхойлох муж юм.

Зураг нь хэд хэдэн жишээг харуулж байна.

Функцийн графикуудыг бүдүүн цэнхэр шугамаар, нимгэн улаан шугамууд нь асимптот, улаан цэгүүд болон Oy тэнхлэг дээрх шугамууд нь харгалзах функцийн утгын хүрээг харуулав.

Таны харж байгаагаар функцийн утгын мужийг функцийн графикийг у тэнхлэгт проекцлох замаар олж авдаг. Энэ нь нэг тоо (эхний тохиолдол), тооны багц (хоёр дахь тохиолдол), сегмент (гурав дахь тохиолдол), интервал (дөрөв дэх тохиолдол), нээлттэй туяа (тав дахь тохиолдол), нэгдэл (зургаа дахь тохиолдол) гэх мэт байж болно. .

Тэгэхээр функцийн утгын мужийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ?

Хамгийн энгийн тохиолдлоос эхэлцгээе: сегмент дээрх y = f(x) тасралтгүй функцийн утгуудын багцыг хэрхэн тодорхойлохыг харуулах болно.

Интервал дээр үргэлжилсэн функц нь түүний хамгийн их ба хамгийн бага утгуудад хүрдэг нь мэдэгдэж байна. Тиймээс сегмент дээрх анхны функцийн утгуудын багц нь сегмент байх болно . Тиймээс бидний даалгавар бол сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох явдал юм.

Жишээлбэл, arcsine функцийн утгын мужийг олъё.

Жишээ.

y = arcsinx функцийн мужийг зааж өгнө үү.

Шийдэл.

Арксинусыг тодорхойлох талбар нь [-1; 1] . Энэ сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё.

Дериватив нь (-1; 1) интервалаас бүх x-ийн хувьд эерэг байна, өөрөөр хэлбэл, арксинус функц нь тодорхойлолтын бүх мужид нэмэгддэг. Үүний үр дүнд энэ нь x = -1 үед хамгийн бага утгыг, x = 1 дээр хамгийн том утгыг авдаг.

Бид арксинусын функцийн хүрээг олж авлаа .

Жишээ.

Функцийн утгуудын багцыг ол сегмент дээр.

Шийдэл.

Өгөгдсөн сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё.

Сегментэд хамаарах экстремум цэгүүдийг тодорхойлъё.

Бид сегментийн төгсгөл ба цэгүүдэд анхны функцийн утгыг тооцоолно :

Тиймээс интервал дээрх функцийн утгуудын багц нь интервал юм .

Одоо бид y = f(x) тасралтгүй функцийн утгуудын багцыг (a; b) , интервалд хэрхэн олохыг харуулах болно.

Эхлээд бид экстремум цэгүүд, функцийн экстремумууд, өгөгдсөн интервал дахь функцийн өсөлт, бууралтын интервалуудыг тодорхойлно. Дараа нь бид интервалын төгсгөлд ба (эсвэл) хязгаарыг хязгааргүйд тооцдог (өөрөөр хэлбэл интервалын хил дээр эсвэл хязгааргүй дэх функцийн үйлдлийг судалдаг). Энэ мэдээлэл нь ийм интервал дээр функцийн утгуудын багцыг олоход хангалттай юм.

Жишээ.

(-2; 2) интервал дээр функцийн утгуудын багцыг тодорхойлно уу.

Шийдэл.

(-2; 2) интервалд унасан функцийн экстремум цэгүүдийг олъё:

Цэг Х = 0 нь дээд цэг бөгөөд үүсмэл нь түүгээр дамжин өнгөрөхдөө тэмдэг нэмэхээс хасах руу шилжиж, функцийн график нь өсөхөөс буурах руу шилждэг.

функцийн харгалзах дээд хэмжээ байна.

Баруун талд x нь -2, зүүн талд x нь 2 байх хандлагатай функцийн үйлдлийг олж мэдье, өөрөөр хэлбэл бид нэг талын хязгаарыг олъё:

Бидний олж авсан зүйл: аргумент нь -2-оос тэг болж өөрчлөгдөхөд функцийн утга нь хасах хязгаараас хасах дөрөвний нэг хүртэл өсдөг (х = 0 дахь функцын хамгийн их хэмжээ), аргумент тэгээс 2 болж өөрчлөгдөх үед функцийн утгууд нь хасах хязгаар хүртэл буурдаг. Тиймээс (-2; 2) интервал дээрх функцийн утгуудын багц нь .

Жишээ.

y = tgx шүргэгч функцийн утгуудын багцыг интервал дээр зааж өгнө үү.

Шийдэл.

Интервал дээрх шүргэгч функцийн дериватив эерэг байна , энэ нь үйл ажиллагааны өсөлтийг харуулж байна. Интервалын хил дээрх функцийн үйлдлийг судалъя:

Тиймээс аргумент нь -аас өөрчлөгдөхөд функцын утга нь хасах хязгаараас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл энэ интервал дээрх шүргэгч утгуудын багц нь бүх бодит тоонуудын багц юм.

Жишээ.

y = lnx натурал логарифмын функцийн мужийг ол.

Шийдэл.

Аргументийн эерэг утгуудын хувьд натурал логарифмын функцийг тодорхойлно . Энэ интервал дээр дериватив эерэг байна , энэ нь түүн дээрх функц нэмэгдэж байгааг харуулж байна. Аргумент баруун талдаа тэг рүү, x-ийн хязгаар нэмэх хязгаартай байх тул функцийн нэг талын хязгаарыг олъё:

Бид тэгээс нэмэх хязгаар руу х өөрчлөгдөхөд функцийн утга нь хасах хязгаараас нэмэх хязгаар хүртэл нэмэгдэж байгааг бид харж байна. Тиймээс натурал логарифмын функцын муж нь бүхэл бүтэн бодит тоон багц юм.

Жишээ.

Шийдэл.

Энэ функц нь x-ийн бүх бодит утгуудад тодорхойлогддог. Экстремум цэгүүд, түүнчлэн функцийн өсөлт, бууралтын интервалуудыг тодорхойлъё.

Үүний үр дүнд функц нь -д буурч, -д нэмэгддэг, x = 0 нь хамгийн их цэг, функцийн харгалзах дээд хэмжээ.

Хязгааргүй үед функцийн зан төлөвийг харцгаая:

Ийнхүү хязгааргүй үед функцийн утгууд асимптотоор тэг рүү ойртдог.

Аргумент нь хасах хязгаараас тэг болж өөрчлөгдөхөд (хамгийн их цэг) функцын утга тэгээс ес хүртэл (функцийн хамгийн их утга хүртэл), x тэгээс нэмэх хязгаар хүртэл өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгддөг болохыг бид олж мэдсэн. утгууд есөөс тэг хүртэл буурч байна.

Схемийн зургийг харна уу.

Одоо функцийн утгын хүрээ нь тодорхой харагдаж байна.

y = f(x) функцийн утгын багцыг интервалаар олоход ижил төстэй судалгаа шаардлагатай. Одоо бид эдгээр тохиолдлуудад дэлгэрэнгүй ярихгүй. Доорх жишээн дээр бид тэдэнтэй дахин уулзах болно.

y = f(x) функцийн тодорхойлолтын мужийг хэд хэдэн интервалын нэгдэл гэж үзье. Ийм функцийн утгын мужийг олохдоо интервал тус бүрийн утгын багцыг тодорхойлж, тэдгээрийн нэгдлийг авна.

Жишээ.

Функцийн мужийг ол.

Шийдэл.

Бидний функцийн хуваагч тэг рүү орох ёсгүй, өөрөөр хэлбэл, .

Эхлээд нээлттэй туяа дээрх функцын утгуудын багцыг олъё.

Функцийн дериватив Энэ интервал дээр сөрөг байна, өөрөөр хэлбэл функц үүн дээр буурдаг.

Аргумент нь хязгааргүйг хасах хандлагатай байдаг тул функцын утгууд нь асимптотоор нэгдмэл байдлаар ойртож байгааг бид олж мэдсэн. Х нь хасах хязгаараас хоёр болж өөрчлөгдөхөд функцийн утгууд нэгээс хасах хязгаар хүртэл буурдаг, өөрөөр хэлбэл авч үзэж буй интервал дээр функц нь олон тооны утгыг авдаг. Функцийн утгууд нь түүнд хүрэхгүй, харин зөвхөн асимптотик байдлаар хасах хязгааргүй байдлаар ханддаг тул бид нэгдмэл байдлыг оруулаагүй болно.

Бид нээлттэй цацрагийн хувьд ижил төстэй үйл ажиллагаа явуулдаг.

Энэ интервал дээр функц бас буурдаг.

Энэ интервал дээрх функцийн утгуудын багц нь олонлог юм.

Тиймээс функцийн утгын хүссэн муж нь олонлогуудын нэгдэл ба .

График дүрслэл.

Тогтмол үйл ажиллагаанд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Тогтмол функцүүдийн утгын хүрээ нь энэ функцийн хугацаанд тохирох интервал дээрх утгуудын багцтай давхцдаг.

Жишээ.

y = sinx синусын функцийн мужийг ол.

Шийдэл.

Энэ функц нь хоёр пи-ийн хугацаатай үе үе юм. Хэсэг авч түүн дээрх утгын багцыг тодорхойлъё.

Сегмент нь хоёр экстремум ба .

Бид эдгээр цэгүүд болон сегментийн хил дээрх функцийн утгыг тооцоолж, хамгийн бага ба хамгийн том утгыг сонгоно.

Тиймээс, .

Жишээ.

Функцийн мужийг ол .

Шийдэл.

Нумын косинусын муж нь тэгээс pi хүртэлх сегмент гэдгийг бид мэднэ, өөрөөр хэлбэл, эсвэл өөр нийтлэлд. Чиг үүрэг abscissa тэнхлэгийн дагуу шилжих, сунгах замаар arccosx-ээс авч болно. Ийм өөрчлөлтүүд нь утгын мужид нөлөөлөхгүй тул . Чиг үүрэг -аас авсан Ой тэнхлэгийн дагуу гурван удаа сунах, өөрөөр хэлбэл, . Өөрчлөлтийн сүүлчийн шат бол ординатын дагуу дөрвөн нэгжээр доош шилжих явдал юм. Энэ нь биднийг давхар тэгш бус байдалд хүргэдэг

Тиймээс шаардлагатай утгын хүрээ нь байна .

Үүний шийдлийг өөр жишээнд өгье, гэхдээ тайлбаргүйгээр (тэдгээр нь бүрэн төстэй тул шаардлагагүй).

Жишээ.

Функцийн хүрээг тодорхойлох .

Шийдэл.

Анхны функцийг хэлбэрээр бичье . Эрчим хүчний функцийн утгын хүрээ нь интервал юм. Тэр бол, . Дараа нь

Тиймээс, .

Зургийг дуусгахын тулд тодорхойлолтын домэйн дээр тасралтгүй биш функцийн утгын мужийг олох талаар ярих хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд бид тодорхойлолтын талбарыг завсарлагааны цэгүүдээр хувааж, тэдгээрийн утгын багцыг олдог. Үүссэн утгуудын багцыг нэгтгэснээр бид анхны функцийн утгын хүрээг олж авдаг. Бид зүүн талд 3-ыг санахыг зөвлөж байна, функцийн утгууд нь хасах нэг, харин x нь баруун талд 3 байх хандлагатай байдаг тул функцийн утгууд нь хязгааргүй нэмэх хандлагатай байдаг.

Тиймээс бид функцийн тодорхойлолтын мужийг гурван интервалд хуваадаг.

Интервал дээр бид функцтэй байна . Түүнээс хойш

Тиймээс интервал дээрх анхны функцийн утгуудын багц нь [-6;2] байна.

Хагас интервал дээр бид y = -1 тогтмол функцтэй байна. Өөрөөр хэлбэл интервал дээрх анхны функцийн утгуудын багц нь нэг элементээс бүрдэнэ.

Энэ функц нь бүх хүчинтэй аргументын утгуудад тодорхойлогддог. Функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг олж мэдье.

Дериватив нь x=-1 ба x=3 үед алга болно. Эдгээр цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэж, үүссэн интервалууд дээрх деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлъё.

Функц нь буурдаг , [-1-ээр нэмэгддэг; 3] , x=-1 хамгийн бага оноо, x=3 хамгийн их оноо.

Функцийн харгалзах минимум ба максимумыг тооцоолъё.

Хязгааргүй функцийн үйлдлийг шалгая:

Хоёр дахь хязгаарыг ашиглан тооцоолсон.

Схемийн зураг зурцгаая.

Аргумент хасах хязгаараас -1 болж өөрчлөгдөхөд функцын утга нэмэх хязгаараас -2e хүртэл буурдаг бол аргумент -1-ээс 3 хүртэл өөрчлөгдөхөд функцийн утга нь -2e-ээс, аргументаас өөрчлөгдөхөд функцийн утга нэмэгддэг. 3-аас нэмэх хязгааргүй бол функцын утгууд тэгээс тэг хүртэл буурдаг боловч тэг хүрдэггүй.