Сургуулийн математикийн хичээлээс эхлэн хүн бүр жигд долгионоор хол зайд сунадаг синусын графикийг санаж байна. Бусад олон функцууд ижил төстэй шинж чанартай байдаг - тодорхой хугацааны дараа давтагддаг. Тэднийг үе үе гэж нэрлэдэг. Тогтмол байдал нь янз бүрийн ажилд ихэвчлэн тулгардаг функцийн маш чухал шинж чанар юм. Тиймээс функц нь үечилсэн эсэхийг тодорхойлох чадвартай байх нь ашигтай байдаг.

Зааварчилгаа

• Хэрэв F(x) нь х аргументийн функц юм бол дурын x F(x + T) = F(x) байх T тоо байвал үүнийг үечилсэн гэж нэрлэдэг. Энэ T тоог функцийн үе гэнэ.Хэд хэдэн үе байж болно. Жишээ нь, F = const функц нь аргументийн аль ч утгын хувьд ижил утгыг авдаг тул дурын тоог түүний үе гэж үзэж болно.Математикчид ихэвчлэн функцийн тэг биш хамгийн бага үеийг сонирхдог. Товчхондоо үүнийг үе гэж нэрлэдэг.
• Тогтмол функцүүдийн сонгодог жишээ бол тригонометр юм: синус, косинус, тангенс. Тэдний үе нь ижил бөгөөд 2π-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) гэх мэт. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг тригонометрийн функцууд нь зөвхөн үечилсэн функцууд биш юм.
• Энгийн, үндсэн функцүүдийн хувьд тэдгээрийг үе үе эсвэл үечилсэн биш гэдгийг тодорхойлох цорын ганц арга бол тооцоолол юм. Гэхдээ нарийн төвөгтэй функцүүдийн хувьд хэд хэдэн энгийн дүрмүүд байдаг.
• Хэрэв F(x) нь T үетэй үечилсэн функц бөгөөд түүнд зориулж дериватив нь тодорхойлогдсон бол энэ уламжлал нь f(x) = F′(x) нь мөн T үетэй үечилсэн функц юм. Эцсийн эцэст, x цэг дээрх дериватив нь шүргэгч өнцгийн графикийн шүргэгчтэй тэнцүү бөгөөд энэ цэг дэх түүний эсрэг дериватив нь x тэнхлэгт хамаарах ба эсрэг дериватив нь үе үе давтагддаг тул дериватив нь мөн давтагдах ёстой. Жишээлбэл, sin(x) функцийн дериватив нь cos(x)-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь үе үе юм. cos(x)-ийн деривативыг авбал –sin(x) болно. Давтамж өөрчлөгдөөгүй боловч эсрэгээрээ үргэлж байдаггүй. Иймд f(x) = const функц нь үечилсэн боловч түүний эсрэг дериватив F(x) = const*x + C биш юм.
• Хэрэв F(x) нь T үетэй үечилсэн функц бол G(x) = a*F(kx + b), a, b, k нь тогтмол бөгөөд k нь тэгтэй тэнцүү биш - мөн үечилсэн функц юм. , түүний хугацаа нь T/k байна. Жишээлбэл, sin(2x) нь үечилсэн функц бөгөөд түүний хугацаа нь π юм. Үүнийг дараах байдлаар дүрсэлж болно: x-ийг хэдэн тоогоор үржүүлснээр функцийн графикийг хэвтээ байдлаар яг хэд дахин шахаж байгаа юм шиг санагдаж байна.
• Хэрэв F1(x) ба F2(x) нь үечилсэн функц бөгөөд тэдгээрийн үеүүд нь тус тус T1 ба T2-тэй тэнцүү бол эдгээр функцүүдийн нийлбэр нь мөн үечилсэн байж болно. Гэсэн хэдий ч түүний хугацаа нь T1 ба T2 үеүүдийн энгийн нийлбэр биш байх болно. Хэрэв T1/T2 хуваалтын үр дүн нь оновчтой тоо бол функцүүдийн нийлбэр нь үечилсэн бөгөөд түүний үе нь T1 ба T2 үеүүдийн хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй (LCM) тэнцүү байна. Жишээлбэл, хэрэв эхний функцийн үе 12, хоёр дахь үе нь 15 бол тэдгээрийн нийлбэрийн хугацаа нь LCM (12, 15) = 60-тай тэнцүү байх болно. Үүнийг дараах байдлаар дүрсэлж болно. функцууд нь өөр өөр "алхмын өргөнтэй" ирдэг боловч хэрвээ тэдгээрийн өргөнүүдийн харьцаа оновчтой бол эрт орой хэзээ нэгэн цагт (эсвэл тодорхой алхамуудын LCM-ээр) тэд дахин тэнцүү болж, нийлбэр нь шинэ үе эхэлнэ.
• Гэсэн хэдий ч хэрэв үеүүдийн харьцаа иррациональ байвал нийт функц нь үечилсэн биш байх болно. Жишээлбэл, F1(x) = x mod 2 (х-г 2-т хуваахад үлдэгдэл), F2(x) = sin(x) гэж үзье. Энд T1 нь 2, T2 нь 2π-тэй тэнцүү байх болно. Үеийн харьцаа нь π-тэй тэнцүү - иррационал тоо. Тиймээс sin(x) + x mod 2 функц нь үечилсэн биш юм.

Сургуулийн математикийн хичээлээс эхлэн хүн бүр жигд долгионоор хол зайд сунадаг синусын графикийг санаж байна. Бусад олон функцууд ижил төстэй шинж чанартай байдаг - тодорхой интервалаар давтагддаг. Тэднийг үе үе гэж нэрлэдэг. Тогтмол байдал нь функцын маш чухал чанар бөгөөд ихэвчлэн өөр өөр ажилд илэрдэг. Иймээс функц нь үечилсэн эсэхийг тодорхойлох нь ашигтай байдаг.

Зааварчилгаа

1. Хэрэв F(x) нь х аргументийн функц юм бол x бүрт F(x + T) = F(x) байхаар T тоо байвал үүнийг үечилсэн гэж нэрлэдэг. Энэ T тоог функцийн үе гэнэ.Хэд хэдэн үе байж болно. F = const функц нь аргументийн бүх утгын хувьд ижил утгыг авдаг тул дурын тоог түүний үе гэж үзэж болно гэж бодъё.Уламжлал ёсоор математик нь функцийн хамгийн бага тэг биш үеийг авч үздэг. Товчхондоо үүнийг анхдагч үе гэж нэрлэдэг.

2. Тогтмол функцүүдийн ердийн жишээ бол тригонометр юм: синус, косинус, тангенс. Тэдний үе нь ижил бөгөөд 2?-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) гэх мэт. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг тригонометрийн функцууд нь зөвхөн үе үе биш юм.

3. Анхдагч, үндсэн функцүүдийн тухайд тэдгээрийн үе үе эсвэл үечилсэн бус байдлыг тогтоох цорын ганц арга бол тооцоолол юм. Гэхдээ хэцүү функцүүдийн хувьд хэд хэдэн энгийн дүрмүүд байдаг.

4. Хэрэв F(x) нь T үетэй үечилсэн функц бөгөөд түүнд зориулж дериватив нь тодорхойлогдсон бол энэ үүсмэл f(x) = F?(x) нь мөн T үетэй үечилсэн функц болно. Цэг дэх деривативын утга x нь шүргэгч өнцгийн тангенстай тэнцүү бөгөөд энэ цэг дэх түүний эсрэг деривативын график нь x тэнхлэгтэй тэнцүү бөгөөд эсрэг дериватив нь үе үе давтагддаг тул дериватив нь мөн давтагдах ёстой. sin(x) функцийн дериватив нь cos(x)-тэй тэнцүү ба энэ нь үе үе гэж бодъё. cos(x)-ийн деривативыг авбал –sin(x) болно. Үе үе тогтмол хэвээр байна.Гэхдээ эсрэгээрээ үргэлж байдаггүй. Иймд f(x) = const функц нь үечилсэн боловч түүний эсрэг дериватив F(x) = const*x + C биш юм.

5. Хэрэв F(x) нь T үетэй үечилсэн функц бол G(x) = a*F(kx + b), a, b, k нь тогтмол бөгөөд k нь тэгтэй тэнцүү биш - мөн үечилсэн функц юм. , түүний хугацаа нь T/k байна. sin(2x) нь үечилсэн функц ба түүний хугацаа нь?-тэй тэнцүү гэж үзье. Үүнийг дараах байдлаар дүрсэлж болно: x-г дурын тоогоор үржүүлснээр функцийн графикийг хэвтээ байдлаар яг хэд дахин шахаж байгаа юм шиг санагдаж байна.

6. Хэрэв F1(x) ба F2(x) нь үечилсэн функц бөгөөд тэдгээрийн үеүүд нь тус тус T1 ба T2-тэй тэнцүү бол эдгээр функцүүдийн нийлбэр нь мөн үечилсэн байж болно. Гэсэн хэдий ч түүний хугацаа нь T1 ба T2 үеүүдийн нийлбэр нь тийм ч хялбар биш байх болно. Хэрэв T1/T2 хуваах үр дүн нь боломжийн тоо бол функцүүдийн нийлбэр нь үечилсэн бөгөөд түүний хугацаа нь T1 ба T2 үеүүдийн хамгийн бага бүх нийтийн үржвэртэй (LCM) тэнцүү байна. Хэрэв эхний функцийн үе нь 12, 2-ын үе нь 15 байвал тэдгээрийн нийлбэрийн хугацаа нь LCM (12, 15) = 60-тай тэнцүү байна гэж үзье. Үүнийг дараах байдлаар дүрсэлж болно: функцууд. өөр өөр "алхмын өргөнтэй" ирдэг, гэхдээ хэрэв тэдгээрийн өргөний харьцаа нь утга учиртай байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт (ялангуяа алхамуудын LCM-ээр) тэд дахин тэнцүү болж, нийлбэр нь шинэ үе эхэлнэ.

7. Гэсэн хэдий ч хэрэв үеүүдийн харьцаа иррациональ байвал нийт функц нь үечилсэн биш байх болно. F1(x) = x mod 2 (х-г 2-т хуваахад үлдэгдэл), F2(x) = sin(x) гэж үзье. Энд T1 нь 2, T2 нь 2?-тэй тэнцүү байх болно. Үеийн харьцаа тэнцүү байна уу? - иррационал тоо. Иймээс sin(x) + x mod 2 функц нь үе үе биш юм.

Математикийн олон функцууд нь тэдгээрийг бүтээхэд хялбар болгодог нэг онцлог шинж чанартай байдаг - энэ нь үе үе, өөрөөр хэлбэл координатын тор дээрх графикийн ижил интервалтайгаар давтагдах чадвар.

Зааварчилгаа

1. Математикийн хамгийн алдартай үечилсэн функцууд бол синус ба косинус юм. Эдгээр функцууд нь долгионы шинж чанартай бөгөөд эргэлтийн хугацаа нь 2P-тэй тэнцүү байна. Мөн үечилсэн функцийн онцгой тохиолдол нь f(x)=const. Ямар ч тоо x байрлалд багтах бөгөөд энэ функц нь шулуун шугам тул үндсэн үегүй.

2. Ерөнхийдөө f(x)=f(x+N) дүрмийг хангасан тэгээс өөр бүхэл тоо N байвал функц нь үечилсэн шинж чанартай байдаг тул давтагдах чадварыг хангадаг. Функцийн үе нь хамгийн бага N тоо боловч тэг биш. Өөрөөр хэлбэл, sin x функц нь sin (x+2ПN) функцтэй тэнцүү, N=±1, ±2 гэх мэт.

3. Заримдаа функц нь үржүүлэгчтэй (син 2x гэх мэт) байж болох бөгөөд энэ нь функцийн үеийг ихэсгэх эсвэл багасгах болно. Хугацааг илрүүлэхийн тулд график, та функцийн экстремумыг тодорхойлох хэрэгтэй - функцийн графикийн хамгийн дээд ба доод цэгүүд. Синус болон косинусын долгион нь долгионтой төстэй шинж чанартай байдаг тул үүнийг хийхэд маш хялбар байдаг. Эдгээр цэгүүдээс X тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэл перпендикуляр шулуун шугамуудыг байгуулна.

4. Дээд мөчөөс доод хэсэг хүртэлх зай нь функцийн хугацааны хагас байх болно. Графикийн Y тэнхлэгтэй огтлолцсон үеэс эхлэн үеийг тооцоолох нь хүн бүрт илүү тохиромжтой бөгөөд үүний дагуу x тэнхлэг дээрх тэг тэмдэг юм. Үүний дараа та үүссэн утгыг хоёроор үржүүлж, функцийн эргэлтийн хугацааг авах хэрэгтэй.

5. Синус болон косинусын муруйг зурахад хялбар болгохын тулд хэрэв функц бүхэл тоотой бол түүний хугацаа уртасна (өөрөөр хэлбэл 2P-ийг энэ үзүүлэлтээр үржүүлэх шаардлагатай) график нь илүү зөөлөн, жигд харагдах болно гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. ; хэрэв тоо нь бутархай бол эсрэгээрээ буурч, график нь илүү "хурц", үсрэлт шиг харагдах болно.

Сэдвийн талаархи видео

Зааварчилгаа

Хамгийн бага эерэг хугацаакосинус мөн 2?-тэй тэнцүү байна. Үүний нотолгоог жишээгээр авч үзье функцууд y=cos(x). Хэрэв T нь дур зоргоороо байвал хугацааом косинус, дараа нь cos(a+T)=cos(a). a=0 тохиолдолд cos(T)=cos(0)=1. Үүнийг харгалзан cos(x) = 1 байх үед T-ийн хамгийн бага эерэг утга 2?.

2 гэдгийг бодвол? – хугацаасинус ба косинус, энэ нь бас байх болно хугацааом котангенс, түүнчлэн шүргэгч, гэхдээ хамгийн бага биш, учир нь , хамгийн бага эерэг хугацаатангенс ба котангенс тэнцүү байна уу? Та үүнийг дараах зүйлийг анхаарч үзэх замаар баталгаажуулж болно: тригонометрийн тойрог дээрх (x) ба (x+?) -д харгалзах цэгүүд диаметрийн эсрэг байр суурьтай байна. (x) цэгээс (x+2?) цэг хүртэлх зай нь хагас тойрогтой тохирч байна. Тангенс ба котангенсийн тодорхойлолтоор tg(x+?)=tgx, мөн ctg(x+?)=ctgx нь хамгийн бага эерэг гэсэн үг. хугацаакотангенс ба ?.

тэмдэглэл

y=cos(x) ба y=sin(x) функцуудыг андуурч болохгүй - ижил хугацаатай, эдгээр функцууд өөр өөрөөр илэрхийлэгдэнэ.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Илүү тодорхой болгохын тулд хамгийн бага эерэг үеийг тооцсон тригонометрийн функцийг зур.

Эх сурвалжууд:

• Математикийн гарын авлага, сургуулийн математик, дээд математик

Тригонометр функцууд үе үе, өөрөөр хэлбэл тэд тодорхой хугацааны дараа давтагдана. Үүний ачаар энэ интервал дээрх функцийг судалж, олсон шинж чанаруудыг бусад бүх хугацаанд сунгахад хангалттай.

Зааварчилгаа

Тригонометрийн функцийг зэрэглэлд шилжүүлсэн үеийг олохын тулд чадлын паритетыг үнэл. Стандарт хугацааг хоёр дахин багасгах. Жишээлбэл, хэрэв танд y=3 cos^2x функц өгөгдсөн бол стандарт үе 2P 2 дахин багасах тул хугацаа нь P-тэй тэнцүү байх болно. tg, ctg функцууд нь P-ээс аль ч үед үечилсэн байдаг гэдгийг анхаарна уу. зэрэг.

Сургуулийн математикийн хичээлээс эхлэн хүн бүр жигд долгионоор хол зайд сунадаг синусын графикийг санаж байна. Бусад олон функцууд ижил төстэй шинж чанартай байдаг - тодорхой хугацааны дараа давтагддаг. Тэднийг үе үе гэж нэрлэдэг. Тогтмол байдал нь янз бүрийн ажилд ихэвчлэн тулгардаг функцийн маш чухал шинж чанар юм. Тиймээс функц нь үечилсэн эсэхийг тодорхойлох чадвартай байх нь ашигтай байдаг.

Зааварчилгаа

Хэрэв F(x) нь х аргументийн функц юм бол дурын x F(x + T) = F(x) байх T тоо байвал үүнийг үечилсэн гэж нэрлэдэг. Энэ T тоог функцийн үе гэж нэрлэдэг.

Хэд хэдэн үе байж болно. Жишээлбэл, F = const функц нь аргументийн аль ч утгын хувьд ижил утгыг авдаг тул дурын тоог түүний үе гэж үзэж болно.

Математикчид ихэвчлэн функцийн тэгээс бусад хамгийн жижиг үеийг сонирхдог. Товчхондоо үүнийг үе гэж нэрлэдэг.

Тогтмол функцүүдийн сонгодог жишээ бол тригонометр юм: синус, косинус, тангенс. Тэдний үе нь ижил бөгөөд 2?-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) гэх мэт. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг тригонометрийн функцууд нь зөвхөн үечилсэн функцууд биш юм.

Энгийн, үндсэн функцүүдийн хувьд тэдгээрийг үе үе эсвэл үечилсэн биш гэдгийг тодорхойлох цорын ганц арга бол тооцоолол юм. Гэхдээ нарийн төвөгтэй функцүүдийн хувьд хэд хэдэн энгийн дүрмүүд байдаг.

Хэрэв F(x) нь T үетэй үечилсэн функц бөгөөд түүнд зориулж дериватив нь тодорхойлогдсон бол f(x) = F?(x) нь мөн T үетэй үечилсэн функц болно. Эцсийн эцэст, x цэг дээрх дериватив нь шүргэгч өнцгийн графикийн шүргэгчтэй тэнцүү бөгөөд энэ цэг дэх түүний эсрэг дериватив нь x тэнхлэгт хамаарах ба эсрэг дериватив нь үе үе давтагддаг тул дериватив нь мөн давтагдах ёстой. Жишээлбэл, sin(x) функцийн дериватив нь cos(x)-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь үе үе юм. cos(x)-ийн деривативыг авбал –sin(x) болно. Давтамж өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Гэсэн хэдий ч эсрэгээрээ үргэлж үнэн байдаггүй. Иймд f(x) = const функц нь үечилсэн боловч түүний эсрэг дериватив F(x) = const*x + C биш юм.

Хэрэв F(x) нь T үетэй үечилсэн функц бол G(x) = a*F(kx + b), a, b, k нь тогтмол бөгөөд k нь тэгтэй тэнцүү биш - мөн үечилсэн функц юм. , түүний хугацаа нь T/k байна. Жишээлбэл, sin(2x) нь үечилсэн функц бөгөөд түүний хугацаа нь?-тэй тэнцүү байна. Үүнийг дараах байдлаар дүрсэлж болно: x-ийг хэдэн тоогоор үржүүлснээр функцийн графикийг хэвтээ байдлаар яг хэд дахин шахаж байгаа юм шиг санагдаж байна.

Хэрэв F1(x) ба F2(x) нь үечилсэн функц бөгөөд тэдгээрийн үеүүд нь тус тус T1 ба T2-тэй тэнцүү бол эдгээр функцүүдийн нийлбэр нь мөн үечилсэн байж болно. Гэсэн хэдий ч түүний хугацаа нь T1 ба T2 үеүүдийн энгийн нийлбэр биш байх болно. Хэрэв T1/T2 хуваалтын үр дүн нь оновчтой тоо бол функцүүдийн нийлбэр нь үечилсэн бөгөөд түүний үе нь T1 ба T2 үеүүдийн хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй (LCM) тэнцүү байна. Жишээлбэл, хэрэв эхний функцийн үе нь 12, хоёр дахь үе нь 15 бол тэдгээрийн нийлбэрийн хугацаа нь LCM (12, 15) = 60-тай тэнцүү байх болно.

Үүнийг дараах байдлаар дүрсэлж болно: функцууд нь өөр өөр "алхмын өргөнтэй" ирдэг, гэхдээ тэдгээрийн өргөнүүдийн харьцаа оновчтой байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт (ялангуяа алхмуудын LCM-ээр) тэд дахин тэнцүү болно. тэдний нийлбэр шинэ үе эхэлнэ.

Гэсэн хэдий ч хэрэв үеүүдийн харьцаа иррациональ байвал нийт функц нь үечилсэн биш байх болно. Жишээлбэл, F1(x) = x mod 2 (х-г 2-т хуваахад үлдэгдэл), F2(x) = sin(x) гэж үзье. Энд T1 нь 2, T2 нь 2?-тэй тэнцүү байх болно. Үеийн харьцаа тэнцүү байна уу? - иррационал тоо. Тиймээс sin(x) + x mod 2 функц нь үечилсэн биш юм.

Олон тооны математик функцууд нь тэдгээрийг бүтээхэд хялбар болгодог нэг онцлог шинж чанартай байдаг: үе үе, өөрөөр хэлбэл координатын тор дээрх графикийн тогтмол давтамжтайгаар давтагдах байдал.

Зааварчилгаа

Математикийн хамгийн алдартай үечилсэн функцууд бол синус ба косинус функцууд юм. Эдгээр функцууд нь долгионтой төстэй шинж чанартай бөгөөд үндсэн хугацаа нь 2P байна. Мөн үечилсэн функцийн онцгой тохиолдол нь f(x)=const. Ямар ч тоо x байрлалд тохиромжтой; энэ функц нь шулуун шугам тул үндсэн үегүй.

Ерөнхийдөө f(x)=f(x+N) дүрмийг хангасан тэгээс өөр бүхэл тоо N байвал функц нь үечилсэн шинж чанартай байдаг тул давтагдах чадварыг хангадаг. Функцийн үе нь хамгийн бага N тоо боловч тэг биш. Жишээлбэл, sin x функц нь sin (x+2ПN) функцтэй тэнцүү бөгөөд N=±1, ±2 гэх мэт.

Заримдаа функц нь үржүүлэгчтэй байж болно (жишээ нь, sin 2x), энэ нь функцийн хугацааг нэмэгдүүлэх эсвэл багасгах болно. Хугацаа олохын тулд график, функцийн экстремумыг тодорхойлох шаардлагатай - функцийн графикийн хамгийн дээд ба хамгийн бага цэгүүд. Синус болон косинусын долгион нь долгионтой төстэй шинж чанартай байдаг тул үүнийг хийхэд маш хялбар байдаг. Эдгээр цэгүүдээс X тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэл перпендикуляр шулуун шугамуудыг байгуулна.

Дээд мөчөөс доод хэсэг хүртэлх зай нь функцийн хугацааны хагас байх болно. Графикийн Y тэнхлэгтэй огтлолцсон үеэс эхлэн үеийг тооцоолох нь хамгийн тохиромжтой бөгөөд үүний дагуу x тэнхлэг дээрх тэг тэмдэг юм. Үүний дараа та үүссэн утгыг хоёроор үржүүлж, функцийн үндсэн үеийг авах хэрэгтэй.

Синус ба косинусын графикийг бүтээх ажлыг хялбарчлахын тулд хэрэв функц нь бүхэл тоон утгатай бол түүний хугацаа уртасна (өөрөөр хэлбэл 2P-ийг энэ коэффициентоор үржүүлэх шаардлагатай) график нь илүү зөөлөн, жигд харагдах болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв тоо нь бутархай бол эсрэгээрээ буурч, график нь илүү "хурц", үсэрч харагдах болно.

Функцийг хэрхэн судалж, графикийг нь барих вэ?

Дэлхийн пролетариатын удирдагч, 55 боть түүвэр зохиолын зохиолчийн оюун санааны хувьд ухааралтай царайг би ойлгож эхэлж байх шиг байна... тухай үндсэн мэдээллээр урт аялал эхэлсэн функцууд ба графикууд, тэгээд одоо хөдөлмөр их шаарддаг сэдэв дээр ажиллах нь логик үр дүн - нийтлэлээр төгсдөг функцийг бүрэн судлах тухай. Удаан хүлээгдэж буй даалгаврыг дараах байдлаар томъёоллоо.

Дифференциал тооцооллын аргыг ашиглан функцийг судалж, судалгааны үр дүнд үндэслэн түүний графикийг байгуулна

Эсвэл товчхондоо: функцийг шалгаж, график байгуул.

Яагаад судлах вэ?Энгийн тохиолдолд энгийн функцуудыг ойлгож, ашиглан олж авсан графикийг зурах нь бидэнд хэцүү биш байх болно энгийн геометрийн хувиргалтуудгэх мэт. Гэсэн хэдий ч илүү төвөгтэй функцүүдийн шинж чанар, график дүрслэл нь тодорхойгүй байгаа тул бүхэл бүтэн судалгаа хийх шаардлагатай байна.

Шийдлийн үндсэн үе шатуудыг лавлах материалд нэгтгэн харуулав Функцийг судлах схем, энэ бол таны хэсгийн хөтөч юм. Дамми нь сэдвийн талаар алхам алхмаар тайлбар хийх шаардлагатай байдаг, зарим уншигч хаанаас эхлэх, судалгаагаа хэрхэн зохион байгуулахаа мэдэхгүй, ахисан түвшний оюутнууд хэдхэн зүйлийг сонирхож магадгүй юм. Гэхдээ та хэн ч байсан, эрхэм зочин, янз бүрийн хичээлүүдийг зааж өгөх санал болгож буй хураангуй нь таныг сонирхож буй чиглэлд хурдан чиглүүлж, чиглүүлэх болно. Роботууд нулимс дуслуулсан =) Гарын авлага нь pdf файл хэлбэрээр тавигдаж, хуудсан дээр зохих байр сууриа эзэллээ. Математикийн томъёо, хүснэгт.

Би функцийн судалгааг 5-6 оноо болгон задлахад дассан:

6) Судалгааны үр дүнд үндэслэн нэмэлт цэг, график.

Эцсийн үйл ажиллагааны тухайд бүх зүйл бүгдэд ойлгомжтой байгаа гэж би бодож байна - хэрэв хэдхэн секундын дотор үүнийг хасч, даалгавраа хянан үзэхээр буцааж өгвөл маш их урам хугарах болно. ЗӨВ, ЗӨВ ЗУРАГ нь шийдлийн гол үр дүн юм! Энэ нь аналитик алдааг "далдлах" магадлалтай бөгөөд буруу ба/эсвэл хайхрамжгүй хуваарь нь төгс хийгдсэн судалгаанд ч асуудал үүсгэдэг.

Бусад эх сурвалжид судалгааны цэгүүдийн тоо, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх дараалал, дизайны хэв маяг нь миний санал болгож буй схемээс эрс ялгаатай байж болох ч ихэнх тохиолдолд энэ нь хангалттай гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Бодлогын хамгийн энгийн хувилбар нь ердөө 2-3 үе шатаас бүрдэх бөгөөд "үүсмэлийг ашиглан функцийг судалж, график байгуулах" эсвэл "1, 2-р дериватив ашиглан функцийг судлах, график байгуулах" гэх мэт томъёолсон болно.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв таны гарын авлагад өөр алгоритмыг нарийвчлан тайлбарласан эсвэл багш тань лекцээ дагаж мөрдөхийг хатуу шаардаж байгаа бол та шийдэлд зарим тохируулга хийх хэрэгтэй болно. Гинжний сэрээг халбагаар солихоос илүү хэцүү зүйл байхгүй.

Функцийг тэгш/сондгой эсэхийг шалгая:

Үүний дараа загварын хариулт гарч ирнэ:
, энэ функц нь тэгш эсвэл сондгой биш гэсэн үг юм.

Функц нь дээр үргэлжилдэг тул босоо асимптот байхгүй.

Мөн ташуу асимптот байхгүй.

Анхаарна уу : Өндөр байх тусмаа гэдгийг би танд сануулж байна өсөлтийн дараалал, -ээс, тиймээс эцсийн хязгаар нь яг " нэмэххязгааргүй."

Хязгааргүй үед функц хэрхэн ажилладагийг олж мэдье:

Өөрөөр хэлбэл, баруун тийшээ явбал график хязгааргүй дээшээ, зүүн тийшээ явбал хязгааргүй хол доошоо явдаг. Тиймээ, нэг оруулгад бас хоёр хязгаарлалт бий. Хэрэв та тэмдгүүдийг тайлахад хэцүү байвал энэ тухай хичээлд зочилно уу хязгааргүй жижиг функцууд.

Тиймээс функц дээрээс хязгаарлагдахгүйТэгээд доороос хязгаарлагдахгүй. Бидэнд таслах цэг байхгүй гэж үзвэл энэ нь тодорхой болно функцийн хүрээ: – мөн дурын бодит тоо.

АШИГТАЙ ТЕХНИКИЙН ТЕХНИК

Даалгаврын үе шат бүр нь функцийн графикийн талаархи шинэ мэдээллийг авчирдагТиймээс, шийдлийн явцад нэг төрлийн LAYOUT ашиглах нь тохиромжтой. Ноорог дээр декартын координатын системийг зуръя. Аль хэдийн тодорхой болсон зүйл юу вэ? Нэгдүгээрт, график нь асимптотгүй тул шулуун шугам зурах шаардлагагүй. Хоёрдугаарт, функц хязгааргүй үед хэрхэн ажилладагийг бид мэднэ. Шинжилгээний дагуу бид эхний ойролцоо дүгнэлтийг гаргаж байна.

улмаас гэдгийг анхаарна уу тасралтгүй байдалфункц асаалттай байх ба график нь тэнхлэгийг дор хаяж нэг удаа хөндлөн гарах ёстой. Эсвэл огтлолцох хэд хэдэн цэг байдаг болов уу?

3) Функцийн тэг ба тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Эхлээд графын ордны тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё. Энэ бол энгийн. Функцийн утгыг дараахь үед тооцоолох шаардлагатай.

Далайн түвшнээс дээш нэг хагас.

Тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг (функцийн тэг) олохын тулд бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй бөгөөд энд биднийг таагүй гэнэтийн бэлэг хүлээж байна.

Төгсгөлд нь чөлөөт гишүүн нуугдаж байгаа нь даалгаврыг улам хүндрүүлдэг.

Ийм тэгшитгэл нь дор хаяж нэг бодит язгууртай бөгөөд ихэнхдээ энэ үндэс нь иррациональ байдаг. Хамгийн муу үлгэрт гурван бяцхан гахай биднийг хүлээж байна. Тэгшитгэлийг гэгдэх зүйлийг ашиглан шийдвэрлэх боломжтой Кардано томъёо, гэхдээ цаасны гэмтэл нь бараг бүх судалгаатай харьцуулж болно. Үүнтэй холбогдуулан амаар эсвэл ноорог хэлбэрээр ядаж нэгийг нь сонгохыг хичээх нь илүү ухаалаг хэрэг юм. бүхэлд ньүндэс. Эдгээр тоонууд байгаа эсэхийг шалгацгаая:
- тохиромжгүй;
- Байгаа!

Энд азтай. Хэрэв бүтэлгүйтсэн тохиолдолд та мөн туршилт хийж болно, хэрэв эдгээр тоонууд тохирохгүй бол тэгшитгэлийг ашигтайгаар шийдэх боломж маш бага байна гэж би айж байна. Дараа нь судалгааны цэгийг бүрмөсөн алгасах нь дээр - магадгүй нэмэлт цэгүүдийг задлах эцсийн шатанд ямар нэг зүйл тодорхой болох болно. Хэрэв үндэс(үүд) нь тодорхой "муу" байвал тэмдгүүдийн тогтмол байдлын интервалын талаар даруухан чимээгүй байж, илүү болгоомжтой зурах нь дээр.

Гэсэн хэдий ч бид сайхан үндэстэй тул олон гишүүнтийг хуваана үлдэгдэлгүй:

Олон гишүүнтийг олон гишүүнт хуваах алгоритмыг хичээлийн эхний жишээнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Цогцолборын хязгаар.

Үүний үр дүнд анхны тэгшитгэлийн зүүн тал бүтээгдэхүүн болж задардаг:

Одоо эрүүл амьдралын хэв маягийн талаар бага зэрэг. Би үүнийг мэдээж ойлгож байна квадрат тэгшитгэлӨдөр бүр шийдэх хэрэгтэй, гэхдээ өнөөдөр бид үл хамаарах зүйл хийх болно: тэгшитгэл хоёр жинхэнэ үндэстэй.

Олдсон утгуудыг тоон мөрөнд зурцгаая Тэгээд интервалын аргаФункцийн тэмдгүүдийг тодорхойлъё:


Тиймээс интервалаар хуваарь байрладаг
х тэнхлэгийн доор, мөн интервалаар – энэ тэнхлэгээс дээш.

Судалгааны үр дүн нь бидний зохион байгуулалтыг сайжруулах боломжийг бидэнд олгодог бөгөөд графикийн хоёр дахь ойролцоолсноор дараах байдалтай байна.

Функц нь интервал дээр дор хаяж нэг максимум, интервал дээр дор хаяж нэг минимум байх ёстойг анхаарна уу. Гэхдээ хуваарь хэдэн удаа, хаана, хэзээ давтагдахыг бид хараахан мэдэхгүй байна. Дашрамд хэлэхэд функц нь хязгааргүй олонтой байж болно туйлшрал.

4) Функцийн өсөлт, бууралт, экстремум.

Чухал цэгүүдийг олцгооё:

Энэ тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй. Тэдгээрийг тооны шулуун дээр тавиад деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлъё.


Тиймээс функц нь -ээр нэмэгддэг -аар буурдаг.
Тухайн үед функц хамгийн дээд хэмжээндээ хүрнэ: .
Тухайн үед функц хамгийн багадаа хүрнэ: .

Тогтсон баримтууд нь бидний загварыг нэлээд хатуу тогтолцоонд оруулдаг:

Дифференциал тооцоо бол хүчирхэг зүйл гэдгийг хэлэх шаардлагагүй. Эцэст нь графикийн хэлбэрийг ойлгоцгооё:

5) Гүдгэр, хотгор, гулзайлтын цэгүүд.

Хоёрдахь деривативын эгзэгтэй цэгүүдийг олцгооё.

Шинж тэмдгүүдийг тодорхойлъё:


Функцийн график дээр гүдгэр, дээр нь хотгор байна. Гулзайлтын цэгийн ординатыг тооцоод үзье: .

Бараг бүх зүйл тодорхой болсон.

6) Графикийг илүү нарийвчлалтай бүтээх, өөрийгөө шалгахад туслах нэмэлт цэгүүдийг олоход л үлдлээ. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн цөөхөн нь байдаг, гэхдээ бид тэдгээрийг үл тоомсорлохгүй.

Зураг зурцгаая:

Гулзайлтын цэгийг ногооноор, нэмэлт цэгүүдийг загалмайгаар тэмдэглэв. Куб функцийн график нь түүний гулзайлтын цэгийн хувьд тэгш хэмтэй байдаг бөгөөд энэ нь үргэлж хамгийн их ба хамгийн бага хооронд яг голд байрладаг.

Даалгаврын ажил үргэлжилж байх үед би гурван таамаглалтай завсрын зургийг өгсөн. Практикт координатын системийг зурж, олсон цэгүүдийг тэмдэглэж, судалгааны цэг бүрийн дараа функцийн график ямар байж болохыг сэтгэн бодоход хангалттай. Бэлтгэл сайтай оюутнуудад ноорог оруулахгүйгээр зөвхөн толгойдоо ийм дүн шинжилгээ хийх нь тийм ч хэцүү биш байх болно.

Үүнийг өөрөө шийдэхийн тулд:

Жишээ 2

Функцийг судалж, график байгуул.

Энд бүх зүйл илүү хурдан бөгөөд илүү хөгжилтэй байдаг, энэ нь хичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайны ойролцоо жишээ юм.

Бутархай рационал функцийг судлах нь олон нууцыг илчилдэг.

Жишээ 3

Функцийг судлахын тулд дифференциал тооцооллын аргыг ашиглан судалгааны үр дүнд үндэслэн түүний графикийг байгуулна.

Шийдэл: Судалгааны эхний үе шат нь тодорхойлогдсон талбайн цоорхойг эс тооцвол ямар ч гайхалтай зүйлээр ялгагдаагүй болно.

1) Функц нь цэгээс бусад бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогддог бөгөөд үргэлжилдэг. домэйн: .

, энэ функц нь тэгш эсвэл сондгой биш гэсэн үг юм.

Функц нь үе үе биш байх нь ойлгомжтой.

Функцийн график нь зүүн ба баруун хагас хавтгайд байрлах хоёр тасралтгүй салбарыг төлөөлдөг - энэ нь 1-р цэгийн хамгийн чухал дүгнэлт байж магадгүй юм.

2) Асимптотууд, хязгааргүй дэх функцийн зан төлөв.

a) Нэг талын хязгаарыг ашиглан бид босоо асимптот байх ёстой сэжигтэй цэгийн ойролцоо функцийн үйл ажиллагааг шалгана.

Үнэн хэрэгтээ функцууд нь тэсвэрлэдэг төгсгөлгүй цоорхойцэг дээр
ба шулуун шугам (тэнхлэг) байна босоо асимптотграфик урлаг.

б) Ташуу асимптотууд байгаа эсэхийг шалгая:

Тийм ээ, энэ нь шулуун байна ташуу асимптотграфик , хэрэв .

Функц нь ташуу асимптотыг хамарч байгаа нь аль хэдийн тодорхой болсон тул хязгаарлалтыг шинжлэх нь утгагүй юм. дээрээс хязгаарлагдахгүйТэгээд доороос хязгаарлагдахгүй.

Судалгааны хоёр дахь цэг нь функцийн талаар олон чухал мэдээллийг олж авсан. Бүдүүн ноорог зурцгаая:

Дүгнэлт No1 нь тогтмол тэмдгийн интервалд хамаарна. "Хасах хязгааргүй" үед функцийн график нь х тэнхлэгийн доор тодорхой байрлана, "нэмэх хязгааргүй" үед энэ тэнхлэгээс дээш байна. Нэмж дурдахад нэг талт хязгаарлалтууд нь тухайн цэгийн зүүн ба баруун талд функц нь тэгээс их байгааг бидэнд хэлсэн. Зүүн талын хагас хавтгайд график нь х тэнхлэгийг дор хаяж нэг удаа гатлах ёстойг анхаарна уу. Баруун талын хагас хавтгайд функцийн ямар ч тэг байхгүй байж болно.

Дүгнэлт No2 нь функц нь цэг дээр болон зүүн талд ("доороос дээш" явдаг) нэмэгддэг. Энэ цэгийн баруун талд функц буурдаг ("дээрээс доош" явдаг). Графикийн баруун салбар нь мэдээж дор хаяж нэг доод талтай байх ёстой. Зүүн талд, хэт туйлшрал нь баталгаатай биш юм.

Дүгнэлт No3 нь тухайн цэгийн ойролцоох графын хонхор байдлын талаар найдвартай мэдээлэл өгдөг. Хязгааргүй дэх гүдгэр/гүдгэр байдлын талаар бид хараахан юу ч хэлж чадахгүй, учир нь шугамыг дээрээс болон доороос өөрийн асимптот руу чиглүүлж болно. Ерөнхийдөө яг одоо үүнийг тодорхойлох аналитик арга байгаа ч графикийн хэлбэр нь хожим тодорхой болно.

Яагаад ийм олон үг вэ? Дараагийн судалгааны цэгүүдийг хянаж, алдаа гаргахаас зайлсхийхийн тулд! Цаашдын тооцоо нь гаргасан дүгнэлттэй зөрчилдөх ёсгүй.

3) Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд, функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Функцийн график нь тэнхлэгтэй огтлолцдоггүй.

Интервалын аргыг ашиглан бид дараах шинж тэмдгүүдийг тодорхойлно.

, Хэрэв ;
, Хэрэв .

Энэ цэгийн үр дүн нь 1-р дүгнэлттэй бүрэн нийцэж байна. Үе шат бүрийн дараа ноорог харж, судалгааг оюун ухаанаараа шалгаж, функцийн графикийг бөглөнө үү.

Харж буй жишээн дээр тоологчийг нэр томъёогоор хуваадаг бөгөөд энэ нь ялгахад маш ашигтай байдаг:

Үнэндээ энэ нь асимптотуудыг олох үед аль хэдийн хийгдсэн байдаг.

- чухал цэг.

Шинж тэмдгүүдийг тодорхойлъё:

-ээр нэмэгддэг ба -аар буурдаг

Тухайн үед функц хамгийн багадаа хүрнэ: .

Мөн 2 дугаар дүгнэлттэй зөрчилдсөн зүйл гараагүй бөгөөд бид зөв замаар явж байгаа байх.

Энэ нь функцийн график нь тодорхойлолтын бүх мужийг хамарсан гэсэн үг юм.

Гайхалтай - та юу ч зурах шаардлагагүй.

Гулзайлтын цэг байхгүй.

Хонхор байдал нь 3-р дүгнэлттэй нийцэж байгаа бөгөөд энэ нь хязгааргүйд (тэнд тэнд аль алинд нь) функцийн график байрлаж байгааг харуулж байна. илүү өндөртүүний ташуу асимптот.

6) Бид даалгавраа нэмэлт оноогоор ухамсартайгаар тогтооно. Судалгаанаас хоёрхон зүйлийг мэдэж байгаа тул энд бид шаргуу ажиллах хэрэгтэй болно.

Мөн олон хүмүүсийн удаан хугацааны өмнө төсөөлж байсан зураг:

Даалгаврыг гүйцэтгэх явцад та судалгааны үе шатуудын хооронд зөрчилдөөн гарахгүй байхыг анхааралтай ажиглах хэрэгтэй, гэхдээ заримдаа нөхцөл байдал яаралтай эсвэл бүр мухардалд ордог. Аналитик нь "нэгдэхгүй" - энэ бол бүх зүйл. Энэ тохиолдолд би яаралтай тусламжийн аргыг санал болгож байна: бид графикт хамаарах аль болох олон цэгийг олж (бидний тэвчээртэй байх болно), тэдгээрийг координатын хавтгайд тэмдэглэ. Олдсон утгуудын график дүн шинжилгээ нь ихэнх тохиолдолд үнэн хаана, худал болохыг танд хэлэх болно. Нэмж дурдахад, графикийг зарим програм, жишээлбэл, Excel програм ашиглан урьдчилан барьж болно (мэдээжийн хэрэг, энэ нь ур чадвар шаарддаг).

Жишээ 4

Функцийг судлах, графикийг байгуулахдаа дифференциал тооцооллын аргыг ашиглах.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Үүн дээр өөрийгөө хянах чадвар нь функцийн паритетаар нэмэгддэг - график нь тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдаг бөгөөд хэрэв таны судалгаанд энэ баримттай зөрчилдөж байгаа зүйл байвал алдаа хайх хэрэгтэй.

Тэгш эсвэл сондгой функцийг зөвхөн дээр судалж, дараа нь графикийн тэгш хэмийг ашиглана. Энэ шийдэл нь оновчтой боловч миний бодлоор энэ нь маш ер бусын харагдаж байна. Би хувьдаа тооны мөрийг бүхэлд нь хардаг боловч зөвхөн баруун талд нэмэлт оноо олдог.

Жишээ 5

Функцийг бүрэн судалж, графикийг нь байгуул.

Шийдэл: бүх зүйл хэцүү болсон:

1) Функц нь бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогддог бөгөөд үргэлжилдэг: .

Энэ нь энэ функц нь сондгой, график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна гэсэн үг юм.

Функц нь үе үе биш байх нь ойлгомжтой.

2) Асимптотууд, хязгааргүй дэх функцийн зан төлөв.

Функц нь дээр үргэлжилдэг тул босоо асимптот байхгүй

Экспонент агуулсан функцийн хувьд энэ нь ердийн зүйл юм тусдаа"нэмэх" ба "хязгааргүй байдлын хасах" -ын судалгаа нь графикийн тэгш хэмийн ачаар бидний амьдралыг хөнгөвчилдөг - баруун болон зүүн талд асимптот байдаг, эсвэл байхгүй. Тиймээс хязгааргүй хязгаарыг хоёуланг нь нэг оруулгын дор бичиж болно. Уусмалын явцад бид ашигладаг Л'Хопиталын дүрэм:

Шулуун шугам (тэнхлэг) нь графын хэвтээ асимптот юм.

Би ташуу асимптотыг олох бүрэн алгоритмаас хэрхэн зальтай зайлсхийж байсныг анхаарна уу: хязгаар нь бүрэн хууль ёсны бөгөөд хязгааргүй дэх функцийн үйл ажиллагааг тодорхой болгодог бөгөөд хэвтээ асимптотыг "нэг зэрэг" илрүүлсэн.

Тасралтгүй байдал ба хэвтээ асимптот байгаа эсэхээс үзэхэд функц нь дараах байдалтай байна. дээр хязгаарлагдсанТэгээд доор хязгаарлагдсан.

3) Графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд, тогтмол тэмдгийн интервалууд.

Энд бид мөн шийдлийг богиносгож байна:
График эх үүсвэрээр дамждаг.

Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох өөр цэг байхгүй. Түүгээр ч зогсохгүй тэмдгийн тогтмол байдлын интервалууд нь тодорхой бөгөөд тэнхлэгийг зурах шаардлагагүй: , энэ нь функцын тэмдэг нь зөвхөн "x" -ээс хамаарна гэсэн үг юм:
, Хэрэв ;
, Хэрэв .

4) Функцийн өсөлт, бууралт, экстремум.


- чухал цэгүүд.

Цэгүүд нь тэгтэй адил тэгш хэмтэй байна.

Деривативын шинж тэмдгийг тодорхойлъё:


Функц нь интервалаар нэмэгдэж, интервалаар буурдаг

Тухайн үед функц хамгийн дээд хэмжээндээ хүрнэ: .

Эд хөрөнгийн улмаас (функцийн сондгой байдал) хамгийн бага хэмжээг тооцоолох шаардлагагүй:

Функц нь интервалаар буурдаг тул график нь "хасах хязгааргүй" байрлалд байгаа нь ойлгомжтой. доортүүний асимптот. Интервалын туршид функц нь бас буурдаг боловч энд эсрэгээр нь үнэн юм - хамгийн их цэгийг дайран өнгөрсний дараа шугам нь дээрээс тэнхлэгт ойртдог.

Дээрхээс харахад функцийн график нь "хасах хязгааргүй" үед гүдгэр, "нэмэх хязгааргүй" үед хотгор байна.

Энэхүү судалгааны цэгийн дараа функцийн утгын хүрээг зурсан болно.

Хэрэв та ямар нэг цэгийн талаар буруу ойлголттой байгаа бол тэмдэглэлийн дэвтэртээ координатын тэнхлэгүүдийг зурж, гартаа харандаа барин даалгаврын дүгнэлт бүрийг дахин шинжлэхийг би дахин зөвлөж байна.

5) Графикийн гүдгэр, хотгор, гулзайлт.

- чухал цэгүүд.

Цэгүүдийн тэгш хэм хадгалагдан үлдсэн бөгөөд магадгүй бид алдаагүй байна.

Шинж тэмдгүүдийг тодорхойлъё:


Функцийн график нь гүдгэр дээр байна мөн дээр нь хонхорхой .

Хэт их интервал дахь гүдгэр / хотгор нь батлагдсан.

Бүх эгзэгтэй цэгүүдэд графикт хазайлт байдаг. Гулзайлтын цэгүүдийн ординатуудыг олж, функцийн сондгой байдлыг ашиглан тооцооллын тоог дахин багасгая.