Тригонометрийн томъёо 10. Тригонометрийн үндсэн томъёо

13.03.2022

Энэ хуудсан дээр та олон дасгалуудыг шийдвэрлэхэд туслах бүх үндсэн тригонометрийн томьёог олох болно, энэ нь илэрхийлэлийг өөрөө хялбарчлах болно.

Тригонометрийн томьёо нь аргументийн бүх хүчинтэй утгуудад хангагдсан тригонометрийн функцүүдийн математикийн тэгш байдал юм.

Томъёо нь тригонометрийн үндсэн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог - синус, косинус, тангенс, котангенс.

Нэгж тойрог дээрх цэгийн (ординат) y координатыг өнцгийн синус гэнэ. Өнцгийн косинус нь цэгийн х координат (абсцисса) юм.

Тангенс ба котангенс нь синус ба косинусын харьцаа юм.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \Z`-д
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

Мөн бага ашиглагддаг хоёр нь - секант, косекант. Эдгээр нь 1-ийн косинус ба синусын харьцааг илэрхийлдэг.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \Z`-д
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \Z`-д

Тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтоос харахад квадрат бүрт ямар тэмдэг байгаа нь тодорхой байна. Функцийн тэмдэг нь зөвхөн аргумент аль квадратад байрлаж байгаагаас хамаарна.

Аргументийн тэмдгийг "+"-ээс "-" болгож өөрчлөхөд зөвхөн косинусын функц түүний утгыг өөрчлөхгүй. Үүнийг тэгш гэж нэрлэдэг. Түүний график нь ординатын тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Үлдсэн функцууд (синус, тангенс, котангенс) сондгой байна. Аргументийн тэмдгийг "+" -ээс "-" болгон өөрчлөхөд тэдгээрийн утга мөн сөрөг болж өөрчлөгдөнө. Тэдний графикууд нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд

Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг нь нэг өнцгийн (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) тригонометрийн функцүүдийн хооронд холбоо тогтоож, утгыг олох боломжийг олгодог томьёо юм. Эдгээр функц тус бүр нь мэдэгдэж буй бусад функцээр дамждаг.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \Z`-д
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \Z`-д

Тригонометрийн функцүүдийн өнцгийн зөрүү ба нийлбэрийн томъёо

Аргумент нэмэх, хасах томьёо нь хоёр өнцгийн нийлбэр эсвэл зөрүүний тригонометрийн функцийг эдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр илэрхийлдэг.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\альфа+\бета)=\фрак(тг \ \альфа+тг \ \бета)(1-тг \ \альфа\ тг \ \бета)`
`tg(\альфа-\бета)=\фрак(тг \ \альфа-тг \ \бета)(1+тг \ \альфа \ тг \ \бета)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Давхар өнцгийн томъёо

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\ frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\ frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Гурвалсан өнцгийн томъёо

`нүгэл \ 3\альфа=3 \ нүгэл \ \альфа-4син^3 \альфа`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Хагас өнцгийн томъёо

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ альфа)=\фрак (1-кос \\альфа)(нүгэл \\альфа)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ альфа)=\фрак (1+кос \\альфа)(нүгэл \\альфа)`

Хагас, давхар, гурвалсан аргументуудын томьёо нь эдгээр аргументуудын `sin, \cos, \tg, \ctg` функцуудыг илэрхийлдэг (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) эдгээр функцээр дамжуулан `\alpha` аргумент.

Тэдний дүгнэлтийг өмнөх бүлгээс (аргумент нэмэх, хасах) авч болно. Жишээлбэл, `\beta`-г `\alpha`-аар сольсноор давхар өнцгийн таних тэмдэг амархан олддог.

Зэрэг бууруулах томъёо

Тригонометрийн функцүүдийн квадратуудын (куб гэх мэт) томьёо нь 2,3,... градусаас нэгдүгээр зэргийн тригонометрийн функцууд руу шилжих боломжийг олгодог боловч олон өнцөгт (`\alpha, \3\alpha, \...) ` эсвэл `2\альфа, \ 4\альфа, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`нүгэл^3 \альфа=\фрак(3син \ \альфа-син \ 3\альфа)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёо

Томъёо нь янз бүрийн аргументуудын тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах явдал юм.

`нүгэл \ \альфа+син \ \бета=` `2 \ нүгэл \frac(\альфа+\бета)2 \ cos \frac(\альфа-\бета)2`
`нүгэл \ \альфа-син \ \бета=` `2 \cos \frac(\альфа+\бета)2 \sin \frac(\альфа-\бета)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ бета)2\sin\frac(\бета-\альфа)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\бета \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Энд нэг аргументийн функцийг нэмэх, хасах үйлдлийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах үйл явц явагдана.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Дараах томьёо нь нэг ба тригонометрийн функцийн нийлбэр ба зөрүүг үржвэр болгон хувиргадаг.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+нүгэл \ \альфа=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\альфа)2)`
`1-нүгэл \ \альфа=2 \ нүгэл^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\альфа)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ бета \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Функцийн бүтээгдэхүүнийг хөрвүүлэх томъёо

`\alpha` ба `\beta` аргумент бүхий тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг эдгээр аргументуудын нийлбэр (ялгаа) болгон хувиргах томъёо.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\ frac(cos(\альфа - \бета)-cos(\альфа + \бета))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\альфа - \бета)+син(\альфа + \бета))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\ frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\ frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ бета)) =` `\фрак(tg \ \альфа + тг \ \бета)(ctg \ \альфа + ctg \ \бета)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\ frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ бета)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \бета)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\ frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ бета))`

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт

Эдгээр томьёо нь тригонометрийн функцийг хагас өнцгийн шүргэгчээр илэрхийлдэг.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \альфа\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \альфа \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \альфа \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \Z-д,` `\альфа \ne \pi + 2\pi n, n \Z-д`

Бууруулах томъёо

Тригонометрийн функцүүдийн үечлэл, тэгш хэм, өгөгдсөн өнцгөөр шилжих шинж чанар зэрэг шинж чанаруудыг ашиглан бууралтын томъёог олж авч болно. Эдгээр нь дурын өнцгийн функцийг 0-ээс 90 градусын өнцөгтэй функц болгон хувиргах боломжийг олгодог.

Өнцгийн хувьд (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) эсвэл (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Өнцгийн хувьд (`\pi \pm \alpha`) эсвэл (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Өнцгийн хувьд (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) эсвэл (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Өнцгийн хувьд (`2\pi \pm \alpha`) эсвэл (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Зарим тригонометрийн функцийг бусдаас нь илэрхийлэх

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^) 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Тригонометрийг шууд орчуулбал "гурвалжин хэмжих" гэсэн утгатай. Энэ нь сургуульд суралцаж эхэлдэг бөгөөд их дээд сургуулиудад илүү нарийвчлан үргэлжилдэг. Тиймээс тригонометрийн үндсэн томъёог 10-р ангиас эхлэн, мөн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд шаардлагатай болно. Эдгээр нь функцүүдийн хоорондын холболтыг илэрхийлдэг бөгөөд эдгээр холболтууд олон байдаг тул өөрсдөө олон томъёо байдаг. Тэдгээрийг бүгдийг нь санах нь тийм ч амар биш бөгөөд шаардлагагүй - шаардлагатай бол бүгдийг нь харуулах боломжтой.

Тригонометрийн томьёог интеграл тооцоололд, мөн тригонометрийн хялбарчлах, тооцоолол, хувиргалт хийхэд ашигладаг.

Тригонометр, тригонометрийн томъёо

Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг өгөв. тригонометрийн томъёо. Тригонометрийн функцүүдийн хооронд маш олон холболт байдаг тул энэ нь тригонометрийн томъёоны элбэг дэлбэг байдлыг тайлбарлаж байна. Зарим томьёо нь ижил өнцгийн тригонометрийн функцуудыг холбодог, бусад нь олон өнцгийн функцуудыг холбодог, бусад нь градусыг багасгах боломжийг олгодог, дөрөвдүгээрт - бүх функцийг хагас өнцгийн тангенсаар илэрхийлэх гэх мэт.

Энэ нийтлэлд бид тригонометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай бүх үндсэн тригонометрийн томьёог дарааллаар нь жагсаах болно. Цээжлэх, ашиглахад хялбар болгох үүднээс бид тэдгээрийг зориулалтын дагуу бүлэглэж, хүснэгтэд оруулна.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанаруудНэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс хоорондын хамаарлыг тодорхойлох. Эдгээр нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт, мөн нэгж тойргийн тухай ойлголтоос үүдэлтэй. Эдгээр нь нэг тригонометрийн функцийг өөр ямар ч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Эдгээр тригонометрийн томьёо, тэдгээрийн гарал үүсэл, хэрэглээний жишээнүүдийн нарийвчилсан тайлбарыг тригонометрийн үндсэн шинж чанаруудын нийтлэлээс үзнэ үү.

Хуудасны дээд талд

Бууруулах томъёо

Бууруулах томъёоСинус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанаруудаас дагах, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанар, тэгш хэмийн шинж чанар, түүнчлэн өгөгдсөн өнцгөөр шилжих шинж чанарыг тусгадаг. Эдгээр тригонометрийн томъёонууд нь дурын өнцгөөр ажиллахаас тэгээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог.

Эдгээр томъёоны үндэслэл, тэдгээрийг цээжлэх мнемоник дүрэм, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг өгүүллийг багасгах томъёоноос судалж болно.

Хуудасны дээд талд

Нэмэлт томъёо

Тригонометрийн нэмэх томъёоХоёр өнцгийн нийлбэр эсвэл зөрүүний тригонометрийн функцууд тэдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр томьёо нь дараах тригонометрийн томьёог гаргах үндэс болдог.

Дэлгэрэнгүй мэдээллийг Нэмэлт томъёоноос үзнэ үү.

Хуудасны дээд талд

Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг

Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг (тэдгээрийг олон өнцгийн томъёо гэж нэрлэдэг) нь давхар, гурвалсан гэх мэт тригонометрийн функцуудыг хэрхэн харуулдаг. өнцөг () нь нэг өнцгийн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. Тэдний гарал үүсэл нь нэмэлт томъёонд суурилдаг.

Илүү нарийвчилсан мэдээллийг нийтлэлийн томъёонд давхар, гурав дахин гэх мэтээр цуглуулсан болно. булан.

Хуудасны дээд талд

Хагас өнцгийн томъёо

Хагас өнцгийн томъёоХагас өнцгийн тригонометрийн функцүүд бүхэл өнцгийн косинусаар хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр тригонометрийн томьёо нь давхар өнцгийн томъёоноос гардаг.

Тэдний дүгнэлт, хэрэглээний жишээг хагас өнцгийн томъёоны тухай өгүүллээс олж болно.

Хуудасны дээд талд

Зэрэг бууруулах томъёо

Зэрэг бууруулах тригонометрийн томъёоЭдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн байгалийн хүчнээс эхний зэрэгтэй, гэхдээ олон өнцөгт синус ба косинус руу шилжих шилжилтийг хөнгөвчлөх зорилготой юм. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн хүчийг эхнийх хүртэл багасгах боломжийг олгодог.

Хуудасны дээд талд

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёо

Гол зорилго тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёоТригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахад маш хэрэгтэй функцүүдийн бүтээгдэхүүн рүү очих явдал юм. Эдгээр томьёог мөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь синусын болон косинусын нийлбэр, зөрүүг хүчин зүйлээр тооцох боломжийг олгодог.

Томьёоны гарал үүсэл, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг синус ба косинусын нийлбэр ба ялгааг өгүүллийн томъёоноос харна уу.

Хуудасны дээд талд

Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёо

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрээс нийлбэр эсвэл зөрүү рүү шилжих шилжилтийг синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ.

Хуудасны дээд талд

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт

Бид тригонометрийн үндсэн томьёотой танилцаж, тригонометрийн функцийг хагас өнцгийн шүргэгчээр илэрхийлсэн томъёогоор дуусгаж байна. Үүнийг солихыг дуудсан бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт. Үүний тав тухтай байдал нь бүх тригонометрийн функцуудыг үндэсгүй оновчтой хагас өнцгийн шүргэгчээр илэрхийлдэгт оршино.

Илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийг бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт нийтлэлээс үзнэ үү.

Хуудасны дээд талд

Алгебр:Сурах бичиг 9-р ангийн хувьд. дундаж сургууль/Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Эд. С.А.Теляковский.- М.: Боловсрол, 1990. - 272 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М.И.Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Сурах бичиг. 10-11 ангийн хувьд. дундаж сургууль - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 1993. - 351 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-004617-4.
Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Абрамов, Ю. П. Дудницын болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov. - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-013651-3.
Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

Тригонометрийн томъёо- эдгээр нь аргументийн аль ч утгын хувьд хийгдэх тригонометрийн функцийг илэрхийлэхэд шаардлагатай тригонометрийн хамгийн шаардлагатай томьёо юм.

Нэмэлт томъёо.

нүгэл (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

нүгэл (α - β) = sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — нүгэл α · нүгэл β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

тг (α + β) = (тг α + тг β) ÷ (1 - тг α тг β)

тг (α - β) = (тг α - тг β) ÷ (1 + тг α · тг β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Давхар өнцгийн томъёо.

cos 2α = cos²α -нүгэл²α

cos 2α = 2cos²α — 1

cos 2α = 1 - 2sin²α

нүгэл 2α = 2 нүгэлα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

Гурвалсан өнцгийн томъёо.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

учир нь 3α = 4cos³α - 3 cosα

тг 3α = (3 тгα - тг³α ) ÷ (1 - 3 тг²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Хагас өнцгийн томъёо.

Бууруулах томъёо.

Рад дахь функц/өнцөг.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




Функц/өнцөг °	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

Бууруулах томъёоны дэлгэрэнгүй тайлбар.

Тригонометрийн үндсэн томъёо.

Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг:

sin 2 α+cos 2 α=1

Энэхүү ижил төстэй байдал нь Пифагорын теоремыг нэгж тригонометрийн тойрог дахь гурвалжинд хэрэглэсний үр дүн юм.

Косинус ба тангенсийн хоорондын хамаарал нь:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 эсвэл сек 2 α−tan 2 α=1.

Энэ томьёо нь үндсэн тригонометрийн ижил төстэй байдлын үр дагавар бөгөөд зүүн ба баруун талыг cos2α-д хуваах замаар олж авна. гэж таамаглаж байна α≠π/2+πn,n∈Z.

Синус ба котангенсийн хоорондын хамаарал:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 эсвэл csc 2 α−cot 2 α=1.

Энэ томьёо нь мөн үндсэн тригонометрийн шинж чанараас (түүнээс зүүн ба баруун талыг хуваах замаар олж авсан) гардаг. sin2α. Энд ингэж таамаглаж байна α≠πn,n∈Z.

Тангенсийн тодорхойлолт:

tanα=sinα/cosα,

Хаана α≠π/2+πn,n∈Z.

Котангенсийн тодорхойлолт:

cota=cosα/sinα,

Хаана α≠πn,n∈Z.

Тангенс ба котангенсийн тодорхойлолтоос гарсан үр дүн:

танα⋅ cota=1,

Хаана α≠πn/2,n∈Z.

Секантын тодорхойлолт:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ З

Косекантын тодорхойлолт:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ З

Тригонометрийн тэгш бус байдал.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгш бус байдал:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Тригонометрийн функцүүдийн квадратууд.

Тригонометрийн функцын кубуудын томъёо.

Тригонометр Математик. Тригонометр. Томъёо. Геометр. Онол

Бид хамгийн энгийн тригонометрийн функцуудыг авч үзсэн (синус, косинус, тангенс, котангенсаас гадна өөр олон функцүүд байдаг, гэхдээ дараа нь илүү ихийг энд бүү алдаарай), гэхдээ одоо бид тригонометрийн зарим үндсэн шинж чанаруудыг харцгаая. функцуудыг аль хэдийн судалсан.

Тоон аргументын тригонометрийн функцууд

Ямар ч бодит тоо t авсан бай, энэ нь өвөрмөц тодорхойлогдсон sin(t) тоотой холбоотой байж болно.

Үнэн, тохирох дүрэм нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд дараахь зүйлээс бүрдэнэ.

t тооноос sin(t)-ийн утгыг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

Тойргийн төв нь координатын эхлэлтэй давхцаж, тойргийн эхлэл А цэг (1; 0) цэг дээр унадаг байхаар тооны тойргийг координатын хавтгайд байрлуулах;
t тоонд тохирох тойрог дээрх цэгийг олох;
энэ цэгийн ординатыг ол.
энэ ординат нь хүссэн нүгэл (t) юм.

Үнэн хэрэгтээ бид s = sin(t) функцийн тухай ярьж байна, энд t нь аливаа бодит тоо юм. Бид энэ функцийн зарим утгыг хэрхэн тооцоолохыг мэддэг (жишээлбэл, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \) гэх мэт). , бид түүний зарим шинж чанарыг мэддэг.

Тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарал

Бүх тригонометрийн функцууд хоорондоо уялдаатай бөгөөд аль нэгнийх нь утгыг мэдэхгүй байсан ч өөр нэг функцээр дамжуулан олж болно гэж та бодож байна гэж найдаж байна.

Жишээлбэл, бүх тригонометрийн хамгийн чухал томъёо нь юм үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг:

\[ нүгэл^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Таны харж байгаагаар синусын утгыг мэдсэнээр та косинусын утгыг олж чадна, мөн эсрэгээр.

Тригонометрийн томъёо

Мөн синус ба косинусыг тангенс ба котангенстай холбодог маш түгээмэл томъёонууд:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Сүүлийн хоёр томъёоноос нэг нь өөр тригометрийн ижил төстэй байдлыг гаргаж авах боломжтой бөгөөд энэ удаад тангенс ба котангенсыг холбодог.

\[ \boxed (\ tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Одоо эдгээр томъёонууд практик дээр хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

ЖИШЭЭ 1. Илэрхийллийг хялбарчлаарай: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Юуны өмнө квадратыг хадгалж шүргэгчийг бичье:

\[ 1+ \тан^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Одоо бүх зүйлийг нийтлэг хуваагч дор оруулаад бид дараахь зүйлийг авна.

\[ \нүгэл^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

Эцэст нь, бидний харж байгаагаар тоологчийг тригонометрийн үндсэн шинж чанараар нэг болгон бууруулж болох бөгөөд үр дүнд нь бид дараахийг олж авна: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

б) Котангентын тусламжтайгаар бид бүх ижил үйлдлийг гүйцэтгэдэг бөгөөд зөвхөн хуваагч нь косинус байхаа больсон, харин синус байх бөгөөд хариулт нь дараах байдалтай байна.

\[ 1+ \орой^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Энэ даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа бид өөрсдийн үйл ажиллагааг холбосон өөр хоёр маш чухал томьёог гаргаж авсан бөгөөд бид үүнийг гарын арван хуруу шигээ мэдэх ёстой.

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Та бүх томъёог цээжээр мэдэж байх ёстой, эс тэгвээс тэдэнгүйгээр тригонометрийг цаашид судлах боломжгүй юм. Ирээдүйд илүү олон томьёо байх болно, тэд маш олон байх болно, та бүгдийг нь удаан хугацаанд санаж байх болно, эсвэл санахгүй байх болно гэдгийг би танд баталж байна, гэхдээ эдгээр зургаан зүйлийг ХҮН БҮР мэдэж байх ёстой!

Бүх үндсэн ба ховор тригонометрийн бууралтын томъёоны бүрэн хүснэгт.

Эндээс та тригонометрийн томъёог тохиромжтой хэлбэрээр олох боломжтой. Мөн тригонометрийн бууралтын томъёог өөр хуудаснаас олж болно.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд

- аргументийн утга тус бүрээр гүйцэтгэгдсэн тригонометрийн функцүүдийн математик илэрхийллүүд.

sin² α + cos² α = 1
tg α ор α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
cot α = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

Нэмэлт томъёо

нүгэл (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
нүгэл (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — нүгэл α · нүгэл β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
тг (α + β) = (тг α + тг β) ÷ (1 - тг α · тг β)
тг (α - β) = (тг α - тг β) ÷ (1 + тг α · тг β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

Давхар өнцгийн томъёо

cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sin 2α = 2sin α cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Гурвалсан өнцгийн томъёо

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
тг 3α = (3тг α - tg³ α) ÷ (1 - 3тг² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Зэрэг бууруулах томъёо

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sin α – sin 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sin 2α – sin 6α) ÷ 32

Бүтээгдэхүүнээс нийлбэр рүү шилжих

sin α cos β = ½ (нүгэл (α + β) + нүгэл (α - β))
sin α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Бид маш олон тригонометрийн томьёог жагсаасан боловч хэрэв ямар нэг зүйл дутуу байвал бичнэ үү.

Сурах бүх зүйл » Сургуулийн математик » Тригонометрийн томьёо - cheat sheet

Хуудсыг тэмдэглэхийн тулд Ctrl+D дарна уу.

Маш их хэрэгтэй мэдээлэл бүхий бүлэг (хэрэв танд Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл улсын нэгдсэн шалгалт байгаа бол бүртгүүлнэ үү):

Эссэ, курсын ажил, диссертаци болон бусад сургалтын материалын мэдээллийн санг бүхэлд нь үнэ төлбөргүй өгдөг. Сайтын материалыг ашигласнаар та хэрэглэгчийн гэрээг уншиж, түүний бүх заалтыг бүрэн эхээр нь хүлээн зөвшөөрч байгаагаа баталж байна.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлүүдийн бүлгүүдийн хувиргалтыг нарийвчлан авч үзсэн болно. Гурав дахь хэсэгт стандарт бус тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзсэн бөгөөд тэдгээрийн шийдлүүд нь функциональ хандлагад суурилдаг.

Тригонометрийн бүх томьёо (тэгшитгэл): sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

Дөрөв дэх хэсэгт тригонометрийн тэгш бус байдлын талаар авч үзнэ. Нэгж тойрог болон ... аль алинд нь энгийн тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх аргууд.

... өнцөг 1800-α= гипотенуз ба хурц өнцгийн дагуу: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Тэгэхээр сургуулийн геометрийн хичээлд тригонометрийн функцийн тухай ойлголтыг геометрийн хэрэглүүрээр оруулж өгсөн нь илүү хүртээмжтэй байдаг. Тригонометрийн функцийг судлах уламжлалт арга зүйн схем нь дараах байдалтай байна: 1) эхлээд тэгш өнцөгтийн хурц өнцгийн хувьд тригонометрийн функцийг тодорхойлно.

... Гэрийн даалгавар 19(3.6), 20(2.4) Зорилго тодорхойлох Суурь мэдлэгийг шинэчлэх Тригонометрийн функцийн шинж чанар Бууруулах томьёо Шинэ материал Тригонометрийн функцийн утгууд Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Нэгтгэх Бодлого шийдвэрлэх Хичээлийн зорилго: өнөөдөр бид тооцоолно. тригонометрийн функцүүдийн утгууд ба шийдвэрлэх ...

... дараах асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай томьёолсон таамаглал: 1. Математикийн хичээлд тригонометрийн тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын гүйцэтгэх үүргийг тодорхойлох; 2. Тригонометрийн ойлголтыг хөгжүүлэхэд чиглэсэн тригонометрийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх арга зүйг боловсруулах; 3. Боловсруулсан аргын үр нөлөөг туршилтаар шалгах. Шийдлийн хувьд…

Тригонометрийн томъёо

Бид таны анхааралд тригонометртэй холбоотой янз бүрийн томъёог толилуулж байна.

(8) Давхар өнцгийн котангенс

cotg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg(α)

(9) Гурвалсан өнцгийн синус sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - нүгэл 3 (α) (10) Гурвалсан өнцгийн косинус cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) Нийлбэр/ялгааны косинус cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) Нийлбэр/зөрүүний синус sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) Нийлбэр/ялгааны тангенс (14) Нийлбэр/ялгааны котангенс (15) Синусуудын бүтээгдэхүүн sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) Косинусын бүтээгдэхүүн cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) Синус ба косинусын бүтээгдэхүүн sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + нүгэл(α-β)) (18) Синусын нийлбэр/ялгаа sin(α) ± нүгэл(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) Косинусын нийлбэр cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) Косинусын ялгаа cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) Шүргэгчийн нийлбэр/ялгаа (22) Синусын түвшинг бууруулах томъёо нүгэл 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) Косинусын зэргийг бууруулах томъёо cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) Синус ба косинусын нийлбэр/ялгаа (25) Коэффициенттэй синус ба косинусын нийлбэр/ялгаа (26) Арксин ба аркозины үндсэн хамаарал arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) Арктангенс ба арккотангенс хоорондын үндсэн хамаарал arctan(x) + arcctg(x) = π/2

Ерөнхий томъёо

- хэвлэх хувилбар

Тодорхойлолт α өнцгийн синус (тэмдэглэгээ нүгэл(α)) нь α өнцгийн эсрэг талын хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. α өнцгийн косинус (тэмдэглэгээ cos(α)) нь α өнцөгтэй зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм. Өнцгийн тангенс α (тэмдэглэгээ бор(α)) нь α өнцгийн эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм. Эквивалент тодорхойлолт нь α өнцгийн синусыг ижил өнцгийн косинустай харьцуулсан харьцаа юм - sin(α)/cos(α). α өнцгийн котангенс (тэмдэглэгээ cotg(α)) нь α өнцөгтэй зэргэлдээх хөлийг эсрэг талынхтай харьцуулсан харьцаа юм. Эквивалент тодорхойлолт нь α өнцгийн косинусыг ижил өнцгийн синустай харьцуулсан харьцаа юм - cos(α)/sin(α). Бусад тригонометрийн функцууд: секант — сек(α) = 1/cos(α); косекант - косек(α) = 1/sin(α). Анхаарна уу Бид тусгайлан тэмдэглэгээг бичдэггүй (үржүүлэх) - хоёр функцийг дараалан, хоосон зайгүйгээр бичсэн тохиолдолд энэ нь далд утгатай болно. Сэтгэгдэл Олон (4+) өнцгийн косинус, синус, тангенс эсвэл котангенсийн томъёог гаргахын тулд тэдгээрийг томъёоны дагуу тус тусад нь бичихэд хангалттай. нийлбэрийн косинус, синус, тангенс эсвэл котангенс, эсвэл өмнөх тохиолдлуудад бууруулж, гурвалсан ба давхар өнцгийн томьёо хүртэл бууруулна. Нэмэлт Деривативын хүснэгт

Тригонометрийн хөрвүүлэлт хийхдээ дараах зөвлөмжийг дагана уу.

Эхнээс нь дуустал жишээний шийдлийг нэн даруй гаргаж ирэх гэж бүү оролд.
Бүх жишээг нэг дор хөрвүүлэх гэж бүү оролдоорой. Урагшаа жижиг алхам хий.
Тригонометрийн тригонометрийн томъёоноос гадна та бүх шударга алгебрийн хувиргалтыг (хаалтанд оруулах, товчилсон бутархай, товчилсон үржүүлэх томъёо гэх мэт) ашиглаж болно гэдгийг санаарай.
Бүх зүйл сайхан болно гэдэгт итгээрэй.

Тригонометрийн үндсэн томъёо

Тригонометрийн ихэнх томъёог ихэвчлэн баруунаас зүүн тийш, зүүнээс баруун тийш хоёуланг нь ашигладаг тул та эдгээр томъёог маш сайн сурах хэрэгтэй бөгөөд зарим томъёог хоёр чиглэлд хялбархан хэрэглэж болно. Эхлээд тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг бичье. Тэгш өнцөгт гурвалжин байг:

Дараа нь синусын тодорхойлолт:

Косинусын тодорхойлолт:

Тангенсийн тодорхойлолт:

Котангенсийн тодорхойлолт:

Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг:

Тригонометрийн үндсэн шинж чанараас хамгийн энгийн үр дүн:

Давхар өнцгийн томъёо.Давхар өнцгийн синус:

Давхар өнцгийн косинус:

Давхар өнцгийн тангенс:

Давхар өнцгийн котангенс:

Нэмэлт тригонометрийн томъёо

Тригонометрийн нэмэх томъёо.Нийлбэрийн синус:

Ялгааны синус:

Нийлбэрийн косинус:

Ялгааны косинус:

Нийлбэрийн тангенс:

Ялгааны тангенс:

Хэмжээний котангенс:

Ялгааны котангенс:

Нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах тригонометрийн томъёо.Синусын нийлбэр:

Синусын ялгаа:

Косинусын нийлбэр:

Косинусын ялгаа:

Шүргэгчийн нийлбэр:

Тангентын ялгаа:

Котангентын нийлбэр:

Котангентын ялгаа:

Бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хувиргах тригонометрийн томъёо.Синусуудын бүтээгдэхүүн:

Синус ба косинусын бүтээгдэхүүн:

Косинусын бүтээгдэхүүн:

Зэрэг бууруулах томъёо.

Хагас өнцгийн томъёо.

Тригонометрийн бууралтын томъёо

Косинусын функц гэж нэрлэдэг хамтран ажиллахсинус функц ба эсрэгээр. Үүнтэй адил шүргэгч ба котангенс функцууд нь кофункц юм. Бууруулах томъёог дараах дүрмээр томъёолж болно.

Хэрэв багасгах томъёонд өнцгийг 90 градус эсвэл 270 градусаас хасвал (нэмэх) бууруулсан функц нь кофункц болж өөрчлөгдөнө;
Хэрэв багасгах томъёонд өнцгийг 180 градус эсвэл 360 градусаас хассан (нэмсэн) бол бууруулсан функцийн нэрийг хадгална;
Энэ тохиолдолд хасагдсан (нэмэгдсэн) өнцгийг хурц гэж үзвэл багасгасан (жишээ нь, эх) функц харгалзах квадратад байгаа тэмдгийг багасгасан функцийн өмнө байрлуулна.

Бууруулах томъёохүснэгт хэлбэрээр өгсөн:

By тригонометрийн тойрогТригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн утгыг тодорхойлоход хялбар:

Тригонометрийн тэгшитгэл

Тодорхой тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд үүнийг доор авч үзэх хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүдийн аль нэг болгон багасгах шаардлагатай. Үүний тулд:

Та дээр дурдсан тригонометрийн томъёог ашиглаж болно. Үүний зэрэгцээ та жишээг бүхэлд нь нэг дор өөрчлөх гэж оролдох шаардлагагүй, гэхдээ та жижиг алхмаар урагшлах хэрэгтэй.
Алгебрийн аргыг ашиглан зарим илэрхийлэлийг хувиргах боломжийг бид мартаж болохгүй, i.e. жишээлбэл, хаалтнаас ямар нэг зүйлийг гаргаж авах эсвэл эсрэгээр хаалт нээх, бутархайг багасгах, үржүүлэх товчилсон томъёог хэрэглэх, бутархайг нийтлэг хуваагч руу хүргэх гэх мэт.
Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ та ашиглаж болно бүлэглэх арга. Хэд хэдэн хүчин зүйлийн үржвэр тэгтэй тэнцүү байхын тулд тэдгээрийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байх нь хангалттай гэдгийг санах нь зүйтэй. үлдсэн хэсэг нь байсан.
Өргөдөл гаргаж байна хувьсах солих арга, ердийнх шиг, орлуулалтыг оруулсны дараа тэгшитгэл нь илүү хялбар болж, анхны хувьсагчийг агуулаагүй байх ёстой. Та мөн урвуу орлуулалт хийхээ санах хэрэгтэй.
Тригонометрт нэгэн төрлийн тэгшитгэлүүд ихэвчлэн гарч ирдэг гэдгийг санаарай.
Модулиудыг нээх эсвэл тригонометрийн функц бүхий иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ та ердийн функцтэй харгалзах тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бүх нарийн ширийн зүйлийг санаж, анхаарч үзэх хэрэгтэй.
ODZ-ийн талаар санаарай (тригонометрийн тэгшитгэлд ODZ-ийн хязгаарлалт нь голчлон тэгээр хуваагдах боломжгүй гэсэн үг юм, гэхдээ бусад хязгаарлалт, ялангуяа оновчтой хүч, тэгш чадлын үндэс дэх илэрхийллийн эерэг байдлын талаар бүү мартаарай). Мөн синус ба косинусын утгууд нь зөвхөн хасах нэгээс нэмэх нэг хүртэлх мужид байж болно гэдгийг санаарай.

Хамгийн гол нь хэрэв та юу хийхээ мэдэхгүй байгаа бол ядаж ямар нэг зүйл хий, гол зүйл бол тригонометрийн томъёог зөв ашиглах явдал юм. Хэрэв таны олж авсан зүйл улам сайжирч байвал шийдлийг үргэлжлүүлж, муудвал эхэндээ буцаж очоод өөр томьёог ашиглахыг хичээвэл зөв шийдэлд хүрэх хүртэл үүнийг хий.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдлүүдийн томъёо.Синусын хувьд шийдлийг бичих хоёр тэнцүү хэлбэр байдаг:

Бусад тригонометрийн функцүүдийн хувьд тэмдэглэгээ нь хоёрдмол утгагүй байна. Косинусын хувьд:

Шүргэгчийн хувьд:

Котангентын хувьд:

Зарим онцгой тохиолдолд тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх:

Физикийн бүх томьёо, хуулиуд, математикийн томъёо, аргуудыг сур. Үнэн хэрэгтээ үүнийг хийх нь маш энгийн бөгөөд физикт ердөө 200 орчим шаардлагатай томъёо байдаг, математикт арай бага байдаг. Эдгээр хичээл тус бүрд үндсэн түвшний асуудлыг шийдвэрлэх арав орчим стандарт аргууд байдаг бөгөөд үүнийг бас сурч болох бөгөөд ингэснээр бүрэн автоматаар, ихэнх КТ-ийг зөв цагт нь шийдвэрлэх боломжтой болно. Үүний дараа та зөвхөн хамгийн хэцүү ажлуудын талаар бодох хэрэгтэй болно.

Физик, математикийн давталтын шалгалтын бүх гурван үе шатанд хамрагдах. RT бүр дээр хоёр удаа очиж, хоёр сонголтыг шийдэх боломжтой. Дахин хэлэхэд, CT дээр асуудлыг хурдан, үр дүнтэй шийдвэрлэх чадвар, томъёо, аргын мэдлэгээс гадна та цагийг зөв төлөвлөх, хүчийг хуваарилах, хамгийн чухал нь хариултын хуудсыг зөв бөглөх чадвартай байх ёстой. хариулт, асуудлын тоо, эсвэл өөрийн овог нэрээ төөрөлдүүлэх. Мөн RT-ийн үеэр асуудалд асуулт тавих хэв маягийг хэвшүүлэх нь чухал бөгөөд энэ нь ДТ-ийн бэлтгэлгүй хүнд ер бусын мэт санагдаж магадгүй юм.

Эдгээр гурван зүйлийг амжилттай, хичээнгүй, хариуцлагатай хэрэгжүүлэх, мөн эцсийн сургалтын тестийг хариуцлагатай судлах нь CT-д хамгийн сайн үр дүнг харуулах боломжийг олгоно.

Алдаа олсон уу?

Хэрэв та сургалтын материалд алдаа олсон гэж бодож байвал энэ тухай имэйлээр бичнэ үү (). Захидалдаа тухайн сэдвийг (физик эсвэл математик), сэдэв эсвэл тестийн нэр эсвэл дугаар, бодлогын дугаар, таны бодлоор алдаа гарсан текст (хуудас) дахь газрыг зааж өгнө. Мөн сэжигтэй алдаа юу болохыг тайлбарлана уу. Таны захидал анзаарагдахгүй байх болно, эсвэл алдаа засах болно, эсвэл яагаад алдаа биш гэдгийг тайлбарлах болно.

Тригонометрийн үндсэн функцүүдийн хоорондын хамаарал - синус, косинус, тангенс, котангенс- гэж асуудаг тригонометрийн томъёо. Тригонометрийн функцүүдийн хооронд маш олон холболт байдаг тул энэ нь тригонометрийн томъёоны элбэг дэлбэг байдлыг тайлбарлаж байна. Зарим томьёо нь ижил өнцгийн тригонометрийн функцуудыг холбодог, бусад нь олон өнцгийн функцуудыг холбодог, бусад нь градусыг багасгах боломжийг олгодог, дөрөвдүгээрт - бүх функцийг хагас өнцгийн тангенсаар илэрхийлэх гэх мэт.

Хуудасны навигаци.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд

Тригонометрийн үндсэн шинж чанаруудНэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс хоорондын хамаарлыг тодорхойлох. Эдгээр нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос гардаг нэгж тойргийн тухай ойлголт. Эдгээр нь нэг тригонометрийн функцийг өөр ямар ч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Эдгээр тригонометрийн томьёо, тэдгээрийн гарал үүсэл, хэрэглээний жишээнүүдийн дэлгэрэнгүй тайлбарыг нийтлэлээс үзнэ үү.

Бууруулах томъёо

Бууруулах томъёо-аас дага синус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанарууд, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанар, тэгш хэмийн шинж чанар, түүнчлэн өгөгдсөн өнцгөөр шилжих шинж чанарыг тусгадаг. Эдгээр тригонометрийн томъёонууд нь дурын өнцгөөр ажиллахаас тэгээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог.

Эдгээр томъёоны үндэслэл, тэдгээрийг цээжлэх мнемоник дүрэм, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг нийтлэлээс судалж болно.

Нэмэлт томъёо

Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг

Илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийг нийтлэлд цуглуулсан давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг.

Хагас өнцгийн томъёо

Тэдний дүгнэлт, хэрэглээний жишээг нийтлэлээс олж болно.

Зэрэг бууруулах томъёо

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёо

Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёо

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрээс нийлбэр эсвэл зөрүү рүү шилжих шилжилтийг ашиглан гүйцэтгэнэ синус, косинус, синусыг косинусаар үржүүлэх томъёо.

Бүх нийтийн тригонометрийн орлуулалт

Ном зүй.

Алгебр:Сурах бичиг 9-р ангийн хувьд. дундаж сургууль/Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; Эд. С.А.Теляковский.- М.: Боловсрол, 1990. - 272 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М.И.Алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Сурах бичиг. 10-11 ангийн хувьд. дундаж сургууль - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 1993. - 351 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-004617-4.
Алгебрба шинжилгээний эхлэл: Proc. 10-11 ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд / A. N. Kolmogorov, A. M. Абрамов, Ю. П. Дудницын болон бусад; Эд. A. N. Kolmogorov. - 14-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2004. - 384 х.: өвчтэй. - ISBN 5-09-013651-3.
Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

Ухаалаг оюутнуудын зохиогчийн эрх

Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр сайтын аль ч хэсгийг, түүний дотор дотоод материал, гадаад үзэмжийг ямар ч хэлбэрээр хуулбарлаж, ашиглахыг хориглоно.